2025《中考数学•终极押题猜想》苏州(原卷版)_初中资料合集_2025中考数学《终极押题猜想》全国13地方版_2025《中考数学•终极押题猜想》苏州

2025 年中考数学终极押题猜想（江苏苏州专用） （高分的秘密武器：终极密押+押题预测） 押题猜想一 几何与图象结合问题...........................................................................................................................1 押题猜想二 函数与几何中的面积问题...................................................................................................................6 押题猜想三 几何中的折叠问题...........公....众....号....★....全....科....A...A..+.....................................................................................16 押题猜想四 函数与几何中的最小值问题.............................................................................................................20 押题猜想五 函数与几何中的最大值问题.............................................................................................................26 押题猜想六 函数与几何中的取值范围问题.........................................................................................................32 押题猜想七 函数与几何中的新定义问题.............................................................................................................42 押题猜想八 二次函数与等角、倍角问题.............................................................................................................53 押题猜想九 二次函数与线段数量关系问题.........................................................................................................58 押题猜想十 综合与实践.........................................................................................................................................69 押题猜想一 几何与图象结合问题 如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE-ED-DC运动到点C停止，点Q从 点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为 ts，V BPQ的面积为y  cm2 ，已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当00,x>0) 的图象上，延 长AB交x轴 x 于C点，且AB=BC，D是第二象限一点，且DO∥AB，若△ADC的面积是15， 则k的值为（ ）公众号★全科AA+ A．8 B．10 C．11.5 D．13 2．如图，在平行四边形ABCD中，B¢是点B关于对角线AC的对称点，连结AB¢交CD于点E，连结BB¢交 CD于点F，交AC于点G．AB=13，AG=2CG=12，则 B¢EF的面积是 ． V 3 3．如图，在Rt△ABC中，ÐACB=90°,tanB= ,AC =6，D是斜边AB上任意一点，点E、F分别是 4 ACD、BCD的重心，那么四边形CEDF的面积是 ． V V 4．【问题提出】 （1）如图①，已知 e O与直线l相离，过O作ON ^l于点N ，ON =6， e O的半径为4，则圆上一点P到 直线l的距离的最小值是______； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC =4，ÐB=ÐC =60°，请你过点D画出将四 边形ABCD面积等分的线段DE，并求出DE的长． 【问题解决】 （3）如图③所示，是由线段DA、AB、BC与弧CD围成的花园的平面示意图，BC =2AD=80m，CD=40 3m， AD∥BC，CD^BC，点E为BC的中点，CD所对的圆心角为120°．