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解答题 04 三角形的综合问题（8 大题型）
中考数学中的三角形综合题，常常是考生们感到挑战的题目之一。这类题目不仅考察学生对三角形基
本性质的掌握，还涉及全等三角形、相似三角形、直角三角形的判定和性质，以及几何图形的变换等知识.
中考中的三角形综合题虽然有一定的难度，但只要掌握了基本的几何知识和解题方法，多加练习，就能轻
松应对。希望考生们在备考过程中，注重基础知识的掌握和思维能力的培养，取得优异的成绩。
题型一： 与三角形有关的多结论问题
ABCD AC BD
1．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形 中， 与 交于点O，H为
AB延长线上的一点，且BH=BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：①
CF √3
= ；②tan∠H=√3−1；③BE平分∠CBD；④2AB2=DE⋅DH．其中正确结论的个数是（ ）
BF 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延
长线上的点Q重合．DE交BC于点F，交AB延长线于点E．DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，
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15
AM=4，则下列结论，①DQ=EQ，②BQ=3，③BP= ，④BD∥FQ．正确的是（ ）
8
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
一、仔细审题，明确条件
首先，仔细阅读题目，理解并标记所有已知条件。这些条件可能涉及边长、角度、三角形的类型
（如等腰、直角）等。明确已知条件是解题的基础，有助于在后续步骤中有针对性地进行推导。
二、逐项验证，逻辑推导
对每个待验证的结论逐一进行推导。可以利用三角形的各种性质，如内角和定理、正弦定理、余弦
定理、相似三角形的判定和性质等。在推导过程中，确保每一步逻辑严谨，避免跳步或假设未经验证的
条件。例如，若题目中给出两边及其夹角，可以利用余弦定理求解第三边。
三、综合利用已知条件
有时，单独验证每个结论可能并不足够，需要结合所有已知条件和已推导出的中间结果进行综合分
析。通过这种综合判断，可以排除不可能的结论，筛选出符合题意的正确结论。例如，利用三角形的内
角和为180度，可以进一步确定角度的取值范围。
1．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把
△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若AB=√3，AD=1．以下结论：①
3−√3
BD=CE；②BD⊥CE；③当点E在BA的延长线上时，MC= ④在旋转过程中，当线段MB最短时，
2
1
△MBC的面积为 ．其中正确结论有（ ）
2
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的
平分线分别交AC，AD于点E，F，M为EF中点，AM延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①
DF=DN；②FM+AM=√2DM；③DM平分∠BMN；④S =S ；⑤MN⋅BF=BD⋅CN，其
△ABM △DBM
中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型二： 与三角形有关的折叠问题
Rt△ABC ∠C=90° AC=8 BC=4
1．（2024·四川·中考真题）如图， 中， ， ， ，折叠
△ABC，使点A与点B重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于点E，则CE的长为 ．
2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片△ABC中，∠C=90°,∠B=60°，点D，E分别在边
AB,AC上，且AD=AE，将△ADE沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，则BD:CE=（ ）
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A．3:2 B．√3:2 C．2√3:3 D．4:3
解题方法：
1）折叠的本质是轴对称，会产生新的角与角的关系.
2）解题关键:找到对应相等的角.
3）折叠问题的本质是全等变换.折叠前的部分与折叠后的部分是全等形.
4）折痕可看作垂直平分线(对应两点之间的连线被折痕垂直平分).
5）折痕可看作角平分线(对应线段所在的直线与折痕的夹角相等).
记住三句话:1）折叠前后对应角，对应边相等.
2）折叠不改变原先的平行关系.
3）以折线为对称轴.
