文档内容
2025 年中考数学终极押题猜想（福建）
押题猜想一 二次函数动态分析................................................................................................................................1
押题猜想二 圆与相似三角形综合..........................................................................................................................25
押题猜想三 几何变换..............................................................................................................................................40
押题猜想四 统计与概率..........................................................................................................................................51
押题猜想五 实际应用..............................................................................................................................................56
押题猜想六 传统文化与跨学科..............................................................................................................................70
押题猜想七 综合实践..............................................................................................................................................76
押题猜想八 尺规作图..............................................................................................................................................90
押题猜想一 二次函数动态分析
限时：20min
（改编）已知： 关于 的函数 ．
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且 ，则 的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与 轴有两个公共点 ， ，并与动直线
交于点 ，连接 ， ， ， ，其中 交 轴于点 ，交 于点 ．设 的面积为 ，
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学科网（北京）股份有限公司的面积为 ．
①当点 为抛物线顶点时，求 的面积；
②探究直线 在运动过程中， 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)0或2或
(2) 6，②存在，
①
【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的
性质以及与坐标轴交点的情况即可求出 值．
（2）①根据 和 的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标 ，从而求出 长度，再利用
和 的坐标点即可求出 的直线解析式，结合 即可求出 点坐标，从而求出 长度，最后利
用面积法即可求出 的面积．
②观察图形，用 值表示出点 坐标，再根据平行线分线段成比例求出 长度，利用割补法表示出 和
，将二者相减转化成关于 的二次函数的顶点式，利用 取值范围即可求出 的最小值．
【详解】（1）解： 函数的图象与坐标轴有两个公共点，
，
，
，
当函数为一次函数时， ，
．
当函数为二次函数时，
，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与 轴， 轴分别只有一个交点时，
，
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学科网（北京）股份有限公司．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，
，
，
．
综上所述， 或0．
故答案为：0或2或 ．
（2）解：①如图所示，设直线 与 交于点 ，直线 与 交于点 ．
依题意得： ，解得：
抛物线的解析式为： ．
点 为抛物线顶点时， ， ，
， ，
由 ， 得直线 的解析式为 ，
在直线 上，且在直线 上，则 的横坐标等于 的横坐标，
，
， ，
，
．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：6．
② 存在最大值，理由如下：
如图，设直线 交 轴于 ．
由①得： ， ， ， ， ，
，
， ，
，
，
即 ，
， ，
，
，
， ，
当 时， 有最大值，最大值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积问题，平行线
分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次函数最值问题．
押题解读
该题契合福建中考数学卷对二次函数专题的深度考察要求：通过参数动态分析设置条件，要求考生根
据坐标系交点位置反向推导参数取值范围，既涉及一次函数与二次函数的分类讨论，又强化了参数变
化对函数图象形态的联动影响，体现中考对函数本质理解的核心要求；
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学科网（北京）股份有限公司其次通过动点最值问题构建面积差与二次函数的转化模型，引导考生将几何图形中的动态变化抽象为
二次函数解析式，并运用配方法或顶点式完成最值求解，完整重现中考压轴题"几何问题代数化"的经
典解题路径；
最后通过存在性探究设置设问，要求先验证顶点极值存在的参数条件再具体计算，重点考查学生结合
函数定义域限制与顶点位置关系的临界分析能力，精准对应福建卷近年来在函数综合题中高频出现
的"存在性验证+定量计算"复合命题模式，整体命题逻辑与中考强调的"动态过程分析"和"数形转化
能力"两大素养高度一致
1. 如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与 轴交于点 ， 两点，与 轴
交于点 ，抛物线对称轴为直线 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线 分别与 轴，直线 交于点 ， ．
①当 时，求 的值；
②若 ， ， 的面积分别为 ， ， ，且满足 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2) ； 点 的坐标为
【分析】（1）先根据抛物线对称轴为直线 ，求出 ，再根据点 在抛物线上，求出 ，
然后写出抛物线的解析式；
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学科网（北京）股份有限公司（2） 先求出 ， ，再设直线 为 ，代入 ， ，求出直线 的解
析式，再求出直线 的解析式，联立求出 ，然后利用勾股定理求出 ，再求出
，根据等边对等角，证明 ，再求出 的值；
如图，分别作 于 ， 于 ，作 于 ，作 于 ， 利用三角形面积
求出 ，再设出 ，用 表示出 ，再证明 ，列出比例式，用 表
示出 ，然后根据 ， 两点求出直线 为 ，再用 表示出 点的坐标，根据
点 在直线 为 上，得到关于 的方程求解，然后求出点 的坐标．
【详解】（1）解： ∵抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，解得： ，
∵点 在抛物线上，
∴ ，
∴ ；
（2）①在 中，
令 ，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
设直线 为 ，
则 ∴ ，
∴直线 为 ．
设直线 为 ，
则 ， ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴直线 为 ，
由 得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②如图，分别作 于 ， 于 ，作 于 ，作 于 ，
则 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
，
设直线 为 ，
∵ ， ，
，解得 ，
∴直线 为 ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∵点 在直线 为 上，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
∴点 的坐标为 ．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，相似三角形的判定与性质，解直三角形，利用待定系
数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，解题关键是设出函数表达式，将点的坐标代入求解．
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学科网（北京）股份有限公司2. 如图1，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P在x轴上方的抛物线上．
(1)求直线 的解析式；
(2)求以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值；
(3)如图2，若直线 与直线 相交于点M，且 ，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或
【分析】本题考查了二次函数综合、待定系数法求函数解析式、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关
知识点是解题的关键．
（1）先求出点A，B，C的坐标，设直线 的解析式为 ，代入点B，C的坐标，利用待定系数法
即可求解；
（2）设 ，分2种情况①点 在直线 上方；②点 在直线 下方，利用割补法表示出
以A，B，P，C为顶点的四边形面积，再利用二次函数的性质求出最大值，再比较2种情况的最大值的大
小即可得出答案；
（3）设 ，分2种情况①点 在直线 上方；②点 在直线 下方，过点 、 分别作
轴的平行线，交直线 于点 、 ，得出 ， ，通过证明 ，得到
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学科网（北京）股份有限公司，结合图形列出方程，解出 的值即可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：令 ，则 ，
解得： ， ，
， ，
令 ，则 ，
，
设直线 的解析式为 ，
代入 和 ，得 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ．
（2）解：由（1）得， ， ， ，
， ，
设 ，
①若点 在直线 上方，则 ，
如图，连接 、 、 、 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
当 时， 有最大值 ；
②若点 在直线 下方，则 ，
如图，连接 、 、 ，
，
，
当 时， 有最大值 ；
，
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学科网（北京）股份有限公司以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值为 ．
（3）解：由（1）得，直线 的解析式为 ， ，
设 ，
①若点 在直线 上方，则 ，
如图，过点 、 分别作 轴的平行线，交直线 于点 、 ，
，
当 ，则 ，
，
，
轴，
，
，
，
解得： ， ，
点 的坐标为 或 ；
②若点 在直线 下方，则 ，
如图，过点 、 分别作 轴的平行线，交直线 于点 、 ，
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学科网（北京）股份有限公司同理①中的方法可得， ， ，
轴，
，
，
，
解得： （舍去）， ，
点 的坐标为 ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．
3. 已知抛物线 与 轴分别交于点 ，点 ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图1，连接 ，取 中点 ，连接 并延长交抛物线于点 ，在直线 下方的抛物线上是否存
在点 ，使 ，若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2， 、 是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线 、 分别交 轴于 、 两点，若
，求证：直线 必经过一定点．
【答案】(1)
(2) 或
(3)直线 必经过定点
【分析】（1）设抛物线的函数解析式为 ，可得 ，得出 的值即可．
（2）先根据点 、 两点坐标得出点 的坐标，从而求出 的解析式，与抛物线解析式联立求出
，过P作 轴交 于S点，设 ，则 ，可得
，再解方程即可；
（3）过E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为G，H，设 ， ，先证得
，得出 ，从而证得 ，令直线 的解析式为 ，与抛
物线解析式联立得出 ，得出直线 的解析式即可.
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴分别交于点 ，点 ．
∴设抛物线的函数解析式为 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，即 ，
解得： ，
抛物线的函数解析式：
（2）解：∵抛物线 ，
当 ， ，
∴ ，
由（1）知，点 ；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
设直线 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
联立抛物线解析式得：
解得： 或 ，
∴ ，
如图，过P作 轴交 于S点，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
∴
∴ ，
∴ 或 ．
∴ 或 ；
即：在直线 下方的抛物线上存在点P，使 ．
（3）解：如图，过E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为G，H，
设 ， ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴ ，
令直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
即 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
∴直线 必经过定点 .
