文档内容
2025 年中考数学终极押题猜想（安徽专用）
（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）
押题猜想一 基础代数知识选填小题.........................................................................................1
押题猜想二 基础几何知识选填小题.........................................................................................2
押题猜想三 综合计算相关的选填小题.....................................................................................4
押题猜想四 函数图象性质选填小题.........................................................................................5
押题猜想五 方程与不等式（组）选填小题.............................................................................8
押题猜想六 不等式与方程应用选填小题.................................................................................9
押题猜想七 概率选填小题.......................................................................................................10
押题猜想八 动点函数图象问题选填压轴...............................................................................12
押题猜想九 几何多结论问题选填压轴...................................................................................14
押题猜想十 几何图形翻折旋转问题选填压轴.......................................................................17
押题猜想十一 计算类解答题...................................................................................................18
押题猜想十二 应用类解答题...................................................................................................19
押题猜想十三 作图类解答题...................................................................................................21
押题猜想十四 统计与概率类解答题.......................................................................................24
押题猜想十五 解直角三角形类解答题...................................................................................29
押题猜想十六 规律探究类综合解答题...................................................................................31
押题猜想十七 与圆有关的计算证明类综合解答题...............................................................34
押题猜想十八 相似三角形类综合解答压轴题.......................................................................36
押题猜想十九 二次函数类综合解答压轴题...........................................................................40
押题猜想一 基础代数知识选填小题
限时：2min
蛇年春晚，机器人扭秧歌节目刷屏海内外，中国开启人形机器人智造的黄金时代．国产机器人不仅可以后
空翻，而且能前空翻．若人形机器人向前进行15次空翻记作+15，则人形机器人向后进行10次空翻记作
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．+10 B．―10 C．+5 D．―5
押题解读
押题理由：选填小题占总分40%+，覆盖科学记数法、因式分解等高频考点，因“陷阱题”失分率高，成提
分关键点。
押题依据：①2024新课标要求“真实情境中的代数表达”（P39），如经济折价/物理单位换算；②真题陷阱
