2025《中考数学•终极押题猜想》南京(原卷版)_初中资料合集_2025中考数学《终极押题猜想》全国13地方版_2025《中考数学•终极押题猜想》南京

2025 年中考数学终极押题猜想（江苏南京专用）
（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）
押题猜想一 方程与代数综合.........................................................................................................1
押题猜想二 三角形、四边形问题综合.........................................................................................9
押题猜想三 函数中获取信息类问题...........................................................................................22
押题猜想四 一次函数、反比例函数与几何综合.......................................................................39
押题猜想五 二次函数的图象与性质...........................................................................................76
押题猜想六 二次函数的应用.......................................................................................................88
押题猜想七 锐角三角函数的实际应用.......................................................................................97
押题猜想八 相似三角形的综合...................................................................................................97
押题猜想九 圆...............................................................................................................................97
押题猜想十 尺规作图与几何.......................................................................................................97
押题猜想十一 统计与概率...........................................................................................................97
押题猜想十二 最值问题...............................................................................................................97
押题猜想十三 图形的平移、旋转、翻折问题...........................................................................97
押题猜想十四 新定义问题...........................................................................................................97
押题猜想十五 规律探究与材料阅读型问题.............................................................................110
押题猜想一 方程与代数综合
限时：5min
ìx-2>0①
ï
1．解不等式组í-6x<12② 并写出整数解．
ï 10-3x-2³x③
î
请结合题意，完成本题的解答．
解：解不等式①，得 ，依据是： ．解不等式②，得x>-2，
解不等式③，得 ．
将不等式①②和③的解集在数轴上表示出来．
所以不等式组的解集为 ，整数解为 ．
押题解读
本考点为必考考点，是中考数学中较为基础的内容，在选择题、填空题和解答题中均有出现；主要考查
学生的计算能力和计算速度；对于南京的中考学生来说，加强实数、方程和不等式的计算练习尤其重要，
特别是乘法公式、一元二次方程的计算、配方法以及含参问题的计算等，都是必须要勤加练习。
2．若代数式M =-2a2+4a+1，N =-3a2+4a，则M和N的大小关系是（ ）
A．M <N B．M =N C．M >N D．与a的值有关
æ 1 ö x2-4x+4
3．化简：ç1- ÷¸
è x-1ø x2-1
1 1
4．（1）已知ab=1，计算 + 的值；
1+a 1+b
1 1
（2）已知 + =1，证明ab=1；
1+a 1+b
1 1
（3）已知mn=20252025，且 + =1，则2025x+y =______．
1+2025xm 1+2025y-2024n
5．代数式A=mx+2，代数式B=2m+1．
(1)当m=3时，若A<B，则x的取值范围是_________；
(2)若m<0，x<2，判断代数式A与B的大小，并说明理由；
(3)将“A与B的差”记为C，即C = A-B．当-3≤ x≤ 3时，要使C的值满足-3£C£3，直接写出m的取值
范围．押题猜想二 三角形、四边形问题综合
限时：10min
6．如图，在
Y
ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，AE=CF，连接BE，DF．
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；
