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2024 年高考数学终极押题猜想
（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）
押题猜想一 函数性质（奇偶性、对称性、周期性、单调性)的综合应用..........................................................1
押题猜想二 导数中的零点问题................................................................................................................................2
押题猜想三 三角恒等变换求值问题........................................................................................................................4
押题猜想四 解三角形中的范围与最值问题............................................................................................................5
押题猜想五 外接球、内切球、棱切球....................................................................................................................7
押题猜想六 立体几何中的不规则图形....................................................................................................................9
押题猜想七 条件概率背景下概率与实际生活密切联系......................................................................................12
押题猜想八 圆锥曲线的离心率..............................................................................................................................17
押题猜想九 圆锥曲线中的面积问题......................................................................................................................19
押题猜想十 数列新定义..........................................................................................................................................22
押题猜想一 函数性质（奇偶性、对称性、周期性、单调性)的综合应用
已知函数 的定义域为R，对于任意实数x，y满足 ，且 ，
则下列结论错误的是（ ）
A． B． 为偶函数
C． 是周期函数 D．
押题解读
从近五年的高考情况来看，本部分多以选择题的压轴题呈现，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必
考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时
要充分运用转化思想、数形结合思想和通过合理的赋值解决，抽象函数问题是今年高考的热点之一.
1．已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（多选题）已知函数 为偶函数，且 ，当 时， ，则
1
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A． 的图象关于点 对称 B． 的图象关于直线 对称
C． 的最小正周期为2 D．
3．（多选题）已知定义城为R的函数 ．满足 ，且 ，
，则（ ）
A． B． 是偶函数
C． D．
4．（多选题）已知定义在R上的函数 的导函数分别为 ，且 ，
，则（ ）
A． 关于直线 对称 B．
C． 的周期为4 D．
5．（多选题）已知函数 的定义域为 ，且 ，都有 ，
， ， ，当 时， ，则下列说法正确的
是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．
C．
D．函数 与函数 的图象有8个不同的公共点
押题猜想二 导数中的零点问题
已知函数 ， ．
(1)若 与 的图象有且仅有两个不同的交点，求实数 的取值范围；
(2)若 ， 是 的导函数，方程 有两个不相等的实数解 ， ，求证：
．
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！押题解读
本部分多以解答题呈现，导数压轴题以零点问题为主，重点关注由函数的零点生成的各类问题（结合不等
式、双变量问题、恒成立与有解问题、极值点偏移问题等）的求解思路，本质是如何构造函数以及变形函
数求解难题，导数中的零点问题与不等式结合是今年高考的热点之一
1．已知 ，函数 的图象在点 处的切线方程为 .
(1)求a，b的值;
(2)若方程 （e为自然对数的底数）有两个实数根 ，且 ，证明：
2．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，求函数 的极大值；
(3)若 ，求函数 的零点个数．
3．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若关于 的不等式 无整数解，求 的取值范围.
3
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司4．已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)求函数 在 上的零点个数.
5．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性．
(2)已知 是函数 的两个零点 ．
（ⅰ）求实数 的取值范围．
（ⅱ） 是 的导函数．证明： ．
押题猜想三 三角恒等变换求值问题
己知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
押题解读
在近几年的高考中，本部分多以选择题或者填空题形式呈现，三角恒等变换是三角函数部分考查频率最高
的一个知识点，考查题目灵活多变。在学习时，公式特别多，难度非常大，学好的首要条件是熟练掌握三
角函数诱导公式，然后主要是理解掌握两角差的余弦公式的推导过程，进而推导出两角和与差的正弦、余
弦、正切公式。在三角函数求值题目当中，常常会出现已知条件中给出两个或者一个三角函数值，求问题
中的三角函数值，解决此类问题的关键在于用“已知角”来表示“未知角”，因此三角恒等变换求值问题
是今年高考的热点之一.
