2025《中考数学•终极押题猜想》南京(解析版)_初中资料合集_2025中考数学《终极押题猜想》全国13地方版_2025《中考数学•终极押题猜想》南京

2025 年中考数学终极押题猜想（江苏南京专用）
（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）
押题猜想一 方程与代数综合........................................................................................................1
押题猜想二 三角形、四边形问题综合........................................................................................9
押题猜想三 函数中获取信息类问题..........................................................................................22
押题猜想四 一次函数、反比例函数与几何综合......................................................................39
押题猜想五 二次函数的图象与性质..........................................................................................76
押题猜想六 二次函数的应用......................................................................................................88
押题猜想七 锐角三角函数的实际应用......................................................................................97
押题猜想八 相似三角形的综合..................................................................................................97
押题猜想九 圆...............................................................................................................................97
押题猜想十 尺规作图与几何......................................................................................................97
押题猜想十一 统计与概率..........................................................................................................97
押题猜想十二 最值问题..............................................................................................................97
押题猜想十三 图形的平移、旋转、翻折问题..........................................................................97
押题猜想十四 新定义问题..........................................................................................................97
押题猜想十五 规律探究与材料阅读型问题............................................................................110
押题猜想一 方程与代数综合
限时：5min
ìx-2>0①
ï
1．解不等式组í-6x<12② 并写出整数解．
ï 10-3x-2³x③
î
请结合题意，完成本题的解答．
解：解不等式①，得 ，依据是： ．
解不等式②，得x>-2，解不等式③，得 ．
将不等式①②和③的解集在数轴上表示出来．
所以不等式组的解集为 ，整数解为 ．
【答案】见解析
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，不等式组的整数解的应用，能根据找不
等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．
【详解】解：解不等式①，得x>2，依据是：不等式的基本性质1．
解不等式②，得x>-2，
解不等式③，得x£4．
将不等式①②和③的解集在数轴上表示出来．
所以不等式组的解集为2<x£4，整数解为3和4．
故答案为：x>2，不等式的基本性质1，x£4，2<x£4，3和4．
押题解读
本考点为必考考点，是中考数学中较为基础的内容，在选择题、填空题和解答题中均有出现；主要考查
学生的计算能力和计算速度；对于南京的中考学生来说，加强实数、方程和不等式的计算练习尤其重要，
特别是乘法公式、一元二次方程的计算、配方法以及含参问题的计算等，都是必须要勤加练习。
2．若代数式M =-2a2+4a+1，N =-3a2+4a，则M和N的大小关系是（ ）
A．M <N B．M =N C．M >N D．与a的值有关
【答案】C
【分析】此题考查了整式的加减，以及非负数的性质，把M与N代入M -N中计算，判断差的正负即可得
到结果．
【详解】解：∵M =-2a2+4a+1，N =-3a2+4a，
∴M -N=-2a2+4a+1-  -3a2+4a 
=-2a2+4a+1+3a2-4a
=a2+1，
∵a2+1>0，
∴M -N >0，
∴M >N ．
故选：C．
æ 1 ö x2-4x+4
3．化简：ç1- ÷¸
è x-1ø x2-1
x+1
【答案】
x-2
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先计算括号内的，
再计算除法，即可求解．
æ 1 ö x2-4x+4
【详解】解：ç1- ÷¸
è x-1ø x2-1
x-1-1 x+1x-1
= ´
x-1 x-22
x-2 x+1x-1
= ´
x-1 x-22
x+1
= ．
x-2
1 1
4．（1）已知ab=1，计算 + 的值；
1+a 1+b
1 1
（2）已知 + =1，证明ab=1；
1+a 1+b
1 1
（3）已知mn=20252025，且 + =1，则2025x+y =______．
1+2025xm 1+2025y-2024n
1
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）
2025
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分．
（1）先把所求分式进行通分，然后把ab=1代入化简后的式子进行计算即可；
（2）把已知条件中的等式的左边进行通分，然后得到分子和分母相等，从而证明即可；
1 1
（3）先把 + =1 的左边进行通分，然后得到分子和分母相等，再把mn=20252025，
1+2025xm 1+2025y-2024n代入化简后的等式，从而得到关于x+y，再代入所求代数式进行计算即可．
【详解】（1）解： ab=1，
Q
1 1
\ +
1+a 1+b
1+b 1+a
= +
1+a1+b 1+a1+b
a+b+2
=
1+a1+b
a+b+2
=
1+a+b+ab
a+b+2
=
a+b+2
=1；
1 1
（2）证明：
Q
+ =1，
1+a 1+b
1+b 1+a
\ + =1，
1+a1+b 1+a1+b
a+b+2
=1，
1+a1+b
a+b+2
=1，
1+a+b+ab
\a+b+2=1+a+b+ab，
\ab=1；
1 1
（3）解： + =1，
1+2025xm 1+2025y-2024n
1+2025y-2024n 1+2025xm
+ =1，
 1+2025xm  1+2025y-2024n   1+2025xm  1+2025y-2025n 
2+2025xm+2025y-2024n
=1，
 1+2025xm  1+2025y-2025n 
2+2025xm+2025y-2024n
=1，
1+2025xm+2025y-2024n+2025x+y-2024mn
\2+2025xm+2025y-2024n=1+2025xm+2025y-2024+2025x+y-2024mn，
\2025x+y-2024mn=1
mn=20252025，
Q\2025x+y-2024×20252025 =1，
2025x+y-2024+2025 =1，
2025x+y+1 =1，
\x+y+1=0，
x+y=-1，
1
\2025x+y =2025-1 = ，
2025
1
故答案为： ．
2025
5．代数式A=mx+2，代数式B=2m+1．
(1)当m=3时，若A<B，则x的取值范围是_________；
(2)若m<0，x<2，判断代数式A与B的大小，并说明理由；
(3)将“A与B的差”记为C，即C = A-B．当-3≤ x≤ 3时，要使C的值满足-3£C£3，直接写出m的取值范
围．
5
【答案】(1)x<
3
(2)A>B
2 4
(3)- £m£
5 5
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一次函数的性质，整式的加减计算，
利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）根据题意可得不等式3x+2<2´3+1，解不等式即可得到答案；
（2）利用作差法得到A-B=x-2m+1，再由题意可证明x-2m>0，据此可得结论；
（3）先求出C = A-B=mx+1-2m，当m=0时，C=1，满足题意；当m¹0时，C是x的一次函数，据此
讨论m的值利用一次函数的增减性列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：∵当m=3时，A<B，A=mx+2，B=2m+1，
∴3x+2<2´3+1，
5
解得x< ；
3
（2）解：A>B，理由如下：
∵A=mx+2，B=2m+1，
∴A-B=mx+2-2m+1
=x-2m+1，
∵x<2，
∴x-2<0，
∵m<0，
∴
x-2m>0，
∴A-B=x-2m+1>0，
∴A>B；
（3）解：A=mx+2，B=2m+1，
∴A-B
=mx+2-2m+1
=mx+1-2m，
∴C = A-B=mx+1-2m
当m=0时，C=1，满足题意；
当m>0时，则C的值随x增大而增大，
∵当-3≤ x≤ 3时，C的值满足-3£C£3，
ì-3£-3m+1-2m£3
∴í ，
î-3£3m+1-2m£3
4
解得0<m£ ；
5
当m<0时，则C的值随x增大而减小，
∵当-3≤ x≤ 3时，C的值满足-3£C£3，
ì-3£-3m+1-2m£3
∴í ，
î-3£3m+1-2m£3
2
解得- £m<0；
5
2 4
综上所述，- £m£ ．
5 5押题猜想二 三角形、四边形问题综合
限时：10min
6．如图，在
Y
ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE=CF，连接BE，DF．
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
(2)已知AB=2，AD=4，ÐABC =60°，当AE的长为 时，四边形EBFD是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)1.2
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，添加适当的辅助
线构造直角三角形是解题的关键．
（1）利用平行四边形的性质和等式的性质得到DE=BF ，再利用一组对边互相平行且相等的四边形是平行
四边形的判定定理解答即可；
（2）过点B作BH ^DA，交DA的延长线于点H，利用平行四边形的性质，直角三角形的边角关系定理求
得BH ，AH，设AE的长为x，则DE = AD-AE =4-x，利用勾股定理和菱形的性质解答即可得出结论．
【详解】（1）证明：
Q
四边形ABCD是平行四边形，
\AD∥BC，AD=BC，
\ED∥BF．
又∵AE=CF，
\ED=BF，
\四边形EBFD是平行四边形．
（2）解：过点B作BH ^DA，交DA的延长线于点H，如图，
设AE的长为x，则DE = AD-AE =4-x，∵AD∥BC，
∴ÐHAB=ÐABC =60°，
∵BH ^DA，
3  2
∴BH = AB×sin60°=2´ = 3，HA= 22- 3 =1，
2
∴HE=HA+AE=x+1，
∴BE2 =BH2+HE2 =3+x+12，
∵四边形EBFD是菱形，
∴BE=DE，
∴BE2 =DE2，
∴3+x+12 =4-x2，
∴x=1.2．
∴当AE的长为1.2时，四边形EBFD是菱形．
故答案为：1.2．
押题解读
三角形、四边形相关的知识是中考数学必考点，尤其是全等三角形、等腰三角形、等边三角形、平行四
边形和特殊的平行四边形的判定与性质，考查的都是学生对基础知识的理解和运用，常在选择题、填空
题、解答题中出现；较为基础的考法就是求角度、边长或面积等，难题中会考查最值问题或者与函数的
知识点一起考查；解决此类问题的关键在于基础知识的掌握，另外要训练最值问题的做题方法和函数题
型的做题技巧；
7．将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是
（ ）A．2:1 B．5:2 C． 2:1 D． 5: 2
【答案】A
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，面积，正方形的性质，根据题意可得， V ABC， V DEF
2
是等腰直角三角形，BD=CD，设AB=a，则DE= a，然后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的
2
关键．
【详解】解：如图，根据题意可得， V ABC， V DEF 是等腰直角三角形，BD=CD，点B到GH距离与点E
到BG距离相等，则GE=BG，
∴四边形BDEG是菱形，
∴BD=GE=GB=DE，
设AB=a，
∴根据勾股定理得，BC = 2a，
1 2
∴GE=BD= BC = a，
2 2
2
∴DE= a，
2
1 1
AB2 a2
S 2 2
∴ S V V D AB E C F = 1 DE2 = 1 ´ æ ç 2ö ÷a2 =2 ，
2
2 2
è ø
∴较大的和较小的面积的比是2:1，
故选：A．8．如图，在 ABCD中，点E是边CD的中点，延长BC，AE交于点F，连接AC，DF．
Y
(1)求证：AC=DF；
(2)若AB= AF ，求证：四边形ACFD为矩形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形
的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明
V
AED≌
V
FECASA，得AE=FE，再证明四边形ACFD是平行四边形，然后由平行四边形的性
质即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AB=CD，再证明CD= AF，然后由矩形的判定即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
\AD∥BC，
\ÐADE=ÐFCE，
∵点D为CD的中点，
\DE =CE，
在△AED和 FEC中，
V
ìÐADE=ÐFCE
ï
íDE=CE ，
ï
îÐAED=ÐFEC
\ AED≌ FECASA，
V V
\AE=FE，
又 DE=CE，
Q
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴ AC =DF；
（2）由（1）可知，四边形ACFD是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，
\AB=CD，
AB= AF，
Q
\CD= AF，
∴平行四边形ACFD为矩形．
9．如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC、EG，取AC、EG的中点M、N，
连接MN，若AB=4，BC =3，则MN =（ ）
5 2 5 3
A． B． C．5 2 D．5 3
2 2
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质
解决问题是解题的关键．
连接BD，BF，DF，由矩形的性质可得点M 是BD的中点，点N 是BF的中点，由三角形中位线定理可得
1
MN = DF，由旋转的性质可得DB=BF =5，ÐDBF =90°，即可求解．
2
【详解】解：如图，连接BD，BF，DF，
∵四边形ABCD，四边形BEFG都是矩形，M、N是AC、EG的中点，
∴点M 是BD的中点，点N 是BF的中点，
1
∴MN = DF，
2
∵AB=4，BC =3，
∴AC = AB2+BC2 = 16+9 =5，
∴AC =BD=5，∵将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，
∴DB=BF =5，ÐDBF =90°，
∴DF = 2BD=5 2，
5 2
∴MN = ，
2
故选：A．
10．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=m(m>1)，点E是AD边上一定点，且AE=1，在线段AB上找一
点F，使△AEF 与
V
BCF相似．若这样的点F恰好有两个，则m的值为 ．
【答案】3或4
【分析】本题考查作图—相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，根据题意画出图形，交点个数分
类讨论即可解决问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【详解】解：如图，延长DA，作点E关于AB的对称点E¢，连接CE¢，交AB于点F ，连接EF、CE，以CE
1 1
为直径作圆O交AB于点F 、F ，
2 3
由矩形的性质可得AD∥BC，
∴V BCF 1 ∽ V AE¢F 1 ，
由轴对称的性质可得： AEF≌ AE¢F，
V 1 V 1
∴V BCF 1 ∽ V AEF 1 ，
当m=4时，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC =4，CD= AB=4，ÐADC =90°，∴DE= AD-AE=3，
∴CE = CD2+DE2 =5，即图中圆的直径为5，
作OG^CD于G，则OG∥AD，
∴ CGO∽ CDE，
V V
CO OG
∴ = ，
CE DE
∴OG=1.5，
∴此时图中所作圆的圆心到AB的距离为4-1.5=2.5，等于所作圆的半径，F 和F 重合，
2 3
AE 1 AF F  2
此时， = = 2 3 = ，
BF F  2 BC 4
2 3
∴V AF 2 E∽ V BCF 2 ，
即当m=4时，符合条件的F有2个，为F ，F F ；
1 2 3
当m>4时，图中所作圆和AB相离，此时F 和F 不存在了，即此时符合条件的F只有1个，为F ，
2 3 1
当m=3时，
当ÐAEF=ÐBFC时，
AE AF 1 AF
要使△AEF∽△BFC，需 = ，即 = ，
BF BC 4-AF 3
解得AF =1或3，
当ÐAEF=ÐBCF时，
AE AF 1 AF
要使 AEF∽ BCF，需 = ，即 = ，
V V
BC BF 3 4-AF
解得AF =1，即当m=3时，符合条件的F有2个；
当1<m<4且m¹3时，由所作图形可知，符合条件的F有3个，
综上所述：当1<m<4且m¹3时，有3个，当m=3时，有2个，当m=4时，有2个，当m>4时，有1个，
故答案为：3或4．押题猜想三 函数中获取信息类问题
限时：10min
11．某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电
阻R Ω（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数U 换算为人的质量mkg，已知U 随着R
1 0 0 1
的变化而变化（如图2），R与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法不正确的是（ ）．
1
A．在一定范围内，U 越大，R越小
0 1
B．当U =3V时，R的阻值为50W
0 1
C．当踏板上人的质量为90kg时，U =2V
0
D．若电压表量程为0~6V0£U £6，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg
0
【答案】C
【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图
象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为90kg和U =2V时的阻值，可判断C
0
选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项．
【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，U 越大，R越小，原说法正确，不符合题意；
0 1
B、由图2可知，当U =3V时，R的阻值为50W，原说法正确，不符合题意；
0 1
C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为90kg时，R =-2´90+240=60W，由图2可知，U =2V时，
