文档内容
2025 年中考数学终极押题猜想（福建）
押题猜想一 二次函数动态分析................................................................................................................................1
押题猜想二 圆与相似三角形综合............................................................................................................................8
押题猜想三 几何变换..............................................................................................................................................12
押题猜想四 统计与概率..........................................................................................................................................15
押题猜想五 实际应用..............................................................................................................................................19
押题猜想六 传统文化与跨学科..............................................................................................................................26
押题猜想七 综合实践..............................................................................................................................................29
押题猜想八 尺规作图..............................................................................................................................................36
押题猜想一 二次函数动态分析
限时：20min
（改编）已知： 关于 的函数 ．
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且 ，则 的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与 轴有两个公共点 ， ，并与动直线
交于点 ，连接 ， ， ， ，其中 交 轴于点 ，交 于点 ．设 的面积为 ，
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学科网（北京）股份有限公司的面积为 ．
①当点 为抛物线顶点时，求 的面积；
②探究直线 在运动过程中， 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
押题解读
该题契合福建中考数学卷对二次函数专题的深度考察要求：通过参数动态分析设置条件，要求考生根
据坐标系交点位置反向推导参数取值范围，既涉及一次函数与二次函数的分类讨论，又强化了参数变
化对函数图象形态的联动影响，体现中考对函数本质理解的核心要求；
其次通过动点最值问题构建面积差与二次函数的转化模型，引导考生将几何图形中的动态变化抽象为
二次函数解析式，并运用配方法或顶点式完成最值求解，完整重现中考压轴题"几何问题代数化"的经
典解题路径；
最后通过存在性探究设置设问，要求先验证顶点极值存在的参数条件再具体计算，重点考查学生结合
函数定义域限制与顶点位置关系的临界分析能力，精准对应福建卷近年来在函数综合题中高频出现
的"存在性验证+定量计算"复合命题模式，整体命题逻辑与中考强调的"动态过程分析"和"数形转化
能力"两大素养高度一致
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学科网（北京）股份有限公司1. 如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与 轴交于点 ， 两点，与 轴
交于点 ，抛物线对称轴为直线 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线 分别与 轴，直线 交于点 ， ．
①当 时，求 的值；
②若 ， ， 的面积分别为 ， ， ，且满足 ，求点 的坐标．
2. 如图1，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点P在x轴上方的抛物线上．
(1)求直线 的解析式；
(2)求以A，B，P，C为顶点的四边形面积的最大值；
(3)如图2，若直线 与直线 相交于点M，且 ，求点P的坐标．
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学科网（北京）股份有限公司3. 已知抛物线 与 轴分别交于点 ，点 ．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图1，连接 ，取 中点 ，连接 并延长交抛物线于点 ，在直线 下方的抛物线上是否存
