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数学终极押题猜想（全国一卷通用）（解析版）_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年05月高三试卷_260517数学终极押题猜想（全国一卷通用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

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文档文本内容

2026 年高考数学终极押题猜想
目 录
押题猜想01 复数-复数性质..........................................................................................................2
押题猜想02 平面向量-投影向量、最值问题..............................................................................6
押题猜想03 三角函数-图象与性质、 𝛚范围求解...................................................................15
押题猜想04 数列-数列的性质、数列构造................................................................................26
押题猜想05 计数原理-排列组合、二项式定理........................................................................36
押题猜想06 空间向量与立体几何-截面、翻折、动点最值问题............................................40
押题猜想07 概率统计-用样本估计总体、统计、条件概率....................................................59
押题猜想08 圆锥曲线-定点定值问题........................................................................................71
押题猜想09 函数与导数-函数的性质、零点问题、不等式恒成立..............................................88押题猜想 01 复数-复数性质
试题前瞻·能力先查
限时：3min
uuur uuur
【原创题】（单选题）已知复数z对应的向量为OZ(O为坐标原点)，OZ与实轴正向的夹角为120°，且复数
z的模为2，则复数z为（ ）
A．1+ 3i B．2 C．-1- 3i D．-1+ 3i
【答案】D
uuur uuur
【分析】设复数z=x+yi，根据题意可得x=|OZ|cos120°，y=|OZ|sin120°，即可解决.
【详解】设复数z=x+yi，
uuur
∵向量OZ与实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2，
uuur æ 1ö uuur 3
∴x=|OZ|cos120°=2´ç- ÷=-1，y=|OZ|sin120°=2´ = 3，
è 2ø 2
∴z=-1+ 3i．
故选:D.
分析有理·押题有据
复数连续两年都只作为单选题出现，作为新教材后出现的对复数定义相关的考察内容，今年很有可能
再以多选题的形式出现或者结合三角函数考察复平面的内容，虽然本身内容不难，但在多选题中出现也是
要求考生对于复数的相关内容要有足够的熟练度和对复平面的了解，还有就是运算能力的要求。在这我主
要以复数运用的练习来出题。做到对简单知识点要有掌握的全面性和运算的仔细性进行预测和练习。
密押预测·精练通关
一、单选题
z-5
1．（2026·陕西商洛·一模）若复数z满足 =-3i，则z的虚部为（ ）
z
3 3 1 15
A．- i B．- C． D．
2 2 2 4
【答案】B
z-5 5 51-3i 1 3
【详解】因为 =-3i，所以z1+3i=5，z= = = - i.
z 1+3i 10 2 2
3
所以z的虚部是- ．
2ì 2x, x£0
ï
2．（2026·甘肃兰州·一模）已知函数 f x=í x （i是虚数单位），则 f f -1 =（ ）
ï , x>0
î1+i
1 1 1 1
A． - i B． + i C．1-i D．1+i
4 4 4 4
【答案】A
1
【详解】由题知， f -1=2-1 = ，
2
1 1 1
1-i 1-i
所以 f f -1 = f æ ç 1ö ÷= 2 = 2 = 2 = 1 - 1 i .
è2ø 1+i 1+i1-i 2 4 4
3．（2026·广东深圳·一模）复数z=sin1+icos1，则|z|=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】依题意， z = sin21+cos21=1.
4．（2026·福建泉州·一模）若复数z满足|z|2=iz，则z=（ ）
A．-i B．i C．0或-i D．0或i
【答案】C
【详解】设复数z=a+bia,bÎR，则 z2 =a2+b2，
所以a2+b2 =ia+bi=-b+ai，
ìa=0
所以í ，解得a=0,b=0或b=-1，
îa2+b2 =-b
所以z=0或z=-i.
二、多选题
5．（2026·浙江·模拟预测）设z,z 为复数，其中z =a+biab¹0，则下列正确的是（ ）
1 2 1
A．z2 =∣z∣2 B．∣z ×z∣=∣z∣∣× z∣
1 1 1 2 1 2
1
C．若 ÎR，则z ÎR D．若z2 =z ×z ，则z =z
z 2 1 1 2 1 2
2
【答案】BC
【分析】根据复数运算和模长运算判断A错误，C正确；根据复数性质判断B正确；通过举反例判断D错
误.
【详解】选项A，计算得：z2 =(a+bi)2 =  a2-b2 +2abi，|z |2=a2+b2，
1 1
因为ab¹0，所以z2的虚部2ab¹0，不可能等于实数|z |2，故A错误；
1 1选项B，|z ×z |=|z |×|z |是复数模的基本性质，对任意复数都成立，故B正确；
1 2 1 2
1 z m-ni
选项C，设z =m+nim,nÎR，则 = 2 = ，
2 z |z |2 m2+n2
2 2
1 n
若 ÎR，则虚部- =0，得n=0，故z =mÎR，故C正确；
z m2+n2 2
2
选项D，z =a+bi,ab¹0，故z ¹0，由z2 =z z 两边约去z 得z =z ，不一定有z =z ，
1 1 1 1 2 1 1 2 1 2
例如z =z =1+i满足条件，但z =1-i¹ z ，故D错误.
1 2 1 2
a+i
6．（2026·广东·模拟预测）已知复数z 满足 z -2 =1，复数z = （aÎR，i为虚数单位），则下列选
1 1 2 1-i
项正确的是（ ）．
A．若a=1，则z 在复平面内对应的点位于第一象限
2
B．复数z 在复平面内对应点的轨迹是圆心为2,0，半径为1的圆
1
C． z 的最大值为3
1
D．若z 的实部与虚部互为相反数，则a=0
2
【答案】BCD
【分析】根据复数的几何意义、复数的乘除计算逐项判断即可.
1+i
1+i2
2i
【详解】因为a=1时，复数z = = = =i，
2 1-i 1-i1+i 2
所以z 在复平面内对应的点位于虚轴上，A错误；
2
因为复数z 满足 z -2 =1，所以复数z 在复平面内对应点的轨迹是圆心为2,0，半径为1的圆，B正确；
1 1 1
当复数z 的点位于3,0时， z 取最大值为3，C正确；
1 1
a+i a+i1+i a-1+a+1i
由于z = = = ，若z 的实部与虚部互为相反数，
2 1-i 1-i1+i 2 2
a-1 a+1
则 + =0，即a=0，D正确.
2 2
7．（2026·山西运城·一模）已知复数z=2+7i，且2z+az +b=0（a,bÎR），则（ ）
A．a=2 B．a=-2 C．b=-8 D．b=8
【答案】AC
【分析】根据复数的加减法运算将已知等式化简，根据复数相等则虚部、实部分别相等列方程组求解即可.
【详解】因为z=2+7i，所以z =2-7i，
又2z+az +b=0，所以22+7i+a2-7i+b=0，即4+2a+b+14-7ai=0，ì4+2a+b=0 ìa=2
所以í ，解得í .
î14-7a=0 îb=-8
8．（2026·山东滨州·一模）在量子计算的理论研究中，量子比特的相位演化可以用复指数形式描述．瑞士
数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：eix =cosx+isinx，为量子态的叠加与演化提供了重要的数学
基础．其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数
与指数函数的关联．依据欧拉公式，则下列结论正确的是（ ）
π 1
A． i的虚部为
e6 2
π
B． i在复平面内对应的点位于第二象限
e4
eix-e-ix
C．isinx=
2
π 2
D．若
z =e3
i
,z
=eqi在复平面内分别对应点Z
1
,Z
2
，则
V
OZ
1
Z
2
面积的最大值为
1 2 2
【答案】AC
π i 3 1 π i 2 2
【分析】对于A：根据题意可得e6 = + i，即可得虚部；对于B：根据题意可得e4 = + i，结合
2 2 2 2
复数的几何意义分析判断；对于C：根据题意结合诱导公式分析判断；对于D：由题意可得
æ1 3ö
Z ç , ÷,Z cosq,sinq，结合面积公式分析判断.
1ç2 2 ÷ 2
è ø
【详解】对于选项A：因为e π 6 i =cos π +isin π = 3 + 1 i，
6 6 2 2
π 1
所以 i的虚部为 ，故A正确；
e6 2
π i π π 2 2
对于选项B：因为e4 =cos +isin = + i，
4 4 2 2
æ 2 2ö
π
所以 i在复平面内对应的点为ç , ÷，位于第一象限，故B错误；
e4 ç 2 2 ÷
è ø
对于选项C：因为eix =cosx+isinx，则e-ix =cos-x+isin-x=cosx-isinx，
eix-e-ix
可得eix -e-ix =2isinx，即isinx= ，故C正确；
2
对于选项D：因为z =e π 3 i =cos π +isin π = 1 + 3 i，z =eqi =cosq+isinq，
1 3 3 2 2 2
则 z 1 =e π 3 i ,z 2 =eqi在复平面内分别对应点Z 1 æ ç ç è 1 2 , 2 3ö ÷ ÷ ø ,Z 2 cosq,sinq，
π
可得OZ = OZ =1，ÐZOZ =q- ，
1 2 1 2 31 1
则 OZ Z 面积为S = OZ ×OZ sinÐZOZ £ ，
V 1 2 VOZ1Z2 2 1 2 1 2 2
当且仅当sinÐZOZ =1时，等号成立，
1 2
1
所以
V
OZ
1
Z
2
面积的最大值为
2
，故D错误.
三、填空题
9．（2026·广东茂名·一模）已知关于x的方程x2+4x+a=0aÎR的两根在复平面xOy上对应的点分别为P
和Q，若△POQ是等边三角形，则a=__________.
16
【答案】
3
【分析】由题可知，方程的两根应为虚根，可设方程x2+4x+a=0aÎR的两复根为x =-2+bi，x =-2-bi，
1 2
根据条件可得边长之间关系式，进而得解.
【详解】根据题意设方程的两虚根为x =-2+bi，x =-2-bi，b为实数，
1 2
Q
方程的两根在复平面上对应的点分别为P和Q，PQ//y轴，
2
又△POQ是等边三角形，高为2，则PQ=2b = ´2，
tan60o
2 3 2 3 2 3
解得b=± ，则x =-2+ i,x =-2- i；
3 1 3 2 3
16
则xx = .
1 2 3
16
故答案为 ．
3
押题猜想 02 平面向量-投影向量、最值问题
试题前瞻·能力先查
限时：5min
【原创题】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC =6，E，F 分别是BC和CD的中点，若P是矩形ABCD
内一点（含边界），满足 u A u P ur =l u A u E ur +m u A u F ur ，且4l+8m=3，则 u P u E ur × u P u F ur 的最小值为__________.29
【答案】
16
uuur uuur uuur 4 æ3uuurö 8 æ3uuurö uuur 3uuur uuur 3uuur
【分析】AP=lAE+mAF = lç AE÷+ mç AF÷，设AM = AE，AN = AF，则P，M ，N 三点共
3 è4 ø 3 è8 ø 4 8
线，即点P在直线MNMN∥AB上，且位于矩形内部（含端点），设EF的中点为Q，则
uur uuur uuur2 1uuur2 uuur
PE×PF =PQ - EF ，只需求 PQ 的最小值即可.
4
4 8
【详解】由4l+8m=3，得 l+ m=1，
3 3
uuur uuur uuur 4 æ3uuurö 8 æ3uuurö
所以AP=lAE+mAF = lç AE÷+ mç AF÷.
3 è4 ø 3 è8 ø
uuur 3uuur uuur 3uuur
取AM = AE，AN = AF，则P，M ，N 三点共线，
4 8
即点P在直线MNMN∥AB上，且位于矩形内部（含端点），如图.
uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 1uuur2
设EF的中点为Q，则PE×PF =(PQ+QE)×(PQ-QE)=PQ - EF .
4
因为AB=4，BC =6，E，F 分别是BC和CD的中点，
uuur uuur CE BE 3 3 9
所以 EF = 13，当PQ^MN时， PQ 最小，且最小值为 + = + = ，
2 4 2 4 4
29
uuur uuur
所以PE×PF 的最小值为 .
16
29
故答案为：
16
分析有理·押题有据
平面向量作为高中应用型的知识点，前年只是考察了向量的简单坐标运算，去年考察的是情景题以新
定义的形式考察，今年大概率会结合几何内容考察相对难一点的知识，所以重点掌握向量的基本定理、极
化恒等式求范围、等和线的线性转化以及奔驰定理结合三角形重心的相关内容。当然类似于新教材出现的
投影向量的知识点也是考察的重点，在近3年的高考中全国一卷还未出现过。
密押预测·精练通关
一、单选题
uuur 3uuur
1．（2026·天津河东·一模）如图所示，正方形ABCD内有一个动点E，AE^DE，DF = DC，当A，E，
4uuur uuur
F 三点共线时，DE的延长线与BC交于点G，正方形边长为2，则EF×EG的最小值为（ ）
7-5 2 5 2-7
A．0 B． C． D．1
2 2
【答案】B
【分析】以A为坐标原点，AB,AD所在直线建立平面直角坐标系，根据AE^DE可得到点E的轨迹方程
x2+y-12 =1x>0，求出A，E，F 三点共线时点E坐标，进而得到点G坐标，设Ecosq,1+sinq，表
uuur uuur
示出EF×EG，利用辅助角公式即可求出答案.
【详解】以A为坐标原点，AB,AD所在直线建立如图所示平面直角坐标系，
æ3 ö
则A0,0，D0,2，Fç ,2÷，
è2 ø
uuur uuur
设Ex,yx>0，则AE=x,y，DE=x,y-2，
uuur uuur
因为AE^DE，所以AE DE=x2+y2-2y=0，
g
所以点E的轨迹方程为x2+y-12 =1x>0，
4
直线AF 方程为y= x，
3
ì 24
ìx2+y-12 =1 ï x=
ï ï 25 ìx=0
联立í 4 ，解得í 或í （舍去），
ïy= x ïy= 32 îy=0
î 3
ïî 25
æ24 32ö
所以当A，E，F 三点共线时，Eç , ÷，
è25 25ø
3
此时直线DE方程为y=- x+2，
41 æ 1ö
令x=2，解得y= ，所以Gç2, ÷，
2 è 2ø
æ π πö
设Ecosq,1+sinq，其中qÎç- , ÷，
è 2 2ø
uuur æ3 ö uuur æ 1 ö
则EF =ç -cosq,1-sinq÷，EG=ç2-cosq,- -sinq÷，
è2 ø è 2 ø
uuur uuur 7 1 1
所以EF×EG=3- cosq+cos2q- - sinq+sin2q
2 2 2
7 7 1 7 5 2
= - cosq- sinq= - cosq-j，
2 2 2 2 2
7 2 2
其中cosj= ，sinj= ，
10 10
所以当cosq-j=1，即cosq= 7 2 ，sinq= 2 时， u E u F ur × u E u G ur 取得最小值，最小值为 7-5 2 .
10 10 2
2．（25-26高三下·安徽·开学考试）2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡
长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为
1000米.若汽车从A地出发，以5 2km /h 的静水速度向对岸航行，水流速度为5km/h，要使航程最短，大
约需要（ ）时间（单位：min）
A．4 3 B．6 2 C．6 D．12
【答案】D
【分析】由汽车实际行驶方向应与两岸垂直，结合向量加法的平行四边形法则，即可求解.
【详解】设点B是长江对岸一点，AB与江岸垂直，当汽车实际沿AB方向行驶时，航程最短.
ur uur r ur uur
设汽车的速度v ，水流的速度v ，实际速度v=v +v .
1 2 1 2由图可知ÐABC =90°，
\vr = v ur2 - v uur2 =  5 2 2 -52 =5km/h.
1 2
1000
则航行时间为 ´60=12（min）.
5000
3．（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）如图，平行四边形OABC中，OA=5,OC =4，作如下图所示网格，使
uuur uuur uuur uuur
得每个小平行四边形都是菱形，若OA×OC =-10，则CD×PQ＝（ ）
15 9 7 7
A． B．- C．- D．
2 2 2 2
【答案】C
r r
【分析】选用a,b为基底向量，即可根据向量的线性运算以及数量积的运算律求解.
uuur uuur r r uuur uuur r r r r 1
【详解】设与OA,OC方向相同的单位向量分别为a,b，则OA×OC =5a×4b=-10，故a×b=- ，由于
2
uuur r r uuur r r uuur uuur r r  r r r2 r r r2 æ 1ö 7
CD=a-2b,PQ=2a+3b，故CD×PQ= a-2b × 2a+3b =2a -a×b-6b =2-ç- ÷-6=- .
è 2ø 2
uuur uuur uuur
4．（2026·浙江·模拟预测）已知点O是
V
ABC的重心，点P是
V
ABC所在平面内一点.若OP=x
1
OA+y
1
OB，
uuur uuur uuur
且OP=x CA+y CBx,x ,y ,y ÎR，则（ ）
2 2 1 2 1 2
A．x =3x ,y =3y B．x =3x,y =3y
1 2 2 1 2 1 1 2
C．x +y =3x +y  D．x +y =3x +y 
1 1 2 2 2 2 1 1
【答案】C
【分析】利用重心的性质及平面向量基本定理即可求解.
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
【详解】因为点O是
V
ABC的重心，所以OA+OB+OC =0，即OC =- OA+OB ，
O uu P ur =x C uu A ur +y C uu B ur =x  O uu A ur -O uu C ur +y  O uu B ur -O uu C ur =x O uu A ur -x +y O uu C ur +y O uu B ur
2 2 2 2 2 2 2 2
=x O uu A ur +y O uu B ur +x +y  O uu A ur +O uu B ur =2x +y O uu A ur +2y +x O uu B ur ，
2 2 2 2 2 2 2 2
又O uu A ur ,O uu B ur 不共线，所以 ì í x 1 =2x 2 +y 2 ，故x +y =3x +y  .
îy =x +2y 1 1 2 2
1 2 2
故选：C
uuuur uuuur
5．（2026·辽宁盘锦·一模）已知P，Q是双曲线x2-y2 =1右支上两点，且满足PM×QM =0（其中M3,0），则M uuu P r ×Q uu P ur 最小值为（ ）
7
A． B．2 C．4 D．12-6 2
2
【答案】A
uuur uuur
【分析】设P(x,y ),Q(x ,y )，根据向量数量积的坐标运算，将MP×QP问题转化为关于x的二次函数求最
1 1 2 2 1
值问题，结合题干求解即可.
【详解】设P(x,y ),Q(x ,y ),M(3,0)，
1 1 2 2
uuuur uuuur
由PM×QM =0，得(x -3)(x -3)+y y =0Þ y y =-(x -3)(x -3)，
1 2 1 2 1 2 1 2
uuur uuur
MP×QP=(x -3,y )×(x -x ,y -y )
1 1 1 2 1 2
=(x -3)(x -x )+y (y -y )
1 1 2 1 1 2
=x2-xx -3x +3x +y2-y y
1 1 2 1 2 1 1 2
代入y2 =x2-1和y y =-(x -3)(x -3)，
1 1 1 2 1 2
uuur uuur
得MP×QP=2x2-6x +8，P在双曲线右支，故x ³1.
1 1 1
3
设二次函数 f(x)=2x2-6x+8，对称轴为x= ³1，
2
æ3ö æ3ö 2 3 7
所以 f(x)最小值为 f ç ÷=2ç ÷ -6× +8=
è2ø è2ø 2 2
3 5
验证可知x = 时，y2 = ，存在符合条件的Q在右支，
1 2 1 4
7
故最小值为 .
2
uuuur 1uuur uuur 1uuur
6．（2026·浙江宁波·二模）如图所示，已知
V
ABC，点M ，N 满足AM = AB，AN = AC，BN 与CM
2 3
uuur uuur
交于点P，AP交BC于点D，AP=tAD，则（ ）
uuur 1uuur 2uuur uuur 2uuur
A．AP= AB+ AC B．BP= BN
5 5 5
2 uuur 2uur 2uuur
C．t = D．CP= CA+ CB
5 5 5
【答案】D
uuur uuuur uuur luuur uuur
【详解】对于A，由C,P,M 共线，存在l使 AP=lAM +1-lAC = AB+1-lAC，
2uuur uuur uuur uuur 1-muuur
由 B,P,N共线，存在m使AP=mAB+1-mAN =mAB+ AC，
3
联立系数相等：
ìl
=m
ï ï2 4 2 uuur 2uuur 1uuur
í ，解得：l= ， m= ，因此：AP= AB+ AC，故选项 A 错误；
1-m 5 5 5 5
ï1-l=
ïî 3
uuur uuur uuur æ2uuur 1uuurö uuur 3uuur 1uuur
对于B，BP= AP-AB=ç AB+ AC÷-AB=- AB+ AC，
è5 5 ø 5 5
uuur uuur uuur 1uuur uuur uuur 1uuur
BN = AN-AB= AC-AB=-AB+ AC
3 3
uuur 2uuur
若BP= BN，则：
5
3uuur 1uuur 2æ uuur 1uuurö 2uuur 2uuur
- AB+ AC = ç-AB+ AC÷=- AB+ AC，显然系数不相等，选项B错误；
5 5 5è 3 ø 5 15
对于C，由于 u A u P ur =t u A u D ur ，且D在 BC上，故设 u A u D ur =k u A u B ur +1-k u A u C ur ，
uuur uuur uuur uuur
则AP=tAD=tkAB+t1-kAC，
ì 2
tk =
ï
uuur 2uuur 1uuur ï 5 3
结合 AP= AB+ AC，得：í ，解得t = ，选项C错误；
5 5 1 5
ït1-k=
ïî 5
uuur uuur uuur æ2uuur 1uuurö uuur 2uuur 4uuur
对于D，由CP= AP-AC =ç AB+ AC÷-AC = AB- AC，
è5 5 ø 5 5
uuur 2uuur uuur 4uuur 2uuur 2uuur
所以CP= CB-CA - AC = CA+ CB，故选项 D 正确.
5 5 5 5
7．（2026·辽宁抚顺·一模）已知向量ar=x,1,b r =1,-2，若向量ar+b r ,ar-b r 在ar上的投影向量相等，则x=
（ ）
1
A．2 B．1 C．- D．-1
2
【答案】A
【分析】根据向量投影相等的条件，推导出a r ^b r ，再利用向量垂直的数量积为0列方程求解x.
【详解】由题意得
 ar+b r ×ar
×
ar
=
 ar-b r ×ar
×
ar
，即
 ar+b r ×ar=  ar-b r ·ar
，
ar ar ar ar
整理得ar×b r =0，所以x+1´-2=0，解得x=2.
二、多选题
8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正三棱锥P-ABC中，AB=3，D是PC中点，E是CB中点，点uuur 1uuur uuur 1uuur
F，G满足FP= AF，GB= AG，直线DF，GE相交于H，下列说法正确的是（ ）
2 2
uuur uuur uuur uuur
A．AB×PC=0 B．AB×FG=-3
uuur uuur uuur 1uuur 2uuur 1uuur
C．AC与CH 是共线向量 D．GD= CA+ CB+ CP
3 3 2
【答案】AC
uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】以 PA,PB,PC 为一组基底，结合数量积的运算法则可判断A；B利用数量积的定义得出AB×FG>0
判断B；利用平面ABC
I
平面PAC = AC以及HÎFD
I
GE判断A,C,H 三点共线可判断C；利用向量的加
减运算判断D.
【详解】对于A，设PA=PB=PC =a，ÐAPB=ÐAPC =ÐCPB=q，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则PA×PB=PA×PC=PC×PB=a2cosq，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
于是AB×PC = PB-PA ×PC =PB×PC-PA×PC =a2cosq-a2cosq=0，故A正确；
uuur 1uuur uuur 1uuur uuur uuur
对于B，因为FP= AF，GB= AG，所以FG//PB，则AB,FG夹角等于ÐABP，
2 2
uuur uuur
因为PA=PB，则ÐABP为锐角，由数量积的定义可知AB×FG>0，故B错误；
对于C，因为HÎFD，FDÌ平面PAC，则HÎ平面PAC，
同理HÎGE，GEÌ平面ABC，则HÎ平面ABC，
又平面ABC
I
平面PAC = AC，故HÎAC，即A,C,H 三点共线，故C正确；
uuur uuur uuur uuur 1uuur uuur 1uuur
对于D，因GD=GB+BC+CD= AB-CB+ CP
3 2
1uuur uuur uuur 1uuur 1uuur 2uuur 1uuur
= CB-CA -CB+ CP=- CA- CB+ CP，故D错误.
