2025《中考数学•终极押题猜想》湖南省(原卷版)_初中资料合集_2025中考数学《终极押题猜想》全国13地方版_2025《中考数学•终极押题猜想》湖南省

2025 年中考数学终极押题猜想（湖南专用）
（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）
押题猜想一 实数的混合运算 ..........................................1
押题猜想二 求代数式的值 ............................................2
押题猜想三 解不等式组 ..............................................3
押题猜想四 利用方程、不等式（组）、函数解决实际问题 ................3
押题猜想五 规律探究 ................................................5
押题猜想六 统计与概率 ..............................................7
押题猜想七 锐角三角函数的应用 .....................................10
押题猜想八 二次函数的图象与系数的关系 .............................14
押题猜想九 二次函数与线段、面积的问题 .............................16
押题猜想十 二次函数与多边形、角度存在性的问题 .....................18
押题猜想十一 几何中的多结论判定 ...................................20
押题猜想十二 几何中的最值问题 .....................................22
押题猜想十三 几何图形的证明与计算问题 .............................25
押题猜想十四 圆的综合问题 .........................................27
押题猜想十五 特殊四边形的综合问题 .................................29
押题猜想一 实数的混合运算
限时：2min
学科网（北京）股份有限公司æ 1ö-1 æ 22ö0
（原创） 计算：-12025 +ç- ÷ - 12+1-4cos30°+çπ- ÷
ç ÷ ç ÷
è 3ø è 7 ø
押题解读
本考点为必考考点，实数的混合运算是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。它是基础题，难
度不大，只要记住特殊角的三角函数值，掌握实数的计算顺序，我们就能正确解答。
1．计算： 4+p-30--12025+ æ ç- 1ö ÷ -2
è 3ø
2．计算2025-π0 - 3-2 -3tan30°+ æ ç 1ö ÷ -1
è2ø
3．计算：-20250- æ ç 1ö ÷ -1 +2cos60°+1- 3 - 1 ´ 27 ．
è6ø 3
4．计算：  2+1 -1 +4cos45°+ 3-2 -3.14-π0．
5．计算：  3 2 -π+50-4sin60°+ 3-2
押题猜想二 求代数式的值
限时：2min
æ 5 ö x2-6x+9
（原创） 先化简，再求值：ç ç -2-x÷ ÷ -1，其中x为正整数且x<4．
èx-2 ø 2-x
押题解读
本考点为必考考点，求代数式的值是比较重要的常考内容，常以解答题的形式出现。一般以先化简再求
值的方式出现，难度不大，只要掌握运算法则和计算顺序，就易得分。
1．先化简，再求值：2x2 -2yx-y-x-y2，其中x=1,y=2
2．先化简，再求值：x-22 -2x+32x-3+3xx+2，其中x=2．
æ 4 ö x2+4x+4
3．先化简，再求值：ç +1÷¸ ，其中x= 3-2．
èx-2 ø x-2
学科网（北京）股份有限公司æ a2-4 a ö a2+2a
4．先化简，再求值：ç - ÷¸ ，且a的值满足a2+2a-8=0．
èa2-4a+4 a-2ø a-2
æ m-1ö m2-2m+1
5．先化简，再求值：çç 1- ÷÷ ，其中m= 2+1．
è m+1ø m2-1
押题猜想三 解不等式组
限时：2min
3x+2 x+6

（改编） 解不等式组： x-1 x ，并将解集在数轴上表示出来
 1+
 4 2
押题解读
本考点为必考考点，解不等式组是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。这类题难度不大，易
得分。
ì2x+3>4(x-2)①
ï
1．解不等式组í2x-1 x-2
-2£ ②
ï
î 3 2
ì5x-1£3x+1
ï
2.解不等式组：í2x-1 5x-1 ，并写出满足条件的正整数x的所有值．
ï - <1
î 2 4
ìx-4£3x-2
ï
3．解不等式组í1+2x ，并求出整数解的和．
+1>x
ï
î 3
押题猜想四 利用方程、不等式（组）、函数解决实际问题
限时：5min
（改编） 据统计，2025年春节期间，长沙市累计接待国内游客1464.37万人次．这里有种类繁多的特色小
吃.臭豆腐和糖油粑粑都是长沙的传统小吃。“臭豆腐”“糖油粑粑”摊位前排满了游客，若购买臭豆腐4份，
糖油粑粑2份需要48元；购买臭豆腐2份，糖油粑粑4份需要54元．
学科网（北京）股份有限公司(1)求糖油粑粑，臭豆腐每份的售价．
(2)据调查，某商家制作1份糖油粑粑需要成本4元，1份臭豆腐需要成本6元．该商家结合市场需求，某
天可售卖臭豆腐和糖油粑粑共1000份，且糖油粑粑的数量不少于臭豆腐的3倍．若商家售完这1000份特
色小吃，可获得的最大利润是多少？
押题解读
本考点为必考考点，利用方程、不等式（组）、函数解决实际问题是比较重要的考查内容，常以解答题
的形式出现。这些题综合性强，难度较大，易失分，所以要认真审题，找出已知量与未知量之间的关系。
1．为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果的进价、
售价如表所示：
进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲种 5 8