在点 ，使 ，若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2， 、 是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线 、 分别交 轴于 、 两点，若
，求证：直线 必经过一定点．
4. 已知点A为抛物线 对称轴右侧上一动点，直线AB： 与抛物线有且只有一个交
点A，且与 轴交于点B，点C的坐标为 ，直线 交抛物线于点 ，连接 ， ， ．
(1)用含k的代数式表示b；
(2)求证： ；
(3)在点A运动过程中， 是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司限时：20min
（改编）抛物线C ： 对称轴为 ，且与y轴交点的纵坐标为－3
1
(1)求b，c的值；
(2)抛物线C ： 经过抛物线C 的顶点P．
2 1
①求证：抛物线C 的顶点Q也在抛物线C 上；
2 1
②若 ，点E是在点P和点Q之间抛物线C 上的一点，过点E作 轴的垂线交抛物线C 于点F，求EF
1 2
长度的最大值．
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学科网（北京）股份有限公司1. 已知抛物线 经过 两点，若 分别位于抛物线对称
轴的两侧，且 ，则 的取值范围是 ．
2. 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过矩形 的顶点 和
， 轴．若将抛物线 向左（右）平移不超过 个单位长度，使其经过点 ，可与抛物线
重合，记抛物线 和 在该矩形内部的部分为图象 ，点 在图象 上，则点 的横坐标 的取值范围
是 ．（表达式中可含有 ， ， ）
3. 抛物线 （ ， ， 是常数， ）的顶点坐标为 ，与 轴交于
．
(1)当 时，求此抛物线的解析式；
(2)若此抛物线经过点 且点 不在坐标轴上，当 时，求 的取值范围；
(3)用等式表示 与 之间的数量关系，并给予证明．
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学科网（北京）股份有限公司4. 如果直线 经过抛物线 的顶点，那么称直线 为抛物线
的准切线．如，直线 经过抛物线 的顶点 ，所以直线 是抛
物线 的准切线．
(1)若直线 为抛物线 的准切线，试求 的值；
(2)已知直线 是抛物线 （ ）的准切线，将直线 向下平移 个单位，得
到新直线 恰好也是抛物线 的准切线．
①请求出直线 的解析式；
②若当 时， 的最小值为 ，试求出 的值．
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学科网（北京）股份有限公司押题猜想二 圆的综合运用
限时：20min
（改编）如图， 为 的直径，射线 与 相切于点A，点C为射线 上的一个动点， 交
于点D，若 ， ，垂足为E，连接 ．
（1）求 的度数及 的值．
（2）求证：
押题解读
这道题契合福建中考命题趋势，以圆与相似三角形为双核心，深度融合几何性质推导，既覆盖了中考
必考的“圆+相似”高频考点组合，又通过几何代数化思维和典型解题策略（辅助线构造、模型识
别），完整再现了福建中考压轴题“基础分层+综合探究+数形转化”的命题框架，与近年中考强调的
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学科网（北京）股份有限公司动态几何分析与函数建模一致。
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学科网（北京）股份有限公司1. 如图， 为 的直径，弦 ，连接 ， ， 为 上一点， ，连接 并
延长交 于点 ，交 于点 ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 ．
2. 如图，点 ， 在以 为直径的 上，且位于直径 的异侧，过点 作 的切线 交 的
延长线于点 ， ．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ，求 的值；
(3)当 的面积最大时，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司3. 如图1，已知 为 的两条直径，连接 ， 于点E，点F是半径 的中点，
连接 ．
(1)设 的半径为1，若 ，求线段 的长；
(2)如图2，连接 ，设 与 交于点P．
①求证：P为 中点；
②若 ，试求 之间的关系．
4. 如图， 的外接圆 的直径 交 于点 ，过点 作 于点 ，延长 交 于
点 ，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 平分 ．
①已知 ， ，求 的长；
②若点 为 的中点，且 ， ， 三点在同一直线上，试猜想 与 的数量关系，并证明你的结论．
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学科网（北京）股份有限公司5. 如图1，在矩形 中，点 在对角线 上，以 的长为半径的 与 ， 分别交于点
， ，且 ．
(1)求证： ；
(2)判断直线 与 的位置关系，并证明你的结论；
(3)如图2，若点 落在线段 的垂直平分线上， ，求 的半径．
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学科网（北京）股份有限公司押题猜想三 几何变换
限时：20min
（改编）如图1，已知 中， ， ，点 为 边上一动点（不与点 、 重合），