3 2 3 3 2
9．（2026·四川·模拟预测）已知抛物线C:y2 =2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线y= 3(x-1)交C于
A，B两点，点A在第一象限，过点A，B作C的准线l的垂线，垂足分别为A，B ，则（ ）
1 1
A．l的方程为x=-1 B．
V
AFA
1
为正三角形
uuur uuur 4 3
C．FA ×FB <0 D．△ABF的面积为
1 1 1 3
【答案】ABDp p
【详解】抛物线C:y2 =2px的焦点F( ,0)在直线y= 3(x-1)上，则 =1，解得p=2，
2 2
对于A，抛物线C:y2 =4x的准线l的方程为x=-1，A正确；
ì 1
ì ïy= 3(x-1) ì ïx=3 ï ï x= 3
对于B，由í ，解得í 或í ，A(3,2 3),A(-1,2 3)，
ïîy2 =4x ïîy=2 3 ï 2 3 1
y=-
ï
î 3
|A
1
F|=4=|AF|=|AA
1
|，
V
AFA
1
为正三角形，B正确；
2 3 uuur uuur 2 3 uuur uuur
对于C，由选项B得B(-1,- )，FA =(-2,2 3),FB =(-2,- )，FA ×FB =0，C错误；
1 3 1 1 3 1 1
4 1 4 3
对于D，点A到直线AB的距离d =|AF|sin60o =2 3，|BF |= ，S = |BF|×d = ，D正确.
1 3 VA1BF 2 3
10．（2026·河北·一模）已知向量ar=(1,-2)，b r =(-1,1)，cr=(2,3)，则下列说法正确的是（ ）
A．|ar+cr|= 10 B．ar在b r 上的投影向量为- 2 b r
3
C．b r 与cr夹角的余弦值为 26 D．若ar与b r +lcr垂直，则实数 l= 3
26 4
【答案】AC
【详解】对A，ar+cr=3,1，则|ar+cr|=
32+12 = 10，故A正确；
r r
a×br -1-2r 3r
对B，ar在b r 上的投影向量为
r2
b=
2
b=-
2
b ，故B错误；
b
r r
b×c -2+3 26
对C，b r 与cr夹角的余弦值为 r r = = ，故C正确；
b c -12+12´ 22+32 26
对D，b r +lcr=(-1,1)+l(2,3)=2l-1,3l+1，若ar与b r +lcr垂直，
3
则1´2l-1-2´3l+1=0，解得l=- ，故D错误.
4
三、填空题π uuur uuur uuur
11．（2026·山东滨州·一模）已知点P为
V
ABC所在平面内一点，ÐA= , PA = PB = PC ，若
4
uuur uuur uuur
PA=lPB+mPC，则l+m的取值范围为__________．

【答案】é- 2,1
ë
π
【分析】先由条件可得ÐBPC= ，再建立平面直角坐标系得l2+m2 =1，再进一步判断点A在优弧BC上，
2
uuur π
PA落在角qÎ( ,2π)的终边上，再用三角函数来解决取值范围问题.
2
uuur uuur uuur
【详解】由 PA = PB = PC ，所以点P为
V
ABC的外心，
π π π
因为ÐA= ，所以ÐBPC =2´ = .
4 4 2
uuur uuur uuur
设 PA = PB = PC =r，再以点P为原点，分别以PB,PC所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系，如图：
uuur uuur
则B(r,0),C(0,r),PB=(r,0),PC =(0,r)，
所以 u P u A ur =l u P u B ur +m u P u C ur =lr,0+0,mr=lr,mr，
uuur
又因为 PA =r，所以(lr)2+(mr)2 =r2，即l2+m2 =1.
π uuur π
又因为ÐA= ，所以点A在优弧BC上，所以PA落在角qÎ( ,2π)的终边上，
4 2
由三角函数的定义有lr=rcosq,mr=rsinq，即l=cosq,m=sinq，
π π π 3π 9π
所以l+m=cosq+sinq= 2sin(q+ )，又因为qÎ( ,2π)，所以q+ Î( , )，
4 2 4 4 4
π 2 π
sin(q+ )Î[-1, )， 2sin(q+ )Î[- 2,1)，所以l+mÎ[- 2,1).
4 2 4
押题猜想 03 三角函数-图象与性质、 𝛚范围求解
试题前瞻·能力先查
限时：5min【原创题】（多选题）下列关于函数. f x=sin2x+2sinxxÎR的说法正确的是（ ）
π
A． f x为奇函数 B．x= 是 f x图象的一条对称轴
2
é 3 3 3 3ù
C． f x为周期函数，且最小正周期为π D． f x的值域为ê- , ú
êë 2 2 úû
【答案】AD
【分析】利用奇偶性定义判断A，利用函数对称性与周期性的定义判断BC；利用导数判断D.
【详解】对于 A，f -x=sin-2x+2sin-x=-sin2x-2sinx=-sin2x+2sinx=-f x，\f x为奇函数，
故A正确.
æπ ö é æπ öù æπ ö
对于B， f ç +x÷=sin ê 2ç +x÷ú +2sinç +x÷=-sin2x+2cosx，
è2 ø ë è2 øû è2 ø
æπ ö é æπ öù æπ ö
f ç -x÷=sin ê 2ç -x÷ú +2sinç -x÷=sin2x+2cosx，
è2 ø ë è2 øû è2 ø
æπ ö æπ ö π
\f ç +x÷¹ f ç -x÷，\x= 不是 f x图象的一条对称轴，故B错误；
è2 ø è2 ø 2
对于 C， f x+π=siné
ë
2x+πù
û
+2sinx+π=sin2x-2sinx ，\f x¹ f x+π，\π不是 f x的周期，
故C错误，
对于D， f¢x=2cos2x+2cosx=2  2cos2x-1  +2cosx=4cos2x+2cosx-2，
1
令 f¢x=0，即4cos2 x+2cosx-2=0，解得cosx= 或cosx=-1，
2
当cosx=-1时，sinx=0， f x=0，
当cosx= 1 时，sinx=± 3 ， f x=2sinxcosx+2sinx=3sinx，故函数极值为3´ æ ç± 3ö ÷=± 3 3 .
ç ÷
2 2 è 2 ø 2
é 3 3 3 3ù
\f x的值域为ê- , ú，故D正确.
2 2
ë û
分析有理·押题有据
三角函数23年是选择压轴，和一个填空题，单难度都不大，分别是三角恒等变换和求ω的取值范围。
而24年和25年连续两年都是第4题出现的简单的三角恒等变换和图像与性质问题。25年在多选压轴中结
合解三角形考察了三角恒等变换，但不是重点。所以今年很大可能出现在多选题中，且考察三角函数自身
的内容，那只能是结合三角函数的图象考察性质问题，难度不会太大，但想拿满分就需要注意三角函数的
周期性问题和ω的取值范围问题。去年大题考察的是数列，所以今年大概率会是解三角形。所以三角函数
在小题中自身的知识点都很重要，包括和差化积和积化和差都需要熟练。密押预测·精练通关
一、单选题
1．（2026·山西晋中·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点
π
Pcosq,sinq,Qsinq+j,-cosq+j
，若ÐPOQ= ，则sinj=（ ）
3
1 3
A．-1 B．0 C． D．
2 2
【答案】C
【分析】由向量夹角的定义，结合三角恒等变形化简求解即可．
uuur uuur π
【详解】根据题意可知，OP,OQ=ÐPOQ= ，
3
uuur uuur O uu P ur ×O uu Q ur cosqsinq+j-sinqcosq+j
\cosOP,OQ= =
uuur uuur
OP ×OQ 1´1
π 1
=sinq+j-q=sinj=cos = ，
3 2
1
即sinj= ．
2
éπ πù é π πù
2．（2026·海南儋州·一模）已知函数 f x= 3sinwx+coswx(w>0)在
ê
,
ú
上单调递增，且当xÎ
ê
- ,-
ú
ë6 4û ë 3 4û
时， f x£0，则w的取值范围为（）
é2 4ù é 19ù é2 4ù é26 28ù
A．
ê
,
úUê
8,
ú
B．
ê
,
úUê
,
ú
ë3 3û ë 2 û ë3 3û ë 3 3 û
é2 7ù é26 19ù é2 7ù é 28ù
C．
ê
,
úUê
,
ú
D．
ê
,
úUê
8,
ú
ë3 2û ë 3 2 û ë3 2û ë 3 û
【答案】B
【分析】运用辅助角公式将函数化为正弦函数，进而利用正弦函数的单调区间和正负区间分别建立关于ω
的不等式组，通过整数参数描述区间位置并与定义域取交集，最终综合确定ω的取值范围.
æ πö
【详解】利用辅助角公式化简 f x： f x= 3sinwx+coswx=2sinçwx+ ÷,w>0
è 6ø
é π π ù
y=sint的单调递增区间为 - +2kπ, +2kπ ,kÎZ，
ê ú
ë 2 2 û
éπ πù π éwπ π wπ πù
当xÎ , 时，t=wx+ Î + , + ，整个区间需落在某个增区间内，
ê ú ê ú
ë6 4û 6 ë 6 6 4 6û
ì π wπ π
- +2kπ£ +
ï
ï 2 6 6
因此：í ,
wπ π π
ï + £ +2kπ
ïî 4 6 24
化简得：12k-4£w£8k+ ,kÎZ
3
结合w>0：
4 28
若k =0，则0<w£ ，若k=1，则8£w£ ，若k ³2，不等式无解，
3 3
æ 4ù é 28ù
因此wÎç0,
ú
È
ê
8,
ú
è 3û ë 3 û
é π πù π é wπ π wπ πù
当xÎ - ,- 时，t=wx+ Î - + ,- + ，
ê ú ê ú
ë 3 4û 6 ë 3 6 4 6û
要使sint£0恒成立，整个区间需落在π+2nπ,2π+2nπ,nÎZ，
ì wπ π
π+2nπ£- +
ï
ï 3 6
因此：í ，
wπ π
ï- + £2π+2nπ
ïî 4 6
22 5
化简得：-8n- £w£-6n- ,nÎZ，
3 2
结合w>0，分情况讨论：
4 2 7 é2 4ù
当0<w£ 时：取n=-1，得 £w£ ，交集为 , ，
ê ú
3 3 2 ë3 3û
28 26 19 é26 28ù 28 19
当8£w£ 时：取n=-2，得 £w£ ，交集为 , （因为 < ），
ê ú
3 3 2 ë 3 3 û 3 2
é2 4ù é26 28ù
综上，w的取值范围是 ê , úUê , ú .
ë3 3û ë 3 3 û
æ πö æ T ö
3．（2026·陕西商洛·一模）已知函数 f x=sinwx+j çw>0，0<j< ÷的最小正周期为T ，若 f x£ f ç ÷
è 2ø è12ø
éπ πù
对任意的xÎR恒成立，且 f x在区间 ， 上单调递增，则w的取值范围为（ ）
ê ú
ë6 4û
é 28ù é 26ù
A． 6, B． 7,
ê ú ê ú
ë 3 û ë 3 û
æ 3ù é 28ù æ 2ù é 26ù
C．ç0,
úUê
6,
ú
D．ç0,
ú
È
ê
7,
ú
è 4û ë 3 û è 3û ë 3 û
【答案】D
æ T ö π 2
【分析】结合题意得 f ç ÷=1，求得j= ，再结合三角函数的单调性得12k-5£w£8k+ ，kÎZ，最后
è12ø 3 3
结合w>0求解即可.
2π æ T ö æ π ö æ π ö æπ ö
【详解】因为T = ，所以 f ç ÷= f ç ÷=sinçw× +j÷=sinç +j÷=1，
w è12ø è6wø è 6w ø è6 øπ π π π
又0<j< ，所以 +j= ，即j= ，
2 6 2 3
éπ πù π π π π π
又 f x在区间 ， 上单调递增，所以 w+ £wx+ £ w+ ，
ê ú
ë6 4û 6 3 3 4 3
ìπ π π
w+ ³2kπ-
ï
ï6 3 2 2
故í ，kÎZ，解得12k-5£w£8k+ ，kÎZ．
π π π 3
ï w+ £2kπ+
ïî4 3 2
2 2
令k =0得-5£w£ ，又w>0，所以0<w£ ；
3 3
26
令k=1得7£w£ ；
3
æ 2ö 17
当k ³2时，12k-5-ç8k+ ÷=4k- >0，不合题意．
è 3ø 3
æ 2ù é 26ù
综上，w的取值范围为ç0,
ú
È
ê
7,
ú
．
è 3û ë 3 û
1-tanq 3
4．（2026·四川德阳·二模）若 = ，则sin4q-cos4q＝（ ）
1+tanq 3
1 1 3 3
A．- B． C．- D．
2 2 2 2
【答案】C
tan2q-1
【分析】由条件关系求出tanq，根据平方差公式，平方关系结合齐次化方法可得sin4q-cos4q= ，
tan2q+1
由此可求出.
1-tanq 3
【详解】因为 = ，所以 3(1-tanq)= 3(1+tanq)，
1+tanq 3
3- 3
故 tanq= =2- 3
3+ 3
sin2q-cos2q tan2q-1
因为sin4q-cos4q =  sin2q-cos2q  sin2q+cos2q  =sin2q-cos2q= = ，
sin2q+cos2q tan2q+1
又tan2q=(2- 3)2 =7-4 3，
     
7-4 3 -1 2 3-2 3 3 3-2
6-4 3 3-2 3 3
所以sin4q-cos4q= = = = = =- .
 7-4 3  +1 8-4 3 4  2- 3  2  2- 3  -2  3-2  2
二、多选题
æ πö
5．（2026·湖北宜昌·二模）已知函数 f x=coswx+j çw>0，j< ÷的部分图象如图所示，则下列正确的
è 2ø
有（ ）A．w=π
π
B．j=
4
9
C．x= 是函数y= f x的一条对称轴
4
3
D．函数y= f x的图象可以由函数y=sinπx的图象向左平移 个单位得到
4
【答案】ABD
π
【分析】根据函数 f x的图象，利用三角函数的性质，求得 f x=cos(πx+ )，结合三角函数的对称性，
4
以及图象变换，逐项判断，即可求解.
1 5 1 2π
【详解】A，由函数 f x的图象，可得 T = - =1，可得T =2，所以w= =π，所以A正确；
2 4 4 T
1 1 π π
B，由 f( )=0，可得cos(π´ +j)=0，可得 +j= +2kπ,kÎZ，
4 4 4 2
π π π
解得j= +2kπ,kÎZ，因为j< ，所以j= ，所以B正确；
4 2 4
π π 1
C，由 f x=cos(πx+ )，令πx+ =kπ,kÎZ，可得x=k- ,kÎZ，
4 4 4
1 9 5 9
令k- = ，可得k = ÏZ，所以x= 不是函数y= f x的一条对称轴，所以C错误；
4 4 2 4
3
D，将函数y=sinπx的图象向左平移 个单位，
4
3 3π π π π
可得y=sin[π(x+ )]=sin(πx+ )=sin[(πx+ )+ ]=cos(πx+ )，所以D正确.
4 4 4 2 4
1 æ πö 3 æ πö
6．（2026·安徽滁州·一模）已知函数 f(x)=sinx，g(x)=sin4x，h(x)= cosç2x- ÷- sinç2x- ÷ ，
2 è 3ø 2 è 3ø
则（ ）
A． f(x)，g(x)的图象都关于点(π,0)对称
π
B． f(x)，g(x)的图象都关于直线x= 对称
2
π
C．将g(x)的图象向左平移 个单位长度，得到函数h(2x)的图象
8
D．将 f(x)图象上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数h(x)的图象【答案】AC
【分析】根据正弦函数、正弦型函数的对称性判断AB，根据两角和的余弦公式及图象的伸缩与平移变换判
断CD.
【详解】对A， f(x)=sinx关于(π,0)中心对称，g(x)=sin4x也关于(π,0)中心对称，故A正确；
π
对B， f(x)=sinx的一条对称轴为x= ，
2
æπö π π
因为gç ÷=sin4´ =sin2π=0，所以g(x)的图象不关于直线x= 对称，故B错误；
è2ø 2 2
1 æ πö 3 æ πö π æ πö π æ πö
对C，hx= cosç2x- ÷- sinç2x- ÷=cos cosç2x- ÷-sin sinç2x- ÷=cos2x，
2 è 3ø 2 è 3ø 3 è 3ø 3 è 3ø
g(x)的图象向左平移 π 个单位长度，可得到g æ çx+ πö ÷=sin æ ç4x+ πö ÷=cos4x=h2x，故C正确；
8 è 8ø è 2ø
1
对D， f(x)图象上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=sin x，故D错误.
4
7．（2026·陕西咸阳·二模）将函数 f x=sin æ çwx+ πö ÷ w>0图象向右平移 3π 个单位长度得到gx图象，若
è 6ø 2w
f x
Fx= f xgx，Hx= ，则下列说法正确的是（ ）
gx
é πù é1 1ù
A．当w=1，xÎ 0, 时，Fx值域为 ,
ê ú ê ú
ë 6û ë4 2û
æπ ö
B．若Hx图象关于点ç ,0÷对称，则w的最小值为1
è3 ø
æπö 1
C．若Fx£Fç ÷对于任意实数x都成立，则w的最小值为
è4ø 3
æ π πö æ 4ù
D．若Hx在ç- , ÷上单调递增，则w的取值范围为ç0,
ú
è 4 4ø è 3û
【答案】BCD
1 æ πö
【分析】当w=1，化简可得Fx= sinç2x+ ÷，根据正弦型函数性质计算可判断A；化简可得
2 è 3ø
æ πö æπö
Hx=tançwx+ ÷，根据正切函数性质计算可判断B；由题意可知Fç ÷=Fx ，列式计算可判断C；
è 6ø è4ø max
根据正切函数性质列不等式计算可判断D.
æ πö
【详解】对于A，当w=1， f x=sinçx+ ÷，
è 6ø
3π æ 3πö éæ 3πö πù æ πö
将函数 f x图象向右平移 个单位得gx= f çx- ÷=sinêçx- ÷+ ú=cosçx+ ÷的图象，
2 è 2 ø ëè 2 ø 6û è 6øæ πö æ πö 1 æ πö
所以Fx= f xgx=sinçx+ ÷cosçx+ ÷= sinç2x+ ÷，
è 6ø è 6ø 2 è 3ø
é πù π π 2π 3 æ πö
又xÎ
ê
0,
ú
， £2x+ £ ，所以 £sinç2x+ ÷£1，
ë 6û 3 3 3 2 è 3ø
所以 3 £ 1 sin æ ç2x+ πö ÷£ 1 ，所以Fx值域为 é ê 3 , 1ù ú，故A错误；
4 2 è 3ø 2 ë 4 2 û
æ 3π ö é æ 3π ö πù æ π 3πö æ πö
对于B，由题意得gx= f çx- ÷=sinêwçx- ÷+ ú=sinçwx+ - ÷=cosçwx+ ÷，
è 2wø ë è 2wø 6û è 6 2 ø è 6ø
æ πö
所以Hx= f x = sinç è wx+ 6 ÷ ø =tan æ çwx+ πö ÷，
gx æ πö è 6ø
cosçwx+ ÷
è 6ø
æπ ö π π kπ
因为Hx图象关于点ç ,0÷对称，所以 w+ = ,kÎZ，
è3 ø 3 6 2
3k 1
得w= - ,kÎZ，又w>0，所以w的最小值为1，故B正确；
2 2
æ πö æ πö 1 æ πö
对于C，由B得Fx= f xgx=sinçwx+ ÷cosçwx+ ÷= sinç2wx+ ÷，
è 6ø è 6ø 2 è 3ø
æπö æπö
又因为Fx£Fç ÷，所以Fç ÷=Fx ，
è4ø è4ø max
π π π 1
所以2w´ + =2kπ+ ,kÎZ，解得w= +4k,kÎZ，
4 3 2 3
1
又w>0，所以w的最小值为 ，故C正确；
3
æ πö
对于D，由B知Hx=tançwx+ ÷，
è 6ø
æ π πö π π π π π
因为xÎç- , ÷，所以- w+ <wx+ < w+ ，
è 4 4ø 4 6 6 4 6
ì π π π
- w+ ³-
æ π πö ï ï 4 6 2 4
又Hx在ç- , ÷上单调递增，所以í ，解得0<w£ ，
è 4 4ø ï π w+ π £ π 3
ïî4 6 2
æ 4ù
所以w的取值范围为ç0,
ú
，故D正确.
è 3û
π
8．（2026·广东·模拟预测）已知函数 f x=sinwx+ 3coswxw>0，将其图象向右平移 个单位后得到
6
gx的图象，gx的最小正周期为π，则下列选项正确的是（ ）．
π
A．函数 f x的图象关于x= 对称
12æ π 5πö
B．函数 f x在区间ç- , ÷上单调递增
è 12 12ø
π π
C．若0<x <x < 且gx =gx = 2，则x +x =
1 2 2 1 2 1 2 2
æ πö π
D．函数gx的图象可由y=2cosç2x+ ÷的图象向右平移 个单位得到
è 6ø 3
【答案】ACD
【分析】利用辅助角公式及周期公式可得函数解析式，根据特殊角的正弦值、三角函数的单调性对称性及
图象变换一一判定选项即可.
æ πö
【详解】函数 f x=sinwx+ 3coswx=2sinçwx+ ÷，
è 3ø
π é æ πö πù æ wπ πö
其图象向右平移 个单位后得到gx的图象，则gx=2sin
ê
wçx- ÷+
ú
=2sinçwx- + ÷，
6 ë è 6ø 3û è 6 3ø
2π
gx的最小正周期为π，且w>0，则T = =π，得w=2，
w
æ πö
所以 f x=2sinç2x+ ÷，gx=2sin2x.
è 3ø
æ π ö π π
f ç ÷=2sin =2，是函数的最大值，函数 f x的图象关于x= 对称，A选项正确；
è12ø 2 12
æ π 5πö π æπ 7πö æπ 7πö
xÎç- , ÷时，2x+ Îç , ÷，ç , ÷不是正弦函数的单调递增区间，B选项错误；
è 12 12ø 3 è6 6 ø è6 6 ø
2
gx=2sin2x= 2时，有sin2x= ，
2
π π 3π
若0<x <x < ，则0<2x <2x <π，由gx =gx = 2，则有2x = ,2x = ，
1 2 2 1 2 1 2 1 4 2 4
π 3π π
即x = ,x = ，则x +x = ，C选项正确；
1 8 2 8 1 2 2
æ πö π é æ πö πù æ πö
函数y=2cosç2x+ ÷的图象向右平移 个单位，得到函数y=2cos
ê
2çx- ÷+
ú
=2cosç2x- ÷=2sin2x
è 6ø 3 ë è 3ø 6û è 2ø
的图象
即函数gx的图象，D选项正确.
æ πö
9．（2026·山东德州·一模）函数 f x= Acoswx+j çA>0,w>0,j< ÷的部分图象如图所示，则（ ）
è 2øπ
A．j=
3
æ π ö
B． f x的图象关于点ç ,0÷对称
è12 ø
é 11π 7πù
C．函数 f x在区间 - ,- 上单调递增
ê ú
ë 12 12û
é π ö æ5π 4πù
D．若 f x在区间
ê
- ,a÷上恰有一个最大值2和一个最小值-2，则实数a的取值范围为ç ,
ú
ë 12 ø è 6 3 û
【答案】ABD
æ πö
【分析】根据周期以及最值可得 f x=2cosç2x+ ÷，即可判断A，代入验证即可判断B，根据整体法求
è 3ø
解函数的单调性即可判断C，由整体法，结合三角函数的性质即可判断D.
æ5π πö 2π
【详解】由图可得A=2，函数的最小正周期T =2ç - ÷=π，又w>0，所以w= =2，
è 6 3ø T
æπö æ 2πö 2π
则 f x=2cos2x+j，由 f ç ÷=2cosçj+ ÷=-2，得j+ =π+2kπ，kÎZ，
è3ø è 3 ø 3
π π π π
解得j= +2kπ，kÎZ，又- <j< ，所以j= ，故A正确；
3 2 2 3
æ πö æ π ö æ π πö
由上分析，得故 f x=2cosç2x+ ÷，因为 f ç ÷=2cosç2´ + ÷=0，
è 3ø è12ø è 12 3ø
æ π ö
故函数 f x的图象关于点ç ,0÷对称，故B正确；
è12 ø
π 2π π
令2kπ-π£2x+ £2kπ，kÎZ，解得kπ- £x£kπ- ，kÎZ，
3 3 6
é 2π π ù
故函数 f x的单调递增区间为 - +kπ,- +kπ kÎZ，
ê ú
ë 3 6 û
π π π
令2kπ£2x+ £2kπ+π，kÎZ，解得kπ- £x£kπ+ ，kÎZ，
3 6 3
故函数 f x的单调递减区间为 é êkπ - π ,kπ + πù ú， kÎZ，
êë 6 3úûé 11π 2πù é 2π 7πù
则函数 f x在区间 - ,- 上单调递减，在 - ,- 上单调递增，故C错误；
ê ú ê ú
ë 12 3 û ë 3 12û
é π ö æ πö éπ πö
当xÎ
ê
- ,a÷时，则ç2x+ ÷Î
ê
,2a+ ÷，
ë 12 ø è 3ø ë6 3ø
é π ö
要使 f x在区间
ê
- ,a÷上恰有一个最大值2和一个最小值-2，
ë 12 ø
π 5π 4π
需使2π<2a+ £3π，解得 <a£ ，故D正确.
