文档内容
2025 年中考数学终极押题猜想（广东省专用）
目录
押题猜想一 选择题之函数综合问题................................................................................................1
押题猜想二 填空题之几何图形面积问题........................................................................................4
押题猜想三 实数的混合运算问题....................................................................................................6
押题猜想四 尺规作图与几何证明/求解...........................................................................................7
押题猜想五 利用三角函数解决实际问题........................................................................................9
押题猜想六 生活中的综合与实践问题..........................................................................................12
押题猜想七 函数与实际问题的综合..............................................................................................18
押题猜想八 与圆有关的综合问题..................................................................................................22
押题猜想九 几何图形变换的综合问题..........................................................................................25
押题猜想十 函数与几何图形综合问题..........................................................................................29
押题猜想一 选择题之函数综合问题
（改编）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，将直
线 沿 轴向上平移 个单位长度，交 轴于点 ，若 ，则 的值为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
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学科网（北京）股份有限公司押题解读
本考点为必考考点，反比例函数与一次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质．熟练掌握函数图象平
移以及平移性质，反比例函数与一次函数的交点，是解题的关键．解析式联立，解方程组求得A的纵坐标，
根据平移和相似三角形性质求得B的纵坐标，代入反比例函数的解析式求得B的坐标，代入 即可
求得b的值。
1．如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，则关于 的方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
2．某智能空调的制冷功率（单位：瓦特）与用户设定的温度（单位： ）成反比例关系，表达式为
．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合
设计要求，参数 的取值范围应为（ ）
A． B． C． D．
3．函数 与函数 在同一平面直角坐标系下的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司4．已知二次函数为 ，则它的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，菱形 的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线 过点B．若 ，则
为（ ）
A． B． C． D．1
6．如图，点A是抛物线 与y轴的交点， 轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线
的顶点．若 为等边三角形，则a的值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．1
7．抛物线 的对称轴直线 ．抛物线与 轴的一个交点在点 和点 之间，其
部分图象如图所示，下列结论中：① ；② ；③关于 的方程 有两个不相等实
数根；④ ，正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④
8．已知二次函数 （ ）与 轴交于 、 两点，与 轴交点 的纵坐标是 ，
且 ，则以下结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．抛物线 的顶点坐标为
D．若 ，则 或
押题猜想二 填空题之几何图形面积问题
（改编）如图是王先生家的菜团，图2是该菜谱的示意图，该菜谱可看作矩形，点 ， 分别是矩形
