文档内容
2025 年中考数学终极押题猜想（湖南专用）
（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）
押题猜想一 实数的混合运算 ..........................................1
押题猜想二 求代数式的值 ............................................4
押题猜想三 解不等式组 ..............................................7
押题猜想四 利用方程、不等式（组）、函数解决实际问题 ................9
押题猜想五 规律探究 ...............................................14
押题猜想六 统计与概率 .............................................20
押题猜想七 锐角三角函数的应用 .....................................26
押题猜想八 二次函数的图象与系数的关系 .............................36
押题猜想九 二次函数与线段、面积的问题 .............................44
押题猜想十 二次函数与多边形、角度存在性的问题 .....................54
押题猜想十一 几何中的多结论判定 ...................................67
押题猜想十二 几何中的最值问题 .....................................77
押题猜想十三 几何图形的证明与计算问题 .............................84
押题猜想十四 圆的综合问题 .........................................93
押题猜想十五 特殊四边形的综合问题 ................................109
学科网（北京）股份有限公司押题猜想一 实数的混合运算
限时：2min
æ 1ö-1 æ 22ö0
（原创） 计算：-12025 +ç- ÷ - 12+1-4cos30°+çπ- ÷
ç ÷ ç ÷
è 3ø è 7 ø
【答案】-4
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关
键．先代入特殊角的三角函数值，再根据乘方、负整数指数幂、二次根式、绝对值、零指数幂的性质化简，
再加减即可．
æ 1ö-1 æ 22ö0
【详解】解：-12025+çç- ÷÷ - 12+1-4cos30°+çç π- ÷÷
è 3ø è 7 ø
3
-1+-3-2 3+1-4 +1
2
-1-3-2 3+1-2 3 +1
-1-3-2 3+2 3-1+1
-4．
押题解读
本考点为必考考点，实数的混合运算是比较重要的考查内容，常以解答题的形式出现。它是基础题，难
度不大，只要记住特殊角的三角函数值，掌握实数的计算顺序，我们就能正确解答。
1．计算： 4+p-30--12025+ æ ç- 1ö ÷ -2
è 3ø
【答案】13
【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，乘方运算．分别进行算术
平方根，零指数幂，乘方，负整指数幂运算，最后加减即可．
【详解】解： 4+p-30--12025+ æ ç- 1ö ÷ -2
è 3ø
=2+1+1+9
学科网（北京）股份有限公司=13．
2．计算2025-π0- 3-2 -3tan30°+ æ ç 1ö ÷ -1
è2ø
【答案】1
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂、化简绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，
根据相关运算法则正确求解即可．
3
【详解】解：原式=1- 2- 3 -3´ +2
3
=1-2+ 3- 3+2
=1．
3．计算：-20250- æ ç 1ö ÷ -1 +2cos60°+1- 3 - 1 ´ 27 ．
è6ø 3
【答案】-5
【分析】本题主要考查了实数的运算，涉及特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂；
先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再化简二次根式，最后根据实数的运算法则求解即
可．
【详解】解：-20250- æ ç 1ö ÷ -1 +2cos60°+1- 3 - 1 ´ 27
è6ø 3
1 1
=1-6+2´ + 3-1- ´3 3
2 3
=1-6+1+ 3-1- 3
=-5．
4．计算： 2+1 -1 +4cos45°+ 3-2 -3.14-π0．
【答案】3 2- 3
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先计算负整数指数幂、零指数幂、化简绝对值、特殊角的三角函数值，再分母有理化，再计算加减即可．
【详解】解： （ 2+1）-1+4cos45°+ 3-2 -(3.14-p)0
1 2
= +4´ +（2- 3）-1
2+1 2
学科网（北京）股份有限公司= 2-1+2 2+2- 3-1
=3 2- 3．
5．计算： 3 2 -π+50-4sin60°+ 3-2
【答案】4-3 3
【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，先化简各数，再进行加减运算即可．熟
练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
3
【详解】解：原式=3-1-4´ +2- 3
2
=4-3 3．
押题猜想二 求代数式的值
限时：2min
æ 5 ö x2-6x+9
（原创） 先化简，再求值：ç ç -2-x÷ ÷ -1，其中x为正整数且x<4．
èx-2 ø 2-x
6
【答案】化简得 ，求值得-3
x-3
【分析】本题考查分式的化简，代数式求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的化简步骤是解题的关
键．先化简分式，再利用分式有意义的条件结合x为正整数且x<4，确定x的值，代入求值即可．
æ 5 ö x2-6x+9
【详解】解：ç ç -2-x÷ ÷ -1
èx-2 ø 2-x
5-x-2x+2 2-x
-1
x-2 x-32
5-x2+4 2-x
-1
x-2 x-32
x-3x+3 x-2
-1
x-2 x-32
x+3
-1
x-3
x+3-x+3
x-3
学科网（北京）股份有限公司6
，
x-3
∵x为正整数且x<4，且x-2¹0，x-30，
∴x=1，
6 6
∴原式= = =-3．
x-3 1-3
押题解读
本考点为必考考点，求代数式的值是比较重要的常考内容，常以解答题的形式出现。一般以先化简再求
值的方式出现，难度不大，只要掌握运算法则和计算顺序，就易得分。
1．先化简，再求值：2x2 -2yx-y-x-y2，其中x=1,y=2
【答案】3x2+ y2，7
【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先计算积的乘方、单项式乘多项式
和完全平方公式，再去括号、合并同类项化简，然后将x、y的值代入计算即可．
【详解】解：2x2-2yx-y-x-y2
=4x2-2xy+2y2- x2-2xy+y2
=4x2-2xy+2y2-x2+2xy-y2
=3x2+y2．
当x=1,y=2时，原式=3´12+22 =3´1+4=7．
2．先化简，再求值：x-22 -2x+32x-3+3xx+2，其中x=2．
【答案】2x+13，17
【分析】本题考查了整式的化简与求值、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公
式是解题的关键．利用完全平方公式、平方差公式、整式的运算法则化简式子，再代值计算即可求解．
【详解】解：x-22-2x+32x-3+3xx+2
= x2-4x+4- 4x2-9 +3x2+6x
=x2-4x+4-4x2+9+3x2+6x
学科网（北京）股份有限公司=2x+13，
代入x=2，原式=2´2+13=17．
æ 4 ö x2+4x+4
3．先化简，再求值：ç +1÷¸ ，其中x= 3-2．
èx-2 ø x-2
1 3
【答案】 ，
x+2 3
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则．
先进行括号内分式的加法运算和括号外面分式的因式分解，然后利用分式的除法法则进行化简，代入求值
即可．
æ 4 ö x2+4x+4
【详解】解：ç +1÷¸
èx-2 ø x-2
4+x-2 x-2
= ×
x-2 x+22
x+2 x-2
×
x-2 x+22
1
= ，
x+2
当x= 3-2时，代入上式，
1 3
原式= = ．
3-2+2 3
æ a2-4 a ö a2+2a
4．先化简，再求值：ç - ÷¸ ，且a的值满足a2+2a-8=0．
èa2-4a+4 a-2ø a-2
2 1
【答案】 ，
a2+2a 4
【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则对原式进行化简．
先对原式中分子分母进行因式分解，再根据分式运算法则化简，然后将a2+2a=8代入化简后的式子求值．
éa+2a-2 a ù a-2 æa+2 a ö a-2
【详解】解：原式=ê - ú× =ç - ÷×
ë
(a-2)2 a-2
û
aa+2 èa-2 a-2ø aa+2
2 a-2 2
= × =
a-2 aa+2 a2+2a
a2+2a-8=0，
Q
\a2+2a=8，
2 1
\原式= = ．
8 4
学科网（北京）股份有限公司æ m-1ö m2-2m+1
5．先化简，再求值：çç 1- ÷÷ ，其中m= 2+1．
è m+1ø m2-1
2
【答案】 ， 2
m-1
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把m的值代入计算即可．
æ m-1ö m2-2m+1
【详解】解：ç1- ÷¸
è m+1ø m2-1
æm+1 m-1ö m2-1
=ç - ÷×
èm+1 m+1ø m2-2m+1
2 m+1m-1
= ×
m+1 m-12
2
= ，
m-1
2
当m= 2+1时，原式= = 2．
2+1-1
押题猜想三 解不等式组
限时：2min
3x+2 x+6
（改编） 解不等式组： x-1 x ，并将解集在数轴上表示出来
1+
4 2
【答案】-5£x<0，解集在数轴上表示见详解
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示解集；分别求出不等式组中两不等式的解集，
用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断，再在数轴上表示出解集，解集在
数轴上表示出来，即可求解；掌握不等式组的解法，并会在数轴上的表示解集是解题的关键．
ì3x+24(x-2)①
ï
1．解不等式组í2x-1 x-2
-2£ ②
ï
î 3 2
11
【答案】x<
2
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，
大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
11
【详解】解：解①得：x< ，
2
解②得：x£8，
11
\x< ．
2
ì5x-1£3x+1
ï
2.解不等式组：í2x-1 5x-1 ，并写出满足条件的正整数x的所有值．
ï - <1
î 2 4
【答案】
-
5
<
x
£
2，满足条件的x值有：1，2
【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，后确定整数解计算即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组的整数解，熟知以上知识是解题的关键．
ì5x-1£3x+1①
ï
【详解】解：∵í2x-1 5x-1
ï - <1②
î 2 4
∴解不等式①，得x£2，
解不等式，②，得x>-5，
∴不等式组的解集为-5x
î 3
【答案】1£x<4，6
【分析】此题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握解不等式的方法是关键；
分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间大大小小是无解”求出不
等式组的解，进而即可得到答案
ìx-4£3x-2①
ï
【详解】解：í1+2x
ï
+1>x②
î 3
由①得：x³1，
由②得：x<4，
\此不等式组的解集为1£x<4．
∵整数解
∴x=1，2，3
那么整数解的和为：1+2+3=6
押题猜想四 利用方程、不等式（组）、函数解决实际问题
限时：5min
（改编） 据统计，2025年春节期间，长沙市累计接待国内游客1464.37万人次．这里有种类繁多的特色小
吃.臭豆腐和糖油粑粑都是长沙的传统小吃。“臭豆腐”“糖油粑粑”摊位前排满了游客，若购买臭豆腐4份，
糖油粑粑2份需要48元；购买臭豆腐2份，糖油粑粑4份需要54元．
(1)求糖油粑粑，臭豆腐每份的售价．
(2)据调查，某商家制作1份糖油粑粑需要成本4元，1份臭豆腐需要成本6元．该商家结合市场需求，某
天可售卖臭豆腐和糖油粑粑共1000份，且糖油粑粑的数量不少于臭豆腐的3倍．若商家售完这1000份特