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了抛物线解析式的求法和性质，相似三角形的性质和判定，二次
函数与面积，一次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系等知识，选择合适的方法解题是关键．
4. 已知点A为抛物线 对称轴右侧上一动点，直线AB： 与抛物线有且只有一个交
点A，且与 轴交于点B，点C的坐标为 ，直线 交抛物线于点 ，连接 ， ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)用含k的代数式表示b；
(2)求证： ；
(3)在点A运动过程中， 是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．
【答案】(1) ；
(2)见解析；
(3)是，2．
【分析】（1）令 ，得到 ，由直线 与抛物线有且只有一个交点，根据根
的判别式等于0，即可得到答案；
（2）联立 ，求得点A坐标 ，再用喊k的代数式表示出 ， 的长，即得答案；
（3）设直线 的表达式为 ，将点A坐标是 代入 ，得到 ，联立
，求出点D坐标 ，再分别用含k的代数式表示 和 ，即可得到答案．
【详解】（1）令 ，
整理得 ，
直线 与抛物线有且只有一个交点，
，
；
（2）由题意可知，联立 ，
解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司点A坐标是 ，
又 点B坐标是 ，点C坐标是 ，
，
由勾股定理，得 ，
；
（3）点A在抛物线上运动的过程中， 是定值．理由如下：
设直线 的表达式为 ，
将点A坐标是 代入 ，
得 ，即 ，
联立 ，
解得 （舍去）， ，
点D坐标是 ，
又 点A坐标是 ，点B坐标是 ，点C坐标是 ，
，
，
．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了二次函数与线段的综合问题，二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问
题，二次函数与几何图形的面积问题，准确的字母运算是解题的关键．
限时：20min
（改编）抛物线C ： 对称轴为 ，且与y轴交点的纵坐标为－3
1
(1)求b，c的值；
(2)抛物线C ： 经过抛物线C 的顶点P．
2 1
①求证：抛物线C 的顶点Q也在抛物线C 上；
2 1
②若 ，点E是在点P和点Q之间抛物线C 上的一点，过点E作 轴的垂线交抛物线C 于点F，求EF
1 2
长度的最大值．
【答案】(1)b=2；c=-3
(2) 见解析；②
①
【分析】（1）根据抛物线对称轴 ，即可求出b值，再由抛物线与y轴交点的纵坐标
为-3，即可求c值；
（2）①由抛物线C 的解析式为 ．得出抛物线C 的顶点坐标为P(1，-4)．将(1，-4)
1 1
代入抛物线C 中得n=-3-m，即可求出抛物线C 的解析式为 ，将 带入抛物线C 中，
2 2 2
21 / 105
学科网（北京）股份有限公司则可求得 ，将 代入抛物线C 中，得 ，得到 ，即可得出结论；
1
②把m=8， P(1，-4)，代入求出抛物线C 的解析式为 ，则Q（4，5），设点
2
E的坐标为 ，且1＜a＜4，则点F的坐标为 ．所以EF=
(1＜a＜4)，根据二次函数最值即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线C 的对称轴为 ，
1
∶
∴ ，
∴ ，
∵抛物线与y轴交点的纵坐标为-3，
c=-3；
∴
（2）①证明：由（1）得抛物线C 的解析式为 ．
1
∴抛物线C 的顶点坐标为P(1，-4)．
1
将(1，-4)代入抛物线C 中得n=-3-m，
2
∴抛物线C 的解析式为 ，
2
∴抛物线C 顶点的横坐标为 ，
2
将 带入抛物线C 中，得 ，
2
∴ ，
将 代入抛物线C 中，得 ，
1
∴
∴抛物线C 的顶点Q也在抛物线C 上；
2 1
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学科网（北京）股份有限公司②解：∵m=8，且抛物线C 过点P(1，-4)，
2
∴抛物线C 的解析式为 ，
2
Q（4，5），
∴
设点E的坐标为 ，且1＜a＜4，则点F的坐标为 ．
由图象可知，EF= (1＜a＜4)，
∴当 时，EF长度取最大值，最大值为 ．
【点睛】本题考查二次函数图象性质，二次函数最值，二次函数顶点、对称轴，熟练掌握二次函数图象性
质是解题的关键．
押题解读
1. 已知抛物线 经过 两点，若 分别位于抛物线对称
轴的两侧，且 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线 ，开口向上，根据已知条件得出点 在对称轴的右侧，
且 ，进而得出不等式，解不等式即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，开口向上，
∵ 分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点 在对称轴的右侧，则 ，解得 ，
∴
∴ 点在 点的右侧，与假设矛盾，则点 在对称轴的右侧，
∴
解得：
又∵ ，
∴
∴
解得：
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过矩形 的顶点 和
， 轴．若将抛物线 向左（右）平移不超过 个单位长度，使其经过点 ，可与抛物线
重合，记抛物线 和 在该矩形内部的部分为图象 ，点 在图象 上，则点 的横坐标 的取值范围
是 ．（表达式中可含有 ， ， ）
【答案】 或
【分析】本题考查了二次函数的平移、二次函数与一元二次方程、矩形的性质，解题的关键是掌握相关知
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学科网（北京）股份有限公司识点，学会利用数形结合的思想解决问题．代入 和 到抛物线 可得 ，
，得到点 在点 的上方，利用矩形的性质得到 ， ，利用二次函数的对称
性得到抛物线 也经过点 ，得到抛物线 在 、 之间的部分图象在矩形 内部；结合图象
可得将抛物线 向左平移 个单位，可使其经过点 ，可与抛物线 重合，则有抛物线 ，令
可得抛物线 恰好经过点 ，再利用二次函数的对称性得到抛物线 也经过点 ，得到
抛物线 在 、 之间的部分图象在矩形 内部，根据题意即可得出结论．
【详解】解：代入 和 到抛物线 得 ，
， ，即 ，
点 在点 的上方，
矩形 ， ， ， 轴，
， ，
， ，
抛物线 对称轴为直线 ，点 关于直线 的对称点为 ，
抛物线 也经过点 ，
在矩形的边 上，
抛物线 在 、 之间的部分图象在矩形 内部，且 随 的增大而减小；
， ，
将抛物线 向左平移 个单位，可使其经过点 ，可与抛物线 重合，
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学科网（北京）股份有限公司抛物线 ，
令 ，则 ，
，
解得： ， ，
抛物线 经过点 ，即恰好经过点 ，
抛物线 对称轴为直线 ，点 关于直线 的对称点为 ，
抛物线 也经过点 ，
在矩形的边 上，
抛物线 在 、 之间的部分图象在矩形 内部，且 随 的增大而增大；
记抛物线 和 在该矩形内部的部分为图象 ，点 在图象 上，
点 在 、 之间的抛物线 图象上，或在 、 之间的抛物线 图象上，
点 的横坐标 的取值范围是 或 ．
故答案为： 或 ．
3. 抛物线 （ ， ， 是常数， ）的顶点坐标为 ，与 轴交于
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学科网（北京）股份有限公司．
(1)当 时，求此抛物线的解析式；
(2)若此抛物线经过点 且点 不在坐标轴上，当 时，求 的取值范围；
(3)用等式表示 与 之间的数量关系，并给予证明．
【答案】(1)
(2) ，且
(3) ，证明见解析
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）由题意得：顶点坐标为 ，设抛物线的解析式为 ，将 代入求出 ，
即可求解；
（2）先求出对称轴为直线 ，再根据抛物线的对称性可得 ，即 ，结合 ，点
不在坐标轴上，即可得到答案；
（3） ，则 ，即可求接．
【详解】（1）解：当 时，顶点坐标为 ，
设抛物线的解析式为 ，将 代入得：
，
解得： ，
此抛物线的解析式为 ；
（2） 抛物线的对称轴为直线 ，且 ， ，
，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
点 不在坐标轴上，
，且 ；
（3） ，理由如下：
，则 ，
则 ，
．
4. 如果直线 经过抛物线 的顶点，那么称直线 为抛物线
的准切线．如，直线 经过抛物线 的顶点 ，所以直线 是抛
物线 的准切线．
(1)若直线 为抛物线 的准切线，试求 的值；
(2)已知直线 是抛物线 （ ）的准切线，将直线 向下平移 个单位，得
到新直线 恰好也是抛物线 的准切线．
①请求出直线 的解析式；
②若当 时， 的最小值为 ，试求出 的值．
【答案】(1)
(2) ；② 或
【分①析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解
题的关键；
（1）根据题意，求得顶点为 ，进而求解；
28 / 105
学科网（北京）股份有限公司（2）①根据题意，求得顶点为 ，进而求得 的解析式，进而求得 ，进而求解；②根据
题意，可得抛物线的表达式为 ，分当 时，当 ，当 时，分
别求解即可；
【详解】（1）解： ，
顶点为 ，
直线 为抛物线 的准切线，
，
解得， ；
（2）① ，
顶点为 ，
直线 向下平移 个单位，得到直线 ： ，
直线 、 都是抛物线 的准切线，
∴方程 的解是 ，
即 ，
∵
即直线 的解析式为： ，
②顶点为 在直线 ： 上，
∴ ，
，
∴抛物线的表达式为： ，
当 时， ，
29 / 105
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
∵ ，顶点为 ，
i）当 ，即 时，在 ， 取得最小值，
∴ ，
解得， 或 （舍去），
ii）当 ，即 时，在顶点处， 取得最小值，
∴
，
iii）当 ，即 时，在 ， 取得最小值，
∴ ，
方程无解，
综上所述， 或 ；
押题猜想二 圆的综合运用
限时：20min
（改编）如图， 为 的直径，射线 与 相切于点A，点C为射线 上的一个动点， 交
于点D，若 ， ，垂足为E，连接 ．
（1）求 的度数及 的值．
（2）求证：
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）① ； ；（2）证明过程见详解；
【分析】（1）根据“等边对等角”及三角形内角和定理可求得 ；先证得 ，再在
中， ，在 中，可得 ，即可证明结论；
（2）过点 作 ，交 延长线于点 ，先证明 ，可得 ， ，再证
明 ， ，再由相似三角形的判定可得结论；
【详解】（1）解： ，且 是 的直径，
，
与 相切于点A，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
；
（2）过点 作 ，交 延长线于点 ，
， ，
，
，
， ，
31 / 105
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
， ，
，
，
，
，
；
【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、
相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识，
考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，熟练掌握相关图形的性质定理是关键．
押题解读
这道题契合福建中考命题趋势，以圆与相似三角形为双核心，深度融合几何性质推导，既覆盖了中考
必考的“圆+相似”高频考点组合，又通过几何代数化思维和典型解题策略（辅助线构造、模型识
别），完整再现了福建中考压轴题“基础分层+综合探究+数形转化”的命题框架，与近年中考强调的
动态几何分析与函数建模一致。
1. 如图， 为 的直径，弦 ，连接 ， ， 为 上一点， ，连接 并
延长交 于点 ，交 于点 ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 ．
【答案】(1)证明过程见详解