乙种 9 13
(1)若该水果店购进两种水果共花费1000元，则这两种水果各购进多少千克？
(2)若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销
售完这批水果时获利最多？
2．【问题背景】
2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面
积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高25%；
素材二：购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元；
1
素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的 ．
3
【问题解决】
学科网（北京）股份有限公司(1)求A，B两种书架的单价；
(2)设购买a个A种书架，购买书架的总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出总费用最少时的购买
方案．
3．2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，
每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵
数相同．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格；
(2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗
的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，
才能使购买树苗的总费用最少？
4．某商品在电商平台上销售，其进价为每件40元．市场调研显示，当售价为每件80元时，每天能售出20
件．为了促销并减少库存，商家决定降价销售．每降低1元的售价，每天就能多售出4件商品．
(1)商家希望每天通过销售该商品获得1400元的利润．为了达到这一利润目标，则售价应该降低多少元？
(2)在降价促销的策略下，商家每天能够获得的最大利润是多少元？
5．（2025·山东烟台·一模）年初随着电影《哪吒之魔童闹海》的热播，与之相关的手办成了许多人热衷的
收藏品．学校动漫社团的同学们也准备团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单
价是敖丙手办单价的1.2倍．经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多6个，购买哪吒手办共
需1200元，敖丙手办共需760元．
(1)分别求出哪吒手办和敖丙手办的单价；
(2)社团与商家协商给出团购政策：哪吒手办的数量若超过20个，则其单价可以降低4元；敖丙手办的数量
若超过20个，则可以打九折销售．同学们现有1850元，请通过计算判断能否购买到原来统计的手办．若
能，写明购买方案；若不能，请说明理由．
押题猜想五 规律探究
限时：4min
（改编）2025年五一节期间，中国无人机表演团队震撼全球，6000架无人机编队划破夜空，展示了中国“智
造”实力．无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及到多项技术的深度融合．这其中就包括了精准的
定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“®”方向
飞行，P0,0，P 0,1，P 1,1，P 1,-1 …根据这个规律，点P 的坐标为（ ）
1 2 3 4 2025
学科网（北京）股份有限公司A．(-505,506) B．(-506,-506) C．(506,-506) D．(506,506)
押题解读
本考点为必考考点，规律探究是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题的形式出现。并且难度较大，
易失分，往往是选择题、填空题中的压轴题。
1．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2025个图案中的“ ”的个数是（ ）
A．6072 B．6074 C．6076 D．6068
2．观察下列算式：31 =3，32 =9，33 =27，34 =81，35 =243，36 =729…，根据你观察发现的规律，32025
的个位上的数字应是 ．
1 1
3、数a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数，如：2的差倒数是 =-1，-1的差倒数是
1-a 1-2
1 1 1
= ．已知a =- ，a 是a 的差倒数，a 是a 的差的倒数，……，以此类推，则a  ．
1-(-1) 2 1 3 2 1 3 2 2025
4．观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；……
根据这一规律计算：22025+22024+22023+…+22+2+1的结果是 ．
学科网（北京）股份有限公司5、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线OP与x轴的夹角为30°，点B 在x轴上，且OB =2，
1 1
过点B 作BA ^OP交OP于点A，以AB 为边在AB 右侧作等边三角形ABC ；过点C 作OP的垂线分别
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
交x轴、OP干点B 、A ，以A B 为边在A B 的右侧作等边三角形ABC ，过点C 作OP的垂线分别交x
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
轴、OP于点B 、A ，以A ，B 为边在AB 的右侧作等边三角形ABC ，…，按此规律进行下去，则点A
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
的纵坐标为 ，点A 的纵坐标为 ．
2025
押题猜想六 统计与概率
限时：3min
