文档内容
2025 年中考数学终极押题猜想（江苏南京专用）
（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）
押题猜想一 方程与代数综合........................................................................................................1
押题猜想二 三角形、四边形问题综合........................................................................................9
押题猜想三 函数中获取信息类问题..........................................................................................22
押题猜想四 一次函数、反比例函数与几何综合......................................................................39
押题猜想五 二次函数的图象与性质..........................................................................................76
押题猜想六 二次函数的应用......................................................................................................88
押题猜想七 锐角三角函数的实际应用......................................................................................97
押题猜想八 相似三角形的综合..................................................................................................97
押题猜想九 圆...............................................................................................................................97
押题猜想十 尺规作图与几何......................................................................................................97
押题猜想十一 统计与概率..........................................................................................................97
押题猜想十二 最值问题..............................................................................................................97
押题猜想十三 图形的平移、旋转、翻折问题..........................................................................97
押题猜想十四 新定义问题..........................................................................................................97
押题猜想十五 规律探究与材料阅读型问题............................................................................110
押题猜想一 方程与代数综合
限时：5min
ìx-2>0①
ï
1．解不等式组í-6x<12② 并写出整数解．
ï 10-3x-2³x③
î
请结合题意，完成本题的解答．
解：解不等式①，得 ，依据是： ．
解不等式②，得x>-2，解不等式③，得 ．
将不等式①②和③的解集在数轴上表示出来．
所以不等式组的解集为 ，整数解为 ．
【答案】见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的整数解的应用，能根据找不
等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．
【详解】解：解不等式①，得x>2，依据是：不等式的基本性质1．
解不等式②，得x>-2，
解不等式③，得x£4．
将不等式①②和③的解集在数轴上表示出来．
所以不等式组的解集为22，不等式的基本性质1，x£4，2N D．与a的值有关
【答案】C
【分析】此题考查了整式的加减，以及非负数的性质，把M与N代入M -N中计算，判断差的正负即可得
到结果．
【详解】解：∵M =-2a2+4a+1，N =-3a2+4a，
∴M -N=-2a2+4a+1- -3a2+4a
=-2a2+4a+1+3a2-4a
=a2+1，
∵a2+1>0，
∴M -N >0，
∴M >N ．
故选：C．
æ 1 ö x2-4x+4
3．化简：ç1- ÷¸
è x-1ø x2-1
x+1
【答案】
x-2
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先计算括号内的，
再计算除法，即可求解．
æ 1 ö x2-4x+4
【详解】解：ç1- ÷¸
è x-1ø x2-1
x-1-1 x+1x-1
= ´
x-1 x-22
x-2 x+1x-1
= ´
x-1 x-22
x+1
= ．
x-2
1 1
4．（1）已知ab=1，计算 + 的值；
1+a 1+b
1 1
（2）已知 + =1，证明ab=1；
1+a 1+b
1 1
（3）已知mn=20252025，且 + =1，则2025x+y =______．
1+2025xm 1+2025y-2024n
1
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）
2025
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分．
（1）先把所求分式进行通分，然后把ab=1代入化简后的式子进行计算即可；
（2）把已知条件中的等式的左边进行通分，然后得到分子和分母相等，从而证明即可；
1 1
（3）先把 + =1 的左边进行通分，然后得到分子和分母相等，再把mn=20252025，
1+2025xm 1+2025y-2024n代入化简后的等式，从而得到关于x+y，再代入所求代数式进行计算即可．
【详解】（1）解： ab=1，
Q
1 1
\ +
1+a 1+b
1+b 1+a
= +
1+a1+b 1+a1+b
a+b+2
=
1+a1+b
a+b+2
=
1+a+b+ab
a+b+2
=
a+b+2
=1；
1 1
（2）证明：
Q
+ =1，
1+a 1+b
1+b 1+a
\ + =1，
1+a1+b 1+a1+b
a+b+2
=1，
1+a1+b
a+b+2
=1，
1+a+b+ab
\a+b+2=1+a+b+ab，
\ab=1；
1 1
（3）解： + =1，
1+2025xm 1+2025y-2024n
1+2025y-2024n 1+2025xm
+ =1，
1+2025xm 1+2025y-2024n 1+2025xm 1+2025y-2025n
2+2025xm+2025y-2024n
=1，
1+2025xm 1+2025y-2025n
2+2025xm+2025y-2024n
=1，
1+2025xm+2025y-2024n+2025x+y-2024mn
\2+2025xm+2025y-2024n=1+2025xm+2025y-2024+2025x+y-2024mn，
\2025x+y-2024mn=1
mn=20252025，
Q\2025x+y-2024×20252025 =1，
2025x+y-2024+2025 =1，
2025x+y+1 =1，
\x+y+1=0，
x+y=-1，
1
\2025x+y =2025-1 = ，
2025
1
故答案为： ．
2025
5．代数式A=mx+2，代数式B=2m+1．
(1)当m=3时，若AB
2 4
(3)- £m£
5 5
