2025《中考数学•终极押题猜想》全国通用(原卷版)_初中资料合集_2025中考数学《终极押题猜想》全国13地方版_2025《中考数学•终极押题猜想》全国通用

2025 年中考数学终极押题猜想（全国通用） （高分的秘密武器：终极密押+押题预测） 押题猜想一 规律探索问题 ............................2 押题猜想二 从函数图象上获取信息 .....................4 押题猜想三 几何图形的选填压轴题 .....................6 押题猜想四 函数的选填压轴 ...........................8 押题猜想五 涉及数与式、方程不等式（组）有关的计算问题11 押题猜想六 一元二次方程根的判别式与韦达定理 .......12 押题猜想七 尺规作图 ................................13 押题猜想八 统计和概率 .............................15 押题猜想九 利用函数解决实际问题 ..................18 押题猜想十 利用锐角三角函数解决实际问题 ..........21 押题猜想十一 几何图形的证明与计算问题 .............24 押题猜想十二 几何图形压轴 ..........................26 押题猜想十三 反比例函数与一次函数 ..................30 押题猜想十四 函数与几何图形综合 ...................32 押题猜想十五 与函数有关的最值问题 .................35 押题猜想十六 与函数有关的存在性问题 ................38 学科网（北京）股份有限公司押题猜想一 规律探索问题 限时：5min 1．【改编】烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前4种化合物的分子结构模型 图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有1个碳原子，4个氢原子；第2种如图②有 2个碳原子，6个氢原子；第3种如图③有3个碳原子，8个氢原子； (1)按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是________个；第n种化合物的分子结构 模型中氢原子的个数是________个； (2)按照这一规律，这类物质是否存在某种化合物的分子结构模型中有2025个氢原子？请说明理由． 押题解读 本题主要考查初中化学中烷烃的分子结构规律及代数式的推导。跨学科问题是近年来出现在各地中考 数学中的热点题型，通常以选择、填空或计算题形式出现，此类题以“结构规律→代数建模→实际验 证”为主线，是中考化学中典型的“理科思维融合”题型，需重点突破！ 1．若一列数a 1 ，a 2 ，a 3 ， L ，a 2025 满足任意相邻三个数的和都相等，且a 2 =-5，a 6 =4，a 10 =2，则 a a a  a =（ ） 1 2 3 L 2025 A．670 B．-675 C．677 D．675 2．【图形规律与热点问题结合】风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更 好的利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成120°角的叶片，以三个叶片的重合点为原点、水平 方向为x轴建立平面直角坐标系，如图2所示．已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为A(1,-4)，在一 段时间内，叶片每秒绕原点O逆时针转动90°，则第2025秒时，点A的对应点A 的坐标为（ ） 2025 学科网（北京）股份有限公司A．(-4,1) B．(-1,-4) C．(4,1) D．(-1,4) 3．【图形规律与几何问题结合】如图，在 V ABC中，ÐC=90°，BC=1，AC =2，CA 1 B 1 C 1 、A 1 A 2 B 2 C 2 、 A ABC …都是正方形，且A、A 、A …在AC边上，B 、B 、B …在AB边上．则线段B C 的长为 ． 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 2025 2025 4．【图形规律与热点问题结合】2024年10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船成功发射，蔡旭哲、 宋令东和王浩泽顺利进入太空．某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“ ”按照一定规律拼 接得到火箭模型图．如图，第1个图案中需要4个基本图形，第2个图案中需要6个基本图形，第3个图 案中需要8个基本图形……按此规律拼接下去，第2025个图案中需要 个基本图形． 5．【近年热考】我国宋代数学家杨辉（13世纪）写了一本书《详解九章算法》，书中记载了一个用数字排 成的三角形，这个三角形数阵图是北宋贾宪（约11世纪上半叶）首创的“开方作法本源图”，后人称之为贾 宪三角或杨辉三角．（图1） 学科网（北京）股份有限公司杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表（图2），观察图2右侧的系数表，你发现了什么规律？用你发 现的规律回答下列问题： (1)多项式ab5展开式的第三项系数是_____________． (2)请写出x15的展开式：x15 =______________． (3)已知多项式x5-10x440x3-80x280x-32，当x=4时，求该多项式的值． 押题猜想二 从函数图象上获取信息 限时：3min 1．【改编】某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电 池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率 电池中的电量 = ´100%）随充电时间x（分钟）变化的函数图象，下列说法正确的有 ． 电池的容量 ①本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量；②本次充电40分钟，汽车电池含电率达到80%；③本次 充电持续时间是120分钟；④若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电56千 瓦时． 故答案为：①②③④． 押题解读 本题主要考查初中数学中一次函数图象的实际应用，核心内容为： 1. 分段函数图象分析：识别充电初期（0-40分钟）与后期（40-120分钟）的速率变化，理解斜率代表 学科网（北京）股份有限公司的充电速度差异。 2. 数据计算与推理：通过图象坐标计算充电时间、电量变化及耗电量（如从0%到90%对应耗电63 千瓦时）。 3. 实际问题的数学建模：将充电过程转化为分段函数模型，结合物理常识（如充电速度保护机制）验 证选项合理性。 总结：此类题以“图象分析→分段建模→数据验证”为核心，是中考数学中典型的“应用型探究”题 型，需重点突破分段函数与跨学科情境的综合应用！ 