连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 、 ， 与 交于点 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)试探究猜想 、 、 之间满足的数量关系，并给予证明；
押题解读
这道题紧扣福建中考几何综合题的命题特点，以旋转变换为核心情境，通过旋转构造全等、动态轨迹
分析串联起等腰三角形性质、三角函数比例、二次函数最值等核心考点，既在（1）问中夯实基础几
何计算（旋转性质→等腰三角形边角关系），又在（2）问中通过辅助线构造（作垂线）、全等三角
形判定与比例转化体现压轴题的分层探究思维，同时将几何动态过程（动点旋转）深度结合，完整呼
应了福建中考“基础分层递进+几何代数互化+高阶模型构造”的命题逻辑，尤其是旋转背景下的辅助
线技巧与数形转化能力，与近年中考的考查高度契合。
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学科网（北京）股份有限公司1. 在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片 ，得到折痕 ，把纸片展平；
操作二：如图②，在边 上选一点E，沿 折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕 ；
操作三：如图③，在边 上选一点F，沿 折叠，使边 与边 重合，得到折痕 把正方形纸片展
平，得图④，折痕 与 的交点分别为G、H．
根据以上操作，得 ________ ．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接 ，试判断 的形状并证明；
（2）如图⑥，连接 ，过点G作 的垂线，分别交 于点P、Q、M．求证： ．
【深入研究】
若 ，请求出 的值（用含k的代数式表示）．
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学科网（北京）股份有限公司2. 如图（1），四边形 为矩形， ， ，点 在对角线 上，点 ， 分别在边
和 上， ， ．
(1)求 的值；
(2)将四边形 绕着点 逆时针旋转到图（ ）的位置， 为 和 的交点，
①求 的值；
②当 ，其中旋转角为 ，且 ，连接 ，求 的最大面积．
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学科网（北京）股份有限公司押题猜想四 统计与概率
限时：20min
（改编）今年的国内春节档电影《哪吒之魔童闹海》很火爆，乐乐和爸爸、妈妈、爷爷、奶奶准备在正月
初一晚上八点一起去看电影．爸爸在网上购票时，五人的座位恰好位于5排06座--5排10座，这五个座位
从左往右依次排列（如图，是座位示意图）．乐乐进入该电影厅后，可以从这五个座位中随机选择一个．
(1)乐乐选择的座位恰好是座位06座的概率是________；
(2)乐乐坐下后，奶奶从剩下的四个座位中随机选择一个坐下，用列表法或画树状图法求乐乐和奶奶的座位
相邻（过道两侧也可认为是座位相邻）的概率．
押题解读
这道概率题以最近很火的《哪吒2》电影为背景，在春节家庭观影选座为真实情景下，要求学生通过
树状图系统性分析空间位置关系，体现从生活现象抽象数学模型、融合代数计算与几何逻辑的命题导
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学科网（北京）股份有限公司向。
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学科网（北京）股份有限公司1. 某村有甲、乙两块柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前往该村开展实践活动，其中一个项目是：
在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为
柑橘园的发展规划提供一些参考．从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测
量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位： ）表示，将收集的样本数据进行如下分组：
组别 A B C D E
x
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：
(1)计算乙园样本数据的平均数；
(2)结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一等品，其它组的柑橘认定为二等品，其中一等品柑橘的品
质最优，二等品柑橘次之．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司2. 福建省拥有丰富的红色文化资源，某校组织七年级学生开展“红色文化”为主题的研学之旅，策划
了三条红色线路让学生选择：
A．古田会议（龙岩市上杭县）；
B．闽西革命历史纪念馆（龙岩市）；
C．东山战斗纪念馆（漳州市东山县）．
小悦和小钢两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路，且每人只能选择一条线路．他们准备了3张不
透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，
小悦先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小钢再从中随机抽取一张卡片．
(1)求小悦从中随机抽到卡片A的概率；
(2)请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到同一张卡片的概率．
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学科网（北京）股份有限公司3. 某校八、九年级各推荐20名学生参加主题为“极目楚天，共襄星汉”的航天科普知识竞赛（共10