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一次函数的性质，整式的加减计算，
利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）根据题意可得不等式3x+2<2´3+1，解不等式即可得到答案；
（2）利用作差法得到A-B=x-2m+1，再由题意可证明x-2m>0，据此可得结论；
（3）先求出C = A-B=mx+1-2m，当m=0时，C=1，满足题意；当m¹0时，C是x的一次函数，据此
讨论m的值利用一次函数的增减性列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：∵当m=3时，AB，理由如下：
∵A=mx+2，B=2m+1，
∴A-B=mx+2-2m+1
=x-2m+1，
∵x<2，
∴x-2<0，
∵m<0，
∴
x-2m>0，
∴A-B=x-2m+1>0，
∴A>B；
（3）解：A=mx+2，B=2m+1，
∴A-B
=mx+2-2m+1
=mx+1-2m，
∴C = A-B=mx+1-2m
当m=0时，C=1，满足题意；
当m>0时，则C的值随x增大而增大，
∵当-3≤ x≤ 3时，C的值满足-3£C£3，
ì-3£-3m+1-2m£3
∴í ，
î-3£3m+1-2m£3
4
解得01)，点E是AD边上一定点，且AE=1，在线段AB上找一
点F，使△AEF 与
V
BCF相似．若这样的点F恰好有两个，则m的值为 ．
【答案】3或4
【分析】本题考查作图—相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，根据题意画出图形，交点个数分
类讨论即可解决问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【详解】解：如图，延长DA，作点E关于AB的对称点E¢，连接CE¢，交AB于点F ，连接EF、CE，以CE
1 1
为直径作圆O交AB于点F 、F ，
2 3
由矩形的性质可得AD∥BC，
∴V BCF 1 ∽ V AE¢F 1 ，
由轴对称的性质可得： AEF≌ AE¢F，
V 1 V 1
∴V BCF 1 ∽ V AEF 1 ，
当m=4时，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC =4，CD= AB=4，ÐADC =90°，∴DE= AD-AE=3，
∴CE = CD2+DE2 =5，即图中圆的直径为5，
作OG^CD于G，则OG∥AD，
∴ CGO∽ CDE，
V V
CO OG
∴ = ，
CE DE
∴OG=1.5，
∴此时图中所作圆的圆心到AB的距离为4-1.5=2.5，等于所作圆的半径，F 和F 重合，
2 3
AE 1 AF F 2
此时， = = 2 3 = ，
BF F 2 BC 4
2 3
∴V AF 2 E∽ V BCF 2 ，
即当m=4时，符合条件的F有2个，为F ，F F ；
1 2 3
当m>4时，图中所作圆和AB相离，此时F 和F 不存在了，即此时符合条件的F只有1个，为F ，
2 3 1
当m=3时，
当ÐAEF=ÐBFC时，
AE AF 1 AF
要使△AEF∽△BFC，需 = ，即 = ，
BF BC 4-AF 3
解得AF =1或3，
当ÐAEF=ÐBCF时，
AE AF 1 AF
要使 AEF∽ BCF，需 = ，即 = ，
V V
BC BF 3 4-AF
解得AF =1，即当m=3时，符合条件的F有2个；
当14时，有1个，
故答案为：3或4．押题猜想三 函数中获取信息类问题
限时：10min
11．某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电
阻R Ω（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数U 换算为人的质量mkg，已知U 随着R
1 0 0 1
的变化而变化（如图2），R与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法不正确的是（ ）．
1
A．在一定范围内，U 越大，R越小
0 1
B．当U =3V时，R的阻值为50W
0 1
C．当踏板上人的质量为90kg时，U =2V
0
D．若电压表量程为0~6V0£U £6，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg
0
【答案】C
【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图
象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为90kg和U =2V时的阻值，可判断C
0
选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项．
【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，U 越大，R越小，原说法正确，不符合题意；
0 1
B、由图2可知，当U =3V时，R的阻值为50W，原说法正确，不符合题意；
0 1
C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为90kg时，R =-2´90+240=60W，由图2可知，U =2V时，
1 0
R =90W，原说法错误，符合题意；
1D、当电压表量程为0~6V0£U £6时，由图2可知，当U =6V，R阻值最小为10W，
0 0 1
由R =-2m+240可知，R随着m的增大而减小，则当R =10Ω时，m有最大值，
1 1 1
10=-2m+240，解得：m=115，即该电子体重秤可称的最大质量是115kg，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
押题解读
本考点是中考常考考点，主要考查学生对函数概念的理解，尤其是动点问题的函数图象，需要从函数图
象中得到信息，从而求出要求的量；此类题型一般在解答题中出现频率高，填空题偶有考查；解决此类
问题最主要还是要理解图象中的“拐点”，将其与具体情形相联系，就可以明白“拐点”的实际意义。
12．如图，
e
A的直径BC =6，D为半圆BC的中点，P点从D出发，沿D-A-C的路径移动，移动到C
p
点停止，Q点从B出发，沿
e
A下半圆的路径移动，移动到C点停止，Q的速度是P速度的 倍，PQ的长
2
度变化的函数图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】Bp
【分析】设点P的运动速度为1，则点Q的运动速度为 ，运用特殊值，几何排除法求解即可．
2
p
【详解】解：设点P的运动速度为1，则点Q的运动速度为 ，
2
p
如图，当x=1时，则AP= AD-1=2，BQ的长为 ，
2
连接AQ，作QE^AB于点E，作QF ^ AD，交DA的延长线于点E，则四边形AFQE是矩形，
∴AE=QF,AF =QE．
ÐBAQ×p´3 p
∵ = ，
180 2
∴ÐBAQ=30°，
1 3 æ3ö 2 3 3
∴AF =QE= AQ= ， AE=QF = 32-ç ÷ = ，
2 2 è2ø 2
3 7
∴PF =2+ = ，
2 2
æ7ö 2 æ3 3ö 2
∴PQ= ç ÷ +ç ç ÷ ÷ = 19 »4.36，故C，D不符合题意；
è2ø
è
2
ø
如图，当x=4时，则AP=4-AD=1，BQ的长为2p，
连接AQ，作QE^ AC于点E，作QF ^ AD，交DA的延长线于点F，则四边形AFQE是矩形，
∴AE=QF,AF =QE．
ÐBAQ×p´3 p
∵ =4´ ，
180 2
∴ÐBAQ=120°，
∴ÐFAQ=120°-90°=30°，∵AF∥EQ，
∴ÐAQE=ÐFAQ=30°，
1 3 æ3ö 2 3 3
∴AE= AQ= ， EQ= 32-ç ÷ = ，
2 2 è2ø 2
3 1
∴PE= -1= ，
2 2
æ1ö 2 æ3 3ö 2
∴PQ= ç ÷ +ç ç ÷ ÷ = 7 »2.64；
è2ø
è
2
ø
而A选项中，x=4时，y=2，且当312时，反比例函数的表达式为y= 2 ，
x
k
则a= 2 ，
12
解得k =12a，
2
12a
∴反比例函数的表达式为y= ．
x
2 a
当x<12时，把y= a代入y= x得，
3 12
a 2
x= a，
12 3
解得x=8．
2 12a
当x>12时，把y= a代入y= 得，
3 x
12a 2
= a，
x 3
解得x=18．
2
综上，当y= a时，x的值是8 或18．
3
