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1987年全国硕士研究生招生考试
数学（一）
（科目代码：301）
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
卜=1,
（1） 与两直线—1 + /,及斗^ ='尹=千^都平行，且过原点的平面方程为_______ •
[z = 2 + /
（2） 当z =________ 时，函数y =攵2*取得极小值.
（3） 由曲线与两直线夕=（e+ 1） — 及y =0所围成的平面图形的面积为_______ .
（4） 设L为取正向的圆J；' +夕2 = 9,则曲线积分$ （2巧—2,y）djc + （x2 — 4jr）dj/的值为
（5）已知3维线性空间的一组基为s = （1,1,0）,。2 = （1,0,1）卫3 =（0,1,1）,则向量a =
（2,0,0）在上述基底下的坐标为________•
二、（本题满分8分）
] [x t2
求正常数 a 与b ,使得lim ---------:....... = 1成立.
x-*o bx — sin J o !a _|_ ^2
三、（本题满分7分）
（1）（本题满分3分）设函数f ,g连续可微，"=y（m）=g（z +砂），求石•茹.
/3 o
（2）（本题满分4分）设矩阵A与B满足AB -A +2B,其中A =1 1 0，求矩阵B.
'o 1四、(本题满分8分)
求微分方程+ ^yr，+ (9+<22)j/z =1的通解，其中常数a > 0.
五、 选择题(本题共4小题，每小题3分，满分12分)
00 1 I
(1) 设常数k>0,则级数工(一1)"斗壬( ).
九
n = l
(A)发散 (E)绝对收敛
(C)条件收敛 (D)收敛或发散与k的取值有关
(2) 设 I = ,其中 /(J?)为连续数,s〉0,t>0,则 I 的值( ).
J 0
(A)依赖于s,t (E)依赖于s ,t
(C)依赖于t,工，不依赖于s (D)依赖于s,不依赖于/
V-
(3) 设lim 了 了:; ? = — 1,则在点 x =a 处( ).
(A)/©)可导且f\a) HO (B)/(j;)取得极大值
(C”Q)取得极小值 (D”Q)的导数不存在
(4) 设A为阶矩阵，且|A|=a HO,A*是A的伴随矩阵，则|A* | =( ).
(aA) (B) — (C)a"T (D)a"
a
六、 (本题满分10分)
求密级数£ 2込"T的收敛域，并求其和函数.
九 2
n = 1七、（本题满分10分）
计算曲面积分 / = JJz (83/ + 1 )dj/dz + 2(1 — y2 )dzdj： — 4yz clzdy,其中 S 是由曲线
s
F"i(lw
（夕W 3）绕夕轴旋转一周所成的曲面，它的法向量与夕轴正向的夹角大
0=0
八、（本题满分10分）
设函数于（工）在闭区间［0,1］上可微，对于［0,1］上的每个工，函数的值都在区间（0,1）内,
且fr （j;） H 1,证明：在（0,1）内有且仅有一个x，使得f O ~x.
九、（本题满分8分）
+工 + 工 = 0,
JC j X 2 3 4
问a,b为何值时，线性方程组丿
•Z
2 + 2
工
/3 +
2j?
、
4 =1,
有唯一解？无解？有无穷多个
—x 2 + （a — 3）a: 3 — 2攵 = b,
4
工 + 広
3x 1 + 2 2 3 + az 4 — — 1
解？并求出有无穷多个解时的通解.十、填空题(本题共3小题，每小题2分，共6分)
(1) 假设在一次试验中，事件A发生的概率为p,现进行兀次独立试验，则A至少发生一次的概
率为________，而事件A至多发生一次的概率为________ .
(2) 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱
子中有3个黑球5个白球.现随机地取一个箱子,再从这个箱子中取出1个球,这个球为白球
的概率等于________.已知取岀的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为________•
1 2
(3) 已知连续型随机变量X的概率密度为/(^) = —+ET,则X的数学期望为________ ,
V7T
X的方差为________•
十一、(本题满分6分)
设随机变量X,Y相互独立，其概率密度函数分别为
0 < 工 VI, 夕＞ 0,
其他， 夕W 0,
求随机变量Z=2X+Y的概率密度函数fz(z).