管理人员想在CD上确定一点M ，在 四边形ABEM 区域种植花卉，其余区域种植草坪，并过A点修建一条小路AN，把四边形ABEM 分成面积 相等且尽可能小的两部分，分别种植不同的花卉．问是否存在满足上述条件的小路AN？若存在，请求出AN 的长，若不存在，请说明理由．5．综合与实践：九年级某学习小组围绕“锐角三角形面积”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，锐角 V ABC中，ÐBAC =30°，AB= AC =4，作BD^ AC，垂足为D，则 V ABC的面积为 ； 【一般证明】 （2）如图②，锐角 V ABC中，ÐBAC =a，AB=a，AC=b， V ABC的面积为S． 1 求证：S = ab×sina； 2 【迁移应用】 （3）如图③，锐角 V ABC中，ÐBAC=60°，AB=6，AC =4，AD是ÐBAC的平分线，则AD的长为 ； （4）如图④，Rt△ABC中，ÐACB=90°，AC =6，BC=8，点D在边CB上，且CD=2，连接AD，AD 5 9 的中点为点E，过点E作直线l与边AB，AC分别交于P，Q两点，且△APQ为锐角三角形，求 + AP AQ 的值． 押题猜想三 几何中的折叠问题 如图在Rt ABC中，ÐA=60°，CD平分ÐACB，F为AC中点，E为CB上一点，将 CEF 沿EF折叠，使C V V 点落到G点处，连接GB．当CD^GE时，ÐBGE的度数为（ ）A．5° B．7.5° C．10° D．15° 押题解读：本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质、直角三角形的性质， 解决本题的关键是作辅助线构造等边三角形，利用图形的性质找角之间的关系． 公众号★全科AA+ 1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O,AB= AO=6,E为AD边上一个动点（不与点D，E 重合）连接OE，将 ODE沿OE折叠，点D落在M 处，OM 交边AD于点F，当 AOF 是等腰三角形时，MF V V 的长是（ ） A．6-2 3+2 2 B．6-3 6+3 2 C．6-2 3+2 2或6-2 3 D．6-3 6+3 2或6-2 3 AB 2 2．在矩形ABCD中， = ，M、N分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿MN折叠，使点B落在CD边 BC 3 3 上的点F处，得到四边形EFNM ，连接DE，若折痕MN =2 10，tanÐEMD= ，则DE的长为 ． 43．如图，现有三角形纸片ABC，ÐC=90°，折叠纸片ABC，使得点B与点C重合，得到折痕MN，然后 还原；再次折叠纸片ABC，使得AB上的点P与BC上的点Q重合，得到折痕DE，然后还原，且MN， DE，PQ三条线段相交于同一点G． （1）若PQ=PB，ÐA=a，则ÐBDE= ．（用含a的式子表示） （2）若BC =3，AC =2，CQ=1，则PB的长为 ． 4．综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开数学小组实践活动． 已知矩形纸片ABCD，AB=4，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形纸片沿直线EF折叠，点 A，B的对应点分别为A¢，B¢． 如图1，当点B¢落在线段FD上时，智慧小组提出问题： (1)猜想 DEF 是__________三角形，请证明你的猜想； V 4 (2)当AE= 时，求线段B¢D的长度； 3 (3)如图2，奋斗小组的同学受到启发，若点B¢落在线段A¢C上，A¢C与AD交于点H，通过测量得AH =5， 连接B¢D．则点B¢到边CD的距离是__________；若点P为线段EF上一动点，过点P作PQ^ A¢C于点Q， 连接PB¢，则PB¢+PQ的最小值是__________． (4)如图3，希望小组同学继续探究，将矩形纸片沿直线EF折叠，使点B的对应点B¢落在边AD上，连接 BB¢，交EF于点O，则△EOB¢面积的取值范围是__________．5．在综合实践活动课上，同学们以“折叠正方形纸片”为主题开展数学探究活动． 【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平； 操作二：在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE，如图②； 操作三：在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF，如图③． 把正方形纸片展平，得图④，折痕BE，BF与AC的交点分别为G，H． (1)根据以上操作，得ÐEBF =_________°． 3 (2)若正方形ABCD的边长为 ，BH = 2，试求AE的长． 2 (3)经过多次折叠和测量，小浩发现线段EF与GH的比值不变，但他无法证明，请聪明的你帮小浩写出证明 过程，并求出其比值． 押题猜想四 函数与几何中的最小值问题 公众号★全科AA+ 如图，线段AB=10，点C是线段AB上的一个动点，分别以AC,BC为斜边向上作等腰直角三角形ACD， 等腰直角三角形BCE，点F在线段AB上，连接DF,EF,DE．则 DEF 周长的最小值为（ ） V A．