1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，E是AB中点，
F是BC上一点，沿着EF折叠△B'EF，若AB'=2，则CF= ．
2．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P为BC上一个动点，连接AP，
将△ACP沿AP折叠得到△ADP，点C的对应点为D，连接BD，若AC=5，BC=12，当△PBD为直角三
角形时，线段CP的长为 ．
题型三： 利用特殊三角形的性质与判定解决分类讨论问题
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△ABC AB=AC ∠A=30° CP
1．（2023·江苏泰州·中考真题）如图， 中， ， ，射线 从
射线CA开始绕点C逆时针旋转α角(0°<α<75°)，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至
△A'CD处，射线C A'与射线AB相交于点E．若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为 ．
2．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半
圆O与BC相切于点D，连接AD，BE=3,BD=3√5．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，
AP的长为 ．
在几何学中，特殊三角形如等腰三角形、直角三角形和等边三角形因其独特的性质，常常成为解题
的关键。分类讨论是一种重要的解题策略，尤其在面对条件复杂或存在多种可能性时，利用特殊三角形
的性质与判定进行分类讨论，可以使问题简化、明朗化。
具体步骤：
1. 审题：仔细阅读题目，明确题目中给出的条件和要求解决的问题。
2. 分类标准：根据题目条件，确定分类的标准。例如，三角形的边长关系、角度大小等。
3. 分类讨论：按照分类标准，将问题分为若干个子问题，每个子问题对应一种情况。针对每种情况，
利用特殊三角形的性质与判定进行求解。
4. 综合结论：将每种情况的解综合起来，得到问题的完整答案。
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1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）已知矩形纸片ABCD，AB=5，BC=4，点P在边BC上，连接AP，
将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为B'，把纸片展平，连接BB'，CB'，当△BCB'为直角三
角形时，线段CP的长为 ．
2．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，
AB=2，M是直线BD上的一个动点，当△AMC为直角三角形时，CM的长为 ．
题型四： 与三角形有关的规律探究问题
l
1．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线 的表达式为
y=x，点A 的坐标为(√2,0)，以O为圆心，OA 为半径画弧，交直线l于点B ，过点B 作直线l的垂线交
1 1 1 1
x轴于点A ；以O为圆心，OA 为半径画弧，交直线l于点B ，过点B 作直线l的垂线交x轴于点A ；以O
2 2 2 2 3
为圆心，OA 为半径画弧，交直线l于点B ，过点B 作直线l的垂线交x轴于点A ；……按照这样的规律进
3 3 3 4
行下去，点A 的横坐标是 ．
2024
2．（2024·四川达州·中考真题）如图，在△ABC中，AE ，BE 分别是内角∠CAB、外角∠CBD的三等
1 1
1 1
分线，且∠E AD= ∠CAB，∠E BD= ∠CBD，在△ABE 中，AE ，BE 分别是内角∠E AB，
1 3 1 3 1 2 2 1
1 1
外角∠E BD的三等分线．且∠E AD= ∠E AB，∠E BD= ∠E BD，…，以此规律作下去．若
1 2 3 1 2 3 1
∠C=m°．则∠E = 度．
n
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1．（2024·山东济宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，将OA绕点O顺
时针旋转45°到OA ，扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交x轴于点A ；将OA 绕点O顺时针旋转45°到
1 1 1 2 1 2 2
OA ，扫过的面积记为S ，A A ⊥OA 交y轴于点A ；将OA 绕点O顺时针旋转45°到OA 扫过的面
3 2 3 4 3 4 4 5
积记为S ；…；按此规律，则S 为（ ）
3 2024
A．22020π B．22021π C．22022π D．22023π
2．（2024·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，将等边△OAB绕点A旋转180°得到△O AB ，再
1 1
将△O AB 绕点O 旋转180°得到△O A B ，再将△O A B 绕点A 旋转180°得到△O A B ，按此规律
1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 3
进行下去，若点B的坐标为(−2,0)，则点B 的坐标为 ．
2024
题型五： 与三角形有关的最值问题
Rt△ABC ∠C=90° AC=12 BC=5
1．（2024·西藏·中考真题）如图，在 中， ， ， ，
点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最
小值是（ ）
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13 60 12 30
A． B． C． D．
2 13 5 13
2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3,0)，B(0,2)，过点B作y轴的
垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO+PA的最小值为 ．
√5
