文档内容
专题 09 平面向量 9 种常见考法归类
知识 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点01 平面向量的坐标运算
2025·全国一卷
知识1 平面向
量的基本定理 考点02 平面向量基本定理的应用
与坐标表示 2025·天津2022·新高考全国Ⅰ卷 2022·天津
（5年4考）
考点03 平面向量的共线问题
2024·上海 2021·全国乙卷
考点04平面向量的数量积
2024·北京2023·全国乙卷2023·上海 2022·上海
2022·全国甲卷2022·全国乙卷2021·浙江 2021·
1.平面向量的线性运算一般考查基
新高考全国Ⅱ卷2021·北京
础的三角形法则，属于简单题
考点05平面向量数量积的最值问题 目。对于此类题目可以转化成坐
2024·天津2023·天津2023·全国乙卷 2022·北京 标运算
2.平面向量数量积运算是高考数学
考点06平面向量的垂直问题
高频考点，一般考查向量的平行
知识2 平面向 2024·新课标Ⅰ卷 2024·全国甲卷
垂直以及夹角问题，容易与充要
量的数量积 2023·新课标Ⅰ卷2022·全国甲卷2021·全国甲卷
条件相结合，考查比较简单，但
（5年5考） 2021·全国乙卷
是属于易错点。
考点07平面向量的模长问题
2025·上海2025·北京 2025·全国二卷 2024·新课
标Ⅱ卷2023·新课标Ⅱ卷 2023·北京
2022·全国乙卷 2021·全国甲卷
2021·新高考全国Ⅰ卷
考点08平面向量的夹角问题
2023·全国甲卷 2022·新高考全国Ⅱ卷
知识3 向量与
考点09平面向量的最值问题
几何最值
2022·浙江 2021·浙江
（5年2考）考点01 平面向量的坐标运算
1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在
航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中
船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的
对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和
向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（ ）
等级 风速大小m/s 名称
2 1.6~3.3 轻风
3 3.4~5.4 微风
4 5.5~7.9 和风
5 8.0~10.7 劲风
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
【答案】A
【分析】结合题目条件和图 写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，
得出真风风速的大小，即可由图 得出结论.
【详解】由题意及图得，
视风风速对应的向量为： ，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为 ，船行风速对应的向量为 ，
∴ ，船行风速： ，
∴ ，
，
∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A.考点02 平面向量基本定理的应用
2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上， ，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：B．
3．（2025·天津·高考真题） 中，D为AB边中点， ，则 （用 ，
表示），若 ， ，则
【答案】 ；
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【详解】如图，
因为 ，所以 ，所以 ．
因为D为线段 的中点，所以 ；
又因为 ，所以 ，
，所以
所以 ，
所以．
故答案为： ； .
4．（2022·天津·高考真题）在 中，点D为AC的中点，点E满足 .记 ，用
表示 ，若 ，则 的最大值为
【答案】
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出 ，以 为基底，表示出 ，由
可得 ，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点 为原点建立平面直角坐标系，设 ，由 可得点 的轨迹
为以 为圆心，以 为半径的圆，方程为 ，即可根据几何性质可知，当且仅当
与 相切时， 最大，即求出．
【详解】方法一：
，
，
，当且仅当 时取等号，而
，所以 ．
故答案为： ； ．
方法二：如图所示，建立坐标系：，
，
，所以点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径
的圆，当且仅当 与 相切时， 最大，此时 ．
故答案为： ； ．
考点03 平面向量的共线问题
5．（2024·上海·高考真题）已知 ，且 ，则 的值为 ．
【答案】15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】 ， ，解得 ．
故答案为：15．
6．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于 的方程，解方程即可求得实数 的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得： ，
解方程可得： .
故答案为： .
考点04平面向量的数量积
7．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
如图所示， ,当 时， 与 垂直， ，所以
成立，此时 ，
∴ 不是 的充分条件，
当 时， ，∴ ,∴ 成立，
∴ 是 的必要条件，
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B.
8．（2023·上海·高考真题）已知 , ，求
【答案】4
【分析】
由平面向量数量积的坐标运算求解.
【详解】由题意得
故答案为：4
9．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量 ， ， ，
．
【答案】
【分析】由已知可得 ，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得 ，
因此， .
故答案为： .10．（2021·北京·高考真题）已知向量 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长
为1，则
； .
【答案】 0 3
【分析】根据坐标求出 ，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】以 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则 ，
， ，
.
故答案为：0；3.
11．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵ ，
又∵
∴9 ，
∴
故选：C.
12．（2024·北京·高考真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知 等价于 ，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为 ，可得 ，即 ，
可知 等价于 ，
若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；
若 ，即 ，无法得出 或 ，
例如 ，满足 ，但 且 ，可知充分性不成立；
综上所述，“ ”是“ 或 ”的必要不充分条件.
故选：B.
13．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【分析】方法一：以 为基底向量表示 ，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，
利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求 ，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以 为基底向量，可知 ，
则 ，
所以 ；
方法二：如图，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ，可得 ，
所以 ；
方法三：由题意可得： ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 .
故选：B.14．（2022·上海·高考真题）若 ，且满足 ，则 .
【答案】 /
【分析】设 ，利用数量积定义求出 ，即可求出 .
【详解】因为 ，所以 ，设 .
由 可得： ，
两式相除得： .
又 ，且
解得： .
因为 ，所以 ，解得： .
故答案为： .
15．（2022·全国甲卷·高考真题）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则
．
【答案】
【分析】设 与 的夹角为 ，依题意可得 ，再根据数量积的定义求出 ，最后根据数量积的运
算律计算可得．
【详解】解：设 与 的夹角为 ，因为 与 的夹角的余弦值为 ，即 ，
又 ， ，所以 ，所以 ．
故答案为： ．
考点05平面向量数量积的最值问题
16．（2023·全国乙卷·高考真题）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交于
B，C两点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得
，或 然后结合三角函数的性质即可确定 的最大
值.