3 6 3
故选：ABD.
三、填空题
 
cos40o 2cos20o-cos40o
10．（2026·江苏·一模）求值： =___________．
cos10o
3
【答案】
2
cos40°2cos20°-cos40° cos40°cos20°+cos20°-cos40°
【详解】 =
cos10° cos10°
æ 20°+40° 20°-40°ö
cos40°ç è cos20°-2sin 2 sin 2 ÷ ø cos40°é ë cos20°-2sin30°sin-10° û ù
= =
cos10° cos10°
cos40°cos20°+sin10° cos40°cos20°+cos80°
= =
cos10° cos10°
æ 20°+80° 20°-80°ö
cos40°ç
è
2cos
2
cos
2
÷
ø
2cos40°cos50°cos-30°
= =
cos10° cos10°
3cos40°cos50° 3 2cos40°sin40° 3 sin80° 3 cos10° 3
= = · = · = · = .
cos10° 2 cos10° 2 cos10° 2 cos10° 2
四、解答题
æ πö
11．（2026·湖南·模拟预测）已知函数 f x=sinwx+j çw>0,j< ÷的部分图象如图所示．
è 2ø
(1)求 f x的解析式，并写出 f x的单调递减区间；
é πù 1 æπ ö
(2)若aÎ
ê
0,
ú
，且 f a= ，求cosç -a÷的值．
ë 2û 5 è6 øæ πö éπ 2π ù
【答案】(1) f x=sinç2x+ ÷，
ê
+kπ, +kπ
ú
,kÎZ．
è 6ø ë6 3 û
æπ ö 15
(2)cosç -a÷=
è6 ø 5
3 5π æ πö 3π
【详解】（1）由图象可知 T = -ç- ÷= ，∴T =π，
4 12 è 3ø 4
2π
又∵T = ，∴w=2，
w
æ π ö æ 2π ö 2π π
代入ç- ,-1÷可知sinç- +j÷=-1，即j- =- +2kπ,kÎZ，
è 3 ø è 3 ø 3 2
π π æ πö
又因为j< ，所以j= , f x=sinç2x+ ÷，
2 6 è 6ø
π π 3π
可知当 +2kπ£2x+ £ +2kπ时， f x单调递减，
2 6 2
éπ 2π ù
所以 f x的单调递减区间为 +kπ, +kπ ,kÎZ．
ê ú
ë6 3 û
æ pö 1 æ πö æπ ö 1
（2） f a=sinç2a+ ÷= ，又∵sinç2a+ ÷=cosç -2a÷= ，
è 6ø 5 è 6ø è3 ø 5
æπ ö æπ ö 1 æπ ö 15
所以由二倍角公式可得：cosç -2a÷=2cos2 ç -a÷-1= ，解得cosç -a÷=± ，
è3 ø è6 ø 5 è6 ø 5
é πù π é π πù æπ ö
又∵aÎ
ê
0,
ú
，∴ -aÎ
ê
- ,
ú
,cosç -a÷>0，
ë 2û 6 ë 3 6û è6 ø
æπ ö 15
所以cosç -a÷= ．
è6 ø 5
押题猜想 04 数列-数列的性质、数列构造
试题前瞻·能力先查
限时：5min
【2026·湖北黄石·一模】（多选题）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第n
行的第r个数可以表示为Cr-1(n³1时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋
n
数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成
就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（ ）A．第2026行共有2026个数
B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为C4 -1
20
C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1
D．去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,
L
，则此数列前135项的和为218-53
【答案】BCD
【分析】根据杨辉三角的性质即可求解A，根据组合数的性质化简即可求解B，利用二项式定理求解第48
行的所有数字的和，进而根据二项式定理，根据整除的性质即可求解C，根据二项式的和，结合等比数列以
及等差数列的性质，即可求解D.
【详解】对于A，第2026行共有2027个数，故A错误，
对于B,由题意可得
C3
4
+C3
5
+C3
6
+
L
+C
1
3
9
=  C4
4
+C3
4
 +C3
5
+C3
6
+
L
+C
1
3
9
-1=C
5
4+C3
5
+C3
6
+
L
+C
1
3
9
-1=
L
=C4
20
-1,B正确，
对于C, 第48行的所有数字之和为
C0 +C1 +C2 + +C48 =248 =816 =1+716 =C0 70+C1 71+C2 72+ +C16716
48 48 48 L 48 16 16 16 L 16
=1+7  C1
16
70+C
1
2
6
71+
L
+C1
1
6
6
715 ,由于C1
16
70+C
1
2
6
71+
L
+C1
1
6
6
715能被7整除，
故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，C正确，
对于D,第n行的和为C0+C1+C2+ +Cn =1+1n =2n，
n n n L n
当n³1时，第n行中去除为1的项的和为2n-2， 第0行为1，
2
 1-2n
故前n行中去除为1的项的和为S = -2n=2n+1-2-2n，
n 1-2
故前17行中去除为1的项的和为218-36，
去除所有为1的项后，则从第一行开始，则剩下的每一行的个数为0，1，2，3，4，……，
n(n-1)
可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，前n行共有 个数，
2
17´16
当n=17时， =136，
2
因此前17行中，去掉为1的项，共有136项，且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为C16,
17
则此数列前135项的和为S -C16＝218-53.
17 17分析有理·押题有据
24年实行数论压轴题失败后，25年回归普通数列题，考察的是等比数列的性质和一道大题，都有点难
度，今年应该还是会回归之前的解三角形和数列二选一的情况，23年和25年均考察了数列大题，所以今年
可能不考察数列大题。所以在小题中数列的性质以及数列的应用就很重要。杨辉三角的内容需要着重理解
一下，类似的数论思想的问题需要多加练习。
密押预测·精练通关
一、单选题
1．（2026·辽宁大连·一模）已知数列A：a ，a ，…，a ，a =1，a =12，设
1 2 8 1 8
m=a -a

1£k
£7,kÎN*
，若m=1或2，则满足条件的不同数列的个数为（ ）
k+1 k
A．7 B．21 C．35 D．70
【答案】C
【分析】由于m可以等于1或2，首先要确定7个差值中有几个1和几个2，再用组合数算出结果.
【详解】a -a =11，设差值中有x个1和y个2，
8 1
ìx+y=7
则í ，解得：x=3，y=4.
îx+2y=11
7´6´5
3个1和4个2进行排序，一共有C3 = =35.
7 3´2´1
2．（2026·北京·模拟预测）已知各项均不为零的数列a
n
，其前n项和是S
n
，若S
n
=a
n
a
n+1
n=1,2,
L
，则
（ ）
A．a 不可能是等差数列 B．a 可能是等比数列
n n
C．a 不可能是递减数列 D．a 可能是周期数列
n n
【答案】C
【分析】利用题目条件S
n
=a
n
a
n+1
n=1,2,
L
推出数列前n项和S
n
与通项a
n
的关系，结合选项逐一判断.
【详解】已知S =a a ，n³2时S =a a ，两式作差得：a =a a -a a ，
n n n+1 n-1 n-1 n n n n+1 n n-1
因a ¹0，两边除以a 得：a -a =1n³2，且n=1时，S =a =aa ，得a =1，
n n n+1 n-1 1 1 1 2 2
同时可知：奇数项a 是公差为1的递增数列，偶数项a 也是公差为1的递增数列，
2k-1 2k
1 1
选项A：若a 是等差数列，由a -a =2d =1得d = ，结合a =1得a = ，
n n+1 n-1 2 2 1 2
n nn+1
即a = ，验证得S = =a a ，满足条件，因此a 可以是等差数列，A错误；
n 2 n 4 n n+1 n
选项B：若a 是等比数列，公比为q，则要求aqn-aqn-2 =1对所有n³2恒成立，
n 1 1
左边随n变化，不可能恒等于常数1，矛盾，不存在这样的等比数列，B错误；选项C：递减数列要求对任意n，a <a ，由前面推导：
n+1 n
若a >1=a ，则a =a +1>a >a ，即a >a ，不满足递减；
1 2 3 1 1 2 3 2
若a <1=a ，直接得a >a ，不满足递减；且奇数项、偶数项本身都是递增的，
1 2 2 1
因此不可能是递减数列，C正确，
选项D：数列a 的奇数项和偶数项都是单调递增数列，故数列a 不是周期数列，D错误.
n n
1 a
3．（2026·山东济宁·一模）已知数列a
n
的首项a
1
=
2
，且满足a
n+1
=
2a
n
+1
，则a
6
=（ ）
n
1 1
A． B． C．10 D．12
12 10
【答案】A
1 1 ì 1 ü
【分析】根据递推关系得 - =2，结合等差数列定义写出í ý的通项公式，即可得答案.
a n+1 a n îa n þ
a 1 1
【详解】由题意可得：a = n Þ - =2，
n+1 2a +1 a a
n n+1 n
1
令b = ，则可得：b =b +2，
n a n+1 n
n
所以b 是等差数列，公差为2.
n
1
又因为a = Þb =2，所以b =b +(n-1)d =2+2n-1=2n，
1 2 1 n 1
1 1
所以a = = .
6 b 12
6
1 1 1
4．（2026·湖北武汉·模拟预测）记等比数列a 的前n项和为S ，若2S =S +S ，且 + + =0，则
n n 9 3 6 a a a
3 6 k
正整数k的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】A
1
【分析】设等比数列a 的公比为q，根据题意，利用等比数列的求和公式，化简求得q3 =- ，再由等比
n 2
1
数列的通项公式，化简求得 =-2，进而求得k的值.
qk
【详解】设等比数列a 的公比为q，
n
当q=1时，可得S =9a,S =3a,S =6a ，则2S =18a,S +S =9a
9 1 3 1 6 1 9 1 3 6 1
a (1-qn)
因为a ¹0，所以2S ¹S +S ，所以q¹1，此时S = 1 ，
1 9 3 6 n 1-q2a (1-q9) a (1-q3) a (1-q6)
又因为2S =S +S ，可得 1 = 1 + 1 ，
9 3 6 1-q 1-q 1-q
所以2(1-q9)=(1-q3)+(1-q6)，即2q6-q3-1=0，
1 1
令t=q3，可得2t2-t-1=0，解得t=- 或t =1（舍去），所以q3 =- ，
2 2
1 1 1 1 1 1
法一：由 + + =0，提取公因式 ，可得1+ + =0，
a a a a q3 qk-3
3 6 k 3
1
因为q3 =- ，代入化简得1-2+q3-k =0，即q3-k =1，所以3-k =0，解得k =3；
2
法二：由等比数列的通项公式，可得a =aqn-1，
n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
因为 + + =0，可得 + + =0，即 + + =0，
a a a aq2 aq5 aqk-1 q2 q5 qk-1
3 6 k 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
则 ( + + )=0，即 + + =0，
q q2 q5 qk-1 q3 q6 qk
1 1 1
因为q3 =- ，所以-2+4+ =0，可得qk =- ，所以k =3.
2 qk 2
S S 7 S
5．（2026·江苏南京·一模）若等差数列a 的前n项和为S ，且 7 3 = ，则 3 =（ ）
n n S2 4 S
4 4
1 1
A．-2 B．- C． D．2
2 2
【答案】C
【详解】利用等差数列前n项和公式S = An2+Bn，
n
代入得：S =9A+3B,S =16A+4B,S =49A+7B，
3 4 7
49A+7B)(9A+3B 7
代入已知条件： = ，
16A+4B2 4
217A+B3A+B 7
化简得： =
Þ37A+B3A+B=44A+B2
，
164A+B2 4
展开并整理：A2+2AB+B2 =0Þ(A+B)2 =0，
解得B=-A，即：S = An2-An= Ann-1，
n
因此：S = A×3×2=6A,S = A×4×3=12A，
3 4
S 6A 1
故 3 = = .
S 12A 2
4
二、多选题
6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第n行的所有
数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列a ：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下
n
列说法正确的是（ ）
A．a =a
12 14
B．S =104
15
n2-n+2
C．第 项为n+1,nÎN*
2
D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和S，则
1 1 1 1
S =1+ + + + +×××>2
3 6 10 15
【答案】AC
【分析】将数列数列2、3、3、4、6、4、5、10、10、5、L变成数阵，确定数阵第n  nÎN* 行有n
个数，从左向右分别为C1,C2,
L
,Cn-1.对于A，确定a ,a 分别在该数阵第5行的第2个和第4个即可判断；
n n n 12 14
n2-n+2
对于B，确定a 位于该数阵第5行第5个数即可求和；对于C，确定第 项为第n-1行第1个即可；
15
2
1 1 1 1 2 2 2 2 2
对于D，根据杨辉三角得到S =1+ + + + +×××= + + + + L + ，利用裂项相消
3 6 10 15 1´2 2´3 3´4 4´5 n(n+1)
求和法求和即可.
【详解】将数列2、3、3、4、6、4、5、10、10、5、L变成以下数阵：
第1行 2
第2行 3 3
第3行 4 6 4
第4行 5 10 10 5
L L
则该数阵第n  nÎN* 行有n个数，从左向右分别为C1 ,C2 , ,Cn ，
n+1 n+1 L n+1
nn+1
第n行最后一项位于原数列第1+2+ +n= 项，
L
24´5 5´6
对于A，因为10= <12<14< =15，所以a ,a 分别在该数阵第5行的第2个和第4个，故
2 2 12 14
a =C2 =15,a =C4 =15，即a =a ，选项A正确；
12 6 14 6 12 14
5´6
对于B，因为 =15，所以a 位于该数阵第5行第5个数，
2 15
由题意可知，该数阵第n
 nÎN*
行所有数为“杨辉三角”数阵中第n+2行去掉首、尾两个1得到，而“杨辉三
角”中第n
 nÎN*
行所有数之和为2n-1，
所以，该数阵第n
 nÎN*
行所有数之和为2n+1-2，
所以S =T =  22-2  +  23-2  +  24-2  +  25-2  +  26-2  =114，选项B错误；
15 57
n2-n+2 n-1n n2-n+2
对于C，因为 = +1，所以第 项为第n行第1个，即C1 =n+1，选项C正确；
2 2 2 n+1
1 1 1 1 2 2 2 2 2
对于D，根据杨辉三角知，S =1+ + + + +×××= + + + +
L
+
3 6 10 15 1´2 2´3 3´4 4´5 n(n+1)
æ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ö æ 1 ö
=2ç1- + - + - + - +
L
+ - ÷=2ç1- ÷<2，选项D错误.
è 2 2 3 3 4 4 5 n n+1ø è n+1ø
故选：AC.
6 4 2
7．（2026·湖南·模拟预测）已知数列a 的前n项和为S ，且a = ,S = - a ，则下列说法正确的是
n n 1 5 n 5 3 n+1
（ ）
A．a =2a B．数列 lg a  为等差数列
1 2 n
é3 4ö æ4 6ù 1 é 16 9 ö æ 9 1ù
C．S n Î ê ë5 , 5ø ÷È è ç 5 , 5û ú D．S n - S Î ê ë - 15 ,- 20 ÷ ø Èç è - 20 , 3 ú û
n
【答案】BC
【分析】先利用S 与a 的递推关系求出数列a 的通项公式，再依次分析其对数数列的性质、前n项和的
n n n
范围，以及相关函数的取值范围，从而判断各选项的正误.
4 2 4 2
【详解】对于A：因为S = - a ，当n³2时，S = - a ，
n 5 3 n+1 n-1 5 3 n
2 2 a 1
所以a =S -S = a - a ,n³2，则得 n+1 =- n³2，
n n n-1 3 n 3 n+1 a 2
n
4 2 6 3 a 1
又当n=1时，S =a = - a ，由a = ，得a =- ，则 2 =- ，a =-2a ，故A错误；
1 1 5 3 2 1 5 2 5 a 2 1 2
1
a 1 6 6 1
对于B：因为 n+1 =- ,a = ，所以数列a 是以 为首项，- 为公比的等比数列，
a 2 1 5 n 5 2
n
6 æ 1ö n-1 6 1
所以a n =a 1 ×qn-1 = 5 ×ç è - 2 ÷ ø ，则lg a n =lg 5 +n-1×lg 2 ，6 1
因此数列 lg a  是首项为lg ，公差为lg 的等差数列，B正确；
n 5 2
6 é æ 1ö nù
对于C：S = a 1 ×  1-qn = 5 ´ê êë 1-ç è - 2 ÷ ø ú úû = 4é ê1- æ ç- 1ö ÷ nù ú ，
n 1-q
1-
æ
ç-
1ö
÷
5êë è 2ø úû
è 2ø
4é æ1ö nù ìïæ1ö nüï 4 6
当n为奇数时，S = ê1+ç ÷ ú，因íç ÷ ý是递减数列，则 <S £S = ；
n 5êë è2ø úû ïîè2ø ïþ 5 n 1 5
4é æ1ö nù ìï æ1ö nüï 4 4 3 3
当n为偶数时，S = ê1-ç ÷ ú，因í-ç ÷ ý是递增数列，则 >S ³S = ´ = ，
n 5êë è2ø úû ïî è2ø ïþ 5 n 2 5 4 5
é3 4ö æ4 6ù
所以S n Î ê ë5 , 5ø ÷È è ç 5 , 5û ú ，C正确；
1 é3 4ö æ4 6ù
对于D：因为y=x- x 在0,+¥上单调递增，而S n Î ê ë5 , 5ø ÷È è ç 5 , 5 ú û ，
1 é 16 9 ö æ 9 11ù
则S n - S Î ê ë - 15 ,- 20 ÷ ø Èç è - 20 , 30 ú û ，D错误．
n
8．（2026·山东德州·一模）已知数列a 满足a =a a +2，且a =t，则（ ）
n n+1 n n 1
A．存在唯一的实数t，使得a 为常数列
n
B．当-1<t<0时，a 为递减数列
n
C．当a <0时，t的取值范围为-2,0
3
D．当t =1时，b =log a ,b 前n项和为S ，则S <2n-1
n 2 n n n n
【答案】BCD
【详解】对于A.由条件可知，a +1=a +12，
n+1 n
若a =t=0，则a =0，为常数列，
1 n
若a =t =-1，则a =-1，为常数列，故A错误；
1 n
对于B.因为a +1=a +12，当-1<t<0时，a =t，所以0<a +1<1，
n+1 n 1 1
由a +1=(a +1)2可知，对所有n³1，都有a +1>0，
n+1 n n
两边取以10为底的对数，lga +1=2lga +1
n+1 n
所以数列 lga +1 是以lgt+1为首项，2为公比的等比数列，
n
所以lga +1=2n-1×lgt+1=lgt+12n-1 ，
n
即a
+1=t+12n-1
，a
=t+12n-1
-1，
n n因为t+1Î0,1，且2n-1单调递增，所以数列a 单调递减，故B正确；
n
对于C.a =tt+2=t2+2t，a =  t2+2t  t2+2t+2  ，
2 3
因为t2+2t+2=t+12 +1>0恒成立，
所以a <0Ût2+2t<0，得-2<t<0，故C正确；
3
对于D.当t =1时，a +1=2，
1
所以数列
lga +1
是以lg2为首项，2为公比的等比数列，
n
所以lga +1=2n-1×lg2=lg22n-1，
n
即a +1=22n-1，a =22n-1 -1，
n n
b =log a =log  22n-1 -1  <log 22n-1 =2n-1，
n 2 n 2 2
而数列
 2n-1
是以1为首项，2为公比的等比数列，
1-2n
所以前n项和为 =2n-1，
1-2
所以S <2n-1，故D正确.
n
9．（2026·四川成都·二模）已知等差数列a 的前n项和S 存在最大值，且a +a <0，a a <0，则
n n 3 30 16 17
（ ）
A．a >0 B．a +a >0
1 16 17
C．当n=16时，S 取得最大值 D．S 取得最小正值时n为31
n n
【答案】ACD
【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，根据等差数列性质可判断BC，根据二次函数
性质可判断D.
【详解】对于A，设等差数列a 首项为a ，公差为d，
n 1
nn-1 d æ d ö
则S =na + d = n2+ça - ÷n，
n 1 2 2 è 1 2ø
因为S 存在最大值，所以数列a 的公差d <0，数列a 单调递减，
n n n
要使S 存在最大值，则数列先正后负，首项a >0，故A正确；
n 1
对于B，由等差数列性质可知a +a =a +a <0，故B错误；
3 30 16 17
对于C，因为a a <0，所以a >0,a <0，
16 17 16 17
所以n=16时，S 取得最大值，故C正确；
n
32a +a 
对于D，由a +a <0可得S = 1 32 =16a +a <0，
16 17 32 2 16 1731a +a 
由a >0，可得S = 1 31 =31a >0，
16 31 2 16
所以S 取得最小正值时n为31，故D正确.
n
三、填空题
10．（25-26高二上·福建漳州·期末）“杨辉三角”具有很多有趣的性质，如图所示，将最上面一行记为第0
行，则从第1行起，每一行两端都是数字1，而其余位置上的每个数都等于它“肩上”两个数的和；每一行第
一个数构成常数列；从第一行起，每一行第二个数构成自然数列.现从第二行起，将每一行第三个数构成的
1 1 1 1 1
数列记为a
n
，如图，实线上的数即为a
n
的前4项.记T
n
=
a
+
a
+
a
+
L
+
a
+
a
，则T
2026
=_____.
1 2 3 n-1 n
4052 2025
【答案】 /1
2027 2027
【分析】先根据杨辉三角的行号与位置对应关系，确定数列a 的通项，再对通项进行裂项，最后通过裂
n
项相消法求出前n项和 T ，代入n=2026得到结果.
n
nn+1
【详解】在杨辉三角中，第n+2行的第3个数（从第2行开始计数）为a =C2 = ，
n n+1 2
1 2 æ1 1 ö
= =2ç - ÷，
a nn+1 èn n+1ø
n
æ 1 1 1 1 1 ö æ 1 ö 2n
所以T n =2ç è 1- 2 + 2 - 3 + L + n - n+1 ÷ ø =2ç è 1- n+1 ÷ ø = n+1 ，
2´2026 4052
所以T = = ,
2026 2026+1 2027
4052
故答案为： .
2027
a +a
11．（2026·山东滨州·一模）已知首项和公差都不为0的等差数列a ，其前n项和为S ，且 1 2 =3，
n n a
3
a +a
则 4 5 =__________．
S
6
1
【答案】 /0.2
5
【分析】由已知比例关系解出等差数列首项与公差的关系，代入所求表达式化简即可a +a
【详解】因为a 是等差数列，且 1 2 =3，设a 的公差为d，
n a n
3
a +a +d
则有 1 1 =3，整理得a =-5d，
a +2d 1
1
a +a
经验证a =a +2d =-3d ¹0，则 1 2 =3成立，
3 1 a
3
S =6a +15d =-30d+15d =-15d ¹0，
6 1
a +a a +3d+a +4d 2a +7d -10d+7d -3d 1
则 4 5 = 1 1 = 1 = = = .
S 6a +15d 6a +15d -30d+15d -15d 5
6 1 1
押题猜想 05 计数原理-排列组合、二项式定理
试题前瞻·能力先查
限时：4min
【原创题】今天是星期一，再过10100天是星期几（ ）
A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五
【答案】D
【分析】通过二项式定理将10100逐步变形为与7相关的展开式，消去能被7整除的项，最终求得10100除以7
的余数，进而推算出对应的选项.
【详解】因为10100 =10050 =98+250 =C0 9850+C1 9849×2+ +C4998×249+C50250，
50 50 L 50 50
由98能被7整除，则上式前50项都能被7整除，只需看最后一项C50250 =250除以7的余数，
50
由250 =4´816 =4´7+116 =4  C0 716+C1 715+ +C157+C16 ，
16 16 L 16 16
则250除以7的余数为4C16 =4，
16
所以今天是星期一，再过10100天，是星期五.