1．如图，在菱形ABCD中，ÐB=60°，AB=2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA® AC 运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC®CD运动到点D，当一个点停止运动时，另 一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的 是（ ） A ． B ． C ． D． 2．如图1，在Rt△ACB中，ÐC=90°，M 为边AC上一定点，动点N 从点C出发，沿折线CB—BA运动 至点A后停止．设点N 运动的路程为x，令y=MN2，图2是y与x的函数关系图象，则点M 到AB的距离 为 ． 3．如图1，在正方形ABCD中，AB=m，以B为圆心，AB为半径作弧AC，F为弧AC上一动点，作矩形 学科网（北京）股份有限公司DEFG，E、G在正方形ABCD的边上，设EF =x，矩形DEFG的面积为y，y关于x的函数图象如图2所 示，点P的坐标为2,8，则m= ． 4．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC 运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时， V BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM 为抛物线的一部分），则下列结论： 3 4 29 ①AD=BE=5；②cosÐABE= ；③当0 y > y ； 1 2 3 1 2 3 ④若将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为y=x-32 m；⑤若点 A关于直线x=1的对称点为C，点D，E分别在x轴和y轴上，当m=-2时，四边形BCDE周长的最小值 为 34．其中正确结论的序号有（ ） A．①②④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．②③④ 2．若抛物线y=ax2bx1（a，b是常数，a¹0）经过点P-1,-1，当x=-2时，对应的函数值y>1．有 下列结论：①抛物线的对称轴：直线x=-1；②若点A-3,m、B1,n在这个抛物线上，则m0；④a>2．正确结论的个数（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图：我们规定：形如y=ax2b x ca<0的函数叫做“M 型”函数．如图是“M 型”函数y=-x24|x|-3 的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于y轴对称；②关于x的不等式x2-4|x|3<0的解是 -30的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数 y= x2-4x3 的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线x=2对称：②关于x的不等式 x2-4x3 >0的解是x<1或x>3；③当k <1时，关于x的方程 x2-4x3 =k有四个实数解；④当x<1时 函数y= ax2bxca>0的y值随x值的增大而减小．其中正确的是 （填出所有正确结论的序号）． 学科网（北京）股份有限公司押题猜想五 涉及数与式、方程不等式（组）有关的计算 问题 限时：3min 1．【改编】计算： (1)-20250- æ ç 1ö ÷ -1 2cos60°1- 3 - 1 ´ 27 ； è6ø 3 æ 1 ö m2-6m9 (2)ç1- ÷¸ ． è m-2ø 2m-4 押题解读 涉及数与式、方程不等式（组）有关的计算问题为中考解答题必考内容，该部分难度较低，属于送分 题，解题的过程需注意涉及相关知识点的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在 较复杂的运算中，不注意顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误． 3x 3 1．以下是小明解分式方程 -1= 的解答过程： x-1 x-1 解：3x-1=3① 3x=4② 4 ∴x= ③ 3 4 经检验x= 是方程的解 3 小明的解答过程对吗？如果不对，从第几步开始错？并写出正确的解答过程． 2．（1）解方程：x28x-1=0． æ 1ö -2 （2）计算：-14 27-4sin60°- 2 3-4 ç- ÷ è 2ø 学科网（北京）股份有限公司æ 3 ö a2 （3）化简求值：ça-1- ÷¸ ，其中a=2- 2 è a1ø a1 3．先化简，再求值：x32-2xx2x-3x3，其中x=-1． ì3x-1<8 ï 4．（1）解不等式组íx1 x ． < ï î 3 2 æ 3 ö a2-4a4 （2）先化简ça1- ÷¸ ，再从-2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． è a-1ø a-1 ì4x2<3x7 æ 1 1 ö x-2 ï 5．先化简，再求值：ç  ÷¸ ，其中x是不等式组í x x1 的整数解． èx2-9 x3ø 2x6 ï 2³- î 2 5 押题猜想六 一元二次方程根的判别式与韦达定理 限时：4min b 1．【改编】阅读材料：如果一元二次方程ax2bxc=0a¹0的两根分别是x，x ，那么x x =- ， 1 2 1 2 a c x ×x = ．借助该材料完成下列各题： 1 2 a 1 1 (1)若x 1 ，x 2 是方程 x26x3=0 的两个实数根，则x 1 x 2 = ， x × x = ． 1 2 m28 (2)若x，x 是方程x2-m-3x =0的两个实数根，且x2x2 =19，求m的值． 1 2 4 1 2 押题解读 解答题中常将一元二次方程根的判别式与韦达定理这两个知识点共同考查，难度一般.第一小问通常求 含参一元二次方程中参数的取值范围，第二问已知一元二次方程两根满足的关系，求系数.近年来作为 中考热考内容，常与几何知识共同出题. 1．关于x的一元二次方程kx2-2k-3xk2=0有实数根． (1)求k的取值范围； (2)当k取得最大整数值时，方程的两个实数根分别为x、x ，求x x 1x -22的值． 1 2 1 2 2 2．已知矩形ABCD的对角线长AC = 31，且矩形两条边AB和BC的长恰好是关于x的一元二次方程 x2-2k1x4k-3=0的两根． (1)试说明，无论k取任何实数，方程总有两个不相等的实数根． 学科网（北京）股份有限公司(2)求矩形ABCD的周长和面积． 3．关于x的一元二次方程x2-2kxk2-1=0 ①求证：无论k取何值，方程总有两个不相等实数根． ②若 V ABC两边AB、AC AB< AC的长是这个方程的两根，且斜边BC=10．问k为何值时， V ABC是直 角三角形． m 1 4．已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程x2-mx - =0的两个实数根． 2 4 (1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？ 