色小吃，可获得的最大利润是多少？
【答案】(1)每份糖油粑粑的售价是7元，每份臭豆腐的售价是10元
(2)商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是3250元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用：
（1）设每份糖油粑粑的售价是x元，每份臭豆腐的售价是y元，根据“购买糖油粑粑4份，臭豆腐2份需要
48元；购买糖油粑粑2份，臭豆腐4份需要54元”列出方程组，即可求解；
学科网（北京）股份有限公司（2）设售出m份糖油粑粑，则售出(1000-m)份臭豆腐，根据“某天可售卖糖油粑粑和臭豆腐共1000份，
且糖油粑粑的数量不少于臭豆腐的3倍”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，
设总利润为w元，利用总利润=销售利润×销售数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性
质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每份糖油粑粑的售价是x元，每份臭豆腐的售价是y元，
ì4x+2y=48
í
根据题意得：î2x+4y=54
，
ì x=7
í
解得：îy=10
，
答：每份糖油粑粑的售价是7元，每份臭豆腐的售价是10元；
（2）解：设售出m份糖油粑粑，则售出(1000-m)份臭豆腐，
m³31000-m
根据题意得： ，
解得：m³750，
设商家售完这1000份特色小吃获得的总利润为w元，
w=7-4m+10-61000-m
则 ，
即w=-m+4000，
Q
-1<0，
\w随m的增大而减小，
\当m=750时，w取得最大值，最大值为-1´750+4000=3250（元），
答：商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是3250元．
押题解读
本考点为必考考点，利用方程、不等式（组）、函数解决实际问题是比较重要的考查内容，常以解答题的
形式出现。这些题综合性强，难度较大，易失分，所以要认真审题，找出已知量与未知量之间的关系。
1．为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果的进价、
售价如表所示：
学科网（北京）股份有限公司进价（元/千克） 售价（元/千克）
甲种 5 8
乙种 9 13
(1)若该水果店购进两种水果共花费1000元，则这两种水果各购进多少千克？
(2)若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销
售完这批水果时获利最多？
【答案】(1)甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克
(2)安排购买甲种水果40千克，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数
解析式，利用一次函数的性质求最值．
（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可；
（2）根据题意，可以得到利润与购买甲种水果数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质求最值．
【详解】（1）解：设甲种水果购进x千克，则乙种水果购进(160-x)千克，
5x+9(160-x)=1000
由题意可得： ，
解得x=110，
\160-x=50，
答：甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克；
（2）解：设购进甲种水果m千克，则乙种水果购进 (160-m) 千克，获得的利润为w元，
w=(8-5)m+(13-9)(160-m)=-m+640
由题意可得： ，
\w随m的增大而减小，
Q该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，
\160-m£3m，
解得m³40，
\当m=40时，w取得最大值，此时w=600，160-m=120，
40kg
答：安排购买甲种水果 千克，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多．
学科网（北京）股份有限公司2．【问题背景】
2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面
积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高25%；
素材二：购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元；
1
素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的3．
【问题解决】
(1)求A，B两种书架的单价；
(2)设购买a个A种书架，购买书架的总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出总费用最少时的购买
方案．
【答案】(1)A种书架的单价为500元，B种书架的单价为400元
(2)
w=100a+8000（5£a£20，且a是整数），购买A种书架5个、B种书架15个
【分析】（1）设A种书架的单价为x元，B种书架的单价为 y 元．
x1+25%y,
由题意，得
3x+2y2300.
解答即可．
w=500a+40020-a=100a+8000
（2）由题意，得 ，再解得a³5，利用一次函数的性质，解答即可．
本题考查了方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：设A种书架的单价为x元，B种书架的单价为 y 元．
ìx=1+25%y,
í
由题意，得î3x+2y=2300.
ìx=500,
í
解得îy=400.
答：A种书架的单价为500元，B种书架的单价为400元．
w=500a+40020-a=100a+8000
（2）由题意，得 ，
1
Q
A种书架的数量不少于B种书架数量的3，
1
\a³ 20-a
3 ，解得a³5，
学科网（北京）股份有限公司\w与a的函数关系式为w=100a+8000（5£a£20，且a是整数）．
对于w=100a+8000（5£a£20，且a是整数），由100>0可知w随a的增大而增大，
\当a=5时，w取得最小值，此时w=8500，20-a=15，
\费用最少时的购买方案是购买A种书架5个、B种书架15个．
3．2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，
每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵
数相同．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格；
(2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗
的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，
才能使购买树苗的总费用最少？
【答案】(1)甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元
(2)购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用，正确建立方程和
熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
x+10
（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是 元，根据用900元购买甲种树苗的棵
数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵数相同建立方程，解方程，并进行检验即可得；
（2）设购买乙种树苗m棵，总费用为w元，则购买甲种树苗
600-m
棵，先求出200£m<600，再根据
费用与价格、棵数的关系建立w与m的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得．
x+10
【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是 元．
900 1200
=
由题意得： x x+10，
解得x=30，
经检验，x=30是所列分式方程的解，且符合题意，
则x+10=30+10=40，
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
（2）解：设购买乙种树苗m棵，总费用为w元，则购买甲种树苗
600-m
棵，
∵要求购买时，甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，
学科网（北京）股份有限公司ì600-m£2m
í
∴î600-m>0
，
∴
200£m<600，
w=30600-m+90%´40m=6m+18000
由题意得： ，
∵一次函数w=6m+18000中的6>0，
∴在200£m<600内，w随m的增大而增大，
∴当m=200时，w的值最小，
此时600-m=600-200=400，
答：购买甲种树苗400棵，乙种树苗200棵，总费用最少．
4．某商品在电商平台上销售，其进价为每件40元．市场调研显示，当售价为每件80元时，每天能售出20
件．为了促销并减少库存，商家决定降价销售．每降低1元的售价，每天就能多售出4件商品．
(1)商家希望每天通过销售该商品获得1400元的利润．为了达到这一利润目标，则售价应该降低多少元？
(2)在降价促销的策略下，商家每天能够获得的最大利润是多少元？
【答案】(1)售价应降低30元
(2)商家每天获得的最大利润为2025元
【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用． 找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次
函数关系式是解题的关键．
80-x-40 20+4x
（1）设售价应降低x元，则每件的销售利润为 元，每天可售出 件，根据总利润=每件
的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可
求解．
（2）设商家每天获得的利润为w元，根据总利润=每件的销售利润×日销售量，列出w关于x的二次函数关
系，然后利用二次函数性质求解即可．
【详解】（1）解：设售价应降低x元，由题意得．
(80-x-40)(20+4x)=1400
，
\x2-35x+150=0，
解得x 1 =5， x 2 =30 ，
学科网（北京）股份有限公司又Q要减少库存，
\x=30，
答：售价应降低30元．
（2）解：设商家每天获得的利润为w元，
\w=(80-x-40)(20+4x)
=(40-x)(20+4x)
=-4x2+140x+800
é æ35ö 2 æ35ö 2ù
=-4êx2-35x+ç ÷ -ç ÷ ú+800
êë è 2 ø è 2 ø úû
．
æ 35ö 2
=-4çx- ÷ +2025
è 2 ø ，
35
x=
\当 2 时， w max =2025 元，
答：商家每天获得的最大利润为2025元．
5．（2025·山东烟台·一模）年初随着电影《哪吒之魔童闹海》的热播，与之相关的手办成了许多人热衷的
收藏品．学校动漫社团的同学们也准备团购一批哪吒和敖丙的手办用于收藏，询价后得知，哪吒手办的单
价是敖丙手办单价的1.2倍．经统计，计划购买哪吒手办的数量比敖丙手办的数量多6个，购买哪吒手办共
需1200元，敖丙手办共需760元．
(1)分别求出哪吒手办和敖丙手办的单价；
(2)社团与商家协商给出团购政策：哪吒手办的数量若超过20个，则其单价可以降低4元；敖丙手办的数量
若超过20个，则可以打九折销售．同学们现有1850元，请通过计算判断能否购买到原来统计的手办．若
能，写明购买方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)哪吒手办的单价为48元，敖丙手办的单价为40元；
(2)不能购买到原来统计的手办，理由见解析
【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用，根据题意列出方程是解题的关键；
（1）设敖丙手办的单价为x元，则哪吒手办的单价为1.2x元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解；
（2）先求得原计划购买的数量，按照团购方案进行计算，与1850比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：设敖丙手办的单价为x元，则哪吒手办的单价为1.2x元，根据题意得，
1200 760
- =6
1.2x x
学科网（北京）股份有限公司解得：x=40
经检验x=40是原方程的解，且符合题意，
1.2x=1.2´40=48（元）
答：哪吒手办的单价为48元，敖丙手办的单价为40元；
（2）解：不能购买到原来统计的手办，理由如下：
1200 760
=25 =19
原计划购买哪吒手办 48 个，购买敖丙手办 40 个，
25´48-4+19´40=1860>1850
依题意，
∵敖丙手办的数量若超过20个，则可以打九折销售．
25´48-4+21´40´0.9=1856>1850
∴购买敖丙手办21个，则需要
∴不能购买到原来统计的手办.