分析有理·押题有据
连续两年填空压轴都是排列组合配合概率统计的考察了，23年考察的排列组合中的分配问题。二项式
定理均未考察，因为二项式定理的内容较为死板，所以掌握相关内容即可，重点关注一下二项式定理中的
余数问题。可能会在多选题的选项中出现。排列组合今年大概率不会太难，所以一定需要掌握相关的题型，
尤其是分配问题中的平均分组问题，这个分数不能丢。
密押预测·精练通关一、单选题
1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在某道选词填空题中，有3个空格，4个备选单词。每个空格只能填入一个备
选单词，且每个空格都有一个唯一的正确答案（这3个正确答案是4个备选单词中的3个，剩余1个备选单词是
多余的）。若随机选择3个备选单词分别填入3个空格，则3个空格全部选错的概率是（ ）
11 9 7 5
A． B． C． D．
24 24 12 12
【答案】A
【详解】假设4个单词分别是甲、乙、丙、丁，正确的顺序为甲乙丙.
第一类，选出的3个单词不包括丁，则符合要求的情况有乙丙甲，丙甲乙，共2种选法；
第二类，选出的3个单词包含丁，则从剩下的3个单词选两个有C2种情况，不妨设选出的单词为甲，乙，
3
则符合要求的情况有乙甲丁，丁甲乙，乙丁甲，共3种，即共有3C2 =9种选法.
3
综上，符合要求的情况共有2+9=11种，全部情况为A3 =24种，
4
11
则3个空格全部选错的概率是 .
24
2．（25-26高三下·浙江杭州·月考）实数1.9965的近似值（精确到0.001）是（ ）
A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683
【答案】B
【分析】先将1.9965变形为2-0.0045，再利用二项式定理展开化简即可得解．
【详解】1.9965 =2-0.0045 =C0´25-C1´24´0.0041+C2´23´0.0042-C3´22´0.0043
5 5 5 5
+C4´2´0.0044-C5´0.0045»32-0.32+0.00128=31.68128，
5 5
将1.9965精确到0.001，故近似值为31.681．
3．（2026·山东烟台·一模）某学校派5名同学参加“市长杯”足球比赛中4个场次的志愿服务，每场比赛至
少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，则不同派法的种数为（ ）
A．180 B．240 C．320 D．360
【答案】B
【分析】先求将5名同学分成人数分别为2,1,1,1的四组的方法数，再求将4组同学分派到4个场次的方法数，
根据分步乘法计数原理求结论.
【详解】符合要求的选派方法可分为两步完成，
C1C1C1C2
第一步，将5名同学分成人数分别为2,1,1,1的四组，该步有 5 4 3 2 =10种完成方法，
A3
3
第二步，将4组同学分派到4个场次，此步有A4 =24种完成方法，
4
由分步乘法计数原理可得符合要求的派法种数为10´24=240
4．（2026·贵州毕节·二模）春节期间，某家庭准备了5个不同的马年新春红包，全部装入3个不同的红包袋中，每个红包袋至少装1个红包，则不同的装法种数是（ ）
A．90 B．150 C．240 D．300
【答案】B
【分析】先将5个不同的红包分3组，求出总的分法，再将3组分配到3个不同的红包袋中，即可得答案.
【详解】将5个不同的红包分3组，有两种不同的方式，
C3C1C1
①：“1,1,3”型，则有 5 2 1 =10种分法；
A2
2
C2C2C1
②：“2,2,1”型，则有 5 3 1 =15种分法，所以共有25种分法，
A2
2
将分好的3组，装入3个不同的红包袋中，共有25A3 =150种装法.
3
5．（25-26高三下·河北沧州·月考）将1，1，2，2，3五张数字牌按顺序进行排列，其中相同的数字牌不相
邻的排法总数为（ ）
A．12 B．26 C．52 D．104
【答案】A
【分析】分类讨论数字1出现的位置，即可由分类加法以及排列求解.
【详解】第一张为1时;
若第五张为1，则仅有1种排法；
若第三张为1，有A1=2种排法.
2
若第四张为1，有A1=2种排法.
2
第二张为1时;
若第四张为1，则共A1 =3种排法，
3
若第五张为1，有A1=2种排法，
2
第三张为1时，第五张为1，有A1=2种排法，
2
综上可得：总计12种排法.
6．（2026·山东淄博·一模）有5名同学A，B，C，D，E参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若A和B都
不是第1个出场，且C不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（ ）
A．42 B．50 C．54 D．60
【答案】D
【分析】根据题意，分C是第1个和C不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论，结合排列数和组合数
的计算公式，以及分类计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，分C是第1个和C不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论：
当C是第1个时，此时剩余的A,B,D,E全排列，共有A4 =24种不同的排法；
4
当C不是第1个且不是最后一个时，先排第1个，从D,E中选一人为第1个，有2种选法；再排C，有三个位置可选，有3种排法，最后三人全排列，有A3 =6种排法，
3
所以共有2´3´6=36种不同的排法，
由分类计数原理得，共有24+36=60种不同的排列情况.
7．（2026·湖北宜昌·二模）已知二项式2x-1n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3
项的系数为（ ）
A．-160 B．-80 C．80 D．160
【答案】A
【分析】依题意可确定n=6，再结合通项公式即可求解.
【详解】因为二项式2x-1n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，
所以n=6，所以2x-16的展开式的通项为T =Cr2x6-r-1r，
r+1 6
令6-r=3，得r=3，故T =C32x3-13 =-160x3，
3+1 6
故展开式中x3的系数为-160.
8．（2026·广东·一模）在1-x4 +1-x5的展开式中，含x2的项的系数是（ ）
A． -4 B．4 C． -16 D．16
【答案】D
【详解】对于1-x4 +1-x5的展开式，
含x2的项为C2(-x)2+C2(-x)2 =16x2，
4 5
故该项的系数为16.
二、多选题
9．（25-26高二下·江西赣州·开学考试）若(1-2x)2026 =a
0
+a
1
x+a
2
x2+
L
+a
2026
x2026，则下列选项正确的有
（ ）
A．a =-4052 B．展开式中所有项的二项式系数的和为22026
1
1-32026 a a a a
C．奇数项的系数和为 D． 1 + 2 + 3 +
L
+ 2026 =-1
2 2 22 23 22026
【答案】ABD
【分析】通过对二项式展开式中的x赋予特殊值，结合二项式系数的性质，快速求出各项系数、系数和及特
定系数和，从而判断各选项的正误.
【详解】对于A：因为(1-2x)2026 =a
0
+a
1
x+a
2
x2+
L
+a
2026
x2026，因此a
1
=C1
2026
×(-2)=-4052，故A正确；
对于B：展开式中所有项的二项式系数的和为22026，故B正确；
对于C：令x=1，可得a
0
+a
1
+a
2
+a
3
+
L
+a
2026
=1；
再令x=-1，可得a
0
-a
1
+a
2
-a
3
+
L
+a
2026
=32026，1+32026
将两式相加，即得展开式中所有奇数项系数的和为 ，故C错误；
2
1 a a a a
对于D：令x= ，则a + 1 + 2 + 3 +
L
+ 2026 =0，
2 0 2 22 23 22026
再令x=0，可得a =(1-0)2026 =1，
0
a a a a
所以 1 + 2 + 3 +
L
+ 2026 =-1，故D正确．
2 22 23 22026
三、填空题
10．（2026高三下·上海·专题练习）若 x2-3x+1 5 =a 0 +a 1 x+a 2 x2+ L +a 10 x10，则 a 1 + a 2 + L + a 10 =________．
【答案】3124
【分析】由多项式分析知：k为奇数，系数为负； k为偶数，系数为正，可得 a + a +×××+ a =
1 2 10
-a
1
+a
2
-a
3L
-a
9
+a
10
，再应用赋值法求a
0
、a
0
-a
1
+a
2
-a
3L
-a
9
+a
10
，即可得结果.
【详解】由题设，含xk的项中，当k为奇数，系数为负，而当k为偶数，系数为正，
所以 a + a +×××+ a = -a +a -a -a +a ，
1 2 10 1 2 3L 9 10
令x=0，则a =15 =1；
0
令x=-1，得a -a +a -a -a +a =55 =3125，
0 1 2 3L 9 10
所以 a + a + + a =3125-1=3124．
1 2 L 10
11．（2026·广东广州·一模）设a为常数，多项式x3+ax2+1除以x2-1所得的余式为x+3，则a＝______．
【答案】2
【分析】由题可设x3+ax2+1-x+3=  x2-1 x+b，再化简解方程即可求解得到a=b=2.
【详解】因为多项式x3+ax2+1除以x2-1所得的余式为x+3，
所以可以设x3+ax2+1-x+3=  x2-1 x+b，
整理得到x3+ax2-x-2=x3+bx2-x-b，
ìa=b
所以í ，则a=2.
îb=2
故答案为：2.
押题猜想 06 空间向量与立体几何-截面、翻折、动点最值问题
试题前瞻·能力先查
限时：7min【2026·甘肃·一模】（多选题）如图所示，轴截面为正三角形的圆锥，底面圆O 半径为 3,CD,EF 是底面的
1
两条直径，母线PC,PD与该圆锥内切球O分别切于点A,B.则下列说法正确的是（ ）
V 4
A． 球 =
V 9
圆锥
B．圆锥与球O的交线的轨迹长为π
π 2
C．若ÐOCE= ，则cosÐPCE=
1 4 4
3π
D．平面AEF截球O的截面面积的最小值为
4
【答案】ACD
【分析】根据圆锥轴截面是正三角形且底面半径为 3，可以计算圆锥的高、母线长，再利用轴截面的几何
关系求内切球半径，进而可计算球和圆锥的体积比，可以判断选项A；先确定圆锥与球的交线是一个圆，
通过分析球心到圆锥轴截面的距离、球半径，求出交线圆的半径，再计算其周长，可以判断选项B；根据题
意可得ÐPCO,ÐPCE,ÐOCE，再结合三余弦定理，可以判断选项C；当球心到平面AEF的距离最大时截
1 1
面圆半径最小，进而得到最小面积，可以判断选项D.
【详解】对于A，画出圆锥的轴截面如图（1）所示.连接PO ，则PO 必过球心O，
1 1
因为轴截面为正三角形且底面圆半径为 3，
所以PO =3,OO =1，
1 1
4π 4π 1 1
所以V = R3 = ,V = πr2×PO = π×( 3)2´3=3π，
球 3 3 圆锥 3 1 3V 4
故 球 = ,A正确；
V 9
圆锥
对于B，如图（2），易知，圆锥与球O的交线的轨迹为
e
O
2
，
因为AO ^PO，所以在Rt△PAO中，
2
3
可得PA×OA=PO×AO ，求得半径AO = ，
2 2 2
故轨迹长为 3π,B错误；
对于C，根据三余弦定理可知，
1 2 2
cosÐPCE=cosÐPCO ×cosÐOCE= ´ = ，
1 1 2 2 4
故C正确；
对于D，当EF绕着O 旋转时，平面AEF恒过定直线AO ，若要使得平面AEF截球O的截面面积最小，只
1 1
需球心O到平面AEF的距离达到最大，
如图（3）过O作直线AO 的垂线，垂足为H,O到平面AEF的最大距离为OH ，
1
1 3
又因为在△OAO 中，OA=OO =1,AO = 3,OH = ，所以截面半径的最小值为 ，
1 1 1 2 2
3π
所以平面AEF截球O的截面面积的最小值为 ，故D正确.
4
分析有理·押题有据
立体几何的大题这几年变化都不大，一直都是第一问考察点线面的位置关系，第二问为距离、夹角相关的问题，去年考了一个证明点在面内，但整体变化不会太大，注意二面角为钝角时二面角的余弦值的正
负问题。主要是小题的考察，25年考察的是证明点线面的位置关系且为多选题，24年考察几何体的表面积
和体积，难度都不大。所以今年的几何小题大概率会在压轴出现，外接球问题去年有接触到一点，所以今
年多注意几何中较难的截面、翻折和动点最值问题。
密押预测·精练通关
一、单选题
1．（2026·广东广州·模拟预测）如图，直三棱柱ABC-ABC中，D为CC中点，平面ABD^平面
1 1 1 1 1
ABBA,AD=BD=4，AB=2 7，则三棱柱ABC-ABC体积的取值范围是（ ）
1 1 1 1 1 1 1
A．0,21 B．7,21 C．0,28 D．7,28
【答案】A
【详解】取AB中点M,AB中点N ，AD=BD=4，则DN^AB，
1 1 1
由DN Ì平面ABD，平面ABDÇ平面ABBA =AB，平面ABD^平面ABBA得DN ^平面ABBA，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
æ1 ö 2
由勾股定理知DN = AD2-ç AB÷ =3，可得CM =3，
1 è2 1 ø
设DC=DC =4cosq，可得AC = AC = 16-16cos2q= 4sinq，
1 1 1
3
同理BC =4sinq，由BC >CM 知sinq> ．
4
由勾股定理得AB=2 BC2-CM2 =2 16sin2q-9，
1
于是三棱柱ABC-ABC的体积V =8cosq´ ´3´2 16sin2q-9=24  1-sin2q  16sin2q-9  ，
1 1 1 2
æ 9 ö æ 25ö 2 49
记x=sin2q,xÎç ,1÷, f x=1-x16x-9=-16x2 +25x-9=-16çx- ÷ + ，
è16 ø è 32ø 64
æ 49ù
结合二次函数单调性可得 f xÎç0,
ú
，于是V =24 f xÎ0,21．
è 64û2．（2026·广东广州·一模）在正三棱柱ABC-ABC中，AB=2，AA =1，点D是平面ABC上的动点，则
1 1 1 1
2
AD+ CD的最小值是（ ）
1 2
5 2 3 2 5 3 3 3
A． B． C． D．
4 2 4 2
【答案】B
【详解】
如图所示，将面
V
CAB保持点C 不动向下旋转45o得平面a，如图，过D作DD
1
^a于D
1
，连接CD
1
，
2 2
则 CD=DD ，则AD+ CD的最小值等价于AD+DD的最小值，即点A到面a的距离，
2 1 1 2 1 1
π
过A作AA ^a于A ，可知A在平面ACCA内，ÐACA = ，
1 1 2 2 2 1 1 2 4
2 5 5
可知AC = 2，AA =1，所以AC= 5，cosÐACA= ,sinÐACA= ，
1 1 1 5 1 5
æ πö π π 5 2 2 5 2 3 10
则sinÐACA =sinçÐACA + ÷=sinÐACA cos +cosÐACA sin = ´ + ´ = ，
2 è 1 4ø 1 4 1 4 5 2 5 2 10
AA AA 3 10 3 2
可知sinÐACA = 1 2 = 1 2 = ，解得AA = ，
2 AC 5 10 1 2 2
1
2 3 2
所以AD+ CD的最小值为 .
1 2 2
二、多选题
3．（2026·陕西咸阳·二模）如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，点E 是棱CC上的一个动点（不包括
1 1 1 1 1端点），平面BED交棱AA于点F ，则下列说法正确的是（ ）
1 1
A．存在点E ，使得ÐDFB为直角
1
B．对于任意点E ，都有直线AC //平面BEDF
1 1
C．对于任意点E ，都有平面ABC ^平面BEDF
1 1
D．三棱锥B -BDF的体积为定值
1 1
【答案】CD
【分析】先证明CE=AF，对于A：假设ÐDFB为直角，结合线面垂直判定定理证明BF ^平面ADDA，
1 1 1 1
推出矛盾即可判断；B：根据线面平行的性质证明AC //EF，推出矛盾即可判断；C：证明BD ^平面
1 1
ABC，再由面面垂直判定定理证明结论即可判断；D：先证明点F 到平面BBD 的距离为定值，由体积公式
1 1 1
可判断即可．
【详解】因为平面ABBA //平面DCCD，
1 1 1 1
平面ABBAÇ平面BEDF=BF，平面DCCD Ç平面BEDF=DE，
1 1 1 1 1 1 1
所以BF//DE，又AB//DC，ÐABF,ÐCDE都为锐角，
1 1 1 1 1
π
所以ÐABE=ÐCDE，又AB=CD，ÐFAB=ÐECD = ，
1 1 1 1 1 1 2
所以V ABF@ V C 1 D 1 E，故C 1 E=AF，
对于A，若ÐDFB为直角，则BF^DF，
1 1
因为AD^平面ABBA，BF Ì平面ABBA，
1 1 1 1
所以AD^BF，又DF,AD相交，DF,ADÌ平面ADDA，
1 1 1 1
所以BF ^平面ADDA，又BA^平面ADDA，
1 1 1 1
与过点B 有且只有一条直线与平面ADDA垂直矛盾，故A错误；
1 1
对于B，连接AC
1
,AE,C
1
F,EF，则平面ACC
1
A 1I平面BED
1
F=EF，
若AC //平面BEDF，且AC Ì平面ACCA，则AC //EF，
1 1 1 1 1 1
又AF//CE，AF =CE，故四边形AFCE为平行四边形，
1 1 1故AC,EF相交，矛盾，故B错误；
1
对于C，连接AB，AC，BC，BD，
1 1 1
由AB^平面BCCB，BCÌ平面BCCB，得AB^BC，
1 1 1 1 1 1
由BCCB为正方形，易知BC ^BC，
1 1 1 1
因为ABÇBC =B，AB,BC Ì平面ABCD，\BC^平面ABCD，
1 1 1 1 1 1 1
Q BD 1 Ì平面ABC 1 D 1 ，\B 1 C^BD 1 ，同理可证AB 1 ^BD 1 ，
Q
AB
1
ÇB
1
C=B
1
，AB
1
,B
1
CÌ平面AB
1
C，
\BD ^平面ABC，又BD Ì平面BEDF，
1 1 1 1
\ 平面ABC^平面BEDF，故C正确；
1 1
对于D， Q AA 1 //BB 1 ，AA 1 Ë平面BB 1 D 1 ，BB 1 Ì平面BB 1 D 1 ，
\AA//平面BBD ，
1 1 1
所以点F 到平面BBD 的距离为定值，又△BBD的面积为定值，
1 1 1 1
\ 三棱锥F-BBD 的体积为定值，
1 1
故三棱锥B -BDF的体积为定值，D正确．
1 1
4．（2026·四川内江·二模）在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点P 是棱BC的中点，点Q 在正方形
1 1 1 1
AABB内部（不含边界）运动，若PQ / /平面ACCA，则（ ）
1 1 1 1A．点Q 的轨迹经过线段AB的中点
1
B．点Q 的轨迹长度为 2
2
C．三棱锥Q-ACC的体积为定值
1 3
D．球面经过A，B ，C ，Q 四点的球的半径最小值为 2
【答案】ACD
【详解】如图，取AB,AB的中点E,F ，连接EF，EP，易知EF//AA，
1 1 1
又AA Ì平面ACCA，EF Ë平面ACCA，所以EF //平面ACCA.
1 1 1 1 1 1 1
又P 是BC中点，所以EP//AC，又AC Ì平面ACCA，EPË平面ACCA，所以EP//平面ACCA，
1 1 1 1 1 1
又EP I EF = E,EP,EF Ì平面PEF，所以平面PEF //平面ACC 1 A 1 .
又PQ / /平面ACCA，则PQ Ì 平面PEF，又点Q 在正方形AABB内部（不含边界）运动，且平面PEF
1 1 1 1 I
平面AABB=EF，
1 1
所以点Q 的轨迹为线段EF（不含端点）.
对于A，连接AB，由正方体的性质易知AB与EF相交，且交点为AB的中点，所以A正确；
1 1 1
对于B，因为EF=AA =2，所以点Q 的轨迹长度为2，故B错误；
1
对于C，因为PQ / /平面ACCA，点P 是棱BC的中点，
1 1
1 1 1 1 1 2
则V =V = V = V = ´ ´ ´2´2´2= ，所以C正确；
Q-ACC 1 P-ACC 1 2 B-ACC 1 2 C 1 -ACB 2 3 2 3
对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2，
则A0,0,0,B2,0,0,C2,2,0，设G1,0,t0<t<2，球心Ox,y,z，半径为R ，
ìx2+y2+z2 =R2
ï
ïï x-22 +y2+z2 =R2 t2-1
由AO=BO=CO=GO=R，得到í ，解得x =1,y =1，z= ，
ï x-22 +y-22 +z2 =R2 2t
ï
ïî
x-12 +y2+z-t2 =R21æ 1ö 2 æ 1ö 2
所以R2 =2+ çt- ÷ ，又0<t<2，且 çt- ÷ ³ 0，所以当t=1时，R 取到最小值，最小值为 2，故D正
4è tø è t ø
确.
5．（2026·江苏镇江·一模）如图点P 是棱长为2的正方体ABCD-ABCD的表面上一个动点，F 是线段AB
1 1 1 1 1 1
的中点，则（ ）
A．当P 为BC 的中点时，AP^DF
1 1 1
π
B．当P 在面BCCB上，且直线AP与CD所成的角为45°时，点P 的轨迹长度为
1 1 2
8
C．三棱锥A-PBD体积的最大值为
1 1 3
D．当PF//平面BCD时，线段PF长度最大值为2
2
1 1
【答案】ACD
【详解】对于A，当P 为BC 的中点时，
1 1
因为F 是线段AB 的中点，所以DF^AP，
1 1 1 1
在正方体中，AA ^平面ABCD，
1 1 1 1
因为DFÌ平面ABCD，所以AA ^DF，
1 1 1 1 1 1
因为AA
1I
A
1
P=A
1
，且AA
1
,A
1
PÌ平面AA
1
P，
所以DF^平面AAP，
1 1
因为APÌ平面AAP，所以AP^DF，故A正确；
1 1
对于B，连接AC，AB，以B 为圆心，BB为半径画BC，如图1所示，
1 1 1当点P 在弧BC上时，直线AP与AB所成的角为45°，
1
1
BC长度 ´π´22 =π，故点P 的轨迹长度为π，故B错误：
1 4
对于C，因为V
A-PB 1 D 1
=V
P-AB 1 D 1
，而等边V AB
1
D
1
的面积为定值2 3，
要使三棱锥P-ABD的体积最大，当且仅当点P 到平面ABD 的距离最大，
1 1 1 1
易知点C 是正方体到平面ABD 距离最大的点，
1 1
 
所以 V =V ，此时三棱锥C-ABD 即为棱长是2 2 的正四面体，
A-PBD C-ABD 1 1
1 1 max 1 1
 2 æ2 ö 2 4 3
其高为h= 2 2 -ç 6÷ = ，
è3 ø 3
1 1 3 4 3 8
所以V = ´ ´2 2´2 2´ ´ = ，故C正确；
C-AB1D1 3 2 2 3 3
对于D，取AD ，DD，DC，CB，BB，AB的中点分别为Q ，R ，N ，M，T ，H，
1 1 1 1
连接QR ，QF ，FT ，TM，MN，NR，FH，HN，HM ，如图2所示，
易知FT/ /DC，DCÌ面D B C ，FT Ë 平面D B C ，
1 1 1 1 1 1
故FT //平面D B C ，TM//BC，TM Ë平面D B C ，BCÌ平面D B C ，
1 1 1 1 1 1 1 1
故TM //平面D 1 B 1 C ，又FT I TM =T ，FT ，TM Ì平面FTM，
故平面FTM //平面D B C ，又QF//NM，QR/ /TM，RN / / FT ，
1 1
故平面FTMNRQ 与平面FTM是同一个平面，则点P 的轨迹为该正六边形，
FN = FH2+HN2 = 4+4 =2 2；故FP =FN =2 2，故FP长度的最大值为2 2 ，故D正确.