1 0
R =90W，原说法错误，符合题意；
1D、当电压表量程为0~6V0£U £6时，由图2可知，当U =6V，R阻值最小为10W，
0 0 1
由R =-2m+240可知，R随着m的增大而减小，则当R =10Ω时，m有最大值，
1 1 1
10=-2m+240，解得：m=115，即该电子体重秤可称的最大质量是115kg，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
押题解读
本考点是中考常考考点，主要考查学生对函数概念的理解，尤其是动点问题的函数图象，需要从函数图
象中得到信息，从而求出要求的量；此类题型一般在解答题中出现频率高，填空题偶有考查；解决此类
问题最主要还是要理解图象中的“拐点”，将其与具体情形相联系，就可以明白“拐点”的实际意义。
12．如图，
e
A的直径BC =6，D为半圆BC的中点，P点从D出发，沿D-A-C的路径移动，移动到C
p
点停止，Q点从B出发，沿
e
A下半圆的路径移动，移动到C点停止，Q的速度是P速度的 倍，PQ的长
2
度变化的函数图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】Bp
【分析】设点P的运动速度为1，则点Q的运动速度为 ，运用特殊值，几何排除法求解即可．
2
p
【详解】解：设点P的运动速度为1，则点Q的运动速度为 ，
2
p
如图，当x=1时，则AP= AD-1=2，BQ的长为 ，
2
连接AQ，作QE^AB于点E，作QF ^ AD，交DA的延长线于点E，则四边形AFQE是矩形，
∴AE=QF,AF =QE．
ÐBAQ×p´3 p
∵ = ，
180 2
∴ÐBAQ=30°，
1 3 æ3ö 2 3 3
∴AF =QE= AQ= ， AE=QF = 32-ç ÷ = ，
2 2 è2ø 2
3 7
∴PF =2+ = ，
2 2
æ7ö 2 æ3 3ö 2
∴PQ= ç ÷ +ç ç ÷ ÷ = 19 »4.36，故C，D不符合题意；
è2ø
è
2
ø
如图，当x=4时，则AP=4-AD=1，BQ的长为2p，
连接AQ，作QE^ AC于点E，作QF ^ AD，交DA的延长线于点F，则四边形AFQE是矩形，
∴AE=QF,AF =QE．
ÐBAQ×p´3 p
∵ =4´ ，
180 2
∴ÐBAQ=120°，
∴ÐFAQ=120°-90°=30°，∵AF∥EQ，
∴ÐAQE=ÐFAQ=30°，
1 3 æ3ö 2 3 3
∴AE= AQ= ， EQ= 32-ç ÷ = ，
2 2 è2ø 2
3 1
∴PE= -1= ，
2 2
æ1ö 2 æ3 3ö 2
∴PQ= ç ÷ +ç ç ÷ ÷ = 7 »2.64；
è2ø
è
2
ø
而A选项中，x=4时，y=2，且当3<x<6时，图象为一条线段，而当3<x<6时，y随x不是均匀变化，
故A不符合题意，B符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，弧长公式，解直角三角形，特殊值法的运用是解答本题的关键．
13．快、慢两车从甲地出发，沿同一条直路匀速行驶，前往乙地．设快车出发第xh时，快、慢两车离甲地
的距离分别为ykm，y km，当x=3时，慢车到达乙地．y ,y 与x之间的函数关系如图所示．
1 2 1 2
(1)甲、乙两地相距 km，快车比慢车晚出发 h．
(2)快车与慢车相遇时，两车距离甲地多远？
(3)若第三辆车的速度是快车的速度的1.5倍，沿同一条直路从乙地匀速前往甲地，当慢车到达乙地时，该
车恰好到达甲地．请在图中画出该车离甲地的距离y km与x 之间的函数图像．
3
【答案】(1)160，1
(2)80km
(3)见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
（1）由图可知甲、乙两地相距160km；根据路程¸时间=速度，求出慢车的速度为40km/h，可知快车出发
时，慢车行驶的时间为40¸40=1h，故快车比慢车晚出发1h；
（2）由图可知，快车出发1小时追上慢车，此时慢车已行驶2h，即可得快车与慢车相遇时，两车距离甲地80km；
4 5
（3）求出第三辆车的速度是1.5´80=120km/h；可得第三辆车从乙地到甲地所需时间为 h，故当x=
3 3
æ5 ö
时，第 三辆车从乙地出发，即y km与x之间的函数图象过ç ,160÷和3,0，即可画出函数图象．
3 è3 ø
【详解】（1）解：由图可知，甲、乙两地相距160km；
160-40
慢车的速度为 =40km/h，
3
由0,40可知，快车出发时，
慢车行驶的时间为40¸40=1h，
∴快车比慢车晚出发1h；
故答案为：160，1；
（2）解：由图可知，快车出发1小时追上慢车，此时慢车已行驶2h，
∵2´40=80km，
∴快车与慢车相遇时，两车距离甲地80km；
（3）解：由（2）知，快车速度为80¸1=80km/h，
∴第三辆车的速度是1.5´80=120km/h；
4
∴第三辆车从乙地到甲地所需时间为160¸120= h，
3
4 5
∵3- = ，
3 3
5
∴当x= 时，第三辆车从乙地出发，
3
æ5 ö
即y km与x之间的函数图象过ç ,160÷和3,0，
3 è3 ø
画出图象如下：
14．甲、乙两人沿同一直道从A处跑步到B处，图①、②分别表示甲跑步的路程y（单位：m），甲乙两人之间的距离s（单位：m）与甲出发的时间x（单位：min）的函数关系，若乙先出发2min．
(1)甲的跑步速度是______m/min，乙的跑步速度是______m/min；
(2)求甲到达B处所用的时间；
(3)直接写出甲、乙两人之间的距离不超过100m的总时间．
【答案】(1)150，100
(2)甲从A处到达B处用了16min
(3)6min．
【分析】（1）根据图①甲的跑步速度是150m/min，设乙的跑步速度是am/min，根据图②得4秒时，
两人间距离是0即甲追上了乙，由此得方程150´4=2x+4x，解方程即可；
（2）根据图②从第一次追上到目的地，乙行驶了22-4=18min，乙独立行驶全程共用时
2+4+18=24min，计算全程长再除以甲的速度即可得解．
（3）分乙出发甲没出发，都出发追上前与追上后，以及甲到乙没到这几种情况结合图形分别求解即可．
本题考查了函数图象信息题，待定系数法，熟练掌握图象信息的搜集与处理是解题的关键．
300
【详解】（1）根据图①甲的跑步速度是 =150m/min，
2
设乙的跑步速度是am/min，根据图②得4秒时，两人间距离是0即甲追上了乙，
由此得150´4=2a+4a，
解得a=100，
故乙的跑步速度是100m/min，
故答案为：150，100．
（2）根据图②从第一次追上到目的地，乙行驶了22-4=18min，乙独立行驶全程共用时
2+4+18=24min，
故全程长24´100=2400m，
2400
甲行驶全程用时间为： =16min．
150
（3）乙先行1min，乙在甲前面100m，根据图②得到，乙2min行驶了2´100=200m，
设解析式为s=kx+200，确定解析式为s=-50x+200，得到100=-50x+200，解得x=2min；
根据甲16min走完全程，得甲追上乙以后，再行驶12min两人距离最大，最大为12150-100=600m，
ì4m+b=0
设此段的解析式为s=mx+b，结合题意，得í ，
î16m+b=600
ìm=50
得í ，
îb=-200
故s=50x-200，
当s=50x-200=100，
解得x=6min；
此时，持续时间为6-4=2min
乙最后行驶1min，乙在甲后面100m，
故总时间为：1+2+2+1=6min．
15．有一个现有水量为15m3的蓄水池，分别有一个进水管和出水管，单位时间内进水量和出水量都是一定
的．若只打开进水管，水量与时间t（h）之间的关系如图1中y ，若只打开出水管，水量与时间t（h）
1
之间的关系如图1中y ．
2
(1)进水管每小时的进水量为______m3，出水管每小时的出水量为______m3．
(2)若前4个小时，水池只进水不出水，接下来的4个小时既进水又出水，再接下来的2个小时只出水不进
水．
①请在图2中画出蓄水量y与时间之间的函数图像．②当水池的蓄水量不小于38m3时，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)5，3
11 29
(2)①见详解；② h£t£ h
2 3
【分析】本题主要考查了一次函数图像、一次函数的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问
题．
（1）结合图像计算进水管每小时的进水量和出水管每小时的出水量即可；
（2）①分别计算出4h、8h和10h时的蓄水量，然后绘制函数图像即可；②分别求得直线BC和CD的解
析式，结合题意，即可获得答案．
【详解】（1）解：根据图1，可知进水管每小时的进水量为：(25-15)¸2=5 m3，
出水管每小时的出水量为：15¸5=3m3．
故答案为：5，3；
（2）①前4个小时，水池只进水不出水，结束时蓄水量为15+5´4=35 m3，
接下来的4个小时既进水又出水，结束时蓄水量为35+(5-3)´4=43m3，
再接下来的2个小时只出水不进水，结束时蓄水量为43-3´2=37 m3，
所以，可画出蓄水量y与时间之间的函数图像，如下图所示；
②结合函数图像，可设直线BC解析式为y=kt+b(k ¹0)，
1 1 1
将点B(4,35)、C(8,43)代入，
ì35=4k +b ìk =2
可得í 1 1，解得í 1 ，
î43=8k +b îb =27
1 1 1
所以，直线BC解析式为y=2t+27，11
令y=38，可得2t+27=38，解得t = h；
2
设直线CD解析式为y=k t+b (k ¹0)，
2 2 2
将点C(8,43)、D(10,37)代入，
ì37=10k +b ìk =-3
可得í 2 2 ，解得í 2 ，
î43=8k +b îb =67
2 2 2
所以，直线CD解析式为y=-3t+67，
29
令y=38，可得-3t+67=38，解得t= h．
3
11 29
所以，当水池的蓄水量不小于38m3时，t的取值范围为 h£t£ h．
2 3
押题猜想四 一次函数、反比例函数与几何综合
限时：12min
16．如图，某药剂在空气中的浓度y（mg/m3）与时间xmin之间先满足正比例函数的关系，再满足反比
2
例函数的关系，且当x=12时，y有最大值，最大值为a．则当y= a时，x的值是 ．
3
【答案】8或18
2
【分析】先利用待定系数法求出正比例函数和反比例函数的表达式，然后将y= a分别代入两个表达式中，
3
即可求出x的值．
本题主要考查了利用待定系数法求正比例函数和反比例函数的表达式，以及已知因变量的值求相应的自变
量的值，熟练掌握待定系数法及数形结合法是解题的关键．
【详解】解：设x<12时，正比例函数的表达式为y=kx，
1
则a =12k ，
1
a
解得k = ，
1 12a
∴正比例函数的表达式为y= x．
12
k
设x>12时，反比例函数的表达式为y= 2 ，
x
k
则a= 2 ，
12
解得k =12a，
2
12a
∴反比例函数的表达式为y= ．
x
2 a
当x<12时，把y= a代入y= x得，
3 12
a 2
x= a，
12 3
解得x=8．
2 12a
当x>12时，把y= a代入y= 得，
3 x
12a 2
= a，
x 3
解得x=18．
2
综上，当y= a时，x的值是8 或18．
3
故答案为：8或18．
押题解读
本考点为中考的必考考点，涉及到一次函数、反比例函数的图象与性质、一次函数的平移、一次函数与
方程、不等式的关系、一次函数与反比例函数的应用、一次函数与反比例函数的关系等，选择或者填空
题会考查较为基础的内容，解答题的中等难度题也会考查；作为考生，我们要多练一下近几年的南京中
考数学题，养成解决此类问题的思维。
17．将一次函数y
=
x
+
3的图象绕其与x轴的交点顺时针旋转75°，得到的图象对应的函数表达式是 ．
3
【答案】y=- x- 3
3
【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法确定一次函数解析式，利用直线与两坐标
轴的交点坐标，求得旋转后的对应点坐标，然后根据待定系数法即可求得，掌握旋转的性质是解本题的关
键．【详解】解：在一次函数y x 3中，
= +
令y=0，则可得0=x+3，解得x=-3，
令x=0，则y=3，
\直线y x 3经过点(-3,0)，(0,3)．
= +
将一次函数y
=
x
+
3的图象绕与x轴的交点(-3,0)顺时针旋转75°，如图所示：
OC =OB.ÐBOC =90°，
Q
\ÐCBO=45°，
\ÐOBA=75°-45°=30°，
OB=3，
Q
OA
\ =tan30°，
OB
\OA= 3，
\A点坐标为(0,- 3)
设对应的函数解析式为：y=kx+b，
ïì-3k+b=0
将点(-3,0)、(0,- 3)代入得í ，
ïîb=- 3
ì 3
ïk =-
解得í 3 ，
ï
îb=- 3
3
\旋转后对应的函数解析式为：y=- x- 3，
3
3
故答案为：y=- x- 3．
3
1
18．在平面直角坐标系中，点A在函数y= (x>0)的图象上，点B在第二象限，且ÐAOB=90°，ÐABO=30°
xk
反比例函数y= (x<0)的图象恰好经过点B，则k的值为 ．
x
【答案】-3
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，由
OB
ÐAOB=90°，ÐABO=30°，可得 = 3，过点A作AM ^ x轴于点M，过点B作BN ^ x轴于点N，证
OA
BN ON OB æ 1ö
得△AOM ∽△OBN ，根据相似三角形的性质得 = = = 3，设Aça, ÷，求出ON，BN ，利用
OM AM AO è aø
反比例函数上点的坐标特征解决问题即可，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
【详解】解：∵ÐAOB=90°，ÐABO=30°，
OB
\ = 3，
OA
过点A作AM ^ x轴于点M，过点B作BN ^ x轴于点N，
\ÐBNO=ÐAMO=90°，ÐBON+ÐAOM =90°，
ÐAOM +ÐOAM =90°，
Q
\ÐBON =ÐOAM ，
∴△AOM ∽△OBN ，
BN ON OB
\ = = = 3，
OM AM AO
æ 1ö
设Aça, ÷，
è aø
1
\OM =a，AM = ，
a
3
\ON = ，BN = 3a
a
æ 3 ö
\Bç- , 3a÷，
ç ÷
a
è øk
Q
点B恰好在反比例函数y= (x<0)的图象上，
x
3
\k =- ´ 3a=-3，
a
故答案为：-3．
19．如图，在平面直角坐标系中，
V
AOB的面积为4，AO=BO，反比例函数图像上，B的纵坐标y
B
为1，
x -x =2，则将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为 ．
B A
3
【答案】y=-
x
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式与几何的综合，掌握数形集合思想成为解题的关键．
k æ k ö
设反比例函数解析式为y= k >0，则Bk,1；根据已知条件可得Bk,1、Açk-2, ÷；然后根据
x è k-2ø
AO=BO可得k2+12 =k-22 + æ ç k ö ÷ 2 ①以及 V AOB的面积为4可得
èk-2ø
k 1 1 k 1 æ k ö 3
×k- k×1- × ×k-2- k-k+2 ç -1÷=4②；①、②联立解得：k =3，即y= ；然后求
k-2 2 2 k-2 2 èk-2 ø x
出关于y轴对称的解析式即可．
k
【详解】解：设反比例函数解析式为y= k >0，则Bk,1
x
∴x =k，x =k-2,
B A
æ k ö
∴Açk-2, ÷，
è k-2ø
∵AO=BO，
∴k2+12 =k-22 + æ ç k ö ÷ 2 ①，
èk-2ø
如图：过A作AF ^ y轴，过B作BE⊥x轴，∵V AOB的面积为4，
k 1 1 k 1 æ k ö
∴ ×k- k×1- × ×k-2- k-k+2 ç -1÷=4②，
k-2 2 2 k-2 2 èk-2 ø
①、②联立解得：k =3，
经检验符合题意，
3
所以此函数图像的解析为y= ，
x
3
所以将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为y=- ．
x
3
故答案为y=- ．
x
k
20．如图，一次函数y =-2x+a的图象与反比例函数的图象y = x>0在第一象限相交于点Am,n，
1 2 x
Bm-2,3n．
(1)求a、k的值；
(2)当y > y >0时，直接写出x的取值范围．
2 1
【答案】(1)a=8，k =6
(2)0<x<1或3<x<4
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据数形相结合的思想结合图形即可得解．【详解】（1）解：∵点A(m,n)，B(m-2,3n)都在反比例函数图象上，
∴mn=3n(m-2)，
整理得：2n(m-3)=0，
∵m¹0，n¹0，
∴m-3=0，解得m=3．
∵A(3,n),B(1,3n)在直线y =-2x+a的图象上，
1
ì-6+a=n
∴í ，
î-2+a=3n
ìn=2
解得í ，
îa=8
∴A(3,2)，
∵A(3,2)在反比例函数图象上，
∴k =6．
∴a=8，k =6．
（2）解：由（1）可知：A(3,2)，B(1,6)，
直线y =-2x+8与x轴的交点坐标是4,0，
1
根据函数图象可知，y > y >0时，x的取值范围为：0<x<1或3<x<4．
2 1
押题猜想五 二次函数的图象与性质
限时：20min
21．已知二次函数y=ax2+bx（a、b为常数，且a¹0）的顶点m,n在直线l:y=kx-2（k为常数，且
k ¹0）的图像上．
(1)若m¹0，则顶点 ；
A．在x轴上 B．在y轴上 C．不在坐标轴上
(2)若二次函数图像经过4,0，用a的代数式表示k；
(3)在（2）的条件下，若此二次函数与直线l的另一个公共点的横坐标为p，且-1£ p£5，请直接写出k的取值范围．
【答案】(1)C
(2)k =-2a+1
3
(3)k £ 或k ³3
5
b
【分析】（1）依据题意得，二次函数y=ax2+bx的顶点横坐标为m=- ，又m¹0，故顶点不在y轴上，
2a
又顶点纵坐标为n是函数y=ax2+bx在x=m处的值，且n=km-2，则若顶点在x轴上，则n=0，即km-2=0，
但题目未限定此条件，故顶点不在坐标轴上，进而可以判断得解；
b
（2）依据题意，由二次函数过点4,0，代入得0=16a+4b，可得b=-4a，则顶点横坐标m=- =2，代
2a
入直线l得n=2k-2，又顶点纵坐标n=a´22+b´2=4a+2-4a=-4a，故-4a=2k-2，进而可以得解；
1
（3）依据题意，联立二次函数与直线l，得方程ax2+b-kx+2=0，则x=2或x= p= ，又-1£ p£5，
a
1 1
从而-1£ £5，可得a³ 或a£-1，进而k =-2a+1，最后计算可以得解．
a 5
b
【详解】（1）解：由题意得，二次函数y=ax2+bx的顶点横坐标为m=- ，
2a
∵m¹0，
∴顶点不在y轴上．
又∵顶点纵坐标为n是函数y=ax2+bx在x=m处的值，且n=km-2，
∴若顶点在x轴上，则n=0，即km-2=0，但题目未限定此条件，故顶点不在坐标轴上．
故答案为：C．
（2）解：∵二次函数过点4,0，代入得0=16a+4b，
∴b=-4a，
b
∴顶点横坐标m=- =2，代入直线l得n=2k-2，
2a
又∵顶点纵坐标n=a´22+b´2=4a+2-4a=-4a，
∴-4a=2k-2，
∴k =-2a+1．
（3）解：由题意，联立二次函数与直线l，得方程ax2+b-kx+2=0，
由（2）可知，ax2+-2a-1x+2=0,1
∴x=2或x= p= ，
a
又∵-1£ p£5，
1
∴-1£ £5．
a
1
∴a³ 或a£-1．
5
又∵k =-2a+1，
3
∴k £ 或k ³3．
5
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、
二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
押题解读
本考点为必考考点，二次函数的图象与性质是初中阶段最重要的考查内容，基本上每年的中考卷均会重
点考查；一般会在小题里面出现一题，大题会重点考查，出现在压轴题时会和其他知识点一起综合考查；
近几年南京中考数学考查此知识点的题型比较新颖，难度也较高，故我们在平时做题的时候要加强练习，
尤其边、角、最值、三角函数类考查题型，重点考查对象。
22．已知二次函数y=x-1x-m的图像经过点6,5．
(1)求m的值；
(2)当2£x£6时，求y的取值范围；
(3)将该函数的图像沿着x轴向右平移得到一个新函数的图像，当2£x£6时，新函数的最大值是12，请直
接写出平移的距离．
【答案】(1)m=5
(2)-4£ y£5
(3)3
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二
次函数的最值等知识点，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键．
（1）将点6,5代入y=x-1x-m求解即可；
（2）依据题意，由（1）可得二次函数为y=x-1x-5= x2-6x+5=x-32-4，从而当x=3时，y取最小值为-4，结合当x=2时，y=-3；当x=6时，y=5，然后判断即可解答；
（3）依据题意，由二次函数为y=x-32-4，从而可设向右平移后得到的新函数为y=x-3-m2-4m>0，
故新抛物线的对称轴是直线x=3+m，进而分当2£3+m£6时和当3+m>6时两种情形解答即可．
【详解】（1）解：由题意：将点6,5代入y=x-1x-m可得：
5=5´6-m，解得：m=5．
（2）解：由（1）可得二次函数为y=x-1x-5= x2-6x+5=x-32-4，
∴当x=3时，y取最小值为-4．