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1． （ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．在 中，已知 ．若 ，则 （ ）
A．无解 B．2 C．3 D．4
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
押题猜想四 解三角形中的范围与最值问题
记锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
(1)证明： ；
(2)求 的取值范围.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司押题解读
本部分多以解答题或者填空题呈现，解三角形问题是高考高频考点，命题多位于解答题第一题，主要利用
三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系
进行“边转角”、“角转边”．解决“最值与范围问题”的基本方法：①利用正弦定理，边转角，转化为
关于角的三角函数．②利用余弦定理，角转边，转化为关于边的函数，通过代入消元或基本不等式求解最
值．③若条件中包含“锐角三角形”，则一般转角．④通过画图寻找思路，以及检查结果．
1．在 中， 为 边上一点， ，且 面积是 面积的2倍．
(1)若 ，求 的长；
(2)求 的取值范围．
2．已知锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，其中 ， ，且
．
(1)求证： ；
(2)已知点 在线段 上，且 ，求 的取值范围．
3． 中， 为 边的中点， .
(1)若 的面积为 ，且 ，求 的值；
(2)若 ，求 的取值范围．
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4．已知平面四边形 中， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 的面积为 ，求四边形 周长的取值范围.
5． 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
押题猜想五 外接球、内切球、棱切球
已知体积为 的球O与正四面体 的四个面均相切，且与正四面体 的六条棱均相切，
则正四面体 与 的表面积的比值为（ ）
A．6 B． C． D．3
押题解读
纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一．高考命题小题综
合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从近几年全国高
考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中等难
度．
1．（多选题）在三棱锥 中， 与 是全等的等腰直角三角形，平面 平面
为线段 的中点．过点 作平面截该三棱锥的外接球所得的截面面积可能是（ ）
A． B． C． D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司2．（多选题）化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫
（化学式 ）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正
八面体 的（如图2）棱长为2，则（ ）
A．正八面体 的内切球表面积为
B．正八面体 的外接球体积为
C．若点 为棱 上的动点，则 的最小值为
D．若点 为棱 上的动点，则三棱锥 的体积为定值
3．在四面体 中， ，且 与 所成的角为 .若四面体 的体
积为 ，则它的外接球半径的最小值为 .
4．如图，棱长为 的正方体 的内切球为球 ， ， 分别是棱 ， 的中点， 在
棱 上移动，则（ ）
A．对于任意点 ， 平面
B．直线 被球 截得的弦长为
C．过直线 的平面截球 所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为
D．当 为 的中点时，过 ， ， 的平面截该正方体所得截面的面积为
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5．在正四棱台 中， ，若球 与上底面A B C D 以及棱
1 1 1 1
均相切，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
押题猜想六 立体几何中的不规则图形
如图，在菱形 中， ， 分别为 的中点，将 沿 折起，使点
到达点 的位置，且 ．
(1)证明： 平面 ．
(2)若 为线段 上的一点，求 与平面 所成角的正弦值的最大值．
押题解读
本部分多以解答题呈现，立体几何中的不规则图形问题是一个由抽象到直观，由直观到抽象的过程．高考
中，立体几何中的不规则图形常与空间中的平行、垂直、空间角及距离相结合命题．因此，关注立体几何
中的不规则图形问题是非常有必要的，也是今年高考的热点之一.
1．在菱形 中， ，以 为轴将菱形 翻折到菱形 ，使得平面
平面 ，点 为边 的中点，连接 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司2．如图，在圆台 中， 为轴截面， 为下底面圆周上一点， 为下
底面圆 内一点， 垂直下底面圆 于点 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)若 为等边三角形，求平面 和平面 的交线 与平面 所成角的正弦值.