的边 ， 的中点，两条平行线 ， 分别经过菱形 的顶点 ， 和边 ， 的中
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学科网（北京）股份有限公司点 ， ．已知菱形 的面积为6，则阴影部分的面积之和为 ．
押题解读
本考点为必考考点，矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性
质，平行线分线段成比例等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和特殊图形，是解
题的关键。
1．某遮阳伞如图所示，伞面可近似看作一个圆锥，若 ， ，则遮阳伞伞面的面积（圆
锥的侧面积）为 ．
2．如图，四边形 是菱形， ， ，扇形 的半径为4，圆心角为 ，则图中阴影部
分的面积是 ．（结果保留 ）
3．如图，正六边形 与正方形 的边长均为4，则正六边形 与正方形 的面
积之差为 ．（结果保留根号）
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学科网（北京）股份有限公司4．如图，在 中， ， ，以 为直径作 ，交边 于点 ，交边 于
点 ，则图中阴影部分的面积是 ．
5．已知如图，在 中， ， ， ，在直线 的同侧分别以 的三边作
正方形 、正方形 、正方形 ， 、 、 、 分别表示对应图形的面积，则
的值为 ．
6．鲁洛克斯三角形又称“圆弧三角形”，是一种特殊三角形，指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其
边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形．如图，先画等边 ，然后
以等边 的三个顶点为圆心，以 的长为半径画弧 ， ， ，若 ，则这个鲁洛克斯三
角形的面积是 ．
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学科网（北京）股份有限公司押题猜想三 实数的混合运算问题
（改编）计算： ．
押题解读
本考点为必考考点，实数的混合运算，利用负整数指数幂、零指数幂、算术平方根、绝对值法则计算即可。
1．计算： ．
2．计算：
3．计算： ．
4．计算： ．
5．计算：
6．计算：
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学科网（北京）股份有限公司押题猜想四 尺规作图与几何证明/求解
（改编）如图，在 中， ．
(1)尺规作图：作 的角平分线 ，交线段 于点 ．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）作出的图中，若 ， ，求 的长度．
押题解读
本考点为必考考点，作图—基本作图、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题
的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题。
1．如图， 是矩形 的对角线，将矩形折叠，使点C与点A重合，此时，折痕垂直平分 ．
(1)用尺规作图法在图中画出折痕 ，使折痕 与 ， ， 分别交于点E，O，F，并连接 ，
．
(2)求证：四边形 是菱形；
2．如图，点 在菱形 的对角线 上，射线 交 于 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)尺规作图：在 延长线上找一点 ，使得四边形 为平行四边形；
(2)在（1）的前提下， 交 于点 ，若 ，求 的长度．
3．如图，已知 是 的直径， 是半圆上一点（不与点 ， 重合）．
(1)用尺规过点 作 的切线交 于 延长线于点 （保留作图痕迹，不写作法）：
(2)在（1）的条件下，若 ，求 的直径．
4．如图，已知 ， ．
(1)尺规作图：在 上找出点 ，使点 到 两边的距离相等；
(2)根据（1）所求点 ，以点 为圆心， 长为半径作 ，求证：直线 与 相切．
5．如图，在 中， ，点 在边 上，以 为半径作 ，交 于点 ，连接 ．
(1)尺规作图：作线段 的垂直平分线l，交 于点E；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接 与 相切吗？请说明理由．
6．如图， 中， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)尺规作图：作 ，使圆心 在边 上，且 与 ， 所在直线相切（保留作图痕迹，不写作
法）；
(2)在（1）的条件下，若 ， ，求 的半径 ．
押题猜想五 利用三角函数解决实际问题
（改编）惠州泗州塔始建于唐朝，是一座八角七层的楼阁式砖塔，如图所示，为了测量塔高 ，已知在
C处测得塔顶的仰角 ，朝塔脚前进 米到B点，在B处测得塔顶的仰角 ，已
知 ，请求出塔高 约为多少米．（ ，结果精确到个位）
押题解读
本考点为必考考点，三角函数问题常以实际测量场景为载体，重点考查解直角三角形的能力，涉及仰角、
俯角、坡度等概念。题目多与几何图形（如矩形、菱形、圆）结合，需通过构造直角三角形建立模型，利
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学科网（北京）股份有限公司用正弦、余弦、正切求边长或角度。近年真题显示，题型趋向多步骤综合应用，如2024年“大碗”高度
计算需结合矩形性质与正切函数。备考时应强化特殊角（30°、45°、60°）的计算，掌握计算器使用技巧
（如非特殊角求值），并关注方案设计类问题（如梯子安全角度范围）。常见陷阱包括单位换算和多解情
况讨论，需通过典型例题（如建筑物测量、堤坝坡度）提升建模与计算能力。
