文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考八省卷）
黄金卷07
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：因为 ，而 ，
所以 ．故选：C．
方法二：因为 ，将 代入不等式 ，只有 使不等式成立，所以
．故选：C．
2．若复数 （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为复数 ，其在复平面内对应的点位于第四象限，所以 ,解得 ，
所以实数a的取值范围为 ，故选B．
3．已知向量 ，若 反向共线，则实数 的值为（ ）
A． B．3 C．3或 D． 或7
【答案】A
【解析】因为 ，所以 .
因为 共线，所以 ，解得 或 .
又 反向共线，代入验证可知 时为同向，舍去.
而 满足条件，所以 ，故选 .
4．若 ，则 （ ）
A． 或2 B． 或 C．2 D．
【答案】C
【解析】 或
=2，故选C.
5．已知口袋中有3个黑球和2个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次
摸到白球的情况下，第三次又摸到白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设事件 表示“第二次摸到白球”，事件 表示“第三次又摸到白球”，
依题意，在第一次摸到白球的情况下，口袋中有3个黑球和1个白球（除颜色外完全相同），所以 ， ， ， ，
则所求概率为 .
故选：B
6．已知定义在R上的函数 满足 ， 为偶函数且 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为 为偶函数，所以 ，所以 ．
又 ，所以 ，
所以 ，所以函数 的一个周期为4，
所以 ．故选A．
7．如图， 为圆锥 底面圆的一条直径，点 为线段 的中点，现沿 将圆锥 的侧面展开，所得
的平面图形中 为直角三角形，若 ，则圆锥 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，作出展开图，可得 为锐角，故 ，
由 ，可得 ，即 为等边三角形，所以 ，
则圆锥的侧面积为 ，底面积 ，所以圆锥 的表面积为 .
故选：B．
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，A是双曲线C的左顶点，以 为
直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】方法一：依题意，易得以 为直径的圆的方程为 .
又由双曲线 ，易得双曲线C的渐近线方程为 .
当 时，如图，设 ，则 .
联立 ，解得 或 ，所以 ， .
又因为 ，所以 轴.
所以 ， .所以 ，所以 .因为 ，所以 .
同理，当 时，亦可得 .
故双曲线C的离心率为 ，故选C.
方法二（极化恒等式）：易得坐标原点O为线段PQ的中点，且 ，
所以 ，所以 ，所以
，故选C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在10月2日下午女子跳水1米板决赛开
赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据制作成了如图所示的饼图，
则关于这组数据的说法正确的是（ ）
A．平均数约为38.6 B．中位数约为38.75
C．第40百分位数约为35.6 D．上四分位数约为42.6
【答案】ABC
【解析】对于A，由饼图可知，平均数为： 故A正确；
对于B， ，故中位数在 这一组，设中位数为 ，
则 ，解得 ，故B正确；
对于C， ，故第40百分位数在 这一组，设第40百分位数为 ，则 ，解得 ，故C正确；
对于 D，上四分位数即第 75百分位数， ，故第 75百分位数在
这一组，
设第75百分位数为 ，则 ，解得 ，故D错误；
故选：ABC
10．函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A． ，
B．不等式 的解集为 ，
C． 为 的一个零点
D．若A，B，C为 内角，且 ，则 或
【答案】BCD
【解析】A选项，由图象可知： ，
代入得： ，即 ，
又 ， .
,代入得： ，即 ，，解得： Z)，
由图象可知：周期 ，
解得 , . 故A错误.
B选项，由 得： ，
由正弦曲线得： ，
Z)，故B正确.
C选项， ，
所以， 是 的一个零点，故C正确.
D选项，因为 是三角形的内角，且
所以 ，或 ，
即 ，或 ，
因此， ，或 ，故D正确.
故选：BCD.
11．已知抛物线 ，过 的焦点 作直线 ，若 与 交于 两点， ，
则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C． 或
D．线段 中点的横坐标为
【答案】ABD【解析】抛物线 的焦点 在 轴上，
过 作直线 ，可知 ，则 ，得 ，A选项正确；
抛物线方程为 ，直线 的方程代入抛物线方程，得 .
设 ，由韦达定理有 ， ，
，得 ，解得 或 ，
，则 或 ，C选项错误；
则 ，线段 中点的横坐标为 ，D选项正确；
， ，B选项正确.
故选：ABD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在 的展开式中， 的系数为 .
【答案】
【解析】因为 的展开通项公式为 ，
的展开通项公式为 ，
所以取 ，得 的系数为 .
13．若函数 的图像关于原点对称，则m＝ ．
【答案】 /
【解析】因为 的图像关于原点对称，则 为奇函数，且 为奇函数，则 为偶函数，即 ， ，
则 ，则 ．
14．如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的
古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线
的方程为 ，第n根弦（ ，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l：
交于点 和 ，则 .
（参考数据：取 .）
【答案】914
【解析】由题意可知： ，
则 ，
可得 ，
两式相减可得：
，所以 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（本小题满分13分）设 的内角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 的周长.