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学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）如图所示，连接 ， 交于点 ，由等边对等角得到 ，根据对顶角
相等，同弧所对圆周角相等得到 ，由垂径定理得到 ，则
，由三角形的外角的性质得到 ， ，由此
即可求解；
（2）根据证明可得 ， ，则 ，证明 所以有 ，即
，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接 ， 交于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，弦 ，
∴ ， 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
33 / 105
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
由（1）可得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得， ．
【点睛】本题主要考查垂径定理，等腰三角的性质，三角形外角的性质，同弧或等弧所对圆周角相等，平
行线截线段成比例等知识的综合运用，掌握垂径定理，同弧或等弧所对圆周角相等，平行线截线段成比例
等知识，数形结合分析思想是解题的关键．
2. 如图，点 ， 在以 为直径的 上，且位于直径 的异侧，过点 作 的切线 交
的延长线于点 ， ．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ，求 的值；
(3)当 的面积最大时，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)1
(3)
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质得出 ，结合题意得出 ，根据平行线的性质得出
，根据等腰三角形的性质得出 ，即可得 ，即可证出 平
分 ．
（2）根据圆周角定理得出 ，证明 ，根据相似三角形的性质得出 ，
即可求出 ．
（3）根据 是 的直径，点 在 上，得出当 面积最大时，点 是弧 的中点，此时
34 / 105
学科网（北京）股份有限公司为等腰直角三角形．过点 作 于点 ，设 ，则 ，得出
， ．在 中，得出 ，根据相似三角形
的性质得出 ，即可求出 ．
【详解】（1）证明：连接 ．
是 切线，
．
又 ，
．
．
，
．
．
平分 ．
（2）解： 是 的直径，
．
，
．
又 ，
．
．
．
（3）解： 是 的直径，点 在 上，
当 面积最大时，点 是弧 的中点．
为等腰直角三角形．
35 / 105
学科网（北京）股份有限公司过点 作 于点 ，则 为等腰直角三角形．
，
四边形 为矩形．
设 ，则 ，
．
．
在 中， ．
，
．
．
【点睛】该题考查了圆周角定理，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，
解题的关键是掌握以上知识点．
3. 如图1，已知 为 的两条直径，连接 ， 于点E，点F是半径 的中点，
连接 ．
(1)设 的半径为1，若 ，求线段 的长；
(2)如图2，连接 ，设 与 交于点P．
①求证：P为 中点；
36 / 105
学科网（北京）股份有限公司②若 ，试求 之间的关系．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）先求出 ， ，由垂径定理得 ，证明 是等边三角形，可
证 ，然后利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题；
（2）①过点F作 于G，交 于H，连接 ．想办法证明四边形 是平行四边形可得结论；
②由平行线分线段成比例定理得 ，从而 ，求出 可证 ，等量代
换可得 ．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ， ．
，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
37 / 105
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
（2）①证明：过点F作 于G，交 于H，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴P为 中点；
② ，理由：
∵ ，
∴ ＝ ＝1，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
38 / 105
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定及性质、直角三角形斜边中线的性质、平
行四边形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，题目的综合性较强，添加辅助线较多，解题的关键是
熟记并且灵活运用有关的性质定理．
4. 如图， 的外接圆 的直径 交 于点 ，过点 作 于点 ，延长 交
于点 ，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 平分 ．
①已知 ， ，求 的长；
②若点 为 的中点，且 ， ， 三点在同一直线上，试猜想 与 的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)① ；② ，见解析
【分析】（1）由三角形内角和定理得到 ，进而即可得解；
（2）①过点B作 于点M，则 ，先证 ，可得 ，
所以 ，利用勾股定理求出 ，再利用等面积求出 ， ， ，
，最后再证 ，利用相似比求解即可；
②先证 都是等腰直角三角形，过点F作 于点M，可证 ， ，所以
，设 ，则 ， ，进而即可得解．
【详解】（1）证明：如图1．
39 / 105
学科网（北京）股份有限公司∵ 是 的直径， ，
∴ ，
∵ 对的圆周角是 和 ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：①如图2，过点B作 于点M，则 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
在 中， ，由勾股定理，得： ．
∵ ，
∴ ，
40 / 105
学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
② 与 的数量关系是 ，理由如下：
如图．
∵ ，点 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 都是等腰直角三角形，
41 / 105
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
过点F作 于点M，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 中， ，
由①，得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握
相关知识是解题的关键．
5. 如图1，在矩形 中，点 在对角线 上，以 的长为半径的 与 ， 分别交于点
， ，且 ．
(1)求证： ；
(2)判断直线 与 的位置关系，并证明你的结论；
(3)如图2，若点 落在线段 的垂直平分线上， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)直线 与 相切，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查的是圆的综合应用，主要考查矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形
42 / 105
学科网（北京）股份有限公司的性质，相似三角形的判定与性质，圆的切线判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）证明 ，结合 ，即可得到结论；
（2）连接 ，证明 ， ， ，由
得到 ，得到 ，即可得到结论；
（3）连接 ，证明 ，得到 ， ，求出 ，
则 ，利用含 直角三角形得到 ，即可求出答案．
【详解】（1）证明： 矩形 ，
，
，
；
（2）解：直线 与 相切，理由如下：
连接 ，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
43 / 105
学科网（北京）股份有限公司，即 ，
为半径，
直线 与 相切；
（3）解：连接 ，
点 落在线段 的垂直平分线上，
，
，
由（1）得 ，
在 中， ，
，
，
是 的直径，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
在 中， ，
．
押题猜想三 几何变换
44 / 105
学科网（北京）股份有限公司限时：20min
（改编）如图1，已知 中， ， ，点 为 边上一动点（不与点 、 重
合），连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ， 与 交于点 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)试探究猜想 、 、 之间满足的数量关系，并给予证明；
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】（1）由旋转得， ， ，从而 ，再求出
， ，可得 ，进而可求出 ；
（2）过点 作 于点 ，由等腰三角形的性质得 ， ，证明
，从而可证 ，由 得
，进而可证 ；
【详解】（1）解：如图2，
∵ ，
∴
45 / 105
学科网（北京）股份有限公司由旋转得， ，
∴
∵
∴
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∴
∴
（2）猜想： ．
证明：如图3，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵
∴
又∵ ，
∴
∴
∴
∴
46 / 105
学科网（北京）股份有限公司∴
∴ ；
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，
利用二次函数求最值，正确作出辅助线是解答本题的关键．
押题解读
这道题紧扣福建中考几何综合题的命题特点，以旋转变换为核心情境，通过旋转构造全等、动态轨迹
分析串联起等腰三角形性质、三角函数比例、二次函数最值等核心考点，既在（1）问中夯实基础几
何计算（旋转性质→等腰三角形边角关系），又在（2）问中通过辅助线构造（作垂线）、全等三角
形判定与比例转化体现压轴题的分层探究思维，同时将几何动态过程（动点旋转）深度结合，完整呼
应了福建中考“基础分层递进+几何代数互化+高阶模型构造”的命题逻辑，尤其是旋转背景下的辅助
线技巧与数形转化能力，与近年中考的考查高度契合。
1. 在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片 ，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：如图②，在边 上选一点E，沿 折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕 ；
操作三：如图③，在边 上选一点F，沿 折叠，使边 与边 重合，得到折痕 把正方形纸片展
平，得图④，折痕 与 的交点分别为G、H．
根据以上操作，得 ________ ．
【探究证明】
47 / 105
学科网（北京）股份有限公司（1）如图⑤，连接 ，试判断 的形状并证明；
（2）如图⑥，连接 ，过点G作 的垂线，分别交 于点P、Q、M．求证： ．
【深入研究】
若 ，请求出 的值（用含k的代数式表示）．
【答案】[操作判断]45；
[探究证明]（1）等腰直角三角形，理由见详解；（2）见详解；
[深入研究]
【分析】[操作判断] 根据正方形的性质以及折叠的性质即可求解；
[探究证明]（1）先证明 ，再证明 ，则 ，继而得到
，因此 ， ，即 是等腰直角三角形；（2）由翻折得，
，由 ，得到 ，故 ，因此 ，而由
，得到 ，则 ，因此 ；
[深入研究] 连接 ，先证明 ，则 ，由 ，设 ，则
，而 ， 则 ，可得 ，
， ，那么 ，故 ．
【详解】[操作判断] 解：如图，
48 / 105
学科网（北京）股份有限公司由题意得， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