2．某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照
进落地窗．如图，已有的遮阳棚 ，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度 ，遮阳棚的固定
高度 ， ．
(1)如图1，求遮阳棚上的点 到墙面 的距离；
(2)如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是 （光线 与地面的夹角），请通过计
算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（结果精确到0.1，参考数据 ）
3．如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如
图2，摄像头P的仰角、俯角都调整为 ，摄像头高度 ，识别的最远水平距离 ．
(1)小张站在离摄像头水平距离 点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线 处），请问小张
的身高约为多少厘米？
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学科网（北京）股份有限公司(2)身高 的小军，头部高度为 ，当他直立站在离摄像头最远处时，请通过计算说明这时的小军
能被摄像头识别吗？（参考数据： ， ， ）
4．如图，监控摄像头 固定在 与 构成的支架上， 与地面垂直， ， ，
．若该摄像头的可视角 ， 为 的平分线，且 ，点 ， ， ，
在同一直线上，过点 作 ， 为垂足．
(1)求 的度数；
(2)求摄像头的最远可视点 与支架底部 之间的距离．（精确到 ）参考数据：（ ，
， ， ， ， ， ．）
5．如图1所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而
来的体育竞技．如图2，三根梅花桩AM，BP，CN垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵
身跃至点C，已知 ．（参考数据： ，
， ， ）
(1)直接写出 的度数；
(2)求醒狮少年从点B纵身跃至点C的路径 的长度；（结果保留一位小数）
(3)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，求线段 的长度．
6．膜结构车棚是近年来比较流行的一种棚型，它不仅具有功能性，而且具有观赏性，它以建筑造型美观、
跨度空间大、抗震性强，透光性良好等特点赢得了良好的市场．图1是某小区新建的斜拉杆车棚，图2是
其示意图，已知立柱 与地面垂直， ；测得立柱 段的长为 ，横支撑杆 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ．求：
(1)棚顶末端 到地面的距离 的长．
(2)车棚的最大停车长度 的长．（结果精确到 ．参考数据： ， ，
）
7．图 是一款笔记本电脑文架，该文架可通过调节支撑杆 位置来调整高度，它便于电脑散热，减轻使
用者的颈椎压力．图 是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图．
(1)已知 ， 互相平分于点 ， ，若 ， ，
①求 的长；
②求点 到底架 的高 ；（结果精确到 ；参考数据： ， ，
）
(2)为改善坐姿守护健康，小明购买了如图 所示的电脑支架．如图 ，小明将电脑放置在电脑支架上，笔
记本电脑屏幕宽 ，调节支撑杆 位置后，点 恰好在 的中点处，点 在同一直线上，
且电脑屏幕 垂直于桌面，已知电脑屏幕张角为 ，支撑杆 ，求点 距离桌面的高度．
（结果精确到 ；参考数据： ， ）
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学科网（北京）股份有限公司押题猜想六 生活中的综合与实践问题
（改编）综合与实践
问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为 ，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半
径为 ，圆心角为 的扇形．
(1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长_____；（填“相等”或“不相等”）若 ，则
_____．
(2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为 ，侧面展开图会得到一个半径为 ，圆心角
为 的扇形．请用含 ， 的式子表示 ；
(3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草帽， ， ， 是线段 中点，如今计划要从点 到
点 再到点 之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为 的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够
长，并说明理由．
押题解读
本考点为必考考点，综合与实践题近年侧重几何与统计结合，如三角形旋转、四边形性质应用及统计决策。
2025年或强化跨学科融合与新定义题型，需关注几何变换、数据建模及方案设计，建议重点练习动态几何、
统计量实际应用及二次函数综合题。
9．综合与实践
【主题】军事训练中的距离测量问题
【素材】在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点 ）与对
岸目标（点 ）之间的距离．然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野