集中“符号误判”（如负号遗漏）、“概念混淆”（如平方根与算术平方根）；③大数据显示“含参方程整数解”“分
式化简条件限制”错误率超50%。
押题秘籍：掌握“三步验算法”（代特殊值/逆运算/逻辑矛盾），熟记“裂项法”“十字相乘”速算模板，用“错题
本”归类符号/定义类错误。重点突破“跨学科代数题”（如pH值计算/利率模型），限时训练“组合条件题”
（如方程组与不等式联动），警惕“无解/多解”隐含条件。
1．手机通用的信号强度单位是dBm（毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强，下列信号
最强的是（ ）
1
A．―π B． C． 3 D．― 2
2
2．若―2025的绝对值是𝑎，则下列结论正确的是（ ）
1 1
A．𝑎=2025 B．𝑎= C．𝑎=―2025 D．𝑎=―
2025 2025
3．2025年1月11日，𝐷𝑒𝑒𝑝𝑆𝑒𝑒𝑘发布了官方𝐴𝑝𝑝，累计使用量迅速呈现指数级增长，截至2月9日下载量
已超1.1亿次，日活跃用户数最高达4541万，成为全球增速最快、用户规模第二的𝐴𝐼应用．45410000用科
学记数法表示为（ ）
A．4541×104 B．45.41×106 C．4.541×107 D．4.5×107
押题猜想二 基础几何知识选填小题
限时：2min
如图，两车从路段𝐴𝐵的两端同时出发，沿着某个方向行驶一段时间后分别到达𝐶，𝐷两地，使得𝐶，𝐷两地到
路段𝐴𝐵的距离相等，请添加一个条件 ，使得△𝐴𝐶𝐸和△𝐵𝐷𝐹全等（写出一个即可）．
学科网（北京）股份有限公司押题解读
押题理由：新课标强化“几何直观与逻辑基础”，选填小题占比超35%，聚焦三角形性质、对称变换等核心
考点，因“图形陷阱”与“定理误用”成高频失分区。
押题依据：①2024新课标新增“真实情境几何抽象”（P44），如包装盒展开图识别、地图比例尺换算；②
真题高频陷阱涉及“伪全等/相似条件”（如SSA误判）、“公式混淆”（如弧长/扇形面积）；③大数据显示“动
态几何盲点”（旋转重叠面积）错误率超55%。
押题秘籍：掌握“图形特征→定理匹配→逆向排除”三步法，熟记“常考模型图谱”（A字型、风筝模型），用
“错题本”归类“定理条件不满足”类错误。限时特训“组合图形题”（如圆内接多边形角度计算），强化“量角
器估测法”辅助验证，警惕“非标准图形误导”（如钝角三角形高线位置），结合折纸实验理解翻折对称本质。
1．下图是一把长度为10个单位的普通尺子，连同首尾共有11个等分刻度．现用它度量长度为6个单位的物
体，可行性方案的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．古代中国诸多技艺领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的
连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图
是某个部件“榫”的实物图，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，𝐴𝐵是半圆𝑂的直径，点𝐶在半圆上，𝐶𝐷是半圆的切线，𝑂𝐷⊥ 𝐴𝐵，若∠𝐶𝐴𝐵=28°，则∠𝐷的度数
学科网（北京）股份有限公司为（ ）
A．38° B．62° C．34° D．56°
4．如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线互相垂直，且满足𝐴𝑂=𝐶𝑂，要使四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，可添加的一个条件
是 ．
5．在古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，它代表着和谐与平衡．如图1所示的第四套人民
币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的示意图如图2所示，该正九边形的一个
内角∠𝐴的度数为 ．
押题猜想三 综合计算相关的选填小题
限时：2min
二次根式 𝑎(𝑎≥0)，给 𝑎赋予一个实际意义为 ．
押题解读
押题理由：新课标强化“运算能力与严谨性”，选填小题中综合计算占比超30%（据《2025中考命题白皮
书》），涵盖分式化简、根式运算等高频考点，因“跳步失误”“符号陷阱”成拉分关键。
押题依据：①2024新课标要求“真实情境下的多步计算”（P37），如科学记数法与单位换算联动；②真题
陷阱聚焦“含参运算条件遗漏”（如分母非零限制）、“公式变形错误”（如完全平方公式拆分）；③大数据显
学科网（北京）股份有限公司示“分式方程增根误判”“根式双重非负性忽略”错误率超60%。
押题秘籍：采用“分步检查法”（每一步标注依据公式），熟记“裂项通分”“分母有理化”速算模板，用“错题
本”归类“隐含条件”类陷阱。限时特训“跨学科计算题”（如税率阶梯计算/密度公式变形），强化“逆向代入
验证”习惯，警惕“单位未统一”“近似值精度”等细节扣分点。
1．下列多项式分解因式正确的是（ ）
A．𝑎2―𝑏2 =(𝑎―𝑏)2 B．𝑎2+𝑏2 =(𝑎+𝑏)2
C．𝑎2+2𝑎―3=𝑎(𝑎+2)―3 D．2𝑎―4=2(𝑎―2)
2．下面计算正确的是（ ）
A．𝑎2+𝑎2 =𝑎4 B．(―𝑎𝑏2)3 =𝑎3𝑏6
C．(𝑎+𝑏)2 =𝑎2+𝑏2 D．(𝑎―2𝑏)(𝑎+2𝑏)=𝑎2―4𝑏2
1 6
3．计算 ― 的结果等于（ ）