3．如图所示，三棱柱 所有棱长都为 ， ， 为 中点， 为 与 交点．
(1)证明： 平面 ；
(2)证明：平面 平面 ；
(3)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的平面角的余弦值．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4．如图，在三棱柱 中， 是边长为2的正三角形，侧面 是矩形， ．
(1)求证：三棱锥 是正三棱锥；
(2)若三棱柱 的体积为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
5．如图 是由两个三角形组成的图形，其中 ， ， ， ．将三
角形 沿 折起，使得平面 平面 ，如图 ．设 是 的中点， 是 的中点．
(1)求直线 与平面 所成角的大小；
(2)连接 ，设平面 与平面 的交线为直线 ，判别 与 的位置关系，并说明理由．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司押题猜想七 条件概率背景下概率与实际生活密切联系
流感病毒是一种 病毒，大致分为甲型、乙型、丙型三种，其中甲流病毒传染性最强，致死率最高，危
害也最大．某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品 和治疗甲流药品 ，根据研
发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下2×2列联
表：
甲流病毒
预防药品 合计
感染 未感染
未使用 24 21 45
使用 16 39 55
合计 40 60 100
(1)根据 的独立性检验，分析预防药品 对预防甲流的有效性；
(2)用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样方式每次选出1只，用治疗药品 对该动物进行
治疗，已知治疗药品 的治愈数据如下：对未使用过预防药品 的动物的治愈率为0.5，对使用过预防药
品 的动物的治愈率为0.75，若共选取3只已感染动物，每次选取的结果相互独立，记选取的3只已感染
动物中被治愈的动物只数为 ，求 的分布列与数学期望．
附： ．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
押题解读
回顾近几年的高考试题，可以看出概率统计解答题，大多紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，
注重知识的综合应用与实际应用，作为考查实践能力的重要载体，命题者要求考生会收集，整理、分析数
据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，建立数学模型，再应用数学原理和数学工具解决实际问
题，是高考常用的考查形式．
1．某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：
质量差（单位：
54 57 60 63 66
）
件数（单位：件） 5 21 46 25 3
(1)求样本质量差的平均数 ；假设零件的质量差 ，其中 ，用 作为 的近似值，求
的值；
(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的 来自第1条生产线.若两条生产线的废品
率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽
取一件.
（i）求抽取的零件为废品的概率；
（ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.
参考数据：若随机变量 ，则
.
2．2023年10月10日，习近平总书记来到九江市考察调研，特别关注生态优先，绿色发展.某生产小型污
水处理设备企业甲，原有两条生产线，其中1号生产线生产的产品优品率为0.85，2号生产线生产的产品
优品率为0.8.为了进一步扩大生产规模，同时响应号召，助力长江生态恢复，该企业引进了一条更先进、
更环保的生产线，该生产线（3号）生产的产品优品率为0.95.所有生产线生产的产品除了优品，其余均为
良品.引进3号生产线后，1，2号生产线各承担20%的生产任务，3号生产线承担60%的生产任务，三条生
产线生产的产品都均匀放在一起，且无区分标志.
(1)现产品质检员，从所有产品中任取一件进行检测，求取出的产品是良品的概率；
(2)现某企业需购进小型污水处理设备进行污水处理，处理污水时，需几台同型号的设备同时工作.现有两种
方案选择：方案一，从甲企业购进设备，每台设备价格30000元，可先购进2台设备.若均为优品，则2台
就可以完成污水处理工作；若其中有良品，则需再购进1台相同型号设备才能完成污水处理工作.方案二，
从乙企业购进设备，每台23000元.需要三台同型号设备同时工作，才能完成污水处理工作.从购买费用期望
角度判断应选择哪个方案，并说明理由.
3．甲、乙两人进行知识问答比赛，共有 道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的
概率分别为 和 ，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.
(1)若 ， ，求甲获胜的概率；
(2)若 ，设甲第 题的得分为随机变量 ，一次比赛中得到 的一组观测值 ，如下表.
现利用统计方法来估计 的值：
①设随机变量 ，若以观测值 的均值 作为 的数学期望，请以此求出 的估计
值 ；
②设随机变量 取到观测值 的概率为 ，即 ；
在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着 的变化，用使得 达到最大时 的取值
作为参数 的一个估计值.求 .
题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
得分 1 0 0 ﹣1 1 1 ﹣1 0 0 0
题目 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
得分 ﹣1 0 1 1 ﹣1 0 0 0 1 0
表1：甲得分的一组观测值.
附：若随机变量 ， 的期望 ， 都存在，则 .
4．为保护森林公园中的珍稀动物，采用某型号红外相机监测器对指定区域进行监测识别.若该区域有珍稀
动物活动，该型号监测器能正确识别的概率（即检出概率）为 ；若该区域没有珍稀动物活动，但监测器
认为有珍稀动物活动的概率（即虚警概率）为 .已知该指定区域有珍稀动物活动的概率为0.2.现用2台该
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！型号的监测器组成监测系统，每台监测器（功能一致）进行独立监测识别，若任意一台监测器识别到珍稀
动物活动，则该监测系统就判定指定区域有珍稀动物活动.
(1)若 .
（i）在该区域有珍稀动物活动的条件下，求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概率；
（ii）在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下，求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率（精确到
0.001）；
(2)若监测系统在监测识别中，当 时，恒满足以下两个条件：①若判定有珍稀动物活动时，该
区域确有珍稀动物活动的概率至少为0.9；②若判定没有珍稀动物活动时，该区域确实没有珍稀动物活动
的概率至少为0.9.求 的范围（精确到0.001）.