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学科网（北京）股份有限公司外环境没有携带任何专业测量工具．但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法
来解决这一难题：
【实践操作】如图所示：
步骤1：面向点 站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点 ；
步骤2：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点 ；
步骤3：步测得 米．已知小王身高为 ，帽顶 到眼睛 的垂直距离为 ．
【问题解决】
(1)如何测得我方阵地与对岸目标之间的距离 ？请用你所学数学知识说明．
(2)若将本题中的测量方法应用到生活场景中，例如测量池塘对岸某一物体的距离，你认为该方法是否同样
适用？请举例说明在生活场景应用时可能会遇到的不同情况及相应的解决办法．
10．综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．
【动手操作】
如图1．将边长为 的正方形 对折，使点 与点 重合，得到折痕 ．打开后，再将正方形
折叠，使得点 落在 边上的点 处，得到折痕 ，折痕 与折痕 交于点 ，打开铺平，
连接 、 、 ．
【探究提炼】
（1）如图1，点 是 上任意一点；线段 和线段 存在什么关系？并说明理由；
（2）如图2，连接 ，当 恰好垂直于 时，求线段 的长度；
【类比迁移】
（3）如图3，某广场上有一块边长为 的菱形草坪 ，其中 ．现打算在草坪中修建步
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学科网（北京）股份有限公司道 和 ，使得点 在 上，点 在 上，且 ．
①求 的度数；
②请问步道 所围成的 （步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直
接写出最小值：若不存在，说明理由．
11．综合与实践
【主题】圆形纸片与剪纸艺术
【素材】图1中半径为2的圆形纸片（ ）若干．
【实践操作】活动一：如图2，在该圆形纸片（ ）上剪出一个圆周角为90°的扇形．
活动二：如图3，在另一圆形纸片（ ）内剪出一个内接正六边形，设该正六边形 的面积为 ，
再连接 ， ，剪出 ，设 的面积为 ．
活动三：在活动二的基础上，装饰粘贴上六个弧形花瓣，中心为点 ， 所在圆的圆心 恰好是
的内心．
【实践探索】
(1)根据剪纸要求，计算图2中的扇形 的面积．
(2)请直接写出 的值：______．
(3)求弧形花瓣总的周长（图4中实线部分的长度）．（结果保留 ）
12．综合与实践
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学科网（北京）股份有限公司主题：日月贝的设计与数学思考
【文化背景】坐落于珠海市香洲区的日月贝，不仅是一座具有艺术价值的建筑，也是来珠海市旅游的必去
之地，为游客提供了丰富的体验和享受．日月贝的设计灵感源自名画《维纳斯的诞生》，由一大一小两组
“贝壳”的形体组成，白天呈现半通透效果，夜晚则像贝壳一样闪闪发光．
【素材一】如图 和图 所示，日贝和月贝外形都可近似处理成与地面相交的圆弧．已知月贝高为 米，
日贝高为 米， 和 分别是两贝的直径，两圆心到地面的距离均约为各自半径的 ．
【问题一】
（1）求 和 的长度（ 结果取整数）．
【素材二】如图，为了体现错落的艺术感，日贝和月贝各自斜向形成一定的夹角．小队成员在进行地面勘
测时，发现了其中隐藏的几何模型．将其转化为以下数学问题．
【问题二】
（2）如图 ，在等腰直角 中， ， ．在（1）的条件下，计算 的长度（结
果取整数）．
（参考数据 ， ， ， ， ）
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学科网（北京）股份有限公司13．综合与实践
【主题】黄金矩形
【素材】素材一：矩形就是长方形．四个角都是 ，两组对边平行且相等．
素材二：宽与长的比是 （约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳
的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．
素材三：黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的。
【操作步骤】
【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图1所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
【第二步】如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
【第三步】折出内侧矩形的对角线 ，并把 折到图3中所示的 处．
【第四步】展平纸片，按照所得的点 折出 ，矩形 （图4）就是黄金矩形．
【问题解决】设 ．
(1)求证：矩形 是黄金矩形．
(2)求证：矩形MNDE也是黄金矩形．
14．综合与实践主题：神奇的正方形
素材：两个边长不等的正方形卡纸，把两个边长不等的正方形卡纸 与 如图1所示摆放（点 、
、 在同一条直线上， ），点 是边 上一点，连接 ， ，沿 ， 裁剪之后，被
分成①②③三块，拼接成为图2所示的一个正方形图案．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若 ， ，则 ______ ， ______ ．
(2)试根据题意判断 与 是否全等？说明理由．
(3)若 ， ，则图2中的图形②（多边形 ）的面积 ______（用含 、 的式子表示）