题，每题10分，满分100分）．数学兴趣小组对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告（不完整）：
“极目楚天，共襄星汉”的航天科普知识竞赛成绩分析报告
八年级学生成绩：80，60，100，90，80，70，70，100，70，90，70，80，80，90，
80，80，90，80，90，90．
数据收集
九年级学生成绩：70，90，100，80，80，60，70，80，60，100，60，70，90，80，
90，90，90，90，100，90．
八、九年级学生成绩分析表
数据整理与
分析
平均数 中位数 众数 方差
八年级 82 80 80 106
九年级 82 85 90 166
①补全条形统计图；
任务一
②求在扇形统计图中，“90分”所在扇形的圆心角的度数．
任务二 根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由．
从5名得100分的学生中，随机抽取2名参加市级知识竞赛．利用画树状图或列表的方
任务三
法，求所抽取的2名学生恰好在同一年级的概率．
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学科网（北京）股份有限公司押题猜想五 实际应用
限时：20min
（改编）学校积极开展“阳光体育”活动，某班需要购买 ， 两种跳绳，已知购买1根 型跳绳和2根
型跳绳共需40元；购买3根 型跳绳和3根 型跳绳共需75元．
(1)购买1根 型跳绳和1根 型跳绳各需多少元？
(2)若班级计划购买 ， 两型跳绳共50根， 型跳绳根数不少于 型跳绳根数的2倍，设购买 型跳绳
根，求购买跳绳所需最少费用是多少元？
押题解读
本题契合福建中考"生活情境引领、知识分层递进、数学建模贯穿"的命题理念。首先以"阳光体育"采
购器材为真实背景，第(1)问通过建立二元一次方程组求解单价，夯实方程思想基础（必得分考点）；
第(2)问创新融合不等式约束与一次函数最值，既考查代数建模能力，又通过分析费用函数单调性揭示
决策优化本质，完整呈现福建卷典型应用题结构。特别是将实际问题转化为"数量关系→数学表达式
→函数性质"的解题路径，充分体现课标要求的"用数学思维分析现实问题"核心素养，彰显福建命
题"情境真实化、设问阶梯化、思维可视化"的鲜明特色。
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学科网（北京）股份有限公司1. 为改善生活环境，减少污水排放，长青村准备筹集资金，购买甲，乙两种污水处理设备，安装在专
门设置的场地，用于处理全村排放的污水．已知每套乙种设备价格比甲种设备少 ，用360万元单独购
买甲种设备比乙种设备要少2套，安装一套甲种设备需占地 ，一套乙种设备需占地 ．
(1)甲，乙两种污水处理设备每套分别是多少万元？
(2)长青村共筹集到资金500万元，准备购买20套甲，乙两种污水处理设备，经预算，安装设备的前期准
备工程的费用不少于总资金的四分之一，求安装这20套污水处理设备占地的最大面积是多少 ？
2. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现
一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩
偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同．
(1)问： A、B两款的进货单价分别是多少元？
(2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元
购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多
少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？
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学科网（北京）股份有限公司3. “垃圾分一分，环境美十分”，某中学欲购买 ， 两种型号的垃圾桶，已知 型垃圾桶的单价比
B型垃圾桶的单价便宜20元，用1800元购买A型垃圾桶的数量与用2160元购买B型的垃圾桶的数量相同．
（说明：A型垃圾桶存放不可回收垃圾；B型垃圾桶存放可回收垃圾）
(1)分别求A，B两种型号垃圾桶的单价．
(2)根据学校需要，准备购买A，B两种垃圾桶共60个，其中购买A型垃圾桶的数量不超过B型垃圾桶的
倍，求购买这两种垃圾桶所需的最少经费．
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学科网（北京）股份有限公司限时：20min
（改编）阅读下列材料，解答问题．
【背景】如图1，李叔家D与水果园E之间隔着一座小土坡，为方便浇水灌溉，从家里铺设的水管到果园，
原来经过小土坡铺设的水管（ ）由于风吹日晒，老化损坏，现在李叔准备从土坡下直接
埋一条水管（D，B，C，E在同一直线上）．
【问题】为了计算新水管的长度，需要测量B，C之间的距离；
要了解水管承受的压力，需要测量土坡的高度．
【工具】一把皮尺和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的
功能是在一固定位置测量可以看到的两个地点的夹角大小．
【测量】李叔用皮尺测量出原来土坡两边的长度 ， ，再用测角仪测得 ．
解答问题：
(1)求 的长度；（结果用含a，b， 的代数式表示）
(2)若测得 ， ， ，求出小土坡的高度．
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学科网（北京）股份有限公司1. 跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图1是滑雪运动员在跳台上完成动作的示意图，赛道的