max
6．（2026·山东青岛·一模）已知四面体ABCD满足AB= AC =CD=BD=2，BC = 2 2 ，点A，B ，C ，D
均在球O的表面上，球O与四面体的4个面均相切，过直线OO 的平面截四面体ABCD所得的截面的面积
1 2 1 2
为S，则（ ）
A．球O的表面积为8π B．当四面体ABCD体积最大时，OO =2- 2
1 1 2
15
C．当AD= 2时，S的最大值为 3 D．当AD= 2时，S的最小值为
5
【答案】ACD
【详解】对于A， Q AB= AC =CD=BD=2，BC = 2 2 ，
\AB2+AC2 =BC2,CD2+BD2 =BC2，
\AB ^ AC,CD ^ BD ，
1
则BC的中点为四面体ABCD的外接球球心O，半径R= BC= 2，表面积为8π，故A正确；
1 2
1
对于B，AO =DO = 2，又S = ´2´2=2，
1 1 VBCD 2
当AO ^平面BCD时，四面体ABCD体积最大，
1
Q DO 1 Ì平面BCD，\AO 1 ^DO 1 ，
\AD = AO 1 2 +DO 1 2 =2，即 V ABD和 V ACD为全等的等边三角形，
1
则S =S = ´2´2´sin60°= 3，
VABD VACD 2
\ 四面体ABCD的表面积S =S +S +S +S =2+2+ 3+ 3=4+2 3，
VABC VBCD VABD VACD
1 1 2 2
V = S ×AO = ´2´ 2 = ，
A-BCD 3 VBCD 1 3 3
3V 2 2
则四面体ABCD内切球半径r = A-BCD = =2 2- 6 ，
S 4+2 3
易得BC ^平面ADO ，故四面体ABCD关于平面ADO 对称，
1 1则内切球球心O在平面ADO 上，
2 1
过O分别作OM ^AO,ON^DO，则BC^OM,BC^ON，
2 2 1 2 1 2 2
Q
AO
1I
BC=O
1
,AO
1
,BCÌ平面ABC，
\OM^平面ABC，同理可得ON^平面BCD，
2 2
\O M =O N =r =2 2- 6，即四边形OMON为正方形，
2 2 2 1
\OO = 2O M =4-2 3，故B错误；
1 2 2
对于CD，根据题意内切球球心O在平面ADO 上，且OO 为ÐAOD的角平分线，
2 1 1 2 1
设AD的中点为E ，又AO =DO = AD= 2，故直线OO 为直线AE，
1 1 1 2
则V ABC, V ADO 1 为其中一个截面，
又BC ^平面ADO ，O E Ì 平面ADO ，
1 1 1
1 6 1 3 6
\BC^OE，S = ´2 2´ = 3,S = ´ 2´ = ，
1 VABE 2 2 VADO1 2 2 4
在BD上取一点P ，作截面PEQO ，
1
由对称性可知，截面PEQO
1
关于O
1
E对称，即当V PEO
1
面积最小时，截面面积最小，
以O为原点建立空间直角坐标系，
1
    æ 3 2 6ö
则B 2,0,0 ,D 0, 2,0 ,Eç0, , ÷，
ç ÷
4 4
è ø
uuur   uuuur æ 3 2 6ö uuuur  
BD= - 2, 2,0 ,OE=ç0, , ÷,OD= 0, 2,0
1 ç 4 4 ÷ 1
è ø
设异面直线BD、OE的公共法向量为nr=x,y,z，距离为d
，
1
ìnr× u B u D ur =- 2x+ 2y=0
ï r  
\í
ïnr×O uuu E ur = 3 2 y+ 6 z=0
，不妨取x =1，则n= 1,1, 3 ，
î 1 4 4
nr×O uuu D ur
\d = 1 = 2 = 10 ，
nr 5 510 1 6 10 15
即点P 到O E距离的最小值为 ，此时S = ´ ´ = ，
1 5 VPEO1 2 2 5 10
15
则截面PEQO 面积最小值为 ，
1
5
15
综上，过直线OO 的平面截四面体ABCD所得的截面的面积最大值为 3，最小值为 ，故CD正确．
1 2
5
7．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=AA =2，AB^AC，点P、
1 1 1 1
Q、M、N分别是BB、CC、AA、BC的中点，则（ ）
1 1 1
A．P、Q、M、N四点共面 B．线段BC为直三棱柱ABC-ABC外接球的直径
1 1 1 1
2 3
C．三棱锥P-AQN的体积为 D．直线MN与AC所成角余弦值为
1 3 3
【答案】BCD
【详解】对于A，直线QN Ì 平面BCCB，点PÎ平面BCCB，
1 1 1 1
而PÏ直线QN ，点M Ï平面BCCB，
1 1
因此直线PM与直线QN 是异面直线，则P,M,Q,N 四点不共面，A错误；
对于B，将三棱柱ABC-ABC补形为正方体，AB,AC,AA为该正方体共点的三条棱，
1 1 1 1
矩形BCCB为该正方体对角面，则BC为三棱柱ABC-ABC外接球直径，B正确；
1 1 1 1 1 1
对于C，点A到平面BCCB的距离为 2，
1 1 1
1 1 2
则V =V = ´ ´2 2´1´ 2= ，C正确；
P-A 1 QN A 1 -PQN 3 2 3
对于D，取AB中点O ，连接OM ,ON ，由N 是BC中点，得ON//AC，
则ÐMNO是异面直线MN与AC所成角或其补角，
由已知AC^ AB，AC^AA，ABÇAA =A，AB,AA Ì 平面ABBA，
1 1 1 1 1
所以AC ^平面ABBA，故ON ^平面ABBA，
1 1 1 1
1
又OM Ì平面ABBA，于是ON ^OM ，而ON= AC=1,OM = 12+12 = 2，
1 1 2ON 1 3
则MN = OM2+ON2 = 3，因此cosÐMNO = = = ，D正确.
MN 3 3
三、解答题
8．（2026·江西·一模）如图，在四棱锥E-ABCD中，底面是直角梯形ABCD,AB∥DC ，
ÐADC=90o,AB=2,CD=1,AD= 3,AE= 6, BCE为正三角形，且平面BCE ^平面ABCD．
V
(1)求证：BC^ AE；
(2)求直线AB和平面ADE所成角的正弦值；
(3)设点P 是三棱锥E-ABC外接球上一点，求点P 到平面ADE距离的最大值．
【答案】(1)证明见解析
2 7
(2)
7
15 7
(3) +
3 7
【详解】（1）设O为BC的中点，连接AC,OA,OE ，
由题得AC = DC2 + AD2 = 2,BC = 2-12 +  3 2 = 2，
所以 ABC为正三角形，则OA^ BC,OE ^ BC,OAÇOE =O，
V
所以BC ^平面EOA， AEÌ平面EOA，\BC ^ AE．
Q（2）由（1）可知OA,OB,OE 两两垂直，故以O 为坐标原点，OA,OB,OE 所在直线为x,y,z轴建立空间直
角坐标系，
  æ 3 3 ö   uuur  
则A 3,0,0 ，B0,1,0，C0,-1,0，Dç ,- ,0÷，E 0,0, 3 ，AB= - 3,1,0 ，
ç ÷
2 2
è ø
uuur æ 3 3 ö uuur  
则DA=ç , ,0÷,AE= - 3,0, 3 ，
ç ÷
2 2
è ø
设平面ADE的法向量为mr =x,y,z，
ì ïmr× u D uu A r = 3 x+ 3 y=0
则í 2 2 ，
ï îmr× u A u E ur =- 3x+ 3z=0
r  
令x= 3，则z = 3,y =-1，则m= 3,-1, 3 ，
u A u B ur ×mr
则sina= cos u A u B ur ,mr = = 4 = 2 7 ，
mr × u A u B ur 2 7 7
2 7
所以直线AB和平面ADE所成角的正弦值为 .
7
（3）设外接球的球心为Q ，分别过
V
ABC和
V
BCE外心作平面ABC和平面BCE的垂线，
æ 3 3ö 15
垂线的交点就是球心，易求Qç ,0, ÷，则外接球的半径R= QA = ，
ç ÷
è 3 3 ø 3
uuur æ 2 3 3ö u A u Q ur ×mr 1 7
又AQ=ç- ,0, ÷，所以点Q 到平面ADE的距离d = = = ，
ç è 3 3 ÷ ø mr 7 715 7
所以点P 到平面ADE距离的最大值为d+R= + .
3 7
9．（2026·湖北襄阳·一模）如图，正三角形ABC¢和平行四边形ABDE在同一个平面内，其中AB=4，
BD=AD= 31，AB，DE的中点分别为F，G．将△ABC¢沿直线AB翻折到 V ABC，使二面角C - AB-D
为120°，设CE的中点为H．
(1)求证：平面CDF// 平面AGH ；
(2)求平面CDE与平面DEF的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
4 19
(2)
19
【详解】（1）因为四边形ABDE为平行四边形，F、G分别为AB,DE 的中点，
所以四边形FDGA为平行四边形，所以FD//AG．
因为FD Ë平面AGH ，AG Ì平面AGH ，所以FD//平面AGH ，
又H、G分别为CE,DE 的中点，所以HG//CD．
CD Ë 平面AGH ，HG Ì平面AGH ，所以CD//平面AGH ，
因为FD、CD Ì 平面CDF ，FDÇCD = D，
所以平面CDF// 平面AGH ．
（2）因为三角形ABC为正三角形，BD=AD，F为AB的中点，
所以AB^CF，AB^DF，
所以ÐCFD为二面角C - AB-D的平面角，
又CF DF = F，CF,DF Ì 平面CDF ，
I
所以AB^平面CDF ，因为ABÌ平面ABDE，所以平面CDF ^平面ABDE．
作CO ^平面ABDE于O，则O在直线DF上．
又二面角C - AB-D的平面角为ÐCFD=120°，
所以O在线段DF的延长线上．由已知得CF=2 3，则FO= 3，CO=3．
以F为原点，FD,FA 所在直线分别为x轴、y轴，过点F平行于OC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
如图，因为AB=4，BD=AD= 31 ，所以DF=3 3，
     
则A0,2,0，B0,-2,0，D 3 3,0,0 ，E 3 3,4,0 ，C - 3,0,3 ，
uuur   uuur
则CD= 4 3,0,-3 ，DE=0,4,0，
设平面CDE的一个法向量为nr=x,y,z，
r uuur ìï4 3x-3z=0
则由n^CD，n r ^ u D uu E r，得í ，
ïî4y=0
r  
令z=4 3，得n= 3,0,4 3 ．
易得平面DEF的一个法向量mr =0,0,1，
r r
n×m 4 19
r r
所以平面CDE与平面DEF的夹角的余弦值为 cosn,m = = ．
r r
n m 19
10．（2026·广东佛山·二模）如图，PB是圆柱OO的母线，四边形ABCD是底面内接正方形．点E, F 是棱BC,CD
1
上的动点（E, F 不与端点重合），且CE=DF．
(1)证明：AE ^平面PBF；
(2)已知圆柱OO的体积为π，PB=2，点A到直线PF的距离是1．
1
（i）求CE的长度；
（ii）求直线CD与平面PAE所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
1 14
(2)（i）CE = ；（ii） .
3 7BE CF
【详解】（1）在正方形ABCD中，由CE=DF，得BE=CF，tanÐBAE= = =tanÐCBF，
AB BC
则ÐBAE =ÐCBF，ÐBAE +ÐFBA = ÐCBF +ÐFBA = 90o，因此AE^BF，
由PB是圆柱OO的母线，得PB^平面ABCD，而AE Ì平面ABCD，则AE^PB，
1
又BF
I
PB = B,BF,PB Ì 平面PBF，所以AE ^平面PBF.
（2）（i）设圆柱OO的底面圆半径为r，圆柱OO的体积为π，PB=2，得πr2×PB = π，
1 1
2
解得r = ，则AB=BC=1，显然直线BA,BC,BP 两两垂直，
2
以点B 为原点，直线BA,BC,BP 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0),C(0,1,0),D(1,1,0),P(0,0,2)，设BE = t(0 < t <1)，则E(0,t,0),F(t,1,0)，
uuur uuur
AP=(-1,0,2),PF =(t,1,-2)，由点A到直线PF的距离是1，
uuur uuur
得 | u A u P ur |2 -( AP×PF )2 =1，则5-( -t-4 )2 =1，而0<t<1，解得t= 2 ，
uuur
|PF| t2+5 3
1
所以CE=BC-BE= .
3
uuur uuur 2 r
（ii）CD=(1,0,0)，AE=(-1, ,0)，设平面PAE的法向量为n=(x,y,z)，
3
ì nr × u A u P ur =-x+2z=0
ï
ï r
则í ，取z =1，得n=(2,3,1)，设直线CD与平面PAE所成的角为q，
ïnr × u A u E ur =-x+ 2 y=0
ïî 3
r uuur
r uuur |n×CD| 2 14
则sinq=|cosán,CDñ|= r uuur = = ，
|n||CD| 14×1 7
14
所以直线CD与平面PAE所成角的正弦值为 .
7
11．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体ABCD-EFGH 中，AB=2 2，AD=4，AE= 3，点M
在棱EH上，点P 在棱FG上，且EM =GP=1.(1)证明：MP^BH ；
(2)求直线BH与平面BMP所成角的余弦值；
(3)在棱FP上是否存在点Q ，使得Q到平面BMP的距离与Q到平面BFM 的距离相等？若存在，求出FQ的
长；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
5
(2) 3
9
(3)存在符合题意的Q点，FQ=1
【详解】（1）证明：连接FH 交MP于点O，MH =FP=3，
 2
FM =HP= 2 2 +12 =3，故FMHP为菱形，
故MP^FH ，由长方体得BF ^平面EFGH ，
由MPÌ平面EFGH ，知MP^BF；
由BF
I
FH =F ，BF Ì平面BFH ，FH Ì平面BFH ，
知MP^平面BFH ，由BH Ì平面BFH ，知MP^BH.
（2）如图所示，连接BO，由（1）知，MP^平面BFH ，
又由MPÌ平面BMP，平面BMP^平面BFH ，交线为BO，
故点H在平面BMP的投影必在直线BO上，
故直线BH 与平面BMP所成角即为ÐHBO，
1 1  2
在△HBO中，OH = FH = 2 2 +42 = 6，
2 2
 2  2  2  2
BO= 3 + 6 =3，BH = 3 + 2 6 =3 3，
 2  2
BH2+BO2-OH2 3 3 +32- 6 5
故由余弦定理得 ，
cosÐHBO= = = 3
2·BH·BO 2´3 3´3 9
5
即直线BH 与平面BMP所成角的余弦值为 3；
9
（3）假设存在点Q满足条件，记Q到平面BMP的距离=Q到平面BFM 的距离=d，1
S ×d
则 V Q-BFM = 3 △BFM = S △BFM ，由（1）（2）知S = 1 BF×FM = 3 3，
V 1 S △BFM 2 2
Q-BMP S ×d △BMP
3 △BMP
BM =MP=BP=2 3，故S = 3 ×  2 3 2 =3 3；则 V Q-BFM = S △BFM = 1 ，
VBMP 4 V S 2
Q-BMP △BMP
V V FQ 1
另一方面 Q-BFM = B-FMQ = = ，
V V QP 2
Q-BMP B-PMQ
1
故FQ= FP=1，综上所述，存在符合题意的Q点，FQ=1.
3
押题猜想 07 概率统计-用样本估计总体、统计、条件概率
试题前瞻·能力先查
限时：5min
1 7 5
【原创题】（多选题）设A,B是一个试验中的两个事件，且P(A)= ,P(B)= ,P(AB+AB)= ，则下列
2 12 12
结论正确的有（ ）
1 5
A．PAB= B．PA+B=
3 12
2
C．PB|A= D．P(B|A)+P(A|B)=1
3
【答案】AC
【分析】利用条件概率，和事件的概率公式求解.
【详解】选项A， P(AB)=P(B)-P(AB)，P(AB)=P(A)-P(AB)，
Q
\P  AB+AB  =P  AB  +P  AB  =PB-PAB+PA-PAB=PB-2PAB+PA，
1 7 5
P(A)= ,P(B)= ,P(AB+AB)= ，
Q
2 12 12
5 7 1 1
\ = -2P(AB)+ ，\P(AB)= ，故选项A正确；
12 12 2 3
1 7 1 3
选项B，PA+B=PA+PB-PAB= + - = ，故选项B错误；
2 12 3 4
1
选项C，PB|A= PAB = 3 = 2 ，故选项C正确；
PA 1 3
2
1 1 1 7 1 1
选项D，P(AB)=P(A)-P(AB)= - = ，P(AB)=P(B)-P(AB)= - = ，
2 3 6 12 3 41 1
  P  AB  6 1   P  AB  4 3
P B A = = = ，P A B = = = ，
PA 1 3 PB 7 7
2 12
    1 3 16
P B A +P A B = + = ¹1，故选项D错误.
3 7 21
故选：AC.
分析有理·押题有据
条件概率连续三年都没有考察，所以会是今年大概率的考察内容，统计图也是近三年都没考察的内容，
包括用样本估计总体都是重点需要关注的内容，去年概率大题考察的是独立性检验，23年考察的是二点分
布，今年大题大概率会是超几何分布和二项分布结合统计图的考察。用样本方差和样本均值估计总体方差
和均值需要重点理解。
密押预测·精练通关
一、多选题
1．（2026·广西河池·二模）下列结论正确的是（ ）
A．样本数据12，13，15，18，19，21，23，24，26，27的第70百分位数为23
1
B．若一组样本数据x
1
,x
2
,L,x
10
的方差s2 =
10
é
ë
x
1
-62 +x
2
-62 +
L
+x
10
-62ù
û
，则这组样本数据的总
和为60
æ 1ö
C．若随机变量X 服从二项分布Bç6, ÷,Y =2X +3，则EY=9
è 2ø
D．若随机变量X 服从正态分布N  6,s2 ，且P3< X <6=0.35，则PX >9=0.15
【答案】BCD
【详解】选项A，样本共n=10个数据，10´70%=7，7为整数，第70百分位数为第7项和第8项数据的平
23+24
均值，即 =23.5¹23，A错误
2
1 i=1 1
选项B，方差s2 =
n
å
n
(x
i
-x)2，因为s2 =
10
é
ë
x
1
-62 +x
2
-62 +
L
+x
10
-62ù
û
，故样本均值x=6,样本总
和=10´x =60，B正确
æ 1ö 1
选项C，若X
:
Bç6, ÷，则E(X)=np=6´ =3，根据期望性质E(aX +b)=aE(X)+b，得
è 2ø 2
E(Y)=E(2X +3)=2´3+3=9，C正确
选项D，正态分布N(6,s2)的对称轴为x=6，由对称性得P(6<x<9)=P3< X <6=0.35，则
PX >9=P(X >6)-P(6<x<9)=0.5-0.35=0.15，D正确
2．（2026·广东东莞·模拟预测）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，若命中则此人继续投篮，若未命4 3
中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 ，乙每次投篮的命中率均为 .由
5 5
1
抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为 ，记“第i次投篮的人是甲”为事件A，
2 i
前3次中甲投篮的次数为X，则以下结论正确的是（ ）
A．P  A |A  = 2 B．PA = 7
2 1 5 2 10
11 87
C．PX =1= D．EX=
50 50
【答案】ACD
 
【详解】对于A，P A |A 表示在第1次投篮的人是乙的条件下，第2次投篮的人的概率为甲的概率，
2 1
3 3 2
因为乙投篮未命中则换甲投篮，乙每次命中率均为 ，所以乙未命中的概率为1- = ，
5 5 5
  2
所以P A |A = ，故A正确；
2 1 5
对于B，PA |A表示在第1次投篮的人是甲的条件下，第2次投篮的人的概率为甲的概率，
2 1
4 4
因为甲每次命中率均为 ，所以PA |A= ，
5 2 1 5
PA =P(A)P  A |A  +P(A)PA |A= 1 ´ 2 + 1 ´ 4 = 3 ，故B错误；
2 1 2 1 1 2 1 2 5 2 5 5
对于C，PX =1表示前3次中甲投篮的次数为1次的概率，有三种情况：
1 4 3 3
第一种情况是第一次甲投篮未中，第二次乙投篮命中，其概率为 ´(1- )´ = ；
2 5 5 50
1 3 3 6
第二种情况是第一次乙投篮命中，第二次乙投篮未命中，其概率为 ´ ´(1- )= ；
2 5 5 50
第三种情况是第一次乙投篮未命中，第二次甲投篮未命中，
1 3 4 2
其概率为 ´(1- )´(1- )= ；
2 5 5 50
3 6 2 11
所以PX =1= + + = ，故C正确；
50 50 50 50
对于D，X 的可能取值为0,1,2,3，
1 æ3ö 2 9 11
PX =0= ´ç ÷ = ，由C选项可知PX =1= ，
2 è5ø 50 50
1 æ4ö 2 16 14
PX =3= ´ç ÷ = ，PX =2=1-PX =0-PX =1-PX =3= ，
2 è5ø 50 50
9 11 14 16 87
所以EX=0´ +1´ +2´ +3´ = ，故D正确.
50 50 50 50 50
3．（2026·广东·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件A,B存PAPB∣A
在如下关系：PA∣B=
．张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运
PB
2 1
动．张同学第一天选择室内健身的概率为 ，选择户外运动的概率为 ．如果第一天选择室内健身，那么第
3 3
1 2
二天继续选择室内健身的概率为 ；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为 ．则
2 3
张同学（ ）
5
A．第二天去室内健身的概率为
9
2
B．第二天去户外运动的概率为
9
2
C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为
5
3
D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为
4
【答案】ACD
【详解】设A表示张同学第一天选择室内健身，A 表示张同学第二天选择室内健身，
1 2
B 表示张同学第一天选择户外运动，B 表示张同学第二天选择户外运动.
1 2
2 1 1 2
则PA= ，PB = ，PA A= ，PA B = ，
1 3 1 3 2 1 2 2 1 3
PA PA A  1 1 2 1
因为PA A= 2 1 2 = ，所以PA PA A = ´ = ，
2 1 PA 2 2 1 2 2 3 3
1
PA PB A  2 2 1 2
因为PA B = 2 1 2 = ，所以PA PB A = ´ = ，
2 1 PB  3 2 1 2 3 3 9
1
1 2 5
对于A，PA =PA PA A +PA PB A = + = ，故A正确；
2 2 1 2 2 1 2 3 9 9
5 4
对于B，因为PB =1-PA =1- = ，故B错误；
2 2 9 9
2 2
对于C，因为PB A = 9 = 9 = 2 ，故C正确；
1 2 PA  5 5
2
9
2 æ 1ö
对于D，因为PA B = PA 1 PB 2 A 1  = PA 1 é ë 1-PA 2 A 1 ù û = 3 ´ç è 1- 2 ÷ ø = 3 ，故D正确.
1 2 PB  PB  4 4
2 2
9
4．（2026·湖北黄冈·一模）下列说法正确的是（ ）
A．样本相关系数r越大，则线性相关性越强
B．1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15C．随机变量X 的方差D(X)=20，期望E(X)=6，则E
 X2
=16
D．某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50
个学生的数学成绩的方差为10.8
【答案】BD
【详解】A：样本相关系数r的绝对值越大，则线性相关性越强，则A错误；
B：该组数据共8个数据，又8´75%=6，
12+18
因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即 =15，因此B正确；
2
C：因为DX=E  X2 -E2X，由方差DX=20，期望E(X)=6，可得E  X2 =56，即C错误.
3 2
D：易知全班50个学生的数学成绩的平均值为 ´90+ ´85=88，
5 5
3 2 54
因此方差为 é4+90-882ù+ é6+85-882ù= =10.8，即D正确.
5ë û 5ë û 5
5．（2026·四川绵阳·模拟预测）设A，B分别为随机事件A,B的对立事件，以下概率均不为零，则下列结
论正确的有（ ）
A．PB=PAPB|A+P  A  P  B|A 
B．若PB|A=PB，则PA|B=PA
C．PABC=PAPB|APC|AB
D．PB|A+P  B|A  =1
【答案】ABC
【分析】根据全概率公式、条件概率公式等知识逐项计算判断即可.
【详解】对于A，由全概率公式得，PB=PAPB|A+P  A  P  B|A  ，故A正确；
PAB
对于B，PB|A= =PB，所以PAB=PAPB，所以A，B相互独立，
PA
PAB PAPB
那么PA∣B= = =PA，故B正确；
PB PB
PAB PABC
对于C，PA×PB|A×PC|AB=PA× × =PABC，故C正确；
PA PAB
对于D，PB|A表示在A发生的条件下B发生的概率，P  B|A  表示在A发生的条件下B发生的概率，
两者之和不一定为1，例如：设A为“掷骰子点数为偶数”，A为“掷骰子点数为奇数”，
2 2 4
B为“掷骰子点数大于2”，则PB|A= ，P  B|A  = ，和为 ，D错误.
3 3 3
6．（2026·山东枣庄·二模）下列命题正确的是（ ）A．若同等容量且足够大的A,B两组成对数据的样本相关系数分别为r =0.88,r =-0.99，则A组数据比
A B
B组数据的线性相关性更强
B．数据1,2,4,5,6,8,9的第60百分位数为6
C．总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：
m,x,s2,n,y,s2，记总的样本平均数为w，总的样本方差为s2，则有
1 2
m n
s2 = és2+x-w2ù+ és2+y-w2ù
m+në 1 û m+në 2 û
D．根据分类变量X 与Y的成对样本数据，计算得到c2 =9.632，依据小概率值a=0.001的c2独立性检
验x =10.828，可判断X 与Y有关联，此时推断犯错误的概率不大于0.001
0.001
【答案】BC
【分析】借助样本相关系数与线性相关性强弱关系可得A；借助百分位数定义可得B；由分层抽样方差公式
可得C；利用独立性检验定义可得D.
【详解】对于A：由 r < r ，故B组数据比A组数据的线性相关性更强，故A错误；
A B
对于B：7´0.6=4.2，则这组数据的第60百分位数为6，故B正确；
m n
对于C：分层抽样方差公式为s2 = és2+x-w2ù+ és2+y-w2ù，
m+në 1 û m+në 2 û
故C正确；
对与D：由c2 =9.632<10.828，故不能在a=0.001的小概率值下判断X 与Y有关联，
故D错误.