(2)已知AB=2，AD=4，ÐABC =60°，当AE的长为 时，四边形EBFD是菱形．
押题解读
三角形、四边形相关的知识是中考数学必考点，尤其是全等三角形、等腰三角形、等边三角形、平行四
边形和特殊的平行四边形的判定与性质，考查的都是学生对基础知识的理解和运用，常在选择题、填空
题、解答题中出现；较为基础的考法就是求角度、边长或面积等，难题中会考查最值问题或者与函数的
知识点一起考查；解决此类问题的关键在于基础知识的掌握，另外要训练最值问题的做题方法和函数题
型的做题技巧；
7．将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是
（ ）A．2:1 B．5:2 C． 2:1 D． 5: 2
8．如图，在 ABCD中，点E是边CD的中点，延长BC，AE交于点F，连接AC，DF．
Y
(1)求证：AC =DF；
(2)若AB= AF ，求证：四边形ACFD为矩形．
9．如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC、EG，取AC、EG的中点M、N，
连接MN，若AB=4，BC =3，则MN =（ ）
5 2 5 3
A． B． C．5 2 D．5 3
2 2
10．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=m(m>1)，点E是AD边上一定点，且AE=1，在线段AB上找一
点F，使△AEF 与
V
BCF 相似．若这样的点F恰好有两个，则m的值为 ．押题猜想三 函数中获取信息类问题
限时：10min
11．某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电
阻R Ω（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数U 换算为人的质量mkg，已知U 随着R
1 0 0 1
的变化而变化（如图2），R与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法不正确的是（ ）．
1
A．在一定范围内，U 越大，R越小
0 1
B．当U =3V时，R的阻值为50W
0 1
C．当踏板上人的质量为90kg时，U =2V
0
D．若电压表量程为0~6V0£U £6，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg
0
押题解读
本考点是中考常考考点，主要考查学生对函数概念的理解，尤其是动点问题的函数图象，需要从函数图
象中得到信息，从而求出要求的量；此类题型一般在解答题中出现频率高，填空题偶有考查；解决此类
问题最主要还是要理解图象中的“拐点”，将其与具体情形相联系，就可以明白“拐点”的实际意义。
12．如图，
e
A的直径BC =6，D为半圆BC的中点，P点从D出发，沿D-A-C的路径移动，移动到C
p
点停止，Q点从B出发，沿
e
A下半圆的路径移动，移动到C点停止，Q的速度是P速度的 倍，PQ的长
2
度变化的函数图像为（ ）A． B．
C． D．
13．快、慢两车从甲地出发，沿同一条直路匀速行驶，前往乙地．设快车出发第xh时，快、慢两车离甲地
的距离分别为ykm，y km，当x=3时，慢车到达乙地．y ,y 与x之间的函数关系如图所示．
1 2 1 2
(1)甲、乙两地相距 km，快车比慢车晚出发 h．
(2)快车与慢车相遇时，两车距离甲地多远？
(3)若第三辆车的速度是快车的速度的1.5倍，沿同一条直路从乙地匀速前往甲地，当慢车到达乙地时，该
车恰好到达甲地．请在图中画出该车离甲地的距离y km与x 之间的函数图像．
314．甲、乙两人沿同一直道从A处跑步到B处，图①、②分别表示甲跑步的路程y（单位：m），甲乙两
人之间的距离s（单位：m）与甲出发的时间x（单位：min）的函数关系，若乙先出发2min．
(1)甲的跑步速度是______m/min，乙的跑步速度是______m/min；
(2)求甲到达B处所用的时间；
(3)直接写出甲、乙两人之间的距离不超过100m的总时间．
15．有一个现有水量为15m3的蓄水池，分别有一个进水管和出水管，单位时间内进水量和出水量都是一定
的．若只打开进水管，水量与时间t（h）之间的关系如图1中y ，若只打开出水管，水量与时间t（h）
1
之间的关系如图1中y ．
2
(1)进水管每小时的进水量为______m3，出水管每小时的出水量为______m3．
(2)若前4个小时，水池只进水不出水，接下来的4个小时既进水又出水，再接下来的2个小时只出水不进
水．①请在图2中画出蓄水量y与时间之间的函数图像．
②当水池的蓄水量不小于38m3时，直接写出t的取值范围．
押题猜想四 一次函数、反比例函数与几何综合
限时：12min
16．如图，某药剂在空气中的浓度y（mg/m3）与时间xmin之间先满足正比例函数的关系，再满足反比
2
例函数的关系，且当x=12时，y有最大值，最大值为a．则当y= a时，x的值是 ．
3
押题解读
本考点为中考的必考考点，涉及到一次函数、反比例函数的图象与性质、一次函数的平移、一次函数与
方程、不等式的关系、一次函数与反比例函数的应用、一次函数与反比例函数的关系等，选择或者填空
题会考查较为基础的内容，解答题的中等难度题也会考查；作为考生，我们要多练一下近几年的南京中
考数学题，养成解决此类问题的思维。
17．将一次函数y
=
x
+
3的图象绕其与x轴的交点顺时针旋转75°，得到的图象对应的函数表达式是 ．
1
18．在平面直角坐标系中，点A在函数y= (x>0)的图象上，点B在第二象限，且ÐAOB=90°，ÐABO=30°
x
k
反比例函数y= (x<0)的图象恰好经过点B，则k的值为 ．
x19．如图，在平面直角坐标系中，
V
AOB的面积为4，AO=BO，反比例函数图像上，B的纵坐标y
B
为1，
x -x =2，则将此函数图像沿y轴对称后的函数图像表达式为 ．
B A
k
20．如图，一次函数y =-2x+a的图象与反比例函数的图象y = x>0在第一象限相交于点Am,n，
1 2 x
Bm-2,3n．
(1)求a、k的值；
(2)当y > y >0时，直接写出x的取值范围．
2 1
押题猜想五 二次函数的图象与性质
限时：20min
21．已知二次函数y=ax2+bx（a、b为常数，且a¹0）的顶点m,n在直线l:y=kx-2（k为常数，且