剖面的一部分可抽象为线段 ， ，滑雪运动员从点 出发，从起跳点 起跳，到点 落地．某比赛场
地的实测参数如下：（如图2）
①跳台竖直高度 ；
②斜坡 长度为 ，坡角为 （与水平面夹角）；
③斜坡 的坡角为 ．
根据以上条件，计算斜坡 的长度．（结果精确到 ）
（参考数据： ， ， ）
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学科网（北京）股份有限公司2. 小敏想用学过的知识来测量小区楼下花坛中央的雕塑 的高度．如图所示，小敏在花坛边缘与雕
塑 在太阳光下的影子交汇处的空地上选择一点 ，并在点 处安装了测倾器 ，测得雕塑的顶端 的
仰角为 ，小敏沿 的方向向后移动，移动2米时恰好到达雕塑顶端 在太阳光下的影子点 处，小敏
站在 处，测得她在太阳光下的影长 米．已知测倾器的高度 米，小敏的身高 米，
点 在同一水平直线上，且 、 均垂直于 ，求雕塑的高度 ．（结果精确到1
米，参考数据： ）
3. 图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图
2，摄像头 的仰角、俯角均为 ，摄像头高度 ，识别的最远水平距离 ．
(1)身高 的小杜，头部高度为 ，他站在离摄像头水平距离 的点C处，请问小杜最少需要
下蹲多少厘米才能被识别．
(2)身高 的小若，头部高度为 ，踮起脚尖可以增高 ，但仍无法被识别．社区及时将摄像头
的仰角、俯角都调整为 （如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到 ，参考数据
）
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学科网（北京）股份有限公司4. 物流中心 与三个菜鸟驿站 、 、 的平面示意图如下图． 在 的正南方， 在 的东南方向
上且在 的北偏东 方向上， 在 的正东方且 ，已知 ．（参考数据：
， ， ， ）．
(1)求驿站 、 之间的距离；
(2)派送员小外计划 从 出发沿着 的路线派送快递到三个驿站，上午 完成快递派
送．但导航显示 路段拥堵严重，于是他改变路线（ 出发），沿着 的路线派送快递
到三个驿站．若 路段行驶的平均速度为 ，其余路段的平均行驶速度为 且小外在每个
驿站均停留 存放快递．请通过计算说明他能否在 之前完成派送．
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学科网（北京）股份有限公司押题猜想六 传统文化与跨学科
限时：20min
（改编）我校对九年级学生参与“力学”“热学”“光学”“电学”四个类别的物理实验情况进了抽样调
查，每位同学仅选其中一个类别，根据调查结果绘制了如图所示的不完整的频数分布表和扇形统计图（图
1），请根据图表提供的信息，解答下列问题：
类别 频数（人数） 频率
力学
热学 10
光学 30
电学 15
(1)直接写出频数分布表中 、 的值： ______， ______；
(2)直接写出表示参与“光学”实验的扇形圆心角的度数 ______°；
(3)参与“电学”实验的同学在做“灯泡亮了”的实验时，提出如下问题：如图2，电路图上有四个开关 ，
， ， 和一个小灯泡，闭合开关 或同时闭合开关 ， ， 都可使小灯泡发光．若随机闭合其中的
两个开关，用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率．
押题解读
本题体现了福建中考"跨学科融合、数学核心素养导向"的命题特色。首先以物理实验调查为真实情境
（呼应2023年中考"割圆术"的历史跨学科题），通过频数分布表与扇形统计图的双向补全（第1、2
问），考查数据处理基础能力，与2022年第20题"劳动时间统计图"、2024年第13题"安全测试成绩
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学科网（北京）股份有限公司统计"一脉相承；第3问创新融合电学实验情境，将电路开关组合转化为概率模型，要求用树状图分
析复合事件概率（类似2023年第22题"双次摸球"的概率建模），这种"物理现象→数学模型"的转化
路径，既体现2024年"帆船风力分解"题的跨学科思维，又延续了福建卷"统计与概率必考且强调现实
解释"的传统（如2022年第13题红球概率、2024年第6题质数概率）。全题通过"数据读取→几何计
算→概率建模"的三阶设问，完整呈现综合题结构，既保证基础得分（第1问求频数、第2问圆心角
计算），又通过情境化的概率探究实现能力区分，精准对应课标要求的"数学应用意识"与"跨学科主
题学习"目标，充分彰显福建中考"学科渗透生活化、数学建模可视化、思维进阶层次化"的命题特质。
1. 烷烃是由碳、氢元素组成的有机化合物质，碳原子个数为 ~ ，依次用甲、乙、丙、丁、戊、己、
庚、辛、壬、癸表示．如甲烷、乙烷、丙烷的化学式分别为 、 、 ，分子结构如图所示，则
癸烷的分子结构中氢原子的个数是（ ）
A． B． C． D．
2. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，在 中，
M是 的中点， 于点N．“会圆术”给出 的弧长l的近似计算公式： ．当
， 时，则 的弧长l的近似值为 ．
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学科网（北京）股份有限公司3. 滑轮轴的位置固定不动称之为定滑轮，其不省力，但可改变力的方向．如图，定滑轮半径为 ，
现需将重物拉升 （ 取 ），则滑轮旋转的情况为（ ）
A．顺时针旋转 B．逆时针旋转
C．顺时针旋转 D．逆时针旋转
4. 中国古建筑中的字台楼阁很多都采用八边形结构．如图1是漳州市威镇阁，其外层屋檐的平面示意