𝑎―3 𝑎2―9
1 1
A．𝑎+3 B． C．𝑎―3 D．
𝑎+3 𝑎―3
4．计算：3 8× 9= ．
5．按如图所示的程序计算，当输入𝑥的值为1时，输出的值为 ．
押题猜想四 函数图象性质选填小题
限时：2min
若二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏与反比例函
𝑐
数𝑦= 在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
𝑥
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
押题解读
押题理由：新课标强调"数形结合"核心素养，函数图像题占选填分值15%-20%（据《2025中考命题分
析》），重点考查图像识别与性质迁移能力，是区分学生数学思维的关键题型。
押题依据：①2024新课标新增"多函数图像对比分析"要求（P58）；②真题趋势呈现"动态参数图像判断"
（如含参一次函数斜率变化）、"跨情境图像匹配"（如行程问题s-t图转换）；③大数据显示"图像与解析式
对应关系混淆"错误率高达65%。
押题秘籍：掌握"三看"法则（看趋势、看截距、看关键点），建立"k/b符号-图像走向"快速反应体系，用"
特殊值代入法"验证图像特征，重点突破"分段函数图像"和"参数影响"题型。
𝑐
1．已知在同一平面直角坐标系中，二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥和反比例函数𝑦= 的图象如图所示，则一次函数
𝑥
𝑐
𝑦= 𝑥―𝑏的图象所经过的象限是（ ）
𝑎
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
学科网（北京）股份有限公司𝑎+𝑏(𝑎≥𝑏)
2．定义新运算：𝑎#𝑏= 𝑏 ．按此规定可得函数𝑦=𝑥#2(𝑥≠0)的图象大致为（ ）
― (𝑎<𝑏)
𝑎
A． B．
C． D．
3．两个一次函数𝑦 =𝑘𝑥―𝑏，𝑦 =―𝑏𝑥+𝑘，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）
1 2
A． B．
C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，经过(―1,0)、(3,0)的二次函数𝑦 的图像交𝑦轴于点𝐴，经过(―1,0)的一次
1
𝑦
函数𝑦 的图像交𝑦轴于点𝐵．若𝑂𝐴=𝑂𝐵，则函数𝑦= 1的图像是（ ）
2 𝑦
2
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
押题猜想五 方程与不等式（组）选填小题
限时：2min
𝑥―4𝑦=5
已知方程组 ，则𝑥+𝑦的值为 ．
3𝑥―2𝑦=3
押题解读
押题理由：新课标强化"代数推理与模型应用"，方程与不等式占选填题25%+（据《2025中考命题报告》），
聚焦含参方程、隐式条件不等式等易错点，是基础题提分关键。
押题依据：①2024新课标新增"实际问题中的不等式约束"要求（P43）；②真题创新考查"跨情境方程构建
"（如快递计费分段函数）、"不等式组整数解陷阱"；③大数据显示"参数讨论不完整"和"解集表示错误"失
分率达58%。
押题秘籍：掌握"解-验-判"三步法（解方程→验根→判取值范围），熟记"含参方程分类讨论模板"，用数轴
辅助分析不等式组解集。重点突破"绝对值方程"和"二次不等式图像法"，通过"特殊值测试"验证解的正确
性，警惕"分式方程增根"和"不等式方向变换"两大高频雷区。
1．若𝑥=2025是关于𝑥的方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+1=0的一个根，则关于𝑥的方程𝑎(𝑥+2)2+𝑏𝑥+2𝑏=―1必有一个
根为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．2023 B．2024 C．2025 D．2027
2．某同学在解关于𝑥的一元一次方程2𝑎+𝑥=3时，误将+𝑥看作÷𝑥，得到方程的解为𝑥=2，则原方程的
解为（ ）
1
A．𝑥=―3 B．𝑥= C．𝑥=2 D．𝑥=3
2
𝑥―2 𝑥+2
3．不等式 ― >―1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
2 6
A． B．
C． D．
3 1
4．代数式 和代数式 的值相等，则𝑥= ．
5𝑥+1 2𝑥
押题猜想六 不等式与方程应用选填小题
限时：2min
随着科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．如图，小明在距离某站牌192m处拿出
手机查看了公交车到站情况，发现最近一辆公交车还有4min到达该站牌处．若要保证小明不会错过这辆公
交车，则小明的最小平均速度为 m/s．
押题解读
押题理由：新课标要求"用代数模型解决真实问题"（，应用类小题占比显著提升（2024年达18%），聚焦
生活场景中的建模能力，是区分数学应用水平的关键题型。
押题依据：①2024新课标新增"跨学科情境建模"要求；②真题趋势呈现"阶梯收费方案优化""材料分配最
值问题"等实际应用；③考情显示"变量设定不合理""隐含条件遗漏"导致错误率超60%。
押题秘籍：掌握"审题→设元→建模→验证"四步法，建立"常见应用题型模板"（如利润=售价-成本-损耗）。
重点训练"分段函数模型"和"不等式约束条件"，用表格梳理题干信息，警惕"单位统一"和"取整问题"两大