5+5 2 B．10 C．5 2 D．5+10 2 押题解读：本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，二次函数求最值，设AC =x，则： BC=10-x，等腰直角三角形的性质结合勾股定理，求出CD,CE的长，推出ÐDCE=90°，作点E关于AB 的对称点E¢，连接DE¢，得到 DEF 的周长=DE+EF+DF =DE+DF+E¢F ³DE+DE¢，得到 DEF 的 V V 周长的最小值为DE+DE¢，转化为二次函数求最值即可．1．如图：已知矩形ABCD，AB=1，AD=4，E为BC边上一个动点，ÐBAD=ÐEAF，AF =2AE，连接 DF，则DF的最小值为（ ） 9 7 3 A． B．2 C． D． 4 4 2 1 2．如图，点F是矩形ABCD内部一个动点，E为AF 上一点且AE= AF ，当AD=4，AB= AF =9时，则 3 BE+CF的最小值为 ． 3．如图，在菱形ABCD中，ÐABC =60°，点P是边BC上一动点，连接AP，将 ABP沿着AP折叠，得到△AEP， V 连接DE，点F是DE的中点，AB=2，则CF的最小值为 ． 4．【问题探究】 （1）如图1，点P是半径为2.5的 e O上的动点，点A为 e O外一点，已知O、A两点之间的距离为4，则 A、P两点之间的距离最小为 ； （2）如图2， V ABC的顶点都在 e O上，连接BO并延长，交 e O于点D，ÐABC=45°．求证：2 AC = BD； 2 【问题解决】 （3）2025年3月30日，中国某公司向老挝航空公司交付首架C909飞机，标志着我国商用飞机国际化发展 迈出新步伐．据悉，飞机上所使用的复合材料，主要是碳纤维增强树脂基复合材料．如图3，现有一块形如 四边形ABCD的新型材料，AD=20cm，ÐA=ÐC =60°，ÐADC =90°，BC=CD，以C为圆心，CB为半 径画BD．某科研人员想用这块材料裁出一个△EFM 型部件，并要求：M 在BD上，ME^ AD于点E， MF ^ AB于点F，且EF的长度尽可能的小，请问EF的长是否存在最小值？若存在，请求出EF的最小长 度；若不存在，请说明理由． 5．【问题提出】 （1）如图1，P是半径为5的 e O上一点，直线m是 e O外一条直线，PQ^m于点Q，圆心O到直线m的距 离为7，则线段PQ的最大值为 ； 【问题探究】（2）如图2，点P是正方形ABCD内一点，连接BP、CP，则ÐBPC =90°，若AB=4，求AP的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，有一块形状为 V ABC的湿地，其中ÐBAC =90°，AB=6km，AC =3km． 点D是AC上的 一个动点，以AD为直径在 V ABC内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接BD,BD与半圆O交于点 E，连接CE，沿CE修一条步道，为了节约成本，要使得CE的长度最短，试求CE的最小值． 押题猜想五 函数与几何中的最大值问题 如图，在Rt ABC中，ÐACB=90°，AB=5，D为直线AC左侧一点．若 ABC∽ CAD，则BC+CD的最 V V V 大值为( ) 15 15 25 5 A． B． C． D． 4 2 4 2 押题解读：本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，先利用相似三 角形的性质得到AC2 = AB×CD，再由勾股定理得到AC2 = AB2-BC2 =25-BC2，则5CD=25-BC2，进 1 5 25 而得到BC+CD=- (BC- )2+ ，由此得解． 5 2 4 1．如图，ÐBAC=ÐBCD=90°，AC =2，三角形BCD面积始终为2，则AD的最大值为（ ） A．5 B． 5 C． 5+2 D． 5+1 2．在四边形ABCD中，AD=4，ÐABC =135°，ÐC=90°，且BC=CD，则四边形ABCD面积最大值为 ．3．如图，在Rt△ABC中，ÐACB=90°，AC =BC =4，将 V ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到 V ADE， 直线BD、CE相交于点O，连接AO．则ÐCOD的度数是 ，△AOC面积的最大值为 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A-3,0，B1,0两点，点P是直线 AC上方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合），过P作x轴的垂线，垂足为E，交直线AC于点D． (1)求抛物线的表达式： (2)若点P的横坐标为m，用含m的代数式表示PD； (3)过点P作PQ^ AC于点Q，当PQ的值最大时，求点P的坐标及PQ的最大值． 5．在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+2x+3与x轴交于点A-1,0和点 B， 与y轴交于点 C． (1)求a的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，ÐMAB=ÐACO， 求点M的坐标； (3)在直线BC上方的抛物线上有一动点 P，过点P作PE^BC于点E， 作PF∥AB交BC于点 F．