图可抽象成正八边形，如图2所示，则这个正八边形的一个外角的度数为 °．
5. 如图1，《蝶几图》是明朝的戈汕分割正方形的一种方式，以正方形为模分割为长斜（等腰梯形）、
右半斜（直角梯形，后同）、左半斜、小三斜（等腰直角三角形，后同）、大三斜和闰（该图内部分割纵
向等距）．取右半斜两张、左半斜两张、小三斜两张，共6张拼成如图2所示的中心对称图形，并放入一
个长方形 中，若图1中较大正方形的边长为4，则长方形的周长是（ ）
A．15 B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司押题猜想七 综合实践
限时：20min
（改编）如图所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变
而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩 ， ， 垂直于地面放置，醒狮少年从点 跳跃到点 ，随
后纵身跃至点 ，已知 ， ， ， ．（参考数据： ，
， ）
(1)在图2中， ________；
(2)醒狮少年在某次演出时需要从点 直接腾跃至点 进行“采青”，请求出“采青”路径 的长度；
(3)醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩 的影子顶端恰好落在点 处，梅花桩 的影子顶端恰
好与点 重合，请在图3中画出梅花桩 ， 的影子并计算出 的高度；
(4)如图4，保持 不变，通过调整梅花桩 的高度，使得 的值最小，请求出此时 的高度
（结果精确到 ）．
押题解读
本题体现了福建中考"情境真实、学科融合、分层递进"的命题理念。首先以国家级非遗"高桩醒狮"为
文化载体，构建"体育竞技→几何建模→物理光学→最优化决策"的跨学科链条：第（1）（2）问通过
梅花桩空间坐标系的解三角形计算（如2022年第9题衣架高度、2024年帆船动力分解），考查几何
模型构建能力；第（3）问创新融合日晷投影原理（类比2023年"皮尺测水池"的数学建模），将影子
作图与三角函数结合，体现2024年"安全测试统计"题的数据可视化思维；第（4）问考查了将军饮马
的最值问题。全题通过"基础测量→路径求解→物理建模→动态优化"的四阶设问，既保留文化浸润特
色（如2024年"吉祥如意"礼盒设计），又通过"数学工具解决现实问题"的思维进阶（如2023年"双
球概率决策"），精准对应课标要求的"数学抽象→数学建模→数学运算"核心素养发展路径，深刻展
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学科网（北京）股份有限公司现福建中考"文化为魂、实践为基、思维为核"的立体化命题风格。
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学科网（北京）股份有限公司1. 综合与实践——黄金矩形．
宽与长之比为 的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自
然界中，如图1中的希腊巴特农神庙和图2中达芬奇的画作《蒙娜丽莎》．今天我们追随先哲们的脚步，
利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！
如图3，矩形纸片的宽 ，小明按如下步骤操作．
第一步：如图4，沿 折叠，使点 落在长边上的点 处，连接 ，得正方形 ；
第二步：对折正方形 ，使边 与 重合，得折痕 ，并展开，如图5，则 ；
第三步：连接 ，沿 折叠，使点 落在 延长线上的点 处，如图6，则 的长为 ；
第四步：过点 折叠纸片，得折痕 ，使 ，交于 点 ，并展开，如图7，则矩形 为黄
金矩形．
(1)补全小明操作过程中①所缺的内容______；
(2)聪明的小慧发现，在图7中，除了黄金矩形 外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予
证明．
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学科网（北京）股份有限公司(3)小慧根据（2）题进一步发现，在黄金矩形 中折去正方形 ，从而留下的矩形 即为黄金
矩形．类似于“勾股树”，黄金矩形也能不断“生长”，可以在图8中继续折出更多的黄金矩形 、
黄金矩形 ，……如图9，小慧用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连结起来，便会形成一
条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．记
、 、 的弧长分别为 、 、 ，请探究 、 、 满足的数量关系．
2. 综合与实践：如何设计广场花圃，优化绿化面积（计算结果保留 ）．
素材 ：学校欲将一个长为 、宽为 的矩形场地设计成广场花圃，其中 ．
素材 ：如图是小明的设计方案，中间 个半径相等的圆形花圃，其余部分是空地．
素材 ：小颖准备设计成 块直径均为 的半圆花圃，其余部分是空地．
【问题解决】
(1)试用含 ， 的代数式表示图中空地的面积；
(2)请你设计出一种广场花圃的方案，并画出示意图，
要满足以下 个条件：
①四个半圆的花圃都要使用，且形状不变（保持半圆的形状）；
②花圃可相切，不可以出现重叠；
③设计图要呈现对称美，中间应预留空地作为通道．
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学科网（北京）股份有限公司3. 【问题情境】
九年级上册《综合与实践》中的“猜想、证明与拓广”中，对于矩形的“减半”问题进行研究，即：任意
给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？
【理解探究】