【详解】如图所示， ，则由题意可知: ，
由勾股定理可得
当点 位于直线 异侧时或PB为直径时，设 ，
则：，则
当 时， 有最大值 .
当点 位于直线 同侧时，设 ，
则：
，
，则
当 时， 有最大值 .
综上可得， 的最大值为 .
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查
了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
17．（2022·北京·高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出 ， ，根据数量积的坐标表示、辅助
角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
18．（2024·天津·高考真题）已知正方形 的边长为1， 若 ，其中 为
实数，则 ；设 是线段 上的动点， 为线段 的中点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】解法一：以 为基底向量，根据向量的线性运算求 ，即可得 ，设 ，求，结合数量积的运算律求 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求 ，即
可得 ，设 ，求 ，结合数量积的坐标运算求 的最小值.
【详解】解法一：因为 ，即 ，则 ，
可得 ，所以 ；
由题意可知： ，
因为 为线段 上的动点，设 ，
则 ，
又因为 为 中点，则 ，
可得
，
又因为 ，可知：当 时， 取到最小值 ；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ，
可得 ，
因为 ，则 ，所以 ；
因为点 在线段 上，设 ，且 为 中点，则 ，
可得 ，
则 ，
且 ，所以当 时， 取到最小值为 ；
故答案为： ； .
19．（2023·天津·高考真题）在 中， ， ，记 ，
用 表示 ；若 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合 为 的中点进行求解；空2：用 表示出 ，结合上一
空答案，于是 可由 表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为 为 的中点，则 ，可得 ，
两式相加，可得到 ，
即 ，则 ；
空2：因为 ，则 ，可得 ，
得到 ，
即 ，即 .
于是 .
记 ，
则 ，
在 中，根据余弦定理： ，于是 ，
由 和基本不等式， ，
故 ，当且仅当 取得等号，
则 时， 有最大值 .
故答案为： ； .
考点06平面向量的垂直问题
20．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求 的值.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 即 ，故 ，
故选：D.
21．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为 ，所以由 可得，
，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设 ，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
22．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量 ，则（ ）A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当 时，则 ，
所以 ，解得 或 ，即必要性不成立，故A错误；
对C，当 时， ，故 ，
所以 ，即充分性成立，故C正确；
对B，当 时，则 ，解得 ，即必要性不成立，故B错误；
对D，当 时，不满足 ，所以 不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
23．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出 ， ，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为 ，所以 ， ，
由 可得， ，
即 ，整理得： ．
故选：D．
24．（2022·全国甲卷·高考真题）已知向量 ．若 ，则 ．
【答案】 /
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知： ，解得 .
故答案为： .
25．（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量 ．若 ，则 ．
【答案】 .【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量 的坐标，利用向量的数量积为零求得 的值
【详解】 ,
，解得 ,
故答案为： .
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量
垂直的充分必要条件是其数量积 .
考点07平面向量的模长问题
26．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量 若 ，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得 ，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】 ，因为 ，则 ，
则 ，解得 .
则 ，则 .
故答案为： .
27．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令 ，结合数量积的运算
律运算求解.
【详解】法一：因为 ，即 ，
则 ，整理得 ，
又因为 ，即 ，
则 ，所以 .
法二：设 ，则 ，
由题意可得： ，则 ，
整理得： ，即 .
故答案为： .28．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得 ，然后求得 .
【详解】因为 ，所以 .
故选：D
29．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系 中， ， .设 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据 ，求出 ，进而可以用向量 表示出 ，即可解出．
【详解】因为 ， ，
由 平方可得， ，所以 ．
， ，
所以，
，
又 ，即 ，
所以 ，即 ，
故选：D.
30．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由 得 ，结合 ，得 ，由此即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，从而 .
故选：B.
31．（2023·北京·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量 满足 ，
所以 .
故选：B
32．（2025·上海·高考真题）已知 ， 是平面内三个不同的单位向量．若
，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得 ，再根据数量积关系设出
坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
【详解】若 ，则 ，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量 两两垂直，显然不成立；
故 .
不妨设 ，则 ，
不妨设 ， ，
则 ，则 ，
则
，由 ， ，
则 ，
故 .
故答案为： .
33．（2021·全国甲卷·高考真题）若向量 满足 ，则 .
【答案】
【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴ .
故答案为： .
34．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知 为坐标原点，点 ， ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A、B写出 ， 、 ， 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的
坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A： ， ，所以 ，
，故 ，正确；
B： ， ，所以
，同理
，故 不一定相等，错误；
C：由题意得： ，，正确；
D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；
故选：AC
考点08平面向量的夹角问题
35．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得 ，从而利用平面向量余
弦的运算公式即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 .
故选：B.
36．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为 ,所以 ,
即 ,即 ,所以 .
如图,设 ,由题知, 是等腰直角三角形,
AB边上的高 ,
所以 ,
,
.
故选:D.
37．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解： , ,即 ,解得 ,
故选：C
考点09平面向量的最值问题
38．（2022·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形 的边 上，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立
平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设 ，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用 即可解出．
【详解】以圆心为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则 , ，设
,于是 ，
因为 ，所以 ，故 的取值范围是 .
故答案为： ．
39．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量 满足 .记向量 在
方向上的投影分别为x，y， 在 方向上的投影为z，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】设 ，由平面向量的知识可得 ，再结合柯西不等式即可
得解.
【详解】由题意，设 ，
则 ，即 ，
又向量 在 方向上的投影分别为x，y，所以 ，
所以 在 方向上的投影 ，
即 ,
所以 ，当且仅当 即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是由平面向量的知识转化出 之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小
值.