当 PEF ! 的周长有最大值时，求点 P 的坐标和 PEF的周长． !押题猜想六 函数与几何中的取值范围问题 公众号★全科AA+ 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A位于第一象限内，OA=10，并且点A到x轴的距离为6， 点B对应的坐标为a,0．若 V AOB为钝角三角形，则a的取值范围是（ ） A．a>12.5 B．012.5 押题解读：本题考查平面直角坐标系，三角形的性质，点到坐标轴的距离，锐角三角函数等知识； 正确分类是解题的关键；根据题意，分ÐABO为直角，ÐA为直角，即可求解； 1．已知Ax,y ，Bx ,y 是抛物线y=ax2-3x+1上的两点，其对称轴是直线x=x ，若 x -x > x -x 1 1 2 2 0 1 0 2 0 时，总有y > y ，同一坐标系中有M-2,-3，N4,3，且抛物线与线段MN有两个不相同的交点，则a的 1 2 取值范围是（ ） 5 5 7 7 A．a£- B．- 0， 1 1 2 2 y =-3m，则当y < y 时，x 的取值范围为（ ） 1 1 2 2 A．02 C．x <0或x >2 D．x <0 2 2 2 2 2 押题解读：本题考查了抛物线的新定义，抛物线的增减性，对称轴，绝对值的化简，解不等式，熟练 掌握定义，增减性是解题的关键． 1．在平面直角坐标系中，定义：已知y是x的函数，如果对于任意两个不相等的自变量x，x x 0，那么将x £x£x 称为这个函数的“a级封闭定义 1 2 1 2 1 2 域”．例如：函数y=3x，当1£x£3时，3£ y£9，所以1£x£3是函数y=3x的“3级封闭定义域”．下列结 论：①1£x£2是函数y=-x+3的“1级封闭定义域”；②若0£x£bb>0是函数y= x2的“2级封闭定义 域”，则b=2；③若函数y=kx+4存在“3级封闭定义域”，则k =-3；④函数y=-4x2+3x+4不存在“4级封闭定义域”．其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在 V ABC中，ÐA，ÐB BC 2 互为半余角，且 = ，则cosA= ． AC 2 3．定义：若存在实数m>0，对于任意的函数值y，都满足-m£ y£m，则称这个函数是有界函数，在所有 满足条件的m中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函 19 数y=-x2+1(t-3£x£t，t>0)的图象向上平移t个单位，得到的函数的边界值n满足2£n£ 时，则t的取 4 值范围是 ． 4．定义：若以函数y图象上的点P与平面内两个点A，B为顶点构成的三角形是等边三角形，则称P是y 上关于A，B的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知A(0,3)，B(-1,0)，C(3,0)． (1)正比例函数y 上存在关于B，C的“等边点”，直接写出正比例函数y 的解析式； 1 1 (2)点Q是y轴正半轴上一点，点P是反比例函数y 上关于C，Q的“等边点”，且PC∥y轴，求反比例函数y 2 2 的解析式； (3)二次函数y 过点A，B，C，则y 的解析式为______； 3 3 ①如图①，射线AK交x轴于点K，点A是y 上关于M ，N 的“等边点”，其中M 在射线AK上，N 在射 3 线AC上，求点K的坐标； ②如图②，点E是第一象限内二次函数y 的对称轴上一动点，若点P是y 上关于C，E的等边点，直接写 3 3 出点P的横坐标．5．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标之和为2，则称该点为“基准偶和点”．例如： 1,1、-2,4、6,-4都是“基准偶和点”． (1)下列函数图象上只有一个“基准偶和点”的是_____________；（填序号） 21 ①y=2x+1 ②y= ③y=-x+1 ④y=x2+3x+6 x k k (2)在反比例函数y= 上的图象上有且只有一个“基准偶和点”，求反比例函数y= 的解析式； x x (3)已知抛物线y=x2+mx+n（m、n均为常数）与直线y=x+4只有一个交点，且该点是“基准偶和点”， 求抛物线的解析式； (4)抛物线y=ax2+bx+3（a、b均为常数，a>0）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，令 w=b2-6b+4a，是否存在一个常数t，使得当t£b£t+1时，w有最小值恰好等于-t，若存在，求出t的值， 若不存在，请说明理由． 押题猜想八 二次函数与等角、倍角问题 如图，已知矩形ABCD的三个顶点的坐标为Am,n，Bm,1，Cm+8,1，n>1．