25 (2)若AB-3AD-3= m2，求m的值． 4 押题猜想七 尺规作图 限时：4min 1．【改编】如图，AB∥CD，CE平分ÐACD，交AB于点E． (1)实践与操作：利用尺规作ÐCAB的平分线，交CE于点O，交CD于点F，连接EF（要求：尺规作图并 保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)猜想与证明：试猜想四边形ACFE的形状，并加以证明． 押题解读 中考尺规作图的考查通常会涉及基本作图技能，如作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、 作角的平分线、作线段的垂直平分线、过一点作已知直线的垂线等，这些基本技能是解决复杂作图问 题的基础。除了基本的作图技能，中考尺规作图题还可能考查学生的综合能力，包括逻辑推理、空间 想象、问题解决等。在解答尺规作图题时，考生需要保留作图痕迹，这要求考生在作图过程中要规范 操作，确保每一步作图都符合尺规作图的要求。 1．如图， V ABC中，ÐB=2ÐC． 学科网（北京）股份有限公司(1)在BC上找一点M，使得MC =MA，并说明MC =MA理由；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，若AB=5，BM =6，求AC的长．（保留根号，无需化简） 2．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点．仅用无刻度的直尺在给定图形中画图，画图过程用 实线表示，按步骤完成下列问题： (1)若ÐABC =90°，请在图1中的BC边上找点G，使EG^BC； (2)如图2，点P为AB边上一点，请在图2中的CD边上找点K，使CK =BP． 3．如图，这是5´5的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）． 1 (1)如图1，在AB上作点D,AC上作点E，连接DE，使得DE P BC，且DE= BC； 2 1 (2)如图2，在AB上作点F,AC上作点G，连接FG，使得FG P BC，且FG= BC． 3 4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， V ABC内接于圆，且顶点A,C均在格点上，顶点B在网格 线上． 学科网（北京）股份有限公司(1)线段AC的长等于_______； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中， ①画出圆心O ②画出一个以AB为边的矩形ABPQ，并简要说明点P,Q的位置是如何找到的（不要求证明）． 5．如图均是5´4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、 C、D均在格点上． AE (1)如图①，连结AD、BC交于点E，直接写出： 的值为______； DE (2)如图②，在BC上找一点F，使BF=3；（只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图， 保留作图痕迹，不要求写画法） (3)如图③，AB、CD交于点P，直接写出sinÐAPC的值______． k 6．如图，一次函数y=axb与反比例函数y= x>0的图象交于点Ac-2,c和点Bc,1，BD^x轴于 x 点D，AC ^ y轴于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AB的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹），与反比例函数图象交 学科网（北京）股份有限公司于点M ，并求出点M 的坐标； (3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若 V PCA和 V PDB的面积相等，求点P的坐标． 押题猜想八 统计和概率 限时：4min 1．【改编】为贯彻五育并举方针，将劳动教育纳入必修课程，区劳技中心开设了多门劳动综合课．开设一 段时间后，为了解对课程的喜爱情况，中心对下列课程进行了抽样调查：A家庭电路；B简单烹饪；C布 艺手缝；D收纳整理；E编织．收回所有的问卷后，将有关数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计 图． 根据图中信息，回答下面问题： (1)本次调查的学生人数为______；并补全条形统计图． (2)在一个学期中，全区共有10800名学生参加综合课程的培训，估计喜欢“收纳整理”的学生人数； (3)小明同学从A，B，D三门课程中选择一门参加劳动实践，小红同学从B，D，E三门课程中随机选择 一门参加劳动实践，用表格或树状图求他们选择相同课程的概率． 押题解读 统计与概率的试题在中考中通常包括选择题、填空题和解答题，题型多样，覆盖面广，且近年来统计 与概率的分值在中考中占比逐渐增加，体现了对学生数据分析和决策能力的重视。常见题型如下： 1）根据统计图表进行数据分析，提出合理的决策建议，考查学生对数据的解读和应用能力。 2）将概率知识与实际问题相结合，如游戏公平性、匹配问题等，考查学生解决实际问题的能力. 1．小马和小虎参加某项考试，他们都忘记了自己在第几考场，已知一共有4个考场． (1)小马随机选择一个考场，恰好是自己的考场的概率为 ； (2)小马和小虎记得两人不在同一个考场，他们各选择一个考场，恰好选择到是自己的考场的概率是多少？ 学科网（北京）股份有限公司2．如图是可以自由转动的两个转盘，转盘甲被分成3等份，每份上分别标有数字1、2、3，转盘乙被分成2 等份，每份上分别标有数字1、2．小嘉和小艺两名同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：同时转动甲、 乙两个转盘，转盘停止后，将指针指向的两个数字相乘（若指针落在分隔线上时，默认其指向右侧扇形）， 若乘积为偶数，则小嘉获胜，否则，小艺获胜． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求出小嘉获胜的概率； (2)你认为这个游戏对双方是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请修改游戏规则，使游戏对二人都 公平． 3．随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家 对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实 景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着 悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游，每次出游只能选一条路线． “跟着悟空游山西”二日游推荐路线 A．临汾线：小西天、广胜寺、铁佛寺 B．长治线：观音堂、紫庆寺 C．翔州线：尝福寺、应县木塔 D．