（改编） 湖南某所初级中学为重点抓好学生“防溺水”安全教育，对部分学生就安全知识的了解程度进行了
随机抽样调查，并绘制了如图所示的两幅统计图，形成如下报告：
结合调查信息，回答下列问题：
(1)本次调查共抽查了______名学生，其中“基本了解”安全知识的学生人数是______；
(2)若该校有1000名初中生，请估计该校“非常了解”安全知识的人数约有______；
(3)某班有3名男生和1名女生参加“防溺水安全比赛”的选拔，两名学生被选中，则恰好选中1名男生和1
名女生的概率是______；
学科网（北京）股份有限公司(4)请你就如何提高防溺水安全意识向该校提一条合理建议．
押题解读
（说明：阐释押题理由、押题依据、押题秘笈等）
本考点为必考考点，统计与概率是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题、解答题的形式出现。这
些题都是基础题，难度不大，易得分，每年中考都10-14分。
1、学校举行“强国有我，筑梦未来”演讲比赛，由7名学生组成评委组．小明统计了每位评委对某参赛选手
的评分并制成如下表格．如果以去掉一个最高分和一个最低分后其他5名评委的平均分记为选手的最后得
分，那么表中的数据一定不发生变化的是（ ）
众数 中位数 平均数 方差
8.6 8.4 8.5 0.25
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
2．国产动画电影《哪吒之魔童闹海》的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象，以顶尖的视效技术讲述创
新的新时代下的哪吒故事，成为无数观众的春节档首选．截至3月17日，《哪吒之魔童闹海》全球票房已
突破150亿元．本周末，小华和小婷计划再看一遍《哪吒之魔童闹海》，他们发现在手机APP上提供了4
种电影厅：A．杜比影院，B．IMAX 激光厅，C．CINITY厅，D．剧院式巨幕厅．二人决定从上述4种电
影厅中随机选择1种进行观影，则他们都选中“剧院式巨幕厅”的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
4 2 16 8
3．下列说法正确的有（ ）
（1）了解某市70岁以上老年人的健康状况适合普查；
（2）为了了解我市今年9000名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了500名考生的数学成绩进
行统计．其中500名考生的数学成绩是总体的一个样本；
（3）袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，
在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出一个球，那么摸出黑球比摸出白球的可能性大；
（4）甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，S 2>S 2，则甲的成绩比乙稳定．
甲 乙
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4.【项目背景】青少年时期是人生中好奇心最为旺盛的阶段，通过鼓励他们探索未知领域，可以有效激发其
对科学的兴趣和热情，这种内在动力将推动他们在未来不断追求新知．
学科网（北京）股份有限公司【数据搜集与整理】为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校开展“科学小博士”知识竞赛，现随机
抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学
生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：
D:60£x<70,C:70£x<80,B:80£x<90,A:90£x£100），部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89
【数据分析与运用】请根据以上信息，解答下列问题；
(1)任务1：求所抽取的学生成绩为C等级的人数，并补全条形统计图；
(2)任务2：求所抽取的学生成绩的中位数；
(3)任务3：请计算扇形统计图中“A组”所在扇形的圆心角的度数；
(4)任务4：该校七年级共有600名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
5．人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是DeepSeek-V3上线后，在知识类任务上水平显著提升，生
成速度大幅提高．某校为了解本校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采
用百分制，得分越高，则表明对人工智能的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中分别随机抽取
20名学生的测试成绩（单位：分）进行整理和分析（得分用x表示，且得分为整数，共分为5组．A组：0£x<60，
B组：60£ x<70，C组：70£ x<80，D组：80£ x<90，E组：90£x£100）．下面给出了部分信息．
八年级被抽取学生的测试得分的所有数据如下：
50，51，59，65，66，73，76，79，83，84，84，84，84，86，88，88，92，93，97，98．
九年级被抽取学生的测试得分中D组包含的所有数据如下：
84，85，86，88，88，88，88，89．
学科网（北京）股份有限公司八、九年级被抽取学生的测试得分统计表
平 均 中 位 众
数 数 数
八 年
79 84 a
级
九 年
79 b 88
级
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)上述图表中，a=___________，b=___________，m=___________．
(2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高，请说明理
由．
(3)本次调查中，八年级E组的四名学生中男女生各有2人，现从这4人中随机抽取两人参加全校“人工智能