15．综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为 ，宽为 的长方形硬纸板做收纳盒．
【任务要求】
任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成
一个无盖的长方体收纳盒．如图1．
任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个
有盖的长方体收纳盒， 和 两边恰好重合且无重叠部分．如图2．
【问题解决】
(1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为 ，剪去的小正方形的边长为多少 ？
(2)若任务二中设计的该收纳盒的底面积为 ．
①该收纳盒的高是多少 ？
②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由．
押题猜想七 函数与实际问题的综合
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学科网（北京）股份有限公司（改编）今年春节长假，有各种各样以贺年为主题的小商品大受欢迎，其中就有小夜灯．近几年某商店一
直坚持以每个40元的价格出售一款小夜灯．据统计自2022年以来，该店小夜灯的销量持续增长，2022年
春节期间销售192个，到2024年春节销量达到了300个．
(1)求2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率；
(2)今年春节，该店现场销售的同时也将小夜灯按原价放到网上销售，一个月网上的销量达到了360个．为
进一步打开市场，该店决定在网上采用降价促销方式，据市场调查反映，如果调整价格，每降价1元，月
销量将增加60件．已知每个小夜灯成本为30元，当商品降价多少元时，该店网上销售的月利润可达到最
大？
押题解读
本考点为必考考点，明变量定关系：确定自变量（如时间x）与因变量（如路程y），通过“每单位变化
量固定”（如速度、单价）判定一次函数关系，设y=kx+b；找条件求参数：利用两组对应值（如两点坐
标）列方程组求k、b，或根据题意直接确定k（如斜率为速度）画图象助分析：画函数图象（注意定义域，
如x≥0），利用增减性（k>0递增，k<0递减）解决最值问题（如最优方案、临界值）；联实际验结果：求
解后验证是否符合实际意义（如人数为整数、费用非负），标注单位并规范作答。
1．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在 元范
围内（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．设台灯售价为x
（元），月销售量为y（个）．
(1)求出在售价为 元范围内（包含40元和60元）y与x的函数关系式；
(2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？
(3)商场能否实现平均每月15000元的销售利润？
2．某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销，
试销情况如下：
第1 第2 第3 第4 第5
天 天 天 天 天
售价 （元/千
18 15 12 10 9
克）
销售量 （千
50 60 75 90 100
克）
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学科网（北京）股份有限公司(1)根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映试销期间这批苹
果每天的销售量 （千克）与售价 （元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出
的取值范围）;
(2)若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量 （千克）与售价 （元/千克）之间都满足（1）中的函数
关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，
计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售
且能如期全部售完？
3．某款三明治机制作三明治的工作原理如下：
①预热阶段：开机1分钟空烧预热至 ，机器温度 与时间 成一次函数关系；
②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度 后保持恒温状态；③断电阶段：操作完成后
进行断电降温，机器温度 与时间 成反比例关系．如下图所示为某次制作三明治时机器温度 与时间
的函数图象，请结合图象回答下列问题：
(1)预热阶段机器温度上升的平均速度是_________ ，开机3分钟时，温度为____ ；
(2)当 时，求机器温度 与时间 的函数关系式；
(3)求三明治机工作温度在 以上持续时间．
4．如图，学校在教学楼后搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼长60m的后墙，其他的边用
总长70m的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距
离后墙8m外，还规划有机动车停车位．
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学科网（北京）股份有限公司(1)若设车棚宽度AB为xm，则车棚长度BC为______m；
(2)设自行车车棚面积为 ，车棚宽度AB为 ，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取