7．（2026·贵州毕节·二模）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，
满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的有（ ）
A．[90,100]对应矩形的高度为0.016
B．样本众数估计值为75
C．样本平均数估计值为77.4
D．样本成绩的第70百分位数落在70,80内
【答案】ABC
【分析】A选项利用矩形的面积之和为1列方程求解，B选项根据众数的定义以及直方图中最高的矩形条来判断，C选项根据平均值的公式计算，D选项判断样本数据在[50,80]的频率和[50,90]的频率，可得到70百
分位数的范围.
【详解】设[90,100]对应矩形的高度为x，则(0.006+0.020+0.034+0.024+x)´10=1，
解得x=0.016，A选项正确；
由图可知，[70,80]的数据最多，众数的估计值为75，B选项正确；
平均值为：55´0.006+65´0.02+75´0.034+85´0.024+95´0.016´10=77.4，C选项正确；
样本数据[50,80]的频率为0.006+0.020+0.034´10=0.6<0.7，
样本数据[50,90]的频率为0.006+0.020+0.034+0.024´10=0.84>0.7，
故样本成绩的第70百分位数落在80,90内，D选项错误.
二、应用题
8．（2026·安徽滁州·一模）某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示．
学习强度指数Q Q£20 20<Q<80 Q³80
概率 0.2 0.5 0.3
应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对
(1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数Q<80的人数为X，求P(X =1)及X的数学期望．
P(N∣M)
(2)定义 为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件A=“该学生学习有压力”（勉强应对
P(N∣M)
和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件B=“该学生困难应对”，求在事
件A发生的条件下事件B发生的优势．
【答案】(1)PX =1=0.189，X 的数学期望为2.1；
3
(2) ；
5
【详解】（1）解：由表可知，学习强度指数Q<80的概率为：
PQ<80=PQ£20+P20<Q<80=0.2+0.5=0.7,
从该市随机选取3名学生，记学习强度指数Q<80的人数为X ，则X 服从二项分布B3,0.7，
所以PX =1=C1´0.71´1-0.72 =3´0.7´0.09=0.189；
3
X
的数学期望为：EX=3´0.7=2.1；
（2）解：由题意可知，事件A为“该学生学习有压力”，事件B为“该学生困难应对”.
PA=P20<Q<80+PQ³80=0.5+0.3=0.8，PB=PQ³80=0.3，
因为事件B包含于事件A中，所以PAB=PB=0.3，PAB 0.3 3
在事件A发生的条件下事件B发生的概率为：PB|A= = = ，
PA 0.8 8
3 5
在事件A发生的条件下事件B发生的概率为：P  B|A  =1-PB|A=1- = ，
8 8
3
PB|A 8 3
所以在事件A发生的条件下事件B发生的优势为： = = .
P  B|A  5 5
8
9．（2026高三·全国·专题练习）某连锁餐厅有n  nÎN* 家分店，将分店按照规模从小到大依次编为1号到n
号．每家分店都配备了一定数量的员工，配备方案为：第k号分店员工包含第k号店长和k

1£k
£n,kÎN*
名服务员．为了加强各分店之间的员工交流与经验分享，提升整体服务水平，餐厅总部决定进行员工轮岗
工作．具体安排为：从每家分店随机选派1名员工到下一家分店进行工作，即从1号分店选派1名员工到2号
分店，再从2号分店（含轮岗人员）选派1名员工到3号分店，依次类推，从n-1号分店选派1名员工到n号
分店．轮岗结束后，从第n号分店任选1名员工进行服务反馈调查，并选派至1号分店，记选中店长的概率
为P．
n
(1)当n=2时，求P 的值；
2
(2)在第4号分店选中店长的条件下，若该店长为第X 号店长，求随机变量X 的分布列；
3
【答案】(1)
8
(2)
X 1 2 3 4
1 2 8 40
P
51 51 51 51
【详解】（1）由题意可知，1号店中有1名店长和1名员工，2号店中有1名店长和2名员工，
当n=2时，记事件A:从1号店中选派1名店长去2号店，则事件A:从1号店中选派1名员工去2号店，
记事件B:从2号店中选派1名店长去1号店，
则PA=P  A  = 1 ，PB A= 1 ，P  B A  = 1 ，
2 2 4
由全概率公式可得P =PB=PA×PB A+P  A  ×P  B A  = 1 ´ 1 + 1 ´ 1 = 3 .
2 2 2 2 4 8
（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有1、2、3、4，
记事件A :轮岗后，4号分店店长的人数为ii=1,2，
i
1 3 4 1 1 4 1 1 3 1 1 3 29
则PA= ´ ´ + ´ ´ + ´ ´ + ´ ´ = ，
1 2 4 5 2 2 5 2 4 5 2 2 5 4011
则PA =1-PA= ，
2 1 40
记事件C:在第4号分店选中店长，
29 1 11 2 51
则PC= ´ + ´ =
40 6 40 6 240
当X =1时，说明从1号店、2号店、3号店、4号店，每次派出的都是1号店店长，
1 1 1 1 51 1
所以PX =1= ´ ´ ´ ¸ = ，
2 4 5 6 240 51
当X =2时，说明从2号店、3号店、4号店，每次派出的都是2号店店长，
1 1 1 51 2
所以PX =2=1´ ´ ´ ¸ = ，
4 5 6 240 51
当X =3时，说明从3号店、4号店，每次派出的都是3号店店长，
1 1 51 8
所以PX =3=1´1´ ´ ¸ = ，
5 6 240 51
当X =4时，说明最后一次从4号店派出的是4号店店长，
1 51 40
所以PX =4= ¸ = .
6 240 51
所以，随机变量X 的分布列如下表所示：
X 1 2 3 4
1 2 8 40
P
51 51 51 51
10．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “春节联欢晚会” 的喜
爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件A= “喜欢春节联欢晚
3 2
会”，B= “学生为女生”，据统计有：PA∣B= ,PB∣A= .
5 3
(1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中
随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为X . 求X 的概率分布列和期望;
(2)将样本的频率视为概率. 现从全校的学生中随机抽取n名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为Y，
且当Y =18时，PY取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数n.
【答案】(1)
X 0 1 2
2 8 1
P
15 15 36
EX=
5
(2)n=39或40或41
3
【详解】（1）由PA∣B= ，所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为6
5
人和4人，
故X 的取值为0,1,2，
C2 2 C1C1 8 C2 1
则PX =0= 4 = ,PX =1= 6 4 = ,PX =2= 6 = ，
C2 15 C2 15 C2 3
10 10 10
X 的分布列为：
X 0 1 2
2 8 1
P
15 15 3
2 8 1 6
故X 的期望为EX= ´0+ ´1+ ´2= .
15 15 3 5
3
（2）（i）由已知 PA∣B= ，女生有 100 人，
5
所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为 60 人，
2
又因为PB∣A= ，所以喜欢春节联欢晚会的人数为 90 人，
3
由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生，
90 9
他喜欢春节联欢晚会的概率为 = ，
200 20
æ 9 ö æ 9 ö k æ11ö n-k
则随机变量Y ~Bç è n, 20 ÷ ø ,PY =k=Ck n ç è20 ÷ ø ç è20 ÷ ø k =0,1,2, L ,n，
ì æ 9 ö 18 æ11ö n-18 æ 9 ö 17 æ11ö n-17
ïC18
ç ÷ ç ÷
³C17
ç ÷ ç ÷
ï n è20ø è20ø n è20ø è20ø 371
令 í ， 解得39£n£ ，
ï æ 9 ö 18 æ11ö n-18 æ 9 ö 19 æ11ö n-19 9
ï î
C1
n
8
ç è20 ÷ ø ç è20 ÷ ø
³C1
n
9
ç è20 ÷ ø ç è20 ÷ ø
因为nÎN*，所以n=39或40或41.
11．（2026·江苏·一模）某兴趣小组研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们到气象局和医院
抄录了1~7月份每月5日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期 1月5日 2月5日 3月5日 4月5日 5月5日 6月5日 7月5日
昼夜温差
10 11 13 12 8 7 6
x/oC感冒人数
23 25 29 26 16 13 9
y
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这7组数据中选取2组，用剩下的5组数据求经验回归方程，再用被
选取的2组数据进行检验．
(1)求选取的2组数据是不相邻的两个月的概率；
(2)若该小组选取的是1月与6月的两组数据，请根据剩下5个月份的数据：
①求出y关于x的经验回归方程yˆ =b ˆ x+aˆ；
②若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的经验回归方
程是理想的，问：该小组所得经验回归方程是否理想？说明理由．
n n
åx y -nxy åx -xy -y
i i i i
附：b ˆ = i=1 = i=1 ,aˆ= y-b ˆ x．
n n
åx2-nx2 åx -x2
i i
i=1 i=1
5
【答案】(1)
7
48 123
(2)①yˆ = x- ；②是理想的，理由见解析
17 17
【详解】（1）记事件A为“选取的2组数据是不相邻的两个月”，
C2-6 5
则PA= 7 = .
C2 7
7
1 1
（2）①由题意，x = 11+13+12+8+6=10，y = 25+29+26+16+9=21.
5 5
x -x 1 3 2 -2 -4
i
y -y 4 8 5 -5 -12
i
5
åx -xy -y
i i 4+24+10+10+48 48
则b ˆ = i=1 = = ，
5 1+9+4+4+16 17
åx -x2
i
i=1
48 123
即aˆ= y-b ˆ x=21- ´10=- ，
17 17
48 123
所以y关于x的经验回归方程为yˆ = x- .
17 17
48 123
②当x=10时，yˆ = ´10- =21, 21-23 =2；
17 17
48 123 213 213 8
当x=7时，yˆ = ´7- = , -13 = <2.
17 17 17 17 17所以该小组所得经验回归方程是理想的.
12．（25-26高三下·河南周口·月考）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识
竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成75,85，85,95，95,105，105,115，
115,125这五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）
(2)已知落在75,85内的平均成绩是80分，方差是4分，落在85,95内的平均成绩是88分，方差是6分，
求两组成绩合并后的平均数z 和方差s2.
附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为m，x ，s2；n，x ，s2，记两组数据总体的样本
1 1 2 2
m n
平均数为w，则总体样本方差s2 = és2+(x -w)2ù+ és 2+(x -w)2ù.
m+n ë 1 1 û m+n ë 2 2 û
【答案】(1)平均数100，方差104
(2)z=86.5，s2 =15.375
【详解】（1）由频率分布直方图得，
平均数x=10´(80´0.006+90´0.026+100´0.038+110´0.022+120´0.008)=100，
方差s¢2 =(80-100)2´0.006´10+(90-100)2´0.026´10+0
+(110-100)2´0.022´10+(120-100)2´0.008´10=104.
（2）第一组75,85的样本容量m=100´0.006´10=6，x =80,s2 =4，
1 1
第二组85,95的样本容量n=100´0.026´10=26，x =88,s2 =6，
2 2
6´80+26´88
所以合并后的平均数z= =86.5，
6+26
6 26
则s2 = é4+(80-86.5)2ù+ é6+(88-86.5)2ù=15.375.
ë û ë û
6+26 6+26押题猜想 08 圆锥曲线-定点定值问题
试题前瞻·能力先查
限时：12min
【2026·江苏南京·一模】已知抛物线C:y2 =2px(p>0)的焦点为F ，C上的点P4,t(t >0)到F 的距离为5．
(1)求p和t的值；
4
(2)A，B为C上两点， PAB的重心在直线y=- 上．
V
3
①证明：直线AB的斜率为定值；
②设直线AB与x轴交于点Q，线段AB的中点为T ，线段PQ的中点为R，过点P向直线TR作垂线，垂足为
H．证明：点H在定圆上运动．
【答案】(1)p=2，t =4
(2)①证明见解析②证明见解析
p
【详解】（1）抛物线C:y2 =2px的准线方程为x=- ．
2
p
根据抛物线定义， PF =5=4+ ，所以p=2．
2
因此，抛物线C的方程为y2 =4x．
将P4,t代入抛物线方程：t2 =16，又t >0，故t =4．
（2）①方法一：
设Ax,y ，Bx ,y ，
1 1 2 2
æx +x +4 y +y +4ö
则
V
PAB的重心为ç 1 2 , 1 2 ÷，
è 3 3 ø
y +y +4 4
由题意知， 1 2 =- ，则y +y =-8．
3 3 1 2
y -y y -y 4 4 1
k = 1 2 = 1 2 = = =-
所以直线AB的斜率 AB x -x y2 y 2 y +y -8 2，为定值．
1 2 1 - 2 1 2
4 4
方法二：因为直线AB的斜率不为零，
所以设直线AB的方程为x=my+n，显然4m+n¹4．
æ y2 ö æ y2 ö
设Aç 1 ,y ÷，Bç 2 ,y ÷．
è 4 1 ø è 4 2 ø
ìx=my+n
联立í ，整理得y2-4my-4n=0．
î y2 =4x
ìΔ=16m2+16n>0
ï
所以í y +y =4m .
1 2
ï
y y =-4n
î 1 2
已知P4,4，
y +y +4 4m+4
所以 ABC的重心的纵坐标 1 2 = ，
V
3 3
4m+4 4
所以 =- ，解得m=-2．
3 3
1 1
因此，直线AB的斜率k = =- ，为定值．
AB m 2
②因为直线AB的斜率不为零，
æ y2 ö æ y2 ö
所以设直线AB的方程为x=-2y+n．设Aç 1 ,y ÷，Bç 2 ,y ÷．
è 4 1 ø è 4 2 ø
ìx=-2y+n
联立í ，整理得y2+8y-4n=0．
î y2 =4x
ìΔ=642+16n>0
ï
所以í y +y =-8 .
1 2
ï
y y =-4n
î 1 2
设Tx ,y 为AB的中点，则：
3 3
y2 y2
x = 4 1 + 4 2 = y 1 +y 2 2 -2y 1 y 2 = 64+8n =n+8 ，y 3 = y 1 + 2 y 2 =-4，
3 2 8 8
即Tn+8,-4．
æn+4 ö
直线AB与x轴交点Qn,0，P4,4，则PQ中点Rç ,2÷．
è 2 ø
由于Δ=64+16n>0，所以n>-4．
所以n+12¹0．
2--4 6 12
k = = =
直线TR的斜率： TR n+4 n+12 -n-12，
-n+8 -
2 212
直线TR的方程：y+4= x-n-8，整理得12x+n+12y-8n-48=0.
-n-12
法一：
令x=-4，代入方程，解得y=8，
因此，直线TR经过定点N-4,8．
因为P4,4，PH ^TR于H，
所以H在以PN 为直径的定圆上．
法二：
由于PH ^TR，P4,4，
n+12
所以PH的方程为y-4= x-4，即n+12x-12y-4n=0，
12
ì 4  n2+36n+144 
ïx=
ìï12x+n+12y-8n-48=0
ï n2+24n+288
联立í ，得í
ïî n+12x-12y-4n=0 ï 8  n2+12n+72 
ïy= .
î n2+24n+288
æ4  n2+36n+144  8  n2+12n+72 ö
即Hç , ÷．
ç n2+24n+288 n2+24n+288 ÷
è ø
令n=0，则x=2，y=2，
4 8
令n=-3，则x= ，y= ，
5 5
令n=12，则x=4，y=4，
æ4 8ö
求得经过-2,2，ç , ÷，4,4的圆方程为x2+(y-6)2 =20，
è5 5ø
代入H的坐标符合x2+(y-6)2 =20，所以H在定圆x2+(y-6)2 =20上．
分析有理·押题有据
圆锥曲线和导数作为高考分层知识点，每年的难度都不会太小，综合知识点的考察要求也很高，去年
小题考察的是直线和圆以及双曲线离心率的问题，难度都不大。前年却是多选的压轴题且为新定义图形的
考察，所以今年的考生对于圆锥曲线的基础知识点需要熟练的掌握，简单的题目不能丢分，大概率会有一
题相对简单，一题相对困难的出现。大题去年考察的是椭圆中的最值问题，23年考察抛物线的轨迹问题。
24年的不做参考，考的太简单了，所以今年很有可能考察定点定值问题，如非对称韦达定理、定比点差和
极点极线等题目都需要足够有熟练度。
密押预测·精练通关
一、单选题
1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知点P在直线l:y=x+3上移动，椭圆C以A-1,0和B1,0为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（ ）
5 10 15 2 5
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】A
c 1
【分析】先利用待定系数法求椭圆方程，联立方程得a的范围，进一步计算离心率e= = 的范围.
a a
【详解】椭圆C以A，B为焦点，即c=1，b2 =a2-1，
x2 y2
所以设椭圆方程 + =1(a>1)，
a2 a2-1
ìx2 y2
ï + =1
联立方程ía2 a2-1 ，
ï
îy=x+3
消去y得出(2a2-1)x2+6a2x+10a2-a4 =0，
由题意可得D=36a4-4(2a2-1)(10a2-a4)³0，
即a4-6a2+5³0，得出a2 ³5或a2 £1（舍去），解得a³ 5，
c 1 5
所以e= = £ ，
a a 5
5
所以椭圆C的离心率的最大值为 .
5
x2 y2
2．（2026·山东东营·一模）点 P 在以F,F 为焦点的椭圆 + =1(a>b>0)上，若
1 2 a2 b2
æ pö 7 2 4
ÐPF 1 F 2 =a,ÐPF 2 F 1 =b，且 a,bÎç è 0, 2 ÷ ø ,cosα= 10 ,tana+b= 3 ，则椭圆的离心率为（ ）
2 2 2 3 5
A． B． C． D．
2 3 4 4
【答案】B
【分析】由同角三角函数关系式及两角差的正弦公式，求得 PFF 各角的正弦值，根据正弦定理及比例的
V 1 2
c
性质即可求得 ，即椭圆的离心率.
a
【详解】 V PF 1 F 2 中，若 ÐPF 1 F 2 =a,ÐPF 2 F 1 =b，则ÐF 1 PF 2 =π-α+β，所以sinÐF 1 PF 2 =sina+b .
æ pö 7 2 2
因为 aÎç0, ÷,cosα= ，所以sina= 1-cos2a= ；
è 2ø 10 10
æ pö
因为a,bÎç0, ÷,所以a+bÎ0,π，
è 2ø
4 æ πö
因为tana+b= >0，所以a+bÎç0, ÷.
3 è 2øìsina+b 4 ì sina+b= 4
ï = ï ï 5
由ícosa+b 3 ，得í .
3
ï sin2a+b+cos2a+b=1 ïcosa+b=
î ïî 5
4 7 2 3 2 2
所以sinb=sinéa+b-aù=sina+bcosa-cosa+bsina= ´ - ´ = .
ë û
5 10 5 10 2
PF PF FF PF + PF FF
由正弦定理 1 = 2 = 1 2 ，得 1 2 = 1 2 ，
sinb sina sinÐFPF sina+sinb sina+b
1 2
4
c 2c sina+b 5 2 2
设椭圆的焦距为2c，则椭圆的离心率e= = = = = .
a 2a sina+sinb 2 2 3
+
10 2
二、多选题
y2 x2
3．（2026·安徽滁州·一模）已知圆T:x2+y2 =14经过双曲线C: - =1(m>0)的两个焦点F ，F ，
1 2
m m+2
且P为双曲线C上异于顶点的任意一点，点M(2,3)，则（ ）
A．点M在双曲线C上
B．当P在圆T上时，
V
PF
1
F
2
的面积为8
C．点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3
3
D．双曲线C上存在定点Q，使得直线PM 和PQ的斜率之积为定值
4
【答案】ABD
【分析】根据题意，求出双曲线方程，将点M代入方程验证A选项；联立求出P点的横坐标值，根据三角
形面积公式求解验证B选项；求出双曲线渐近线，利用点到直线距离验证C选项；利用点差法验证D选
项.
y2 x2
【详解】由题知双曲线C: - =1(m>0)的焦点在y轴，
m m+2故c2 =a2+b2 =m+(m+2)=2m+2，焦点坐标为(0,±c)，
因为圆T:x2+y2 =14过焦点，代入得c2 =14，即2m+2=14，解得m=6，
y2 x2
因此双曲线C的方程为： - =1.
6 8
32 22 9 4
对于A：点M(2,3)代入双曲线方程得左边= - = - =1=右边，
6 8 6 8
因此M 在双曲线C上，故A正确；
x2+y2 =14
32 4 14
对于B：联立{ y2 x2 ，消去y2得x2 = ，故P横坐标可以为 ，
- =1 7 7
6 8
V PF 1 F 2 中，∣F 1 F∣ 2 =2c=2 14，高为∣x P ∣，
1 4 14
面积 S = × FF × x = 14´ =8，故B正确.
2 1 2 P 7
对于C：双曲线渐近线为 3x±2y=0，
设P(x ,y )，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d ,d ，
0 0 1 2
y2 x2
因为P在双曲线上，故满足 0 - 0 =1，即4y2-3x2 =24，
6 8 0 0
点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积如下，
∣3x -2y∣∣3x +2y∣∣3x2-4y∣2 24
为dd = 0 0 × 0 0 = 0 0 = ¹3，故C错误；
1 2 7 7 7 7
对于D：设At,s,B-t,-s是位于双曲线上，关于原点对称，且异于P的两个点，
y -s y +s y2-s2
则k ×k = 0 ´ 0 = 0 ，
PA PB x -t x +t x2-t2
0 0 0
又
y
0
2
-
x
0
2
=1①，
s2
-
t2
=1②，由① ②得到
1  y2-s2
-
1  x2-t2
=0，
6 8 6 8 6 0 8 0
y2-s2 3 y2-s2 3
得到 0 = ，所以k ×k = 0 = ，
x2-t2 4 PA PB x2-t2 4
0 0
综上，只要满足位于双曲线上，关于原点对称，3
且异于P的两个点均可满足点P与两点连线斜率之积为定值 ，
4
故当点Q坐标为Q-2,-3时，
3
直线PM 和PQ的斜率之积为定值 ，故D正确.
4
三、填空题
4．（2026·安徽安庆·二模）在平面直角坐标系xOy内，圆C:x+32+y-32 =4，若直线l:x-y+a=0绕原
点O逆时针旋转90°后与圆C恰有两个交点，则a的取值范围是___________．
 
【答案】 -2 2，2 2
【分析】首先求旋转后的直线，再根据直线与圆的位置关系，即可求解．
【详解】直线l:x-y+a=0的斜率为1，过点-a,0，
绕原点O逆时针旋转90°后，斜率为-1，过点0,-a，
得到直线x+y+a=0，若该直线与圆C存在两个公共点，
-3+3+a
则圆心C-3,3到直线x+y+a=0的距离d = <2，
2
 
解得-2 2 <a<2 2，即a的取值范围是 -2 2，2 2 ．
5．（2026·山东菏泽·一模）已知抛物线C:y2 =4x，O为坐标原点，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，
M为线段AB的中点，则直线OM的斜率的最大值为______.
2
【答案】
2
【分析】先根据题意设出直线l的方程，再联立直线方程与抛物线方程，然后利用韦达定理求出中点的坐标，
进而求出直线斜率，分类讨论求斜率最大值.
【详解】由y2 =4x得F(1,0)，由题意知直线l的斜率不为0，
所以设直线l的方程为x=my+1，A(x,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
ìy2 =4x,
联立í 消去x得y2-4my-4=0，
îx=my+1
D>0，则由韦达定理得y +y =4m，所以x +x =4m2+2，
1 2 1 2
所以M  2m2+1,2m  ，k = 2m ，
OM 2m2+1
当m=0时，k =0，
OM
2m 2 2 2
k = = £ =
当m>0时， OM 2m2+1 1 1 2 ，
2m+ 2 2m×
m m1 2
当且仅当2m= ，即m= 时等号成立，
m 2
2m
当m<0时，k = <0，
OM 2m2+1
2
综上，直线OM的斜率的最大值为 .
2
6．（2026·山东临沂·一模）已知曲线y=ex +sin3x在点0,1处的切线为l，若直线l与抛物线y2 =4x+m也
相切，则m=_________．
3
【答案】 /0.75
4
【分析】先求曲线在点0,1处的切线方程，再与抛物线方程联立，利用相切条件（判别式为零）解出m.
【详解】设 f(x)=ex+sin3x，则 f¢x=ex+3cos3x，则 f¢(0)=e0+3cos0=4，
则 f(x)在0,1处的切线l的方程为y-1=4(x-0)，即y=4x+1，
ìy2 =4x+m
联立í ，得16x2+4x+(1-m)=0，
îy=4x+1
因为直线l与抛物线y2 =4x+m也相切，
3
则有D=16-4´16´(1-m)=0，解得m= .