知识宣讲”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
押题猜想七 锐角三角函数的应用
限时：5min
（改编） 生活中人们常常利用定滑轮来升降物体，如图①，在水平地面上，张宏用一根绕过定滑轮的绳子
将物体竖直向上提起，如图②，物体的初始位置在点C处，张宏在点A处将绳子拉直，测得点A到BC所
在直线的距离为6m，在A处测得定滑轮点B的仰角为60°，张宏后退到点D处，测得定滑轮点B的仰角为
37°，此时物体上升到点E处，点C、A、D在同一直线上，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变，
求物体上升的高度CE．（结果精确到0.1m，参考数据：
sin37o »0.60，cos37o »0.80，tan37o »0.75，3»1.73）
学科网（北京）股份有限公司押题解读
本考点为必考考点，锐角三角函数的应用是比较重要的考查内容，常以填空题、解答题的形式出现。现
在主要考察与探究题结合在一起，难度较大，易失分，所以认真审题，构造直角三角形或矩形（正方形）
来解题。
1、“一缕清风银叶转”，某市大型风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，
造福千家万户，某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成
的角为120°，当其中一片风叶OB与塔干OD叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O
的仰角ÐOED=45°，风叶OA的视角ÐOEA=30°．
(1)已知α，β两角和的余弦公式为：sina+b=sinacosb+cosasinb，请利用公式计算sin75°的值；
(2)求风叶OA的长度．
2、某学校因增设了篮球场，现购进一些篮球架．如图1是某款篮球架，图2是其示意图，已知立柱OA垂直
地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG^CD交OA于点G ，支架DE平行地面OB，篮筐EF 与支架DE
在同一直线上，OA=2.5m，AD=0.8m，ÐGAC =58°．
(1)求ÐAGC的度数．
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3m处，那么他能挂上篮
网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：cos58°»0.53）
3、某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进
学科网（北京）股份有限公司落地窗．如图，已有的遮阳棚AB=130cm，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度BC =30cm，遮阳棚的固定高
12
度AD=240cm，sinÐBAD= ．
13
(1)如图1，求遮阳棚上的点B到墙面AD的距离；
(2)如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是60°（光线EC与地面的夹角），请通过计
算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（结果精确到0.1，参考数据 3»1.73）
4、某校数学活动小组计划以测量两栋楼房之间的楼间距为主题开展实践活动（由于部分路面正在进行地铁
建设，无法直接测量），活动记录表如下：
活动任务：测量两栋楼房之间的楼间距
如图①，无人机是利用无线电遥控设备和自备的程序控制装置操纵的不
载人飞机，被广泛应用于测绘、航拍、农业、灾难救援等领域
测量
工具
活
如图②，当无人机位于两栋楼正中间位置点E的正上方高空P处，测得
动 测量
点A处的俯角为59°，点D处的俯角为45°（参考数据：sin59°»0.86，
过 方案
cos59°»0.52，tan59°»1.66）
程
实地
测量
草图
学科网（北京）股份有限公司楼AB的高度为30m，楼DC的高度为50m，点B，E，C在同一条直线
备注
上，AB，PE，DC均垂直于BC，BE=CE
任务
求楼AB与CD之间的距离（结果保留1位小数）
目标
请结合表中相关数据完成任务目标．
5、某校数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算校园内人工湖内的雕塑与观景台之间的距离
测量工具 米尺、测角仪、指南针、计算器等
学校的人工湖中有一个雕塑C，湖边有两条直路AB，AD，路边有B，D
两处观景平台，其示意图如下：
模型抽
象
活
动
过
程
①用米尺测得AB的距离为8米；
②用米尺测得AD的距离为8.6米；
③在点A处用指南针和测角仪测得观景台B在正西方向，雕塑C在北偏
测绘过
西30°方向，观景台D在北偏东23°方向；
程与数
④在点B处用指南针和测角仪测得雕塑C在北偏东30°方向；
据信息
⑤用计算器计算得：
sin23°»0.4，cos23°»0.9，tan23°»0.4，sin53°»0.8，cos53°»0.6；
tan53°»1.3．
请根据表格中提供的信息，求每个观景台到雕塑的距离（结果保留整数）．
押题猜想八 二次函数的图象与系数的关系
限时：4min
学科网（北京）股份有限公司（改编）如图，是二次函数y=ax2+bx+ca¹0的部分图象，该图象经过点-1,-4，其对称轴为：直线x=-3，
则下列结论：①6a=b②ax2+bx+c-6；③若ax2+bx =ax2+bx 且x ¹ x ，则x +x =-6；④关于x的一
1 1 2 2 1 2 1 2
元二次方程ax2+bx+c=-4的根为-1；⑤若点-1,m，2,n在抛物线上，则m<n．其中正确的个数有
（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
押题解读
本考点为必考考点，二次函数的图象与系数的关系是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题的形式
出现。并且难度较大，易失分，往往是选择题、填空题中的压轴题。