又∵当x=2时，y=-3；当x=6时，y=5，
∴当2£x£6时，y的取值范围为-4£ y£5．
（3）解：由题意，∵二次函数为y=x-32-4，
∴可设向右平移后得到的新函数为y=x-3-m2-4m>0．
∴新抛物线的对称轴是直线x=3+m，
①当2£3+m£6时，即0<m£3，
又∵若当x=2时，y=2-3-m2-4=12，则m=3或m=-5（不合题意，舍去）；
若当x=6时，y=6-3-m2-4=12，则m=7（不合题意，舍去）或m=-1（不合题意，舍去），
∴m=3．
②当3+m>6时，即m>3，
∵当x < 3 + m时，y随x的增大而减小，
∴当x=2时，y=2-3-m2-4=12，则m=3或m=-5，均不合题意，舍去．
综上，m=3．
答：平移的距离为3．
23．数、形二法“战”不等式！
ìx-1>0
(1)解不等式(x-1)(x+3)>0时，根据“两数相乘，同号的正，异号得负”可得x应满足不等式组①í
îx+3>0
ìx-1<0
或②í ．
îx+3<0
解不等式组①，得 ，解不等式组②，得 ．所以，不等式(x-1)(x+3)>0的解集是 ．
(2)已知函数y=(x+3)(x-1)(x+1)的大致图象如图所示，根据图象，可得不等式(x+3)(x-1)(x+1)£0的解集是 ．
【答案】(1)x>1，x<-3，x>1或x<-3
(2)x£-3或-1£x£1
【分析】本题考查了本题考查二次函数与不等式（组)，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式的
解集．
（1）解不等式组即可得到结论；
（2）根据函数图象可以直接写出不等式的解集．
ìx-1>0
【详解】（1）解：①í ，
îx+3>0
解第一个不等式得x>1，
解第二个不等式得x>-3，
则解不等式组①，得x>1，
ìx-1<0
②í ，
îx+3<0
解第一个不等式得x<1，
解第二个不等式得x<-3，
解不等式组②，得x<-3．
所以，不等式(x+3)(x-1)>0的解集是x>1或x<-3；
故答案为：x>1，x<-3，x>1或x<-3；
（2）解：由图象知，不等式(x+3)(x-1)(x+1)£0的解集是x£-3或-1£x£1，
故答案为：x£-3或-1£x£1．
24．已知二次函数y=x2-2a-1x+a+1．
(1)如果直线y=x+1经过二次函数y=x2-2a-1x+a+1图象的顶点P，求此时a的值；(2)随着a的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数解析
式；如果不是，请说明理由；
(3)将该二次函数以x=3为对称轴翻折后的图象过点a,b（a未知，b为常数），求原函数与y轴的交点纵坐
标．
【答案】(1)a=0或2；
(2)顶点P是在抛物线y=-x2 +x+2的图象上
9
(3)原函数与y轴的交点纵坐标为
2
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，把一般式化为顶点式，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是
解题的关键．
（1）先把y=x2-2a-1x+a+1化为y=éx-a-1ù 2 -a2+3a，则P  a-1,-a2+3a  ．再把P  a+1,-a2-3a 
ë û
代入y=x+1，进行计算即可作答；
（2）根据顶点P的坐标为  a-1,-a2+3a  ，可设x=a-1，故y=-a-12 +a-1+2，得出y=-x2 +x+2，
据此即可作答；
（3）先根据原抛物线的顶点P的坐标为  a-1,-a2+3a  ，且x=3为对称轴翻折后的图象过点a,b，所以
a-1+a
=3，据此求解即可．
2
【详解】（1）解： y=x2-2a-1x+1+a=éx-a-1ù 2 -a2+3a，
Q ë û
\点P  a-1,-a2+3a  ．
又
Q
点P在直线y=x+1的图象上，
\-a2+3a=a-1+1，
解得a=0或2；
（2）解：顶点P是在抛物线y=-x2 +x+2的图象上．理由如下：
Q
顶点P的坐标为  a-1,-a2+3a  ，
可设x=a-1，
故y=-a2+3a=-a-12 +a-1+2，
\y=-x2+x+2，\二次函数图象的顶点P是在抛物线y=-x2 +x+2的图象上；
（3）解：
Q
原抛物线的顶点P的坐标为  a-1,-a2+3a  ，
又 x=3为对称轴翻折后的图象过点a,b，
Q
a-1+a
\ =3，
2
7
解得a= ，
2
9
\原函数与y轴的交点纵坐标为a+1= ．
2
25．已知二次函数y=mx2-6mx+4（m为常数）
(1)下列结论：①当m>0时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线x=-3；③该函数
的图像一定经过0,4，6,4两点其中，正确结论的序号是___________．
(2)若点A-1,a，B3,b，C4,c在该函数图像上，当abc<0时，结合图像，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)①③
4 1 4
(2) <m< 或m<-
9 2 7
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的开口方向，函数值正负，对称性，增减
性，是解题的关键．（1）根据二次函数y=mx2-6mx+4（m为常数）m>0时，图像开口向上，判断①；
根据y=mx-32 -9m+4 得对称轴是直线x=3，判断②； ③令x=0，则y=4， 0,4，6,4两点关
于对称轴对称，得函数的图像一定经过0,4，6,4两点，判断③；
（2）根据A-1,a与7,a对称，当m>0时，当x>3时，y随x增大而增大，得b<c<a，根据abc<0，
得当b<0<c<a时，b<0， c>0，解得m，或 当b<c<a<0时，得a<0，解得m；当m<0时，当x>3
时，y随x增大而减小，则a<c<b，当a<0<c<b时，a<0， c>0，解得m，或当a<c<b<0时，得
b<0，解得m，即可．
【详解】（1）①∵二次函数y=mx2-6mx+4（m为常数），
∴当m>0时，该函数的图像开口向上，
正确．
②∵y=mx2-6mx+4=mx-32 -9m+4
∴该函数的图像的对称轴是直线x=3，不正确．
③令x=0，则y=4，
∴函数的图像一定经过0,4，
∵0,4，6,4两点关于对称轴对称，
∴函数的图像一定经过0,4，6,4两点，
正确．
故答案为：①③．
（2）解：∵点A-1,a，B3,b，C4,c在函数y=mx-32 -9m+4图像上，
∴A-1,a的对称点为7,a，
若m>0，
∵当x>3时，y随x增大而增大，
∴b<c<a，
∵abc<0，
∴当b<0<c<a时，
b=-9m+4<0，
4
∴m> ，
9
c=m-9m+4>0，
1
∴m< ，
2
4 1
∴ <m< ；
9 2
或当b<c<a<0时，
a=16m-9m+4<0，
4
∴m<- ，
7
不合；
若m<0，
∵当x>3时，y随x增大而减小，
∴a<c<b，
∴当a<0<c<b时，a=16m-9m+4<0，
4
∴m<- ，
7
c=m-9m+4>0，
1
∴m< ，
2
4
∴m<- ；
7
或当a<c<b<0时，
b=-9m+4<0，
4
∴m> ，
9
不合．
4 1 4
综上， <m< 或m<- ．
9 2 7
押题猜想六 二次函数的应用
限时：15min
26．二次函数表达式中的二次项系数a有何几何意义？
【理解a的几何意义】
（1）图①是二次函数y=a(x-h)2+k （a，h，k为常数， a>0）的图象，观察图象，用含a和k的式子
填写下表：
x h-m h-4 h-2 h h+1 h+3 h+m
y 16a+k k a+k（2）若点(s,t)在二次函数y=a(x-p)2+q（a，p，q为常数，a¹0）的图象上，则|a|= ．（用只含s，t，
p，q的式子表示）
【运用a的几何意义】
（3）图②是一抛物线形状的桥拱的截面图，桥拱内的水面AB的宽度为n，拱顶到水面的距离CD为
1 4
n2．梅雨季节，水面上升，桥拱内的水面宽度随之减小，当拱顶到水面的距离为 n2时，直接写出此时
5 45
桥拱内的水面的宽度．（用只含n的式子表示）
t- p 2
【答案】（1）m2a+k，4a+k，9a+k，m2a+k；（2） ；（3）水面的宽度为 n
s- p2 3
【分析】本题考查二次函数的应用，关键是求出二次函数解析式．
（1）分别把x=h-m，h-2，h+3，h+m代入y=a(x-h)2+k 求值即可；
（2）把(s,t)代入y=a(x-p)2+q求出a即可；
1 4 1
（3）建立适当坐标系，用待定系数法求出函数解析式，再把y= n2- n2 = n2代入解析式求出x即可．
5 45 9
【详解】解：（1） y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a>0)，
Q
\当x=h-m时，y=a(h-m-h)2+k=m2a+k；
当x=h-2时，y=a(h-2-h)2+k=4a+k；
当x=h+3时，y=a(h+3-h)2+k=9a+k；
当x=h+m时，y=a(h+m-h)2+k=m2a+k；
故答案为：m2a+k，4a+k，9a+k，m2a+k；
（2）
Q
点(s,t)在二次函数y=a(x-p)2+q(a，p，q为常数，a¹0)的图象上，
\t=a(s-p)2+q，
t- p
\a= ，
(s- p)2
t- p
\a = ，
(s- p)2|t-p|
故答案为： ；
(s-p)2
（3）以AB所在直线为x轴，以CD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图：
æ1 ö æ 1 ö
此时Bç n,0÷，Cç0, n2 ÷，
è2 ø è 5 ø
1
设拱桥所在抛物线的解析式为y=ax2+ n2，
5
1 1
把点B坐标代入解析式得： n2a+ n2 =0，
4 5
4
解得a=- ，
5
4 1
\抛物线的解析式为y=- x2+ n2，
5 5
4 1 4 1
当拱顶到水面的距离为 n2时，此时y= n2- n2 = n2，
45 5 45 9
4 1 1
即- x2+ n2 = n2，
5 5 9
1
解得x=± n，
3
2
\水面的宽度为 n．
3
押题解读
本考点为中考必考考点，主要会考查的应用题型有销售利润问题、动态几何问题、图形几何问题、含参
类型的应用等问题；一般都是在解答题中考查，选择题、填空题偶有出现，但难度不大；近几年南京的
中考数学题针对二次函数的应用考查分值不大，但题目都比较新颖，要注意对题目概念的理解。
27．如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，
他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面OB的竖直距离y（单
1
位：m）与他在水平方向上移动的距离x（单位：m）近似满足二次函数关系y=- x2+bx+c，已知
12
OA=70m，OC =60m，落点P到OC的水平距离是30m，到地面OB的竖直高度是37.5m．(1)求y与x的函数表达式；
(2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（秒）具备一
次函数关系，当他在起跳点腾空时，t = 0，x=0；当他在点P着陆时，飞行时间为5秒．
①求x与t的函数表达式；
②当运动员与着陆坡BC在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值．
1 17
【答案】(1)y=- x2+ x+70
12 12
13
(2)①x=6t；②t =
6
ìc=70,
ï
【分析】（1）将A0,70，P30,37.5代入，得í 1 ，计算求解即可；
- ´900+30b+c=37.5
ï
î 12
ìt=0 ìt =5 ìm=0
（2）①设x=kt+m，将í ，í 代入，得í ，计算求解，然后作答即可；
îx=0 îx=30 î5k+m=30
ìd =60
②设直线BC的解析式为y=nx+d，将0，60，30，37.5代入得，í ，计算求解可确定直线BC
î30n+d =37.5
3
的解析式为y=- x+60，设运动员飞行过程中的某一位置为M，如图，过M作MN ^x轴交BC于点N ，
4
æ 1 17 ö æ 3 ö 1 13 1 169
设Mçn,- n2+ n+70÷，则Nçn,- n+60÷，则MN =- n2+ n+10=- x-132 +10+ ，由
è 12 12 ø è 4 ø 12 6 12 12
1
- <0，可得当n=13时，MN最大，根据13=6t，计算求解即可．
12
1
【详解】（1）解：由题意可得y=- x2+bx+c过点A0,70，P30,37.5，
12
ìc=70
ï
将A0,70，P30,37.5代入，得í 1 ，
- ´900+30b+c=37.5
ï
î 12
ì 17
ïb=
解得í 12，
ï îc=70
1 17
∴ y与x的函数关系式为y=- x2+ x+70；
12 12（2）①解：设x=kt+m，
ìt=0 ìt =5 ìm=0
将í ，í 代入，得í ，
îx=0 îx=30 î5k+m=30
ìk =6
解得í ，
îm=0
∴x=6t；
②解：由题意得C0，60，P30，37.5，
设直线BC的解析式为y=nx+d，
ìd =60
将0，60，30，37.5代入得，í ，
î30n+d =37.5
ìd =60
ï
解得，í 3，
k =-
ï
î 4
3
∴直线BC的解析式为y=- x+60，
4
设运动员飞行过程中的某一位置为M ，如图，过M 作MN ^x轴交BC于点N ，
æ 1 17 ö æ 3 ö
设Mçx,- x2+ x+70÷，则Nçx,- x+60÷，
è 12 12 ø è 4 ø
∴MN =- 1 x2+ 17 x+70- æ ç- 3 x+60 ö ÷=- 1 x2+ 13 x+10=- 1 x-132+10+ 169 ，
12 12 è 4 ø 12 6 12 12
1
∵- <0，
12
∴当x=13时，MN最大，
∴13=6t，
13
解得t = ．
6
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式等知识．熟练
掌握二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式是解题的关键．28．进价为40元/件的衣服，加价对外销售，销售数量y（件）与售价x（元）之间的函数关系如图所示．
(1)售价为60元时，卖出多少件？求出y与x的函数关系式；
(2)设总利润为w（元），写出w与的x函数关系式；当售价x为多少元时，利润w最大，最大利润是多少？
【答案】(1)300，y=-10x+900
(2)w=x-40-10x+900（其中40<x<90）售价为65元时，利润最大，最大利润是6250元
【分析】此题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式和二次函数的图象及其性
质是解题的关键．
（1）根据函数图象中的数据，利用待定系数法可以得到y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意，可以得到利润w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）定价为60元时，售出300件：
由图象可知y与x之间成一次函数关系，
设y=kx+b，将60,300，70,200代入得
ì60k+b=300 ìk =-10
í ，解得í
î70k+b=200 îb=900
\y=-10x+900；
（2）由题意得w=x-40×y=x-40-10x+900（其中40<x<90）
=-10x2+1300x-36000=-10x-652
+6250
40<65<90
Q
∴当x=65时，w有最大值6250元
即售价为65元时，利润最大，最大利润是6250元．
29．某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示，其
中曲线AB为反比例函数图像的一部分，BC为一次函数图像的一部分．(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w(万元)，当销售
单价为多少元时，年利润最大?最大年利润是多少?(说明：年利润=年销售利润-研发费用)
ì 160
ï
4£x£8
【答案】(1)y=í x
ï-x+288<x£28
î
(2)当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104万元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用，理解题意
是解决问题的关键．
（1）分两段：当4£x£8时，当8<x£28时，利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设利润为w元，分两段：当4£x£8时，当8<x£28时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函
数以及二次函数的性质，即可求解．
k
【详解】（1）解：当4£x£8时，设y与x的函数关系式为y= ，
x
∵点4,40在该函数图象上，
k
∴40= ，
4
解得：k =160，
160
∴当4£x£8时，y与x的函数关系式为y = ，
x
当8<x£28时，设y与x的函数关系式为y=ax+b，
ì8a+b=20
í ，
î28a+b=0
ìa=-1
解得í ，
îb=28
即当8<x£28时，y与x的函数关系式为y=-x+28，ì 160
ï
4£x£8
综上所述，y与x的函数关系式为y=í x ；
ï-x+288<x£28
î
160 640
（2）当4£x£8时，w=x-4y-40=x-4´ -40=120- ，
x x
∵k =-640，
∴y随x的增大而增大，
∴w随x的增大而增大，
640
∴当x=8时，w取得最大值，此时w=120- =40，
8
当8<x£28时，w=x-4y-40=x-4-x+28-40=-x-162 +104，
∴当x=16时，w取得最大值，此时w=104，
∵104>40，
∴当销售单价为16时，该产品利润最大，最大利润是104万元，
答：当销售单价为16元时，该产品利润最大，最大利润是104万元．
30．某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式：
方式一 若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地
少租出1亩．
方式二 每亩土地的年租金是600元．
(1)若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是_____元；
(2)当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？最大值是多少？
(3)农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元a>0给慈善机构；若选择方式二，
农场一次性捐款1800元给慈善机构，当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，
直接写出a的取值范围．
（注：年收入＝年总租金－捐款数）
【答案】(1)500
(2)30亩；4500元
(3)0<a<30
【分析】（1）依据出租方式进行列式计算即可；
（2）分别计算出方式一与方式二的总租金，再计算差，得二次函数，依据二次函数的性质求解即可；
（3）根据题意得到关系式w=-5x2+(300-a)x+1800，根据方式 一的年收入高于方式二的年收入可得关于a的不等式，即可求出a的即会范围．
【详解】（1）若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是：
400+5´(100-80)=500（元）
故答案为：500；
（2）设出租x亩土地，则方式一的每亩年租金为：400+5(100-x)=900-5x，
∴方式一的年总租金为：x(900-5x)=-5x2+900x;
方式二的年租金为600´x=600x
设方式一与方式二的年总租金差为y元，由题意得，
y=-5x2 +900x-600x
=-5x2+300x
=-5(x-30)2+4500
∵-5<0
∴当x=30时，y有最大值为4500
∴当土地出租30亩时，方式一与方式二的年总租金差最大，为4500元；
（3）设出租x亩土地，方式一的年收入为：-5x2+900x-ax;方式二的年收入为：600x-1800；
设方式一与方式二的年总租金差为w元，由题意可得，
w=-5x2+900x-ax-600x+1800
=-5x2+(300-a)x+1800
300-a 1
所以，对称轴为直线x=- =30- a
2´(-5) 10
∵a>0
1
∴对称轴直线x=30- a<30
10
∵0<x<60
∴当x=60时，w取得最小值
=-5´602+(300-a)´60+1800
=-60a+1800
租出的土地小于60亩时，方式 一的年收入高于方式二的年收入，则-60a+1800>0
即：60a<1800解得，a<30，
∵a>0
∴a的取值范围为：0<a<30
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象与性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关
系式．
押题猜想七 锐角三角函数的实际应用
限时：15min
31．如图①，生活中人们常常利用定滑轮来升降物体．如图②，某物体的初始位置在水平地面上的C处，
此时在将绳子拉直的A处测得定滑轮点P的仰角为45°．继续向后水平移动1m到B处测得定滑轮点P的仰
角为37°，此时物体上升到D处．已知AM ，BN 均垂直于地面，AM =BN =1.6m，物体和定滑轮大小忽略
不计，运动过程中绳子总长不变，求物体与定滑轮的距离PD的长（结果精确到0.1m，参考数据：
3 4 3
tan37°» ，cos37°» ，sin37°» ， 2 »1.41）．