3．（2024·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，AB=5，tan∠C=2，则AC+ BC的最大值为
5
．
中考与三角形有关的最值问题解题思路
一、利用固定底边或高
如果题目中给出了三角形某条边或高的固定值，那么可以直接使用面积公式。通过确定底或高
的最大值或最小值，进而求得面积的最值。例如，若已知底边长度，则当高取得最大值时，面积也
最大。
二、利用三角形的相似与比例关系
当题目中出现线段的倍数关系时，可以考虑利用三角形的相似性质来转化求解。常见的技巧包
括作平行线构造相似三角形，通过相似比来推导目标三角形的面积与其他三角形面积的关系。例
如，若某条线段被分为1:2的两部分，则可以利用该比例关系求解相关面积的最值。
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三、转化为二次函数求最值
当三角形的底和高均变化时，通常需要借助函数思想，将面积表示为某个变量的二次函数，再
利用二次函数的极值性质求解最值。具体步骤包括：
1. 设定变量：假设某条边的长度为变量$x$。
2. 表示面积：利用几何关系将面积表示为$x$的函数。
3. 求最值：通过求二次函数的极值点，确定面积的最大值或最小值。
四、利用几何图形的特性
有时，利用几何图形的特性（如等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质等）可以简化问
题。例如，等腰三角形底边上的高也是底边的中垂线，利用这一性质可以快速确定高的最大值。
五、构造辅助圆
在某些动态问题中，特别是涉及翻折、旋转等操作时，可能会形成圆或圆弧的轨迹。通过构造
辅助圆，利用圆的性质（如半径相等、圆周角定理等）来求解最值问题。
1．（2024·四川广元·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，点 D 为AC边上一
个动点，以BD为边在BD的上方作正方形BDFE，当AE取得最小值时，BD的长为 ．
21．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形ABCD的面积为12√3，E是边BC上的中点，P是对角线BD上
的动点，连接AE，若AE平分∠BAC，则PE+PC的最小值为 ．
题型六： 全等三角形与相似三角形综合
ABCD BC
1．（2024·海南·中考真题）正方形 中，点E是边 上的动点（不与点B、C重
合），∠1=∠2，AE=EF，AF交CD于点H，FG⊥BC交BC延长线于点G．
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(1)如图1，求证：△ABE≌△EGF；
(2)如图2，EM⊥AF于点P，交AD于点M．
①求证：点P在∠ABC的平分线上；
CH
②当 =m时，猜想AP与PH的数量关系，并证明；
DH
③作HN⊥AE于点N，连接MN、HE，当MN∥HE时，若AB=6，求BE的值．
2．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，∠ABC为锐角，点E在边AD上，连接BE,CE，
且S =S ．
△ABE △DCE
(1)如图1，若F是边BC的中点，连接EF，对角线AC分别与BE,EF相交于点G,H．
①求证：H是AC的中点；
②求AG:GH:HC；
(2)如图2，BE的延长线与CD的延长线相交于点M，连接AM,CE的延长线与AM相交于点N．试探究线
段AM与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论．
中考数学中，全等三角形与相似三角形是几何部分的重要内容，也是考试的常见题型。掌握综合解
题思路，有助于在考试中迅速找到解题切入点，提高答题效率。以下是针对中考全等三角形与相似三角
形的综合解题思路：
全等三角形 相似三角形
解 题 思 路 SSS（边边边）：三组对应边分别相等。 AA（两角对应相等）：两角对应相等。
（ 判 定 方
SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等。 SAS（两边成比例且夹角相等）：两边成
法）
比例且夹角相等。
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ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等。 SSS（三边成比例）：三边对应成比例。
AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对
应相等。
HL（直角边斜边）：适用于直角三角形，斜
边和一条直角边对应相等。
解题步骤 标记已知条件：在图中标记已知的边和 标记已知条件：在图中标记已知的边和
角，明确需要证明的全等三角形。 角，明确需要证明的相似三角形。
寻找全等条件：根据已知条件，判断是 寻找相似条件：根据已知条件，判断是
否满足全等三角形的判定定理。 否满足相似三角形的判定定理。
添加辅助线：当直接证明困难时，通过添加 利用比例关系：通过相似三角形的性
辅助线构造全等三角形。 质，建立比例关系，求解未知量。
1．（2024·陕西渭南·模拟预测）【问题呈现】
（1）△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD，连接AD，BE，
探究AD，BE的位置关系．
①如图1，当m=1时，AD与BE的位置关系为______；
②如图2，当m≠1时，①中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由；
【拓展应用】
（2）某村村民计划开垦一块形状为直角三角形的空地△ABC（如图3），同时在空地△ABC内部或周边，
围出形状为直角三角形的空地△CDE作为菜地（点C，D，E按逆时针方向排列），以点A，E，D作为取
水点，且要使三个取水点恰好在同一直线上，已知∠ACB=∠DCE=90°,AB=2√7千米，DE=2千米，
BC=2CA,CE=2CD，求取水点E到入口B的距离．
2．（2022·安徽合肥·一模）如图①，在四边形ABCD中，∠ABC=∠DCB，E为BC上一点，且
DE∥AB，过点B作BF∥AD交DE的延长线于点F，连接CF，
CF=BF．
(1)求证：△ADE≌△FCD；
(2)如图②，连接DB交AE于点G．
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①若AG=DC，求证：BC平分∠DBF；