普中线：平遥镇国寺、平遥双林寺 (1)小米家选A路线的概率是______； (2)如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭从上面四条路线中各选一条路线去游玩，请用树状图或 列表的方法求出两家恰好选同一条路线的概率． 4．截止至2025年3月10日，电影《哪吒之魔童闹海》票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房 冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公 豹． 学科网（北京）股份有限公司将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记 录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率： (1)第一次取出的卡片图案为“C太乙真人”的概率为__________； (2)用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“B敖丙”的概率． 5．一个不透明的箱子里装有1个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱 子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小 球的频率稳定于0.25左右． (1)请你通过计算估计箱子里白色小球的个数； (2)现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜 色恰好不同的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． 押题猜想九 利用函数解决实际问题 限时：5min 1．【改编】据灯塔专业版数据，截至2025年4月29日，《哪吒之魔童闹海》总票房达153亿元，登顶全 球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源 于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引 发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用 300元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的 数量共15个． 学科网（北京）股份有限公司(1)求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进A、B两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B 种哪吒玩偶数量的3倍，问此次购进最少要花多少钱？ 押题解读 函数与热点问题结合的试题通常以解答题的形式出现，有时也会在选择题和填空题中考查基础应用。 作为热考内容，该部分分值在中考中占比较大，通常占数学总分的6%至10%，体现了对学生应用数 学知识解决实际问题能力的重视。这类试题的难点在于从实际问题中抽象出数学模型。 1．人类免疫缺陷病毒（HIV ）是造成人类免疫系统缺陷的一种逆转录病毒．这一病毒会攻击并逐渐破坏人 类的免疫系统，致使宿主在被感染时得不到保护．HIV 攻陷人体免疫系统的原理是吸附于靶细胞（主要是T 细胞）表面，通过受体进入细胞，破坏靶细胞的免疫防御功能．下图是某机体被HIV 侵入后，宿主体内T 细胞相对浓度变化量随时间的变化情况．已知将HIV 侵入机体的时刻设为0时刻，在0~2h内T细胞的相 对浓度变化量为二次函数，2h~6h内T细胞的相对浓度变化量为反比例函数，且t =1时，T细胞的相对浓 度为60%． (1)写出C关于t的函数解析式； (2)若T细胞相对浓度变化量在60%以上时从生物学角度认为该机体患病，则求该机体患病的时间段． 2．【热点问题】2025年2月7日，第九届亚冬会在冰城——哈尔滨盛大开幕，吉祥物“滨滨”“妮妮”特许商 品惊喜亮相，特许商品店有A，B两种不同价格的吉祥物，供不同人群购买．已知购买4个A种吉祥物和3 个B种吉祥物共需560元；购买2个A种吉祥物和5个B种吉祥物共需700元． (1)求A，B两种吉祥物每件的售价分别是多少元． 学科网（北京）股份有限公司(2)某公司举行“追梦新时代 巾帼绽芳华”三八节活动，共设一、二等奖40名，其中一等奖m名，奖励一件B 种吉祥物，二等奖不多于(2m5)名，奖励一件A种吉祥物．公司如何购买最省钱？ (3)在（2）最省钱的基础上，特许商品店推出A种吉祥物打九折，B种吉祥物打九五折的促销活动，该公司 共能省多少钱？ 3．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡上 某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里OA表示 起跳点A到地面OC的距离，OA=45m，以O为坐标原点，以地面的水平线OC为x轴，OA所在的直线为 y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离ym 与水平方向移动的距离xm满足y=ax22xca¹0．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K与AO相 距30m，高度（与OC距离）为5m，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标． (1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10m时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试跳 落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）． (2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度vm/s的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与v2的对应 数据： v2 150 170 190 210 230 250 270 1 5 5 5 5 1 5 a - - - - - - - 6 34 38 42 46 10 54 ①猜想a关于v2的函数类型，并求出函数解析式； ②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？ 4．如图，利用135°的墙角修建一个梯形ABCD的储料场，其中AD∥BC，且ÐC=90°．如果新建墙BCD 总长15m． 学科网（北京）股份有限公司(1)设储料场面积为Sm2，DC的长为xm，则BC的长为______m，AD的长为______m，S与x的函数关系 式______． (2)当x取何值时，才能使储料场的面积最大？ 5．