故答案为：45；
[探究证明] 解：（1）如图，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
49 / 105
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形；
（2）如图，
由翻折得， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
[深入研究] 解：如图，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∵ 是对角线，
50 / 105
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
51 / 105
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了正方形背景下的折叠问题，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，
等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
2. 如图（1），四边形 为矩形， ， ，点 在对角线 上，点 ， 分别在边
和 上， ， ．
(1)求 的值；
(2)将四边形 绕着点 逆时针旋转到图（ ）的位置， 为 和 的交点，
①求 的值；
②当 ，其中旋转角为 ，且 ，连接 ，求 的最大面积．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，熟练掌握
相似三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）根据解析的性质以及 ,得出 ， ， ，根据
得出 ，根据 即可求解．
（2）①由（1）得出 ，进而证明 ， ，根据相似三角形的性质即可求
52 / 105
学科网（北京）股份有限公司解；
②令 和 的交点为 ， 和 的交点为 ，由（ ）① ，可得： ，
得出四边形 存在共圆，令共圆为 ，由 ，则 为圆弧上一动点，令弦 的中点为
，当 ， ， 三点共线时， 存在最大面积，在 中，在 中，分别求得 ，
，进而求得 ，即可得出 的最大面积．
【详解】（1）解：∵矩形 ，
∴
又 ，则 ，
∴ ， ， ，
∴ ，即有
∵ ，
∴
∵ ， ， ，
∴
（2）①由（1）得 ，
∴
依题意可得： ，
， ，
，即有
，
，
53 / 105
学科网（北京）股份有限公司②如图，令 和 的交点为 ，
如图由（ ）① ，
∴
在四边形 中，
四边形 存在共圆，令共圆为
由 ，则 为圆弧上一动点，令弦 的中点为 ，当 ， ， 三点共线时， 存在
最大面积，
在 中， ， ，
在 中， ， ，
，
的最大面积为：
押题猜想四 统计与概率
限时：20min
54 / 105
学科网（北京）股份有限公司（改编）今年的国内春节档电影《哪吒之魔童闹海》很火爆，乐乐和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶准备在正月
初一晚上八点一起去看电影．爸爸在网上购票时，五人的座位恰好位于5排06座--5排10座，这五个座位
从左往右依次排列（如图，是座位示意图）．乐乐进入该电影厅后，可以从这五个座位中随机选择一个．
(1)乐乐选择的座位恰好是座位06座的概率是________；
(2)乐乐坐下后，奶奶从剩下的四个座位中随机选择一个坐下，用列表法或画树状图法求乐乐和奶奶的座位
相邻（过道两侧也可认为是座位相邻）的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法求概率，正确的列出表格，掌握概率公式，是解题的关键：
（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）根据题意，画出表格，利用概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：乐乐选择的座位恰好是座位06座的概率是 ；
故答案为： ；
（2）由题意，列出表格如下：
6 7 8 9 10
6 6，7 6，8 6，9 6，10
7 7，6 7，8 7，9 7，10
8 8，6 8，7 8，9 8，10
9 9，6 9，7 9，8 9，10
10 10，6 10，7 10，8 10，9
共20种等可能的结果，其中乐乐和奶奶的座位相邻（过道两侧也可认为是座位相邻）的结果有8种，
55 / 105
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
押题解读
这道概率题以最近很火的《哪吒2》电影为背景，在春节家庭观影选座为真实情景下，要求学生通过
树状图系统性分析空间位置关系，体现从生活现象抽象数学模型、融合代数计算与几何逻辑的命题导
向。
1. 某村有甲、乙两块柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展实践活动，其中一个项目是：
在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为
柑橘园的发展规划提供一些参考．从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测
量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位： ）表示，将收集的样本数据进行如下分组：
组别 A B C D E
x
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：
(1)计算乙园样本数据的平均数；
(2)结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一等品，其它组的柑橘认定为二等品，其中一等品柑橘的品
质最优，二等品柑橘次之．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．
【答案】(1)
(2)乙园的柑橘品质更优，理由见解析
【分析】本题考查分布表和直方图，求平均数，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）利用加权平均数的计算公式，进行计算即可；
（2）分别求出甲、乙两园一等品所占的比例，进行判断即可．
56 / 105
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解： ；
答：乙园样本数据的平均数为 ；
（2）解：乙园的柑橘品质更优，理由如下：
甲园中，一等品所占的比例为： ；
乙园中，一等品所占的比例为： ，
∵ ，
∴乙园的柑橘品质更优．
2. 福建省拥有丰富的红色文化资源，某校组织七年级学生开展“红色文化”为主题的研学之旅，策划
了三条红色线路让学生选择：
A．古田会议（龙岩市上杭县）；
B．闽西革命历史纪念馆（龙岩市）；
C．东山战斗纪念馆（漳州市东山县）．
小悦和小钢两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路，且每人只能选择一条线路．他们准备了3张不
透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，
小悦先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小钢再从中随机抽取一张卡片．
(1)求小悦从中随机抽到卡片A的概率；
(2)请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到同一张卡片的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列举法求概率，正确用树状图或者列表法列举出所有情况，并找到符合条件的事件数量，
正确带入公式计算是解题的关键．
（1）本题考查了等可能时间的概率，代入公式即可求解；
（2）先用列表法或树状图法列举出所有可能的情况，再代入公式计算即可．
【详解】（1）解：小悦从3张不透明的卡片中随机抽到卡片A的概率为
（2）解：画树状图如图，
57 / 105
学科网（北京）股份有限公司共有 种等可能结果，其中两人都抽到同一张卡片的结果数有3种，
所以，两人都抽到同一张卡片的概率为 ．
3. 某校八、九年级各推荐20名学生参加主题为“极目楚天，共襄星汉”的航天科普知识竞赛（共10
题，每题10分，满分100分）．数学兴趣小组对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告（不完整）：
“极目楚天，共襄星汉”的航天科普知识竞赛成绩分析报告
八年级学生成绩：80，60，100，90，80，70，70，100，70，90，70，80，80，90，
80，80，90，80，90，90．
数据收集
九年级学生成绩：70，90，100，80，80，60，70，80，60，100，60，70，90，80，
90，90，90，90，100，90．
八、九年级学生成绩分析表
数据整理与
分析
平均数 中位数 众数 方差
八年级 82 80 80 106
九年级 82 85 90 166
①补全条形统计图；
任务一
②求在扇形统计图中，“90分”所在扇形的圆心角的度数．
任务二 根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由．
从5名得100分的学生中，随机抽取2名参加市级知识竞赛．利用画树状图或列表的方
任务三
法，求所抽取的2名学生恰好在同一年级的概率．
【答案】任务一：①见解析；② ；任务二：我认为九年级成绩更好，理由是由分析表可知两个年级的
58 / 105
学科网（北京）股份有限公司平均数相同，九年级的中位数高于八年级，所以九年级的成绩更好；任务三：
【分析】本题考查读统计表和统计图，利用统计图获取信息的能力以及中位数，众数和平均数，以及概率
的计算．利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
任务一：①由数据收集得到八年级70分的有4人，80分的有7人即可补全条形统计图；②“90分”所在
扇形的圆心角的度数为 乘以占比即可；
任务二：比较中位线，众数，平均数，方差进行分析即可；
任务三：通过列表得到一共有20种等可能结果，其中所抽取的2名学生恰好在同一年级的结果有8种，即
可求解概率．
【详解】解：任务一：①由数据收集得到八年级70分的有4人，80分的有7人，故补全条形统计图，如
图所示：
②“90分”所在扇形的圆心角的度数为： ；
任务二：我认为九年级成绩更好．
理由：由分析表可知两个年级的平均数相同，九年级的中位数高于八年级，所以九年级的成绩更好；
任务三：八年级100分的学生分别记作1，2，九年级100分的学生分别记作3，4，5，列表如下：
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
一共有20种等可能结果，其中所抽取的2名学生恰好在同一年级的结果有8种，则所抽取的2名学生在同
59 / 105
学科网（北京）股份有限公司一年级的概率为 ．
押题猜想五 实际应用
限时：20min
（改编）学校积极开展“阳光体育”活动，某班需要购买 ， 两种跳绳，已知购买1根 型跳绳和2根
型跳绳共需40元；购买3根 型跳绳和3根 型跳绳共需75元．
(1)购买1根 型跳绳和1根 型跳绳各需多少元？
(2)若班级计划购买 ， 两型跳绳共50根， 型跳绳根数不少于 型跳绳根数的2倍，设购买 型跳绳
根，求购买跳绳所需最少费用是多少元？
【答案】(1)1根 型跳绳10元，1根 型跳绳15元
(2)670元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系
式．
（1）设购买1根A型跳绳需x元，1根B型跳绳需y元，根据“购买1根A型跳绳和2根B型跳绳共需40
元；购买3根A型跳绳和3根B型跳绳共需75元”，可列出关于x,y的二元一次方程组，解之可得出结论；
（2）根据购买B型跳绳根数不少于A型跳绳根数的2倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a
的值，设购买跳绳所需费用是w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函
数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设1根 型跳绳和1根 型跳绳分别需 元、 元，