CF
②若DB∥CF，求 的值．
BD
题型七： 三角形与函数综合（求函数解析式）
△ABC
1．（2023·广西·中考真题）如图， 是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别
在边AB，BC，CA上运动，满足AD=BE=CF．
(1)求证：△ADF≌△BED；
(2)设AD的长为x，△≝¿的面积为y，求y关于x的函数解析式；
(3)结合（2）所得的函数，描述△≝¿的面积随AD的增大如何变化．
2．（2024·吉林·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，AD是△ABC的角
平分线．动点P从点A出发，以√3cm/s的速度沿折线AD−DB向终点B运动．过点P作PQ∥AB，交
AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQE，且点C，E在PQ同侧，设点P的运动时间为t(s)(t>0)，
△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S(cm2)．
(1)当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t的代数式表
示）．
(2)当点E与点C重合时，求t的值．
(3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
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解决几何图形中的函数关系的问题，往往要用到几何图形的特征和相似/全等的性质，尤其是利用
相似得到比例式，从而将未知线段用含字母的代数式表示出来.
1．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，AB是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接AD并延长至点C，使
∠DBC=∠DAB，过点D 作AB的垂线，交圆O于点E，点F为劣弧AE上一点，连接EF并延长交BA
的延长线于点P，连接DF与AB交于点G．
(1)求证：BC是圆O的切线；
(2)记 的面积分别为 ，若sinC 2，求S 的值；
△ABD，△BCD S ，S = 1
1 2 tanC 3 S
2
GB
(3)若圆O的半径为1，设PA=x， = y，试求y关于x的函数解析式．
GA
2．（2025·上海静安·一模）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是BC中点，E在BA延长线上，
F在AC边上（F不与点A、C重合），∠EDF=∠B．
(1)求证：△BDE∽△CFD；
(2)求证：ED平分∠BEF；
(3)设CF=x,EF= y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
(4)连接AD、CE，如果四边形ADCE有两个内角互补，求CF的长．
题型八： 三角形与函数综合（存在性问题）
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两
点的等距线”．
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(1) 如图1，直线CD经过线段AB的中点P，试说明直线CD是点A，B的一条等距线．
(2)如图2，A，B，C是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直
线m是“A，B两点的等距线”．
(3)如图3，△ABC中，A(1,2),B(0,−1),C(−2,1)，则在坐标轴上是否存在点P，使S =S ？若存
△APC △BPC
在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
k
2．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，过原点O的直线与反比例函数y = (k≠0)的图象交于A(1，2)，
1 x
B两点，一次函数y =mx+b(m≠0)的图象过点A与反比例函数交于另一点C(2，n)．
2
(1)求反比例函数的解析式；当y >y 时，根据图象直接写出x的取值范围；
1 2
(2)在y轴上是否存在点M，使得△COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理
由．
3．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于B(4,0)，
C(−2,0)两点．与y轴交于点A(0,−2)．
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(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线
1
交x轴于点D，求与 PK+PD的最大值及此时点P的坐标；
2
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形：若存在，请求
出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
1）等腰三角形存在性问题
解题方法：
几何法：1）“两圆一线”作出点；
2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长；
3)分类讨论，求出点P的坐标.
代数法：1）表示出三个点坐标A、B、P；
2）由点坐标表示出三条线段：AB、AP、BP；
3）根据题意要求（看题目有没有指定腰），取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP；
4）列出方程求解．
2）直角三角形存在性问题
解题方法：如有两定点，在其他特定的“线”上求第三点，形成直角三角形时：
1）当动点在直线上运动时，常用的方法是① ，②三角形相似，③勾股定理；
2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下，
第一当已知点处作直角的方法：① ，②三角形相似，③勾股定理；
第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角.