故答案为：8或18．
押题解读
本考点为中考的必考考点，涉及到一次函数、反比例函数的图象与性质、一次函数的平移、一次函数与
方程、不等式的关系、一次函数与反比例函数的应用、一次函数与反比例函数的关系等，选择或者填空
题会考查较为基础的内容，解答题的中等难度题也会考查；作为考生，我们要多练一下近几年的南京中
考数学题，养成解决此类问题的思维。
17．将一次函数y
=
x
+
3的图象绕其与x轴的交点顺时针旋转75°，得到的图象对应的函数表达式是 ．
3
【答案】y=- x- 3
3
【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法确定一次函数解析式，利用直线与两坐标
轴的交点坐标，求得旋转后的对应点坐标，然后根据待定系数法即可求得，掌握旋转的性质是解本题的关
键．【详解】解：在一次函数y x 3中，
= +
令y=0，则可得0=x+3，解得x=-3，
令x=0，则y=3，
\直线y x 3经过点(-3,0)，(0,3)．
= +
将一次函数y
=
x
+
3的图象绕与x轴的交点(-3,0)顺时针旋转75°，如图所示：
OC =OB.ÐBOC =90°，
Q
\ÐCBO=45°，
\ÐOBA=75°-45°=30°，
OB=3，
Q
OA
\ =tan30°，
OB
\OA= 3，
\A点坐标为(0,- 3)
设对应的函数解析式为：y=kx+b，
ïì-3k+b=0
将点(-3,0)、(0,- 3)代入得í ，
ïîb=- 3
ì 3
ïk =-
解得í 3 ，
ï
îb=- 3
3
\旋转后对应的函数解析式为：y=- x- 3，
3
3
故答案为：y=- x- 3．
3
1
18．在平面直角坐标系中，点A在函数y= (x>0)的图象上，点B在第二象限，且ÐAOB=90°，ÐABO=30°
xk
反比例函数y= (x<0)的图象恰好经过点B，则k的值为 ．
x
【答案】-3
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，由
OB
ÐAOB=90°，ÐABO=30°，可得 = 3，过点A作AM ^ x轴于点M，过点B作BN ^ x轴于点N，证
OA
BN ON OB æ 1ö
得△AOM ∽△OBN ，根据相似三角形的性质得 = = = 3，设Aça, ÷，求出ON，BN ，利用
OM AM AO è aø
反比例函数上点的坐标特征解决问题即可，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
【详解】解：∵ÐAOB=90°，ÐABO=30°，
OB
\ = 3，
OA
过点A作AM ^ x轴于点M，过点B作BN ^ x轴于点N，
\ÐBNO=ÐAMO=90°，ÐBON+ÐAOM =90°，
ÐAOM +ÐOAM =90°，
Q
\ÐBON =ÐOAM ，
∴△AOM ∽△OBN ，
BN ON OB
\ = = = 3，
OM AM AO
æ 1ö
设Aça, ÷，
è aø
1
\OM =a，AM = ，
a
3
\ON = ，BN = 3a
a
æ 3 ö
\Bç- , 3a÷，
ç ÷
a
è øk
Q
点B恰好在反比例函数y= (x<0)的图象上，
x
3
\k =- ´ 3a=-3，
a
故答案为：-3．
19．如图，在平面直角坐标系中，
V
AOB的面积为4，AO=BO，反比例函数图像上，B的纵坐标y
B
为1，
x -x =2，则将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为 ．
B A
3
【答案】y=-
x
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式与几何的综合，掌握数形集合思想成为解题的关键．
k æ k ö
设反比例函数解析式为y= k >0，则Bk,1；根据已知条件可得Bk,1、Açk-2, ÷；然后根据
x è k-2ø
AO=BO可得k2+12 =k-22 + æ ç k ö ÷ 2 ①以及 V AOB的面积为4可得
èk-2ø
k 1 1 k 1 æ k ö 3
×k- k×1- × ×k-2- k-k+2 ç -1÷=4②；①、②联立解得：k =3，即y= ；然后求
k-2 2 2 k-2 2 èk-2 ø x
出关于y轴对称的解析式即可．
k
【详解】解：设反比例函数解析式为y= k >0，则Bk,1
x
∴x =k，x =k-2,
B A
æ k ö
∴Açk-2, ÷，
è k-2ø
∵AO=BO，
∴k2+12 =k-22 + æ ç k ö ÷ 2 ①，
èk-2ø
如图：过A作AF ^ y轴，过B作BE⊥x轴，∵V AOB的面积为4，
k 1 1 k 1 æ k ö
∴ ×k- k×1- × ×k-2- k-k+2 ç -1÷=4②，
k-2 2 2 k-2 2 èk-2 ø
①、②联立解得：k =3，
经检验符合题意，
3
所以此函数图像的解析为y= ，
x
3
所以将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为y=- ．
x
3
故答案为y=- ．
x
k
20．如图，一次函数y =-2x+a的图象与反比例函数的图象y = x>0在第一象限相交于点Am,n，
1 2 x
Bm-2,3n．
(1)求a、k的值；
(2)当y > y >0时，直接写出x的取值范围．
2 1
【答案】(1)a=8，k =6
(2)0 y >0时，x的取值范围为：00，
故新抛物线的对称轴是直线x=3+m，进而分当2£3+m£6时和当3+m>6时两种情形解答即可．
【详解】（1）解：由题意：将点6,5代入y=x-1x-m可得：
5=5´6-m，解得：m=5．
（2）解：由（1）可得二次函数为y=x-1x-5= x2-6x+5=x-32-4，
∴当x=3时，y取最小值为-4．
又∵当x=2时，y=-3；当x=6时，y=5，
∴当2£x£6时，y的取值范围为-4£ y£5．
（3）解：由题意，∵二次函数为y=x-32-4，
∴可设向右平移后得到的新函数为y=x-3-m2-4m>0．
∴新抛物线的对称轴是直线x=3+m，
①当2£3+m£6时，即06时，即m>3，
∵当x < 3 + m时，y随x的增大而减小，
∴当x=2时，y=2-3-m2-4=12，则m=3或m=-5，均不合题意，舍去．
综上，m=3．
答：平移的距离为3．
23．数、形二法“战”不等式！
ìx-1>0
(1)解不等式(x-1)(x+3)>0时，根据“两数相乘，同号的正，异号得负”可得x应满足不等式组①í
îx+3>0
ìx-1<0
或②í ．
îx+3<0
解不等式组①，得 ，解不等式组②，得 ．所以，不等式(x-1)(x+3)>0的解集是 ．
(2)已知函数y=(x+3)(x-1)(x+1)的大致图象如图所示，根据图象，可得不等式(x+3)(x-1)(x+1)£0的解集是 ．
【答案】(1)x>1，x<-3，x>1或x<-3
(2)x£-3或-1£x£1
【分析】本题考查了本题考查二次函数与不等式（组)，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式的
解集．
（1）解不等式组即可得到结论；
（2）根据函数图象可以直接写出不等式的解集．
ìx-1>0
【详解】（1）解：①í ，
îx+3>0
解第一个不等式得x>1，
解第二个不等式得x>-3，
则解不等式组①，得x>1，
ìx-1<0
②í ，
îx+3<0
解第一个不等式得x<1，
解第二个不等式得x<-3，
解不等式组②，得x<-3．
所以，不等式(x+3)(x-1)>0的解集是x>1或x<-3；
故答案为：x>1，x<-3，x>1或x<-3；
（2）解：由图象知，不等式(x+3)(x-1)(x+1)£0的解集是x£-3或-1£x£1，
故答案为：x£-3或-1£x£1．
24．已知二次函数y=x2-2a-1x+a+1．
(1)如果直线y=x+1经过二次函数y=x2-2a-1x+a+1图象的顶点P，求此时a的值；(2)随着a的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数解析
式；如果不是，请说明理由；
(3)将该二次函数以x=3为对称轴翻折后的图象过点a,b（a未知，b为常数），求原函数与y轴的交点纵坐
标．
【答案】(1)a=0或2；
(2)顶点P是在抛物线y=-x2 +x+2的图象上
9
(3)原函数与y轴的交点纵坐标为
2
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，把一般式化为顶点式，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是