值范围；
(3)学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车棚进行扩建．在不对后墙进行改造的情况下，若希望扩建
后车棚面积不小于405m，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位EF向外最多移动
2m，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由．
5．综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地
面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门
所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一
个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的
生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，
为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能
使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数 的图象经过 和 ，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数 经过点 ，且 与 的图象
均经过 和 ，则 的取值范围是________；
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以 ， 为端点的拱门表示原拱门，
表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时
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学科网（北京）股份有限公司拱顶到地面的距离 的取值范围．
6．民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空
中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥
的旋转木梯点 处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台 上，其飞行路线可
看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网 ，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直
角坐标系，已知：点 的坐标为 ， ， ， ， ， ．
(1)当抛物线过点 ，且与 轴交于点 时，点 的坐标为___________，抛物线的解析式为
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学科网（北京）股份有限公司_______________；
(2)在（1）的条件下，若点 的坐标为 ，为使演员在演出时不受伤害，求保护网 （线段 ）
的长度至少为多少米；
(3)设该抛物线的表达式为 ，若抛射点 不变，为保证演员表演时落在平台 上（即抛物
线与线段 有交点），请直接写出 的取值范围．
押题猜想八 与圆有关的综合问题
（改编）如图1，已知等腰三角形 的外接圆圆心为点 ， ， 为 的直径， 交 于
点 ， ， ；
(1)求 的长；
(2)连 ，求证：四边形 为菱形；
(3)直接写出图2中阴影部分的面积．
押题解读
本考点为必考考点，与圆相关的综合题近年聚焦切线证明、圆周角定理及几何综合应用，如结合矩形、相
似三角形的动态问题。2025年或强化跨学科融合与新定义题型，例如圆锥周切面分析、圆与坐标系的综合
计算，建议重点掌握切线性质、垂径定理及阴影面积计算，关注动态几何与实际问题建模。
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学科网（北京）股份有限公司1．如图，在 中，点 为斜边 上一点，以 为直径的 交 于点 ， 交 于点 ，
且点 是 的中点．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长度．
2．综合运用
如图， 中， ，D为 中点， ， 是 的外接圆． 是 的直径．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求 的长；
(3)若 ，求 的半径．
3．某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直
径 ，杯底直径 ，杯壁母线 ．请你解决下列问题：
(1)小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．
①图2中弧 的长为______ ，弧 的长为______ ；
②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧 所在圆的圆心 ，如图3所示．求弧 所在圆的半
径 及它所对的圆心角的度数 ．
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学科网（北京）股份有限公司(2)小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．
4．如图， 在 中， ， 是 的平分线， 的平分线 交 于点 ，
点 在 上，以点 为圆心 的长为半径的圆经过点 ，交 于点 ，交 于点 ．
