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格致课堂
绝密★启用前
2019-2020学年度第二学期期中考试试卷（基础卷）
考试时间：120分钟；考试总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
一、单选题（每题5分，总分60分.）
1．已知复数 （ 为虚数单位），则复数 的虚部是（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，
∴复数 的虚部是 ，故选：B．
2．设非零向量 ， 满足 ，则（ ）
A． B． C． // D．
【答案】A
【解析】由 的几何意义知，以向量 ， 为邻边的平行四边形为矩形，所以 .故选：
A.
3．设z=-3+2i，则在复平面内 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由 得 则 对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．格致课堂
4．已知复数 和复数 ，则 为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】zz＝（cos23°+isin23°）•（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝ ．
1 2
故答案为C．
5．已知复数z=2+i，则
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【解析】∵ 故选D.
6．点 是 所在平面上一点，若 ，则 与 的面积之比是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】点 是 所在平面上一点，过 作 ，如下图所示：
由 ，
故 ，
所以 与 的面积之比为 ，
故选：D．格致课堂
7．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】C
【解析】题意， ，所以 .故选：C.
8．已知 ,且 ，则 （ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，故 ，所以 ，
故 ，故 .故选C.
9．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得格致课堂
，
所以 ，故选A.
10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知 ， ， ，则b=
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解析】由余弦定理得 ，
解得 （ 舍去），故选D.
11．已知向量 ， 是不平行于 轴的单位向量，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，其中 ，则 .格致课堂
由题意得 ，解得 ，即 .
故选：B.
2√2
12．若非零向量⃗a，⃗b满足|⃗a|= |⃗b|,，且(⃗a-⃗b)⊥(3⃗a+2⃗b)，则⃗a与⃗b的夹角为
3
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，所以 ，即 ，
即 ，∴
，又 ，故 ，故选A.
第II卷（非选择题)
二、填空题（每题5分，总分20分.）
13．已知 ， 为虚数单位，若 为实数，则 的值为__________．
【答案】-2
【解析】 为实数，格致课堂
则 .
14．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30∘的方
向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75∘的方向上，仰角为30∘，则此山的高度CD=
________ m.
【答案】100√6
【解析】题设可知在 中, ,由此可得 ,由正弦定理可得
,解之得 ,又因为 ,所以 ,应填
100√6.
15．平面向量 ， ， （ R），且 与 的夹角等于 与 的夹角，则
.
【答案】2
【解析】 ， 与 的夹角等于 与 的夹角，所以
16．如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若 ， ，格致课堂
，则 的值为______．
【答案】
【解析】设 ， ，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为
轴，建立如图所示坐标系，则 ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
即 ，
则 即 ，解得 ， ，则 .格致课堂
三、解答题（17题10分，18-22题各12分，总分70分.）
17．计算：（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）1+i（2）6-2i（3）
【解析】（1）原式 .
（2）原式 .
（3）原式 .
18．已知复数 （ ）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
【答案】（1） （2）（2，3）
【解析】（1）因为复数 为纯虚数，所以 ，
解之得， ．
（2）因为复数 在复平面内对应的点在第二象限，所以 ，
解之得 ，得 ．
所以实数 的取值范围为（2，3）．
19．如图所示，平行四边形AOBD中，设向量 ， ，且 ， ，用格致课堂
表示 、 、 ．
【答案】
【解析】 ＝ － ＝a－b
∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ 得a＋ b.
又 ＝a＋b. ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ a＋ b，
∴ ＝ － ＝ a＋ b－ a－ b＝ a－ b.
20．在平面直角坐标系中，已知 ， .
（Ⅰ）若 ，求实数 的值；
（Ⅱ）若 ，求实数 的值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ） ， ， ，
，
， ，解得 ；
（Ⅱ） ，
， ，解得 .格致课堂
21．在 中， ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 以及 的值．
【答案】（1） ；（2）7， .
【解析】（1）由余弦定理及已知得： .
（2）因为 为三角形内角，
所以 ，
，
由正弦定理得： ，
又∵ ．
，解得 或 （舍）．
．
22．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求角 的大小；格致课堂
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
即 ，
∵ ，∴ ，∴ ．
（2）
，
∴ ，又 ，
∴ 的取值范围是 ．