解题的关键．
（1）先把y=x2-2a-1x+a+1化为y=éx-a-1ù 2 -a2+3a，则P a-1,-a2+3a ．再把P a+1,-a2-3a
ë û
代入y=x+1，进行计算即可作答；
（2）根据顶点P的坐标为 a-1,-a2+3a ，可设x=a-1，故y=-a-12 +a-1+2，得出y=-x2 +x+2，
据此即可作答；
（3）先根据原抛物线的顶点P的坐标为 a-1,-a2+3a ，且x=3为对称轴翻折后的图象过点a,b，所以
a-1+a
=3，据此求解即可．
2
【详解】（1）解： y=x2-2a-1x+1+a=éx-a-1ù 2 -a2+3a，
Q ë û
\点P a-1,-a2+3a ．
又
Q
点P在直线y=x+1的图象上，
\-a2+3a=a-1+1，
解得a=0或2；
（2）解：顶点P是在抛物线y=-x2 +x+2的图象上．理由如下：
Q
顶点P的坐标为 a-1,-a2+3a ，
可设x=a-1，
故y=-a2+3a=-a-12 +a-1+2，
\y=-x2+x+2，\二次函数图象的顶点P是在抛物线y=-x2 +x+2的图象上；
（3）解：
Q
原抛物线的顶点P的坐标为 a-1,-a2+3a ，
又 x=3为对称轴翻折后的图象过点a,b，
Q
a-1+a
\ =3，
2
7
解得a= ，
2
9
\原函数与y轴的交点纵坐标为a+1= ．
2
25．已知二次函数y=mx2-6mx+4（m为常数）
(1)下列结论：①当m>0时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线x=-3；③该函数
的图像一定经过0,4，6,4两点其中，正确结论的序号是___________．
(2)若点A-1,a，B3,b，C4,c在该函数图像上，当abc<0时，结合图像，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)①③
4 1 4
(2) 0时，图像开口向上，判断①；
根据y=mx-32 -9m+4 得对称轴是直线x=3，判断②； ③令x=0，则y=4， 0,4，6,4两点关
于对称轴对称，得函数的图像一定经过0,4，6,4两点，判断③；
（2）根据A-1,a与7,a对称，当m>0时，当x>3时，y随x增大而增大，得b0，解得m，或 当b3
时，y随x增大而减小，则a0，解得m，或当a0时，该函数的图像开口向上，
正确．
②∵y=mx2-6mx+4=mx-32 -9m+4
∴该函数的图像的对称轴是直线x=3，不正确．
③令x=0，则y=4，
∴函数的图像一定经过0,4，
∵0,4，6,4两点关于对称轴对称，
∴函数的图像一定经过0,4，6,4两点，
正确．
故答案为：①③．
（2）解：∵点A-1,a，B3,b，C4,c在函数y=mx-32 -9m+4图像上，
∴A-1,a的对称点为7,a，
若m>0，
∵当x>3时，y随x增大而增大，
∴b ，
9
c=m-9m+4>0，
1
∴m< ，
2
4 1
∴ 3时，y随x增大而减小，
∴a0，
1
∴m< ，
2
4
∴m<- ；
7
或当a ，
9
不合．
4 1 4
综上， 0）的图象，观察图象，用含a和k的式子
填写下表：
x h-m h-4 h-2 h h+1 h+3 h+m
y 16a+k k a+k（2）若点(s,t)在二次函数y=a(x-p)2+q（a，p，q为常数，a¹0）的图象上，则|a|= ．（用只含s，t，
p，q的式子表示）
【运用a的几何意义】
（3）图②是一抛物线形状的桥拱的截面图，桥拱内的水面AB的宽度为n，拱顶到水面的距离CD为
1 4
n2．梅雨季节，水面上升，桥拱内的水面宽度随之减小，当拱顶到水面的距离为 n2时，直接写出此时
5 45
桥拱内的水面的宽度．（用只含n的式子表示）
t- p 2
【答案】（1）m2a+k，4a+k，9a+k，m2a+k；（2） ；（3）水面的宽度为 n
s- p2 3
【分析】本题考查二次函数的应用，关键是求出二次函数解析式．
（1）分别把x=h-m，h-2，h+3，h+m代入y=a(x-h)2+k 求值即可；
（2）把(s,t)代入y=a(x-p)2+q求出a即可；
1 4 1
（3）建立适当坐标系，用待定系数法求出函数解析式，再把y= n2- n2 = n2代入解析式求出x即可．
5 45 9
【详解】解：（1） y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a>0)，
Q
\当x=h-m时，y=a(h-m-h)2+k=m2a+k；
当x=h-2时，y=a(h-2-h)2+k=4a+k；
当x=h+3时，y=a(h+3-h)2+k=9a+k；
当x=h+m时，y=a(h+m-h)2+k=m2a+k；
故答案为：m2a+k，4a+k，9a+k，m2a+k；
（2）
Q
点(s,t)在二次函数y=a(x-p)2+q(a，p，q为常数，a¹0)的图象上，
\t=a(s-p)2+q，
t- p
\a= ，
(s- p)2
t- p
\a = ，
(s- p)2|t-p|
故答案为： ；
(s-p)2
（3）以AB所在直线为x轴，以CD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图：
æ1 ö æ 1 ö
此时Bç n,0÷，Cç0, n2 ÷，
è2 ø è 5 ø
1
设拱桥所在抛物线的解析式为y=ax2+ n2，
5
1 1
把点B坐标代入解析式得： n2a+ n2 =0，
4 5
4
解得a=- ，
5
4 1
\抛物线的解析式为y=- x2+ n2，
5 5
4 1 4 1
当拱顶到水面的距离为 n2时，此时y= n2- n2 = n2，
45 5 45 9
4 1 1
即- x2+ n2 = n2，
5 5 9
1
解得x=± n，
3
2
\水面的宽度为 n．
3
押题解读
本考点为中考必考考点，主要会考查的应用题型有销售利润问题、动态几何问题、图形几何问题、含参
类型的应用等问题；一般都是在解答题中考查，选择题、填空题偶有出现，但难度不大；近几年南京的
中考数学题针对二次函数的应用考查分值不大，但题目都比较新颖，要注意对题目概念的理解。
27．如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，
他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面OB的竖直距离y（单
1
位：m）与他在水平方向上移动的距离x（单位：m）近似满足二次函数关系y=- x2+bx+c，已知
12
OA=70m，OC =60m，落点P到OC的水平距离是30m，到地面OB的竖直高度是37.5m．(1)求y与x的函数表达式；
(2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（秒）具备一
次函数关系，当他在起跳点腾空时，t = 0，x=0；当他在点P着陆时，飞行时间为5秒．
①求x与t的函数表达式；
②当运动员与着陆坡BC在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值．
1 17
【答案】(1)y=- x2+ x+70
12 12
13
(2)①x=6t；②t =
6
ìc=70,
ï
【分析】（1）将A0,70，P30,37.5代入，得í 1 ，计算求解即可；
- ´900+30b+c=37.5
ï
î 12
ìt=0 ìt =5 ìm=0
（2）①设x=kt+m，将í ，í 代入，得í ，计算求解，然后作答即可；
îx=0 îx=30 î5k+m=30
ìd =60
②设直线BC的解析式为y=nx+d，将0，60，30，37.5代入得，í ，计算求解可确定直线BC
î30n+d =37.5
3
的解析式为y=- x+60，设运动员飞行过程中的某一位置为M，如图，过M作MN ^x轴交BC于点N ，
4
æ 1 17 ö æ 3 ö 1 13 1 169
设Mçn,- n2+ n+70÷，则Nçn,- n+60÷，则MN =- n2+ n+10=- x-132 +10+ ，由
è 12 12 ø è 4 ø 12 6 12 12
1
- <0，可得当n=13时，MN最大，根据13=6t，计算求解即可．
12
1
【详解】（1）解：由题意可得y=- x2+bx+c过点A0,70，P30,37.5，
12
ìc=70
ï
将A0,70，P30,37.5代入，得í 1 ，
- ´900+30b+c=37.5
ï
î 12
ì 17
ïb=
解得í 12，
ï îc=70
1 17
∴ y与x的函数关系式为y=- x2+ x+70；
12 12（2）①解：设x=kt+m，