依题意，得 ，解得
答：购买1根 型跳绳10元，1根 型跳绳15元．
（2）解：购买跳绳所需总费用为：
∵
∴ 随 的增大而减少
又∵
60 / 105
学科网（北京）股份有限公司∴
∵ 为正整数
∴当 时， 有最小值670．
∴购买跳绳所需最少费用是670元．
押题解读
本题契合福建中考"生活情境引领、知识分层递进、数学建模贯穿"的命题理念。首先以"阳光体育"采
购器材为真实背景，第(1)问通过建立二元一次方程组求解单价，夯实方程思想基础（必得分考点）；
第(2)问创新融合不等式约束与一次函数最值，既考查代数建模能力，又通过分析费用函数单调性揭示
决策优化本质，完整呈现福建卷典型应用题结构。特别是将实际问题转化为"数量关系→数学表达式
→函数性质"的解题路径，充分体现课标要求的"用数学思维分析现实问题"核心素养，彰显福建命
题"情境真实化、设问阶梯化、思维可视化"的鲜明特色。
1. 为改善生活环境，减少污水排放，长青村准备筹集资金，购买甲，乙两种污水处理设备，安装在专
门设置的场地，用于处理全村排放的污水．已知每套乙种设备价格比甲种设备少 ，用360万元单独购
买甲种设备比乙种设备要少2套，安装一套甲种设备需占地 ，一套乙种设备需占地 ．
(1)甲，乙两种污水处理设备每套分别是多少万元？
(2)长青村共筹集到资金500万元，准备购买20套甲，乙两种污水处理设备，经预算，安装设备的前期准
备工程的费用不少于总资金的四分之一，求安装这20套污水处理设备占地的最大面积是多少 ？
【答案】(1)甲种污水处理设备每套20万元，乙种污水处理设备每套18万元
(2)
【分析】本题考查了分式方程的应用、不等式的应用、一次函数的应用，理解题意正确列出方程和不等式
是解题的关键．
（1）设甲种污水处理设备每套 万元，则乙种污水处理设备每套 万元，根据题意列出方程，解
出 的值即可解答；
（2）设购买 套甲种污水处理设备，则购买 套乙种污水处理设备，根据题意列出不等式，求出
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学科网（北京）股份有限公司的解集，设污水处理设备占地的面积为 ，根据题意列出 与 的关系式，再利用一次函数的性质求
出 的最大值即可解答．
【详解】（1）解：设甲种污水处理设备每套 万元，则乙种污水处理设备每套 万元，
由题意得， ，
解得： ，
经检验， 是方程的解且符合题意，
则 ，
答：甲种污水处理设备每套20万元，乙种污水处理设备每套18万元．
（2）解：设购买 套甲种污水处理设备，则购买 套乙种污水处理设备，
由题意得， ，
解得： ，
是整数，
，
设污水处理设备占地的面积为 ，
由题意得， ，
，
中 随着 的增大而增大，
当 时， 有最大值 ，
答：安装这20套污水处理设备占地的最大面积是 ．
2. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现
一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩
偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同．
(1)问： A、B两款的进货单价分别是多少元？
(2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元
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学科网（北京）股份有限公司购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多
少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？
【答案】(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元
(2)购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元
【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键．
（1）设A款的进货单价是 元，则B款的进货单价是 元，根据题意列分式方程求解即可；
（2）设购进B款 个，先根据“A款的数量不小于B款的一半”求得 ；再设总利润为 ，则
，然后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A款的进货单价是 元，则B款的进货单价是 元，
根据题意，可得 ，
解得 ，
经检验， 是该方程的解，
∴ ，
答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元；
（2）解：设购进B款 个，则购进A款 个，
又A款的数量不小于B款的一半，
，
解得： ，
设总利润为 ，则 ，
，
∴ 随 的增大而增大，
当 取得最大整数解50时， 取得最大值，最大值为 ，
此时 ，则 ，
答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元．
3. “垃圾分一分，环境美十分”，某中学欲购买 ， 两种型号的垃圾桶，已知 型垃圾桶的单价比
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学科网（北京）股份有限公司B型垃圾桶的单价便宜20元，用1800元购买A型垃圾桶的数量与用2160元购买B型的垃圾桶的数量相同．
（说明：A型垃圾桶存放不可回收垃圾；B型垃圾桶存放可回收垃圾）
(1)分别求A，B两种型号垃圾桶的单价．
(2)根据学校需要，准备购买A，B两种垃圾桶共60个，其中购买A型垃圾桶的数量不超过B型垃圾桶的
倍，求购买这两种垃圾桶所需的最少经费．
【答案】(1)A型垃圾桶的单价为100元，B型垃圾桶的单价为120元；
(2)所需的最少经费为6480元．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、
找到等量关系和不等关系是解题的关键．
（1）设 型垃圾桶的单价为 元，则 型垃圾桶的单价为 元，然后根据题意列分式方程求解即可；
（2）设购买A型垃圾桶 个，则购买B型垃圾桶 个．根据题意可得 ，解得 ；
设所需经费为 元，则 ，然后根据一次函数求最值即可．
【详解】（1）解：设 型垃圾桶的单价为 元，则 型垃圾桶的单价为 元，
根据题意，得 ，解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
（元）．
答： 型垃圾桶的单价为100元， 型垃圾桶的单价为120元．
（2）解：设购买A型垃圾桶 个，则购买B型垃圾桶 个．
型垃圾桶的数量不超过 型垃圾桶的 倍，
，解得 ．
设所需经费为 元，则 ．
，
随 的增大而减小，
当 时， 有最小值，最小值为 （元）．
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学科网（北京）股份有限公司答：所需的最少经费为6480元
限时：20min
（改编）阅读下列材料，解答问题．
【背景】如图1，李叔家D与水果园E之间隔着一座小土坡，为方便浇水灌溉，从家里铺设的水管到果园，
原来经过小土坡铺设的水管（ ）由于风吹日晒，老化损坏，现在李叔准备从土坡下直接
埋一条水管（D，B，C，E在同一直线上）．
【问题】为了计算新水管的长度，需要测量B，C之间的距离；
要了解水管承受的压力，需要测量土坡的高度．
【工具】一把皮尺和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的
功能是在一固定位置测量可以看到的两个地点的夹角大小．
【测量】李叔用皮尺测量出原来土坡两边的长度 ， ，再用测角仪测得 ．
解答问题：
(1)求 的长度；（结果用含a，b， 的代数式表示）
(2)若测得 ， ， ，求出小土坡的高度．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，结合图形构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点 作 交 延长线于点 ，设 ，在 中利用三角函数的定义求出 和
的长，得出 的长，在 中利用勾股定理表示出 的长，再根据平角的定义得到 ，
即可求解；
（2）过点 作 于点 ，结合（1）中的结论，代入数据求出 和 的长，再利用等面积法得
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学科网（北京）股份有限公司到 ，求出 的长，即可解答．
【详解】（1）解：如图，过点 作 交 延长线于点 ，则 ，
设 ，
在 中， ， ，
， ，
，
在 中， ，
，
，
，即 ，
，
的长度为 ．
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ， ，
，
，
，
，
答：小土坡的高度为 ．
1. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图1是滑雪运动员在跳台上完成动作的示意图，赛道的
剖面的一部分可抽象为线段 ， ，滑雪运动员从点 出发，从起跳点 起跳，到点 落地．某比赛
场地的实测参数如下：（如图2）
①跳台竖直高度 ；
②斜坡 长度为 ，坡角为 （与水平面夹角）；
③斜坡 的坡角为 ．
根据以上条件，计算斜坡 的长度．（结果精确到 ）
（参考数据： ， ， ）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】斜坡 的长度约为
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，过点 分别作 于点 ， 于点 ，则
， ，在 中，求出 ，再在 中，求解即可．
【详解】解：如图，过点 分别作 于点 ， 于点 ，
则四边形 是矩形，
∴ ， ．
在 中， ，即 ．
．
，
．
．
在 中， ，即 ．
．
答：斜坡 的长度约为 ．
2. 小敏想用学过的知识来测量小区楼下花坛中央的雕塑 的高度．如图所示，小敏在花坛边缘与雕
塑 在太阳光下的影子交汇处的空地上选择一点 ，并在点 处安装了测倾器 ，测得雕塑的顶端
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学科网（北京）股份有限公司的仰角为 ，小敏沿 的方向向后移动，移动2米时恰好到达雕塑顶端 在太阳光下的影子点 处，小
敏站在 处，测得她在太阳光下的影长 米．已知测倾器的高度 米，小敏的身高 米，
点 在同一水平直线上，且 、 均垂直于 ，求雕塑的高度 ．（结果精确到1
米，参考数据： ）
【答案】雕塑的高度为11米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，矩形的判定与性质；过D作 于
H，则四边形 是矩形，有 米；在 中，由正切函数关系得
；再由 ，得 ，即可求解．
【详解】解：如图，过D作 于H，
∵ ，
∵四边形 是矩形，
∴ 米；
在 中， ，
∴ ；
而 ，
即 ；
由题意知， ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
答：雕塑的高度为11米．
69 / 105
学科网（北京）股份有限公司3. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图
2，摄像头 的仰角、俯角均为 ，摄像头高度 ，识别的最远水平距离 ．
(1)身高 的小杜，头部高度为 ，他站在离摄像头水平距离 的点C处，请问小杜最少需要
下蹲多少厘米才能被识别．
(2)身高 的小若，头部高度为 ，踮起脚尖可以增高 ，但仍无法被识别．社区及时将摄像头
的仰角、俯角都调整为 （如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到 ，参考数据
）
【答案】(1)
(2)能，见解析
【分析】（1）根据正切值求出 长度，再利用三角形全等可求出 ，最后利用矩形的
性质求出 的长度，从而求出蹲下的高度．
（2）根据正切值求出 长度，再利用三角形全等可求出 ，最后利用矩形的性质求出
的长度，即可求出 长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案．
【详解】（1）解：过点 作 的垂线分别交仰角、俯角线于点 ， ，交水平线于点 ，如图所示，
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ．