k ¹0）的图像上．
(1)若m¹0，则顶点 ；
A．在x轴上 B．在y轴上 C．不在坐标轴上
(2)若二次函数图像经过4,0，用a的代数式表示k；
(3)在（2）的条件下，若此二次函数与直线l的另一个公共点的横坐标为p，且-1£ p£5，请直接写出k的
取值范围．
押题解读
本考点为必考考点，二次函数的图象与性质是初中阶段最重要的考查内容，基本上每年的中考卷均会重
点考查；一般会在小题里面出现一题，大题会重点考查，出现在压轴题时会和其他知识点一起综合考查；近几年南京中考数学考查此知识点的题型比较新颖，难度也较高，故我们在平时做题的时候要加强练习，
尤其边、角、最值、三角函数类考查题型，重点考查对象。
22．已知二次函数y=x-1x-m的图像经过点6,5．
(1)求m的值；
(2)当2£x£6时，求y的取值范围；
(3)将该函数的图像沿着x轴向右平移得到一个新函数的图像，当2£x£6时，新函数的最大值是12，请直
接写出平移的距离．
23．数、形二法“战”不等式！
ìx-1>0
(1)解不等式(x-1)(x+3)>0时，根据“两数相乘，同号的正，异号得负”可得x应满足不等式组①í
îx+3>0
ìx-1<0
或②í ．
îx+3<0
解不等式组①，得 ，解不等式组②，得 ．
所以，不等式(x-1)(x+3)>0的解集是 ．
(2)已知函数y=(x+3)(x-1)(x+1)的大致图象如图所示，根据图象，可得不等式(x+3)(x-1)(x+1)£0的解集是 ．
24．已知二次函数y=x2-2a-1x+a+1．
(1)如果直线y=x+1经过二次函数y=x2-2a-1x+a+1图象的顶点P，求此时a的值；
(2)随着a的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数解析
式；如果不是，请说明理由；
(3)将该二次函数以x=3为对称轴翻折后的图象过点a,b（a未知，b为常数），求原函数与y轴的交点纵坐
标．
25．已知二次函数y=mx2-6mx+4（m为常数）(1)下列结论：①当m>0时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线x=-3；③该函数
的图像一定经过0,4，6,4两点其中，正确结论的序号是___________．
(2)若点A-1,a，B3,b，C4,c在该函数图像上，当abc<0时，结合图像，直接写出m的取值范围．
押题猜想六 二次函数的应用
限时：15min
26．二次函数表达式中的二次项系数a有何几何意义？
【理解a的几何意义】
（1）图①是二次函数y=a(x-h)2+k （a，h，k为常数， a>0）的图象，观察图象，用含a和k的式子
填写下表：
x h-m h-4 h-2 h h+1 h+3 h+m
y 16a+k k a+k
（2）若点(s,t)在二次函数y=a(x-p)2+q（a，p，q为常数，a¹0）的图象上，则|a|= ．（用只含s，t，
p，q的式子表示）
【运用a的几何意义】
（3）图②是一抛物线形状的桥拱的截面图，桥拱内的水面AB的宽度为n，拱顶到水面的距离CD为
1 4
n2．梅雨季节，水面上升，桥拱内的水面宽度随之减小，当拱顶到水面的距离为 n2时，直接写出此时
5 45
桥拱内的水面的宽度．（用只含n的式子表示）
押题解读
本考点为中考必考考点，主要会考查的应用题型有销售利润问题、动态几何问题、图形几何问题、含参类型的应用等问题；一般都是在解答题中考查，选择题、填空题偶有出现，但难度不大；近几年南京的
中考数学题针对二次函数的应用考查分值不大，但题目都比较新颖，要注意对题目概念的理解。
27．如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，
他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面OB的竖直距离y（单
1
位：m）与他在水平方向上移动的距离x（单位：m）近似满足二次函数关系y=- x2+bx+c，已知
12
OA=70m，OC =60m，落点P到OC的水平距离是30m，到地面OB的竖直高度是37.5m．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（秒）具备一
次函数关系，当他在起跳点腾空时，t =0，x=0；当他在点P着陆时，飞行时间为5秒．
①求x与t的函数表达式；
②当运动员与着陆坡BC在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值．
28．进价为40元/件的衣服，加价对外销售，销售数量y（件）与售价x（元）之间的函数关系如图所示．
(1)售价为60元时，卖出多少件？求出y与x的函数关系式；
(2)设总利润为w（元），写出w与的x函数关系式；当售价x为多少元时，利润w最大，最大利润是多少？
29．某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示，其
中曲线AB为反比例函数图像的一部分，BC为一次函数图像的一部分．(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为w(万元)，当销售
单价为多少元时，年利润最大?最大年利润是多少?(说明：年利润=年销售利润-研发费用)
30．某农场有100亩土地对外出租，现有两种出租方式：
方式一 若每亩土地的年租金是400元，则100亩土地可以全部租出．每亩土地的年租金每增加5元土地
少租出1亩．
方式二 每亩土地的年租金是600元．
(1)若选择方式一，当出租80亩土地时，每亩年租金是_____元；
(2)当土地出租多少亩时，方式一与方式二的年总租金差最大？最大值是多少？
(3)农场热心公益事业，若选择方式一，农场每租出1亩土地捐出a元a>0给慈善机构；若选择方式二，
农场一次性捐款1800元给慈善机构，当租出的土地小于60亩时，方式一的年收入高于方式二的年收入，
直接写出a的取值范围．
（注：年收入＝年总租金－捐款数）
押题猜想七 锐角三角函数的实际应用
限时：15min
31．如图①，生活中人们常常利用定滑轮来升降物体．如图②，某物体的初始位置在水平地面上的C处，
此时在将绳子拉直的A处测得定滑轮点P的仰角为45°．继续向后水平移动1m到B处测得定滑轮点P的仰