【热点问题】掷实心球是中招体育考试的选考项目，如图①是一名女生掷实心球，实心球行进路线是一 5 条抛物线，行进高度ym与水平距离xm之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为 m，当水 3 平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． (1)求抛物线的表达式； (2)根据中招体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.80m， 此项考试得分为满分10分，该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． (3)在掷出的实心球行进路线的形状和对称轴都完全不变的情况下，提高掷出点，可提高成绩．当掷出点的 高度至少达到多少时，可得满分． 押题猜想十 利用锐角三角函数解决实际问题 限时：6min 1．【改编】如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度AB=3cm，烧杯高度 EF =12cm，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分MN =GH =8cm，且ÐMNH =ÐGHN =60°，漏斗 2 管位于烧杯的上方部分FG=6cm，玻璃棒斜靠在三层滤纸的点P处，PG= GH ，玻璃棒PQ长度为 3 30cm． （结果精确到0.1cm） 学科网（北京）股份有限公司(1)求漏斗口处点N 到底座AD的高度； (2)某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为53°，求此时玻璃棒顶端Q点到桌面的距离． （参考数据：sin53°»0.80，cos53°»0.60，tan53°»1.33， 3 »1.73） 押题解读 解直角三角形的应用题在中考中通常以解答题的形式出现，有时也会在选择题和填空题中考查基础应 用，也是中考中的热点问题，通常占数学总分的8%至15%，解直角三角形的应用题背景越来越贴近 学生的生活实际，求解的过程就是将实际问题抽象为直角三角形模型，再利用相关知识求解问题. 1．图1是我国古代提水的器具枯槔（ jiégão），创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在 作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬 挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下 降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB=8米，O为AB的中点，支架OD垂直地面 EF，此时水桶在井里时，ÐAOD=120°． (1)如图2，求支点O到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至AB 的位置，小竹竿AC至AC 的位置，此时 1 1 1 1 学科网（北京）股份有限公司ÐAOD=143°，求水桶水平移动的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据： 1 3»1.73,sin37°»0.6,cos37°»0.8,tan37°»0.75） 2．如图，港口B位于港口A的北偏西37°方向，港口C位于港口A的北偏东21°方向，港口C位于港口B 的北偏东76°方向．一艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行．已知港口B到航线的距离为24km，求港口 8 3 C到航线的距离．（参考数据：tan21°» ，tan37°» ，tan76°»4．） 21 4 3．如图，为助力乡付振兴，某乡镇帮助农户在一个坡度为i=3:4的斜坡上点A处安装自动浇灌装置（其高 度忽略不计），为坡地AB进行浇灌，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知AB=15m，水 柱在距出水口A的水平距离为3m时，达到距离地面OB的竖直高度的最大值为12m．以OB所在的水平方向 为x轴，OA所在的竖直方向为y轴建立平面直角坐标系． (1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式； (2)若该装置浇灌的最远点为AB上的点C处，求点C距出水口的水平距离． 4．巫云开高速起于巫溪县， 经云阳县， 止于开州区， 是渝东北地区与主城都市区联系的重要通道， 也 是重庆过境大通道的重要组成部分， 预计在 2025 年建成通车． 为及时学握巫云开高速通车后是否会对 沿途居民生活产生噪音影响， 施工单位派出了两名勘测师对已经修建好的高速路段 DE 进行勘测． 如图， 勘测师甲在一段自西向东的高速路上的 A 处发现民宿 C 在 A 处北偏西 45o 方向上， 与 A 处距离 为 80 米， 民宿 B在 A 处北偏东 60o 方向上； 勘测师乙在民宿 B 处测得民宿 C 在 B 处北偏西 75o 的方向上． 学科网（北京）股份有限公司(1)求 BC 的距离（结果保留一位小数）； (2)当居住场所与高速路的距离不大于 30 米的时候， 人们的生活会被高速路上的噪声影响， 相关部门可 通过加装隔音堜来减少噪声污染， 每米隔音墙的单价为 158 元． 请判断民宿 B 是否会被高速路上的噪 声影响? 如果有被影响， 则在对民宿有噪音影响的高速路段上全部安装隔音墙， 请计算出安装隔音墙需 要资金多少元? 如果没有被影响， 请说明理由．（参考数据： 2 »1.414, 3»1.732 ） 5．如图，某公园内有一个垂直于地面的信号塔AB，小高同学位于点C的位置观测信号塔，眼睛距地面高 度为CD=1.6米，CD^ AC，测得塔顶B的仰角为30°，小高向着信号塔的方向前进到点E处，此时小高 距信号塔的水平距离为27米，测得塔顶B的仰角为45°﹒ (1)求小高前进的距离CE；（ 3取1.73，结果保留整数） (2)此时，小高发现，前方5米的地面上有一个气球正在缓缓升起，假设气球升起的方向是垂直向上的，3 秒后，气球恰好挡住小高的视线无法看到塔顶B的位置，求气球升起的平均速度． 押题猜想十一 几何图形的证明与计算问题 限时：6min 1．【改编】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，对角线AC和BD相交于点O．请在以下两 个条件中：“①AC=BD；②AB^BC”，选择一个作为已知条件，再解决下列问题： 学科网（北京）股份有限公司(1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若ÐACB=30°， AB=2 ，求四边形ABCD的面积． 押题解读 中考中几何图形的证明与计算问题的出现频率较高，是中考的重要组成部分，而且该部分内容涉及知 识点较多，学生需掌握以下知识：三角形的全等/相似、特殊三角形的性质，以及特殊平行四边形的性 质与判定，圆的切线、弦、圆心角、圆周角定理，以及弧长和扇形面积的计算，图形变化等. 1．如图，在 Y ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE=CF，连接BE，DF． (1)求证：四边形EBFD是平行四边形； (2)已知AB=2，AD=4，ÐABC =60°，当AE的长为 时，四边形EBFD是菱形． 