1、已知二次函数y=ax2+bx+c(a¹0)图象的对称轴为直线x=-1，部分图象如图所示，下列结论中：①
æ1 ö
abc>0；②b2-4ac>0；③4a+c>0；④若t为任意实数，则有a-b£at2+bt；⑤当图象经过点ç ,2÷
è2 ø
3
时，方程ax2+bx+c-2=0的两根为x,x x <x ，则x +2x =- ，其中正确的结论个数是（ ）
1 2 1 2 1 2 2
A．2 B．3 C．4 D．5
2．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a¹0）的图象如图所示，其对称轴为直线x=1．下列选项
正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．c>0 B．b2-4ac<0
C．4a+c>0 D．当-1<x<3时，y<0
3．已知二次函数y=ax2+bx+ca¹0的部分图象如图所示，图象经过点0,2，其对称轴为直线x=-1．下
列结论：①3a+c>0；②若点-4,y ，3,y 均在二次函数图象上，则y > y ；③关于x的一元二次方程
1 2 1 2
ax2+bx+c=9有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c>2的x的取值范围为-2<x<0．其中正确结论的
个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，抛物线y=ax2+bx+ca¹0与x轴交于点A-1,0，B3,0，与y轴的正半轴交于点C．下列结
论：①b<0；②9a+3b+2c>0；③若x和x 是关于x的一元二次方程ax2+bx+2c=0的两根，则
1 2
æ 1 ö 1 5
x 1 2+x 2 2 =16；④抛物线上有两点ç è - 2 ,y 1 ÷ ø ，t,y 2 ．若y 1 < y 2 ，则t的取值范围是- 2 <t< 2 ；⑤当 V ABC
是等腰三角形时，符合条件的a值有3个．其中正确结论的个数为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．如图，二次函数y=ax2+bx+ca¹0的图像过点-4,0，对称轴为直线x=-1．现有下列结论：
①abc>0；②4a+c<0；③若Ax,m,Bx ,m是抛物线上的两点，则当x=x +x 时，y=c；④若方程
1 2 1 2
ax+4x-2=-2的两个根为x，x ，且x <x ，则x <-4<2<x ．其中正确的有（ ）
1 2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
押题猜想九 二次函数与线段、面积的问题
限时：5min
（改编） 已知抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A-1,0，B两点，与y轴交于点C0,-3．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，已知点E为第四象限抛物线上的点，连接AC、BE、AE、BC，且AE和BC相交于点F ，设△ACF
的面积为S ，△BEF 的面积为S ，当S -S =1时，求点E的坐标．
1 2 2 1
(3)如图2，设点Px,y ，Qx ,y 是直线BC下方抛物线上的两动点，且x =x +1，过点P作PM∥y轴，
1 1 2 2 2 1
交BC于点M ，过点Q作QN ^BC，交BC于点N ．求PM + 2QN的最大值．
押题解读
（说明：阐释押题理由、押题依据、押题秘笈等）
本考点为必考考点，二次函数与线段、面积的问题是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。这
学科网（北京）股份有限公司类题综合性强，难度较大，易失分往往是解答题中的压轴题。
1．在平面直角坐标系中，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A-1,0,B3,0，与y轴交于点
C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PD^BC交BC于点D，求线段PD的最大值及
此时点P的坐标；
(3)如图2，过平面上一点T3,2作任意一条直线KQ交抛物线于K，Q两点，过点A作直线AK，AQ，分别
交y轴于M，N 两点，试探究OM 与ON的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
2、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx-6的顶点坐标为2,-8．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点E为线段BC上一点，过点E作EM
P
y轴，交x轴于点M，连接AE，交y轴于点D，当AE
平分ÐCEM 时，求直线AE的解析式；
(3)如图2，点F是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线AF 分别与y轴、直线BC交于点D，E．若
学科网（北京）股份有限公司V
CAD，
V
CDE，△CEF 的面积分别为S
1
，S
2
，S
3
，且满足S
1
+S
3
=2S
2
，求点F的坐标．
押题猜想十 二次函数与多边形、角度存在性的问题
限时：5min
（改编） 定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点Px,y，其关于抛物线
y=ax2+bx+c的对称点P¢同时满足以下条件：①点P¢在抛物线的对称轴上；②PP¢的中点在抛物线上．如
图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为A1,0，另一个交点为B，
与y轴交于点C0,3，顶点为D．
(1)求抛物线L的对称轴及顶点坐标；
(2)若点P2,1，则点P关于抛物线L的对称点P¢是否存在？若存在，求出点P¢的坐标，若不存在，请说明
理由；
(3)若点P0,k关于抛物线L的对称点P¢存在．
①求k的取值范围，并求出所有满足条件的点P¢的坐标；