4
四、解答题
x2 y2
7．（25-26高三下·重庆·月考）已知A,B分别为双曲线E: - =1(a>0，b>0)的左，右顶点，M 为双
a2 b2
3
曲线E上异于A,B的任意一点，直线MA，MB斜率之积为 ，E的焦距为2 7．
4
(1)求E的方程；
(2)过点4,0作直线l与双曲线E交于C，D两点（C,D不与A,B重合），记l,AC,AD的斜率分别为
k k
k,k ,k ，证明： + 为定值．
1 2 k k
1 2
x2 y2
【答案】(1) - =1
4 3
(2)证明见解析
x2 y2
【详解】（1）设Mx ,y ，A-a,0，Ba,0，且 0 - 0 =1，
0 0 a2 b2
y y
b2 x2-a2
b2 3
则k ×k = 0 × 0 = 0 = = ．
MA MB x +a x -a a2 x2-a2 a2 4
0 0 0
又焦距为2 7，则c2 =a2+b2 =7，\a2 =4,b2 =3，x2 y2
\双曲线E的标准方程为： - =1．
4 3
（2）由（1）知A-2,0，设Cx,y ，Dx ,y ．
1 1 2 2
因为C,D不与A,B重合，所以可设直线CD:x=ty+4．
ìx2 y2
联立 ï í 4 - 3 =1 ，消x得：  3t2-4  y2+24ty+36=0，
ï
îx=ty+4
2 -24t 36
故t ¹± ，Δ=144t2+576>0，y +y = ，y y = ，
3 1 2 3t2-4 1 2 3t2-4
y y y x +2+y x +2 y y
k +k = 1 + 2 = 1 2 2 1 ，k ×k = 1 × 2 ，
1 2 x +2 x +2 x +2x +2 1 2 x +2 x +2
1 2 1 2 1 2
k +k y x +2+y x +2 y ty +6+y ty +6 2ty y +6y +y 
可得 1 2 = 1 2 2 1 = 1 2 2 1 = 1 2 1 2 =-2t，
k ×k y y y y y y
1 2 1 2 1 2 1 2
k k k +k 1
\ + =k 1 2 = ´-2t=-2．
k k k ×k t
1 2 1 2
8．（25-26高三下·广东·月考）已知点A1,4，抛物线C:y2 =2pxp>0的焦点为F ，线段AF 的中点在C
上．
(1)求C的方程；
(2)过点F 的直线与C交于P、Q两点．
（ⅰ）已知C的准线为l，作QR^l于点R，证明：直线PR过定点；
AM × AN
（ⅱ）过点A与PQ平行的直线与C交于点M 、N ．判断 是否为定值，若为定值，求出该定值；
PQ
若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)y2 =4x
(2)（i）证明见解析；（ii）是，且定值为3.
æ p ö æ1 p ö
【详解】（1）由A1,4、Fç ,0÷得线段AF 的中点坐标为ç + ,2÷，
è 2 ø è2 4 ø
æ1 p ö 1
将点ç + ,2÷的坐标代入抛物线C的方程得4= p+ p2，即p2+2p-8=0，
è2 4 ø 2
因为p>0，解得p=2，故抛物线C的方程为y2 =4x.（2）（i）设点Px,y 、Qx ,y ，由题意可知直线PQ的斜率不为0，
1 1 2 2
ìy2 =4x
设直线PQ的方程为x=my+1，联立í 可得y2-4my-4=0，
îx=my+1
D=16m2+16>0，由韦达定理可得y y =-4，y +y =4m，
1 2 1 2
抛物线C的准线方程为x=-1，则R-1,y ，
2
y y 4 y y
k = 1 = 1 = =- 1 2 =-y y
设坐标原点为点O，则 OP x y2 y y 2，k = 2 =-y =k ，
1 1 1 1 OR -1 2 OP
4
所以P、O、R三点共线，即直线PR过定点O；
y2+y2 y +y 2 -2y y
（ii）由（i）知， PQ = PF + QF =x +x + p= 1 2 + p= 1 2 1 2 +2=4m2+4，
1 2 4 4
设点Mx ,y 、Nx ,y ，设直线MN的方程为x=my+n，
3 3 4 4
ìx=my+n
联立í 得y2-4my-4n=0，D=16m2+16n>0，
îy2 =4x
由韦达定理可得y +y =4m，y y =-4n，
3 4 3 4
因为直线MN过点A1,4，所以4m+n=1，
所以 AM × AN =  1+m2y -4y -4 =  1+m2 y y -4y +y +16
3 4 3 4 3 4
=
 1+m2
-4n-16m+16 =12
 1+m2
，
AM × AN 12
 1+m2
所以 = =3为定值.
PQ 4  1+m2
x2 y2  
9．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆C： + =1a>b>0的左、右焦点分别为F ，F ，点 2,1 在椭
a2 b2 1 2
圆上，且椭圆上满足PF ^PF 的点P有且仅有2个.
1 2
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点（A在第一象限），与x轴，y轴分别交于点M ，N ，且 u A u M uur =3 u A u N ur ；
点A关于x轴的对称点为D，直线DN与椭圆的另一个交点为E.k
（ⅰ）记直线AN，DN的斜率分别为k ，k ，证明： 2 为定值；
1 2 k
1
（ⅱ）求直线BE的斜率的最小值.
x2 y2
【答案】(1) + =1
4 2
10
(2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）
4
【详解】（1）由椭圆上满足PF ^PF 的点P有且仅有2个知以FF 为直径的圆与椭圆有2个公共点，
1 2 1 2
x2 y2  
故b=c，故椭圆C： + =1，代入 2,1 解得b2 =2，
2b2 b2
x2 y2
故椭圆C的方程为 + =1.
4 2
（2）（ⅰ）设N0,n，则由 u A u M uur =3 u A u N ur 知A æ çx , 3 n ö ÷ÞD æ çx ,- 3 n ö ÷ n>0,x >0，
è 0 2 ø è 0 2 ø 0
3 3
n-n - n-n k
故 2 n ， 2 5n ，故 2 =-5为定值.
k = = k = =- k
1 x 2x 2 x 2x 1
0 0 0 0
æ n ö
（ⅱ）由（ⅰ）可知直线l：y=kx+nçk =k = >0÷，直线DN：y=-5kx+n；
è 1 2x ø
0
ìx2 y2
联立 ï í 4 + 2 =1 ，整理得：  2k2+1  x2+4nkx+  2n2-4  =0，
ï
îy=kx+n
2n2-4 2  n2-2  2k  n2-2 
故由韦达定理：x x = Þx = Þ y =kx +n= +n；
0 B 2k2+1 B  2k2+1  x B B  2k2+1  x
0 0
2  n2-2  -10k  n2-2 
同理可得：x = Þ y = +n；
E  50k2+1  x E  50k2+1  x
0 0
2  n2-2  2  n2-2  -96k2 n2-2 
故x -x = - =
E B  50k2+1  x  2k2+1  x  50k2+1  2k2+1  x
0 0 0
-10k  n2-2  2k  n2-2  -12k  10k2+1  n2-2 
y -y = +n- -n= ，
E B  50k2+1  x  2k2+1  x  50k2+1  2k2+1  x
0 0 0
y -y 10k2+1 5k 1 5k 1 10
故k = E B = = + ³2 × = ，
BE x -x 8k 4 8k 4 8k 4
E B
n 10 4
5k 1 10 = Þn2 = <2
当且仅当 = Þk = 时取等号；此时 9 10 7 ，
4 8k 10 2 4- n2
2
故N 在椭圆C内ÞΔ>0成立；10
综上所述：直线BE的斜率的最小值为 .
4
x2 y2
10．（2026·湖北宜昌·二模）已知双曲线C: - =1a>0,b>0的焦点F 到一条渐近线的距离为1，且点
a2 b2
P2,1在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)斜率为-1的直线与双曲线C的右支交于A、B两点（异于点P）．
①求直线AP、BP的斜率之和；
②若 PAB的外接圆圆心为M ，试问在x轴上是否存在定点Q使 MQ2- MP2为定值，若存在，求出Q点坐
V
标，若不存在，请说明理由．
x2
【答案】(1) -y2 =1
2
(2)①0；②存在，且点Q1,0.
b
【详解】（1）双曲线C的右焦点为Fc,0，双曲线C的渐近线方程为y=± x，即bx±ay=0，
a
bc bc
所以焦点F 到一条渐近线的距离为 = =b=1，
b2+a2 c
4
因为点P2,1在双曲线C上，所以 -1=1，解得a= 2，
a2
x2
故双曲线C的标准方程为 -y2 =1.
2
（2）①设点Ax,y 、Bx ,y ，设直线AB的方程为y=-x+m，
1 1 2 2
因为点P不在直线AB上，则m-1¹2，可得m¹3，
ìy=-x+m
联立 ï íx2 ，可得x2-4mx+2  m2+1  =0，
ï -y2 =1
î 2
则Δ=16m2-8  m2+1  =8  m2-1  >0，解得m<-1或m>1，
ìx +x =4m>0
ï 1 2
由题意可得í
xx =2  m2+1  >0
，所以m>1且m¹3，
ïî 1 2y -1 y -1 -x +m-1 -x +m-1 m-3-x -2 m-3-x -2
所以k +k = 1 + 2 = 1 + 2 = 1 + 2
AP BP x -2 x -2 x -2 x -2 x -2 x -2
1 2 1 2 1 2
m-3 m-3 m-3x +x -4 m-3x +x -4
= + -2= 1 2 -2= 1 2 -2
x -2 x -2 x -2x -2 xx -2x +x +4
1 2 1 2 1 2 1 2
m-34m-4 4m-1m-3
= -2= -2=0，
2  m2+1  -8m+4 2m-1m-3
即直线AP、BP的斜率之和为0.
②设 PAB的外接圆方程为x2+y2+sx+ty+n=0，
V
ì5+2s+t+n=0
ï
则íx2+y2+sx +ty +n=0 ，
1 1 1 1
ï îx2+y2+sx +ty +n=0
2 2 2 2
由y =-x +m代入x2+y2+sx +ty +n=0，
1 1 1 1 1 1
可得x2+m-x 2 +sx +tm-x +n=0，
1 1 1 1
可得2x2+s-t-2mx +  m2+tm+n  =0，
1 1
同理可得2x2+s-t-2mx +  m2+tm+n  =0，
2 2
所以x、x 为关于x的方程2x2+s-t-2mx+  m2+tm-n  =0的两根，
1 2
又因为x、x 为关于x的方程x2-4mx+2  m2+1  =0的两根，
1 2
所以方程2x2+s-t-2mx+  m2+tm-n  =0与方程x2-4mx+2  m2+1  =0为同解方程，
ìs-t-2m=-8m
ï ìs=-3m-3
所以ím2+tm-n=4  m2+1  ，解得í ，
ï
ît =3m-3
î5+2s+t+n=0
3-3m
1-
æ s t ö æ3m+3 3-3mö 2 3m-1
易知点Mç- ,- ÷，即点Mç , ÷，k = = =-1，
è 2 2ø è 2 2 ø MP 3m+3 1-3m
2-
2
所以直线MP的方程为y-1=-x-2，即y=-x+3，
当PQ^MP时，直线PQ的方程为y-1=x-2，即y=x-1，
直线y=x-1与x轴的交点为1,0，不妨取点Q1,0，此时PQ^MP，
则 MQ2- MP2 = PQ2 =2-12 +1-02 =2，
故在x轴上存在定点Q1,0，使得 MQ2- MP2为定值2.x2 y2
11．（2026·广东广州·模拟预测）记双曲线E: - =1a,b>0的左焦点为F-2,0，渐近线方程为
a2 b2
y=±
3x，过点D4,0作直线l与E交于A,B两点．
(1)求E的方程；
(2)记l,AF,BF的斜率分别为k,k ,k k ¹0,C为x轴上一定点．
1 2
k k
（i）证明： + 为定值；
k k
1 2
k ·k·k
（ii）记AB中点为M ，以M 为圆心，MD 为半径的圆与l另交于一点N,CN的斜率为k ，若 0 1 2 为定值，
0 k +k
1 2
k ·k·k
求C的坐标，并求出 0 1 2 的值．
k +k
1 2
y2
【答案】(1)E:x2- =1
3
k ·k·k 5
(2)（i）证明见解析；（ii）C-4,0， 0 1 2 =-
k +k 2
1 2
x2 y2 b
【详解】（1）由 - =0得y=± x，可得b= 3a，
a2 b2 a
ì ïb= 3a ìïa=1 y2
联立í ，得í ，于是E:x2- =1．
ïî a2+b2 =2 ïîb= 3 3
ìx=my+4
ï
（2）（i）显然l斜率不为0，故设l:x=my+4．联立í y2 ，
ïx2- =1
î 3
æ 1ö
得çm2- ÷y2+8my+15=0，设Ax,y ,Bx ,y ，
è 3ø 1 1 2 2
24m 45 y y
则y +y =- ,y y = ，于是kk = 1 2 ，
1 2 3m2-1 1 2 3m2-1 1 2 x +2x +2
1 2
y y
k +k = 1 + 2 ，
1 2 x +2 x +2
1 2
k +k y my +6+y my +6 2m´45+6´-24m 6
1 2 = 1 2 2 1 = =- m，
kk y y 45 5
1 2 1 2k k 1 k +k 6
于是 + = × 1 2 =- ，为定值．
k k m kk 5
1 2 1 2
-24m2 -8
（ii）x +x =my +y +8= +8= ，
1 2 1 2 3m2-1 3m2-1
æ 4 12m ö
于是Mç- ,- ÷,显然M 为DN中点，设Ns,t，
è 3m2-1 3m2-1ø
ìs+4 4
=-
ï ï 2 3m2-1 æ 8 24m ö
由í ，得Nç- -4,- ÷，
ï t =- 12m è 3m2-1 3m2-1ø
ïî2 3m2-1
k ·k·k 1 5 -24m 20
Cp,0, 0 1 2 =k × =- × =-
记 k +k 0 6 6m -8-4+ p 3m2-1  8+4+ p 3m2-1 ，
1 2 - m
5
由其为定值可知其与m无关，
k ·k·k 20 5
故必有4+ p=0,p=-4，于是C-4,0，于是 0 1 2 =- =- ．
k +k 8 2
1 2
x2 y2
12．（2026·湖南常德·模拟预测）已知椭圆E： + =1（a>b>0）的左、右焦点分别为F ，F ，上顶
a2 b2 1 2
3
点和右顶点分别为M ，N ，tanÐMNF = ， FN =3.
1 2 1
(1)求E的方程.
(2)已知过点F 的直线l与E交于A，B两点，过点F 且与l垂直的直线与E交于C，D两点，B，D在x轴
2 2
的上方，P，Q分别为AB，CD的中点.求证：直线PQ过定点.
x2 y2
【答案】(1) + =1
4 3
(2)证明见解析
【详解】（1）设E的半焦距为c(c>0)，由题意知M(0,b)，N(a,0)，F(-c,0)，
1
b 3
由椭圆的几何性质知，tanÐMNF = = ， FN =a+c=3，
1 a 2 1
3 1
所以b= a，则c= a2-b2 = a，
2 21 3
所以a+c=a+ a= a=3，
2 2
x2 y2
所以a=2，b= 3，故E的方程为 + =1.
4 3
（2）由（1）知，F (1,0)，由题意知，直线l与坐标轴不垂直，
2
设Ax,y ，Bx ,y ，Cx ,y ，Dx ,y ，直线l:x=my+1(m¹0)，
1 1 2 2 3 3 4 4
将x=my+1代入 x2 + y2 =1，整理得  3m2+4  y2+6my-9=0
4 3
6m 9
所以y +y =- ，y y =- ，
1 2 3m2+4 1 2 3m2+4
y +y 3m 3m2 4
所以y = 1 2 =- ，x =my +1=- +1= ，
P 2 3m2+4 p p 3m2+4 3m2+4
æ 4 3m ö
所以Pç ,- ÷，
è3m2+4 3m2+4ø
æ 4m2 3m ö
同理可得Qç , ÷，
è4m2+3 4m2+3ø
4m2 4
-
所以
x
Q
-x
p =
4m2+3 3m2+4
=
4m2-4
，
y -y 3m 3m 7m
Q p +
4m2+3 3m2+4
4 4m2-4æ 3m ö 4  m2-1  4
所以直线PQ:x- = çy+ ÷，即x= y+ ，
3m2+4 7m è 3m2+4ø 7m 7
æ4 ö
所以直线PQ过定点ç ,0÷.
è7 ø
13．（2026·新疆·二模）已知椭圆C: x2 + y2 =1经过点A2,1，右焦点为F  3,0  .
a2 b2
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C交于D,E两点，且直线AD与AE的斜率互为相反数，证明：线段DE的中点M 在一条
定直线上；
(3)在（2）的条件下，直接写出 MF 的最小值.
x2 y2
【答案】(1) + =1
6 3(2)证明见解析
15
(3)
5
【详解】（1）解：因为椭圆C: x2 + y2 =1经过点A2,1，右焦点为F  3,0  ，
a2 b2
可得c= 3，且b2 =a2-3，
4 1
将点A代入椭圆的方程，可得 + =1，解得a2 =6或a2 =2（舍），
a2 a2-3
x2 y2
所以椭圆C的方程为 + =1.
6 3
（2）证明：不妨设直线AD的方程为y-1=kx-2，
ìy-1=kx-2
联立方程组 ï íx2 y2 ，整理得  1+2k2 x2+4k(1-2k)x+2(1-2k)2-6=0，
ï + =1
î 6 3
则D=16k2(1-2k)2-4(1+2k2)[2(1-2k)2-6]=16(1+k2)>0
4k1-2k 4k1-2k 4k2-4k-2
设Dx ,y ，则x +2=- ，可得x =- -2= ，
D D D 1+2k2 D 1+2k2 1+2k2
-2k2-4k+1 æ4k2-4k-2 -2k2-4k+1ö
代入直线AD的方程，可得y = ，所以Dç , ÷，
D 1+2k2 è 1+2k2 1+2k2 ø
因为直线AD与AE的斜率互为相反数，即直线AE的方程为y-1=-kx-2，
æ4k2+4k-2 -2k2+4k+1ö
同理可得点E的坐标为ç , ÷，
è
1+2k2 1+2k2
ø
æ4k2-2 -2k2+1ö
则DE的中点M 的坐标为ç , ÷，
è1+2k2 1+2k2
ø
-2k2+1 1 4k2-2 1
又因为 =- × ，所以点M 在直线y=- x上.
1+2k2 2 1+2k2 2
1
（3）解：由（2）知，点M 在直线y=- x上，
2
  1
则点F 3,0 到直线y=- x的距离，即为 MF 的最小值，
2
3
+0
1 2 15
又由点到直线的距离公式，可得F 到直线y=- x的距离d = = ，
2 1 5
1+
4
15
所以 MF 的最小值为 .
5押题猜想 09 函数与导数-函数的性质、零点问题、不等式恒成立
试题前瞻·能力先查
限时：6min
【2026·重庆·一模】已知函数 f x=2x+2+2-x，若关于m的不等式 f m-1- f 2m+1<0成立，则实数m
的取值范围是（ ）
A．-¥,-2È0,+¥ B．-¥,-2 U æ ç 4 ,+¥ ö ÷
è3 ø
æ2 ö æ 2 ö
C．-¥,-2 Uç ,+¥÷ D．-¥,-2 Uç- ,+¥÷
è3 ø è 3 ø
【答案】D
【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可.
1 1
【详解】 f x=2x+2+2-x =4´2x+ ，即 f x=4´2x+ ，
Q
2x 2x
æ 1 ö
\f¢x=ln2ç4´2x- ÷，
è 2x ø
令 f¢x=0，解得：x=-1，
1 æ 1 ö
当x>-1时，4´2x > ， f¢x=ln2ç4´2x- ÷>0，则 f x在区间-1,+¥单调递增；
2x è 2x ø
1 æ 1 ö
当x<-1时，4´2x < f¢x=ln2ç4´2x- ÷<0， f x在区间-¥,-1单调递减；
2x è 2x ø
f x=2x+2+2-x，
Q
\f -2-x=2-2-x+2+22+x =2-x+22+x即 f -2-x= f x，
\f x关于x=-1对称，
f m-1- f 2m+1<0Þ f m-1< f 2m+1，
Q\m-1+1 < 2m+1+1，即 m < 2m+2 ，
两边平方得3m2+8m+4>0，
æ 2 ö
解得-¥,-2Èç- ,+¥÷，
è 3 ø
æ 2 ö
则实数m的取值范围是-¥,-2Èç- ,+¥÷.
è 3 ø
分析有理·押题有据
函数和导数常年霸占单选和应用题的压轴位置，今年估计也不例外，即使在此压轴也不会太简单，所
以要想考高分还是必须要熟练掌握。小题中，22年、24年和25年在单选的压轴中都考察的构造函数比较
大小，23年为多选此压轴，其次连续4年均以不同形式考察了根据函数性质求零点或者函数值的问题。所
以对于抽象函数的性质判断和零点问题要重点练习。同构问题和泰勒展开式都需要加强练习。大题23年和
24年都不是压轴题，去年删去新定义问题后，导数重回压轴位置且去年考察的是结合余弦函数的不等式恒
成立问题，可见导数也在创新，所以今年在掌握常见题型外，要想压轴题多得分还需要多练习导数的综合
题型。
密押预测·精练通关
一、单选题
æ 1ö
1．（2026·江苏·一模）已知函数 f x，gx的定义域为R，f¢x为 f x的导函数， f x-gçx+ ÷=1，
è 2ø
æ3ö 2026
f x= f 1-x，f¢x= f¢-1-x．若 f ç ÷=1，g1=-1，则åg(i)=（ ）
è2ø
i=1
A．2026 B．1013 C．1 D．-1
【答案】D
æ3ö æ 1ö æ3ö
【详解】因为 f x= f 1-x，且 f ç ÷=1，所以 f ç- ÷= f ç ÷=1，
è2ø è 2ø è2ø
1
因为 f¢x= f¢-1-x，所以 f¢(x)关于直线x=- 对称，
2
1
则原函数 f(x)关于点(- ,1)对称，所以 f x=-f -1-x+2
2
所以 f -1-x=-f(1-x)+2，
令t=-1-x，则 f(t)=-f(2+t)+2，即 f(2+t)=2- f(t)，
所以 f(x+4)=2- f(x+2)=2-(2- f(x))= f(x)，
所以 f(x)的周期为4，
æ 1ö æ 1ö
又 f x-gçx+ ÷=1，即gçx+ ÷= f x-1，所以g(x)的周期也为4，
è 2ø è 2øæ3ö æ3 1ö æ3ö
由 f ç ÷=1得g2=gç + ÷= f ç ÷-1=0，
è2ø è2 2ø è2ø
æ 1ö æ 1 1ö æ 1ö
由 f ç- ÷=1得g0=gç- + ÷= f ç- ÷-1=0，所以g(4)=g(0)=0，
è 2ø è 2 2ø è 2ø
æ1 1ö æ1ö æ1ö
由g1=-1得g1=gç + ÷= f ç ÷-1=-1，所以 f ç ÷=0，
è2 2ø è2ø è2ø
5 1 1
又 f(2+x)=2- f(x)，所以 f( )= f(2+ )=2- f( )=2，
2 2 2
æ5 1ö æ5ö
所以g3=gç + ÷= f ç ÷-1=1，
è2 2ø è2ø
所以g1+g2+g3+g4=-1+0+1+0=0，
又2026¸4=506 2，
L
2026
所以åg(i)=506´0-1+0=-1.
i=1
2．（2026·重庆·模拟预测）已知函数 f x=x2+2ax-1与gx=ex+b的图象在x=0处的切线重合，则a+b=
（ ）
5 3
A．e-1 B．e+1 C． D．-
2 2
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义结合题意列方程求解即可.
【详解】 f¢x=2x+2a，g¢x=ex.
ì 1
ìïf¢0=g¢0 ì2´0+2a=e0 ïa=
由题意知í ，即í ，解得í 2 .
ïî f 0=g0 î02+2a´0-1=e0+b ï îb=-2
1 3
所以a+b= +-2=- .
2 2
3．（25-26高二下·河北保定·月考）已知函数 f x=asin3x+b  ex-e-x +1,aÎR,bÎR， f¢x为 f x的
导函数，则 f 2026+ f -2026+ f¢2026- f¢-2026=（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．2026
【答案】B
【分析】求导，然后分别化简 f x+ f -x, f¢x- f¢-x，即可求解.