2．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E是AB的中点，连接OE．EF^BC于点F， OG∥EF，OG交BC于点G． (1)求证：四边形OEFG是矩形； (2)若菱形ABCD的周长为40，BF=3，求菱形ABCD的面积． 3．如图，以 V ABE的AB边为直径作 e O，交AE于点C，交BE于点M ，连接CB,AM 相交于点H，连接 CM ，MC =MB． 学科网（北京）股份有限公司(1)判断 ABE的形状，并证明； V 3 (2)若cosÐBAC = ，求CH:BH的值． 5 4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，ÐBAD=90°，CB=CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径 作 e B，交BD于点E． (1)试判断CD与 e B的位置关系，并说明理由； (2)若AB=4 3，ÐBCD=60°，求图中阴影部分的面积． 5．在Rt△ABC中，ÐBAC =90°，AB= AC，AD^BC于点D．点M，N分别是AB，AC上的动点，且满 足AM = AN ．连接BN ，交AD于点E，过点M作MF ^BN ，交BC于点F，垂足为H． (1)如图1，当AE = AN时，求证：BM =BF ； (2)如图2，当AE¹ AN时，依题意补全图形，用等式表示线段DE与BF的数量关系，并证明． 押题猜想十二 几何图形压轴 限时：2min 1．【改编】综合与实践： 学科网（北京）股份有限公司如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅 图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在 V ABC中，ÐA=90o，将线段BC绕点B顺 时针旋转90°得到线段BD，作DE^AB交AB的延长线于点E． (1)【观察感知】 如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是________； (2)【问题解决】 如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB=1，AC =3． ①求线段EF的长； BN ②连接CE交BD于点N ，则 的值为________． BC (3)【拓展应用】 3 如图3，若AB=2，AC =6，在直线AB上找点P，使tanÐBCP= ，请直接写出线段AP的长度． 4 押题解读 中考中几何图形压轴题的出现频率非常高，几乎是每年中考数学试卷的必考题型。因为压轴题涉及知 识点较多，难点相对较大，该题型能够有效考查学生的综合能力，区分学生水平，符合教育目标，并 具有实际应用价值。因此，几何图形的证明与计算问题在中考中占有重要地位，是考生必须掌握的内 容。 1．综合与实践在一次数学实践探究课上，老师带领学生以四边形折叠为主题进行探究活动． 问题情景：四边形ABCD中，AD> AB，点E在BC上，点F在CD上，将△CEF 沿EF翻折，使顶点C落 在四边形ABCD内，对应点为C¢，点N 为AB边上一点，点M 为AD边上一点，将 V AMN 沿MN翻折，点A 的对应点A¢恰好在射线MC¢上． 学科网（北京）股份有限公司(1)奋进小组提出的问题是：如图1，若四边形ABCD为矩形，点E在射线MC¢上，AM =CE，则A¢N与C¢F 的位置关系是___________，数量关系是___________； (2)智慧小组提出的问题是：将矩形改为平行四边形，其他条件不变，（1）中的两个结论是否仍然成立？并 就图2的情形说明理由； (3)创新小组提出的问题是：如图3，将问题迁移到平面直角坐标系中，使得矩形ABCD的边AD在x轴上， D,F,M 三点重合，若点B-1,-3,D4,0，点N 为AB的三等分点（位置不确定），连接EN ，请直接写出 点E的坐标． 2．综合与实践 【问题呈现】 （1）如图1， V ABC和 V ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD=CE． 【类比探究】 BD （2）如图2， V ABC和 V ADE都是等腰直角三角形，ÐABC =ÐADE=90°，连接BD，CE，则 = CE 【拓展提升】 AB 2 （3）如图3，△ABC∽△ADE，ÐABC =ÐADE=90°，连接BD，CE，若 = ． BC 4 BD ①求 的值； CE ②延长CE交BD于点F，则sinÐBFC = ． 3．【问题发现】（1）如图1，矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点P是矩形ABCD内一点，过点P作 EF^AD，分别交AD，BC于点E，F，PE=4，AE=3．则： 学科网（北京）股份有限公司①PC =________； ②PA2PC2与PB2PD2的关系是________； 【类比探究】（2）如图2，点P是矩形ABCD外一点，过点P作EF^AD，分别交AD，BC反向延长线于 点E，F,②中结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在Rt△ABC中，ÐBAC =90°，P是Rt△ABC外一点，PA=2，PB=5， PC =3，求BC的最小值． 4．如图，在Rt△ABC中，ÐACB=90o，CD是边AB上的高，已知AC =15，BC =20．动点P从点A出发， 以每秒1个单位长度的速度沿折线AB-BC向终点C运动，当点P不与点D、C重合时，连接PD，以PD、 CD为边作 Y PDCE．设 Y PDCE与 V ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为tst >0． (1)求CD的长； (2)求S与t之间的函数关系式； (3)当 PDCE的对角线与边AC平行时，直接写出t的值． Y 5．【问题提出】 （1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，AD^l于点D且AD=4,ÐBAC =45°．求 BC的最小值； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形ABCD中，ÐA=45°,ÐB=ÐD=90°,CB=CD=2，点E，F分别为AB,AD上的点， 且CE^CF，求四边形AECF面积的最大值； 学科网（北京）股份有限公司【问题解决】 （3）如图③，某园林对一块矩形花圃ABCD进行区域划分，点K为BC的中点，点M，N分别为AB,DC 上的点，且ÐMKN =120°,MK,KN将花圃分为三个区域．已知AB=7m,BC =12m，现计划在△BMK 和 △CNK中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值． 押题猜想十三 反比例函数与一次函数 限时：6min 6 1．【改编】如图，直线l :y=axba¹0的图象与反比例函数y= 的图象交于Am,4，B-3,-2两点． 