②平面内是否存在点Q，使得以点P、P¢、B、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，求点Q的坐标及k的
值，若不存在，请说明理由；
押题解读
（说明：阐释押题理由、押题依据、押题秘笈等）
本考点为必考考点，二次函数与多边形、角度存在性的问题是湖南中考比较重要的考查内容，常以解答
题的形式出现。这类题综合性强，相关联的知识较多，并且难度较大，易失分，往往是解答题中的压轴
题。
学科网（北京）股份有限公司（说明：一定精选试题，2~5道，选择2025年最新最能体现中考趋势的试题，不带题源）
1．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C0,3，对称轴为直线x=1．点M
是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为m(0<m<3)．过点M 作MN ^x轴，与BC交于点N ，连接CM ，
BM ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段MN的最大值；
(3)是否存在以CN 为腰的等腰三角形CMN ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
1
2、抛物线L :y=- x2+bx+c与x轴交于A-4,0，B1,0两点，与y轴交于点C，点P是抛物线L 上的
1 2 1
一动点，设点P的横坐标为m(-4<m<0)．
(1)求抛物线L 的表达式．
1
(2)如图1，连接AP，并延长AP交y轴于点D，连接BP，交y轴于点E．点P在运动过程中，OD+4OE
的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
(3)将该抛物线L 向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线L 刚好经过点P，点M
1 2
为抛物线L 对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使以点A，P，M ，N 为顶点的四边形是菱形．
2
3、已知抛物线y=ax2+bx+ca>0与x轴左、右交点分别为A、B，与y轴负半轴交于点C，坐标原点为
学科网（北京）股份有限公司O，若OB=OC =3OA，S =6，点P是抛物线上的动点（点P在y轴右侧）．
VABC
(1)求抛物线的解析式；
(2)D是线段OC的中点，①当ÐOPC =45°时，请求出点P的坐标；②当ÐOPC =ÐOAD时，请求出点P
的坐标．
押题猜想十一 几何中的多结论判定
限时：4min
（改编）如图，已知正方形ABCD的边长为6，P是对角线BD上一点，PE^BC于点E，PF ^CD于点F，
连接AP，EF．给出下列结论：①PD= 2EC；②AP=EF；③AP^EF；④EF的最小值为3 2；⑤△APD
一定是等腰三角形．其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
押题解读
本考点为必考考点，几何中的多结论判定是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题的形式出现。并
且考试的知识点较多，难度较大，易失分，往往是选择题、填空题中的压轴题。
1．如图，在
V
ABC中，ÐA=90°，AB= AC，点D为斜边BC上的中点，点E，F 分别在直角边AB，AC
上运动（不与端点重合），且保持AE=CF，连接DE，DF，EF．设BE=m，CF =n，EF = p．在点E,F
的运动过程中，给出下面三个结论：
p 2m+n
① <1；②m2 =p+np-n；③p最小值为 ．
m+n 2
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
学科网（北京）股份有限公司2．如图，AD是
V
ABC的角平分线，BE平分ÐABC交AD于点E，BF是
V
ABC的外角平分线，交AD的
延长线于点F ，且BF∥AC，连接CF．下列结论错误的是（ ）
A．ÐEBF =90° B．ÐBCF =ÐBFC
C．若CF∥AB，则AE=BD D．若AF^BC，则CF =BC
3．如图，已知
V
ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABF和等边△ACE，CF和BE交于O点，则下
列结论：①CF =BE；②ÐCOE=60°；③OA平分ÐFOE ；④OE=OA+OC．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图，在Rt△ABC中，ÐABC =90°，以AC为边，作
V
ACD，满足AD=AC，E为BC上一点，连接AE，
ÐCAD=2ÐBAE，连接DE，下列结论中：①ÐADE=ÐACB；②ÐAEB=ÐAED；③AC ^DE；④
DE=CE+2BE．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
5．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE-ED-DC运动到点C停止，点Q
从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间
为ts，V BPQ的面积为y  cm2 ，已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当0<t£10
时，V BPQ是等腰三角形；②S
△ABE
=48cm2；③当14<t<22时，y =110-5t；④在运动过程中，使得
V
ABP
是等腰三角形的P点一共有3个；⑤V BPQ与
V
ABE相似时，t =14.5．对以上结论判断正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．①③⑤ B．①②③ C．①③④⑤ D．②③⑤
押题猜想十二 几何中的最值问题
限时：5min
（改编）如图，已知点C是直线l外一定点，AB是直线l上的动线段，AB=5，连接AC、BC，
S =15．求当AC+BC取最小值时sinÐCBA的值．小慧在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动，