经过B，D两点的抛物 线y=ax-72 +k 与线段AD交于点E（不与A，D两点重合），连接BD，BE． (1)填空：BC =_________；直接写出点D的坐标（用含m，n的代数式表示）； (2)当n=m+3时，ÐAEB=ÐABD，求a的值和抛物线顶点P的坐标； 1-k 1+k (3)当25£ £36时，n的最大值是9，求此时 的值． a a 押题解读：本题考查矩形性质，由点坐标求线段长度，相似三角形判定及性质，二次函数图象及 性质等． （1）根据题意利用Bm,1，Cm+8,1可得BC=m+8-m=8，再由点坐标及矩形性质可得Dm+8,n； （2）根据题意可得E6-m,n，继而得到AE=6-m-m=6-2m，再证明△ABE∽△ADB，后利用相似 6-2m n-1 性质可得 = ，解得m=2，继而得到本题答案； 公众号★全科AA+ n-1 8（3）根据1=am-72+k可得 1-k =m-72，后得到25£m-72 £36，继而得到1£m£2，后得到 a n=16am-48a+1，继而得到当m=1时，-32a+1=9，求出本题答案． 1．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A1,0，B3,0，与y轴交于点C，连接AC，BC． (1)求抛物线以及直线BC的函数解析式． (2)若M 是抛物线的顶点，求点M 到直线BC的距离． (3)已知P是抛物线上的一动点，是否存在点P，使得ÐPAB=ÐACB？若存在，请求出点P的坐标；若不 存在，请说明理由． 2．如图，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3(a¹0)与x轴交于点A(-1,0),B(6,0)两点，与y轴交于 点C，接AC,BC． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PD∥AC交x轴于点D, PE∥x轴交直线BC于点 3 10 E，求PE+ PD的最大值时，及此时点P的坐标； 10 (3)将抛物线y=ax2+bx-3(a¹0)沿射线CB方向平移 5个单位长度得到新抛物线y¢，点N(7,4)，连接AN， 点M是新抛物线上一点，且ÐMNA=2ÐNAB，直接写出所有符合条件的点M的横坐标． 3．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx-4交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OA=2，OB=4． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点P为第二象限抛物线上一点，连接PB，PC，BC，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S， 求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点D在PB上，连接AD，点E为AD的中点，连接DO，EO，DC， ÐEOA=ÐDOB，ÐCDB=2ÐADO，求点P的坐标． æ1 ö 4．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于Aç ,0÷ 、B(6,0)两点，与y轴交于点C． è3 ø (1)求此抛物线的函数表达式； (2)点P是x轴上一点，若 BCP是等腰三角形，直接写出点P的坐标； V (3)如图（2），点D是直线BC下方抛物线上的一个动点．过点D作DE^BC于点E，问：是否存在点D， 使得ÐCDE=2ÐABC?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知抛物线y =-x2+2mx+3（m是常数）的顶点为P，抛物线y =x2+3． 1 2 (1)求证：点P在抛物线y 上； 2 (2)当m>0时，y 的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧． 1 ①若抛物线y 与y 的图象除顶点P以外的另一个交点为C，过点P作直线l∥y轴，过点C作CF ^l ，垂足 1 2 1 1 为点F，连接PC，BC．当ÐPCF =ÐABC时，求m的值； ②在①的条件下，过点Mt,0作x轴的垂线，分别交y 和y 于点E，F；过点Nt+1,0作x轴的垂线， 1 2 分别交y 和y 于点G，H；当EF =2GH 时，求t的值． 1 2押题猜想九 二次函数与线段数量关系问题 公众号★全科AA+ 如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A-1,0，B3,0两点，与y轴交于点C，点M 是抛物线上一动点 （不与点B重合），过点M 作MN ^x轴于点N ，交直线BC于点P． (1)求该抛物线的解析式； (2)若PM =2PN ，求点M 的坐标； (3)若点M 在直线BC下方的抛物线上运动，是否存在点M ，使以点M ，P，C为顶点的三角形与△BPN 相似？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 押题解读：此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性 质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点等重要知识； 要注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解． 1．抛物线y=x2+bx+c经过O(0,0)，A(4,0)两点，点B(0,-3)在y轴上，P是抛物线y=x2+bx+c上位于直 线AB下方的一个动点．