角为37°，此时物体上升到D处．已知AM ，BN 均垂直于地面，AM =BN =1.6m，物体和定滑轮大小忽
3
略不计，运动过程中绳子总长不变，求物体与定滑轮的距离PD的长（结果精确到0.1m，参考数据：tan37°» ，
4
4 3
cos37°» ，sin37°» ， 2 »1.41）．
5 5押题解读
本考点为必考考点，锐角三角函数的实际应用包括仰俯角问题、方位角问题、坡度坡比等，常在解答题
中出现；这个知识点主要考查对锐角三角函数的实际应用和三角函数的计算能力的要求，属于必须拿分
的题目，要注意的是锐角三角函数的题目辅助线要横平竖直的添加。
32．如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向59.5千米处
有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船
开始航行驶向港口MN，经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千
米的B处．
(1)求AB两地的距离；(结果保留根号)
(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由.(参考数据：
sin37°»0.60，cos37°»0.80，tan37°»0.75)
33．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD^AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点
AB 1
为E，若 = ，则sinC的值是（ ）
CD 35 6 3 7
A． B． C． D．
3 3 4 4
34．如图，大楼AN上有一块液晶屏幕，小明在坡面D处测得屏幕顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡
脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得屏幕底部B的仰角为48°，此时小明距大楼底端N
处20米．已知坡面DE=20米，DE的坡度i=1: 3，且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，M、E、
7
C、N在同一条直线上，求液晶屏幕AB的长度（结果保留根号）．（参考数据： sin48°» ，
10
11
tan48°» ）
10
35．如图①，AB,CD是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，
从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为39°，铁塔顶端C的仰角为27°，沿着EB向前走20米到达点F
处，测得铁塔顶端A的仰角为53°．已知ÐABE=ÐCDE=90°，点E,B,D构成的△EBD中，ÐEBD=90°．
(1)图②是图①中的一部分，求铁塔AB的高度；
(2)小明说，在点E处只要再测量ÐBED，通过计算即可求出铁塔CD的高度，若记ÐBED为a，则铁塔CD3 4 3 9
的高度是 ．（用含a的式子表示）（参考数据：sin39°» ,cos39°» ，tan39°» ，sin27°» ，
5 5 4 20
9 1 4 3 4
cos27°» ,tan27°» ,sin53°» ,cos53°» ,tan53°» ）
10 2 5 5 3
押题猜想八 相似三角形的综合
限时：25min
36．某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在
V
ABC中，ÐACB=90°，CD^ AB，垂足为D．
（1）求证：AC2 = AD·AB；
（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF 并延长至点E，连接CE．当ÐACE=ÐAFC时，请判断 AEB
V
的形状，并说明理由；
（二）学以致用
（3）如图3， V ABC是直角三角形，ÐACB=90°，AC =2，BC =2 6，平面内一点D，满足AD=AC，连
接CD并延长至点E，且ÐCEB=ÐCBD，当线段BE的长度取得最小值时．线段CE的长为 （直接写结
果）．
押题解读
本考点为必考考点，相似三角形的判定与性质是初中阶段极为重要的一块内容，一般在各个题型中均有
可能会考查，作为压轴题来考查相似三角形，会与其他知识点一起综合考查；解决此类问题的方法主要
是加强相似概念的理解，通过刷一些南京这边的一模二模题型，可以加强做这一块题型的熟悉度。
37．如图，在四边形ABCD中，AB=5，AD=4，CD=0.8，ÐA=ÐD=120°，在边AD上有一动点P，若以
A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为 ．38．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC =6，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF ^AE，交BC于
点F ，则DF的长为 ．
39．已知：
V
ABC中，D为BC边上的一点．
(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC =6，求DE的长；
(2)在图（2），用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F ，使ÐDFA=ÐA；（保留作图痕迹，不要求写作法）
1
(3)如图③，点F 在AC边上，连接BF、DF，若ÐDFA=ÐA，
V
FBC的面积等于 CD×AB，以FD为半径
2
作 F，试判断直线BC与 F的位置关系，并说明理由．
e e
40．题目：
已知：如图， ABC．
V
求作：矩形DEFG，使顶点D，E分别在AB，AC，顶点F，G都在BC边上，且DE=2DG
（用直尺和圆规作图，写出必要的文字说明．）(1)小明对上述题目的解答如图①所示（隐去了弧），他写的文字说明是：AH是高，CM =2AH，
CD∥AM ．求证：矩形DEFG即为所求．
(2)如图②，小丽只会作矩形DEFG ，除了顶点E 不在AC边上外，其他都已经满足了题目的要求，她想
1 1 1 1 1