（1）小明同学分别研究了长和宽为2和1，3和1，4和1，5和1这四个矩形，发现都不存在“减半”矩
形，因此得出结论：对于长为 ，宽为1的已知矩形，一定不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已
知矩形周长和面积的一半．你认为小明得出的结论是否正确？如果正确，请用小明研究的这四个矩形中的
任意一个进行验证；如果不正确，请举例，并说明理由；
【拓展延伸】
（2）若已知矩形的长为 ，宽为 ，是否存在另一个矩形，它的周长和面积都是已知矩形周长和面积的
一半？如果存在，写出 与 应满足的关系式；如果不存在，说明理由．
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学科网（北京）股份有限公司4. 综合与实践
活动主
扇面制作
题
如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的
艺术风格．为了迎接我市2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展
示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知 ， ， ．
活动情
景
活动小
甲组 乙组
组
制作工
直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀
具
制作材
料
【任务一】确定弦的长度．
如图2，请你求出 所对弦 的长度．
【任务二】设计甲组扇面．
如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为 请运用表格中所给工具在 中设计与图2相同的扇面，并
标出相应数据．
【任务三】确定卡纸大小．
如图4，乙组利用矩形卡纸 ，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸的最小规格（即矩形的边
长）．
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学科网（北京）股份有限公司5. 综合与实践：
在复习探究《几何图形变化》的时候，老师让同学们准备了两张全等的直角三角形纸片，并且
把它们的一条直角边重合在一起（如图1），已知 ， ，
．
准备
如图2，小明同学把 沿直线 平移，当点B与点A重合时，点C与点D重合，
点A的对应点为点 ．
平移
结论1：四边形 是矩形；
如图3，小红同学把 绕点A顺时针旋转，当点C的对应点 恰好落在边 上
时，点B的对应点为点 ， 与边 交于点E．
实践
探究
旋转
结论2：可求出图中任意一条线段的长，如 ；
如图4，若点M，N分别是 ， 的中点，小军同学将 沿着直线 对折，点
B的对应点为 ．
对折
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学科网（北京）股份有限公司结论3：①点C， ，N在同一条直线上；
②可求出线段 的长．
验证 根据以上同学对三种图形变化的探究，请你完成三个结论的证明或计算．结论3中①②可任选
计算 一个，②比①多得2分．
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学科网（北京）股份有限公司押题猜想八 尺规作图
限时：20min
（改编）如图所示，在 的 边上取点 ，以 为圆心、 长为半径作 ， 过点A且交
于点 ，连接 ，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)用无刻度直尺和圆规过点 作 ， 交 的延长线于点 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(3)若 ， ，求 的长．
押题解读
本题高度契合福建中考"立足几何直观、融合代数思维、强调实践操作"的命题特色。第（1）问通过
切线判定定理的证明，考查几何演绎能力；第（2）问的无刻度直尺作图，延续"操作→论证"的命题
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学科网（北京）股份有限公司传统；第（3）问综合相似三角形与勾股定理求值完整呈现福建中考"一题多能、层层递进、素养导
向"的几何命题智慧。
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学科网（北京）股份有限公司1. 如图，在 中， ．点 在 的延长线上，连结 ．
(1)尺规作图：过点A求作 的平行线，与 、 的交点分别为 、 ；
(2)在（1）的条件下，若点 是 的中点， ．试求 的长度．
2. 如图，已知 ，点 在 上．
(1)求作矩形 ，使点 在 上，点 在 上方；（要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，连接 交 于点 ．若 ，求 的长．（参考数据： ，
）
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学科网（北京）股份有限公司3. 如图 ，在 中，点 从点 出发沿 方向运动，到达点 时停止运动，连接 ，点 关
于直线 的对称点为 ，连接 ， ．
(1)点 位于何处时， ？请用直尺和圆规在图 中作出此时的 （不写作法，保留作图痕
迹）；
(2)若 ，求点 运动过程中，点 到直线 距离的最大值．
4. 如图所示，是一张对边平行的纸片，点 ， 分别在平行边上．
(1)求作：菱形 ，使点 ， 落在纸片的平行边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若 ， ，求菱形 的面积．（ ， ， ）
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