1 x (1)求一次函数的解析式； 6 (2)请写出不等式 £axb的解集； x (3)将直线l 向右平移3个单位长度得直线l ，顺次连接两直线与坐标轴的交点得到四边形CDEF，请判断它 1 2 的形状，并说明理由． 押题解读 中考中反比例函数与一次函数作为中考的必考题型，是因为它们具有基础性和广泛应用，能够有效考 查学生的数学能力，区分学生水平，符合教育目标。因此，反比例函数与一次函数在中考中占有重要 地位，是考生必须掌握的内容。 学科网（北京）股份有限公司k 1．如图，一次函数y=2x4的图象与反比例函数y= k ¹0的图象交于点A1,m和点B-3,n． x (1)求反比例函数的解析式； k (2)结合图象请直接写出不等式2x4> 的解集； x (3)若点P在y轴上，且 PAB的面积为12，请直接写出点P的坐标． V k 2．如图，点A,B是反比例函数y= x>0图象上的点，过点A作AC ^x轴于点C，过点B作BD^x轴于 x 点D，连接OA,OB,AB，线段OA交BD于点E,OD=DC = AC =2． (1)求k的值； (2)求直线AB的函数解析式； k (3)若将AB所在的直线向下平移mm>0个单位长度后，与反比例函数的图象y= x>0有且只有一个公 x 学科网（北京）股份有限公司共点，求m的值． 3．阅读材料： 在学习反比例函数的性质时，通过图象直观感受到反比例函数的图象关于原点对称．小明利用代数方法进 行了推导． k æ kö 证明：在反比例函数y= k ¹0的图象上任取一点Aça, ÷， x è aø æ kö 则点A关于原点的对称点B的坐标为ç-a,- ÷． è aø æ kö Q -a×ç- ÷=k， è aø k ∴点B也在反比例函数y= 的图象上． x k k ∵点A是反比例函数y= 上的任意一点，它关于原点对称的点都在反比例函数y= 的图象上， x x k ∴反比例函数y= 的图象关于原点对称． x 问题解决： 3 下面我们来研究一个新函数y= ． x 3 (1)试运用阅读材料提供的方法，证明函数y= 的图象关于 对称； x 3 (2)已知点P(x,y ),Q(2,y )在函数y= 的图象上，且y < y ，直接写出x的取值范围是 ． 1 2 x 1 2 3 (3)已知函数y=x-2的图象在函数y= 的图象的下方，求x的取值范围． x m 4．如图，A、B两点在函数y= (x>0)的图象上． x (1)求m的值及直线AB的解析式y=kxb； m (2)从图上观察，当x>0时直接写出 >kxb时x的取值范围； x m (3)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出函数y= (x>0)的图象与直 x 学科网（北京）股份有限公司线AB围出的封闭图形中（不包括边界）所含格点的坐标． 押题猜想十四 函数与几何图形综合 限时：6min k 1．【改编】如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y= x>0的图象上， x A1,0,C0,2．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A¢B¢（点A平移后的对应点为A¢），A¢B¢交函数 k y= x>0的图象于点D，过点D作DE^y轴于点E． x (1)求函数关系式； (2)探究 OBD的面积与四边形ABDA¢的面积存在着怎么的数量关系？ V (3)证明：ÐB¢BD=ÐBB¢O． 押题解读 中考中函数与几何图形综合题通常涉及多个知识点，如函数的图像与性质、几何图形的性质与判定、 方程与不等式的求解等，要求学生具备较强的知识整合能力。该部分题目形式多样，可能涉及函数的 图像与几何图形的位置关系、交点问题，或利用函数解析式求解几何图形的边长、面积等，通常难度 较大，需要学生具备较高的数学素养和解题能力。 1．如图，在平面直角坐标系中，直线y=ax2与直线y=x5相交于点A-1,m，与x轴相交于点B，点 k C在反比例函数y= k >0图象上． x 学科网（北京）股份有限公司(1)求a的值及点B的坐标； (2)若 V ABC为等腰直角三角形，ÐABC =90°，求点C的坐标； (3)过点A，C的直线与x轴交于点D，点E与点D关于点B对称，若存在AD=2CD，使得 ÐEAO=ÐEDA，请直接写出k的值． 2．如图，直线l : y=-2x5与坐标轴交于点A，C，直线l 经过点B-2,0，与l 交于点D，点D的横坐 1 2 1 标为1． (1)求直线l 的解析式． 2 (2)点P是线段AC上一点，过点P作垂直于y轴的直线，分别与y轴和直线l 交于点E，F．设点P的横坐 2 标为m． ①当m=2时，求点F的坐标； ②若PE=OE，求线段PF的长． 3．【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B,D是直线y=axa>0上第一象限内的两个动点（OD>OB），以线段 k BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y= 的图象经过点A． x 学科网（北京）股份有限公司【构建联系】 k (1)求证：函数y= 的图象必经过点C． x (2)如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为1,2时，求 k的值． 4．如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线C :y=x2bxc经过原点O、A2,0，将该抛物线绕点Mm,0 1 旋转180°得到抛物线C ，两抛物线交于B、C两点，抛物线C 与y轴交于点D． 2 2 (1)求抛物线C 的表达式； 1 1 (2)当m= 时，求△OBC的面积； 2 (3)若直线y=kx2mm>0与抛物线C 交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线DE的斜率为k ，直 1 1 线DF的斜率为k ，当k k 为定值时，求m的值． 2 1 2 押题猜想十五 与函数有关的最值问题 限时：8min 1．【改编】已知：已知抛物线y=x2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC =3，顶点 为D． 学科网（北京）股份有限公司(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图1，点P在抛物线的对称轴上，当 BCP的周长最小时，求出P点坐标及 BPC的周长； V V (3)如图2，连接AC，E为线段AC上一动点，求2DE 2AE的最小值． 押题解读 中考中与函数有关的最值问题，是中考数学的核心考点之一，尤其在二次函数中体现最为突出。常见 出题类型为： 1）二次函数最值问题：仍然是考查的重点，可能涉及动轴定区间、定轴动区间、动轴动区间等不同情 况，考查学生对二次函数性质的深入理解和分类讨论能力。 2）一次函数与反比例函数最值问题：虽然难度相对较低，但可能会与实际应用题相结合，考查学生在 具体情境中求解最值的能力。 3）函数与几何图形综合题：预计会出现更多的函数与几何图形相结合的最值问题，如抛物线与直线的 交点问题、动态几何中的面积最值等。 1．如图，二次函数y=x2bxc（b，c为常数）图象与x轴交于点A-1,0，B3,0，顶点为C，点D的 坐标为0,-1，连接BD，CD，BC． 