4 5 5
【答案】3.8m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握仰角的定义及解直角三角形的相关计
算是解题的关键．延长DA交BC于点G，则CG= AM =DN =1.6m，在Rt APG中，根据正切定义可得出
V
3 x
PG= AG，设PG= AG=x，在Rt△BGP中，ÐGDP=37°，根据正切的定义得出tan37°» = ，解方
4 x+1
程求出x，然后根据勾股定理求出AP和BP，进而求出从A处移动到B处，物体上升的高度，即可求解．
【详解】解：如图，延长DA交BC于点G，则CG= AM =DN =1.6m，在Rt APG中，ÐGAB=45°，ÐAGP=90°，
V
∴PG=AG×tanÐPAG=AG×tan45°=AG，
设PG= AG=x，
在Rt△BGP中，ÐGDP=37°，
PG
\tanÐGDB= ，
BG
3 x
\tan37°» = ，
4 x+1
解得x=3，
∴PG=AG=3，BG=4，
∴AP= PG2+AG2 =3 2 »4.23m，PB= PG2+BG2 =5，
∴从A处移动到B处，物体上升了5-4.23=0.77m，
∴PD=3+1.6-0.77=3.83»3.8m．
押题解读
本考点为必考考点，锐角三角函数的实际应用包括仰俯角问题、方位角问题、坡度坡比等，常在解答题
中出现；这个知识点主要考查对锐角三角函数的实际应用和三角函数的计算能力的要求，属于必须拿分
的题目，要注意的是锐角三角函数的题目辅助线要横平竖直的添加。
32．如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向59.5千米处
有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船
开始航行驶向港口MN，经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千
米的B处．(1)求AB两地的距离；(结果保留根号)
(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由.(参考数据：
sin37°»0.60，cos37°»0.80，tan37°»0.75)
【答案】(1)18 5千米
(2)能行至码头MN靠岸，见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，相似三角形的判定与性质，此题结合方向角，考查
了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
（1）过点A作AC^OB于点C，可知
V
ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．
（2）延长AB交l于D，证明 ABC∽ DBO，求出OD，比较OD与OM +MN的大小即可得出结论．
V V
【详解】（1）解：过点A作AC^OB于点C，
由题意，得OA=60千米，OB=30千米，ÐAOC=37°
\AC =OAsin37°»60´0.60=36（千米）
在Rt AOC中，OC =OA×cosÐAOC »60´0.8=48（千米）
V
\BC =OC-OB=48-30=18（千米）
在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2 = 362+182 =18 5（千米）；
（2）解：如果该轮船不改变航向继续航行，能行至码头MN靠岸，
理由：延长AB交l于点D，ÐABC =ÐOBD，ÐACB=ÐBOD=90°，
Q
\ ABC∽ DBO，
V V
BC OB
\ = ，
AC OD
18 30
\ = ，
36 OD
\OD=60（千米）
60<59.5+1，
Q
\该轮船不改变航向继续航行，能行至码头MN靠岸．
33．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD^AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点
AB 1
为E，若 = ，则sinC的值是（ ）
CD 3
5 6 3 7
A． B． C． D．
3 3 4 4
【答案】A
【分析】作CF^AB延长线于F点，连接DE，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解
在Rt△DEC和Rt△BFC，最终得到DE，即可根据正弦函数的定义求解．本题考查圆的切线的判定与性质，
解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关
键．
【详解】解：如图所示，作CF^AB延长线于F点，连接DE，∵AD^AB，AB∥CD，
∴ÐFAD=ÐADC =ÐF =90°，
∴四边形ADCF为矩形，AF =DC，AD=FC，
∴AB为
e
D的切线，
由题意，BE为
e
D的切线，
∴DE^BC，AB=BE，
AB 1
∵ = ，
CD 3
∴设AB=BE=a，CD=3a，CE=x，
则BF = AF-AB=CD-AB=2a，BC =BE+CE=a+x，
在Rt△DEC中，DE2 =CD2-CE2 =9a2-x2，
在Rt△BFC中，FC2 =BC2-BF2 =a+x2 -2a2，
∵DE=DA=FC，
∴9a2-x2 =a+x2 -2a2，
解得：x=2a或x=-3a（不合题意，舍去），
∴CE=2a，
∴DE= CD2-CE2 = 9a2-4a2 = 5a，
DE 5a 5
∴sinC = = = ，
DC 3a 3
故选：A．
34．如图，大楼AN上有一块液晶屏幕，小明在坡面D处测得屏幕顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡
脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得屏幕底部B的仰角为48°，此时小明距大楼底端N
处20米．已知坡面DE=20米，DE的坡度i=1: 3，且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，M、E、
7
C、N在同一条直线上，求液晶屏幕AB的长度（结果保留根号）．（参考数据： sin48°» ，
1011
tan48°» ）
10
 
【答案】液晶屏幕AB的长度为 10 3-2 m．
【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的判定与性质等知识，过点D作DP^ AN ，垂足为P，过点D作
DQ^ME，垂足为Q，则四边形DQNP为矩形，DQ=PN,DP=QN，先求出BN »22，在Rt△DQE中，求
出DP=QN =30+10 3，在Rt V ADP中，求出 AN =20+10 3，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，过点D作DP^ AN ，垂足为P，过点D作DQ^ME，垂足为Q，则四边形DQNP为
矩形，DQ=PN,DP=QN，
在Rt BCN中，ÐBCN =48°，
V
BN
∵tan48°= ，CN =20，
CN
∴BN »22，
在Rt△DQE中，DE的坡度i=1: 3，DE=20，
∴DQ=10,EQ=10 3，
∴DP=QN =30+10 3，
在Rt ADP中，ÐADP=30°，
V
AP
∵tan30°= ，
DP
∴AP=10+10 3，
∴AN =20+10 3， 
∴AB= AN-BN =20+10 3-22= 10 3-2 m，
 
答：液晶屏幕AB的长度为 10 3-2 m．
35．如图①，AB,CD是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，
从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为39°，铁塔顶端C的仰角为27°，沿着EB向前走20米到达点F
处，测得铁塔顶端A的仰角为53°．已知ÐABE=ÐCDE=90°，点E,B,D构成的△EBD中，ÐEBD=90°．
(1)图②是图①中的一部分，求铁塔AB的高度；
(2)小明说，在点E处只要再测量ÐBED，通过计算即可求出铁塔CD的高度，若记ÐBED为a，则铁塔CD
3 4 3 9
的高度是 ．（用含a的式子表示）（参考数据：sin39°» ,cos39°» ，tan39°» ，sin27°» ，
5 5 4 20
9 1 4 3 4
cos27°» ,tan27°» ,sin53°» ,cos53°» ,tan53°» ）
10 2 5 5 3
240
【答案】(1)铁塔AB的高度约为 米
7
160
(2) 米
7cosa
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
（1）设铁塔AB的高度为x米，在Rt
V
ABF中，解直角三角形可得BF的长，在Rt△ABE中，解直角三角形
可得BE的长，再根据BF+EF =BE建立方程，解方程即可得；
（2）先求出BE的长，再在Rt
V
BED中，解直角三角形可得DE的长，然后在Rt△CDE中，解直角三角形
即可得．
【详解】（1）解：设铁塔AB的高度为x米，
由题意得：ÐAFB=53°，ÐAEB=39°，EF =20米，
∵ÐABE=90°，
AB x
∴在Rt ABF中，BF = = 米，
V
tanÐAFB tan53°AB x
在Rt△ABE中，BE= = 米，
tanÐAEB tan39°
∵BF+EF =BE，
x x
∴ +20= ，
tan53° tan39°
20tan39°×tan53° 240
解得x= » （米），
tan53°-tan39° 7
240
答：铁塔AB的高度约为 米．
7
（2）解：由题意得：ÐCED=27°，ÐBED=a，
AB 20tan53°
由（1）可知，BE= = 米，
tan39° tan53°-tan39°
∵ÐEBD=90°，
BE 20tan53°
∴在Rt BED中，DE= = 米，
V cosÐBED cosatan53°-tan39°
∵ÐCDE=90°，
20tan53°×tan27° 160
∴在Rt△CDE中，CD=DE×tanÐCED= » （米），
cosatan53°-tan39° 7cosa
160
故答案为： 米．
7cosa
押题猜想八 相似三角形的综合
限时：25min
36．某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在
V
ABC中，ÐACB=90°，CD^ AB，垂足为D．
（1）求证：AC2 = AD·AB；
（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF 并延长至点E，连接CE．当ÐACE=ÐAFC时，请判断 AEB
V
的形状，并说明理由；
（二）学以致用
（3）如图3， V ABC是直角三角形，ÐACB=90°，AC =2，BC =2 6，平面内一点D，满足AD=AC，连
接CD并延长至点E，且ÐCEB=ÐCBD，当线段BE的长度取得最小值时．线段CE的长为 （直接写结果）．
【答案】（1）见解析（2） AEB是直角三角形，理由见解析（3）2 15
V
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、四点共圆、构造相似三角形、垂线段最短等知识点，
善于运用相似三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）通过角度的转换得到ÐACD=ÐB，即可证得△ACD∽△ABC，再由相似三角形的性质即可证明结论；
（2）通过角度的转换得到ÐBCE=ÐEAB，可推出A，C，B，E四点共圆可得ÐAEB=ÐACB=90°，即可
判定三角形的形状；
（3）以点A为圆心，2为半径作
e
A，则C，D都在
e
A上，延长CA至点E
0
，使得CE
0
=6，交
e
A于点
D ，通过构造相似三角形，得到点E在过点E 且与CE 垂直的直线上运动．因为点B固定，再由垂线段最
0 0 0
短，可得到BE最小值的情况，并通过勾股定理求此时CE的长．
【详解】证明：∵在
V
ABC中，ÐACB=90°，CD^ AB，
∴ÐACD+ÐBCD=ÐB+ÐBCD=90°，
∴ÐACD=ÐB．
又∵ÐADC=ÐACB=90°，
∴△ACD∽△ABC，
AC AD
∴ = ，即AC2 = AD·AB．
AB AC
（2）解： AEB是直角三角形．理由如下：
V
∵ÐACE=ÐAFC，
∴ÐACB+ÐBCE=ÐADF+ÐEAB，即90°+ÐBCE=90°+ÐEAB，
∴ÐBCE=ÐEAB，
∴A，C，B，E四点共圆，
∴ÐAEB=ÐACB=90°，
∴ AEB是直角三角形．
V
（3）解：∵ÐCEB=ÐCBD，ÐECB=ÐBCD，∴ CEB∽ CBD，
V V
CE CB
∴ = ，
CB CD
∴CD•CE=CB2 =24，
∴CB=2 6．
如图，以点A为圆心，2为半径作
e
A，则C，D都在
e
A上，延长CA至点E
0
，使得CE
0
=6，交
e
A于点
D ，
0
∴CD =4，ÐCDD =90°，
0 0
CD CD
\CD •CE =24=CD×CE，则 0 = ．
0 0 CE CE
0
∵ÐECE =ÐDCD ，
0 0
∴V ECE 0 ∽ V D 0 CD，
∴ÐCDD =ÐCE E=90°，
0 0
∴点E在过点E 且与CE 垂直的直线上运动．
0 0
如图：过点B作BE¢^E E，垂足为E¢，BE¢即为最短的BE，连接CE¢．
0
∵ÐCE E=ÐBE¢E=ÐACB=90°，
0
∴四边形BCE E¢是矩形．
0
∵ÐCE E=90°，CE =6，E E=BC =2 6，
0 0 0
∴CE¢= (CE )2+(E E)2 = 62+(2 6)2 =2 15．
0 0
故答案为：2 15．押题解读
本考点为必考考点，相似三角形的判定与性质是初中阶段极为重要的一块内容，一般在各个题型中均有
可能会考查，作为压轴题来考查相似三角形，会与其他知识点一起综合考查；解决此类问题的方法主要
是加强相似概念的理解，通过刷一些南京这边的一模二模题型，可以加强做这一块题型的熟悉度。
37．如图，在四边形ABCD中，AB=5，AD=4，CD=0.8，ÐA=ÐD=120°，在边AD上有一动点P，若以
A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为 ．
100
【答案】2或
29
【分析】由ÐA=ÐD，可得出存在△ABP∽△DPC和△ABP∽△DCP两种情况，设AP=m，则
DP=4-m，当△ABP∽△DPC时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，
可得出m的值（即AP的长）；当△ABP∽△DCP时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，
解之经检验后，即可得出m的值（即AP的长）．
本题考查了相似三角形的性质，分△ABP∽△DPC和△ABP∽△DCP两种情况，求出AP的长是解题的关
键．
【详解】解：∵ÐA=ÐD=120°，
∴存在△ABP∽△DPC和△ABP∽△DCP两种情况．
设AP=m，则DP= AD-AP=4-m，
AP AB
当△ABP∽△DPC时， = ，
DC DP
m 5
即 = ，
0.8 4-m
解得：m =m =2，
1 2
经检验，m =m =2是所列方程的解，且符合题意，
1 2
∴此时AP=2；
AP AB
当△ABP∽△DCP时， = ，
DP DCm 5
即 = ，
4-m 0.8
100
解得：m= ，
29
100
经检验，m= 是所列方程的解，且符合题意，
29
100
∴此时AP= ．
29
100
综上所述，AP的长为2或 ．
29
100
故答案为：2或 ．
29
38．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC =6，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF ^AE，交BC于
点F，则DF的长为 ．
20
【答案】
3
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，根据勾股定理求出AE=5，证明
ABE∽ FCD，根据相似三角形的性质即可求解．
V V
【详解】解：在矩形ABCD中，AB=CD=4，BC =6，ÐC =ÐB=90°，
∵点E是边BC的中点，
1
∴BE= BC =3，
2
∴AE= AB2+BE2 =5，
∵DF ^ AE，
∴ÐEFD+ÐFEA=ÐFEA+ÐBAE=90°，
∴ÐEFD=ÐBAE即ÐCFD=ÐBAE，
又∵ÐC =ÐB=90°，
∴ ABE∽ FCD，
V V
BE AE
∴ = ，
DC DF
3 5
∴ = ，
4 DF20
∴DF = ．
3
20
故答案为： ．
3
39．已知：
V
ABC中，D为BC边上的一点．
(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC =6，求DE的长；
(2)在图（2），用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使ÐDFA=ÐA；（保留作图痕迹，不要求写作法）
1
(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若ÐDFA=ÐA，
V
FBC的面积等于 CD×AB，以FD为半径
2
作 F，试判断直线BC与 F的位置关系，并说明理由．
e e
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)相切；理由见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定，熟练掌握相似三角
形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键．
CD 2 CD 2
（1）由题意易得 = ，则有 = ，根据相似三角形的性质与判定可进行求解；
BD 3 CB 5
（2）作DT∥AC交AB于点T ，作ÐTDF =ÐATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；
（3）作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，证明四边形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由
1 1
CF∥BR，推出S =S = AB×CD= FR×CD，推出CD^DF，然后问题可求解．
VCFB VCFR 2 2
【详解】（1）解： DE∥AB，
Q
\ CDE∽ CBA，
V V
DE CD
\ = ，
AB CB
AB=5，BD=9，DC =6，
Q
DE 6
\ = ，
5 6+9
\DE=2；
（2）解：①作DT∥AC交AB于点T ，
②作ÐTDF =ÐATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；∵DT∥AC，
∴ÐBTD=ÐA,ÐTDF =ÐCFD，
∵ÐBTD+ÐATD=180°,ÐCFD+ÐAFD=180°，ÐTDF =ÐATD，
∴ÐA+ÐTDF =180°,ÐTDF+ÐAFD=180°，
∴ÐA=ÐAFD;
（3）解：直线BC与
e
F相切，理由如下：
作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，如图，
ÐDFA=ÐA，
Q
\四边形ABRF是等腰梯形．
\AB=FR．
1
FBC的面积等于 CD×AB，
QV
2
1 1
\S =S = AB×CD= FR×CD，
VCFB VCFR 2 2
\CD^DF，
FD是 F的半径，
Q e
\直线BC与 F相切．
e
40．题目：
已知：如图， ABC．
V
求作：矩形DEFG，使顶点D，E分别在AB，AC，顶点F，G都在BC边上，且DE=2DG
（用直尺和圆规作图，写出必要的文字说明．）(1)小明对上述题目的解答如图①所示（隐去了弧），他写的文字说明是：AH是高，CM =2AH，
CD∥AM ．求证：矩形DEFG即为所求．
(2)如图②，小丽只会作矩形DE FG ，除了顶点E 不在AC边上外，其他都已经满足了题目的要求，她想
1 1 1 1 1
通过图形的变换将矩形DE FG 变化为要求作的矩形．请按小丽的思路完成作图，并描述从矩形DE FG 到
1 1 1 1 1 1 1 1
矩形DEFG的变换过程．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知
识点并灵活运用是解此题的关键．
AC DN
（1）过点D作DN∥AC交于N ，证明 ACM∽ DNC得出 = ①，证明 DGN∽ AHC得出
V V V V
CM NC
DG DN DE CM
= ②，证明四边形DECN为平行四边形得出NC =DE③，由①②③解得 = =2，即可得
AH AC DG AH
证；
（2）连接BE 并延长交AC于E，作EF^BC于F，ED∥BC交AB于D，作DG^BC于G，则四边形DEFG
1
为所作．
【详解】（1）证明： CD∥AM ，
Q
\ÐAMC =ÐDCF ，
如图，过点D作DN∥AC交于N ，
，
则ÐDNC=ÐACM ，ÐDNB=ÐACH ，
\ ACM∽ DNC，
V V
AC DN NC DN
\ = ，即 = ①，
CM NC CM ACQ
四边形DEFG为矩形，
\DG^BC，
\ÐDGN =ÐAHC，
ÐDNG=ÐACH ，
Q
\ DGN∽ AHC，
V V
DG DN
\ = ②，
AH AC
DE∥GC，DN∥AC，
Q
\四边形DECN为平行四边形，
\NC=DE③，
DE CM
由①②③得 = =2，
DG AH
\DE=2DG，
\矩形DEFG即为所作；
（2）解：如图，连接BE 并延长交AC于E，作EF^BC于F，ED∥BC交AB于D，作DG^BC于G，
1
则四边形DEFG为所作，
，
证明： 四边形DE FG 符合DE =2EF，