(1)求证： 为 的切线．
(2)当 ， 时，求 的半径．
(3)在（2）的条件下， 线段 ； ．
5．如图1， 是 的外接圆， 是直径，弦 与 交于点 ， 与 交于点 ，
．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ， ，求劣弧 的长；
(3)如图2， ， 于点 ，交 于点 ， 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 恰好
在线段 上，求证： ．
6．如图1，以 的边 为直径作 交 于点 ，连接 ，其中
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： 与 相切；
(2)如图2，连接 交 于点 ，若 求 的长；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点 作 于点 ，连接 交 于点 ，求 的长．
押题猜想九 几何图形变换的综合问题
（改编）如图，点 是 边 上的一点， ， （ ）， 交
于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， 是否可以为直角，如果可以，求出此时 的值；如果不能请说明理由；
(3)已知 且 ，点 在线段 上运动时， 为 的中点，探究 的长度是否存在
最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．
押题解读
本考点为必考考点，几何图形变换综合题近年聚焦旋转、翻折与坐标系结合，常考动态几何与存在性问题，
如折叠后线段关系及旋转角度计算。2025年或强化跨学科融合与新定义题型，如变换与物理运动结合或自
定义变换规则，建议重点掌握动态轨迹分析、相似三角形应用及辅助线构造技巧。
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学科网（北京）股份有限公司1． 中， ．点 为线段 上的一点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，与
相交于点 ，连接 ．
(1)如图1，当 为 的角平分线时，若 ．
①求 的值；
②连接 ，求证： ．
(2)如图2，当 为 的中线时，设 ， ，求 与 的函数关系式，并求 的
最大值．
2．如图1，在平行四边形 中， 于点 ，且 ．点 从点 出发，
沿 向终点 运动，设点 在该折线上运动的路径长为 ，连接 ．
(1) 的长为________，当点 在 上运动时， 的最小值为_______；
(2)点 是 的中点，如图2，
①请用无刻度的直尺和圆规过点 作 的垂线 ，垂足为点 （保留作图痕迹，不写作法）；
②求证： ；
(3)延长 到点 ，使得 ，以 ， 为邻边作平行四边形 ，当点 在 上，平行四
边形 对角线 所在的直线恰好经过点 时，如图3，求 的值．
3．如图1，在正方形 中，P为对角线 上一点，且 ，垂足为E．
【知识技能】
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学科网（北京）股份有限公司（1）图1中线段 和 之间的数量关系是__________；
【数学理解】
（2）若将图1中的 绕点C顺时针旋转，使P点落在 上，连接 ，如图2所示，则（1）中
的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【拓展探索】
（3）在（2）的基础上，延长 交于点F，若 ，求 的长．
4．【知识技能】（1）如图1，在 中， ， ，点D为平面内一点（点A，B，D
三点不共线）， 为 的中线，延长 至点M，使得 ，连接 ．求证：
．
【数学理解】（2）如图2，在 中， ， ，点D为平面内一点（点A，B，D三点
不共线）， 为 的中线，将 绕点A按顺时针方向旋转 得到 ，连接 ．求证：
【拓展探索】（3）如图3，在（2）的条件下，点D在以点A为圆心， 的长为半径的圆上运动
，直线 与直线 交于点G，连接 ，在点D的运动过程中， 的长度存在最大值．若
，求 的长度的最大值．
5．【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含 的三角板开展数学探究
活动，两块三角板分别记作 和 ， ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司【操作探究】如图1，先将 和 的边 、 重合，再将 绕着点A按顺时针方向旋
转，旋转角为 ，旋转过程中 保持不动，连接 （如图2）．
(1)当 时，求 的长度；
(2)如图3，当 时，求 的度数；
(3)取 的中点O，点P是平面内某个定点，连接 ，在运动过程中 的长是个定值，点P的位置是
______，这个定值为______，运动开始后 ______．
6．四边形 为正方形，以点A为旋转中心，将线段 绕点A顺时针旋转 ，得到线段
，连接线段 ， ．
(1)如图1，当旋转角 时， 的度数为______度；
(2)如图2，当旋转角 由小变大时， 的度数______（填“变大”，“变小”，或“不变”），请说
明理由；
(3)如图3，延长 ，过点B作 的延长线于点F，连接 ．求线段 与 的数量关系，并证
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学科网（北京）股份有限公司明你的结论；
(4)如图4，正方形的边长为2，在（3）的条件下，当旋转角 从 旋转到 ，请直接写出线段 扫过
的面积．
押题猜想十 函数与几何图形综合问题
（改编）探究如下问题：
(1)【观察猜想】
①如图1，在平面直角坐标系中，已知y轴上的定点F，x轴上的动点M，连接 ．作 的垂直平分线