（参考数据： ）
5．入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的“顶流”．南方的小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，
这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直
接拉着行李箱进入．东北某城市洗浴中心花式宠“且”，为给顾客更好的体验，推出了 和 两个套餐服
务，顾客可自由选择 和 两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司平台10天销售优惠券情况．
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
销售量 （千张） 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 0.4
经计算可得： ， ， ．
(1)因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，
现剔除第10天数据，求 关于 的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）；
(2)若购买优惠券的顾客选择 套餐的概率为 ，选择 套餐的概率为 ，并且 套餐可以用一张优惠券，
套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为 张的概率为 ，求 ；
(3)记（2）中所得概率 的值构成数列 ．
①求 的最值；
②数列收敛的定义：已知数列 ，若对于任意给定的正数 ，总存在正整数 ，使得当 时，
，（ 是一个确定的实数），则称数列 收敛于 ．根据数列收敛的定义证明数列 收敛．
参考公式： ， ．
6．某商场举办摸球赢购物券活动．现有完全相同的甲､乙两个小盒，每盒中有除颜色外形状和大小完全相
同的10个小球，其中甲盒中有8个黑球和2个白球，乙盒中有3个黑球和7个白球．参加活动者首次摸球，
可从这两个盒子中随机选择一个盒子，再从选中的盒子中随机摸出一个球，若摸出黑球，则结束摸球，得
300元购物券；若摸出的是白球，则将摸出的白球放回原来盒子中，再进行第二次摸球．第二次摸球有如
下两种方案：方案一，从原来盒子中随机摸出一个球；方案二，从另外一个盒子中随机摸出一个球．若第
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！二次摸出黑球，则结束摸球，得200元购物券；若摸出的是白球，也结束摸球，得100元购物券．用X表
示一位参加活动者所得购物券的金额．
(1)在第一次摸出白球的条件下，求选中的盒子为甲盒的概率．
(2)①在第一次摸出白球的条件下，通过计算，说明选择哪个方案第二次摸到黑球的概率更大；
②依据以上分析，求随机变量 的数学期望的最大值.
押题猜想八 圆锥曲线的离心率
如图，已知双曲线 ： （ ， ）的右焦点为 ，点 是双曲线 的渐近线上的一点，
点 是双曲线 左支上的一点.若四边形 是一个平行四边形，且 ，则双曲线 的离心率是
（ ）
A． B．2 C． D．3
押题解读
圆锥曲线的离心率问题是高考中的一个难点和热点．因为离心率是刻画圆锥曲线形状的一个基本量，能考
查考生对圆锥曲线形状最本质的理解，考查数学抽象、数学建模、数学运算等数学核心素养，灵活多变，
综合性强．求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难
度中等，是高考常用的考查形式．双曲线的离心率是今年高考的热点之一.
1．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点．若双曲线右支上存在一点 ，使
，则双曲线 的离心率的取值范围为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
2．已知点A，B，C都在双曲线 ： 上，且点A，B关于原点对称， .过
A作垂直于x轴的直线分别交 ， 于点M，N.若 ，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知双曲线 的左，右顶点分别为 是双曲线上不同于 ， 的一点，设直
线 的斜率分别为 ，则当 取得最小值时，双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
4．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过 的直线与双曲线C左支相交于
A，B两点，若 ， ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆 ，直线 与椭圆 交于 两点（ 点在 点上方），
为坐标原点，以 为圆心， 为半径的圆在点 处的切线与 轴交于点 ，若 ，则 的
离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
押题猜想九 圆锥曲线中的面积问题
某校数学问题研究小组的同学利用电脑对曲线 进行了深人研究．已知点 在曲线 上，
曲线 在点 处的切线方程为 ．请同学们研究以下问题，并作答．
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)问题1：过曲线 的焦点 的直线与曲线 交于 两点，点 在第一象限．
（i）求 （ 为坐标原点）面积的最小值；
（ii）曲线 在点 处的切线分别为 ，两直线 相交于点 ，证明 ．
(2)问题2：若 是曲线 上任意两点，过 的中点 作 轴的平行线交曲线 于点 ，记线段 与
曲线 围成的封闭区域为 ，研究小组的同学利用计算机经过多次模拟实验发现 是个定值，请
求出这个定值．
押题解读
本部分多以解答题呈现，圆锥曲线面积问题的题目思路会比较顺畅，重点会在计算上面设置障碍，要利用
几何关系转换所求的面积，复习过程中要关注如何简化计算和转化思想．抛物线的面积问题是今年高考的
热点之一.