(1)直线AB的解析式是________________，抛物线的解析式是________________； (2)如图1，过点P作PC^ AB于点C，交x轴于点D，过点P作PE^x轴于点E，交AB于点F，若 PD= AF，求点P的坐标； (3)如图2，在y轴上有一点G(0,-2)，连接PG交AB于点H，求 V PAH与 V BGH 的面积之差的最大值． 2．如图⑥，抛物线y = x2 +bx与x轴交于O、A两点，与直线y=-x交于O、B5,-5两点，过点B作y 轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止． (1)求抛物线y = x2 +bx的表达式： (2)请在图⑥中过点P作PF ^ x轴于点F，延长FP交BC于点E，当PE =2PF时，求点P的坐标： (3)如图⑦，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动， 点P停止运动时点Q也停止运动，连接BQ，CP，求CP+BQ的最小值． 3．已知，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A-1,0，B3,0两点，与y轴交于C点． (1)求抛物线的解析式；(2)如图，点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，DE^BC于点E，DF∥y轴交BC于点F，当 DEF 的 V 周长最大时，求点D的坐标； (3)将抛物线y=ax2+bx+3沿y轴向下平移，得到的新抛物线与y轴交于点G，GP^ y轴交新抛物线于点 P，射线PO与新抛物线的另一交点为Q．当PO=2OQ时，求点Q的坐标． 4．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，C（点A在点C右侧），与y轴交于点B，直线y=-x+3 经过点A，B，点P为抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在第一象限内直线AB上方的抛物线上运动，过点P作PD垂直抛物线的对称轴于点D，作 PE^ AB于点E，当PE= 2PD时，求点P的坐标； (3)点Q在抛物线对称轴上运动，当点P，Q关于直线AB对称时，请直接写出点Q的坐标． 5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx-3a¹0的图象与x轴交于A-1,0、B3,0 两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线AD交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点， 连接DP． 公众号★全科AA+ (1)求二次函数的函数表达式； (2)若ÐPDE=2ÐDEC，则点P的坐标为 ； (3)如图2，延长DP交x轴于点G，若AG=DG． ①求点G的坐标； ②Q为线段AD上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若ÐPQN =ÐDAB，则n的最 大值为 ．押题猜想十 综合与实践 “综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 (1)如图1，纸片ABCD为矩形，且AD=20厘米，AB=10厘米，点E，F分别为边AD，BC的中点，沿EF 将纸片剪成两部分，将纸片DEFC沿纸片ABFE的对角线EB方向向上平移． ①当纸片DEFC平移至点E¢与EB的中点O重合时，两个纸片重叠部分FGE¢H的面积与原矩形纸片ABCD 的面积之比是________； 1 ②当两个纸片重叠部分FGE¢H的面积与原矩形纸片ABCD的面积之比是 时，则平移距离EE¢为________； 16 【类比探究】 (2)如图2，当纸片KLMN为菱形，KN =aa>2，ÐN =60o时，将纸片KLMN沿其对角线KM 剪开，将纸 1 片KLM 沿KM 方向向上平移．当两个纸片重叠部分K¢PM 的面积与纸片KLM 的面积之比为 时，求平移 2 距离KK¢（用含a的式子表示）； 【拓展延伸】 (3)如图3，在直角三角形纸片 V ABC中，∠C=90o，AC =18厘米，BC =24厘米，取AB，BC中点D， E，将 V ABC沿DE剪开，得到四边形ACED和 V DEB，将 V DEB绕点D顺时针旋转得到 V DFG．在 V DFG 旋转一周的过程中，求△CFG面积的最大值． 公众号★全科AA+ 押题解读：本题考查了特殊平行四边形的性质与判定、平移的性质、一元二次方程的应用、相似三角 形的性质与判定、旋转的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助 线是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的推理论证和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难 题的学生． 1．综合与实践-项目式学习【项目主题】学科融合-用数学的眼光观察现实世界． 【项目背景】学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透 镜成像规律． 