押题猜想五 规律探究
限时：4min
（改编）2025年五一节期间，中国无人机表演团队震撼全球，6000架无人机编队划破夜空，展示了中国“智
造”实力．无人机表演并非简单的编程或灯光秀，而是涉及到多项技术的深度融合．这其中就包括了精准的
定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“®”方向
飞行，P0,0，P 0,1，P1,1，P 1,-1 …根据这个规律，点P 的坐标为（ ）
1 2 3 4 2025
A．(-505,506) B．(-506,-506) C．(506,-506) D．(506,506)
学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨迹，
发现以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律．
根据各个点的位置关系，可得点P 在第四象限的角平分线上，点P 在第三象限的角平分线上，点P 在
4n 4n+1 4n+2
直线y-x+1x0的图象上，点P 在第一象限的角平分线上，且20254506 1，再根据第四项象限
4n+3
内点的符号得出答案即可．
【详解】解：∵P0,0，P 0,1，P1,1，P 1,-1，P-1,-1，P -1,2，P 2,2，P3,-3，
1 2 3 4 5 6 7 8
P -3,-3，P -3,3，P 4,4，……，
9 10 11
由此发现：点P 在第四象限的角平分线上，点P 在第三象限的角平分线上，点P 在直线y-x+1x0
4n 4n+1 4n+2
的图象上，点P 在第一象限的角平分线上，
4n+3
∵20254506 1，
∴点P 在第三象限的角平分线上，
2025
∴点P -506，-506．
2025
故选：B．
押题解读
本考点为必考考点，规律探究是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题的形式出现。并且难度较大，
易失分，往往是选择题、填空题中的压轴题。
1．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2025个图案中的“ ”的个数是（ ）
A．6072 B．6074 C．6076 D．6068
【答案】C
【分析】
学科网（北京）股份有限公司根据题意可得第n个图案中的“ ”的个数为(3n+1)个，即可求解．
【详解】
解：∵第1个图案中的“ ”的个数13+14（个），
第2个图案中的“ ”的个数23+17（个），
第3个图案中的“ ”的个数33+110（个），
…，
第2025个图案中的“ ”的个数32025+16076（个），
故选：C．
【点睛】本题考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律．
2．观察下列算式：31 =3，32 =9，33 =27，34 =81，35 =243，36 =729…，根据你观察发现的规律，32025
的个位上的数字应是 ．
【答案】3
【分析】本题考查数字的变化类、尾数的特征，解答本题的关键是明确题意，发现个位数字的变化特点，
求出相应数据的个位数字．根据题目中的数据，可以发现个位数字的变化特点，从而可以得到32024的个位
数字．
【详解】解： 31 =3，
Q
32 =9，
33 =27，
34 =81，
35 =243，
36 =729，
¼，
\这列数的个位数字依次3，9，7，1，循环出现，
20254506 1，
Q
32025的个位数字是3，
故答案为：3
1 1
3、数a是不为1的有理数，我们把 称为a的差倒数，如：2的差倒数是 =-1，-1的差倒数是
1-a 1-2
学科网（北京）股份有限公司1 1 1
= ．已知a =- ，a 是a 的差倒数，a 是a 的差的倒数，……，以此类推，则a ．
1-(-1) 2 1 3 2 1 3 2 2025
【答案】 4
【分析】此题考查数字的变化规律，根据差倒数的定义分别求出前几个数，不难发现，每3个数为一个循
环组依次循环，用2025除以3，根据余数的情况确定出与a 相同的数即可得解．
2025
1
【详解】解：a =- ，
1 3
1 1 3
a = = =
2 1-a æ 1ö 4，
1 1-ç- ÷
è 3ø
1 1
a = = =4
3 1-a 3 ，
2 1-
4
1 1 1
a = = =- ，
4 1-a 1-4 3
3
1 3
∴每3个数为一个循环组依次循环，依次为- ， ，4；
3 4
∵20253675
∴a a 4，
2025 3
故答案为：4．
4．观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；……
根据这一规律计算：22025+22024+22023+…+22+2+1的结果是 ．
【答案】22026﹣1
【分析】观察一系列等式得到一般性规律，利用得出的规律（x﹣1）（xn+xn-1+…+x+1）=xn+1﹣1，把x=2，
n=2025代入计算即可，
【详解】解：根据题意得：（x﹣1）（xn+xn-1+…+x+1）=xn+1﹣1，
把x=2，n=2025代入得，
22025+22024+22023+…+22+2+1
=（2﹣1）（22025+22024+22023+…+22+2+1），
=22026﹣1．
故答案为：22026﹣1．
学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了平方差公式和多项式乘法公式在计算中的应用，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．
5、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线OP与x轴的夹角为30°，点B 在x轴上，且OB =2，
1 1
过点B 作BA ^OP交OP于点A ，以AB 为边在AB 右侧作等边三角形ABC ；过点C 作OP的垂线分别
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
交x轴、OP干点B 、A ，以A B 为边在A B 的右侧作等边三角形ABC ，过点C 作OP的垂线分别交x
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
轴、OP于点B 、A ，以A ，B 为边在AB 的右侧作等边三角形ABC ，…，按此规律进行下去，则点A
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
的纵坐标为 ，点A 的纵坐标为 ．
2025
9 3 32024 3
【答案】
8 22025
【分析】根据特殊直角三角形的性质，求出OA ，OA ，OA ，…，可得点A ，A ，A 的纵坐标，从而得A
1 2 3 1 2 3 n
的纵坐标，即可求出答案．
【详解】解：∵BA ^OP，
1 1
∴ÐOAB =90°，
1 1
∵ÐPOB =30°，OB =2，
4 1
1
∴△ABC 的边长AB = OB =1，OA = 22-12 = 3，
1 1 1 1 1 2 1 1
1 3
∴点A 的纵坐标为 OA = ，
1 2 1 2
∵等边三角形ABC ，
1 1 1
∴AB = AC =1，ÐBAC =60°，
1 1 1 1 1 1 1
∵ÐOBA =60°，
1 1
∴ÐBAC =ÐOBA ，
1 1 1 1 1
学科网（北京）股份有限公司∴AC ∥x轴，
1 1
∴ÐA AC =ÐPOB =30°，
2 1 1 4
∵ÐAAC =90°，
1 2 1
1 3
∴AC = ，AA = ，
2 1 2 1 2 2
3 3 3
∴OA =OA +AA = 3+ = ，
2 1 1 2 2 2
1 3 3 3 3
∴点A 的纵坐标为 OA = ，AC = A B = OA = ，
2 2 2 4 2 2 2 2 3 2 2
3 3
同理得：A A = ，
2 3 4
3 3 3 3 9 3
∴OA =OA +A A = + = ，
3 2 2 3 2 4 4
1 9 3
∴点A 的纵坐标为 OA = ，
3 2 3 8
…，
3n-1 3
∴点A 的纵坐标为 ，
n 2n
22024 3
∴点A 的纵坐标为 ，
2025 22025
9 3 32024 3
故答案为： ， ．
8 22025
【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律
的方法，属于中考常考题型．
押题猜想六 统计与概率
限时：3min
（改编） 湖南某所初级中学为重点抓好学生“防溺水”安全教育，对部分学生就安全知识的了解程度进行了
随机抽样调查，并绘制了如图所示的两幅统计图，形成如下报告：
学科网（北京）股份有限公司结合调查信息，回答下列问题：
(1)本次调查共抽查了______名学生，其中“基本了解”安全知识的学生人数是______；
(2)若该校有1000名初中生，请估计该校“非常了解”安全知识的人数约有______；
(3)某班有3名男生和1名女生参加“防溺水安全比赛”的选拔，两名学生被选中，则恰好选中1名男生和1
名女生的概率是______；
(4)请你就如何提高防溺水安全意识向该校提一条合理建议．
【答案】(1)200，80
(2)100
1
(3)
2
(4)见解析
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率；
（1）根据条形统计图得出基本了解的人数，用基本了解的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数；
（2）根据扇形统计图与条形统计图得出“非常了解”安全知识的人数，再根据样本估计总体即可求解；
（3）画树状图求概率即可求解；
（4）根据统计图可得了解很少和不了解的人数占比较大，加大安全教育，言之合理即可求解．
【详解】（1）解： 80¸40%=200人，故此次抽查的学生总数为200人，
基本了解的人数为80人，
故答案为：200，80．
（2）解：不了解的占比为20%，人数为200´20%=40人，
∴非常了解的人数为：200-80-60-40=20人
20
1000´ =100（人）
200
故答案为：100．
学科网（北京）股份有限公司（3）解：画树状图如图，
6 1
总共有12种等可能情况，满足一男一女的有6种情况， = ；
12 2
1
恰好有1名男生和1名女生的概率为 ．
2
1
故答案为： ．
2
（4）由统计图可知，了解很少和不了解的人数占比较大，建议学校加大宣传，开展好“防溺水”安全教
育．（答案不唯一）．
押题解读