ìt=0 ìt =5 ìm=0
将í ，í 代入，得í ，
îx=0 îx=30 î5k+m=30
ìk =6
解得í ，
îm=0
∴x=6t；
②解：由题意得C0，60，P30，37.5，
设直线BC的解析式为y=nx+d，
ìd =60
将0，60，30，37.5代入得，í ，
î30n+d =37.5
ìd =60
ï
解得，í 3，
k =-
ï
î 4
3
∴直线BC的解析式为y=- x+60，
4
设运动员飞行过程中的某一位置为M ，如图，过M 作MN ^x轴交BC于点N ，
æ 1 17 ö æ 3 ö
设Mçx,- x2+ x+70÷，则Nçx,- x+60÷，
è 12 12 ø è 4 ø
∴MN =- 1 x2+ 17 x+70- æ ç- 3 x+60 ö ÷=- 1 x2+ 13 x+10=- 1 x-132+10+ 169 ，
12 12 è 4 ø 12 6 12 12
1
∵- <0，
12
∴当x=13时，MN最大，
∴13=6t，
13
解得t = ．
6
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式等知识．熟练
掌握二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式是解题的关键．28．进价为40元/件的衣服，加价对外销售，销售数量y（件）与售价x（元）之间的函数关系如图所示．
(1)售价为60元时，卖出多少件？求出y与x的函数关系式；
(2)设总利润为w（元），写出w与的x函数关系式；当售价x为多少元时，利润w最大，最大利润是多少？
【答案】(1)300，y=-10x+900
(2)w=x-40-10x+900（其中4040，
∴当销售单价为16时，该产品利润最大，最大利润是104万元，
答：当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104万元．
30．某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式：
方式一 若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地
少租出1亩．
方式二 每亩土地的年租金是600元．
(1)若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是_____元；
(2)当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？最大值是多少？
(3)农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元a>0给慈善机构；若选择方式二，
农场一次性捐款1800元给慈善机构，当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，
直接写出a的取值范围．
（注：年收入＝年总租金－捐款数）
【答案】(1)500
(2)30亩；4500元
(3)00
1
∴对称轴直线x=30- a<30
10
∵00
即：60a<1800解得，a<30，
∵a>0
∴a的取值范围为：016，
∴将抽取的30名学生成绩按照从小到大的顺序排列，排在第15和16名的成绩为84分，86分，
∴所抽取的学生成绩的中位数为84+86¸2=85（分）．
10
（3）解：360´ =120（人）．
30
∴估计成绩为A等级的人数约120人．
55．某学校七年级、八年级各有500名学生，为了解两个年级的学生对垃圾分类知识的掌握情况，学校从
七年级、八年级各随机抽取20名学生进行垃圾分类知识测试，满分100分，（成绩分为5组，A：
50£x<60；B：60£x<70；C：70£x<80；D：80£x<90；E：90£x£100）整理所得数据，绘制如下不完
整的统计图．分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数方差如表所示：
平均 中位 众
年级 方差
数 数 数
七年
76.9 a 86 119.89
级
八年
79.2 81 74 100.4
级
(1)补全八年级20名学生测试成绩频数分布直方图．
(2)七年级20名学生测试成绩的中位数在 组．
(3)请根据抽样调查数据，估计全校七、八年级垃圾分类知识测试成绩在80分及以上的大约有多少人．
(4)通过以上分析，你认为哪个年级学生对垃圾分类知识掌握得更好？请说明推断的理由（两条即可）．
【答案】(1)见解析；
(2)C
(3)450人；
(4)八年级学生对垃圾分类知识掌握得更好，理由见解析
【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布直方图，平均数、中位数、方差及其意义，利用样本估计总体，
根据题意找出所需数据是解题关键．
（1）先求出八年级D组人数，再补全频数分布直方图即可；
（2）先根据扇形统计图求出七年级各组别人数，再根据中位数的定义求解即可；
（3）用七、八年级的学生人数乘以成绩在80分及以上的学生人数的占比求解即可；
（4）根据平均数、中位数、方差的意义分析即可．【详解】（1）解：八年级D组人数为：20-1-4-5-4=6人，
补全频数分布直方图如下：
（2）解：由扇形统计图可知，七年级A组人数为：20´10%=2人；B组人数为：20´15%=3人；C组人
数为：20´35%=7人，
Q
七年级20名学生成绩的中位数为第10、11名学生成绩的中位数，
\七年级20名学生测试成绩的中位数在C组，
故答案为：C；
6+4
（3）解：500´15%+25%+500´ =450人，
20
答：估计全校七、八年级垃圾分类知识测试成绩在80分及以上的大约有450人；
（4）解：八年级学生对垃圾分类知识掌握得更好，
理由：①从平均数看，八年级样本数据的平均数高于七年级，说明八年级学生对垃圾分类知识掌握的整体
情况更好；
②从中位数看，八年级样本数据的中位数高于七年级，说明八年级学生中至少有一半以上的成绩高于81分，
而七年级学生中至少有一半的成绩低于80分；
③从方差看，八年级的样本数据的方差小于七年级，说明八年级学生对垃圾分类知识掌握的更稳定．
押题猜想十二 最值问题
限时：15min
56．如图，在
V
ABC中，ÐC =90°，ÐB=60°，AB=2，M、N 分别是BC、AB边上的动点，且CM =BN，
则线段MN的最小值为 ．1
【答案】 /0.5
2
【分析】本题考查了含30°角的直角三角形，二次函数最值问题，求出三角形三边和利用二次函数求最值是
æ 3 ö 2 æ 3 ö 2
解题的关键，过点N作ND^BC于点D，设CM =BN =x，根据勾股定理得出MN2 =ç
ç è 2
x÷
÷ ø
+ç
è
1-
2
x÷
ø
进而求出最小值．
【详解】解：过点N作ND^BC于点D，
ÐC =90°，ÐB=60°，AB=2，
Q
∴ÐA=ÐBND=30°
1
\BC = AB=1，
2
设CM =BN =x，
1 3
\BD= x，ND= x，
2 2
1 3
\MD=1-x- x=1- x，
2 2
MN2 =ND2+MD2，
Q
æ 3 ö 2 æ 3 ö 2 3 9 æ 1ö 2 1
\MN2 =ç ç è 2 x÷ ÷ ø +ç è 1- 2 x÷ ø = 4 x2+1-3x+ 4 x2 =3ç è x- 2 ÷ ø + 4 ，
1 1
∴当x= 时，MN2取得最小值 ，
2 4
1
\MN 的最小值为 ，
2
1
故答案为： ．
2
押题解读本考点为常考点之一，最值问题属于初中数学的一个难点，同时也是中考数学的常客，往往是在压轴题
进行考查；南京的中考数学对这一块的考查也比较频繁，基本上都是作为压轴题；解决此类问题的方法
是训练一下初中阶段考查的最值模型，比方说将军饮马问题、三点共线问题、隐圆问题等等，当然，也
可以从动点的轨迹问题来统一思考。
2
57．在矩形ABCD中，AB = 2,BC = 8，点P是平面内、直线CD右侧一点，且sinÐDPC = 5，线段BP的
5
最大值为 ．
293 5
【答案】 +
2 2
【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，点与圆上一点的位置关系，根据解直角三角形和勾股定
理求出PD,PC，确定点P在以 5为直径的
e
O的CD的右侧的一段优弧上，当点O、P、B在一条直线上时，
17
BP取最大值，如图，此时BP¢的长即为BP最大值，连接OC，过点O作OH ^PC于点H，求出BH = ，
2
293
再通过勾股定理求出OH =1，OB= ，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