VABC
若将AB看作静止线段，则点C在平行于直线l的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当AC+BC取最小值
时sinÐCBA= ．
押题解读
本考点为必考考点，几何中的最值问题是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题、解答题的形式出
现。并且与其它知识结合在一起，难度较大，易失分，往往是选择题、填空题、解答题中的常考题。
（说明：一定精选试题，2~5道，选择2025年最新最能体现中考趋势的试题，不带题源）
1．如图，对折长方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在
EF上的点A¢处，得到折痕BM ，BM 与EF相交于点N．若直线BA¢交直线CD于点O，OF =1，
3
A¢M = A¢O，点Q是折痕BM 上的一个动点，则AQ+QE的最小值为 ．
2
学科网（北京）股份有限公司2．几何模型：
条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小，
方法：作点B关于直线l的对称点B¢，连接AB¢交l于点P，则
PA+PB=
AB¢的值最小．
直接应用：
（1）如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM =2，N是AC上一动点，则DN +MN 的最小
值为 ．
变式练习：
（2）如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，求PA+PB
的最小值．
学科网（北京）股份有限公司深化拓展：
（3）如图4，在锐角△ABC中，AB=4 2，ÐBAC =45°，ÐBAC的平分线交BC于点D，M、N分别是
AD和AB上的动点，求BM +MN 的最小值．
押题猜想十三 几何图形的证明与计算问题
限时：4min
（说明：靶向押题，挑选最热最优的放在这里，1题，原创试题）
（改编） 1．如图，在
V
ABC中，AB= AC，AD是
V
ABC的高线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB
交ED的延长线于点F．
(1)求证： BDE≌ CDF；
V V
(2)当AE=1，CF =4，AD=3时，求BC的长．
押题解读
本考点为必考考点，几何图形的证明与计算问题是湖南比较重要的必考内容，常以解答题的形式出现。
学科网（北京）股份有限公司这类题都是基础题，难度不大，易得分，每年都有14-16分。
1．如图，
V
ABC是等腰直角三角形，ÐACB=90°，D为AB边上一点，BD=AE，ÐB=ÐEAC．
(1)证明：CD=CE；
(2)若ÐAEC =75°，求ÐADE的度数．
2．如图，在菱形ABCD中，点E、F 分别为CD、AD边上的点．
(1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得AE=CF，你添加的条件是______；
(2)添加了条件后，证明AE=CF．
3．如图，在 ABCD中，AC为对角线，过点B作BE^ AC交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线
Y
于点G．
(1)求证：GF×CG=DG×BG；
(2)如果AB2 =BE×BF ，求证：四边形ABCD是矩形．
4、如图，
V
ABC与
V
ADE都是等边三角形，且B，D，E三点共线，CF∥BE交AD的延长线于F．
学科网（北京）股份有限公司(1)求证：①△ABD≌△ACE；
②四边形DFCE是平行四边形；
(2)若AD=2，AB=4，求四边形AFCE的面积．
5．已知，如图，AB是 O的直径，点C为 O上一点，OF ^BC于点F，交 O于点E，AE与BC交于
e e e
点H，点D为OE的延长线上一点，且ÐODB=ÐAEC．
(1)求证：BD是 O的切线；
e
(2)连接BE，求证：BE2 =EH×EA；
3
(3)若 O的半径为10，sinA= ，求BH 的长．
e
5
押题猜想十四 圆的综合问题
限时：5min
（改编） 如图，AB是 O的直径，CD平分ÐACB交 O于点D，点E在CA的延长线上，满足
e e
ÐCDE=ÐCBD.
(1)求证：DE与 O相切；
e
学科网（北京）股份有限公司(2)在下列两个等式中，正确的请在相应的括号中打“√”，错误的打“×”，并选择其中一个正确的等式进行证
明；
1 1 2 1 1 1
① + = （ ）；② + = （ ）；
AC BC FC AC×BC BD2 CF×FD
ED S
(3)设△CED的面积为S ，△CDB的面积为S ，若tanÐE=x，y=4× - 1 ，试求y关于x的函数关系式，
1 2 AB S
2
并求当x为何值时，y的值最大.
押题解读
本考点为必考考点，圆的综合问题是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。这类题综合性强，
知识跨度较大，所以难度较大，易失分，往往是解答题中的压轴题。
1．已知，
V
ABC是半径为5的
e
O的内接三角形，点D是
V
ABC的内心，射线AD分别交BC、
e
O于点
E、F．
(1)如图1，连接BF，求证：
V
AEC∽
V
ABF；
(2)如图2，ÐBAC =90°；
①若AB=8，求AF 的长；
AF
②若ÐABC =30°，求 的值；
DF
(3)如图3，ÐBAC =60°，射线BD、CD分别交
e
O于点G、H ，点A在直线BC上方的圆弧上运动，无论点A
如何移动，线段DF、DG、DH中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值．
2、定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆正直四边形．
学科网（北京）股份有限公司(1)若四边形ABCD为圆正直四边形，请你判断下列说法是否正确．（在题后相应的括号中，正确的画“√”，
错误的画“×”）
①四边形ABCD一定是平行四边形；（ ）
②四边形ABCD可能是正方形；（ ）
③四边形ABCD的四条边的数量关系为AB2+CD2 = AD2+BC2．（ ）
