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期末综合训练(一) 直角三角形的边角关系
一、选择题
1．(2015·温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是( D )
A. B. C. D.
,第1题图) ,第4题图)
2．若α的余角是30°，则cosα的值是( A )
A. B. C. D.
3．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosA＝，则AC等于( B )
A．18 B．2 C. D.
4．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB＝(
B )
A. B. C. D.
5．已知锐角A满足等式2sin2A－7sinA＋3＝0，则sinA的值为( A )
A. B．3 C.或3 D．以上都不对
6．(2015·绵阳)如图，要在宽为22米的九州大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长为
2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直，当灯
罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳．此时，路灯的灯柱BC高度应该设计
为( D )
A．(11－2)米 B．(11－2)米
C．(11－2)米 D．(11－4)米
,第6题图) ,第7题图)
二、填空题
7．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝5，sinA＝，则tanB＝____．
8．(2015·邵阳)如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果
AB＝2000米，则他实际上升了__1000__米．
,第8题图) ,第10题图)
9．在△ABC中，若|sinA－|＋(cosB－)2＝0，则该三角形为__锐角__三角形．
10．如图，在△ABC中，AC＝2，∠A＝45°，tanB＝，则BC的长为____．
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11．(2015·江西)如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图所示的
几何图形，已知BC＝BD＝15 cm, ∠CBD＝40°，则点B到CD的距离为__14.1__cm.(参考数
据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766；精确到0.1 cm)
三、解答题
12．计算：
(1)cos60°－cos45°＋tan30°；
解：1
(2)－.
解：2－
13．(2015·遂宁)如图，一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，
从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得点A的仰角为30°.
求树高．(结果精确到0.1米；参考数据：≈1.414，≈1.732)
解：由题意，∠B＝90°，∠D＝30°，∠ACB＝45°，DC＝10米，设CB＝x，则AB＝x，DB＝x，
∵DB＝CB＋DC，∴x＝x＋10，∴x＝＝5＋5≈13.7，即树高为13.7米
14．如图，海中两个灯塔A，B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航
行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续
向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A，B间的距离．(计
算结果用根号表示，不取近似值)
解：过点A作AF⊥CD，垂足为F，由题意可得出，∠FCA＝∠ACN＝45°，∠NCB＝30°，
∠ADE＝60°，则∠FAD＝60°，∠FAC＝∠FCA＝45°，∠ADF＝30°，∴AF＝FC＝AN＝NC，设
FC＝AF＝x，∵tan30°＝，∴＝，解得x＝15(＋1)，∵tan30°＝，∴＝，解得BN＝15＋5，∴AB＝
AN＋BN＝15(＋1)＋15＋5＝30＋20，则灯塔A，B间的距离为(30＋20)海里
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15．(2015·凉山州)如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E
点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°，从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰
好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°，已知树高EF＝6米，求塔CD的高度．(结果保留根号)
解：∵∠ADB＝∠α＝45°，∠EFD＝90°，∴∠FED＝∠ADB＝45°，∴FD＝EF＝6.∵HF＝PB
＝1，∴EH＝5.∵tanβ＝，即＝，∴PH＝5，∴BF＝PH＝5，∴PG＝BD＝5＋6.∵tanβ＝，即＝，
∴CG＝2＋5，∴CD＝2＋6，即塔CD的高度为(2＋6)米
16．(2015·常德)图1，2分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘
CD的高度为2米，支架BC的长为4米，且与地面成30°角，吊绳AB与支架BC的夹角为
80°，吊臂AC与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是多少米？(精确到0.1
米；参考数据：sin10°＝cos80°≈0.17，cos10°＝sin80°≈0.98，sin20°＝cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，
sin70°≈0.94)
解：作AF⊥BC于点F.∵∠BCH＝30°，∠ACE＝70°，∴∠ACB＝180°－∠BCH －∠ACE ＝
80°，∴∠ACB＝∠ABC ＝80°，∴AB＝AC.又AF⊥BC，BC＝4米，∴CF＝BC＝2米. ∵在
Rt△ACF中， cos∠ACF＝，∴AC＝≈11.76(米)．∵在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，∴AE＝
11.76×sin70°≈11.1(米)，∴AP＝11.1＋CD＝13.1(米)，则吊车的吊臂顶端A点距地面的高度是
13.1米
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