本考点为必考考点，统计与概率是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题、解答题的形式出现。这
些题都是基础题，难度不大，易得分，每年中考都10-14分。
1、学校举行“强国有我，筑梦未来”演讲比赛，由7名学生组成评委组．小明统计了每位评委对某参赛选手
的评分并制成如下表格．如果以去掉一个最高分和一个最低分后其他5名评委的平均分记为选手的最后得
分，那么表中的数据一定不发生变化的是（ ）
众数 中位数 平均数 方差
8.6 8.4 8.5 0.25
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
【答案】C
【分析】本题考查了方差，算术平均数，中位数和众数，解题的关键是了解中位数、平均数、众数及方差
的定义，难度不大．根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一
个最低分不影响中位数．
【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，而方差，众数和平均数均可能发生变化．
故选：C．
2．国产动画电影《哪吒之魔童闹海》的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象，以顶尖的视效技术讲述创
学科网（北京）股份有限公司新的新时代下的哪吒故事，成为无数观众的春节档首选．截至3月17日，《哪吒之魔童闹海》全球票房已
突破150亿元．本周末，小华和小婷计划再看一遍《哪吒之魔童闹海》，他们发现在手机APP上提供了4
种电影厅：A．杜比影院，B．IMAX 激光厅，C．CINITY厅，D．剧院式巨幕厅．二人决定从上述4种电
影厅中随机选择1种进行观影，则他们都选中“剧院式巨幕厅”的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
4 2 16 8
【答案】C
【分析】本题考查列表或画树状图法求概率，先列出所有可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用概
率公式解题即可．
【详解】解：由题意画树状图如下，
可能出现的结果有16种，他们都选中“剧院式巨幕厅”的情况有1种，
1
∴他们都选中“剧院式巨幕厅”的概率是 ．
16
故选：C．
3．下列说法正确的有（ ）
（1）了解某市70岁以上老年人的健康状况适合普查；
（2）为了了解我市今年9000名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了500名考生的数学成绩进
行统计．其中500名考生的数学成绩是总体的一个样本；
（3）袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，
在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出一个球，那么摸出黑球比摸出白球的可能性大；
（4）甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，S 2>S 2，则甲的成绩比乙稳定．
甲 乙
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【分析】本题考查了数据的收集，概率和方差，根据普查的特点、样本的定义、概率的意义及方差的意义
逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：（1）了解某市70岁以上老年人的健康状况适合抽样调查，该选项说法错误；
（2）为了了解我市今年9000名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了500名考生的数学成绩进
学科网（北京）股份有限公司行统计．其中500名考生的数学成绩是总体的一个样本，该选项说法正确；
（3）袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无其他差别，
在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出一个球，那么摸出黑球比摸出白球的可能性大，该选项说法正确；
（4）甲乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，S 2>S 2，则乙的成绩比甲稳定，该选项说法错误；
甲 乙
综上，说法正确的有2个，
故选：B．
4.【项目背景】青少年时期是人生中好奇心最为旺盛的阶段，通过鼓励他们探索未知领域，可以有效激发其
对科学的兴趣和热情，这种内在动力将推动他们在未来不断追求新知．
【数据搜集与整理】为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某校开展“科学小博士”知识竞赛，现随机
抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学
生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：
D:60£x<70,C:70£x<80,B:80£x<90,A:90£x£100），部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89
【数据分析与运用】请根据以上信息，解答下列问题；
(1)任务1：求所抽取的学生成绩为C等级的人数，并补全条形统计图；
(2)任务2：求所抽取的学生成绩的中位数；
(3)任务3：请计算扇形统计图中“A组”所在扇形的圆心角的度数；
(4)任务4：该校七年级共有600名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
【答案】(1)7人，见解析
(2)85分
(3)120°
学科网（北京）股份有限公司(4)200人
【分析】（1）利用B等级的人数除以其所占的百分比即可得到结论，利用样本容量的意义，根据计算补图
即可．
（2）根据中位数的定义计算解答即可；
（3）根据圆心角等于所占百分比乘以周角，计算即可．
（4）根据样本估计整体的思想计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，得12¸40％=30（人），
C等级的人数为30-12-10-1=7（名）．
补图如下：
．
（2）解：根据题意，得中位数是第15个，第16个数据的平均数，
∵从小到大排序为：80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89
第15个，第16个数为84，86，
84+86
故中位数为 =85．
2
10
（3）解：A等级所占圆心角为：360°´ =120°．
30
10
（4）解：根据题意，得600´ =200（人）
30
答：成绩为A等级的有200人．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数的计算，圆心角计算，样本容量的计算，样本估计
总体，读懂统计图，熟练掌握圆心角，样本容量的计算是解题的关键．
5．人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是DeepSeek-V3上线后，在知识类任务上水平显著提升，生
成速度大幅提高．某校为了解本校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采
用百分制，得分越高，则表明对人工智能的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中分别随机抽取
20名学生的测试成绩（单位：分）进行整理和分析（得分用x表示，且得分为整数，共分为5组．A组：0£x<60，
学科网（北京）股份有限公司B组：60£x<70，C组：70£x<80，D组：80£x<90，E组：90£x£100）．下面给出了部分信息．
八年级被抽取学生的测试得分的所有数据如下：
50，51，59，65，66，73，76，79，83，84，84，84，84，86，88，88，92，93，97，98．
九年级被抽取学生的测试得分中D组包含的所有数据如下：
84，85，86，88，88，88，88，89．
八、九年级被抽取学生的测试得分统计表
平 均 中 位 众
数 数 数
八 年
79 84 a
级
九 年
79 b 88
级
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)上述图表中，a= ___________，b=___________，m= ___________．
(2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高，请说明理
由．
(3)本次调查中，八年级E组的四名学生中男女生各有2人，现从这4人中随机抽取两人参加全校“人工智能
知识宣讲”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)84，84.5，40
(2)九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高，理由见解析
2
(3)3
【分析】（1）根据频数除以样本容量等于百分比，中位数，众数的定义解答即可；
（2）利用中位数进行决策解答即可；
学科网（北京）股份有限公司（3）画树状图，求解即可．
【详解】（1）解：∵84出现了4次，最多，
∴众数为a=84，
∵A等级有：20´10%=2 (人)，B等级有20´15%=3 (人)，C等级有20´20%=4 (人)，D等级有8人且成绩
为84，85，86，88，88，88，88，89．
∵中位数是第10个数据，第11个数据的平均数，
84+85
b= =84.5
∴中位数是 2 ，
8
=40%=m%
根据题意，得20 ，
故m=40．
故答案为：84，84.5，40．
（2）解：我认为九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高．
理由如下：Q八、九年级成绩的平均数相同，但九年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数，且九年级
成绩的众数也大于八年级成绩的众数，
\九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高．
（3）解：根据题意，有女生2名，男生2名．
画树状图如图，共有12种等可能情况，一男一女的可能性有8种，
8 2
= .