(2)如图①，四边形ABFC是圆正直四边形，
e
O的直径AD交BF 于点P，连接BC交AD于点E，连接
DF，证明：PE·PF =PB·PD；
(3)如图②，在
V
ABC中，经过点A，B的
e
O交AC边于点D，交BC于点E，连接AE，BD交于点F，若
3
在四边形ABED的内部存在一点P，PA^PD，PB ^ PE，ÐPBC =ÐADP=a，且tana= ，PE交BD于
4
CE 1
点G，PB+PD=12， = ，求DE的最小值．
AC 2
3、如图，AB为 O的直径，弦CD^ AB于点E,G为劣弧AD上一动点，AG与CD的延长线交于点F ，连
e
接AC、AD、CG、DG．
(1)求证：ÐAGC =ÐDGF；
(2)若AB=10,CD=8
①若DF =5，求CG的长；
S
②若DF = x, △ACG = y，求y与x之间的函数关系式；
S
△CDG
(3)在（2）的条件下即AB=10,CD=8,DF = x，求AG×DG的最大值．
学科网（北京）股份有限公司1
4、如图，AB是
e
O的直径，点C是AB的中点，弦CD，CE分别交AB于点F，G，且ÐDCE= ÐACB，
2
连接DE．
(1)设ÐACD=a，用含a的式子表示ÐCDE的度数；
(2)求证：FG2 = AF2+BG2；
(3)若
e
O的半径为1，记
V
ACF，
V
BCG，
V
CFG的面积分别为S
1
，S
2
，S，设AF =a，BG=b，且满足
1
S2+SS-S 2+ S ×ab=0，求a，b的值．
1 1 2 2 1
押题猜想十五 特殊四边形的综合问题
限时：5min
（改编） 【问题背景】
（1）如图1，已知AB=DC，ÐBAD=ÐCDE，若D是AE的中点，求证：△ABD≌△DCE．
【问题拓展】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接AC，过点D作FG∥BC，交AC于点F，交AB于点G，求证：
DF =DG．
【拓展探究】
（3）如图3，在（2）的问题中，若D是AE上的任意一点，其他条件不变，求证：DF =DG．
押题解读
本考点为必考考点，特殊四边形的综合问题是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。这类题是
学科网（北京）股份有限公司压轴题，综合性强，相关的知识点较多，并且难度较大，易失分。
1、如图，在菱形ABCD中，AB=6,ÐB=60°，点E,F 分别是AB, AD上的动点，满足AE=DF，连接
CE,CF,EF,EF 与AC交于点G ．
(1)求ÐECF 的度数；
(2)填空：
AF AE AF FG AG AG
① + =______________，② - =______________，③ + =______________；
CD AC CD EC AE AF
(3)记△AEG的面积为S ， AFG的面积为S ，△AEC的面积为S ， AFC的面积为S ．
1 V 2 3 V 4
S
①若CF2 =3AF×FD，求 1 的值；
S
3
S S
②试判断 1 + 2 的值是否存在最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
S S
4 3
2、综合与实践
在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形．请结
合已有经验，对下列特殊四边形进行研究．
定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这
两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形．
(1)【初步探究】
如图1，在四边形ABCD中，ÐBAD=ÐBCD=90°，连接BD，点E是BD的中点，连接AE，CE．试判断
在四边形ABCE是否是双等腰四边形：_________．（填“是”或“不是”）
(2)【问题解决】
学科网（北京）股份有限公司在（1）的条件下，若ÐAEC =90°，求ÐABC的度数．
(3)【拓展应用】
如图2，点E是矩形ABCD内一点，点F是边CD上一点，四边形AEFD是双等腰四边形，且AD = DE．延
CG 3
长AE交BC于点G，连接FG．若AD=5，ÐEFG=90°， = ，求AB的长．
FC 4
3、（1）如图①，在正方形ABCD中，E，F 分别是AB，BC边上的动点，且 ÐEDF =45o，将 DAE绕
V
点D逆时针旋转90o，得到△DCM ，可以证明△DEF≌△DMF ，进一步推出AE，EF，FC之间的数量关
系为___________；
（2）如图②正方形ABCD，ÐEDF =45o，猜想AM ，MN，CN 的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图③，在菱形ABCD中，ÐABC =60o，点E，F 分别是边BC，CD上的动点(不与端点重合)，且
ÐEAF =60o，连接BD分别与边AE，AF 交于M ，N ． 当 ÐDAF =15o时，直接写出BM ，MN，DN之
间的数量关系 ．
4、【问题背景】
（1）如图1，在四边形ABCD中，ÐABC =90°，AB=5，BC =12，点O是对角线BD上的动点，连接
OA、OC，则OA+OC的最小值为________；
【问题探究】
（2）如图2，在边长为2的等边
V
ABC中，点O是AC上一点，D，E分别是AB、BC边上的动点，且
BD=CE，连接OD、OE，求OD+OE的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，正方形ABCD是某植物园规划的一个花四，对角线AC、BD是其中的两条观赏小路，在AC、
学科网（北京）股份有限公司BD的交点O处有一个凉亭（大小忽略不计），现要在AB和BC上分别设立一个游客服务中心E、F，且
AE=CF，再沿OF和DE铺设两条石子小路，为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小，已知
AB=60m，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值．（即OF+DE的最小值）
学科网（北京）股份有限公司