．
，
．
．
， ，
小杜下蹲的最小距离 ．
（2）解：能，理由如下：
过点 作 的垂线分别交仰角、俯角线于点 ， ，交水平线于点 ，如图所示，
在 中， ．
，
，
．
，
．
小若垫起脚尖后头顶的高度为 ．
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学科网（北京）股份有限公司小若头顶超出点N的高度 ．
小若垫起脚尖后能被识别．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性
质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握
相关概念、性质和全等方法．
4. 物流中心 与三个菜鸟驿站 、 、 的平面示意图如下图． 在 的正南方， 在 的东南方
向上且在 的北偏东 方向上， 在 的正东方且 ，已知 ．（参考数据：
， ， ， ）．
(1)求驿站 、 之间的距离；
(2)派送员小外计划 从 出发沿着 的路线派送快递到三个驿站，上午 完成快递派
送．但导航显示 路段拥堵严重，于是他改变路线（ 出发），沿着 的路线派送快递
到三个驿站．若 路段行驶的平均速度为 ，其余路段的平均行驶速度为 且小外在每个
驿站均停留 存放快递．请通过计算说明他能否在 之前完成派送．
【答案】(1)驿站 、 之间的距离约为 ；
(2)他能在 之前完成派送，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用；
（1）过点 作 于点 ，设 ，则 ，根据 ， ，
得出 ， ，进而建立方程，解方程得出 ，在
中，根据 即可求解；
（2）过点 作 于点 ，求得 ，进而可得 所需时间，分别求得
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学科网（北京）股份有限公司所需时间，加上每个驿站均停留的时间，与 分钟比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点 作 于点 ，
设 ，则
∵ 在 的东南方向上， 在 的正东方且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
解得：
在 中，
答：驿站 、 之间的距离约为 ；
（2）解：如图所示，过点 作 于点 ，
∴四边形 是矩形，
又∵
∴四边形 是正方形，
∴
∵
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ 路段行驶的平均速度为 ，
∴所需时间为 小时，
其余路段的平均行驶速度为
∴ 所需时间为 小时
所以总共用时为： 小时
分钟 分钟
∴他能在 之前完成派送．
押题猜想六 传统文化与跨学科
限时：20min
（改编）我校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进了抽样调
查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图
1），请根据图表提供的信息，解答下列问题：
类别 频数（人数） 频率
力学
热学 10
光学 30
电学 15
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学科网（北京）股份有限公司(1)直接写出频数分布表中 、 的值： ______， ______；
(2)直接写出表示参与“光学”实验的扇形圆心角的度数 ______°；
(3)参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图2，电路图上有四个开关 ，
， ， 和一个小灯泡，闭合开关 或同时闭合开关 ， ， 都可使小灯泡发光．若随机闭合其中的
两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率．
【答案】(1)45，
(2)108
(3)
【分析】此题考查了频数与频率，画树状图或列表的方法求概率，求扇形统计图中扇形的圆心角等知识，
熟练掌握这些知识是解题的关键．
（1）根据光学的人数和频率即可得出总人数，再用总人数乘以 即可求出a的值，然后用参与“热
学”实验的人数除以总人数即可求出频率，进而完成频数分布表即可；
（2）用 乘以参与“光学”实验的人数所占的频率即可得出答案；
（3）依据题意先画树状图得出所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】（1）解： （人），
，
∴参与“热学”实验的频率为 ，
故答案为：45； ；
（2）解：参与“光学”实验的扇形圆心角的度数是： ；
故答案为：108；
（3）解：画树状图，如图
共有12种等可能的情况，能使小灯泡发光的有6种情况，则
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学科网（北京）股份有限公司．
押题解读
本题体现了福建中考"跨学科融合、数学核心素养导向"的命题特色。首先以物理实验调查为真实情境
（呼应2023年中考"割圆术"的历史跨学科题），通过频数分布表与扇形统计图的双向补全（第1、2
问），考查数据处理基础能力，与2022年第20题"劳动时间统计图"、2024年第13题"安全测试成绩
统计"一脉相承；第3问创新融合电学实验情境，将电路开关组合转化为概率模型，要求用树状图分
析复合事件概率（类似2023年第22题"双次摸球"的概率建模），这种"物理现象→数学模型"的转化
路径，既体现2024年"帆船风力分解"题的跨学科思维，又延续了福建卷"统计与概率必考且强调现实
解释"的传统（如2022年第13题红球概率、2024年第6题质数概率）。全题通过"数据读取→几何计
算→概率建模"的三阶设问，完整呈现综合题结构，既保证基础得分（第1问求频数、第2问圆心角
计算），又通过情境化的概率探究实现能力区分，精准对应课标要求的"数学应用意识"与"跨学科主
题学习"目标，充分彰显福建中考"学科渗透生活化、数学建模可视化、思维进阶层次化"的命题特质。
1. 烷烃是由碳、氢元素组成的有机化合物质，碳原子个数为 ~ ，依次用甲、乙、丙、丁、戊、己、
庚、辛、壬、癸表示．如甲烷、乙烷、丙烷的化学式分别为 、 、 ，分子结构如图所示，则
癸烷的分子结构中氢原子的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是图形类的规律探索，解题关键是根据题中所给图形归纳出变化规律．
根据题目中的图形，可以发现氢原子的个数的变化特点，然后即可写出癸烷的分子结构中氢原子的个数．
【详解】解：由图可得：甲烷分子结构中氢原子的个数是 个，
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学科网（北京）股份有限公司乙烷分子结构中氢原子的个数是 个，
丙烷分子结构中氢原子的个数是 个，
丁烷分子结构中氢原子的个数是 个，
……
癸烷的分子结构中氢原子的个数是 个．
故答案为： ．
2. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，在 中，
M是 的中点， 于点N．“会圆术”给出 的弧长l的近似计算公式： ．当
， 时，则 的弧长l的近似值为 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，解直角三角形，勾股定理，过点A作 于H，连接 ，
先解 求出 ，则利用勾股定理得到 ，进一步利用勾股定理求出 ，由垂径
定理的论理推出O、N、M三点共线，则有 ，由勾股定理得到 ，
则 ，据此利用所给公式计算求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作 于H，连接 ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ；
∵M是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴O、N、M三点共线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3. 滑轮轴的位置固定不动称之为定滑轮，其不省力，但可改变力的方向．如图，定滑轮半径为 ，
现需将重物拉升 （ 取 ），则滑轮旋转的情况为（ ）
A．顺时针旋转 B．逆时针旋转
C．顺时针旋转 D．逆时针旋转
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升 时，即弧长是 ，设旋转的角度是 ，利
用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．
【详解】解： 滑轮的半径是 ，
设旋转的角度是 ，
由题意得： ，
解得： ，
滑轮的一条半径 绕轴心 按逆时针方向旋转的角度约为 ，
故选：B．
4. 中国古建筑中的字台楼阁很多都采用八边形结构．如图1是漳州市威镇阁，其外层屋檐的平面示意
图可抽象成正八边形，如图2所示，则这个正八边形的一个外角的度数为 °．
【答案】45
【分析】本题考查多边形的外角和．熟练掌握多边形的外角和为 ，是解题的关键．根据多边形的外角
和进行计算即可．
【详解】解：正八边形的一个外角的度数为 ，
故答案为： ．
5. 如图1，《蝶几图》是明朝的戈汕分割正方形的一种方式，以正方形为模分割为长斜（等腰梯形）、
右半斜（直角梯形，后同）、左半斜、小三斜（等腰直角三角形，后同）、大三斜和闰（该图内部分割纵
向等距）．取右半斜两张、左半斜两张、小三斜两张，共6张拼成如图2所示的中心对称图形，并放入一
个长方形 中，若图1中较大正方形的边长为4，则长方形的周长是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．15 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正方形的性质，勾股定理以及图形的分割和拼接方法进行计算即可．
【详解】解：如图1，
较大正方形的边长为4，
，
又 较大正方形内部分割纵向等距，
，
“右半斜”“左半斜”是上底为1，下底为2，高为1，第四条边为 的直角梯形，
“小三斜”是边长为 ， ，2的等腰直角三角形，
在图2中，
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学科网（北京）股份有限公司由拼图可知， ，
在 中， ，
，
由对称可知， ， ，
长方形 的长
，
，
因此长方形的周长为
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称图形，正方形的性质，掌握正方形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系以
及正方形的分割与拼接方法是正确解答的关键．
押题猜想七 综合实践
限时：20min
（改编）如图所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变
而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩 ， ， 垂直于地面放置，醒狮少年从点 跳跃到点 ，随
后纵身跃至点 ，已知 ， ， ， ．（参考数据： ，
， ）
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学科网（北京）股份有限公司(1)在图2中， ________；
(2)醒狮少年在某次演出时需要从点 直接腾跃至点 进行“采青”，请求出“采青”路径 的长度；
(3)醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩 的影子顶端恰好落在点 处，梅花桩 的影子顶端恰
好与点 重合，请在图3中画出梅花桩 ， 的影子并计算出 的高度；
(4)如图4，保持 不变，通过调整梅花桩 的高度，使得 的值最小，请求出此时 的高度
（结果精确到 ）．
【答案】(1)
(2) 的长度约为
(3)见解析， 的高度约为
(4) 的高度约为
【分析】（1）延长 至 ，根据平行线的性质可得 ， ，即可得解；
（2）过点 作直线 ，分别交 ， 于点 ， ，过点 作直线 ，交 于点 ，
连接 ，则四边形 ，四边形 ，四边形 ，四边形 均是矩形，由矩形的性质可得
， ， ，再解直角三角形结合勾股定理计算即可得解；
（3）线段 ， 为梅花桩 的影子，线段 为梅花桩 的影子．再利用相似三角形的性质求解即
可；