故一男一女的的概率是12 3
【点睛】本题考查了百分比的计算，中位数，众数的计算和应用，利用画树状图或列表的方法求解随机事
件的概率，掌握以上基础的统计知识是解题的关键．
押题猜想七 锐角三角函数的应用
限时：5min
（改编） 生活中人们常常利用定滑轮来升降物体，如图①，在水平地面上，张宏用一根绕过定滑轮的绳子
将物体竖直向上提起，如图②，物体的初始位置在点C处，张宏在点A处将绳子拉直，测得点A到BC所
学科网（北京）股份有限公司在直线的距离为6m，在A处测得定滑轮点B的仰角为60°，张宏后退到点D处，测得定滑轮点B的仰角为
37°，此时物体上升到点E处，点C、A、D在同一直线上，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变，
求物体上升的高度CE．（结果精确到0.1m，参考数据：
sin37o »0.60，cos37o »0.80，tan37o »0.75，3»1.73）
【答案】物体上升的高度CE约为5.3m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用（仰角俯角问题），熟练掌握仰角的定义及解直角三角形的相关
计算是解题的关键．
依题意得AC 6m，ÐCAB=60°，ÐCDB=37°，ÐACB=90°，由直角三角形的两个锐角互余可得
ÐABC =30°，由含30度角的直角三角形的性质可得AB2AC12m，分别解Rt
V
ABC,Rt
V
BCD，得出
BC,AB,BD的长，由于绳子的总长不变，即BC+BA=BE+BD，，然后根据CE=BC-BE即可求出物体
上升的高度CE．
【详解】解：在Rt△ABC中，AC 6m，ÐCAB=60°，
依题意得：ÐACB=90°，
\ÐABC =90°-ÐCAB=90°-60°=30°，
AB2AC12m，
3
BC ABsinCAB12sin60°12 6 361.7310.38m，
2
在Rt△BCD中，ÐCDB=37°，
BC
\sinÐCDB= ，
BD
BC 10.38 10.38
BD 17.3m，
sinCDB sin37° 0.60
Q
绳子的总长不变，即BC+BA=BE+BD，
BEBC+BA-BD10.38+12-17.35.08m，
CE BC - BE 10.38-5.08 5.3m ，
答：物体上升的高度CE约为5.3m．
学科网（北京）股份有限公司押题解读
本考点为必考考点，锐角三角函数的应用是比较重要的考查内容，常以填空题、解答题的形式出现。现
在主要考察与探究题结合在一起，难度较大，易失分，所以认真审题，构造直角三角形或矩形（正方形）
来解题。
1、“一缕清风银叶转”，某市大型风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，
造福千家万户，某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成
的角为120°，当其中一片风叶OB与塔干OD叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O
的仰角ÐOED=45°，风叶OA的视角ÐOEA=30°．
(1)已知α，β两角和的余弦公式为：sina+b=sinacosb+cosasinb，请利用公式计算sin75°的值；
(2)求风叶OA的长度．
6+ 2
【答案】(1)
4
(2)风叶OA的长度为 60 3-60 米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键．
（1）根据题中公式计算即可；
（2）过点A作AF^DE，连接AC，OG^ AC，先根据题意求出OE，再根据等腰对等边证明OE= AE，
结合第一问的结论用三角函数即可求EF，再证明四边形DFAG是矩形，进一步计算即可求出．
【详解】（1）解：由题意可得：sin75°=sin45°+30°，
∴sin45°+30°=sin45°cos30°+cos45°sin30°
2 3 2 1
= ´ + ´
2 2 2 2
学科网（北京）股份有限公司6+ 2
= ；
4
（2）解：过点A作AF^DE，连接AC，OG^ AC，如图所示，
由题意得：DE=60米，ÐOED=45°，
DE 60
OE= = =60 2
∴ cos45° 2 米，ÐDOE=45°，OD=DE=60米，
2
∵三片风叶两两所成的角为120°，
∴ÐDOA=120°，
∴ÐAOE=120°-45°=75°，
又∵ÐOEA=30°，
∴ÐOAE=180°-75°-30°=75°，
∴ÐOAE=ÐAOE，
∴OE=AE=60 2米，
∵ÐOEA=30°，ÐOED=45°，
∴ÐAED=75°，
6+ 2
由（1）得：sin75°= ，
4
∴AF =AE´sin75°=30 3+30米，
∵AF^DE，OG^ AC，OD^DE，
∴四边形DFAG是矩形，
∴OG=DG-OD=AF-OD=30 3-30米，
∵三片风叶两两所成的角为120°，且三片风叶长度相等，
∴ÐOAG=30°，
∴OA=2OG= 60 3-60 米，
∴风叶OA的长度为 60 3-60 米．
2、某学校因增设了篮球场，现购进一些篮球架．如图1是某款篮球架，图2是其示意图，已知立柱OA垂直
学科网（北京）股份有限公司地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG^CD交OA于点G ，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE
在同一直线上，OA=2.5m，AD=0.8m，ÐGAC =58°．
(1)求ÐAGC的度数．
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3m处，那么他能挂上篮
网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：cos58°»0.53）
【答案】(1)32°；
(2)该运动员能挂上篮网，理由见解析．
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、平行线的性质、锐角三角函数，解决本题的关键是作辅助线
构造直角三角形，利用直角三角形的性质求出OM 的长度，再根据OM 的长度判断能否挂上篮网．
1根据CG^CD可知ÐACG=90°，根据直角三角形两锐角互余可得ÐAGC =90°-58°=32°；
2延长OA,ED交于点M ，根据对顶角相等可知ÐDAM =ÐGAC =58°，利用锐角三角函数可求出
AM =0.424m，从而可得OM =OA+AM =2.924m<3m，所以该运动员能挂上篮网．
【详解】（1）解： CG^CD，
Q
\ÐACG=90°，
ÐGAC =58°，
Q
\ÐAGC =90°-58°=32°；
（2）解：该运动员能挂上篮网，
理由如下：
学科网（北京）股份有限公司如图，延长OA,ED交于点M ，
Q
OA^OB，DE
P
OB，
\ÐDMA=ÐO=90°，
又 ÐDAM =ÐGAC =58°，
Q
\在Rt△ADM 中，AM = AD·cos58°»0.8´0.53=0.424m，
\OM =OA+AM =2.5+0.424=2.924m<3m，
\该运动员能挂上篮网．
3、某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照进
落地窗．如图，已有的遮阳棚AB=130cm，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度BC =30cm，遮阳棚的固定高
12
度AD=240cm，sinÐBAD= ．
13
(1)如图1，求遮阳棚上的点B到墙面AD的距离；
(2)如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是60°（光线EC与地面的夹角），请通过计
算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（结果精确到0.1，参考数据 3»1.73）
【答案】(1)120cm
(2)光线不能照射到商户内，方案可行，见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
12
（1）过点B作BH^AD于H ，根据sinÐBAD= 代入数据求出BH的值即可；
13
学科网（北京）股份有限公司（2）延长光线EC交DG于点F ，延长BC交DG于点I ，利用勾股定理求得AH = AB2 -BH2 =50，再根
CI
据tanÐCFI = = 3，求出FI 的长与DI比较大小即可得出结论．
IF
【详解】（1）解：作BH^AD于H ，
12
Q
在Rt△AHB中，AB=130，sinÐBAD= ，
13
\BH = AB×sinÐBAD
12
=130´
13
=120cm．
即的B点到墙面AD的距离为120cm；
（2）解：如图，延长光线EC交DG于点F ，延长BC交DG于点I ，
可得ÐCFI =60°，CI ^DG，DI =BH =120cm，
Q
在Rt△AHB中，AB=130cm，BH =120cm，
\AH = AB2-BH2 = 1302-1202 =50cm，
由题意，四边形HDIB是矩形，则BI =HD，
由BC =30cm可知，CI =240-50-30=160cm，
Q
在Rt△CIF中，tan60°= 3，
CI 160
\ = 3即： = 3，
IF IF
\IF »92.5cm，
IF -3时，y
随x的增大而增大，可得m-3时，y随x的增大而增大，
∵-3<-1<2，
∴m0；②b2-4ac>0；③4a+c>0；④若t为任意实数，则有a-b£at2+bt；⑤当图象经过点ç ,2÷
è2 ø
3
时，方程ax2+bx+c-2=0的两根为x,x x 0，利用抛物线对称轴的方
程得到b = 2a > 0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c<0，则可对①进行判断；根据判别式的意义对②
进行判断；利用x=1时得到a+b+c>0，把b=2a代入得到3a+c>0，然后利用a>0可对③进行判断；利
用二次函数当x=-1时有最小值可对④进行判断；由于二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为
æ1 ö æ 5 ö 5
ç ,2÷，利用对称性得到二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的另一个交点为ç- ,2÷，从而得到x =- ，
è2 ø è 2 ø 1 2
1
x = ，则可对⑤进行判断．
2 2
【详解】解： 抛物线开口向上，
Q
\a>0，
b
抛物线的对称轴为直线x=-1，即- =-1，
Q
2a
\b = 2a > 0，
学科网（北京）股份有限公司抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