2
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ÐDCP=90°，CD= AB=2，
当点P在BC的延长线上时，
2
∵sinÐDPC = 5，
5
DC 2 5 2 2 5
\ = ，即 = ，
PD 5 PD 5
解得：PD= 5
∵ÐDCP=90°，
2
\PC = PD2-CD2 = 5 -22 =1，
2
∵sinÐDPC = 5，
5
\ÐDPC是定值，
又 CD= AB=2=定值，
Q∴点P在以 5为直径的
e
O的CD的右侧的一段优弧上，
∴当点O、P、B在一条直线上时，BP取最大值，如图，此时BP¢的长即为BP最大值，
连接OC，过点O作OH ^PC于点H，
1 5
∵OC =OP=OP¢= PD= ,OH ^PC，
2 2
1 1
∴PH =CH = PC = ，
2 2
1 17
∴BH =BC+CH =8+ = ，
2 2
æ 5ö 2 æ1ö 2
在Rt V OHP中，OH = OP2-PH2 = ç ç ÷ ÷ -ç ÷ =1，
è
2
ø
è2ø
æ17ö 2 293
在Rt V OHP中，OB= BH2+OH2 = ç ÷ +12 = ，
è 2 ø 2
293 5
∴BP¢=OB+OP¢= + ，
2 2
293 5
∴线段BP的最大值为 + ，
2 2
293 5
故答案为： + ．
2 2
58．三角函数不仅在数学问题中经常出现，在实际生活运用中也常常用到……
【初步探究】小明由于疏忽，忘记了cos75°约等于多少，请你帮助小明画简图并计算cos75°（结果保留根
号）
【深层计算】小刚请你证明cos75°=cos30°cos45°-sin30°sin45°
【思考拓展】桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP=36cm，PA=18cm，AB=18cm桌面的高度为
60cm．在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大．
①画出此时AB所在位置的示意图；
②用两种方法求出CD的长度的最大值．【答案】证明过程见详解；①示意图见详解；②80cm
【分析】本题考查了相似三角形和三角函数的应用，正确写出比例式并进行换算，熟练掌握特殊的三角函
数值是解题的关键；
证明cos75°=cos30°cos45°-sin30°sin45°，把三角函数值代入求解即可；
①以A为圆心，AB长为半径画圆，当OQ与
e
A相切于H时，此时CD最大为CQ，
OP AG
②第一种方法先证明 GHA∽ GPO，再利用勾股定理求出AG=30，由 = ，即可求解；第二种方法
V V OR CQ
利用相似三角形，根据CQ=RD-RC即可求解；
【详解】解：初步探究：作ÐDAC=30°，ÐCAB=45°，作DE^AB，
设AD=1，
1 3
则CD= ，AC = ，
2 2
2 6
则AB= AC´ =
2 4
ÐCDF =60°-180°-75°-90°=45°，
2 2
BE=CF = CD= ，
2 4
6 2 6- 2
AE= AB-BE= - = ，
4 4 4
6- 2
cos75°=cosÐDAB=
4
深层计算：cos75°=cos30°cos45°-sin30°sin45°
3 2 1 2
= ´ - ´
2 2 2 26- 2
=
4
思考拓展：①以A为圆心，AB长为半径画圆，当OQ与
e
A相切于H时，此时CD最大为CQ，此时AB所
在位置为AH；
② ÐHGA=ÐPGO，ÐAHG=ÐOPG=90°，
Q
\ GHA∽ GPO，
V V
GA AH 18 1
\ = = = ，
GO OP 36 2
设GA=x，则GO=2x，
在Rt△OPG中，
OP2+PG2 =OG2，
\362+18+x2 =2x2，
\x2-12x-540=0，
\x =30，x =-18（舍去），
1 2
\AG=30，
OP AG
①由 = ，
OR CQ
36 30
\ = ，
36+60 CQ
\CQ=80，
② AB CD，
Q P
\ OPA∽ ORC，
V V
RC OR
= ，
PA OP
\ RC =48，
OPG∽ ORQ，
QV V
RQ OR
\ = ，
PG OP\RQ=128，
CQ=RD-RC =128-48=80
即CD的长度的最大值为80cm
59．如图，在Rt△ABC中，ÐACB=90°,AC =3,BC =4，点D，E分别在边BC,AC上，F为DE的中点，
若BD=CE，则CF的长的最小值为 ．
【答案】 2
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，二次函数求最值，熟练掌握知识点是解题的关键．
1
由直角三角形斜边上的中线的性质得到CF = DE，设BD=CE=x，则CD=4-x，则对Rt△CDE运用勾
2
股定理得DE2 =2x-22+8³8，即可求解．
【详解】解：设BD=CE=x，则CD=4-x，
∵ÐACB=90°，F为DE的中点，
1
∴CF = DE，DE2 =DC2+CE2，
2
∴DE2 =4-x2+x2 =2x2-8x+16=2x-22+8³8，
当x=2时，DE2取得最小值为8，
∴DE的最小值为2 2，
∴CF的最小值为 2，
故答案为： 2．
60．如图，在Rt△ABC中，ÐACB=90°，AC =3，BC =4．点M 沿线段CA从C向A运动，同时，点N
从B出发沿BC运动，且BN =2CM ，P是线段MN的中点，运动过程中，CP的最小值为 ．2 5
【答案】
5
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，由直角三角形的性质可得
1
CP= MN，可知当CP取最小值，则MN取最小值，设CM =x，则BN =2x，可得
2
MN2 =x2+4-2x2 =5 æ çx- 8ö ÷ 2 + 16 ，根据二次函数的性质解答即可求解，掌握直角三角形和二次函数的性
è 5ø 5
质是解题的关键．
【详解】解：∵ÐACB=90°，
∴ÐMCN =90°，
∵P是线段MN的中点，
1
∴CP= MN，
2
当CP取最小值，则MN取最小值，
设CM =x，则BN =2x，
∴MN2 =x2+4-2x2 =5x2-16x+16=5 æ çx- 8ö ÷ 2 + 16 ，
è 5ø 5
∵5>0，
8 16
∴当x= 时，MN2取最小值 ，
5 5
4 5
∴MN的最小值为 ，
5
1 4 5 2 5
∴CP的最小值为 ´ = ，
2 5 5
2 5
故答案为： ．
5
押题猜想十三 图形的平移、旋转、翻折问题
限时：15min
61．架桥通常会考虑多种因素，其中一个就是路线规划，确保桥两边A，B两地间的路程尽量短，以减少通
行时间和成本．(1)如图①，河l的宽度忽略不计，即桥的宽度忽略不计，请你在l上画出表示桥的位置的点P，使从A地
经过桥到B地的路程最短．
(2)如图②，河岸m和n之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间画出表示
桥的位置的线段CD，使桥与河岸垂直，并且从A地经过桥到B地的路程最短．
(3)如图③，河岸m和n，p和q之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间、
p和q之间分别画出表示桥的位置的线段CD和EF，使每座桥与相应的河岸垂直，并且从A地经过2座桥
到B地的路程最短．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，线段的性质：两点之间线段最短．
（1）连接AB交直线l于点P，点P即为所求；
（2）作AT ^直线m，使得AT =河宽，连接BT 交直线n于点C，作CD^直线m于点D，连接AD，线段
CD即为所求；
（3）作AT ^直线m，使得AT =河宽，BJ ^直线p，使得BJ =河宽，连接JT 交直线n于点C，交直线q
于点E，作CD^直线m于点D，作EF ^直线p于点F，连接AD，BF，线段CD，EF即为所求．
【详解】（1）解：如图①中，点P即为所求；
（2）解：如图②中，线段CD即为所求；
（3）解：如图③中，线段CD，EF即为所求．押题解读
本考点为常考点之一，图形的平移、旋转、翻折均属于小题中压轴题常考的题型，难度较大，多与几何
图形、函数等知识点一起综合考查；从近几年的南京中考卷来看，这一块的考查越来越灵活，需要考生
多加练习，加强辅助线添加的思维训练，这样可以有效帮助理解题意。
62．如图，在
V
ABC中，AB=3，AC =6，ÐBAC =120°，将
V
ABC沿AD折叠，使点B落在边AC上的B¢