Q 1 1 1 1 1 1 1 1
由作图得EF∥EF ，
1 1
\ BEF∽ BEF ，
V 1 1 V
BE EF
\ 1 = 1 1，
BE EF
ED∥BC∥DE ，
Q 1 1
\ BDE∽ BDE，
V 1 1 V
BE DE
\ 1 = 1 1 ，
BE DEEF DE
\ 1 1 = 1 1，
EF DE
DE DE
\ = 1 1 =2，
EF EF
1 1
\矩形DEFG即为所作．
押题猜想九 圆
限时：20min
41．如图，在
e
O中，AB是直径，CD是弦，且AB^CD，垂足为E，AB=20，CD=12，在BA的延长线
上取一点F，连接CF，使ÐFCD=2ÐB．
(1)求证：CF是
e
O的切线；
(2)求EF的长．
【答案】(1)见解析
9
(2)
2
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到ÐB=ÐBCO，等量代换得到ÐFCD=ÐCOE，得到
ÐOCF =90°，根据切线的判定定理得到结论；
1
（2）根据垂径定理得到CE= CD=6，根据勾股定理得到OE= OC2-CE2 =8，根据相似三角形的判定
2
和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OC，如图，∵OC =OB，
∴ÐB=ÐBCO，
∴ÐAOC =ÐB+ÐBCO=2ÐB，
∵AB^CD，
∴ÐCEO=90°，
∴ÐCOE+ÐOCE=90°，
∵ÐFCD=2ÐB，
∴ÐFCD=ÐCOE，
∴ÐFCD+ÐOCE=90°，
∴ÐOCF =90°，
∵OC是
e
O的半径，
∴CF是
e
O的切线；
（2）解：∵AB是直径，CD是弦，且AB^CD，
1
∴CE= CD=6，
2
∵AB=20，
∴OC=10，
∴OE= OC2-CE2 =8，
∵ÐOCF =ÐOEC =90°，ÐCOE=ÐFOC，
∴ OCE∽ OFC，
V V
OC OE
∴ = ，
OF OC
10 8
∴ = ，
OF 10
25
∴OF = ，
2
25 9
∴EF＝OF-OE= -8= ．
2 2
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确
地作出辅助线是解题的关键．
押题解读本考点为必考考点，圆的知识点有点多，包括垂径定理、圆周角圆心角、直线与圆的位置关系、正多边
形与圆和扇形的面积公式、圆锥的侧面积公式等等；一般圆的题目会出现在选择题、填空题和大题，作
为压轴题来考查的话，圆的题目有些难度，需要综合运用圆的基础概念和圆与其他知识点的混合；解决
圆类的问题，最主要是牢记勾股定理和垂径定理的应用；
42．如图，AC与BD相交于点E，连接AB,CD,CD=DE．经过A,B,C三点的
e
O交BD于点F，且CD是
e
O
的切线．
(1)连接AF ，求证AF = AB；
(2)求证AB2 = AE×AC；
(3)若AE=2,EC =6,BE=4，则
e
O的半径为 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
16 15
(3)
15
【分析】（1）连接OC,OA交BF于点G，证明OA^BF ，利用垂径定理即可得到结论；
（2）连接BC，证明 ABE∽ ACB，即可利用相似三角形的对应边成比例证出结论；
V V
（3）连接CO，并延长交AB于点H，连接OB,BC，由 ABE∽ ACB，对应边成比例求出CB，在Rt△BCH
V V
中，由勾股定理求出CH ，进一步求出OH，在Rt△AOH 中，利用勾股定理即可求出半径．
【详解】（1）证明：如图，连接OC,OA交BF于点G，
CD是 O的切线，
Q e
\OC ^CD，即ÐOCD=ÐOCA+ÐDCE=90°，
CD=DE，
Q
\ÐDCE=ÐDEC，
OA=OC，
Q
\ÐOAC =ÐOCA，
ÐDEC =ÐAEG，
Q
\ÐOAC+ÐAEG=90°，
\ÐAGE=180°-ÐOAC+ÐAEG=90°，
即OA^BF ，
由垂径定理可得，OA垂直平分BF，
\AF = AB；
（2）证明：如图，连接BC，
由（1）知，AF = AB，
则ÐAFB=ÐABE，
又ÐACB=ÐAFB，
\ÐABE=ÐACB，
又 ÐBAE=ÐCAB，
Q
\ ABE∽ ACB，
V V
AB AE
∴ = ，即：AB2 = AE×AC；
AC AB
（3）解：如图，连接CO，并延长交AB于点H，连接OB,BC，AE=2,EC =6，
Q
则AC = AE+EC =8，
由（2）可知，AB2 =AE×AC=16，
\AB=4=BE，
由（2）知 ABE∽ ACB，
V V
AB BE 4 4
则 = ，即 = ，
AC CB 8 CB
\AC =CB=8，
又 OA=OB，
Q
\CH垂直平分AB，
1
\AH =BH = AB=2，
2
在Rt△BCH 中，
CH = BC2-BH2 =2 15，
设半径为r，则OA=OC =r，OH =CH -OC=2 15-r,
在Rt△AOH 中，
 2
OH2+AH2 =OA2即： 2 15-r +22 =r2，
16 15
解得r= ，
15
16 15
故答案为： ．
15
【点睛】本题综合考查圆的知识，解答中涉及圆的基本知识，切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角
形的判定和性质，勾股定理等，能综合运用相关知识解决问题是解题的关键．
43．如图，B、C是线段AD上两点，AB、BC、CD分别是
e
O
1
、
e
O
2
、
e
O
3
的直径，这三个圆的半径都等
于10，设AG切
e
O
3
于G，且交
e
O
2
于E、F，则弦EF的长为 ．
【答案】16
【分析】连接O
2
E，O
2
F ，O
3
G，作O
2
L^ AG于点L，由
e
O
1
、
e
O
2
、
e
O
3
的半径都等于10，得
O B=O E=O F =O D=OG=10，AB=BC =CD=20，则AO =30，AO =50，由切线的性质得AG^OG，
2 2 2 3 3 2 3 3O L OG 1 1
所以ÐO LA=ÐOGA=90o，由sinA= 2 = 3 = ，求得O L= AO =6，则EL= O E2-O L2 =8，再
2 3 AO AO 5 2 5 2 2 2
2 3
结合等腰三角形性质求解，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接O E，O F ，OG，作O L^ AG于点L，则EL=FL，
2 2 3 2
Q
AB、BC、CD分别是
e
O
1
、
e
O
2
、
e
O
3
的直径，这三个圆的半径都等于
10，
\O B=O E=O F =O D=OG=10，AB=BC =CD=20，
2 2 2 3 3
\AO = AB+O B=20+10=30，AO =3AB-O D=3´20-10=50，
2 2 3 3
Q
AG切
e
O
3
于G，
\AG^OG，
3
\ÐO LA=ÐOGA=90°，
2 3
O L OG 10 1
\sinA= 2 = 3 = = ，
AO AO 50 5
2 3
1 1
\O L= AO = ´30=6，
2 5 2 5
\EL= O E2-O L2 = 102-62 =8，
2 2
\EF =2EL=16，
故答案为：16．
【点睛】此题重点考查垂径定理、切线的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解
题的关键．
44．如图，O是
V
ABC内一点，
e
O经过点B、C交AB、AC于点D、E，DE∥BC，且ÐEBC=ÐA．(1)求证：BC =BE；
(2)若AE= 2，ÐA=45°，求
e
O的半径．
【答案】(1)证明见详解
(2) 2
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，三角形的内角和，线段垂直平分线的判定
定理，圆周角和圆心角的关系，等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握各知识点，并灵
活应用解决问题．
（1）利用圆内接四边形的性质得出Ð1=ÐC，利用平行线的性质和三角形内角和得出ÐBEC =ÐC，进而利
用等角对等边得出BE=BC；
（2）利用线段垂直平分线的判定定理得出BF垂直平分EC，假设EF =x，表示出相关的边长，列方程求解，
再利用圆周角和圆心角的关系得出等腰直角三角形，进而可以求解．
【详解】（1）证明：
∵四边形DBCE是圆的内接四边形，
∴ÐC+ÐEDB=180°，
∵Ð1+ÐEDB=180°，∴Ð1=ÐC，
又∵AB//CD，
∴Ð1=ÐABC，
∴ÐABC =ÐC．
∵ÐC =180°-ÐA-ÐABC，ÐBEC =180°-ÐEBC-ÐC，
又∵ÐA=ÐEBC
∴ÐBEC =ÐC
∴BE=BC．
（2）解：连接BO并延长交EC于点F，
∵OE=OC，BE=BC，
∴BF垂直平分EC，
∵BE=BC，BF ^EC，
1
∴ÐEFB=90°，ÐEBF = ÐEBC，EF =FC．
2
设EF =x，则AF = 2+x，AB= AC = 2+2x，
在Rt ABF中，ÐEFB=90°，ÐA=45°，
V
 
∴AB= 2AF，即 2+2x= 2 2+x ．
∴x=1，即EF =1．
1
∵ÐEBF = ÐEOF ，
2
∴ÐEOF =ÐEBC =ÐA=45°．
在Rt△EOF 中，ÐEFO=90°，ÐEOF =45°，
∴EO= 2EF = 2．e
O的半径为 2．
45．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作等补四边形．
(1)如图，已知四边形ABCD内接于
e
O，D是AC的中点．
①求证：四边形ABCD是等补四边形；
②过点D作
e
O的切线，分别交BA,BC的延长线于点E，F．求证：BE·CF =BF·AE．
(2)下列结论：
a．每个等补四边形都可以分割成两个全等三角形；
b．连接每个等补四边形的2条对角线后，至少有6对相似三角形；
c．每个等补四边形都能沿着某条对角线剪开后，拼成等腰三角形；
d．有一条对角线是直径的圆内接等补四边形是正方形．
其中所有正确结论前的字母代号是 ．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)bc
【分析】（1）①由圆内接四边形性质结合等补四边形的定义即可证明；②连接OD，则OD^EF ，连接AC
交OD于点G，由垂径定理推论可得OD^ AC，从而得AC P EF，证明 V ABC∽ V EBF ，即可证得结论；
（2）连接BD和AC交于点H，显然，此时四边形ABCD不论怎么分，无法分成两个全等的三角形，可判断
a错误；有
V
ABH∽
V
DCH,
V
ADH∽
V
BDA,
V
DCH∽
V
DBC,
V
ABH∽
V
DBC,
V
BAD∽
V
BHC,
V
ADH∽
V
BCH ，可判
断b正确；显然，从BD剪开，得到△ABD和 BDC，两者能拼成等腰三角形，可判断c正确；当圆内接等
V
补四边形有一条对角线是直径时，可得直径所对的两个内角为直角，但无法证明其为正方形．可判断d．
【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD内接于
e
O，
由圆内接四边形性质可得ÐB+ÐADC =180°,ÐBAD+ÐBCD=180°，
又∵ n n ，
AD=CD
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是等补四边形．②证明：连接OD，连接AC交OD于点G，如图1，则OD^EF ，
∵ n n ，OD过圆心，
AD=CD
由垂径定理推论可得OD^ AC，
∴AC
P
EF，
∴ ABC∽ EBF ，
V V
BE BF BE BF
∴ = ，即 = ，
AB BC BE-AE BF-CF
BE BF
∴ = ，即BE·CF =BF·AE．
AE CF
（2）解：如图2，连接BD和AC交于点H，
显然，只有△ADC一定是等腰三角形，
此时四边形ABCD不论怎么分，无法分成两个全等的三角形，故a错误；
由题意可知，ÐDAC =ÐDCA=ÐABD=ÐDBC,ÐBAC =ÐBDC,ÐAHB=ÐCHD,ÐAHD=ÐBHC，
∴ ABH∽ DCH ， ADH∽ BDA，△DCH∽△DBC，△ABH∽△DBC， BAD∽ BHC，
V V V V V V
ADH∽ BCH ，故b正确；
V V
ÐDAC =ÐDCA,AD=CD，
Q
则沿BD被剪开的两个三角形中，有一组边相等，一组角相等，
∴两者能拼成等腰三角形，故c正确；
当圆内接等补四边形有一条对角线是直径时，可得直径所对的两个内角为直角，
则圆内接四边形不一定为正方形．故答案为：bc．
押题猜想十 尺规作图与几何
限时：10min
a c
46．教材中有这样一段文字：“在比例式 = 中，如果b=c，那么b2 =ac．我们把b叫做a和c的比例中
b d
项．”在学习过程中，有些几何图形中的线段满足b2 =ac的关系，用直尺与圆规分别作出满足下列条件的各
点．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图①中，在AB上求作一点D满足AC2 = AD AB；
g
(2)在图②中，在 e O上求作一点D满足AD2 = AB g AC；
(3)在图③中，在线段AB上求作一点D满足AD2 = AB BD；
g
(4)在图④中，点A、C、B依次在同一直线上，AC<BC ，在直线上求作一点D，满足AC2 = AD·BD
【答案】(1)图见详解；
(2)图见详解；
(3)图见详解；
(4)图见详解．
【分析】本题主要涉及比例中项的概念以及利用圆规和直尺进行几何作图，涉及作一个角等于已知角，作
已知线段的垂直平分线等基本尺规作图，通过将所给的线段比例关系转化为几何图形中的相关性质来确定
点的位置是正确解答此题的关键．
（1）在图①中，可以通过在AB上作一个角等于ÐACB来确定点D的位置．
（2）在图②中，连接AO，然后作一个以AO直径的
e
O
1
，
e
O
1
与
e
O的交点即为点D．1
（3）在图③中，作线段AB的垂直平分线，过点B作BC^ AB，且使BC = AB，以C为圆心，BC为半
2
径画
e
C，连接AC，交
e
C于点E．以A为圆心，AE为半径画
e
A，交AB于点D，点D即为所求的点，
满足AD2 = AB×BD．满足AC2 = AD·BD
（4）在图④中，：作线段AB的垂直平分线，垂足为H，作BE^ AB，使BE= AC，作AF ^ AB，使
AF = AC，BE、AF在直线AB同侧，连接EF，与AB的垂直平分线交于点O ，以O 为圆心，O E的长为
2 2 2
半径作
e
O
2
，交直线AB于D
1
，D
2
，点D
1
，D
2
即为求作的点．
【详解】（1）解：以AC为一边，在ÐACB内部作ÐACD=ÐABC，CD与AB的交点即为所求的点D．
理由：由作图可知：ÐACD=ÐABC，
ÐA=ÐA，
Q
\ ABC∽ ACD，
V V
AC AB
\ = ，
AD AC
\AC2 = AD×AB；
即点D为满足题意的点；
（2）解：连接AO，作AO的垂直平分线交AO于点O
1
，以O
1
为圆心，O
1
O为半径作
e
O
1
，与
e
O的交点D
1
,D
2
即为求作的点．
理由：连接CD、BD、AD、OD、OB，
1 1 1 1Q
AO是
e
O
1
的直径，
\ÐADO=90°，即Ð1+Ð2=90°，
1
\Ð1=90°-Ð2，
Q
OB=OD
1
，
\Ð1=ÐOBD ，
1
1
Ð1= 180°-ÐBOD ，ÐBOD =2ÐC，
Q 2 1 1
1
\Ð1= 180°-2ÐC=90°-ÐC，
2
\Ð2=ÐC，
ÐBAD =ÐDAC，
Q 1 1
\ ABD∽ ADC，
V 1 V 1
AD AB
\ 1 = ，
AC AD
1
\AD2 = AB×AC，
1
\D 为满足题意的点，
1
同理可证D 为满足题意的点；
2
1
（3）解：作线段AB的垂直平分线，过点B作BC^ AB，且使BC = AB，以C为圆心，BC为半径画
2
e
C，连接AC，交
e
C于点E．以A为圆心，AE为半径画
e
A，交AB于点D，点D即为所求的点，（方法不唯一）
理由：设AB=2a，则BC=a，
BC ^ AB，
Q
\AC = a2+2a2 = 5a，
CE=CB=a，
Q
 
\AE= AD= 5-1 a，
   
\BD=2a- 5-1 a= 3- 5 a，
AD2 =é 5-1  aù 2 =  6-2 5  a2，AB×BD=2a×  3- 5  a=  6-2 5  a2，
Q ë û
\AD2 = AB×BD．
\点D满足AD2 = AB×BD；
（4）解：作线段AB的垂直平分线，垂足为H，作BE^ AB，使BE= AC，作AF ^ AB，使AF = AC，BE、AF
在直线AB同侧，连接EF，与AB的垂直平分线交于点O
2
，以O
2
为圆心，O
2
E的长为半径作
e
O
2
，交直线
AB于D ，D ，点D ，D 即为求作的点．
1 2 1 2
（方法不唯一），
理由：连接O D ，
2 1
BE^ AB，AF ^ AB，O H ^ AB，且BE= AF = AC，
Q 2\四边形ABEF、AHO F、BEO H 是矩形，
2 2
\AF =O H =BE,O F = AH =O E=BH ，AB=EF，
2 2 2
设AF = AC =m,AH =BH =n，则HD = O D2-O H2 = n2-m2 ，
1 2 1 2
\AD =n- n2-m2,BD =n+ n2-m2 ，
1 1
  
AC2 =m2,AD ×BD = n- n2-m2 n+ n2-m2 =m2，
Q 1 1
\ AC2 = AD×BD，
同理可证明点D 满足题意。
2
押题解读
本考点为必考考点，尺规作图已经成为南京中考数学必不缺少的一部分，主要在解答题中出现，一般难
度不大，熟记初中的基本尺规作图方法，尤其是不同的尺规作图方法需要注意的点；
47．已知点A，B，C的位置如图所示，若它们分别是一个圆的内接三角形的三边的中点，用两种不同的方
法求作该圆．要求：
①用直尺和圆规作图；
②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
【答案】见解析
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，正确作出图形．方法一：①连接AB，BC，AC；②分别过A，B，C作BC，AC，AB的平行线交于点D，E，F；③
作线段DE，DF的垂直平分线检验点O，连接OD；④以O为圆心，OD为半径作
e
O即可；
方法二：①②步骤同上；③过点A作AN ^BC于点N ；过点B作BM ^ AC于点M ，AN，BM 交于点O，
连接OD；④以O为圆心，OD为半径作
e
O即可．
【详解】解：如图 O即为所求．
e
方法一：①连接AB，BC，AC；
②分别过A，B，C作BC，AC，AB的平行线交于点D，E，F；
则可得四边形ADCB,ABCE为平行四边形，\DA=BC = AE，
同理可得DB=BF.EC =CF ，
③作线段DE，DF的垂直平分线交于点O，连接OD；
④以O为圆心，OD为半径作
e
O即可，
则 V DEF 是 e O的内接三角形，且点A，B，C内接三角形的三边的中点，符合题意；
方法二：①②步骤同上；
则可得四边形ADCB,ABCE为平行四边形，\DA=BC = AE，
同理可得DB=BF.EC =CF ，
③过点A作AN ^BC于点N ；过点B作BM ^ AC于点M ，AN，BM 交于点O，连接OD；可得AN,BM 分别为DE,DF 的垂直平分线，
④以O为圆心，OD为半径作
e
O即可，
则 V DEF 是 e O的内接三角形，且点A，B，C内接三角形的三边的中点，符合题意；
48．如图，A、B分别在一个单位长度网格线上，A、B皆不为中点；
(1)仅用直尺作出图一AB的中点C；
(2)仅用直尺作出图二AB的中点D．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理作图即可；
（2）根据三角形的重心及中线可进行求解；
本题考查了尺规作图，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）如图，根据平行线分线段成比例定理
∴点C即为所求；
（2）在格点上取一点C，连接AC,BC，根据（1）所作方法取AC,BC的中点H、G，连接AG,BH，交于
一点R，然后连接CR并延长，交AB于一点D，则点D即为所求，所作图形如图所示：49．如图：已知直线l，及l同侧两点M,N．用直尺与圆规作图．
(1)在图（1）中作出点P，使ÐAPM =ÐBPN（保留作图痕迹）；
(2)在图（2）中作出点Q，使ÐDQM =2ÐCQN（保留作图痕迹，简要说明画法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）以点M为圆心，以适当长度为半径画弧，交AB于C，D两点，然后分别以点C，D为圆心，
以CM 长度为半径画弧，两弧交于点Q，连接QN交AB于点P，即为所求；
（2）首先作出点N关于CD的对称点E，连接ME，作出ME的垂直平分线，连接两弧的交点交ME于点
F，以点E为圆心AE为半径画圆，以点F为圆心，以EF为半径画圆，两圆交于点G，连接MG交CD于点
Q，即为所求．
【详解】（1）如图所示，点P即为所求；
∵点Q和点M关于AB对称
∴ÐMPA=ÐQPA∵ÐBPN =ÐQPA
∴ÐAPM =ÐBPN；
（2）如图所示，点Q即为所求；
∵点N和点E关于CD对称
∴ÐNQC =ÐEQC
∵ME是直径
∴ÐQGE=90°
∴ÐQAE=ÐQGE=90°
∵AE=GE，QE=QE
∴Rt
V
QGE≌RtQAEHL
∴ÐGQE=ÐEQA
∴ÐGQE=ÐAQN
∴ÐGQC =2ÐCQN
∵ÐDQM =ÐGQC
∴ÐDQM =2ÐCQN．
【点睛】此题考查了复杂作图，切线的性质，圆周角定理，全等三角形的性质，轴对称性质等知识，解题
的关键是掌握以上知识点．
50．如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮（
V
ABC）上切一块最大的且无破损的圆形铁皮（
e