Q
\c<0，
\abc<0，故①错误；
Q
抛物线与x轴有2个交点，
\ =b2-4ac>0，故②正确；
V
x=1时，y>0，
Q
\a+b+c>0，
而b=2a，
\3a+c>0，
a>0，
Q
\4a+c>0，故③正确；
x=-1，y有最小值，
Q
\a-b+c£at2+bt+c（t为任意实数），
即a-b£at2+bt，故④正确；
æ1 ö
Q
图象经过点ç
è2
,2÷
ø
时，方程ax2+bx+c-2=0的两根为x
1
，x
2
x
1
0 B．b2-4ac<0
C．4a+c>0 D．当-10，故选项B结论错误，不符合题意；
∵该函数图象开口向上，对称轴为直线x=1，
b
∴a>0，- =1，即b=-2a，
2a
∵当x=-1时，y=a-b+c>0，
∴3a+c>0，即4a+c>a>0，故选项C结论正确，符合题意；
∵该函数图象与x轴交点在-1和0之间，其对称轴为直线x=1，
∴该函数图象与x轴的另一个交点在1和3之间，
∴当-10，故选项D结论错误，不符合题意；
故选：C．
3．已知二次函数y=ax2+bx+ca¹0的部分图象如图所示，图象经过点0,2，其对称轴为直线x=-1．下
列结论：①3a+c>0；②若点-4,y ，3,y 均在二次函数图象上，则y > y ；③关于x的一元二次方程
1 2 1 2
ax2+bx+c=9有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c>2的x的取值范围为-20时，抛物线向上开
口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物
线与y轴交点；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据抛物线开口向下可得a<0，根据抛物线的对称轴可推得b=2a，根据x=1时，y<0，即可得到
a+b+c<0，推得3a+c<0，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点-4,y 到对称轴的距离小于点3,y
1 2
到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得y > y ，故②正确；根据抛物线的图象可知二次函数
1 2
y=ax2+bx+c与直线y=9没有交点，推得关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9没有实数根，故③错误；
根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点-2，2，即可得到ax2+bx+c>2时，x的取值范围
-2-1时，y随x的增大而减小，
学科网（北京）股份有限公司∵ -1--4 =3， -1-3 =4，
即点-4,y 到对称轴的距离小于点3,y 到对称轴的距离，
1 2
故y > y ，故②正确；
1 2
③由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c与直线y=9没有交点，
即关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9没有实数根，故③错误；
④∵函数图象经过0,2，对称轴为直线x=-1，
∴二次函数必然经过点-2，2，
∴ax2+bx+c>2时，x的取值范围-20；③若x和x 是关于x的一元二次方程ax2+bx+2c=0的两根，则
1 2
æ 1 ö 1 5
x 1 2 +x 2 2 =16；④抛物线上有两点ç è - 2 ,y 1 ÷ ø ，t,y 2 ．若y 1 < y 2 ，则t的取值范围是- 2 0即可判定①；由抛物线交y轴与y
轴的正半轴，则c>0，当x=3时，则9a+3b+c=0，即c=3a；又9a+3b+2c=9a+3b+c+c=c>0，即
学科网（北京）股份有限公司可判定②；根据根与系数的关系可得x 1 +x 2 =- b a ,x 1 x 2 = 2 a c ，将x 1 2+x 2 2 =x 1 +x 2 2-2x 1 x 2 = æ ç è - b a ö ÷ ø 2 -2´ 2 a c ，
3
将b=-2a、c=3a代入计算化简即可判定③；根据二次函数的性质可得 t-1 < ，然后求解即可判定④；
2
分AB= AC =4、AB=BC =4、AC =BC分别求a的值即可判定⑤．
【详解】解：由抛物线开口方向向下，则a<0，
-1+3 b
该抛物线的对称轴为：x= =1，即- =1，则b=-2a>0，即①错误；
2 2a
由抛物线交y轴与y轴的正半轴，则c>0，
当x=3时，则9a+3b+c=0，即9a+3´-2a+c=0，解得：c=3a
由9a+3b+2c=9a+3b+c+c=c>0，即②正确；
b 2c
由x和x 是关于x的一元二次方程ax2+bx+2c=0的两根，则x +x =- ,xx = ，
1 2 1 2 a 1 2 a
所以x2+x2 =x +x 2-2xx ，
1 2 1 2 1 2
b c æ bö 2 2c
将x 1 +x 2 =- a ,x 1 x 2 = a 代入可得 ç è - a ÷ ø -2´ a ，
æ -2aö 2 2´3a
将b=-2a、c=3a代入可得： ç- ÷ -2´ =4+12=16，即③正确；
è a ø a
-1+3
因为抛物线的对称轴为：x= =1，
2
所以当x<1时，y随x的增大而增大；当x>1时，y随x的增大而减小，
æ 1 ö 3
因为点ç- ,y ÷到对称轴的距离为 ，
è 2 1 ø 2
3 3 1 5
要使y < y ，则点t,y 到对称轴的距离小于 ，即 t-1 < ，解得：- 0；②4a+c<0；③若Ax,m,Bx ,m是抛物线上的两点，则当x=x +x 时，y=c；④若方程
1 2 1 2
ax+4x-2=-2的两个根为x，x ，且x 0，结合对称轴为直线x=- =-1，易得b=2a<0，即可判
2a
断结论①；首先确定该抛物线与x轴的另一交点为2,0，故当x=2时，可有4a+2b+c=8a+c=0，易得
4a+c=-4a>0，即可判断结论②；由抛物线的对称性可知x +x =-2，故当x=x +x 时，可得
1 2 1 2
y=4a-2b+c=4a-2´2a+c=c，即可判断结论③；若方程ax+4x-2=-2的两个根为x，x ，则x，
1 2 1
x 为抛物线与直线y=-2的两个交点的横坐标，结合图形即可判断结论④．
2
【详解】解：由图像可知，该抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0,c>0，
b
又∵对称轴为直线x=- =-1，
2a
∴b=2a<0，
∴abc>0，故结论①正确；
∵该抛物线过点-4,0，对称轴为直线x=-1，
∴该抛物线与x轴的另一交点为2,0，
∴当x=2时，可有4a+2b+c=4a+2´2a+c=8a+c=0，
∴c=-8a，
∴4a+c=-4a>0，故结论②错误；
∵Ax,m,Bx ,m是抛物线上的两点，
1 2
学科网（北京）股份有限公司∴由抛物线的对称性可知x +x =-1´2=-2，
1 2
∴当x=x +x 时，y=4a-2b+c=4a-2´2a+c=c，
1 2
故结论③正确；
∵该二次函数图像与x轴交于-4,0，2,0，
∴y=ax2+bx+c=ax+4x-2，
若方程ax+4x-2=-2的两个根为x，x ，
1 2
则x，x 为抛物线与直线y=-2的两个交点的横坐标，
1 2
∵x 0，即m>-3，
F
æ 2m+6ö
\2m+6=3´ç- ÷-2，解得m=-1或-5（舍），
è m-1 ø
\x =2´-1+6=4，
F
1
当x=4时，y= 4-22-8=-6，
2
\F4,-6．
学科网（北京）股份有限公司押题猜想十 二次函数与多边形、角度存在性的问题
限时：5min
（改编） 定义一种新的几何变换称为“抛物线对称变换”：对于任意一点Px,y，其关于抛物线
y=ax2+bx+c的对称点P¢同时满足以下条件：①点P¢在抛物线的对称轴上；②PP¢的中点在抛物线上．如
图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为A1,0，另一个交点为B，
与y轴交于点C0,3，顶点为D．
(1)求抛物线L的对称轴及顶点坐标；
(2)若点P2,1，则点P关于抛物线L的对称点P¢是否存在？若存在，求出点P¢的坐标，若不存在，请说明
理由；
(3)若点P0,k关于抛物线L的对称点P¢存在．
①求k的取值范围，并求出所有满足条件的点P¢的坐标；
②平面内是否存在点Q，使得以点P、P¢、B、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，求点Q的坐标及k的
值，若不存在，请说明理由；
【答案】(1)对称轴为直线x=2，顶点坐标为2,-1
(2)存在，点P¢的坐标为2,-3
(3)①k为所有实数，点P¢的坐标为2,-k；②存在Q æ ç5,- 2 15ö ÷，k = 15 或Q æ ç5, 2 15ö ÷，k =- 15 ，
ç è 3 ÷ ø 3 ç è 3 ÷ ø 3
使得以点P、P¢、B、Q为顶点的四边形是菱形
【分析】（1）把点A1,0，点C0,3的坐标代入y=x2+bx+c，利用待定系数法求解即可；
æ 1+tö
（2）假设存在点P关于抛物线L的对称点P¢，结合题意可知P¢2,t，PP¢的中点ç2, ÷在抛物线上，进
è 2 ø
而求得t，即可得点P¢的坐标；
学科网（北京）股份有限公司æ k+tö
（3）①设点P0,k关于抛物线L的对称点P¢为2,t，得PP¢的中点为ç1, ÷，代入抛物线解析式可得
è 2 ø
t =-k，即可求解；
②由题意得B3,0，由①可知，P0,k，P¢2,-k，求得PB2 =9+k2，P¢B2 =1+k2，P¢P2 =4+4k2，分三
种情况当以点P、P¢、B、Q为顶点的四边形是菱形且PB=PP¢时，当以点P、P¢、B、Q为顶点的四边
形是菱形且PB=P¢B时，当以点P、P¢、B、Q为顶点的四边形是菱形且PP¢=P¢B时，结合菱形的性质分
别讨论即可求解．
【详解】（1）解：把点A1,0，点C0,3的坐标代入y=x2+bx+c，得，
ì1+b+c=0
í ，
îc=3
ìb=-4
解得í ，
îc=3
∴抛物线L的解析式为y=x2-4x+3=x-22-1，
∴对称轴为直线x=2，顶点坐标为2,-1．
（2）存在，点P¢的坐标为2,-3，理由如下：
假设存在点P关于抛物线L的对称点P¢，
∵点P¢在抛物线的对称轴上
∴P¢2,t，
又∵PP¢的中点在抛物线上，且P2,1，
æ 1+tö
∴ç2, ÷在抛物线上，
è 2 ø
对于y=x2-4x+3，当x=2，y=-1，
1+t
∴ =-1，解得t=-3，
2
∴点P¢的坐标为2,-3；
（3）①设点P0,k关于抛物线L的对称点P¢为2,t，
æ k+tö
∴PP¢的中点为ç1, ÷，
è 2 ø
∵PP¢的中点在抛物线上，
学科网（北京）股份有限公司k+t
∴ =12-4´1+3=0，
2
∴t =-k，