（4）作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ， ，则
，则 就是 的最小值，由（2）得 ，由轴对称得
，再利用相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】（1）解：如图：延长 至 ，
由题意可得： ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ；
（2）解：如图，过点 作直线 ，分别交 ， 于点 ， ，过点 作直线 ，交
于点 ，连接 ．
由题意得 ，
∴四边形 ，四边形 ，四边形 ，四边形 均是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ．
即“采青”路径 的长度约为 ．
（3）解：如图，线段 ， 为梅花桩 的影子，线段 为梅花桩 的影子．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
由（1）得 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ．
经检验 且符合题意，所以 的高度约为 米．
（4）解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 并延长交 于 ，连接
， ，
∴ ，则 就是 的最小值，
由对称性质可知： ，
同理（2）得 ，
由轴对称得 ，
∴ ．
∵
∴ ，
∴ ．
即 ，
解得 ，
∴ ，
∴此时 的高度约为 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练
掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
押题解读
本题体现了福建中考"情境真实、学科融合、分层递进"的命题理念。首先以国家级非遗"高桩醒狮"为
文化载体，构建"体育竞技→几何建模→物理光学→最优化决策"的跨学科链条：第（1）（2）问通过
梅花桩空间坐标系的解三角形计算（如2022年第9题衣架高度、2024年帆船动力分解），考查几何
模型构建能力；第（3）问创新融合日晷投影原理（类比2023年"皮尺测水池"的数学建模），将影子
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学科网（北京）股份有限公司作图与三角函数结合，体现2024年"安全测试统计"题的数据可视化思维；第（4）问考查了将军饮马
的最值问题。全题通过"基础测量→路径求解→物理建模→动态优化"的四阶设问，既保留文化浸润特
色（如2024年"吉祥如意"礼盒设计），又通过"数学工具解决现实问题"的思维进阶（如2023年"双
球概率决策"），精准对应课标要求的"数学抽象→数学建模→数学运算"核心素养发展路径，深刻展
现福建中考"文化为魂、实践为基、思维为核"的立体化命题风格。
1. 综合与实践——黄金矩形．
宽与长之比为 的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自
然界中，如图1中的希腊巴特农神庙和图2中达芬奇的画作《蒙娜丽莎》．今天我们追随先哲们的脚步，
利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！
如图3，矩形纸片的宽 ，小明按如下步骤操作．
第一步：如图4，沿 折叠，使点 落在长边上的点 处，连接 ，得正方形 ；
第二步：对折正方形 ，使边 与 重合，得折痕 ，并展开，如图5，则 ；
第三步：连接 ，沿 折叠，使点 落在 延长线上的点 处，如图6，则 的长为 ；
第四步：过点 折叠纸片，得折痕 ，使 ，交于 点 ，并展开，如图7，则矩形 为
黄金矩形．
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学科网（北京）股份有限公司(1)补全小明操作过程中①所缺的内容______；
(2)聪明的小慧发现，在图7中，除了黄金矩形 外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予
证明．
(3)小慧根据（2）题进一步发现，在黄金矩形 中折去正方形 ，从而留下的矩形 即为黄金
矩形．类似于“勾股树”，黄金矩形也能不断“生长”，可以在图8中继续折出更多的黄金矩形 、
黄金矩形 ，……如图9，小慧用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连结起来，便会形成一
条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．记
、 、 的弧长分别为 、 、 ，请探究 、 、 满足的数量关系．
【答案】(1)
(2)另一个黄金矩形是矩形 ，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质及勾股定理可算得答案；
（2）根据黄金矩形的定义及正方形的性质，可得四边形 为黄金矩形；
（3）在黄金矩形 中，设 , 则 , 利用题中给出的信息，分别求出 , 然后
分别验证选项是否成立即可.
【详解】（1）解：根据题意可得 ，
在直角三角形 中，由勾股定理得： ，
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学科网（北京）股份有限公司由折叠的性质可得： ，
故答案为： ；
（2）解：图7中还有黄金矩形 ，
证明：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴矩形 是黄金矩形；
（3）解：在黄金矩形 中，设 , 则 ,
，
,
,
同理可得 ,
，
.
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，正方形的性质，黄金矩形，解题的关键是理解题
意，灵活运用所学知识解决问题．
2. 综合与实践：如何设计广场花圃，优化绿化面积（计算结果保留 ）．
素材 ：学校欲将一个长为 、宽为 的矩形场地设计成广场花圃，其中 ．
素材 ：如图是小明的设计方案，中间 个半径相等的圆形花圃，其余部分是空地．
素材 ：小颖准备设计成 块直径均为 的半圆花圃，其余部分是空地．
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学科网（北京）股份有限公司【问题解决】
(1)试用含 ， 的代数式表示图中空地的面积；
(2)请你设计出一种广场花圃的方案，并画出示意图，
要满足以下 个条件：
①四个半圆的花圃都要使用，且形状不变（保持半圆的形状）；
②花圃可相切，不可以出现重叠；
③设计图要呈现对称美，中间应预留空地作为通道．
【答案】(1)图中空地的面积表示为 ；
(2)示意图见解析．
【分析】本题考查的知识点是列代数式、设计轴对称图案，解题关键是熟练掌握列代数式．
（1）根据空地面积等于长方形面积减去三个圆的面积进行求解即可；
（2）根据题意设计出方案，符合题意即可．
【详解】（1）解：由题意得，空地面积为： ，
；
（2）解：（答案不唯一）如下图：
3. 【问题情境】
九年级上册《综合与实践》中的“猜想、证明与拓广”中，对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意
给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
【理解探究】
（1）小明同学分别研究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩
形，因此得出结论：对于长为 ，宽为1的已知矩形，一定不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已
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学科网（北京）股份有限公司知矩形周长和面积的一半．你认为小明得出的结论是否正确？如果正确，请用小明研究的这四个矩形中的
任意一个进行验证；如果不正确，请举例，并说明理由；
【拓展延伸】
（2）若已知矩形的长为 ，宽为 ，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的
一半？如果存在，写出 与 应满足的关系式；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）小明得出的结论不正确，举例说明见解析；（2）存在，此时 与 应满足的关系式为
【分析】本题考查了矩形、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方
程的应用是解题关键．
（1）小明得出的结论不正确．举例说明：若已知矩形的长为6，宽为1，设周长和面积分别是已知矩形周
长和面积的一半的另一个矩形的长为 ，则它的宽为 ，根据矩形的面积公式建立方程，解方程求出
的值，由此即可得；
（2）设长为 ，宽为 另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，建立方程组，化简
可得一个关于 的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可得．
【详解】解：（1）小明得出的结论不正确．举例说明如下：
若已知矩形的长为6，宽为1，则已知矩形的周长为 ，面积为 ，
设周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为 ，则它的宽为 ，
由题意得： ，
解得 或 ，
当 时， ，不符合题设，舍去，
当 时， ，符合题设，
所以周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半的另一个矩形的长为2，宽为 ，
即对于长为6，宽为1的已知矩形，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．
（2）设“减半”矩形长为 ，宽为 另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，
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学科网（北京）股份有限公司由题意得： ，
由①得： ③，
将③代入②得： ，即 ，
则当关于 的一元二次方程 有实数根时，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知
矩形周长和面积的一半，
所以这个方程根的判别式 ，
整理得： ，
综上，存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的一半，此时 与 应满足的关系式为
．
4. 综合与实践
活动
扇面制作
主题
如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形
成一种独特的艺术风格．为了迎接我市2025年传统民俗文化活动的到来，某班
组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知
， ， ．
活动
情景
活动
甲组 乙组
小组
制作
直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀
工具
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学科网（北京）股份有限公司制作
材料
【任务一】确定弦的长度．
如图2，请你求出 所对弦 的长度．
【任务二】设计甲组扇面．
如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为 请运用表格中所给工具在 中设计与图2相同的扇面，并
标出相应数据．
【任务三】确定卡纸大小．
如图4，乙组利用矩形卡纸 ，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边
长）．
【答案】任务一： 任务二：见解析
任务三：最小规格矩形边长为 、 或 ．
【分析】任务一：由弧 所对的圆心角为 ，可得 ，求得 ，应用勾股定理求出
，即可求解，
任务二：以 直径为底边，构造底角为30度的等腰三角形 ，则得到的三角形和任务一三角形全等，
再按要求取 点，再以 为圆心，分别以 、 为半径画弧，得到的扇面图形与图2相同；
任务三：分两种情况：①在 上取一点 使 ，以 为圆心， 为半径的圆与 相切，此时