通过图形的变换将矩形DEFG 变化为要求作的矩形．请按小丽的思路完成作图，并描述从矩形DEFG 到
1 1 1 1 1 1 1 1
矩形DEFG的变换过程．
押题猜想九 圆
限时：20min
41．如图，在
e
O中，AB是直径，CD是弦，且AB^CD，垂足为E，AB=20，CD=12，在BA的延长线
上取一点F，连接CF，使ÐFCD=2ÐB．
(1)求证：CF是
e
O的切线；
(2)求EF的长．
押题解读
本考点为必考考点，圆的知识点有点多，包括垂径定理、圆周角圆心角、直线与圆的位置关系、正多边
形与圆和扇形的面积公式、圆锥的侧面积公式等等；一般圆的题目会出现在选择题、填空题和大题，作
为压轴题来考查的话，圆的题目有些难度，需要综合运用圆的基础概念和圆与其他知识点的混合；解决
圆类的问题，最主要是牢记勾股定理和垂径定理的应用；
42．如图，AC与BD相交于点E，连接AB,CD,CD=DE．经过A,B,C三点的
e
O交BD于点F，且CD是
e
O的切线．
(1)连接AF ，求证AF = AB；
(2)求证AB2 = AE×AC；
(3)若AE=2,EC =6,BE=4，则
e
O的半径为 ．
43．如图，B、C是线段AD上两点，AB、BC、CD分别是
e
O
1
、
e
O
2
、
e
O
3
的直径，这三个圆的半径都等
于10，设AG切
e
O
3
于G，且交
e
O
2
于E、F，则弦EF的长为 ．
44．如图，O是
V
ABC内一点，
e
O经过点B、C交AB、AC于点D、E，DE∥BC，且ÐEBC =ÐA．
(1)求证：BC =BE；
(2)若AE= 2，ÐA=45°，求
e
O的半径．
45．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作等补四边形．(1)如图，已知四边形ABCD内接于
e
O，D是AC的中点．
①求证：四边形ABCD是等补四边形；
②过点D作
e
O的切线，分别交BA,BC的延长线于点E，F．求证：BE·CF =BF·AE．
(2)下列结论：
a．每个等补四边形都可以分割成两个全等三角形；
b．连接每个等补四边形的2条对角线后，至少有6对相似三角形；
c．每个等补四边形都能沿着某条对角线剪开后，拼成等腰三角形；
d．有一条对角线是直径的圆内接等补四边形是正方形．
其中所有正确结论前的字母代号是 ．
押题猜想十 尺规作图与几何
限时：10min
a c
46．教材中有这样一段文字：“在比例式 = 中，如果b=c，那么b2 =ac．我们把b叫做a和c的比例中
b d
项．”在学习过程中，有些几何图形中的线段满足b2 =ac的关系，用直尺与圆规分别作出满足下列条件的各
点．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图①中，在AB上求作一点D满足AC2 = AD AB；
g
(2)在图②中，在 e O上求作一点D满足AD2 = AB g AC；
(3)在图③中，在线段AB上求作一点D满足AD2 = AB BD；
g
(4)在图④中，点A、C、B依次在同一直线上，AC<BC ，在直线上求作一点D，满足AC2 = AD·BD
押题解读本考点为必考考点，尺规作图已经成为南京中考数学必不缺少的一部分，主要在解答题中出现，一般难
度不大，熟记初中的基本尺规作图方法，尤其是不同的尺规作图方法需要注意的点；
47．已知点A，B，C的位置如图所示，若它们分别是一个圆的内接三角形的三边的中点，用两种不同的方
法求作该圆．要求：
①用直尺和圆规作图；
②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
48．如图，A、B分别在一个单位长度网格线上，A、B皆不为中点；
(1)仅用直尺作出图一AB的中点C；
(2)仅用直尺作出图二AB的中点D．
49．如图：已知直线l，及l同侧两点M,N．用直尺与圆规作图．
(1)在图（1）中作出点P，使ÐAPM =ÐBPN（保留作图痕迹）；
(2)在图（2）中作出点Q，使ÐDQM =2ÐCQN（保留作图痕迹，简要说明画法）
50．如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮（
V
ABC）上切一块最大的且无破损的圆形铁皮（
e
O）．(1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出
e
O．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)三角形铁皮上有一破损小洞（点P）．
①如图②，点P在
V
ABC的中心，用直尺和圆规作出
e
O．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
②点P不在
V
ABC的中心．
i）点P的位置如图③所示，画出
e
O的示意图，并写出用直尺和圆规作
e
O的思路；
ii）随着点P位置的改变，
e
O的大小和位置都有可能发生变化．要使
e
O与i）中所画的圆的大小和位置都
完全相同，那么点P可以在哪些位置？请描述出这些位置．
押题猜想十一 统计与概率
限时：10min
51．小李开车到公司上班有A， B两条路线可选择，路线A经城市高架，路线B经市区道路．为了解上班
路上所用时间，小李先连续10个工作日选择路线A，接着连续10个工作日选择路线B，记录用时（单位：
min）数据如表：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
路线A用时 15 16 20 18 18 19 18 20 17 19
路线B用时 11 11 14 16 17 22 21 11 21 12
(1)路线A连续10天用时的中位数是_________min，路线B连续10天用时的众数是________min；
(2)求路线A连续10天用时的平均数和方差；
(3)经计算，路线B连续10天用时的平均数是15.6min，方差是18.04min2．结合上表信息，帮小李选择合适
的上班路线，并利用至少3个统计量说明理由．
押题解读
本考点为必考考点，统计概率主要涉及到平均数、中位线、众数、方差、概率等；此类题型比较简单，
一般填空题里边会考查一道，解答题一道统计，一道概率，这是固定考查模型；解决此类问题只需要熟悉基础概念，考试的时候千万不要混淆概念。
52．小马和小虎参加某项考试，他们都忘记了自己在第几考场，已知一共有4个考场．