O）．(1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出
e
O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)三角形铁皮上有一破损小洞（点P）．
①如图②，点P在
V
ABC的中心，用直尺和圆规作出
e
O．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
②点P不在
V
ABC的中心．
i）点P的位置如图③所示，画出
e
O的示意图，并写出用直尺和圆规作
e
O的思路；
ii）随着点P位置的改变，
e
O的大小和位置都有可能发生变化．要使
e
O与i）中所画的圆的大小和位置都
完全相同，那么点P可以在哪些位置？请描述出这些位置．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②i）见解析；ii）见解析
【分析】本题考查了作三角形的内切圆，等边三角形，角平分线；
（1）作角平分线的交点，作三角形的内切圆；
（2）①方法一：使得O为BP的三等分点；方法二：使得O为 BDE的中心；方法三：作PQ∥BC，PQ
V
的垂直平分线与BP的交点O；
②i）如图⑤或图⑥，
e
O即为所求．思路1：作
V
ABC的角平分线BD，作
e
O¢分别与BC，AB相切，连
接BP，交
e
O¢于点P¢，过点P作PO∥P¢O¢，交BD于点O，思路2：作
V
ABC的角平分线BD，作点P关
于BD的对称点P¢，PP¢的延长线交BC于点M；作FG=MP，在FG上截取GH =MP¢，以FG为直径作
e
O，过点H作EH ^FG，交
e
Q于点E；ii）AD，CE分别是
V
ABC的角平分线，AD，CE分别交
e
O
于点H，G，点P在GH上．
【详解】（1）解：如图①，⊙O即为所求，
（2）解：①方法一：使得O为BP的三等分点；方法二：使得O为 BDE的中心；方法三：作PQ∥BC，
V
PQ的垂直平分线与BP的交点O，作图如下：②i）如图⑤或图⑥，
e
O即为所求．
思路1：作
V
ABC的角平分线BD，作
e
O¢分别与BC，AB相切，连接BP，交
e
O¢于点P¢，过点P作
PO∥P¢O¢，交BD于点O，以O为圆心，OP为半径作
e
O．
思路2：作
V
ABC的角平分线BD，作点P关于BD的对称点P¢，PP¢的延长线交BC于点M；作FG=MP，
在FG上截取GH =MP¢，以FG为直径作
e
O，过点H作EH ^FG，交
e
Q于点E，可得EG2 =FG·GH；
在MB上截取MN =EG，可知MN2 =MP·MP¢；过点N作ON ^BC，交BD于点O，以O为圆心，ON为半
径作 O．
e
ii）如图⑦，AD，CE分别是
V
ABC的角平分线，AD，CE分别交
e
O于点H，G，点P在GH上（点P
不与G，H重合）．押题猜想十一 统计与概率
限时：10min
51．小李开车到公司上班有A， B两条路线可选择，路线A经城市高架，路线B经市区道路．为了解上班
路上所用时间，小李先连续10个工作日选择路线A，接着连续10个工作日选择路线B，记录用时（单位：
min）数据如表：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
路线A用时 15 16 20 18 18 19 18 20 17 19
路线B用时 11 11 14 16 17 22 21 11 21 12
(1)路线A连续10天用时的中位数是_________min，路线B连续10天用时的众数是________min；
(2)求路线A连续10天用时的平均数和方差；
(3)经计算，路线B连续10天用时的平均数是15.6min，方差是18.04min2．结合上表信息，帮小李选择合适
的上班路线，并利用至少3个统计量说明理由．
【答案】(1)18min；11min
(2)平均数为18min；方差为2.4min2
(3)建议选择路线B，理由见解析
【分析】本题主要考查了求中位数，众数，平均数和方差，熟知相关中位数，众数，平均数和方差的定义
是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）先求出平均数，再计算出方差即可；
（3）路线B的中位数，平均数和众数都小于A对应的中位数，平均数和众数，据此可得结论．
【详解】（1）解：路线A连续10天的用时按照从低到高排列为15，16，17，18，18，18，19，19，20，
20，处在第5名和第6名的时间分别为18min，18min，
18+18
∴路线A连续10天用时的中位数是 =18min；
2
∵路线B中，用时为11min的天数最多，
∴路线B连续10天用时的众数是11min；
15+16+20+18+18+19+18+20+17+19
（2）解：平均数为 =18min，
10
15-182 +16-182 +17-182 +3´18-182 +2´19-182 +2´20-182
方差为 =2.4；
10（3）解：建议选择路线B，理由如下：
从平均数的角度看，路线A的平均数大于路线B的平均数；从中位数来看，路线B的中位数小于路线A的
中位数；从众数来看，路线B的众数小于路线A的众数，
综上所述，路线B比路线A更节约时间，故建议选择路线B．
押题解读
本考点为必考考点，统计概率主要涉及到平均数、中位线、众数、方差、概率等；此类题型比较简单，
一般填空题里边会考查一道，解答题一道统计，一道概率，这是固定考查模型；解决此类问题只需要熟
悉基础概念，考试的时候千万不要混淆概念。
52．小马和小虎参加某项考试，他们都忘记了自己在第几考场，已知一共有4个考场．
(1)小马随机选择一个考场，恰好是自己的考场的概率为 ；
(2)小马和小虎记得两人不在同一个考场，他们各选择一个考场，恰好选择到是自己的考场的概率是多少？
1
【答案】(1)
4
1
(2)
12
【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是根据题意，画树状图得出所有等可能结
果．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）设四个考查为A、B、C、D，其中小马应在A考场、小虎应在B考场，画树状图得出所有等可能结果，
从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
1
【详解】（1）解：小马随机选择一个考场，恰好是自己的考场的概率为 ，
4
1
故答案为： ．
4
（2）解：设四个考场为A、B、C、D，其中小马应在A考场、小虎应在B考场，画树状图，如图所示：
由图可知，共有12种等可能结果，其中恰好选择到是自己的考场的只有1种结果，1
∴恰好选择到是自己的考场的概率为 ．
12
53．做投球实验的装置如图所示．实验时，将小球从M 处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁4个盒子．已
知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的．
(1)若投入一个小球，求它通过管道B的概率．
(2)若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①最先填满的是甲盒；
③ 4个盒子中的小球的数量一样多；
③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量；
④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等．
1
【答案】(1) ；
2
(2)③④
【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是正确理解列表法或画树状图法可以不重
复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
（1）依据题意先用列举法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；
（2）根据画出树状图，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】（1）解：如图，将第一层的两个管道分别记为P，Q，小球通过两层管道下落，可能出现的结果共有4种，即P,A，
P,B，Q,B，Q,C，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足小球通过管道B（记为事件N ）的
结果有2种，分别是P,B，Q,B，
1
∴PN= ；
2
（2）解：如图，
画树状图，1 1 1 1
∴落在甲盒的概率为 ，落在乙盒的概率为 ，落在丙盒的概率为 ，落在丙盒的概率为 ，
6 3 3 6
①最先填满的是乙盒或丙盒，原选项错误；
② 4个盒子中的小球的数量不可能一样多，原选项错误；
③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量，原选项正确；
④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等，原选项正确；
∴③④正确，
故答案为：③④．
54．某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测
试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四
个等级：D：60£x<70，C：70£x<80，B：80£x<90，A：90£x<100），部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图，扇形统计图中A的圆心角度数为 ；
(2)求所抽取的学生成绩的中位数为 ；
(3)该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
【答案】(1)图见解析；120°
(2)85分
(3)120人
【分析】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、中位数的定义是解答本题的关键．
（1）用频数分布直方图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得抽取的人数，进而可得C等级的人
数，补全频数分布直方图即可；用360度乘以A的人数所占的百分比，即可得出答案．
（2）根据中位数的定义可得答案．
（3）根据用样本估计总体，用360乘以样本中A等级的人数所占的百分比，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，抽取的人数为12¸40%=30（人），
∴C等级的人数为30-1-12-10=7（人）．
补全频数分布直方图如图所示．
10
扇形统计图中A的圆心角度数为360°´ =120°．
30
（2）解：∵1+7<15，1+7+12>16，
∴将抽取的30名学生成绩按照从小到大的顺序排列，排在第15和16名的成绩为84分，86分，
∴所抽取的学生成绩的中位数为84+86¸2=85（分）．
10
（3）解：360´ =120（人）．
30
∴估计成绩为A等级的人数约120人．
55．某学校七年级、八年级各有500名学生，为了解两个年级的学生对垃圾分类知识的掌握情况，学校从
七年级、八年级各随机抽取20名学生进行垃圾分类知识测试，满分100分，（成绩分为5组，A：
50£x<60；B：60£x<70；C：70£x<80；D：80£x<90；E：90£x£100）整理所得数据，绘制如下不完
整的统计图．分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数方差如表所示：
平均 中位 众
年级 方差
数 数 数
七年
76.9 a 86 119.89
级
八年
79.2 81 74 100.4
级
(1)补全八年级20名学生测试成绩频数分布直方图．
(2)七年级20名学生测试成绩的中位数在 组．
(3)请根据抽样调查数据，估计全校七、八年级垃圾分类知识测试成绩在80分及以上的大约有多少人．
(4)通过以上分析，你认为哪个年级学生对垃圾分类知识掌握得更好？请说明推断的理由（两条即可）．
【答案】(1)见解析；
(2)C
(3)450人；
(4)八年级学生对垃圾分类知识掌握得更好，理由见解析
【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布直方图，平均数、中位数、方差及其意义，利用样本估计总体，
根据题意找出所需数据是解题关键．
（1）先求出八年级D组人数，再补全频数分布直方图即可；
（2）先根据扇形统计图求出七年级各组别人数，再根据中位数的定义求解即可；
（3）用七、八年级的学生人数乘以成绩在80分及以上的学生人数的占比求解即可；
（4）根据平均数、中位数、方差的意义分析即可．【详解】（1）解：八年级D组人数为：20-1-4-5-4=6人，
补全频数分布直方图如下：
（2）解：由扇形统计图可知，七年级A组人数为：20´10%=2人；B组人数为：20´15%=3人；C组人
数为：20´35%=7人，
Q
七年级20名学生成绩的中位数为第10、11名学生成绩的中位数，
\七年级20名学生测试成绩的中位数在C组，
故答案为：C；
6+4
（3）解：500´15%+25%+500´ =450人，
20
答：估计全校七、八年级垃圾分类知识测试成绩在80分及以上的大约有450人；
（4）解：八年级学生对垃圾分类知识掌握得更好，
理由：①从平均数看，八年级样本数据的平均数高于七年级，说明八年级学生对垃圾分类知识掌握的整体
情况更好；
②从中位数看，八年级样本数据的中位数高于七年级，说明八年级学生中至少有一半以上的成绩高于81分，
而七年级学生中至少有一半的成绩低于80分；
③从方差看，八年级的样本数据的方差小于七年级，说明八年级学生对垃圾分类知识掌握的更稳定．
押题猜想十二 最值问题
限时：15min
56．如图，在
V
ABC中，ÐC =90°，ÐB=60°，AB=2，M、N 分别是BC、AB边上的动点，且CM =BN，
则线段MN的最小值为 ．1
【答案】 /0.5
2
【分析】本题考查了含30°角的直角三角形，二次函数最值问题，求出三角形三边和利用二次函数求最值是
æ 3 ö 2 æ 3 ö 2
解题的关键，过点N作ND^BC于点D，设CM =BN =x，根据勾股定理得出MN2 =ç
ç è 2
x÷
÷ ø
+ç
è
1-
2
x÷
ø
进而求出最小值．
【详解】解：过点N作ND^BC于点D，
ÐC =90°，ÐB=60°，AB=2，
Q
∴ÐA=ÐBND=30°
1
\BC = AB=1，
2
设CM =BN =x，
1 3
\BD= x，ND= x，
2 2
1 3
\MD=1-x- x=1- x，
2 2
MN2 =ND2+MD2，
Q
æ 3 ö 2 æ 3 ö 2 3 9 æ 1ö 2 1
\MN2 =ç ç è 2 x÷ ÷ ø +ç è 1- 2 x÷ ø = 4 x2+1-3x+ 4 x2 =3ç è x- 2 ÷ ø + 4 ，
1 1
∴当x= 时，MN2取得最小值 ，
2 4
1
\MN 的最小值为 ，
2
1
故答案为： ．
2
押题解读本考点为常考点之一，最值问题属于初中数学的一个难点，同时也是中考数学的常客，往往是在压轴题
进行考查；南京的中考数学对这一块的考查也比较频繁，基本上都是作为压轴题；解决此类问题的方法
是训练一下初中阶段考查的最值模型，比方说将军饮马问题、三点共线问题、隐圆问题等等，当然，也
可以从动点的轨迹问题来统一思考。
2
57．在矩形ABCD中，AB = 2,BC = 8，点P是平面内、直线CD右侧一点，且sinÐDPC = 5，线段BP的
5
最大值为 ．
293 5
【答案】 +
2 2
【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，点与圆上一点的位置关系，根据解直角三角形和勾股定
理求出PD,PC，确定点P在以 5为直径的
e
O的CD的右侧的一段优弧上，当点O、P、B在一条直线上时，
17
BP取最大值，如图，此时BP¢的长即为BP最大值，连接OC，过点O作OH ^PC于点H，求出BH = ，
2
293
再通过勾股定理求出OH =1，OB= ，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
2
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ÐDCP=90°，CD= AB=2，
当点P在BC的延长线上时，
2
∵sinÐDPC = 5，
5
DC 2 5 2 2 5
\ = ，即 = ，
PD 5 PD 5
解得：PD= 5
∵ÐDCP=90°，
 2
\PC = PD2-CD2 = 5 -22 =1，
2
∵sinÐDPC = 5，
5
\ÐDPC是定值，
又 CD= AB=2=定值，
Q∴点P在以 5为直径的
e
O的CD的右侧的一段优弧上，
∴当点O、P、B在一条直线上时，BP取最大值，如图，此时BP¢的长即为BP最大值，
连接OC，过点O作OH ^PC于点H，
1 5
∵OC =OP=OP¢= PD= ,OH ^PC，
2 2
1 1
∴PH =CH = PC = ，
2 2
1 17
∴BH =BC+CH =8+ = ，
2 2
æ 5ö 2 æ1ö 2
在Rt V OHP中，OH = OP2-PH2 = ç ç ÷ ÷ -ç ÷ =1，
è
2
ø
è2ø
æ17ö 2 293
在Rt V OHP中，OB= BH2+OH2 = ç ÷ +12 = ，
è 2 ø 2
293 5
∴BP¢=OB+OP¢= + ，
2 2
293 5
∴线段BP的最大值为 + ，
2 2
293 5
故答案为： + ．
2 2
58．三角函数不仅在数学问题中经常出现，在实际生活运用中也常常用到……
【初步探究】小明由于疏忽，忘记了cos75°约等于多少，请你帮助小明画简图并计算cos75°（结果保留根
号）
【深层计算】小刚请你证明cos75°=cos30°cos45°-sin30°sin45°
【思考拓展】桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP=36cm，PA=18cm，AB=18cm桌面的高度为
60cm．在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大．
①画出此时AB所在位置的示意图；
②用两种方法求出CD的长度的最大值．【答案】证明过程见详解；①示意图见详解；②80cm
【分析】本题考查了相似三角形和三角函数的应用，正确写出比例式并进行换算，熟练掌握特殊的三角函
数值是解题的关键；
证明cos75°=cos30°cos45°-sin30°sin45°，把三角函数值代入求解即可；
①以A为圆心，AB长为半径画圆，当OQ与
e
A相切于H时，此时CD最大为CQ，
OP AG
②第一种方法先证明 GHA∽ GPO，再利用勾股定理求出AG=30，由 = ，即可求解；第二种方法
V V OR CQ
利用相似三角形，根据CQ=RD-RC即可求解；
【详解】解：初步探究：作ÐDAC=30°，ÐCAB=45°，作DE^AB，
设AD=1，
1 3
则CD= ，AC = ，
2 2
2 6
则AB= AC´ =
2 4
ÐCDF =60°-180°-75°-90°=45°，
2 2
BE=CF = CD= ，
2 4
6 2 6- 2
AE= AB-BE= - = ，
4 4 4
6- 2
cos75°=cosÐDAB=
4
深层计算：cos75°=cos30°cos45°-sin30°sin45°
3 2 1 2
= ´ - ´
2 2 2 26- 2
=
4
思考拓展：①以A为圆心，AB长为半径画圆，当OQ与
e
A相切于H时，此时CD最大为CQ，此时AB所
在位置为AH；
② ÐHGA=ÐPGO，ÐAHG=ÐOPG=90°，
Q
\ GHA∽ GPO，
V V
GA AH 18 1
\ = = = ，
GO OP 36 2
设GA=x，则GO=2x，
在Rt△OPG中，
OP2+PG2 =OG2，
\362+18+x2 =2x2，
\x2-12x-540=0，
\x =30，x =-18（舍去），
1 2
\AG=30，
OP AG
①由 = ，
OR CQ
36 30
\ = ，
36+60 CQ
\CQ=80，
② AB CD，
Q P
\ OPA∽ ORC，
V V
RC OR
= ，
PA OP
\ RC =48，
OPG∽ ORQ，
QV V
RQ OR
\ = ，
PG OP\RQ=128，
CQ=RD-RC =128-48=80
即CD的长度的最大值为80cm
59．如图，在Rt△ABC中，ÐACB=90°,AC =3,BC =4，点D，E分别在边BC,AC上，F为DE的中点，
若BD=CE，则CF的长的最小值为 ．
【答案】 2
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，二次函数求最值，熟练掌握知识点是解题的关键．
1
由直角三角形斜边上的中线的性质得到CF = DE，设BD=CE=x，则CD=4-x，则对Rt△CDE运用勾
2
股定理得DE2 =2x-22+8³8，即可求解．
【详解】解：设BD=CE=x，则CD=4-x，
∵ÐACB=90°，F为DE的中点，
1
∴CF = DE，DE2 =DC2+CE2，
2
∴DE2 =4-x2+x2 =2x2-8x+16=2x-22+8³8，
当x=2时，DE2取得最小值为8，
∴DE的最小值为2 2，
∴CF的最小值为 2，
故答案为： 2．
60．如图，在Rt△ABC中，ÐACB=90°，AC =3，BC =4．点M 沿线段CA从C向A运动，同时，点N
从B出发沿BC运动，且BN =2CM ，P是线段MN的中点，运动过程中，CP的最小值为 ．2 5
【答案】
5
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，由直角三角形的性质可得
1
CP= MN，可知当CP取最小值，则MN取最小值，设CM =x，则BN =2x，可得
2
MN2 =x2+4-2x2 =5 æ çx- 8ö ÷ 2 + 16 ，根据二次函数的性质解答即可求解，掌握直角三角形和二次函数的性