易错点，通过代入边界值快速验证答案合理性。
学科网（北京）股份有限公司1．2025年1月29日《哪吒2》正式上映，一上映就获得全国人民的追捧，第四天票房约17.3亿元，若以后
两天每天票房按相同的增长率增长，第六天票房收入约18.1亿元．把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A．17.3(1+𝑥)=18.1 B．17.3(1+𝑥)2 =18.1
C．17.3(1+𝑥)3 =18.1 D．17.3+17.3(1+𝑥)+17.3(1+𝑥)2 =18.1
2．中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，精准扶贫方略是帮助贫
困人口、实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供
有益借鉴．为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱
贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
3．如图，某工厂生产的卷筒纸外直径为14厘米，总长度拉直后为62.8米．已知每层纸的厚度为0.02厘米，𝜋
取3.14，则这卷纸的内直径是 ．
4．“里拉斜塔”是一种结构，可以搭建出伸出长度超过木板本身的塔，最上面的木板相对于最下面的木板，
几乎是悬浮于空中．如图是某兴趣小组搭建的“里拉斜塔”，每块木板都是完全相同的长方体，根据杠杆平
1 1
衡原理可知，①号木板最多伸出自身长度的 ，②号木板最多伸出自身长度的 ，③号木板最多伸出自身长
2 4
1
度的 ，⋯⋯，按此规律，若每块木板的长度都为10 cm，则 （填编号）号木板最多可伸出2 mm．
6
学科网（北京）股份有限公司押题猜想七 概率选填小题
限时：3min
截至2025年2月27日，《哪吒之魔童闹海》成为全球动画电影票房冠军，该片还成为中国首部进入全球影
史票房榜前十的动画电影．1班同学利用班会准备从“𝐴哪吒、𝐵敖丙、𝐶太乙真人、𝐷申公豹”这四个人物中，
各选一个进行人物分析，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这4个人物，将
卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取
一张，以所抽取卡片正面的人物进行讲解．则甲、乙两人抽取到哪吒和敖丙的概率是 ．
押题解读
押题理由：新课标强调"数据分析观念"，概率小题占比12%-15%（据《2025命题趋势分析》），重点考查
生活场景中的概率模型构建能力，是体现数学应用价值的重要题型。
押题依据：①2024新课标新增"游戏公平性量化分析"要求（P72）；②真题创新融合"遗传规律""电子抽奖
程序"等跨学科情境；③大数据显示"几何概型转化失误""放回与不放回混淆"错误率超55%。
押题秘籍：掌握"概率=所求事件/所有可能"核心公式，区分"古典概型"与"几何概型"适用条件。用树状图/
表格系统列举复杂事件，重点突破"条件概率"与"频率估算概率"题型，警惕"有序与无序区别""整数解计
数遗漏"等易错点，通过模拟实验验证计算结果。
1．寿县古城位于安徽省淮南市，淮河南岸，依八公山．寿县古城始建于宋朝（1068－1224年），是棋盘式
布局的一座宋城．寿县古城有东门“宾阳门”，南门“通淝门”，西门“定湖门”，北门“靖淮门”四个城门供游客
出入，某个周末小浩、小凡在寿县古城内游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个城门离开，则他们恰
好从同一个城门出城的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 4 8 16
2．如图，一博物馆由圆形主馆A和三个圆形副馆𝐵，𝐶，𝐷组成．一游客从入口进入准备参观主馆和一个副
馆后离开，已知他参观副馆后随机从每个副馆的两个出口中的一个离开，则他从中间出口（即出口𝑒，𝑓）
学科网（北京）股份有限公司离开的概率是（ ）
1 2 1 1
A． B． C． D．
6 3 4 2
押题猜想八 动点函数图象问题选填压轴
限时：5min
如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐷为边𝐴𝐶上一点．动点𝐸以每秒1个单位长度的速度从点𝐴出发，沿折线
𝐴𝐵―𝐵𝐶匀速运动，到达点𝐶后停止，连接𝐷𝐸．设点𝐸的运动时间为𝑥（单位：秒），𝐷𝐸2为𝑦．在动点𝐸运动
的过程中，𝑦与𝑥的函数图象如图2所示．
（1）线段𝐴𝐷的长为 ；
（2）在整个运动过程中，𝑦的最大值为 ．
押题解读
押题理由：新课标强化"动态几何与函数结合"能力，动点图像题成选填压轴热点（2024年占比8%-12%），
通过几何图形运动考查函数图像识别与逻辑推理能力。
押题依据：①2024新课标新增"运动过程中的变量关系分析"；②真题创新考查"折返运动分段图像""多动
点叠加轨迹"等复杂模型；③大数据显示"运动临界点遗漏""图像转折特征误判"错误率达63%。
押题秘籍：掌握"运动分段→变量分析→图像匹配"三步法，建立"常见运动模型库"（如匀速、变速、往
学科网（北京）股份有限公司返）。用"特殊位置法"确定关键点坐标，重点突破"面积随时间变化"类题型，警惕"坐标轴比例失真""运动
方向反转"陷阱.