(1)小马随机选择一个考场，恰好是自己的考场的概率为 ；
(2)小马和小虎记得两人不在同一个考场，他们各选择一个考场，恰好选择到是自己的考场的概率是多少？
53．做投球实验的装置如图所示．实验时，将小球从M 处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁4个盒子．已
知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的．
(1)若投入一个小球，求它通过管道B的概率．
(2)若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①最先填满的是甲盒；
③ 4个盒子中的小球的数量一样多；
③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量；
④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等．
54．某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测
试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四
个等级：D：60£x<70，C：70£x<80，B：80£x<90，A：90£x<100），部分信息如下：
信息一：信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图，扇形统计图中A的圆心角度数为 ；
(2)求所抽取的学生成绩的中位数为 ；
(3)该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
55．某学校七年级、八年级各有500名学生，为了解两个年级的学生对垃圾分类知识的掌握情况，学校从
七年级、八年级各随机抽取20名学生进行垃圾分类知识测试，满分100分，（成绩分为5组，A：
50£x<60；B：60£x<70；C：70£x<80；D：80£x<90；E：90£x£100）整理所得数据，绘制如下不完
整的统计图．
分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数方差如表所示：
年级 平均 中位 众 方差数 数 数
七年
76.9 a 86 119.89
级
八年
79.2 81 74 100.4
级
(1)补全八年级20名学生测试成绩频数分布直方图．
(2)七年级20名学生测试成绩的中位数在 组．
(3)请根据抽样调查数据，估计全校七、八年级垃圾分类知识测试成绩在80分及以上的大约有多少人．
(4)通过以上分析，你认为哪个年级学生对垃圾分类知识掌握得更好？请说明推断的理由（两条即可）．
押题猜想十二 最值问题
限时：15min
56．如图，在
V
ABC中，ÐC =90°，ÐB=60°，AB=2，M、N 分别是BC、AB边上的动点，且CM =BN，
则线段MN的最小值为 ．
押题解读
本考点为常考点之一，最值问题属于初中数学的一个难点，同时也是中考数学的常客，往往是在压轴题
进行考查；南京的中考数学对这一块的考查也比较频繁，基本上都是作为压轴题；解决此类问题的方法
是训练一下初中阶段考查的最值模型，比方说将军饮马问题、三点共线问题、隐圆问题等等，当然，也
可以从动点的轨迹问题来统一思考。
2
57．在矩形ABCD中，AB = 2,BC = 8，点P是平面内、直线CD右侧一点，且sinÐDPC = 5，线段BP的
5
最大值为 ．58．三角函数不仅在数学问题中经常出现，在实际生活运用中也常常用到……
【初步探究】小明由于疏忽，忘记了cos75°约等于多少，请你帮助小明画简图并计算cos75°（结果保留根
号）
【深层计算】小刚请你证明cos75°=cos30°cos45°-sin30°sin45°
【思考拓展】桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP=36cm，PA=18cm，AB=18cm桌面的高度为
60cm．在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大．
①画出此时AB所在位置的示意图；
②用两种方法求出CD的长度的最大值．
59．如图，在Rt△ABC中，ÐACB=90°,AC =3,BC =4，点D，E分别在边BC,AC上，F为DE的中点，
若BD=CE，则CF的长的最小值为 ．
60．如图，在Rt△ABC中，ÐACB=90°，AC =3，BC =4．点M 沿线段CA从C向A运动，同时，点N
从B出发沿BC运动，且BN =2CM ，P是线段MN的中点，运动过程中，CP的最小值为 ．
押题猜想十三 图形的平移、旋转、翻折问题
限时：15min
61．架桥通常会考虑多种因素，其中一个就是路线规划，确保桥两边A，B两地间的路程尽量短，以减少通行时间和成本．
(1)如图①，河l的宽度忽略不计，即桥的宽度忽略不计，请你在l上画出表示桥的位置的点P，使从A地
经过桥到B地的路程最短．
(2)如图②，河岸m和n之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间画出表示
桥的位置的线段CD，使桥与河岸垂直，并且从A地经过桥到B地的路程最短．
(3)如图③，河岸m和n，p和q之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间、
p和q之间分别画出表示桥的位置的线段CD和EF，使每座桥与相应的河岸垂直，并且从A地经过2座桥
到B地的路程最短．
押题解读
本考点为常考点之一，图形的平移、旋转、翻折均属于小题中压轴题常考的题型，难度较大，多与几何
图形、函数等知识点一起综合考查；从近几年的南京中考卷来看，这一块的考查越来越灵活，需要考生
多加练习，加强辅助线添加的思维训练，这样可以有效帮助理解题意。
62．如图，在
V
ABC中，AB=3，AC =6，ÐBAC =120°，将
V
ABC沿AD折叠，使点B落在边AC上的B¢
处，则折痕AD的长为 ．
63．如图，
V
ABC和
V
ADE是有公共顶点的两个等腰直角三角形，ÐBAC =ÐDAE=90°，点P为射线BD
和射线CE的交点，若AB=2AD=4，将
V