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3）等腰直角三角形存在性问题
解题大招：确定等腰直角三角形后构造一线三垂直，对应上下两个三角形全等，得到对应线段相等的关
系，进而设出点的坐标，根据线段相等列出等式建立方程求解参数.
k
1．（2024·广东广州·模拟预测）如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数且k≠0）的
x
图象交于A(−1，a)，B两点．
(1)求此反比例函数的表达式及点B的坐标；
k
(2)当 −x−4＞0时，直接写出x的取值范围；
x
(3)在y轴上存在点P，使得△APB的周长最小，求点P的坐标并直接写出△APB的周长．
1
2．（2024·新疆克孜勒苏·一模）如图，抛物线y= x2+bx−2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且
2
A(−1,0)．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(3)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点P，使得△CPB的面积最大？若存在，求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
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1．（2025·河南许昌·一模）如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，
PB
再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x， = y，图(2)是点P运动时y随x变化的关系图
PC
象，则等边三角形ABC的边长为（ ）
A．6 B．3 C．4√3 D．2√3
2．（2025·河南开封·一模）依次连接周长为1的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次
连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形，……，按这样的规律，第2025个等边三角
形的周长为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
22023 22024 4046 4048
3．（2025·安徽六安·一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC，∠BAC=90°，AB=AC，
点E是边AB上的点，连接DE，CE，∠ECD=45°，那么下列结论中：①∠AED=∠ECB；②BC=CE；
③BE=√2AD；④∠ADE=∠ACE，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，OA=√2．将OA绕点O顺
时针旋转45°得到OA ，过点A 作A A ⊥OA 交x轴于点A ；将OA 绕点O顺时针旋转45°得到OA ，
1 1 1 2 1 2 2 3
过点A 作A A ⊥OA 交y轴于点A ；…；按此规律循环下去，则点A 的坐标是（ ）
3 3 4 3 4 2025
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A． B．
(−2505,2505) (0,4253)
C． D．
(2506,2506) (2253,2253)
5．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在x轴正半轴上（点B在点A的右
侧），OA=2AB，分别以OA，AB为直角边作等腰直角三角形OAC，等腰直角三角形ABD，反比例函
k
数y= (k>0)的图象与斜边AD交于点E，与斜边OC交于点F．
x
（1）若F是OC的中点，且点F的坐标为(2,2)，则点E的坐标为 ．
（2）过点F作FM⊥x轴于点M，过点E作EN⊥y轴于点N．若E是AD的中点，阴影部分（四边形
PMON的面积等于√5，则k的值为 ．
6．（2025·河南驻马店·一模）如图，在△ABC中，AC=5、AB=4、BC=3，D是平面内一点，CD=1，
连接AD、E为AD的中点，连接BE，则BE的最小值为 ，最大值为 ．
7．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现
（1）如图1，点A在直线l上，∠BAD=90°,AB=AD，过点B作BC⊥l于点C，过点D作DE⊥l于点E，
由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D，又∠ACB=∠DEA=90°，可以推理得到△ABC≌DAE，
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进而得到AC=_______，BC=_______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（二）模型体验
（2）如图2，在△ABC中，点D为AB上一点，DE=DF=3,∠A=∠EDF=∠B，四边形CEDF的周长
为10，△ABC的周长为18．小诚同学发现根据模型可以推理得到△ADE≌△BFD，进而得到
AE=BD,AD=BF，那么AB=AE+BF，再根据题目中周长信息就可得AB=_______；
（三）模型拓展
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=2BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，
BE⊥MN于点E．请猜想线段DE,AD,BE之间的数量关系，并写出证明过程：
（四）模型应用
（4）如图4，已知在矩形ABCD中，AB=14,BC=7，点E在CD边上，且DE=4．P是对角线AC上一
2
动点，Q是边AD上一动点，且满足sin∠EPQ= √5，当P在AC上运动时，请求线段AQ的最大值，并
5
求出此时线段AP的长度．
8．（2025·河南濮阳·一模）综合与探究
如图，∠AOB=120°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A．
(1)【操作判断】
如图1，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意，在图1中画出PC，并直接写出∠APC的度数：
_______________．
(2)【问题探究】
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如图2，点M在线段AO上，连接PM，作∠MPN=60°，PN交射线OB于点N，探究OM，ON与PA之
间的数量关系，并给出证明．
(3)【拓展延伸】
点M在射线AO上，连接PM，作∠MPN=60°，PN交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点E．
OP
若ON=3OM，请直接写出 的值．
OE
9．（2025·重庆·模拟预测）如图．在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M从点B出发，以每秒1个单