è 5ø 5
质是解题的关键．
【详解】解：∵ÐACB=90°，
∴ÐMCN =90°，
∵P是线段MN的中点，
1
∴CP= MN，
2
当CP取最小值，则MN取最小值，
设CM =x，则BN =2x，
∴MN2 =x2+4-2x2 =5x2-16x+16=5 æ çx- 8ö ÷ 2 + 16 ，
è 5ø 5
∵5>0，
8 16
∴当x= 时，MN2取最小值 ，
5 5
4 5
∴MN的最小值为 ，
5
1 4 5 2 5
∴CP的最小值为 ´ = ，
2 5 5
2 5
故答案为： ．
5
押题猜想十三 图形的平移、旋转、翻折问题
限时：15min
61．架桥通常会考虑多种因素，其中一个就是路线规划，确保桥两边A，B两地间的路程尽量短，以减少通
行时间和成本．(1)如图①，河l的宽度忽略不计，即桥的宽度忽略不计，请你在l上画出表示桥的位置的点P，使从A地
经过桥到B地的路程最短．
(2)如图②，河岸m和n之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间画出表示
桥的位置的线段CD，使桥与河岸垂直，并且从A地经过桥到B地的路程最短．
(3)如图③，河岸m和n，p和q之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间、
p和q之间分别画出表示桥的位置的线段CD和EF，使每座桥与相应的河岸垂直，并且从A地经过2座桥
到B地的路程最短．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，线段的性质：两点之间线段最短．
（1）连接AB交直线l于点P，点P即为所求；
（2）作AT ^直线m，使得AT =河宽，连接BT 交直线n于点C，作CD^直线m于点D，连接AD，线段
CD即为所求；
（3）作AT ^直线m，使得AT =河宽，BJ ^直线p，使得BJ =河宽，连接JT 交直线n于点C，交直线q
于点E，作CD^直线m于点D，作EF ^直线p于点F，连接AD，BF，线段CD，EF即为所求．
【详解】（1）解：如图①中，点P即为所求；
（2）解：如图②中，线段CD即为所求；
（3）解：如图③中，线段CD，EF即为所求．押题解读
本考点为常考点之一，图形的平移、旋转、翻折均属于小题中压轴题常考的题型，难度较大，多与几何
图形、函数等知识点一起综合考查；从近几年的南京中考卷来看，这一块的考查越来越灵活，需要考生
多加练习，加强辅助线添加的思维训练，这样可以有效帮助理解题意。
62．如图，在
V
ABC中，AB=3，AC =6，ÐBAC =120°，将
V
ABC沿AD折叠，使点B落在边AC上的B¢
处，则折痕AD的长为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了折叠的性质，解直角三角形，角平分线的性质，过点B作BH ^CA交CA延长线于
3 3
H，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为M、N，求出ÐBAH =60°，解直角三角形得到BH = ，
2
由折叠的性质和角平分线的性质得到DM =DN，则可根据等面积法求出DM 的长，再解Rt△ADM即可求
出答案．
【详解】解：如图所示，过点B作BH ^CA交CA延长线于H，过点D分别作AB，AC的垂线，垂足分别为
M、N，
∵ÐBAC =120°，
∴ÐBAH =180°-ÐBAC =60°，
3 3
∴BH = AB×sin∠BAH = ；
2
1
由折叠的性质可得ÐBAD=ÐCAD= ÐBAC =60°，
2
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM =DN，
∵S =S +S ，
VABC VABD VACD1 3 3 1 1
∴ ´6´ = ´3DM + ´6DN ，
2 2 2 2
9 3 3
∴ = DM +3DM ，
2 2
∴DM = 3，
DM 3
∴AD= = =2，
sin∠MAD sin60°
故答案为：2．
63．如图，
V
ABC和
V
ADE是有公共顶点的两个等腰直角三角形，ÐBAC =ÐDAE=90°，点P为射线BD
和射线CE的交点，若AB=2AD=4，将
V
ADE绕点A旋转，求旋转过程中线段PB的取值范围 ．
【答案】2 3-2£PB£2 3+2
【分析】利用特殊位置，当CE在OA下方与
e
A相切时，PB的值最小；当CE在OA上方与
e
A相切时，PB
的值最大，即可求解．
【详解】解：∵V ABC和
V
ADE是有公共顶点的两个等腰直角三角形，ÐBAC =ÐDAE=90°，
∴AD= AE,ÐBAD=ÐCAE,AB= AC，
∴V ABD≌ V ACESAS，
∴ÐADB=ÐAEC，BD=CE，
∵AB=2AD=4，
∴AB= AC =4,AD= AE=2，
如图，以A为圆心，AD为半径画圆，
当CE在OA下方与 A相切时，此时ÐBCE最小，ÐADB=ÐAEC =ÐDAE=90°，
e
∴四边形ADPE是矩形∴ÐDPE=90°，PD= AE=2，
∴△PBC是直角三角形，
∵斜边BC为定值，
∴ÐBCE最小时，PB最小，
∵AE^EC，
∴BD=EC = AC2-AE2 = 42-22 =2 3，
∴PB=BD-PD=2 3-2；
如图，以A为圆心，AD为半径画圆，
当CE在OA上方与 A相切时，此时ÐBCE最大，ÐADB=ÐADP=ÐAEC =ÐDAE=90°，
e
∴四边形ADPE是矩形，
∴ÐDPE=90°，PD= AE=2，
∴△PBC是直角三角形，
∵斜边BC为定值，
∴ÐBCE最大时，PB最大，
∵AE^EC，
∴BD=EC = AC2-AE2 = 42-22 =2 3，
∴PB=BD+PD=2 3+2；
综上所述，旋转过程中线段PB的取值范围为2 3-2£PB£2 3+2．
故答案为：2 3-2£PB£2 3+2．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和
性质，勾股定理等知识，利用特殊位置求出PB的最大值和最小值是解题的关键．
64．【问题提出】如图①，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四
边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．
(1)如图②，连接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°，因此可以将△DCB绕点D按顺时针方向 旋转60°，得
到△DAB¢，则△BDB¢的形状是 ；
(2)在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．
【类比应用】
(3)如图③，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝ 2，求四边形ABCD的
面积．
【答案】(1)等边三角形
9 3
(2)
4
5 3
(3) -1
2
【分析】（1）根据旋转的性质得出BD=DB¢，∠BDB¢=60°，所以△BDB′是等边三角形；
（2）根据旋转的性质知等边三角形的边长为3，过点B¢作B¢M⊥BD，利用等边三角形的性质及勾股定理得
出三角形的高，求出△BDB¢的面积即可；
（3）类比（1），连接BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D逆时针方向旋转60°，得到△DAB¢，连
接BB¢，延长BA，作B¢E⊥BE；易证△AFB¢是等腰直角三角形，△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理
计算AE=B¢E=1，BB¢= 10，求△ABB¢和△BDB¢的面积差即可．
【详解】（1）解：如图2，连接BD，由于AD=CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DA
B¢，
∵BD=B¢D，∠BDB¢=60°
∴△BDB¢是等边三角形，
故答案为：等边三角形；（2）由旋转的性质得：△BCD≌△B¢AD，
∴四边形ABCD的面积=等边△BDB¢的面积，
∵BC=AB¢=1
∴BB¢=AB+AB¢=2+1=3，
∴BB¢=BD=3，
过点B¢作B¢M⊥BD，如图2所示：
3
∴BM= ，
2
æ3ö 2 3 3
∴B¢M= 32-ç ÷ = ，
è2ø 2
1 3 3 9 3
∴S =S = ´3´ = ；
四边形ABCD VBDB¢
2 2 4
（3）如图3，连接BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D逆时针方向旋转60°，得到△DAB¢，
连接BB¢，延长BA，作B¢E⊥BE；
∴由旋转得△BCD≌△B¢AD
∴S =S ，
四边形ABCD 四边形BDBA¢
∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，
∴∠BCD+∠BAD=360°-∠ABC-∠ADC=225°，
∴∠B¢AD+∠BAD=∠BCD+∠BAD=225°，
∴∠BAB¢=360°-(∠B¢AD+∠BAD)=135°
∴∠B¢AE=45°，∴∆B¢AE为等腰直角三角形，
∵B¢A=BC= 2，
∴B¢E=AE=1，
∴BE=AB+AE=2+1=3，
∴BB¢= BE2 + BE¢ 2 = 10，
1
∴S = ´ AB´ BE¢ = 1，
VABB¢ 2
∵∠BDB¢=60°，BD=B¢D，
∴∆BDB¢为等边三角形，
30
同（2）中方法一致，得∆BDB¢得高为 ，
2
1 30 5 3
∴S = ´ 10 ´ = ，
VBDB¢ 2 2 2
5 3
∴S =S = S -S = - 1．
四边形ABCD
四边形BDBA¢ VBDB¢ VABB¢ 2
【点睛】题目主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，综合运用
这些知识点并作出相应图形是解题关键．
65．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察猜想】
DE
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，ED^CF，则
CF
的值为 ．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE^BD，则
CE
的值为 ；
BD
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，ÐA=ÐB=90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE×AB=CF×AD．
【拓展延伸】
1
（4）如图4，在Rt△ABD中，ÐBAD=90°，AD=9，tanÐADB= ，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C
3
DE
处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE^CF．求 的值．
CF
4 5
【答案】（1）1；（2） ；（3）见解析；（4）
7 3
【分析】（1）设DE，CF相交于点M，证明Rt
V
ADE≌Rt
V
DCFASA，利用全等三角形性质即可解题；
CE CD 4
（2）设BD与CE交于点G，利用矩形和垂直的性质证明 CDE∽ DAB，得到 = = ，即可解题；
V V
DB DA 7
（3）过点C作CH ^ AF交AF 的延长线于点H，得到四边形ABCH 为矩形，利用矩形和垂直的性质证明
△DEA∽△CFH ，利用相似三角形性质即可证明DE×AB=CF×AD；
（4）过点C作CG^ AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，证明 DEA∽ CGF ，得
V V
DE AD
到 = ，利用锐角三角函数得到AB=3，设AH =a，则DH =3a，利用勾股定理AH2+DH2 = AD2建
CF CG
27 9
立等式求出a的值，得到DH = 10，AC = 10，利用等面积法求得CG，即可解题．
10 5
【详解】（1）解：如图1，设DE，CF相交于点M，
DE^CF，
Q
\ÐCMD=90°，
\ÐDCM +ÐCDM =90°，
Q
四边形ABCD为正方形，
\ÐA=ÐCDF =90°，DA=CD，
\ÐADE+ÐCDM =90°，
\ÐADE=ÐDCM ，
即ÐADE=ÐDCF，
\Rt ADE≌Rt DCFASA，
V V\DE=CF，
DE
\ =1，
CF
故答案为：1；
（2）如图2，设BD与CE交于点G，
Q
四边形ABCD是矩形，
\ÐA=ÐEDC =90°，
CE^BD，
Q
\ÐDGC =90°，
\ÐCDG+ÐECD=90°，ÐADB+ÐCDG=90°，
\ÐECD=ÐBAD，
ÐA=ÐEDC=90°，
Q
\ CDE∽ DAB，
V V
CE CD 4
∴ = = ，
DB DA 7
CE 4
即 = ，
BD 7
4
故答案为： ；
7
（3）如图3，过点C作CH ^ AF交AF 的延长线于点H，
CG^EG，
Q
\ÐG=ÐH =ÐA=ÐB=90°，
\四边形ABCH 为矩形，
\AB=CH，ÐFCH +ÐCFH =ÐDFG+ÐFDG=90°，ÐDFG=ÐCFH ，
Q
\ÐFCH =ÐFDG=ÐADE，
\ DEA∽ CFH ，
V V
DE DA
\ = ，
CF CH
DE AD
\ = ，
CF AB
即DE×AB=CF×AD；
（4）如图4所示，过点C作CG^ AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，
CF ^DE，GC ^ AD，
Q
\ÐFCG+ÐCFG=ÐCFG+ÐADE=90°，
\ÐFCG=ÐADE，ÐBAD=ÐCGF =90°，
\ DEA∽ CGF ，
V V
DE AD
\ = ，
CF CG
1
在Rt ADH中，tanÐADH = ，
V
3
AH 1
\ = ，
DH 3
设AH =a，
则DH =3a，
AH2+DH2 = AD2，
Q
\a2+3a2 =92，
9
\a= 10（负值舍去），
10
9 27
\ AH = 10，DH = 10，
10 10
9
\ AC 2AH 10，
= =
51 1
S = AC×DH = AD×CG，
Q VADC 2 2
1 9 27 1
\ ´ 10´ 10 = ´9´CG，
2 5 10 2
27
\CG= ，
5
DE AD 9 5
= = =
\ CF CG 27 3．
5
【点睛】
本题考查全等三角形性质和判定，矩形的性质，相似三角形性质和判定，锐角三角函数，勾股定理，翻
折的性质，等面积法，解题的关键是作辅助线构造相似三角形．
押题猜想十四 新定义问题
限时：20min
66．如定义：对于一次函数y =ax+b、y =cx+d ，我们称函数y=max+b+ncx+dma+nc¹0为函数
1 2
y 、y 的“组合函数”．
1 2
(1)若m=3，n=1试判断函数y=5x+2是否为函数y =x+1，y =2x-1的“组合函数”，并说明理由：
1 2
(2)设函数y =x- p-2与y =-x+3p的图像相交于点P．
1 2
①若m+n>1，点P在函数y 、y 的“组合函数”图像的上方．求p的取值范围；
1 2
②若p¹1，函数y 、y 的“组合函数”图像经过点P，是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数
1 2
p．都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变？若存在．请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存
在．请说明理由．
【答案】(1)是；理由见解析
(2)①p<1 ②存在；m= 3 ，Q3，0
4
【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数与不等式的关系，一次函数与一元一次方程，正确
理解“组合函数”的定义是解本题的关键．
（1）把m=3，n=1代入组合函数中，化简后进行判断即可；
（2）①先求出点2p+1,p-1的坐标和“组合函数”y=m-nx+3pn-mp-2m，把x=2p+1代入“组合函数”，再根据题意，列不等式求解即可；②将点P代入“组合函数”，整理得m+n=1，把n=1-m代入“组合
函数”，消去n，把y=0代入解一元一次方程即可求解．
【详解】（1）解：y=5x+2是函数y =x+1，y =2x-1的“组合函数”，
1 2
理由：由函数y =x+1，y =2x-1的“组合函数”为：y=mx+1+n2x-1，
1 2
把m=3，n=1代入上式，得y=3x+1+2x-1=5x+2，
\函数y=5x+2是函数y =x+1，y =2x-1的“组合函数”；
1 2
ìy=x- p-2
（2）解：①解方程组í
îy=-x+3p
ìx=2p+1
得í ．
îy= p-1
Q
函数y
1
=x- p-2与y
2
=-x+3p的图像相交于点P，
\点P的坐标为2p+1,p-1，
∴ y 、y 的“组合函数”为y=mx- p-2+n-x+3p，
1 2
\y=m-nx+3pn-mp-2m，
Q
m+n>1，点P在函数y
1
、y
2
的“组合函数”图像的上方．
\p-1>m-n2p+1+3pn-mp-2m，整理，得p-1>m+np-1，
\p-1<0，
解得：p<1，
\p的取值范围为p<1；
②存在，理由如下：
Q
函数y
1
、y
2
的“组合函数”图像经过点P．
\将点P坐标2p+1,p-1代入"组合函数"y=m-nx+3pn-mp-2m，得
p-1=m-n2p+1+3pn-mp-2m，
\p-1=m+np-1，
p¹1，
Q
\m+n=1，n=1-m．将n=1-m代入y=m-nx+3pn-mp-2m=2m-1x+3p-4pm-2m，
把y=0代入y=2m-1x+3p-4pm-2m，得2m-1x+3p-4pm-2m=0
p-3+4m+2m
解得：x= ，
2m-1
3
设-3+4m=0，则m= ，
4
3
2´
4
\x= =3
3
2´ -1
4
\Q3，0．
\对于不等于1的任意实数p，存在“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变．
押题解读
本考点为常考点之一，新定义问题属于课本知识的延伸或者拓展，基本上都会有挂钩的知识点，所以在
理解新定义问题时首先要明确考查的是课本那一块的内容，再具体分析；新定义问题可难可简单，一般
三种题型里均会考查。
67．三角尺是几何学习中常用的学具．
【重温旧知】
(1)图①～③是课本上三角尺的3种摆放方式．借助图①中的Ða和Ðb，课本定义了一种两个角的关系，
这种关系叫做______；图②中，ÐDBC的度数是______°，三角尺DEF 的直角边DF和三角尺ABC的直角
边AC之间的数量关系是______；图③中确认弦MN是圆的直径的定理是______．
【探索研究】
(2)如图④，将图②中的一副三角尺ABC和DEF 叠放在一起，使得点D，F分别在AC，BC边上，我们在同一平面内研究下面两个问题．
CF
①当DF∥AB时，求 的值；
CB
②若AB的长为a，直接写出顶点C和E的距离的最大值（用含a的代数式表示）．
【答案】(1)互补，75， 3DF = 2AC，直径所对的圆周角为直角
3 3+ 39
(2)① ；② a
3 6
【分析】（1）根据互补的定义，即可得出Ða和Ðb的关系；根据三角板中各个角的度数，即可求出
ÐDBC；根据EF = AB，即可得出DF和AC之间的数量关系；根据直径所对的圆周角为直角，即可得出
弦MN是圆的直径；
（2）①证明△CDF∽△CAB，即可根据相似三角形对应边成比例得出结论；②连接点C和DF中点M，
连接点E和DF中点M，在△CME中，CE<CM +EM ，当点C、M、E在同一条直线上时，
CE=CM +EM ，此时CE最大．
【详解】（1）解：由图可知，三角板的两个直角顶点重合，
∴Ða+Ðb=180°，则Ða和Ðb互补；
由图可知：ÐDBC =ÐDBA+ÐCBA=30°+45°=75°；
∵ÐDBF =30°，ÐCBA=45°，
DF AC
∴EF = = 3DF，AB= = 2AC，
tan30° sin45°
∵EF = AB，
∴ 3DF = 2AC；
∵ÐMFN =90°，
∴弦MN是圆的直径（直径所对的圆周角为直角），
故答案为：互补，75， 3DF = 2AC，直径所对的圆周角为直角；
（2）解：①根据题意可得：EF = AB，由（1）可知EF = 3DF，则AB= 3DF，
DF 3
∴ = ，
AB 3
∵DF∥AB，
∴ÐCDF =ÐA,ÐCFD=ÐB，
∴△CDF∽△CAB，
CF DF 3
∴ = = ；
CB AB 3
②连接点C和DF中点M，连接点E和DF中点M，
DF 3
∵AB=EF =a， = ，
AB 3
3
∴DF = a，
3
∵点M为DF中点，
1 1 3 3
∴CM =MF = DF = ´ a= a，
2 2 3 6
39
根据勾股定理可得：EM = MF2+EF2 = a，
6
在△CME中，CE<CM +EM ，
当点C、M、E在同一条直线上时，CE=CM +EM ，此时CE最大，
3 39 3+ 39
∴顶点C和E的距离的最大值=CM +EM = a+ a= a．
6 6 6【点睛】本题主要考查了互补的定义，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形三
边之间的关系，解题的关键是掌握相加等于180°的两个角互补，相似三角形对应边成比例，三角形两边之
和大于第三边．
68．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形
三边长分别是5，6和8，因为62+82 =4´52 =100，所以这个三角形是常态三角形．
(1)若
V
ABC三边长分别是2， 5和4，则此三角形______常态三角形（填“是”或“不是”）；
(2)若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为______；