处，则折痕AD的长为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了折叠的性质，解直角三角形，角平分线的性质，过点B作BH ^CA交CA延长线于
3 3
H，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为M、N，求出ÐBAH =60°，解直角三角形得到BH = ，
2
由折叠的性质和角平分线的性质得到DM =DN，则可根据等面积法求出DM 的长，再解Rt△ADM即可求
出答案．
【详解】解：如图所示，过点B作BH ^CA交CA延长线于H，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为
M、N，
∵ÐBAC =120°，
∴ÐBAH =180°-ÐBAC =60°，
3 3
∴BH = AB×sin∠BAH = ；
2
1
由折叠的性质可得ÐBAD=ÐCAD= ÐBAC =60°，
2
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM =DN，
∵S =S +S ，
VABC VABD VACD1 3 3 1 1
∴ ´6´ = ´3DM + ´6DN ，
2 2 2 2
9 3 3
∴ = DM +3DM ，
2 2
∴DM = 3，
DM 3
∴AD= = =2，
sin∠MAD sin60°
故答案为：2．
63．如图，
V
ABC和
V
ADE是有公共顶点的两个等腰直角三角形，ÐBAC =ÐDAE=90°，点P为射线BD
和射线CE的交点，若AB=2AD=4，将
V
ADE绕点A旋转，求旋转过程中线段PB的取值范围 ．
【答案】2 3-2£PB£2 3+2
【分析】利用特殊位置，当CE在OA下方与
e
A相切时，PB的值最小；当CE在OA上方与
e
A相切时，PB
的值最大，即可求解．
【详解】解：∵V ABC和
V
ADE是有公共顶点的两个等腰直角三角形，ÐBAC =ÐDAE=90°，
∴AD= AE,ÐBAD=ÐCAE,AB= AC，
∴V ABD≌ V ACESAS，
∴ÐADB=ÐAEC，BD=CE，
∵AB=2AD=4，
∴AB= AC =4,AD= AE=2，
如图，以A为圆心，AD为半径画圆，
当CE在OA下方与 A相切时，此时ÐBCE最小，ÐADB=ÐAEC =ÐDAE=90°，
e
∴四边形ADPE是矩形∴ÐDPE=90°，PD= AE=2，
∴△PBC是直角三角形，
∵斜边BC为定值，
∴ÐBCE最小时，PB最小，
∵AE^EC，
∴BD=EC = AC2-AE2 = 42-22 =2 3，
∴PB=BD-PD=2 3-2；
如图，以A为圆心，AD为半径画圆，
当CE在OA上方与 A相切时，此时ÐBCE最大，ÐADB=ÐADP=ÐAEC =ÐDAE=90°，
e
∴四边形ADPE是矩形，
∴ÐDPE=90°，PD= AE=2，
∴△PBC是直角三角形，
∵斜边BC为定值，
∴ÐBCE最大时，PB最大，
∵AE^EC，
∴BD=EC = AC2-AE2 = 42-22 =2 3，
∴PB=BD+PD=2 3+2；
综上所述，旋转过程中线段PB的取值范围为2 3-2£PB£2 3+2．
故答案为：2 3-2£PB£2 3+2．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和
性质，勾股定理等知识，利用特殊位置求出PB的最大值和最小值是解题的关键．
64．【问题提出】如图①，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四
边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．
(1)如图②，连接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°，因此可以将△DCB绕点D按顺时针方向 旋转60°，得
到△DAB¢，则△BDB¢的形状是 ；
(2)在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．
【类比应用】
(3)如图③，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝ 2，求四边形ABCD的
面积．
【答案】(1)等边三角形
9 3
(2)
4
5 3
(3) -1
2
【分析】（1）根据旋转的性质得出BD=DB¢，∠BDB¢=60°，所以△BDB′是等边三角形；
（2）根据旋转的性质知等边三角形的边长为3，过点B¢作B¢M⊥BD，利用等边三角形的性质及勾股定理得
出三角形的高，求出△BDB¢的面积即可；
（3）类比（1），连接BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D逆时针方向旋转60°，得到△DAB¢，连
接BB¢，延长BA，作B¢E⊥BE；易证△AFB¢是等腰直角三角形，△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理
计算AE=B¢E=1，BB¢= 10，求△ABB¢和△BDB¢的面积差即可．
【详解】（1）解：如图2，连接BD，由于AD=CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DA
B¢，
∵BD=B¢D，∠BDB¢=60°
∴△BDB¢是等边三角形，
故答案为：等边三角形；（2）由旋转的性质得：△BCD≌△B¢AD，
∴四边形ABCD的面积=等边△BDB¢的面积，
∵BC=AB¢=1
∴BB¢=AB+AB¢=2+1=3，
∴BB¢=BD=3，
过点B¢作B¢M⊥BD，如图2所示：
3
∴BM= ，
2
æ3ö 2 3 3
∴B¢M= 32-ç ÷ = ，
è2ø 2
1 3 3 9 3
∴S =S = ´3´ = ；
四边形ABCD VBDB¢
2 2 4
（3）如图3，连接BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D逆时针方向旋转60°，得到△DAB¢，
连接BB¢，延长BA，作B¢E⊥BE；
∴由旋转得△BCD≌△B¢AD
∴S =S ，
四边形ABCD 四边形BDBA¢
∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，
∴∠BCD+∠BAD=360°-∠ABC-∠ADC=225°，
∴∠B¢AD+∠BAD=∠BCD+∠BAD=225°，
∴∠BAB¢=360°-(∠B¢AD+∠BAD)=135°
∴∠B¢AE=45°，∴∆B¢AE为等腰直角三角形，
∵B¢A=BC= 2，
∴B¢E=AE=1，
∴BE=AB+AE=2+1=3，
∴BB¢= BE2 + BE¢ 2 = 10，
1
∴S = ´ AB´ BE¢ = 1，
VABB¢ 2
∵∠BDB¢=60°，BD=B¢D，
∴∆BDB¢为等边三角形，
30
同（2）中方法一致，得∆BDB¢得高为 ，
2
1 30 5 3
∴S = ´ 10 ´ = ，
VBDB¢ 2 2 2
5 3
∴S =S = S -S = - 1．
四边形ABCD
四边形BDBA¢ VBDB¢ VABB¢ 2
【点睛】题目主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，综合运用
这些知识点并作出相应图形是解题关键．
65．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察猜想】
DE
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，ED^CF，则
CF
的值为 ．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE^BD，则
CE
的值为 ；
BD
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，ÐA=ÐB=90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE×AB=CF×AD．
【拓展延伸】
1
（4）如图4，在Rt△ABD中，ÐBAD=90°，AD=9，tanÐADB= ，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C
3
DE
处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE^CF．求 的值．
CF
4 5
【答案】（1）1；（2） ；（3）见解析；（4）
7 3