则k为所有实数，点P¢的坐标为2,-k；
æ 2 15ö 15 æ 2 15ö 15
②存在Qç4,- ÷，k = 或Qç4, ÷，k =- ，使得以点P、P¢、B、Q为顶点的四边形是菱
ç è 3 ÷ ø 3 ç è 3 ÷ ø 3
形，理由如下：
∵对称轴为直线x=2，A1,0，
∴B3,0，
由①可知，P0,k，P¢2,-k，
∴PB2 =32+k2 =9+k2，P¢B2 =3-22+k2 =1+k2，P¢P2 =22+2k2 =4+4k2，
当以点P、P¢、B、Q为顶点的四边形是菱形且PB=PP¢时，
ì 15 ì 15
ì9+k2 =4+4k2
ïk =
3
ïk =-
3
ï ï
ï ï ï
则íx +x =x +x ，解得íx =5 或íx =5 ，
P Q B P¢ Q Q
ï ï ï
î y P +y Q = y B +y P¢ ïy =- 2 15 ïy = 2 15
ïî Q 3 ïî Q 3
15 æ 2 15ö 15 æ 2 15ö
此时k = ，Qç4,- ÷或k =- ，Qç4, ÷；
3 ç è 3 ÷ ø 3 ç è 3 ÷ ø
当以点P、P¢、B、Q为顶点的四边形是菱形且PB=P¢B时，
则9+k2 =1+k2，此时方程无解，不存在k使得PB=P¢B；
当以点P、P¢、B、Q为顶点的四边形是菱形且PP¢=P¢B时，
则4+4k2 =1+k2，此时方程无解，不存在k使得PP¢=P¢B；
æ 2 15ö 15 æ 2 15ö 15
综上，存在Qç4,- ÷，k = 或Qç4, ÷，k =- ，使得以点P、P¢、B、Q为顶点的四边形
ç è 3 ÷ ø 3 ç è 3 ÷ ø 3
是菱形．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，中点坐标公式，菱形的性质，勾股定理等知识点，理
解新定义，利用分类讨论的数学思想是解决问题的关键．
学科网（北京）股份有限公司押题解读
本考点为必考考点，二次函数与多边形、角度存在性的问题是湖南中考比较重要的考查内容，常以解答
题的形式出现。这类题综合性强，相关联的知识较多，并且难度较大，易失分，往往是解答题中的压轴
题。
1．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C0,3，对称轴为直线x=1．点M
是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为m(0 5；
è 2 ø 2
②当以点A为圆心AP长为半径画圆时，如下图所示，
学科网（北京）股份有限公司æ 11 ö
假设交点M 坐标为ç- ,y÷，
è 2 ø
∴AM2 = æ ç-3+ 11ö ÷ 2 +0-y2 = 5 2
è 2 ø
11 11
解得y= 或y=- ，
2 2
æ 11 11ö æ 11 11ö
即M ç- , ÷,M ç- ,- ÷，
1ç
2 2
÷ 2ç
2 2
÷
è ø è ø
假设N a,b ,N a ,b ，
1 1 1 2 2 2
∵N M ∥PA,N M =PA,N M ∥PA,N M =PA
1 1 1 1 2 2 2 2
11 11 11 11
∴a + =-3+4，b - =2；a + =-3+4，b + =2；
1 2 1 2 2 2 2 2
9 11 9 11
解得a =- ,b =2+ ；a =- ,b =2- ；
1 2 1 2 2 2 2 2
æ 9 11ö æ 9 11ö
所以此时N ç- ,2+ ÷,N ç- ,2- ÷；
1ç
2 2
÷ 2ç
2 2
÷
è ø è ø
③当AP为菱形的对角线时，作PA的垂直平分线，交对称轴于点M ，如下图所示，
3
学科网（北京）股份有限公司æ 11 ö
假设M ç- ,y ÷，
3 è 2 3 ø
∴M P2 =M A2
3 3
即 æ ç-3+ 11ö ÷ 2 +2-y 2 = æ ç- 11 +4 ö ÷ 2 +y 2
è 2 ø 3 è 2 ø 3
解得y =2
3
æ 11 ö
∴M ç- ,2÷
3 è 2 ø
假设N a ,b ，根据PN ∥M A,PN =M A得，
3 3 3 3 3 3 3
11
a +3=-4+ ,2-b =2，
3 2 3
3
解得a =- ,b =0，
3 2 3
æ 3 ö
所以此时N ç- ,0÷
3 è 2 ø
æ 9 11ö æ 9 11ö æ 3 ö
综上可得N 点坐标为ç
ç
- ,2+ ÷
÷
,ç
ç
- ,2- ÷
÷
或ç- ,0÷．
è 2 2 ø è 2 2 ø è 2 ø
3、已知抛物线y=ax2+bx+ca>0与x轴左、右交点分别为A、B，与y轴负半轴交于点C，坐标原点为
O，若OB=OC =3OA，S =6，点P是抛物线上的动点（点P在y轴右侧）．
VABC
(1)求抛物线的解析式；
(2)D是线段OC的中点，①当ÐOPC =45°时，请求出点P的坐标；②当ÐOPC =ÐOAD时，请求出点P
的坐标．
【答案】(1)y= x2-2x-3
学科网（北京）股份有限公司æ1+ 5 -5- 5ö
(2)①P3,0或Pç , ÷②P2,-3或P 1+ 3,-1
ç 2 2 ÷
è ø
【分析】（1）根据OB=OC =3OA，S =6，求出OA的长，进而求出A,B,C的坐标，待定系数法求出
VABC
函数解析式即可；
（2）①根据OB=OC，得到ÐOBC =ÐOCB=45°，进而得到ÐOPC =45°=ÐOBC，推出O,C,B,P四点共
圆，圆周角定理得到BC为圆的直径，取BC的中点E，则点E即为圆心，连接EP，设P m,m2-2m-3 m>0，
1 3 OD 3
结合勾股定理列出方程进行求解即可；②中点得到OD= OC = ，进而得到tanÐOAD= = ，取点
2 2 OA 2
OC 3
F2,0，连接CF，得到tanÐOFC = = ，进而得到ÐOPC =ÐOFC，同法①进行求解即可．
OF 2
【详解】（1）解：抛物线与y轴负半轴交于点C，且a>0，则：点A在y轴左侧，点B在y轴右侧：
∵OB=OC =3OA，
∴AB=OA+OB=4OA，
1
∴S = AB×OC =6OA2 =6，
VABC 2
∴OA=1（负值舍去）；
∴A-1,0，B3,0，C0,-3，
∴设抛物线的解析式为：y=ax+1x-3，把C0,-3代入解析式，得：-3=a0+10-3，
∴a=1，
∴y=x2-2x-3；
（2）①当∵OB=OC，
∴ÐOBC =ÐOCB=45°，
∵ÐOPC =45°=ÐOBC，
∴当点P与点B重合时，满足题意；此时：P3,0；
当点P与点B不重合时，则：O,C,B,P四点共圆，
∵ÐBOC =90°，
1
∴BC为圆的直径，取BC的中点E，则点E即为圆心，连接EP，则：EP = BC ，
2
学科网（北京）股份有限公司∵B3,0,C0,3，
æ3 3ö 3 2
∴BC=3 2，Eç ,- ÷，EP= ，
è2 2ø 2
设点P m,m2-2m-3 m>0，
æ3 ö 2 æ 3 ö 2 æ3 2ö 2
则： ç -m÷ +ç- -m2+2m+3÷ =ç ç ÷ ÷ ，
è2 ø è 2 ø è 2 ø
整理，得：m m2-m-1 m-3=0
1- 5 1+ 5
解得：m=0（舍去）或m=3（舍去）或m= （舍去）或m= ，
2 2
1+ 5 -5- 5
当m= 时，m2-2m-3= ，
2 2
æ1+ 5 -5- 5ö
∴Pç , ÷；
ç 2 2 ÷
è ø
æ1+ 5 -5- 5ö
综上：P3,0或Pç , ÷；
ç 2 2 ÷
è ø
②∵C0.-3，D为OC的中点，
1 3
∴OD= OC = ，
2 2
∵OA=1，
OD 3
∴tanÐOAD= = ，
OA 2
取点F2,0，连接CF，则：OF =2，
学科网（北京）股份有限公司OC 3
∴tanÐOFC = = ，
OF 2
∴ÐOFC =ÐOAD，
∵ÐOPC =ÐOAD，
∴ÐOPC =ÐOFC，
∴O,P,F,C四边共圆，
∵ÐCOF =90°，
1 æ 3ö
∴CF为圆的直径，取CF的中点H ，则HP= CF，Hç1,- ÷，
2 è 2ø
∵CF = 32+22 = 13，
13
∴HP= ，
2
设P n,n2-2n-3 ，
∴1-n2 + æ ç- 3 -n2+2n+3 ö ÷ 2 = æ ç ç 13ö ÷ ÷ 2 ，
è 2 ø è 2 ø
化简，得：n4-4n3+2n2+4n=n n2-2n-2 n-2=0，
解得：n=0（舍去）或n=2或n=1- 3（舍去）或n=1+ 3；
∴P2,-3或P 1+ 3,-1 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，四点共圆，圆周角定理的推论，
解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求
解，是解题的关键．
学科网（北京）股份有限公司押题猜想十一 几何中的多结论判定
限时：4min
（改编）如图，已知正方形ABCD的边长为6，P是对角线BD上一点，PE^BC于点E，PF ^CD于点F，
连接AP，EF．给出下列结论：①PD= 2EC；②AP=EF；③AP^EF；④EF的最小值为3 2；⑤△APD
一定是等腰三角形．其中正确结论的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据垂直的定义得到PEF PFC 90°，推出四边形PECF是矩形，根据矩形的性质得到
EC =PF ．根据正方形的性质得到ÐPDF =45°，求得△PDF 是等腰直角三角形，得到
PD= 2PF = 2EC，①正确；延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M．推出四边形BNPE是正方形，
ANPEPF ，根据全等三角形的性质得到AP=EF；故②正确；根据垂直的定义得到AP^EF，故③正
确；当CP^BD时，CP最小，即EF最小，此时 BPC是等腰直角三角形，斜边为BC6，于是得到EF
V
的最小值为3 2，故④正确；当ÐPAD=45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD
不是等腰三角形，故⑤错误．
【详解】解：∵PE^BC，PF ^CD，
∴PEF PFC 90°，
又∵ÐC =90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴EC =PF ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ÐPDF =45°，
∴△PDF 是等腰直角三角形，
∴PD= 2PF = 2EC，
故①正确；
学科网（北京）股份有限公司延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ÐABP=ÐCBD，
又∵NP^ AB，PE^BC，
∴四边形BNPE是正方形，ANPEPF ，
∴NP = EP，
∴AN =PF ，
在 ANP与△FPE中，
V
ìNP=EP
ï
íÐANP=ÐEPF，
ï
îAN =PF