点与 点重合，在圆上取一点A，使 ，即可得到扇面．过点 作 ，则矩形
为最小规格矩形；②当矩形 的边 与 相切于点M，且A、B两点分别在 上，
C、D在 上；连接 交 于点N，连接 ；利用等腰三角形的性质，含 度直角三角形的性质及
勾股定理即可求解．
【详解】任务一：解：过点O作 ，交 于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
，
，
， ，
，
任务二：如图， 是以 直径为底边，底角为 度，由任务一可知， ，取 ，
以O为圆心，分别以 、 为半径画弧，即可得到扇面．
任务三：分两种情况：
①如图所示：当 与矩形两边相切时，过点 作 ，则矩形 为最小规格矩形，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵当 与矩形两边相切，
∴最小规格矩形的边长为 、 ；
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学科网（北京）股份有限公司②如图，当矩形 的边 与 相切于点M，且A、B两点分别在 上，C、D在 上；连
接 交 于点N，连接 ；
由题意知， ， ，
∴ ，
∴ ；
由勾股定理得 ，
∴ ；
同理： ，
∴ ，
此时最小规格边长分别为 ；
综上，最小规格矩形边长为 、 或 ．
【点睛】本题考查了垂径定理，含 角的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是：
熟练掌握相关性质定理．
5. 综合与实践：
在复习探究《几何图形变化》的时候，老师让同学们准备了两张全等的直角三角
形纸片，并且把它们的一条直角边重合在一起（如图1），已知
， ， ．
准
备
如图2，小明同学把 沿直线 平移，当点B与点A重合时，点C与
实 平
践 移 点D重合，点A的对应点为点 ．
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学科网（北京）股份有限公司结论1：四边形 是矩形；
如图3，小红同学把 绕点A顺时针旋转，当点C的对应点 恰好落
在边 上时，点B的对应点为点 ， 与边 交于点E．
旋
转
探
究
结论2：可求出图中任意一条线段的长，如 ；
如图4，若点M，N分别是 ， 的中点，小军同学将 沿着直线
对折，点B的对应点为 ．
对
折
结论3：①点C， ，N在同一条直线上；
②可求出线段 的长．
验
证 根据以上同学对三种图形变化的探究，请你完成三个结论的证明或计算．结论3
计 中①②可任选一个，②比①多得2分．
算
【答案】结论1：见解析；结论2： ；结论3：①见解析；②
【分析】（1）根据平移的性质得到 ， ，再利用矩形的判定即可证明；
（2）先证明四边形 是平行四边形，再根据旋转的性质得到 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，利用直角三角形的性质和等角对等边推出 ，得出 的长度，再利用
即可求解；
（3）①连接 、 ，先证明四边形 是平行四边形，得出 ，再由翻折的性质得到
， ，进而得出 ，推出 ，即可得证；②作 于
点 ，作 于点 ，利用等面积法求出 的长，再利用勾股定理求出 的长，再证明
，得到 ，再利用等腰三角形的性质得出 的长，即可求出线段 的长．
【详解】解：结论1：
由平移的性质得， ， ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
平行四边形 是矩形．
结论2：
，
， ，
又 ，
四边形 是平行四边形，
，
，
由旋转的性质得， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
．
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学科网（北京）股份有限公司结论3：
①如图，连接 、 ，
由结论2可得，四边形 是平行四边形，
， ，
点M，N分别是 ， 的中点， ，
， ，
，
又 ，
四边形 是平行四边形，
，
由翻折的性质得， ， ，
， ，
，
，
直线 和直线 重合，
点C， ，N在同一条直线上；
②如图，作 于点 ，作 于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
由①中的结论得， ，即 ，
又 ， ，
，
，
， ，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了图形变换（平移、旋转、翻折）的性质、矩形的判定、直角三角形的性质、等腰
三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握图形变换（平移、旋转、翻折）的性质是解题的关键．本题属
于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生．
押题猜想八 尺规作图
限时：20min
（改编）如图所示，在 的 边上取点 ，以 为圆心、 长为半径作 ， 过点A且交
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学科网（北京）股份有限公司于点 ，连接 ，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)用无刻度直尺和圆规过点 作 ， 交 的延长线于点 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(3)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）连接 ．由 为直径得出 ，再由等腰三角形的性质得
，从而可证得 ，即可得出 ，由切线的判定定理可得出
结论；
（2）根据尺规基本作图—过一点作直线的垂线作法作出直线 ，交 的延长线于点 即可．
（3）先由勾股定理得 ，则 ，即 ．从而求
得 ，则 ．再由 ，得到 ．然后解 即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ．如图，
∵ 为直径，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
∴ ，即 ．
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）解：如图所示， 即为所求．
（3）解：∵ ，
∴ ．
∴ ，
即 ．
∴ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
由（2）知： ，
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，尺规基本作图—过一点
作直线的垂线，熟练掌握相关性质与判定定理、尺规基本作图、解直角三角形是解题的关键．
押题解读
本题高度契合福建中考"立足几何直观、融合代数思维、强调实践操作"的命题特色。第（1）问通过
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学科网（北京）股份有限公司切线判定定理的证明，考查几何演绎能力；第（2）问的无刻度直尺作图，延续"操作→论证"的命题
传统；第（3）问综合相似三角形与勾股定理求值完整呈现福建中考"一题多能、层层递进、素养导
向"的几何命题智慧。
1. 如图，在 中， ．点 在 的延长线上，连结 ．
(1)尺规作图：过点A求作 的平行线，与 、 的交点分别为 、 ；
(2)在（1）的条件下，若点 是 的中点， ．试求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查角的尺规作图、平行四边形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握角
的尺规作图、平行四边形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交 于两点，然后再以点A为圆心，根据角的尺规作图进
行作图即可；
（2）由题意易得四边形 是平行四边形，则有 ，然后可得 ， ，
进而根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）解： 为所求作的线，所作图形如下：
（2）证明： ，
四边形 是平行四边形，
，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
，
，
点 是 的中点，
，
，
，
，
，
，
．
2. 如图，已知 ，点 在 上．
(1)求作矩形 ，使点 在 上，点 在 上方；（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接 交 于点 ．若 ，求 的长．（参考数据： ，
）
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】本题考查基本尺规作图、矩形性质及解直角三角形求线段长，根据题意，准确作出矩形是解决问
题的关键．
（1）尺规作图过点 作 的垂线，再以 为圆心、 为半径画弧；以 为圆心、 为半径画弧；两
条弧交于点 ，则四边形 就是要求作的矩形；
（2）根据题意，作出图形， 由矩形性质及解直角三角形即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1所示：
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学科网（北京）股份有限公司四边形 就是要求作的矩形；
（2）解：如图2所示：
∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
3. 如图 ，在 中，点 从点 出发沿 方向运动，到达点 时停止运动，连接 ，点 关
于直线 的对称点为 ，连接 ， ．
(1)点 位于何处时， ？请用直尺和圆规在图 中作出此时的 （不写作法，保留作图痕
迹）；
(2)若 ，求点 运动过程中，点 到直线 距离的最大值．
【答案】(1)见详解
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学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】本题考查了轴对称的性质，点与圆的位置关系，解直角三角形，熟练掌握以上内容是解题关键．
（1）作 的垂直平分线，可得 ，连接 ， ，可得 由对称可知
可得 ，所以 ， ,即可得出
，即可得出
（2）作 于点 ，从而由条件可知△ 为等腰直角三角形，利用三角函数可求
， ， ，再推断点 的运动轨迹为圆弧，从而可得当 直线
于点 时，此时点 到直线 距离 最大．根据 ，故 ，故
．
【详解】（1）如图所示， 即为所求
（2）作 于点 ，如图1，
，则△ 为等腰直角三角形，
， ，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司故 ，
由题意知 ，故点 的运动轨迹为圆弧，如图2所示：
当 直线 于点 时，此时点 到直线 距离 最大．
， ，
，
故 ，
故答案为： ．
4. 如图所示，是一张对边平行的纸片，点 ， 分别在平行边上．
(1)求作：菱形 ，使点 ， 落在纸片的平行边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若 ， ，求菱形 的面积．（ ， ， ）
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，尺规作图
（1）根据菱形的性质可以画出图，方法一，先连接 ，然后以B为圆心 长为半径，与 交于点C，
再以C为圆心 长为半径，与 交于点D；方法二，先连接 以 为圆心 长为半径，与 交于
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学科网（北京）股份有限公司点D，然后作 的垂直平分线，可确定点C，再一次连接即可，方法三，先连接 ，再做出 的角
平分线，角平分线与 的交点为点 ，然后以 为圆心 长为半径，与 交于点C，最后连接 即
可做出菱形 ，
（2）过点 作 于点 ，解直角三角形 ，求得 ，进一步求解即可；
【详解】（1）解：方法一：
方法二：
方法三：
∴菱形 就是所求作的图形．
（2）解：过点 作 于点 ，如图所示．
在 中， ， ．
，
．
∵四边形 是菱形， ，
∴ ．
．
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学科网（北京）股份有限公司