学科网（北京）股份有限公司(1)求二次函数表达式； (2)如图1，求证： BDC是等腰直角三角形； V (3)如图2，M，N 分别是线段BC，CD上的动点，且BM DN =CD，求BNDM 的最小值． 2．如图，已知抛物线y=ax2bxa¹0过点A7,-7，且它的对称轴为x=3． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线对称轴上的一点，当 OAP的面积为21时，求点P的坐标； V (3)在（2）条件下，当点P在OA上方时，M是抛物线上的动点，求AM -PM 的最大值． 3．如图，直线y=-x3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax22xc经过点A，B，与x轴的 另一个交点为点C，连接BC． 学科网（北京）股份有限公司(1)求抛物线的解析式； (2)如图①，M是抛物线的对称轴上一点，连接AM,BM ， 若ÐAMB=2ÐACB，求点M的坐标； (3)如图②，P是直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ P BC，交AB于点Q，求线段PQ的最大值及 此时点P的坐标． 4．如图1，抛物线y=-x22x3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P在x轴上方的抛物线上． (1)求直线BC的解析式； (2)求以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值； PM 1 (3)如图2，若直线PA与直线BC相交于点M，且 = ，求点P的坐标． AM 2 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象经过坐标原点且与x轴交于点A，若抛物线顶点坐标P(1,2)． 学科网（北京）股份有限公司(1)求该抛物线的表达式； 1 (2)若过点A的直线y= xm与抛物线交于A，B两点，连接PA． 2 ①求证：PA^ AB； ②若M为x轴上方的抛物线上任意一点，判断 ABM 的面积是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有， V 请说明理由． 押题猜想十六 与函数有关的存在性问题 限时：8min 1．【改编】已知抛物线y=-x2bxc交x轴于A,B4,0两点，交y轴于点C0,4． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上存在一点Q，使得△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，请求出所有满足条件的点Q的坐 标． 押题解读 函数与存在性问题主要考查二次函数存在性问题，作为中考压轴的热考题型，可能涉及二次函数与特 殊图形的存在性问题，如等腰三角形、相似三角形、平行四边形等，考查学生的分类讨论能力和几何 代数综合. 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2bxc与x轴交于A1,0,B-6,0两点，与y轴交于点C． (1)求拋物线的函数解析式． (2)P是直线BC下方抛物线对称轴的左侧拋物线上一动点，过点P分别作PD∥x轴，交抛物线于点D，作 PE^BC于点E，求PD 2PE的最大值及此时点P的坐标． (3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，在PD 2PE取得最大值的条件下，连 学科网（北京）股份有限公司接AP，交y轴于点M ，平移后的抛物线上是否存在一点N ，使得ÐAMN=90°？若存在，直接写出符合条 件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y=ax22axca<0与x轴交于A，B1,0两点（点A 1 在点B的左侧）．与y轴交于点C，顶点为D，抛物线G ：y=mx-22 5a经过点D． 2 (1)当点C的坐标为0,3时，求抛物线G 的表达式； 1 (2)在（1）的条件下，在第二象限内抛物线G 1 上是否存在一点P，使得 V BCP的面积是 V ABC的面积的一 半？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由： (3)若抛物线G 和抛物线G 构成的封闭图形内部（不包含边界）有6个整点（横、纵坐标都是整数），请求 1 2 出a的取值范围． 3．如图，抛物线y=-x2bxc交x轴于A-4,0，B两点，交y轴于点C0,4． (1)求抛物线的函数解析式． (2)点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP、CP，求 四边形AOCP的面积的最大值，并写出此时点P的坐标． (3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时，PNNC的值最小，最小值为 ． (4)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求 出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司4．如图，已知抛物线y=x2bxc的图象与x轴交于A和B-3,0两点，与y轴交于C0,-3 ，直线y= xm 经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F． (1)求抛物线的解析式和m的值； (2)在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与 V BOD相似，若存在，求出点P的坐标； 若不存在，试说明理由． 5．抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A(-3,0)，抛物线的顶点坐标为(-1,4)，点P是抛物 线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD^ AB，垂足为D，PD 交AC于点E．作PF ^ AC，垂足为F，求 PEF的面积的最大值； ! (3)如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 6．如图，二次函数y=x2bxc的图象交x轴于点A(-3,0)，B(1,0)，交y轴于点C，点P是x轴上一动点， PM ^x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N． 学科网（北京）股份有限公司(1)求这个二次函数的解析式． (2)若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点N 的坐标． (3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使 以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请 说明理由． 学科网（北京）股份有限公司