，过M作x轴的垂线 和 相交于P，连接 ，则 ___________ （用“>”“<”或“=”填空）．
②请在图1作出 对应的 （保留作图痕迹），并猜想，到一个定点的距离与到一条定直线距离
相等的点P形成的曲线是___________；
(2)【探究证明】如图2，在平面直角坐标系中，已知定点 ，定直线 ， 为点 到
直线 上的距离，当满足 时，请求出点P的坐标x与y满足的关系式；
(3)【拓展延伸】在（2）的条件下，过点F的直线与动点P组成的曲线相交于A、B，
③如图3，以线段 为直径作圆C，求证：圆C与定直线 相切；（梯形中位线定理，梯形的中位线长度
等于上底与下底之和的一半．）
④如图4，当 时，求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司押题解读
考点为必考考点，函数与几何图形综合题近年聚焦二次函数与三角形、四边形动态结合，常考面积最值、
存在性问题及几何变换（如旋转、折叠）与函数图像的关联。2025年或强化跨学科融合（如物理运动轨
迹）及新定义题型，例如抛物线与圆的切线性质结合、反比例函数与特殊四边形的综合建模。建议重点掌
握动态几何中坐标与图形的转化、相似三角形应用及二次函数顶点式的灵活运用，关注动点轨迹分析与极
值问题的代数解法。
1．已知抛物线 （ ， 为常数）的图象经过点 和 ，顶点为 ．
(1)用含 的代数式表示 ；
(2)当 时，求 面积的最大值；
(3)已知点 ，当抛物线 有部分图象落在 内部（不包含边界）时，将这部分图象记为 ．
设 ， 为图象 上两点，当 时，总有 ，求 的取值范围．
2．综合运用
如图1，直线 与直线 交于点 ，直线 与x轴交于点 ， ，点P在线段
上，点Q在线段 上，四边形 为正方形（ 与A在 的异侧），正方形 与 重叠
部分的面积为S．
(1)求直线 的函数关系式；
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学科网（北京）股份有限公司(2)当正方形 的边 恰好落在 上时，求边长 的长度；
(3)设点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系式以及自变量m的取值范围（可以将图形画在图2中）．
3．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于A， 两点（点A在点 的左侧），与 轴交于
点 ．
(1)作直线 ， 是抛物线上第一象限内的一个动点．
①如图1，当 时，求点 的横坐标；
②如图2，过点 作 轴，交直线 于点 ，作 ，交抛物线于另一点 （点 在点 的
右侧），以 ， 为邻边构造矩形 ，求该矩形周长的最小值．
(2)将线段 先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段 ，若抛物线
（ ）与线段 只有一个交点，求 的取值范围．
4．如图， 已知点 ， ， 的平分线交 于 ， 一动点 从 点出发， 以每秒
个单位长度的速度，沿 轴向点 作匀速运动，过点 且平行于 的直线交 轴于 ，作点 、 关
于直线 的对称点 、 ．设点 运动的时间为 秒．
(1)用含 的代数式表示点 ， 的坐标， 点的坐标为 ， 点的坐标为 ．
(2)求 点的坐标．
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学科网（北京）股份有限公司(3)设 与 重叠部分的面积为 ．试求 关于 的函数关系式．
5．如图1，矩形 的两个顶点 ， 分别落在 ， 轴上，顶点 ， 位于第一象限，对角线 ，
交于点 ， ， ，若双曲线 经过点 ， ．
(1)求 的值；
(2)点 ， 分别在射线 、射线 上，满足 ， ，求 的度数；
(3)如图2，若抛物线 的顶点 是线段 上一动点，与 轴交于点 ， ，过点 作
轴于点 ，当 取得最大值时，求此时 的面积．
6．如图所示，抛物线 交 轴于 两点，将 在 轴下方部分翻折得到抛物线 ，将
抛物线 与 整体视作曲线 ，以下设问均不考虑抛物线 在 轴下方的部分．
【知识技能】
（1）直接写出抛物线 的解析式；
【数学理解】
（2）记曲线 交 轴于点 ，连接 ，点 为在 上方且在曲线 上的一个动点，连接 ，求
面积的最大值；
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学科网（北京）股份有限公司【拓展探究】
（3）设平面内存在动直线
①讨论并直接写出动直线 与曲线 的交点个数；
②若动直线 与曲线 有四个交点，记这四个交点的横坐标从左往右分别为 ，问是否存在
这样的动直线，使满足 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
7．[问题提出]
如图，在 中， ， ， ， 为射线 上的动点，以 为一边作矩形
，其中点E，F分别在射线 和射线 上，设 长为 ，矩形 面积为 （ 均可以等于
0）．
[问题探究]
（1）如图1，当点 从点 运动到点 时，
①用含 的代数式表示 的长： _____；
②求 关于 的函数解析式，写出自变量 的取值范围，并通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图
象：
0 1 2 3 4
1．
0 2
5
表中 的值为_____， 的值为_____；
（2）当点 运动到线段 的延长线上时，直接写出 关于 的函数解析式；
[问题解决]
（3）若从上至下存在三个不同位置的点 ， ， ，对应的矩形 面积均相等，当
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学科网（北京）股份有限公司时，求矩形 的面积．
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