【分析】（1）设DE，CF相交于点M，证明Rt
V
ADE≌Rt
V
DCFASA，利用全等三角形性质即可解题；
CE CD 4
（2）设BD与CE交于点G，利用矩形和垂直的性质证明 CDE∽ DAB，得到 = = ，即可解题；
V V
DB DA 7
（3）过点C作CH ^ AF交AF 的延长线于点H，得到四边形ABCH 为矩形，利用矩形和垂直的性质证明
△DEA∽△CFH ，利用相似三角形性质即可证明DE×AB=CF×AD；
（4）过点C作CG^ AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，证明 DEA∽ CGF ，得
V V
DE AD
到 = ，利用锐角三角函数得到AB=3，设AH =a，则DH =3a，利用勾股定理AH2+DH2 = AD2建
CF CG
27 9
立等式求出a的值，得到DH = 10，AC = 10，利用等面积法求得CG，即可解题．
10 5
【详解】（1）解：如图1，设DE，CF相交于点M，
DE^CF，
Q
\ÐCMD=90°，
\ÐDCM +ÐCDM =90°，
Q
四边形ABCD为正方形，
\ÐA=ÐCDF =90°，DA=CD，
\ÐADE+ÐCDM =90°，
\ÐADE=ÐDCM ，
即ÐADE=ÐDCF，
\Rt ADE≌Rt DCFASA，
V V\DE=CF，
DE
\ =1，
CF
故答案为：1；
（2）如图2，设BD与CE交于点G，
Q
四边形ABCD是矩形，
\ÐA=ÐEDC =90°，
CE^BD，
Q
\ÐDGC =90°，
\ÐCDG+ÐECD=90°，ÐADB+ÐCDG=90°，
\ÐECD=ÐBAD，
ÐA=ÐEDC=90°，
Q
\ CDE∽ DAB，
V V
CE CD 4
∴ = = ，
DB DA 7
CE 4
即 = ，
BD 7
4
故答案为： ；
7
（3）如图3，过点C作CH ^ AF交AF 的延长线于点H，
CG^EG，
Q
\ÐG=ÐH =ÐA=ÐB=90°，
\四边形ABCH 为矩形，
\AB=CH，ÐFCH +ÐCFH =ÐDFG+ÐFDG=90°，ÐDFG=ÐCFH ，
Q
\ÐFCH =ÐFDG=ÐADE，
\ DEA∽ CFH ，
V V
DE DA
\ = ，
CF CH
DE AD
\ = ，
CF AB
即DE×AB=CF×AD；
（4）如图4所示，过点C作CG^ AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，
CF ^DE，GC ^ AD，
Q
\ÐFCG+ÐCFG=ÐCFG+ÐADE=90°，
\ÐFCG=ÐADE，ÐBAD=ÐCGF =90°，
\ DEA∽ CGF ，
V V
DE AD
\ = ，
CF CG
1
在Rt ADH中，tanÐADH = ，
V
3
AH 1
\ = ，
DH 3
设AH =a，
则DH =3a，
AH2+DH2 = AD2，
Q
\a2+3a2 =92，
9
\a= 10（负值舍去），
10
9 27
\ AH = 10，DH = 10，
10 10
9
\ AC 2AH 10，
= =
51 1
S = AC×DH = AD×CG，
Q VADC 2 2
1 9 27 1
\ ´ 10´ 10 = ´9´CG，
2 5 10 2
27
\CG= ，
5
DE AD 9 5
= = =
\ CF CG 27 3．
5
【点睛】
本题考查全等三角形性质和判定，矩形的性质，相似三角形性质和判定，锐角三角函数，勾股定理，翻
折的性质，等面积法，解题的关键是作辅助线构造相似三角形．
押题猜想十四 新定义问题
限时：20min
66．如定义：对于一次函数y =ax+b、y =cx+d ，我们称函数y=max+b+ncx+dma+nc¹0为函数
1 2
y 、y 的“组合函数”．
1 2
(1)若m=3，n=1试判断函数y=5x+2是否为函数y =x+1，y =2x-1的“组合函数”，并说明理由：
1 2
(2)设函数y =x- p-2与y =-x+3p的图像相交于点P．
1 2
①若m+n>1，点P在函数y 、y 的“组合函数”图像的上方．求p的取值范围；
1 2
②若p¹1，函数y 、y 的“组合函数”图像经过点P，是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数
1 2
p．都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变？若存在．请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存
在．请说明理由．
【答案】(1)是；理由见解析
(2)①p<1 ②存在；m= 3 ，Q3，0
4
【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数与不等式的关系，一次函数与一元一次方程，正确
理解“组合函数”的定义是解本题的关键．
（1）把m=3，n=1代入组合函数中，化简后进行判断即可；
（2）①先求出点2p+1,p-1的坐标和“组合函数”y=m-nx+3pn-mp-2m，把x=2p+1代入“组合函数”，再根据题意，列不等式求解即可；②将点P代入“组合函数”，整理得m+n=1，把n=1-m代入“组合
函数”，消去n，把y=0代入解一元一次方程即可求解．
【详解】（1）解：y=5x+2是函数y =x+1，y =2x-1的“组合函数”，
1 2
理由：由函数y =x+1，y =2x-1的“组合函数”为：y=mx+1+n2x-1，
1 2
把m=3，n=1代入上式，得y=3x+1+2x-1=5x+2，
\函数y=5x+2是函数y =x+1，y =2x-1的“组合函数”；
1 2
ìy=x- p-2
（2）解：①解方程组í
îy=-x+3p
ìx=2p+1
得í ．
îy= p-1
Q
函数y
1
=x- p-2与y
2
=-x+3p的图像相交于点P，
\点P的坐标为2p+1,p-1，
∴ y 、y 的“组合函数”为y=mx- p-2+n-x+3p，
1 2
\y=m-nx+3pn-mp-2m，
Q
m+n>1，点P在函数y
1
、y
2
的“组合函数”图像的上方．
\p-1>m-n2p+1+3pn-mp-2m，整理，得p-1>m+np-1，
\p-1<0，
解得：p<1，
\p的取值范围为p<1；
②存在，理由如下：
Q
函数y
1
、y
2
的“组合函数”图像经过点P．
\将点P坐标2p+1,p-1代入"组合函数"y=m-nx+3pn-mp-2m，得
p-1=m-n2p+1+3pn-mp-2m，
\p-1=m+np-1，
p¹1，
Q
\m+n=1，n=1-m．将n=1-m代入y=m-nx+3pn-mp-2m=2m-1x+3p-4pm-2m，
把y=0代入y=2m-1x+3p-4pm-2m，得2m-1x+3p-4pm-2m=0
p-3+4m+2m
解得：x= ，
2m-1
3
设-3+4m=0，则m= ，
4
3
2´
4
\x= =3
3
2´ -1
4
\Q3，0．
\对于不等于1的任意实数p，存在“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变．
押题解读
本考点为常考点之一，新定义问题属于课本知识的延伸或者拓展，基本上都会有挂钩的知识点，所以在
理解新定义问题时首先要明确考查的是课本那一块的内容，再具体分析；新定义问题可难可简单，一般
三种题型里均会考查。
67．三角尺是几何学习中常用的学具．
【重温旧知】
(1)图①～③是课本上三角尺的3种摆放方式．借助图①中的Ða和Ðb，课本定义了一种两个角的关系，
这种关系叫做______；图②中，ÐDBC的度数是______°，三角尺DEF 的直角边DF和三角尺ABC的直角
边AC之间的数量关系是______；图③中确认弦MN是圆的直径的定理是______．
【探索研究】
(2)如图④，将图②中的一副三角尺ABC和DEF 叠放在一起，使得点D，F分别在AC，BC边上，我们在同一平面内研究下面两个问题．
CF
①当DF∥AB时，求 的值；
CB
②若AB的长为a，直接写出顶点C和E的距离的最大值（用含a的代数式表示）．
【答案】(1)互补，75， 3DF = 2AC，直径所对的圆周角为直角
3 3+ 39
(2)① ；② a
3 6
【分析】（1）根据互补的定义，即可得出Ða和Ðb的关系；根据三角板中各个角的度数，即可求出
ÐDBC；根据EF = AB，即可得出DF和AC之间的数量关系；根据直径所对的圆周角为直角，即可得出
弦MN是圆的直径；
（2）①证明△CDF∽△CAB，即可根据相似三角形对应边成比例得出结论；②连接点C和DF中点M，
连接点E和DF中点M，在△CME中，CE