ADE绕点A旋转，求旋转过程中线段PB的取值范围 ．64．【问题提出】如图①，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四
边形ABCD的面积．
【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．
(1)如图②，连接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°，因此可以将△DCB绕点D按顺时针方向 旋转60°，得
到△DAB¢，则△BDB¢的形状是 ；
(2)在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．
【类比应用】
(3)如图③，四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝ 2，求四边形ABCD
的面积．
65．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察猜想】
DE
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，ED^CF，则
CF
的值为 ．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE^BD，则CE
的值为 ；
BD
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，ÐA=ÐB=90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED
的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE×AB=CF×AD．
【拓展延伸】
1
（4）如图4，在Rt△ABD中，ÐBAD=90°，AD=9，tanÐADB= ，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C
3
DE
处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE^CF．求 的值．
CF
押题猜想十四 新定义问题
限时：20min
66．如定义：对于一次函数y =ax+b、y =cx+d ，我们称函数y=max+b+ncx+dma+nc¹0为函数
1 2
y 、y 的“组合函数”．
1 2
(1)若m=3，n=1试判断函数y=5x+2是否为函数y =x+1，y =2x-1的“组合函数”，并说明理由：
1 2
(2)设函数y =x- p-2与y =-x+3p的图像相交于点P．
1 2
①若m+n>1，点P在函数y 、y 的“组合函数”图像的上方．求p的取值范围；
1 2
②若p¹1，函数y 、y 的“组合函数”图像经过点P，是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数
1 2
p．都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变？若存在．请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存
在．请说明理由．
押题解读
本考点为常考点之一，新定义问题属于课本知识的延伸或者拓展，基本上都会有挂钩的知识点，所以在
理解新定义问题时首先要明确考查的是课本那一块的内容，再具体分析；新定义问题可难可简单，一般
三种题型里均会考查。67．三角尺是几何学习中常用的学具．
【重温旧知】
(1)图①～③是课本上三角尺的3种摆放方式．借助图①中的Ða和Ðb，课本定义了一种两个角的关系，
这种关系叫做______；图②中，ÐDBC的度数是______°，三角尺DEF 的直角边DF和三角尺ABC的直角
边AC之间的数量关系是______；图③中确认弦MN是圆的直径的定理是______．
【探索研究】
(2)如图④，将图②中的一副三角尺ABC和DEF 叠放在一起，使得点D，F 分别在AC，BC边上，我们
在同一平面内研究下面两个问题．
CF
①当DF∥AB时，求 的值；
CB
②若AB的长为a，直接写出顶点C和E的距离的最大值（用含a的代数式表示）．
68．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形
三边长分别是5，6和8，因为62+82 =4´52 =100，所以这个三角形是常态三角形．
(1)若
V
ABC三边长分别是2， 5和4，则此三角形______常态三角形（填“是”或“不是”）；(2)若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为______；
(3)如图，Rt△ABC中，ÐACB=90°，BC =6，D在AB上，且AD=BD=CD，若△BCD是常态三角形，
求线段AC的长．
69．综合与探究
我们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的
圆心角度数的一半．类似地，我们定义：顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫做圆外角．
【探究】
圆外角的度数与它所夹的弧所对的圆心角的度数之间有什么关系？
【实验】
（1）如图1，当圆外角ÐP的两条边分别与
e
O有两个公共点时，改变ÐP的度数，测量得到如下数据：
ÐP的度数 15° 20° 26° 35°
BD所对的圆心角度数（b） 60° 80° 104° 150°
AC所对的圆心角度数（a） 30° 40° 52° 80°
猜想：ÐP=_________．（用含a，b的式子表示）
【特例】
（2）当圆外角的其中一条边与
e
O只有一个公共点时，如图2，射线PA与
e
O相切于点A，射线PB经过圆
心O，交
e
O于另一点C，设AB，AC所对的圆心角度数分别为a，b，写出ÐP的度数与a，b之间的
数量关系，并证明．
【应用】
3
（3）在（2）的条件下，连接AC，若sinP= ，AC =12，求
e
O的半径．
5
70．定义：在△ABC中，若AB＝c，AC＝b，BC＝a，则存在余弦定理：a2 =b2+c2-2bc×cosA，