(3)如图，Rt△ABC中，ÐACB=90°，BC =6，D在AB上，且AD=BD=CD，若△BCD是常态三角形，
求线段AC的长．
【答案】(1)是
(2) 2：3：5
(3)AC的长为2 3或6 7
【分析】（1）直接利用常态三角形的定义判断即可；
（2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案；
（3）分两种情况利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出BD的长，再根据勾股定理求得AC的长．
【详解】（1）解： 22+42 =4´( 5)2 =20，
Q
\此三角形是常态三角形，故答案为：是；
（2） Rt△ABC是常态三角形，
Q
\设两直角边长为a，b，斜边长为c，
\a2+b2 =c2，a2+c2 =4b2，
\2a2 =3b2，
\a:b= 3: 2，
设a= 3x，b= 2x，
则c= 5x，
\此三角形的三边长之比为 2：3：5，
故答案为： 2：3：5；
（3） BCD是常态三角形，
QV
\BD2+BC2 =4CD2，
BD=CD，BC =6，
Q
\BD2+62 =4BD2，
\BD=2 3（负值已舍），
\AD=BD=2 3，
\AB=4 3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC = AB2-BC2 =2 3．
当CD2+BD2 =4´62时，
∵AD=BD=DC，
∴BD=DC=6 2，AB=12 2
在Rt△ABC中根据勾股定理得：AC AB2 BC2 6 7，
= - =
∴AC的长为2 3或6 7．
【点睛】此题主要考查了勾股定理以及新定义．正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键．
69．综合与探究
我们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．类似地，我们定义：顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫做圆外角．
【探究】
圆外角的度数与它所夹的弧所对的圆心角的度数之间有什么关系？
【实验】
（1）如图1，当圆外角ÐP的两条边分别与
e
O有两个公共点时，改变ÐP的度数，测量得到如下数据：
ÐP的度数 15° 20° 26° 35°
BD所对的圆心角度数（b） 60° 80° 104° 150°
AC所对的圆心角度数（a） 30° 40° 52° 80°
猜想：ÐP=_________．（用含a，b的式子表示）
【特例】
（2）当圆外角的其中一条边与
e
O只有一个公共点时，如图2，射线PA与
e
O相切于点A，射线PB经过圆
心O，交
e
O于另一点C，设AB，AC所对的圆心角度数分别为a，b，写出ÐP的度数与a，b之间的
数量关系，并证明．
【应用】
3
（3）在（2）的条件下，连接AC，若sinP= ，AC=12，求
e
O的半径．
5
1 1
【答案】（1） b-a（2）ÐP= b-a，证明见解析（3）3 5
2 2
【分析】（1）通过分析表格中数据间的数量关系即可得出猜想；
1
（2）连接OA，根据切线的性质推出a+ÐP=90°，再由a+b=180°，即可推出ÐP= b-a；
2
OA 3
（3）过点C作CD^PA于点D，根据sinP= = ，设OA=3x，OP=5x，再证明△OAP∽△CDP得出
OP 5
5x 3x 4x
= = ，求出x= 5，最后利用勾股定理即可求出圆的半径．
8x CD 4x+AD1
【详解】（1）根据表中数据可猜想ÐP= b-a，
2
1
故答案是： b-a．
2
1
（2）ÐP= b-a，证明如下：
2
连接OA，如图所示，
∵PA与
e
O相切于点A，
∴ÐOAP=90°．
∴ÐAOP+ÐP=90°，即a+ÐP=90°．
∵ÐAOP+ÐAOC =180°，即a+b=180°，
∴2a+2ÐP=a+b．
1
∴ÐP= b-a．
2
（3）过点C作CD^PA于点D，如图所示．
OA 3
∵sinP= = ，
OP 5
可设OA=3x，OP=5x．
∴AP=4x，OC =OA=3x．
∴CP=OP+OC =8x．
∵CD^PA，OA^PA，
∴△OAP∽△CDP．
OP OA PA 5x 3x 4x
∴ = = ，即 = = ，
CP CD PD 8x CD 4x+AD
24 12
解得CD= x，AD= x．
5 5
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2+CD2 = AC2，
æ12 ö 2 æ24 ö 2
即 ç x÷ +ç x÷ =122，
è 5 ø è 5 ø解得x= 5（负值已舍去）．
∴OA=3x=3 5．
e
O的半径为3 5．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质，
相似三角形的判定与性质是解题的关键．
70．定义：在△ABC中，若AB＝c，AC＝b，BC＝a，则存在余弦定理：a2 =b2+c2-2bc×cosA，
b2 =a2+c2- 2ac×cosB，c2 =a2+b2-2ab×cosC，即三角形一边的平方等于另两边的平方和减去这两边与这
两边夹角的余弦的积的2倍．
 2
例如：在图1中，AC2 = AB2+BC2-2AB×BC×cosB=42+ 3 2 -2´4´3 2cos45°=10，
∴AC＝ 10
请你利用余弦定理解答下列问题：
(1)应用新知：在图2中，
①若a＝2，b＝3，∠C＝60°，则c＝______；②若a=2 3，b=2 2，c= 6+ 2，求∠A；
(2)迁移发散：如图3，某客轮在A处看港口D在客轮的北偏东50°方向上，在A处看灯塔B在客轮的北偏
西30°方向距离2 3海里处，客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口D在客轮的南偏东80°距离6
海里处，求此时C处到灯塔B的距离．
【答案】(1)① 7；②∠A=60°
(2)C处到灯塔B的距离为2 3海里
【分析】（1）根据给出的公式和已知条件计算即可；
（2）求出ÐADC的度数，得到CA=CD=6，代入公式计算即可．
【详解】（1）解：①由余弦定理得：c2 =a2+b2-2abcosC =22+32-2´2´3cos60°=7，
\c= 7 ；
②根据题意，由余弦定理得：a2 =b2+c2-2bccosA，
 
b2+c2-a2 8+8+4 3-12 4 3+1 1
∴cosA= = = = ，
2bc 2´2 2´  6+ 2  8  3+1  2
∴ÐA=60°；
（2）解：ÐADC =180°-80°-50°=50°，
\CA=CD=6，
\BC2 = AB2+AC2-2AB×AC×cosÐBAC =12，
\BC =2 3，
答：C 处到灯塔B的距离为2 3海里．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题，掌握方向角的概念，熟记锐角三角函数的定义
是解题的关键．押题猜想十五 规律探究与材料阅读型问题
限时：16min
71．阅读下面的问题及解决途径．
结合阅读内容，完成下面的问题．
(1)填写下面的表格．
(2)将函数y＝－2x2＋3x＋1的图像沿y轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式为 ．
(3)将函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的图像先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原
点旋转180°，求所得到的图像对应的函数表达式．
6
【答案】(1)x-1，y，y=
x-1
(2)y=-2x2-3x+3
(3)y=-ax2-(2a+b)x-a-b-c
【分析】（1）阅读题干材料，弄清题中材料中图形平移的规律，“左加右减”进行求解即可；
（2）根据二次函数图像与几何变换，将x换成-x，整理后即可得出翻折后的解析式，根据二次函数的性质
即可求得结论；（3）利用图像向左平移、关于x,y轴翻折、绕坐标原点旋转的规律进行解答．
【详解】（1）解：设平移后新的函数图像上任意点P的坐标为(x,y)，
将点P向右平移1个单位长度得点P¢x-1,y
6
平移后的图像对应的函数表达式为：y= ，
x-1
6
故答案为：x-1，y，y= ；
x-1
（2）解：将二次函数y=-2x2+3x+1的图像沿着y轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式是
y=-2(-x)2+3×(-x)+1，即y=-2x2-3x+3，
故答案为：y=-2x2-3x+3；
（3）解：将y =ax2 +bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的图像先向左平移1个单位长度，
得y=a(x+1)2+b(x+1)+c，
再沿y轴翻折，
得y=a(-x+1)2+b(-x+1)+c，
即y=a(x2-2x+1)+b(1-x)+c，
最后绕原点旋转180°，
得-y=a(x2+2x+1)+b(1+x)+c，
整理得：y=-ax2-(2a+b)x-a-b-c，
故答案为：y=-ax2-(2a+b)x-a-b-c．
答：所得到的图像对应的函数表达式y=-ax2-(2a+b)x-a-b-c．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，绕原点旋转、二次函数的平移、关于x，y轴翻折的变化规
律，解题的关键是明确关于y轴对称的点的横坐标化为相反数．
押题解读
本考点为常考点之一，主要考查学生对材料的理解能力和应用，常常作为各题型的压轴题考查，难度较
大，需要学生综合课本知识和给出的材料分析；作为考生我们遇到此类问题时，一定要切记认真审题，
逐字分析条件，做好标记，要学会把条件量化，这样做起来就简单多了。72．【阅读材料】
老师的问题：
已知：如图， ABC中，ÐACB=90°，CD是斜边AB上的中线，求作：菱形AECD
V
小明的作法：
（1）取CD的中点F，
（2）连接BF并延长到E，使FE=FB，
（3）连接AE，CE，四边形AECD就是所求作的菱形；
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形AECD是菱形．
【答案】见解析
1
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CD= AB= AD，根据作图可得F是EB的中点，
2
1 1
则DF是 ABE的中位线，得出DF = CD= AE，DF∥AE，即可得出结论．
V
2 2
【详解】证明：∵ ABC中，ÐACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
V
1
∴CD= AB= AD，
2
∵FE=FB，
1 1
∴DF = CD= AE，DF∥AE
2 2
∴CD= AE
∴四边形AECD是平行四边形，
∵CD= AD，
∴四边形AECD是菱形．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，菱形的判
定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
73．阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．
图算法
图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲
线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏
9
度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F = C+32得出，当C=10时，
5
F=50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进
行计算的方法就是图算法．
再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？
1 1 1
我们可以利用公式 = + 求得R的值，
R R R
1 2
也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角
平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连
成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．
图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制
图人员，往往更能体会到它的优越性．
任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；
（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：
1 1 1
①用公式 = + 计算：当R =7.5，R =5时，R的值为多少；
R R R 1 2
1 2
②如图，在
V
AOB中，ÐAOB=120°，OC是
V
AOB的角平分线，OA=7.5，OB=5，用你所学的几何知识
求线段OC的长．
【答案】（1）图算法方便；直观；或不用公式计算即可得出结果等；（2）①R=3；②OC =3
【分析】（1）根据题意可直接进行求解问题；
（2）①利用公式可直接把R =7.5，R =5代入求解即可；②过点A作AM//CO，交BO的延长线于点M ，
1 2
由题意易得Ð1=Ð2=60°，则有Ð3=Ð2=60°，ÐM =Ð1=60°，然后可得△OAM 为等边三角形，则
OM =AM =OA=7.5，所以可得 BCO∽ BAM ，最后利用相似三角形的性质可求解．
V V
【详解】（1）解：答案不唯一，如：图算法方便；直观；或不用公式计算即可得出结果等．
1 1 1 1 1 7.5+5 1
（2）①解：当R =7.5，R =5时， = + = + = = ，
1 2 R R R 7.5 5 7.5´5 3
1 2
∴R=3．
②解：过点A作AM//CO，交BO的延长线于点M ，如图所示：
∵OC平分ÐAOB，
1 1
∴Ð1=Ð2= ÐAOB= ´120°=60°，
2 2
∵AM//CO，
∴Ð3=Ð2=60°，ÐM =Ð1=60°，
∴Ð3=ÐM =60°，∴OA=OM ，
∴△OAM 为等边三角形，
∴OM =AM =OA=7.5，
∵ÐB=ÐB，Ð1=ÐM ，
∴ BCO∽ BAM ，
V V
OC BO
∴ = ，
MA BM
OC 5
∴ = ，
7.5 5+7.5
∴OC =3．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质
与判定及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
74．阅读与思考
下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成AB，读数时，
视线CD垂直于量筒壁CD^EC，与AB相切于点D，点O为AB所在圆的圆心．小东同
学读数时，从点E处俯视点D（点E在
e
O上），记录量筒上点E处的高度EF为
12mm．小华同学记录量筒上点A处的高度AF 为6mm．
完成下列任务：
(1)连接OA，求证：ÐEAO=2ÐADC．
1
(2)若tanÐADC = ，求AC的长．
2
【答案】(1)见解析
(2)2mm
【分析】（1）连接DO并延长，交
e
O于点G，连接AG，根据切线的性质得出OD^CD，证明ÐADC =ÐG，根据圆周角定理得出ÐAOD=2ÐG，从而说明ÐAOD=2ÐADC，证明CE∥OD，得出
ÐEAO=ÐAOD，即可得出答案；
1
（2）根据已知得出EA=6mm，根据tanÐADC = ，设CD=2x，则EC =x+6，根据AD= AD，得出ÐG=ÐE，
2
1 CD 1
从而证明ÐE=ÐADC，得出tanE= ，即 = ，即可求解．
2 EC 2
【详解】（1）证明：连接DO并延长，交
e
O于点G，连接AG，如图所示：
CD为 O的切线，
Q e
\OD^CD，
\ÐADC+ÐADG=90°，
DG为 O的直径，
Q e
\ÐGAD=90°，
\ÐG+ÐADO=90°，
\ÐADC=ÐG，
又 ÐAOD=2ÐG，
Q
\ÐAOD=2ÐADC，
CD^CE,OD^CD，
Q
\CE∥OD，
\ÐEAO=ÐAOD，
\ÐEAO=2ÐADC．
（2）解：设AC =x，
1 AC
tanÐADC = = ，
Q
2 CD
\CD=2x，
EA=12-6=6mm，
Q
\EC =x+6，∵AD= AD，
∴ÐG=ÐE，
由（1），得ÐG=ÐADC，
\ÐE=ÐADC，
1 CD 1
\tanE=tanÐADC = ，即 = ，
2 EC 2
2x 1
\ = ，
x+6 2
解得：x=2，
\ AC的长为2mm．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形的相关计算，平行线的判定和性质，等
腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
75．【阅读】
a+b
我们知道，a、b两数的算术平均数是 ，如图1，数轴上点A、B（点A在点B的左侧）分别表示数a
2
a+b
和b，那么线段AB的中点表示的数是 ．它们的表达形式之所以是一致的，其原因就是算术平均数的意
2
1
义与线段中点的意义是一致的．同样的，若点M在线段AB上且2AM =MB，即AM = AB，说明点M更
3
2 1
靠近点A，则可以利用加权平均数的意义，将点M表示为 a+ b．
3 3
【理解与运用】
(1)数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，点N在线段AB上，且AN =3NB，则点N表示的数为 ；
(2)在平面直角坐标系中，点P的坐标是x ,y ，点Q的坐标是  x ,y  ，线段PQ的中点坐标是
P P Q Q
æx +x y +y ö 1
ç P Q , P Q ÷．线段PQ的三等分点也有相类似的结论，例如，点T在线段PQ上，PT = PQ，直接
è 2 2 ø 3
写出T点的坐标为（ ， ）；1
(3)如图2，在平面直角坐标系中，点H、I、K分别是 EFG三边上的三等分点，且EH = EF，
V
3
1 1
FI = FG，GK = GE．试证明： EFG的重心与 HIK的重心重合．（三角形的三条中线的交点称为三角
V V
3 3
形的重心，重心到三角形的顶点和对边中点的距离之比为2∶1）
1 3
【答案】(1) a+ b；
4 4
2x x 2y y
(2) P + Q ， P + Q ；
3 3 3 3
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意可得点N是线段AB的四等分点且更靠近点B，仿照材料即可求解；
（2）根据材料推广到直角坐标系中，可以先表示出点T的横坐标和纵坐标，即可求解；
æx +x y +y ö
（3）设Ex 1 ,y 1 ,Fx 2 ,y 2 ,Gx 3 ,y 3 ，表示出EF的中点为 è ç 1 2 2 , 1 2 2 ø ÷，根据重心的定义可得 V EFG的
重心坐标，再表示出H、I、K各点的坐标，表示出HI 的中点坐标，再根据重心的定义得到 HIK的重心，
V
即可证明．
【详解】（1）解：∵AN =3NB，
∴点N是线段AB的四等分点且更靠近点B，
1 3
∴点N表示的数为 a+ b，
4 4
1 3
故答案为： a+ b；
4 4
1
（2）解：∵PT = PQ，
3
2x x 2y y
∴点T的横坐标为 P + Q ，纵坐标为 P + Q
3 3 3 3
æ2x x 2y y ö
T点的坐标为ç P + Q， P + Q ÷,
è 3 3 3 3 ø
2x x 2y y
故答案为： P + Q ， P + Q ；
3 3 3 3
（3）解：设Ex,y ,Fx ,y ,Gx ,y ，
1 1 2 2 3 3
æx +x y +y ö
则EF的中点为ç 1 2 , 1 2 ÷，
è 2 2 ø
∵重心到三角形的顶点和对边中点的距离之比为2∶1，
æ2 x +x 1 2 y +y 1 ö
∴ V EFG的重心坐标为ç è3 ´ 1 2 2 + 3 x 3 , 3 x 1 2 2 + 3 y 3 ÷ ø ，æx +x +x  y +y +y ö
化简得，ç 1 2 3 , 1 2 3÷，
3 3
è ø
1 1 1
∵EH = EF，FI = FG，GK = GE，
3 3 3
æ2 1 2 1 ö æ2 1 2 1 ö æ2 1 2 1 ö
∴Hç x + x , y + y ÷，Iç x + x , y + y ÷，Kç x + x, y + y ÷，
è3 1 3 2 3 1 3 2 ø è3 2 3 3 3 2 3 3 ø è3 3 3 1 3 3 3 1 ø
æ 2 1 2 1 2 1 2 1 ö
x + x + x + x y + y + y + y
ç 3 1 3 2 3 2 3 3 3 1 3 2 3 2 3 3÷
∴HI 的中点坐标为ç , ÷，
2 2
ç ÷
è ø
æ2x +3x +x 2y +3y +y ö
即ç 1 2 3, 1 2 3 ÷，
è 6 6 ø
∴ HIK的重心为
V
æ2 2x +3x +x 1 æ2 1 ö 2 2y +3y +y 1 æ2 1 öö
ç ´ 1 2 3 + ´ç x + x ÷ ，´ 1 2 3 + ´ç y + y ÷÷
è3 6 3 è3 3 3 1 ø 3 6 3 è3 3 3 1 øø
æx +x +x y +y +y ö
即ç 1 2 3, 1 2 3 ÷，
è 3 3 ø
∴ EFG的重心与 HIK的重心重合．
V V
【点睛】本题考查加权平均数的意义，坐标与图形，规律探索，三角形的重心，解题的关键是要理解材料
的方法，借助材料中加权平均数的意义进行解题，再由数轴上的规律推广到坐标系中坐标的规律．