【项目素材】 素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折 射后经过焦点． 素材二：设u表示物体到凸透镜的距离，v表示像到凸透镜的距离，f 表示凸透镜的焦距（凸透镜中心到焦 uf 点之间的距离），小明在研究的过程中发现了u，v和 f 之间在成实像时存在着关系：v= u- f 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：如图，AB为物体，点O为凸透镜MN的中心，入射光线AC∥主光轴，折射光线CA¢经过焦点D， AB A¢B¢为AB所成的像．当u=1.2f 时，求 的值． A¢B¢ 任务二：已知凸透镜MN的焦距为8cm，物体AB的高度为6cm，当物体到凸透镜的距离为x cm（x>8） 时，测量物体的成像A¢B¢的高度为y cm． (1)请你利用所学的知识求出y与x的关系式． (2)当x>8时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）． 2．综合与实践课上，老师让同学们结合“全等与相似”开展数学活动． 【初步探究】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在线段AB，BC上，且BE=CF ，则CE与DF的位置关系 是________，数量关系是________； 【知识迁移】 （2）如图2，在矩形ABCD中，BC =2CD，点E，F分别为直线AB，BC上的动点，且BE=2CF，连接 CE，DF．探究CE与DF存在的数量关系并说明理由； 【深入研究】 （3）如图3在（2）的条件下，若点E，F分别在边AB，BC的延长线上，EC的延长线与DF交于点H．点G为EH 上的点，且HG =2HD，请用等式表示线段BG与HC的数量关系，并说明理由． 3．【数学来源于生活】 （1）小明要铺一个1.8米´2米的矩形床单，但是他发现床单长宽很接近，为了在图中找出哪个边是2米长， 在矩形ABCD中，小明折叠床单，使点A与点C重合，请你帮小明判断___________边长是2米．（填 “AB”或“AD”） 【综合与实践操作】 （2）①在图中，请你用无刻度的直尺和圆规在矩形ABCD中，画出线段EF，使点E，F分别在边BC,AD 上，且满足若沿EF折叠，能使点A与点C重合（不写作法，保留作图痕迹） ②在①条件下，连接AE,CF ，请证明四边形AECF是菱形． 【拓展与深度探究】 （3）如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，AB=4，BE=5，AF =8，剪下四边 形ABEF．如图，折叠四边形纸片ABEF，折叠后点E的对应点E¢始终落在AF 边上，点B的对应点为B¢， 折痕与边AB,EF分别交于点H,G．连接HE，当sinF =cosÐAHB¢时，求tanÐBEH． 公众号★全科AA+ 4．【综合与实践】 【课本再现】 人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心， 把 ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出 ADE≌ ABE¢．由此，老师进行了延 V V V伸拓展，与同学们一起探究． 【例题延伸】 （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且ÐEAF =45o，试判断BE， EF，DF之间的数量关系．小明把 V ABE绕点A顺时针旋转90o得到△ADG，使AB与AD重合，试求BE， EF，DF之间有什么数量关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，点F为边BC延长线上一点，连接DF，过点B作BH ^DF 于点H，交CD于点E． BE ①求 的值； DF ②求cosÐEFC的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段DF，使它经过BE的中点H，交AD于点M ，交BC于点N ， 4 连接NE，若sinÐENC = ，请你求出MN的长． 5 5．综合与实践 综合与实践课上，数学活动小组的同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． 如图（1），在直角三角形 纸片ABC中，ÐC =90° ．公众号★全科AA+ (1)操作判断 操作一：对折直角三角形纸片ABC， 使点B与点C重合，得到折痕DE，把纸片展平． 问题1：如图（2），当直角边AC =BC =2时，折痕DE的长为 ； 操作二：如图（3），将 BDE绕点E逆时针旋转得到 MNE， 点B,D的对应点分别是M,N，直线 MN V V 与边BC交于点P（不与点B,C重合）． 问题2：在 BDE绕点E旋转的过程中，DP与 NP的数量关系为 ． V (2)探究迁移 若AC =6，BC=8．在 V BDE绕点E旋转的过程中，当直线MN经过点A 时，如图（4），求 CP的长． (3)拓展应用 若AC =6，BC=8．在 V BDE绕点E旋转的过程中，当MN与 V ABC的边平行时，直接写出 V MNE与 V ABC 重叠部分的面积（面积为0时忽略不计）．