文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷
黄金卷08·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D D A C B A C A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．。
9 10 11
ABC ABD AC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 120 13. 14.②③
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）
【详解】（1） , ，
,所以切点为 ，由点斜式可得， ，
所以切线方程为： .
（2）由题可得，
设 ，
，
所以当 时， ，
当 时， ，所以 在 单调递增， 单调递减，
所以 ，
即 .
16．（15分）
【详解】（1）因为侧面 为正方形，所以 .
又平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
（2）由（1）知， ， ， ，
故以 为原点，分别以 为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， .
设 ，其中 .则 ，
所以 ，
又 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，所以 ，
令 ， ，所以 .
由题意， 为平面 的一个法向量.
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以 ，
解得 或 （舍）.
所以 .
17．（15分）
x2 y2
【详解】（1）由已知a=2,c=1，所以b2=a2−c2=3，所以椭圆C的方程为 + =1.
4 3
（2）如图所示，
因为四边形APBQ是平行四边形，
所以线段AB与线段PQ的中点重合，所以P､Q关于原点对称.y
设P(x ,y )，则Q(−x ,−y )¿且y ≠0)，k = 1 ，
1 1 1 1 1 AP x +2
1
y
所以直线AP的方程为y= 1 (x+2)，
x +2
1
2y 2y
( )
令x=0，得y= 1 ，即M 0, 1 .
x +2 x +2
1 1
y y
又k = 1 ，直线AQ的方程为y= 1 (x+2)，
AQ x −2 x −2
1 1
2y 2y
( )
令x=0，得y= 1 ，即N 0, 1 .
x −2 x −2
1 1
1 3
四边形AMFN面积为 |AF|⋅|MN|= |MN|，
2 2
| 2y 2y | | 8 y |
|MN|= 1 − 1 = 1 ①，
x +2 x −2 x2−4
1 1 1
因为点P在椭圆上，
x2 y2
所以 1+ 1=1,−√3≤ y ≤√3且y ≠0，
4 3 1 1
4
所以x2−4=− y2
②，
1 3 1
|6 |
将②代入①得
|MN|=
，
y
1
所以当y =±√3时，|MN| =2√3.
1 min
所以四边形AMFN面积的最小值为3√3.
18．（17分）
【解析】（1） ；
（2）由 ，∴ ， ，
.
（3）小兔子开始在第1格，为必然事件， ，
点一下开始按钮，小兔子跳1格即移到第2格的概率为 ，即 ，
小兔子移到第 格的情况是下列两种，而且也只有两种情况.①小兔子先跳到第 格，又点一下开始按钮跳了2格，其概率为 ；
②小兔了先跳到第 格，又点一下开始按钮跳了1格，其概率为 ；
∵ ，∴ ．
∴当 时，
数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
∴ ，
．
∴获胜的概率 ．
19．（17分）
【解析】（1） ，
其中 .
（2）存在 ， ，使得相对任何常数 的“正弦标准差”是一个与 无关的定值，
理由如下：
，
只需 ，则 ，即 ，整理得 ，
因为 ， ，
所以 ， ， ，
则 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
即 ，
整理得 ，故 ，
因为 ，所以 ， ，
则 ， ，
检验，将 ， 代入 得
，满足要求，
故存在 ， ，使得相对任何常数 的“正弦标准差”是一个与 无关的定值，
此时 .