【详解】由于 f x+ f -x=asin3x+b  ex-e-x +1+asin-3x+b  e-x-ex +1
=asin3x+b  ex-e-x +1-asin3x+b  e-x-ex +1=2，所以 f 2026+ f -2026=2，
又 f¢x=3acos3x+b(ex+e-x)，故 f¢x- f¢-x=3acos3x+b  ex+e-x -é3acos-3x+b  e-x+exù
ë û
=3acos3x+b
 ex+e-x
-3acos3x-b
 e-x+ex
=0，
则 f¢2026- f¢-2026=0，
所以 f 2026+ f -2026+ f¢2026- f¢-2026=2.
1
4．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）设a=4.1-0.5，b=log
1 4
，c=cos1，则a，b，c的大小关系为（ ）
5
A．b<a<c B．c<a<b C．c<b<a D．a<c<b
【答案】D
【分析】根据指数函数、对数函数以及余弦函数的单调性分析可知4.1-0.5 <cos1<log 4.
5
1 1 1
【详解】0<4.1-0.5 = < ，即0<4.1-0.5 < ，
4.1 2 2
π π 1 2 4
cos <cos1<cos ，即 <cos1< < ，
3 4 2 2 5
4 4 4
45 =1024>625=54，则 ，可得log 4>log 55 = ，
4>55 5 5 5
1 4 1
即log > ，所以4.1-0.5 <cos1<log ，即a<c<b.
1 4 5 1 4
5 5
4 æex ö
5．（2026·安徽滁州·一模）已知函数 f x= -x3-2，若函数gx= f ç +3÷+ f 2ax-3恰有3个零
ex+1 è x ø
点，则a的取值范围是（ ）
æ e2 ö æ e2 ö æ e2 ö æe2 ö
A．ç-¥,- ÷ B．ç-¥, ÷ C．ç- ,+¥÷ D．ç ,+¥÷
è 8 ø è 4 ø è 8 ø è 4 ø
【答案】A
【分析】利用奇函数的定义及导数与函数单调性间的关系，可得 f x为奇函数且为减函数，从而将问题转
ex
化成函数tx= 与函数y =-2a的图象有3个交点，再利用导数求出tx的单调性，进而得出tx的图象，
x2
数形结合，即可求解.
【详解】因为 f x= 4 -x3-2= 2
 1-ex
-x3，易知 f x的定义域为R，定义域关于原点对称，
ex+1 ex+1
2  1-e-x 2  ex-1 
又 f -x= --x3 = +x3 =-f x，所以 f x为奇函数，
e-x+1 1+ex
-4ex
又 f¢x= -3x2 <0 恒成立，所以 f x为减函数，
 ex+1 2æex ö ex ex
令gx=0，得到 f ç +3÷=-f 2ax-3= f 3-2ax，所以 +3=3-2ax，整理得到 =-2a，令
è x ø x x2
ex
tx= ,y=-2a，
x2
æex ö ex
因为函数gx= f ç +3÷+ f 2ax-3恰有3个零点，则函数tx= 与函数y =-2a的图象有3个交点，
è x ø x2
exx-2
又t¢x= ，当xÎ-¥,0È2,+¥时，t¢x>0，当xÎ0,2时，t¢x<0，
x3
所以tx的单调递增区间为-¥,0,2,+¥，单调递减区间为0,2，
e2
又x®-¥时，tx®0，x®0时，tx®+¥，x=2时，t2= ，
4
x®+¥时，tx®+¥，且tx>0恒成立，其图象如图所示，
ex e2
由图可知，要使函数tx= 与函数y =-2a的图象有3个交点，则-2a> ，
x2 4
e2 æ e2 ö
解得a<- ，所以实数a的取值范围是ç-¥,- ÷.
8 è 8 ø
6．（2026·湖南郴州·三模）已知两个不相等的正实数x,y满足：ey-1-x=4log x-2log y，则下列不等式中
2 2
一定不成立的是（ ）
A．x< y <1 B．y< x<1
C．1< x< y D．1< y<x
【答案】A
【分析】将原式变形为ey-1+2log y=4log x+x，令 f x=4log x+x，gx=ex-1+2log x，只需比较
2 2 2 2
gx 与gy的大小，由gx-gy=ex-1-x-2log x，设hx=ex-1-x-2log xx>0，求导得出其单调
2 2
性，从而得出x,y的大小可能性，从而得出答案.
【详解】由已知ey-1-x=4log x-2log y，原式可变形ey-1+2log y=4log x+x
2 2 2 2
令 f x=4log x+x，gx=ex-1+2log x，
2 2
函数 f x 与gx均为0,+¥上的增函数，且 f x=gy，且 f 1=g1，当x>1时，由 f x>1，则gy>1，可得y>1，
当x<1时，由 f x<1，则gy<1，可得y<1，
要比较x与y的大小，只需比较gx 与gy的大小，
gx-gy=gx- f x=ex-1+2log x-x-4log x=ex-1-x-2log x
2 2 2
2
设hx=ex-1-x-2log xx>0，则h¢x=ex-1-1- ，故h¢x在0，+¥上单调递增，
2 xln2
2 2 1
又h¢1=1-1- =- <0，h¢2=e1-1- >0，
ln2 ln2 ln2
则存在x Î1,2使得h¢x =0，
0 0
所以当xÎ0,x 时，h¢x<0，当xÎx ,+¥时，h¢x>0，
0 0
又因为h1=0,hx  h1=0,h4=e3-4-2´2=e3-8 0，
0
所以当x<1时，hx>0，当x>1时，hx正负不确定，
故当x<1,y<1时，hx>0，所以gx>gy，故y< x<1，
当x>1,y>1时，hx正负不定，所以gx与gy的大小不定，
所以x> y>1,y<x<1,y>x>1均有可能，即选项B，C，D均有可能，选项A不可能．
7．（2026·广东深圳·一模）若实数x，y，z满足 x =2-y =-log z，则x，y，z的大小关系不可能是
2
（ ）
A．z>x> y B．z> y>x
C．y>x>z D．y>z>x
【答案】C
1 æ1ö y
【详解】由 x =2-y =-log z可得x2 =ç ÷ =log z=t，
2 è2ø 1
2
t =log x 1
1 与t= 互为反函数，故其交点C在直线t=x上，且交点横坐标小于1，
2
2x
而t = x与t=x交点的横坐标等于1，
t =log x 1 1
从而t = x， 1 ，t= 在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：t= 与t = x的图像交点为B,
2
2x 2x
t =log x
1 与t = x的图像交点为A,
2
且x <x <x
B A C当直线y=m位于点A的上方时，此时直线y=m与三个函数的交点横坐标满足x>z> y，
当直线y=m位于点B的上方，A的下方时，此时直线y=m与三个函数的交点横坐标满足z>x> y，
当直线y=m位于C点的上方，B的下方时，此时直线y=m与三个函数的交点横坐标满足z> y>x，
当直线y=m位于C点的下方时，此时直线y=m与三个函数的交点横坐标满足y>z>x，
8．（2026·湖南郴州·三模）已知 f x是定义在R上的奇函数，且满足 f x+6= f x，当xÎ0,3时，
f x=2x -1，则 f -2025+ f 2026的值为（ ）
A．-10 B．-3 C．3 D．10
【答案】B
【详解】
Q
f x+6= f x，故函数的周期为6，
\f -2025= f -2025+338´6= f 3= f -3, f 2026= f 337´6+4= f 4= f -2，
又 f x是定义在R上的奇函数，
\f 3=-f -3，即2f 3=0，故 f 3=0， f -2=-f 2，
又当xÎ0,3时， f x=2x -1，
\f 2026=-f 2=-3，
故 f -2025+ f 2026=0+-3=-3.
二、多选题
9．（2026·广东佛山·二模）定义域关于原点对称的函数 f x，gx满足
gx+gy=gx+yé1-gxgyù，f x f y= f x+yé1-gxgyù， f x为偶函数且 f 0¹0，
ë û ë û
则（ ）
A．g0=0 B． f 0=1
C．gx为偶函数 D．若ga= 3 ，则 f 2a=2
3
【答案】ABD
【详解】令x= y=0，则g0+g0=g0é1-g0g0ù，化简得g0é1+g20ù=0，又1+g20¹0，
ë û ë û
\g0=0，故A正确，令x= y=0， f 0 f 0= f 0é
ë
1-g0g0ù
û
，化简得 f 0é
ë
f 0-1ù
û
=0，又 f 0¹0，\f 0=1，故B
正确，
令y=-x，则gx+g-x=gx-xé
ë
1-gxg-xù
û
，化简得gx+g-x=0，故gx为奇函数，故C
错误.
令x= y=a，则 f a f a= f a+aé1-gagaù，化简得 f2a= f 2aé1-g2aù，
ë û ë û
3 æ 1ö 2
又ga= ，\f2a= f 2a ç1- ÷Þ f2a= f 2a，
3 è 3ø 3
再令x=a,y=-a，则 f a f -a= f 0é1-gag-aù，
ë û
又 f x为偶函数，\f a= f -a，又gx为奇函数，\g-a=-ga，
1 4
故化简得 f2a= f 0é1+g2aù=1+ = ，
ë û
3 3
2 4 2
\f2a= f 2aÞ = f 2a，解得 f 2a=2，故D正确.
3 3 3
三、填空题
2x-2m-1
10．（2026·湖南郴州·三模）若存在实数m，使得关于x的方程em+a-x = 有两个不同的根，其中e
x-m-1
为自然对数的底数，则实数a的取值范围是__________.
æ3 ö
【答案】-¥,0Èç +ln4,+¥÷
è2 ø
æ2t-1ö
【分析】对题干方程化简，令x-m=t， f t=t+lnç ÷，求导，根据导数作出函数 ft的图象，数形
è t-1 ø
结合求解即可.
2x-2m-1 æ2x-2m-1ö
【详解】由题意得em+a-x = ，则m+a-x=lnç ÷，
x-m-1 è x-m-1 ø
æ2t-1ö æ 1ö
令x-m=t，则a=t+lnç ÷,tÎç-¥, ÷È1,+¥，
è t-1 ø è 2ø
æ2t-1ö t-1 æ2t-1ö ' 2t2-3t
令 f t=t+lnç ÷，则 f¢t=1+ ×ç ÷ = ，
è t-1 ø 2t-1 è t-1 ø 2t-1t-1
æ3 ö æ 1ö æ 3ö
当tÎ-¥,0Èç ,+¥÷时， f¢t>0，当tÎç0, ÷Èç1, ÷时， f¢t<0，
è2 ø è 2ø è 2ø
æ3 ö æ 1ö æ 3ö
所以函数 ft在区间-¥,0,ç ,+¥÷上单调递增，在区间ç0, ÷,ç1, ÷上单调递减，
è2 ø è 2ø è 2ø
æ2t-1ö
当t®-¥时，lnç ÷®ln2，故 f t®-¥，
è t-1 ø当t® æ ç 1ö ÷ - 时，ln æ ç 2t-1ö ÷®-¥，故 f t®-¥，
è2ø è t-1 ø
æ2t-1ö
当t®1+时，lnç ÷®+¥，故 f t®+¥，
è t-1 ø
æ2t-1ö
当t®+¥时，lnç ÷®ln2，故 f t®+¥，
è t-1 ø
æ3ö 3
因为 f 0=0+ln1=0， f ç ÷= +ln4，作出函数 ft图象如下：
è2ø 2
2x-2m-1
由图可知若存在实数m，使得关于x的方程em+a-x = 有两个不同的根，
x-m-1
æ3 ö
则实数a的取值范围是-¥,0Èç +ln4,+¥÷.
è2 ø
四、解答题
11．（2026·安徽滁州·一模）已知函数 f(x)=9x3-lnx-m．
(1)当m=0时，求曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；
(2)若不等式 f(x)>0恒成立，求m的取值范围；
(3)证明：函数 f(sinxcosx)的最小值小于函数 f(x-lnx)的最小值．
【答案】(1)26x-y-17=0
æ 1 ö
(2)ç-¥, +ln3÷
è 3 ø
(3)证明见解析
【详解】（1）当m=0， f x=9x3-lnx，定义域x>0，
1
计算得 f 1=9，求导得 f¢x=27x2- ，切线斜率k = f¢1=26，
x
由点斜式得切线方程y-9=26x-1，整理得 26x-y-17=0.
（2） f x>0恒成立等价于m<9x3-lnx对任意x>0恒成立，
设gx=9x3-lnx，则m<gx ，
min
1 27x3-1 1
求导得g¢x=27x2- = ，令g¢x=0得x= ，
x x 3æ 1ö
当 xÎç0, ÷时，g¢x<0，gx单调递减，
è 3ø
æ1 ö
当xÎç ,+¥÷时，g¢x>0，gx单调递增，
è3 ø
æ1ö 1 æ 1 ö
故gx =gç ÷= +ln3， 因此m的取值范围是 ç-¥, +ln3÷.
min è3ø 3 è 3 ø
1 27u3-1
（3）对 f u=9u3-lnu-mu>0， f¢u=27u2- = ，
u u
æ 1ö æ1 ö
由（2）可知 f u在ç0, ÷单调递减，在ç ,+¥÷单调递增。
è 3ø è3 ø
1 1
因为sinxcosx= sin2x，所以由 f x解析式可知0<sinxcosx£ ，
2 2
1 æ 1ù 1
由于 Îç0,
ú
，sinxcosx可以取到 ，
3 è 2û 3
æ1ö 1
因此函数 f sinxcosx的最小值为 f ç ÷= +ln3-m，
è3ø 3
1 x-1
设hx=x-lnxx>0，则h¢x=1- = ，
x x
当xÎ0,1时，h¢x<0，hx单调递减；
当xÎ1,+¥时，h¢x>0，hx单调递增，
1
所以hx =h1=1，即x-lnx³1>
.
min 3
æ1 ö
由于 f u在ç ,+¥÷递增，因此函数 f x-lnx的最小值为 f 1=9-m，
è3 ø
1 1
因为 +ln3<9，所以 +ln3-m<9-m，
3 3
因此 f sinxcosx的最小值小于 f x-lnx的最小值，得证.
1
12．（2026·江西·一模）已知函数 f x=sinx- sin2x．
2
(1)求 f x在0,π上的最大值；
1
(2)求证："xÎ[0,+¥），f x£ x3恒成立；
2
æ πö
(3)若"xÎç0, ÷都有 f x>ax3cosx恒成立，求a的最大值．
è 2ø
3 3
【答案】(1)
4
(2)证明见解析1
(3)
2
【详解】（1）由题知 f¢x=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+1=1-cosx1+2cosx，
2π
当x= 时， f¢x=0，
3
æ 2πö æ 2πö
当xÎç0, ÷时， f¢x>0，即 f x在ç0, ÷上单调递增，
è 3 ø è 3 ø
æ2π ö æ2π ö
当xÎç ,π÷时， f¢x<0，即 f x在ç ,π÷上单调递减，
è 3 ø è 3 ø
2π æ2πö 3 3
所以当x= 时， f x取最大值 f ç ÷= .
3 è 3 ø 4
（2）先证："xÎ[0,+¥），sinx£x，
令qx=x-sinx，xÎ0,+¥，
则q¢x=1-cosx³0，
所以函数qx在0,+¥上单调递增，
故qx³q0=0，即sinx£x在0,+¥上恒成立．
1 x
又 f x=sinx- sin2x=sinx1-cosx=2sinx×sin2 ，
2 2
x x
由sinx£xx³0知，sin £ ，
2 2
x æxö 2
所以 f x=2sinx×sin2 £2x×ç ÷ ，
2 è2ø
1
即 f x£ x3，得证.
2
æ πö
（3）当xÎç0, ÷时， f x>ax3cosx，
è 2ø
sinx
即 -sinx-ax3 >0，
cosx
sinx
令gx= -sinx-ax3，
cosx
1
则g0=0，g¢x= -cosx-3ax2，其中g¢0=0，
cos2x
1
令hx=g¢x= -cosx-3ax2，
cos2x
2sinx
则h¢x= +sinx-6ax且h¢0=0，
cos3x
令jx=h¢x，6sin2x 2 6sin2x
则j¢x= + +cosx-6a，其中 >0.
cos4x cos2x cos4x
2
令t =cosxÎ0,1，ut= +t-6a，
t2
-4 t3-4
则u¢t= +1= <0，
t3 t3
2
故ut= +t-6a在tÎ0,1上单调递减，其中u1=3-6a.
t2
1 6sin2x 2 6sin2x 2
①若a£ ，则j¢x= + +cosx-6a³ + +cosx-3，
2 cos4x cos2x cos4x cos2x
6sin2x 2
令u(x)= + +cosx，
cos4x cos2x
æ πö
u(x)在ç0, ÷上单调递增，
è 2ø
u(x)>u(0)=3，
所以j¢x>3-3=0恒成立.
æ πö
故jx=h¢x在xÎç0, ÷上单调递增，
è 2ø
且jx=h¢x>h¢0=0.
所以hx=g¢x在xÎ æ ç0, πö ÷上也单调递增，且hx = g¢x > g¢0 = 0，
è 2ø
所以gx>g0=0，
故 f x>ax3cosx恒成立.
1
②若a> ，则j¢0=3-6a<0，
2
æ πö
且$mÎç0, ÷，使得当xÎ0,m时，j¢x<0，
è 2ø
所以函数jx在0,m上单调递减，
故xÎ0,m时，jx=h¢x<0，
所以函数hx在0,m上单调递减，
所以xÎ0,m时，hx=g¢x<0，
所以xÎ0,m时，gx<0，
æ πö
与 f x>ax3cosx，xÎç0, ÷恒成立矛盾．
è 2ø
1
综上所述：a的最大值为 .
213．（2026·湖南·模拟预测）已知 f x=xex+aex-1．
(1)若a³0，证明： f x³x+lnx恒成立．
(2)令g x= f x-n，且"nÎN*，g x有唯一的正零点x ．
n n n
（i）求a的取值范围；
  1 1 1
（ii）当a=1时，证明：2 n+2- 2 < + +
L
+ <2+n+2lnn．
x x x
1 2 n
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）a<2；（ii）证明见解析
【详解】（1）令hx=ex-x-1，则h¢x=ex -1，
当x£0时，h¢x£0，当x³0时，h¢x³0，
所以hx在-¥,0上单调递减，在0,+¥上单调递增，
所以有hx³h0=0，即ex ³x+1，
当a³0时， f x-x+lnx=ex+lnx-x+lnx-1+aex ³aex ³0恒成立．
（2）（i）由题意有g x=x+aex-n+1有唯一的正零点x ，
n n
因为g¢x=x+a+1ex，
n
所以g x在-¥,-a-1上单调递减，在-a-1,+¥上单调递增，
n
当x<-a-1时，g x<0；g -a-1=-e-a-1-n+1<0，g -a=-n+1<0，
n n n
当x®+¥时，g x®+¥，
n
由零点存在性定理可知，g x在-a,+¥有唯一零点x ，
n n
当a£0时，-a³0，则x >0满足题意；
n
当a>0时，要保证x >0，则只要g 0=a-n-1<0，
n n
即a<n+1，nÎN *恒成立，所以0<a<2，
综合可得a<2．
（ii）由题意可知x +1ex
n
=n+1，也即lnx +1+x =lnn+1，
n n n
由（1）知ex ³x+1，则x=elnx ³lnx+1，即x-1³lnx，且x=lnex ³lnx+1，
因此有lnn+1=lnx +1+x ³2lnx +1，
n n n
即n+1³x +12，也即 n+1³x +1，可得 n+1>x ，
n n n
1 1 2 2  
所以有 > = > =2 n+2- n+1 ，
x n+1 2 n+1 n+2+ n+1
n1 1 1    
故 + + L + >2 3- 2+ 4- 3+ L + n+2- n+1 =2 n+2- 2 ，
x x x
1 2 n
x +1 x +1
又因为x-1³lnx，所以有 n -1³ln n =lnx +1-lnn+1，
n+1 n+1 n
根据题意有lnx +1+x =lnn+1，
n n
x +1
从而有-x =lnx +1-lnn+1£ n -1，
n n n+1
1 x n 1 2
即1- £ n +x ，可得x ³ ，进一步得 £1+ ，
n+1 n+1 n n n+2 x n
n
æ1ö 4 1 1 1 1
又g ç ÷= e3 -2¹0，所以x ¹ ，所以 ¹3，故 <3，
1 è3ø 3 1 3 x x
1 1
1 1 1 æ 1 1 1ö
所以 + + L + <n+2ç1+ + + L + ÷，
x x x è 2 3 nø
1 2 n
1 1 1
由x-1³lnx可得 -1³ln ，也即1- £lnx，
x x x
n n-1 n 1 n
令x= 得1- £ln ，进一步得 £ln n³2，
n-1 n n-1 n n-1
1 1 1 2 3 n
所以1+ + + + £1+ln +ln + +ln =1+lnn，
L L
2 3 n 1 2 n-1
1 1 1 æ 1 1 1ö
故 + + L + <n+2ç1+ + + L + ÷£n+21+lnn，
x x x è 2 3 nø
1 2 n
  1 1 1
综上有2 n+2- 2 < + +
L
+ <2+n+2lnn．
x x x
1 2 n
1 5
14．（2026·宁夏银川·一模）已知函数 f x=xlnx- ax2+ .
2 2
(1)当a=1时，求曲线y= f x在点 1, f 1 处的切线方程；
(2)若 f x在0,+¥上单调递减，求a的取值范围；
é 21 ùé 22 ùé 23 ù é 2n ù
(3)证明：ê1+ úê1+ úê1+ ú×××ê1+ ú<e（nÎN ）.
ê  21-1  22-1  úê  22-1  23-1  úê  23-1  24-1  ú ê  2n-1  2n+1-1  ú +
ë ûë ûë û ë û
【答案】(1)y=2
(2)
1,+¥
(3)证明见解析
1 5
【详解】（1）当a=1时， f x=xlnx- x2+ ，
2 2
1 5 1 5
将x=1代入： f 1=1×ln1- ×12+ =0- + =2，
2 2 2 2所以切点坐标为(1,2)；
求导得： f¢x=lnx+1-x，
将x=1代入导函数： f¢1=ln1+1-1=0+1-1=0，
所以切线斜率k =0，
所以曲线y= f x在点 1, f 1 处的切线方程：
y-2=0×x-1Þ y=2，
因此，所求的切线方程为y=2.
（2）对 f x求导得： f¢x=lnx+1-ax，
因为 f x在0,+¥上单调递减，
所以对于任意x>0，都有： f¢x=lnx+1-ax£0，
即：lnx+1-ax£0Þlnx+1£ax，
因为x>0，
lnx+1
即：a³ ，对于任意x>0恒成立，
x
lnx+1
令gx= ，x>0，
x
对于所有x>0，不等式a³gx恒成立，
只需a³gx ，
max
1
×x-lnx+1×1
对gx求导： g¢x= x = 1-lnx-1 = -lnx ，
x2 x2 x2
当0<x<1时，lnx<0，则-lnx>0，所以g¢x>0，函数单调递增，
当x>1时，lnx>0，则-lnx<0，所以g¢x<0，函数单调递减，
ln1+1 0+1
所以gx =g1= = =1，
max 1 1
所以a³gx =1，
max
所以a的取值范围是1,+¥.
21 22 2n
（3）设P
n
=(1+
 21-1)(22-1 
)(1+
 22-1)(23-1 
)
L
(1+
 2n-1)(2n+1-1 
)，
对P取自然对数，得：
n
21 22 2n
lnP
n
=ln(1+
 21-1)(22-1 
)+ln(1+
 22-1)(23-1 
)+
L
+ln(1+
 2n-1)(2n+1-1 
)，2k  2k+1-1)-(2k -1  1 1
又 = = - ,k =1,2,¼,n，
 2k -1)(2k+1-1   2k -1)(2k+1-1  2k -1 2k+1-1
n æ 1 1 ö
于是lnP =ålnç1+ - ÷，
n è 2k -1 2k+1-1ø
k=1
构造函数hx=x-ln1+x，其中x>0，
1 x
求导得：h¢x=1- = ，
1+x 1+x
x
当x>0时，h¢x= >0，所以hx在0,+¥上单调递增，
1+x
则对于任意x>0，有hx>h0=0，
即x-ln1+x>0Þln1+x<x，
1 1
而 - >0，
2k -1 2k+1-1
æ 1 1 ö 1 1
所以lnç1+ - ÷< - ，
è 2k -1 2k+1-1ø 2k -1 2k+1-1
1 1 1 1 1 1
因此lnP <( - )+( - )+ +( - )，
n 21-1 22-1 22-1 23-1 L 2n-1 2n+1-1
1 1 1
= - =1- ，
21-1 2n+1-1 2n+1-1
1
由于2n+1-1>0，所以1- <1，
2n+1-1
从而lnP <1ÞP <e.
n n
原不等式得证.
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