b2 =a2+c2- 2ac×cosB，c2 =a2+b2-2ab×cosC，即三角形一边的平方等于另两边的平方和减去这两边与这两边夹角的余弦的积的2倍．
 2
例如：在图1中，AC2 = AB2+BC2-2AB×BC×cosB=42+ 3 2 -2´4´3 2cos45°=10，
∴AC＝ 10
请你利用余弦定理解答下列问题：
(1)应用新知：在图2中，
①若a＝2，b＝3，∠C＝60°，则c＝______；
②若a=2 3，b=2 2，c= 6+ 2，求∠A；
(2)迁移发散：如图3，某客轮在A处看港口D在客轮的北偏东50°方向上，在A处看灯塔B在客轮的北偏
西30°方向距离2 3海里处，客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口D在客轮的南偏东80°距离6
海里处，求此时C处到灯塔B的距离．押题猜想十五 规律探究与材料阅读型问题
限时：16min
71．阅读下面的问题及解决途径．
结合阅读内容，完成下面的问题．
(1)填写下面的表格．
(2)将函数y＝－2x2＋3x＋1的图像沿y轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式为 ．
(3)将函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的图像先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原
点旋转180°，求所得到的图像对应的函数表达式．
押题解读
本考点为常考点之一，主要考查学生对材料的理解能力和应用，常常作为各题型的压轴题考查，难度较大，需要学生综合课本知识和给出的材料分析；作为考生我们遇到此类问题时，一定要切记认真审题，
逐字分析条件，做好标记，要学会把条件量化，这样做起来就简单多了。
72．【阅读材料】
老师的问题：
已知：如图， ABC中，ÐACB=90°，CD是斜边AB上的中线，求作：菱形AECD
V
小明的作法：
（1）取CD的中点F ，
（2）连接BF并延长到E，使FE=FB，
（3）连接AE，CE，四边形AECD就是所求作的菱形；
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形AECD是菱形．
73．阅读与思考，请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．
图算法
图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲
线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏
9
度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F = C+32得出，当C =10时，
5
F=50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进
行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？
1 1 1
我们可以利用公式 = + 求得R的值，
R R R
1 2
也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角
平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连
成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．
图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制
图人员，往往更能体会到它的优越性．
任务：
（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；
（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：
1 1 1
①用公式 = + 计算：当R =7.5，R =5时，R的值为多少；
R R R 1 2
1 2
②如图，在
V
AOB中，ÐAOB=120°，OC是
V
AOB的角平分线，OA=7.5，OB=5，用你所学的几何知识
求线段OC的长．
74．阅读与思考下面是项目学习小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
实验室使用量筒量取液体时，读数要平视，如图，量筒内的液面近似地看成AB，读数时，
视线CD垂直于量筒壁CD^EC，与AB相切于点D，点O为AB所在圆的圆心．小东
同学读数时，从点E处俯视点D（点E在
e
O上），记录量筒上点E处的高度EF为
12mm．小华同学记录量筒上点A处的高度AF 为6mm．
完成下列任务：
(1)连接OA，求证：ÐEAO=2ÐADC．
1
(2)若tanÐADC = ，求AC的长．
2
75．【阅读】
a+b
我们知道，a、b两数的算术平均数是 ，如图1，数轴上点A、B（点A在点B的左侧）分别表示数a
2
a+b
和b，那么线段AB的中点表示的数是 ．它们的表达形式之所以是一致的，其原因就是算术平均数的意
2
1
义与线段中点的意义是一致的．同样的，若点M在线段AB上且2AM =MB，即AM = AB，说明点M更
3
2 1
靠近点A，则可以利用加权平均数的意义，将点M表示为 a+ b．
3 3
【理解与运用】
(1)数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，点N在线段AB上，且AN =3NB，则点N表示的数为 ；
(2)在平面直角坐标系中，点P的坐标是x ,y ，点Q的坐标是  x ,y  ，线段PQ的中点坐标是
P P Q Qæx +x y +y ö 1
ç P Q , P Q ÷．线段PQ的三等分点也有相类似的结论，例如，点T在线段PQ上，PT = PQ，直接写
è 2 2 ø 3
出T点的坐标为（ ， ）；
1
(3)如图2，在平面直角坐标系中，点H、I、K分别是 EFG三边上的三等分点，且EH = EF，
V
3
1 1
FI = FG，GK = GE．试证明： EFG的重心与 HIK的重心重合．（三角形的三条中线的交点称为三角
V V
3 3
形的重心，重心到三角形的顶点和对边中点的距离之比为2∶1）