∴V ANP≌ V FPESAS，
∴AP=EF；
故②正确；
ÐPFE=ÐBAP，
APN与 FPM中，ÐAPN =ÐFPM ，NAPPFM ，
V V
∴ÐPMF =ÐANP=90°，
∴AP^EF，
故③正确；
∵矩形PECF中，EF =CP，
∴当CP^BD时，CP最小，即EF最小，
此时 BPC是等腰直角三角形，斜边为BC6，
V
2
则CP BC 3 2，
2
∴EF的最小值为3 2，
故④正确；
学科网（北京）股份有限公司∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，ÐADP=45°，
∴当ÐPAD=45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故⑤错误．
综上，正确的有①②③④，一共4个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、垂线段最短、矩形的判定和性质，解决线段间的数量关系，可以
借助特殊三角形的性质求解，转化线段是解决本题的关键．
押题解读
本考点为必考考点，几何中的多结论判定是比较重要的考查内容，常以选择题、填空题的形式出现。并
且考试的知识点较多，难度较大，易失分，往往是选择题、填空题中的压轴题。
1．如图，在
V
ABC中，ÐA=90°，AB= AC，点D为斜边BC上的中点，点E，F 分别在直角边AB，AC
上运动（不与端点重合），且保持AE=CF，连接DE，DF，EF．设BE=m，CF =n，EF = p．在点E,F
的运动过程中，给出下面三个结论：
p 2m+n
① <1；②m2 =p+np-n；③ p最小值为 ．
m+n 2
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】A
【分析】题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，①由AB= AC，BE= AF =m得AE=CF =n，
根据点E，F分别在直角边AB，AC上运动（不与端点重合），则AF+AE>EF，由此可对结论①进行判
断；②根据ÐA=90°，AF =m，AE=n，EF = p，由勾股定理得：AF2+AE2 =EF2，由此可对结论②进行判
断；③连接AD，设AD = h，根据等腰直角三角形的性质得AD^BC，AD=CD=BD=h，由勾股定理得
1 2m+n 1
h2 = m+n2，即h= ，再由p2 =m2+n2得p2-h2 = a-b2 ³0，当且仅当m=n时，
2 2 2
学科网（北京）股份有限公司1 2m+n 1
a-b2 =0，此时p=h，则有p= ，当m¹n时， m-n2 ³0，此时p>h，则有
2 2 2
2m+n
p> ，由此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案．
2
【详解】解：①∵AB= AC，BE= AF =m，
∴AE=CF =n，
∵点E，F分别在直角边AB，AC上运动（不与端点重合），
∴AF+AE>EF，
即m+n>p，
p
∴ <1，故结论①正确；
m+n
②∵ÐA=90°，
∴在Rt AFE中，AF =a，AE=b，EF =c，
V
由勾股定理得：AF2+AE2 =EF2，
即m2+n2 = p2，
∴m2 = p2-n2 =p+np-n，故结论②正确；
③连接AD，设AD = h，如图所示：
在 ABC中，ÐA=90°，AB= AC，点D为斜边BC上的中点，
V
∴AD^BC，AD=CD=BD=h，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2 = AC2，
∴2h2 =m+n2，
1
∴h2 = m+n2，
2
2m+n
即h= ，
2
∵p2 =m2+n2，
1 1
∴p2-h2 = m2+n2 - m+n2 = m-n2 ³0，
2 2
学科网（北京）股份有限公司1
当且仅当m=n时，即点E，F分别为AB，AC的中点时， m-n2 =0，
2
2m+n
此时p=h，则有p= ，
2
1 2m+n
当m¹n时，即点E，F不是AB，AC的中点时， m-n2 >0，此时p>h，则有p> ，
2 2
2m+n 2m+n
∴p³ ，且等号可以取到，即 p最小值为 ．故结论③正确．
2 2
综上所述：正确的结论是①②③．
故选：A．
2．如图，AD是
V
ABC的角平分线，BE平分ÐABC交AD于点E，BF是
V
ABC的外角平分线，交AD的延
长线于点F ，且BF∥AC，连接CF．下列结论错误的是（ ）
A．ÐEBF =90° B．ÐBCF =ÐBFC
C．若CF∥AB，则AE=BD D．若AF^BC，则CF =BC
【答案】C
【分析】根据角平分线得到角度关系结合平角即可判断A，根据平行及角平分线得到相应的角度关系得到
BC =BF 即可判断B，再证明ABFC是平行四边形即可判断C，最后证明AF 垂直平分BC即可判断D，即
可得到答案．
【详解】解 BE平分ÐABC，BF平分ÐCBG，
Q
1 1
\ÐCBE= ÐABC，ÐCBF =ÐFBG= ÐCBG，
2 2
1 1 1 1
\ÐEBF =ÐCBE+ÐCBF = ÐABC+ ÐCBG= ÐABC+ÐCBG= ´180°=90°，选项A正确，不符合
2 2 2 2
题意；
Q
BF∥AC，BF平分ÐCBG，
\ÐCBF =ÐACB=ÐFBG=ÐBAC，
\AB=BC，
AF平分ÐBAC，
Q
\ÐCAF=ÐFAG，
BF∥AC，
Q
学科网（北京）股份有限公司\ÐCAF =ÐAFB，
\ÐAFB=ÐBAF，
\AB=BF ，
\BC =BF，
\ÐBCF =ÐBFC，选项B正确，不符合题意；
CF∥AB，BF∥AC，
Q
\四边形ABFC是平行四边形．
\AB=CF ，AC =BF，
由上面知：AB=BC =BF，
\ ABC， BCF均为等边三角形，
V V
由三线合一易知AF^BC，ÐABC =ÐBAC =60°，
在Rt△BDE中，由角平分线定义知ÐDBE=ÐABE=30°，ÐBDE=90°，
\BE =2DE，
易知ÐBAE=ÐABE=30°，
\AE=BE=2DE，选项C错误，符合题意；
Q
AF ^BC，AF 平分ÐBAC，
结合AD= AD易证 ADC全等于 ADB，
V V
\易知AF 垂直平分BC，
\CF =BF，
又 BC=BF，
Q
\CF =BC，选项D正确，不符合题意；
综上，故选C．
【点睛】本题考查角平分线，平行四边形判定与性质，等边三角形的性质，垂直平分线的性质，全等三角
形性质和判定，解题的关键是从选项出发，找相应条件．
3．如图，已知
V
ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABF和等边△ACE，CF和BE交于O点，则下
列结论：①CF =BE；②ÐCOE=60°；③OA平分ÐFOE；④OE=OA+OC．其中正确的有（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确作出辅
助线是解题的关键．根据等边△ABF和△ACE的性质，利用SAS可证△ABE≌△AFC，由全等三角形的性
质可知①正确；由三角形内角和为180°易求ÐBOC的度数，可知②正确；过A分别作AP^CF于P，
AQ^BE于Q，由S =S 可得AP= AO，进而可得OA平分ÐFOE，所以③正确；在OE上截取
VABE VAFC
OD=OC，利用SAS可证
V
ACO≌
V
ECD，由全等三角形对应边相等可得OE=DE+OD=OA+OC，故可得④
正确，据此即可求解．
【详解】解：∵△ABF和△ACE是等边三角形，
∴AB= AF ，AC = AE，ÐFAB=ÐEAC =60°，
∴ÐFAB+ÐBAC =ÐEAC+ÐBAC，
即ÐFAC =ÐBAE，
在 ABE与 AFC中，
V V
ìAB= AF
ï
íÐBAE=ÐFAC，
ï
îAE= AC
∴V ABE≌ V AFCSAS，
∴BE=FC，ÐAEB=ÐACF，故①正确；
∵ÐEAN+ÐANE+ÐAEB=180°，ÐCON+ÐCNO+ÐACF=180°，ÐANE=ÐCNO，
∴ÐCOE=ÐCAE=60°，故②正确；
过A分别作AP^CF于P，AQ^BE于Q，如图1，
∵△ABE≌△AFC，
∴S =S ，
VABE VAFC
学科网（北京）股份有限公司1 1
∴ CF·AP= BE·AQ，
2 2
∵CF =BE，
∴AP= AO，
∴点A在ÐFOE的角平分线上，
∴OA平分ÐFOE，故③正确；
如图2，在OE上截取OD=OC，
∵ÐCOE=60°，
∴ OCD是等边三角形，
V
∴CD=CO，ÐDCO=60°，
∴ÐDCO-ÐDCN =ÐACE-ÐDCN，即ÐACO=ÐECD，
∵AC =EC，
∴V ACO≌ V ECDSAS，
∴DE=OA，
∴OE=DE+OD=OA+OC，故④正确；
综上，正确的结论有①②③④，共4个，
故选：A．
4．如图，在Rt△ABC中，ÐABC =90°，以AC为边，作
V
ACD，满足AD=AC，E为BC上一点，连接AE，
ÐCAD=2ÐBAE，连接DE，下列结论中：①ÐADE=ÐACB；②ÐAEB=ÐAED；③AC ^DE；④
DE=CE+2BE．其中正确的有（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定和性质是解
题的关键．如图所示，延长EB到点F ，使得BF =BE，连接AF ，设AC,DE交于点G ，可证
V
AFC≌
V
AEDSAS，根据全等三角形的性质可判定①②④，根据角平分线的性质定理可判定③；由此即
可求解．
【详解】解：如图所示，延长EB到点F ，使得BF =BE，连接AF ，设AC,DE交于点G ，
∵AB^BC，
∴AB垂直平分EF，
∴AE=AF，ÐBAF =ÐBAE，
∴ÐEAF =2ÐBAE=ÐCAD，
∴ÐEAF+ÐEAC =ÐEAC+ÐCAD，即ÐFAC =ÐEAD，
在 AFC和△AED中，
V
ìAF = AE
ï
íÐFAC =ÐEAD，
ï
îAC = AD
∴V AFC≌ V AEDSAS，
∴ÐADE=ÐACB，故①正确；
∴ÐAFB=ÐAEB=ÐAED，故②正确；
∴DE=FC =FB+BE+EC =2BE+EC，即DE=CE+2BE，故④正确；
∵ÐAED=ÐAEB，
∴EA平分ÐBED，
当ÐBAE=ÐGAE时，ÐABE =ÐAGE =90°，即AC ^DE，
∵无法确定ÐBAE与ÐGAE的数量关系，
∴无法确定AC ^DE，故③错误；
学科网（北京）股份有限公司综上所述，正确的有①②④，
故选：C ．
5．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE-ED-DC运动到点C停止，点Q
从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间
为ts，V BPQ的面积为y cm2 ，已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当0