【解】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ， ………………………1分
且 ，
即 ，
整理可得 ， ………………………3分
且 ，则 ，可得 ，
即 ， ………………………4分
且 ，所以 . ………………………5分
（2）因为 的面积为 ，则 ， ……………6分
又因为 ，
可得 ， ………………………8分
由正弦定理 ，可得 ，
其中 为 的外接圆半径，
则 ，即 ，
可得 ，则 ， ………………………10分由余弦定理可得 ，
即 ，解得 ， ………………………12分
所以 的周长为 . ………………………13分
16．（本小题满分15分）“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称，为了解不同
年龄的游客对“村超”的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过40周岁的游客和年龄不
超过40周岁的游客各100人作为样本，每位参与调查的游客都对“村超”给出满意或不满意的评价．调查
结果如下表．
满意度
年龄 合计
满意 不满意
不超过40周岁 60 40 100
超过40周岁 80 20 100
合计 140 60 200
(1)根据列联表中的数据，在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为游客对“村超”的满意度与年龄
有关吗？
(2)若将频率视为概率，该组织从某日所有游客中随机抽取3名游客进行现场采访，记抽取的3名游客中对
“村超”满意的人数为 ，求随机变量 的分布列与数学期望．
附： ．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解】（1）零假设为 ：游客对“村超”的满意度与年龄互相独立，
即游客对“村超”的满意度与年龄无关联，
， ………………………3分
依据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，即认为游客对“村超”的满意度与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于 ． ………………5分
（2）由题可知，参与调查的游客都对“村超”给出满意评价的概率为 ， …………………6分
则 ，随机变量 可取 ， ………………………7分
，
，
，
， ………………………11分
所以 的分布列为：
0 1 2 3
0.027 0.189 0.441 0.343
………………………13分
数学期望 ． ………………………15分
17．（本小题满分15分）已知三棱柱 ，侧面 是边长为2的菱形， ，侧面
四边形 是矩形，且平面 平面 ，点D是棱 的中点．
(1)在棱AC上是否存在一点E，使得 平面 ，并说明理由；
(2)当三棱锥 的体积为 时，求平面 与平面 夹角的余弦值．【解】（1）解：存在，当E为AC的中点时，AD∥平面 ， ………………………1分
理由如下：如图所示：
取 的中点F，连接EF，DF ，
∵DF是 的中位线，
∴ ， ………………………2分
又 ，
∴ ，
∴四边形DFEA是平行四边形 ， ………………………4分
∴AD∥EF，
又 面 ， 面 ，
∴AD∥平面 ． ………………………6分
（2）∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
又∵平面 平面 ，
∴ 面 ， ………………………7分
∵ ，∴ ， ………………………8分
∵侧面 是菱形， ，
∴ 是正三角形 ，
∵E是AC的中点，
∴ ， ………………………9分
以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
则 ， ， ………………………10分
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，得 ，
令 ，则 ， ，
∴ ， ………………………12分
又平面 的一个法向量 ， ………………………13分∴ ，
∴平面 与平面 的夹角的余弦值是 . ………………………15分
18．（本小题满分17分）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)若 有两个不同的零点 ， ，求 的取值范围．
【解】（1）当 时， ，则 ， ………………………1分
故 ， ………………………3分
故 在 处的切线方程为 ………………………4分
（2） ， ………………………5分
当 时，令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
故此时 在 单调递增，在 的单调递减， ………………………6分
当 时， 在 上恒成立，故此时 在 单调递增， ……………7分
当 时，令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
故此时 在 单调递增，在 的单调递减， ………………………8分
当 时， ，故 在 的单调递减，在 单调递增， …………9分当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故此时 在 的单调递减，在 单调递增， ………………………10分
（3） ，
令 ，则 ， ………………………12分
记 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 单调递增，在 单调递减，
且 ，当 时 恒成立， ………………………15分
要使 有两个零点，则 由两个交点，
故 ，解得 ………………………17分
19．（本小题满分17分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： 的离心率为 ，
直线l与Γ相切，与圆O： 相交于A，B两点.当l垂直于x轴时， .
(1)求Γ的方程；
(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，
则记此最大值为 .（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当 的面积最大时，求 ；
（ⅱ）若 ， 均存在，记两者中的较大者为 .已知 ， ， 均
存在，证明： .
【解】（1）因为当 垂直于 轴时， ，
而直线 与Γ相切，
则 ，解得 ， ………………………2分
又椭圆 的离心率为 ，
则椭圆 的半焦距 ， ， ………………………4分
所以 的方程为 . ………………………5分
（2）（i）当 的斜率存在时，设 的方程为： ，
由 消去 得： ，
由直线 与椭圆 相切，得 ，
整理得 ， ………………………7分
于是圆心 到直线 的距离 ， ………………………8分
则 的面积为 ， ………………9分
设 ，求导得 ，
当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减，
因此当 时， 取得最大值，此时 ， ………………………11分
当 的斜率不存在时，由（1）知， ，
由 ，得 ，则 .
对于线段 上任意点 ，连接 并延长与圆 交于点 ，则 是圆上与 最近的点，
当 为线段 的中点时， 取得最大值 ，所以 . ………………………13分
（ii）因为 均存在，
设点 ，且 ，
设 是集合 中到 的最近点，根据对称性，不妨设 ，
令点 到集合 的最近点为 ，点 到集合 的最近点为 ，
因为 是集合 中所有点到集合 最近点距离的最大值，则 ，
因为 是集合 中所有点到集合 最近点距离的最大值，则 ，
因此 ，
而在坐标平面中， ，又点 是集合 中到点 的最近点，则 ，所以 . ………………………17分