1．已知椭圆C： 短轴长为2，左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线l与椭圆C
交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方， ， ，直线 与直线MO交于点
，直线 与直线NO交于点 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)若 的坐标为 ，求椭圆C的方程；
(2)在（1）的条件下，过点 并垂直于x轴的直线交C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足 ， ，
成等差数列．求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围；
(3)若 ，求实数a的取值范围．
2．如图，已知椭圆 和抛物线 ， 的焦点 是 的上顶点，过 的直线
交 于 、 两点，连接 、 并延长之，分别交 于 、 两点，连接 ，设 、 的
面积分别为 、 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的取值范围.
3．已知椭圆 ： 的上顶点为 ，离心率 ，过点 的直线 与椭圆
交于 ， 两点，直线 、 分别与 轴交于点 、 .
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(1)求椭圆 的方程；
(2)已知命题“对任意直线 ，线段 的中点为定点”为真命题，求 的重心坐标；
(3)是否存在直线 ，使得 ？若存在，求出所有满足条件的直线 的方程；若不存在，请说明
理由.（其中 、 分别表示 、 的面积）
4．已知O为坐标原点，抛物线 ，过点 的直线交抛物线于A，B两点，
．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点 ，连接AD，BD，证明： ；
(3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴
两侧，求 面积的最小值．
5．已知双曲线 的虚轴长为4，渐近线方程为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过右焦点 的直线 与双曲线 的左､右两支分别交于点 ，点 是线段 的中点，过点 且与 垂
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押题猜想十 数列新定义
定义：若对 恒成立，则称数列 为“上凸数列”．
(1)若 ，判断 是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
(2)若 为“上凸数列”，则当 时， ．
（ⅰ）若数列 为 的前 项和，证明： ；
（ⅱ）对于任意正整数序列 （ 为常数且 ），若
恒成立，求 的最小值．
押题解读
继九省联考结束后，各省相继发布高考新命题结构通知，往年的新高考没出现这类题型，由于题型上的变
动较大，所以都会引起大部分考生的焦虑心态．回顾往年高考历程，创新题北京卷几乎每年都考，其它地
区每年都有，但不是“跳板式”的新，而是循序渐进式的新，因为高考出题非常重视高考卷的区分度，因
此在最后的备考阶段要踏踏实实地总结复习，多做、多想、多悟真题．本部分多以解答题压轴题形式呈现，
数列新定义是今年高考的热点之一
1．已知 为非零常数， ，若对 ，则称数列 为 数列．
(1)证明： 数列是递增数列，但不是等比数列；
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！(2)设 ，若 为 数列，证明： ；
(3)若 为 数列，证明： ，使得 ．
2．已知数列 的各项均为正整数，设集合 ， ，记 的元
素个数为 .
(1)若数列A:1，3，5，7，求集合 ，并写出 的值;
(2)若 是递减数列，求证:“ ”的充要条件是“ 为等差数列”;
(3)已知数列 ，求证: .
3． 表示正整数a，b的最大公约数，若 ，且 ，
，则将k的最大值记为 ，例如： ， .
(1)求 ， ， ；
(2)已知 时， .
（i）求 ；
（ii）设 ，数列 的前n项和为 ，证明： .
4．在 个数码 构成的一个排列 中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的
前面，则称它们构成逆序（例如 ，则 与 构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司列的逆序数，记为 ，例如， ，
(1)计算 ；
(2)设数列 满足 ，求 的通项公式；
(3)设排列 满足 ，求 ，
5．若数列 满足：存在等差数列 ，使得集合 元素的个数为不大于 ，则称
数列 具有 性质.
(1)已知数列 满足 ， .求证：数列 是等差数列，
且数列 有 性质；
(2)若数列 有 性质，数列 有 性质，证明：数列 有 性质；
(3)记 为数列 的前n项和，若数列 具有 性质，是否存在 ，使得数列 具有 性
质？说明理由.
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