位长度的速度沿BC运动到点C停止，过点M作NM⊥BC交两腰于点N，连接CN，设点M的运动时间为
x(秒)，△BCN的面积为y
1
(1)直接写出y 与x之间的函数关系式，并写出对应的x的取值范围；
1
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质：
8
(3)反比例函数y = 的图象如下，直接写出y ≥ y 时x的取值范围．（误差小于0.2)
2 x 1 2
10．（2023·湖南益阳·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=a(x+2)(a>0)与x轴交于点A，
与抛物线E:y=ax2交于B，C两点（B在C的左边）．
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(1)求A点的坐标；
(2)如图1，若B点关于x轴的对称点为B'点，当以点A，B'，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a
的值；
(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如(−2,1)，(2,0)等均为格点．如图
2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值
范围．
1．（2024·山东德州·中考真题）如图Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分
∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB:BC=3:4，则BF:FD为（ ）
A．5:3 B．5:4 C．4:3 D．2:1
2．（2024·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD=2，动点P以每秒1
个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC−CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间
为t(s)，DP2为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下四个结论：
①AB=3；
②当t=5时，y=1；
③当4≤t≤6时，1≤ y≤3；
④动点 沿 匀速运动时，两个时刻 ， 分别对应 和 ，若 ，则 ．其中
P BC−CA t t (t y
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④
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3．（2024·安徽·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，BD是边AC上的高．
点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重合），且DE⊥DF．设AE=x，四边形DEBF的面积为y，则
y关于x的函数图象为（ ）
A． B． C． D．
√3 √3
4．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线l:y= x− 与x轴相交于点A ，以OA 为边作等边三角形
3 3 1 1
OA B ，点B 在第一象限内，过点B 作x轴的平行线与直线l交于点A ，与y轴交于点C ，以C A 为边作
1 1 1 1 2 1 1 2
等边三角形C A B （点B 在点B 的上方），以同样的方式依次作等边三角形C A B ，等边三角形
1 2 2 2 1 2 3 3
C A B ⋯，则点A 的横坐标为 ．
3 4 4 2024
5．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折
叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．给出以下结论：①△AEP为等
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3
腰三角形；②F为CD的中点；③AP:PF=2:3；④cos∠DCQ= ．其中正确结论是 ．（填序
4
号）
6．（2024·山西·中考真题）综合与探究
问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AD于点F．
猜想证明：
（1）判断四边形AECF的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG，点E，B的对应点分别为点G，H．
①如图2，当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N．猜想线段CH与MD
的数量关系，并说明理由；
②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交于点
Q．若AB=5，BE=4，直接写出四边形AMNQ的面积．
7．（2024·江苏徐州·中考真题）在△ABC中，点D在边AB上，若CD2=AD⋅DB，则称点D是点C的
“关联点”．
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(1)如图（1），在△ABC中，若∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．试说明：点D是点C的“关联点”．
(2)如图（2），已知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC，使其同时满足下列条件：①
点D为点C的“关联点”；②∠ACB是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．
(3)若△ABC为锐角三角形，且点D为点C的“关联点”．设AD=m，DB=n，用含m、n的代数式表示
AC的取值范围（直接写出结果）．
8．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了
深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D．
（1）兴趣小组的同学得出AC2=AD⋅AB．理由如下：
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90° ∵∠A=∠A
∴△ABC∽△ACD
∵CD⊥AB
AB
∴∠ADC=90° ∴ = ②______
AC
∴∠A+∠ACD=90°
∴AC2=AD⋅AB
∴∠B=①______
请完成填空：①______；②______；
（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE=∠AFC时，请判断
△AEB的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=2√6，平面内一点D，满足AD=AC，
连接CD并延长至点E，且∠CEB=∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE的长．
24