1．如图1，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90∘，一动点𝑃从𝐴出发，沿着𝐴→𝐵→𝐶的路径向终点𝐶运动，过点𝑃作
𝑃𝑄⊥𝐶𝐴，垂足为𝑄．设点𝑃的运动路程为𝑥，𝑃𝑄―𝐴𝑄的值为𝑦，𝑦与𝑥的函数图象如图2所示，则线段𝐵𝐶的
长为（ ）
A．4 2 B．5 2 C． 8 D．4
3 3 3
2．如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=4，∠𝐴=30°，动点𝑃，𝑄同时从𝐴出发，点𝑃以每秒3个单位长度
沿𝐴→𝐵→𝐶→𝐷向终点𝐷运动；点𝑄以每秒1个单位长度沿𝐴→𝐷向终点𝐷运动，当其中一动点运动至终点时，
另一动点随之停止运动．设运动时间为𝑥，△𝐴𝑃𝑄的面积为𝑦，则𝑦关于𝑥的函数关系的图像是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，字树机器人小P在三角形地块上进行走路测试，它从点A出发沿折线𝐴𝐵→𝐵𝐶→𝐶𝐴匀速运动至点A
学科网（北京）股份有限公司后停止．设小P的运动路程为x，线段𝐴𝑃的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲
线𝐷𝐸的最低点，当小P运动到点C时，小P到线段𝐴𝐵的距离为（ ）
9 7 9
A．4 3 B． 3 C． 3 D．
2 2 2
4．如图1，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶⊥𝐵𝐷，点𝐹从点𝐵出发，以2cm/s的速度沿𝐵→𝐶→𝐷匀速运动，点𝐸同
时从点𝐴出发，以2cm/s的速度沿𝐴→𝐵匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图2
是△𝐵𝐸𝐹的面积𝑆（cm2）随时间𝑡（s）变化的函数图象（图中𝑀𝑁为线段），𝐵𝐶= cm；当△𝐵𝐸𝐹的面
积为 45 cm2时，运动时间𝑡为 s．
2
押题猜想九 几何多结论问题选填压轴
限时：10min
如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点G为𝐶𝐷边上一点，以𝐶𝐺为边向右作正方形𝐶𝐸𝐹𝐺，连接𝐴𝐹，𝐵𝐷交于点P，连
接𝐵𝐺，过点F作𝐹𝐻∥𝐵𝐺交𝐵𝐶于点H，连接𝐴𝐻，交𝐵𝐷于点K，下列结论中：①𝐻𝐸=𝐶𝐷；②△𝐴𝐻𝐹是等
腰直角三角形；③点P为𝐴𝐹中点；④𝑃𝐾=𝐵𝐾+𝐷𝑃，错误的是 ．
押题解读
学科网（北京）股份有限公司押题理由：新课标注重"几何逻辑链的完整性"，多结论题型在选填中占比10%-15%（2024年数据），通过
组合判断考查定理的综合运用能力，是区分几何素养的关键题型。
押题依据：①2024新课标新增"复合命题的真值分析"要求；②真题呈现"圆与四边形复合结论""动态几何
多状态判断"等创新考法；③考情显示"充分必要条件混淆""逆向命题误判"错误率超58%。
押题秘籍：掌握"命题拆解→图形标注→定理反证"三步法，建立"常考结论库"（如"直径所对圆周角必为
直角"）。用"特例排除法"快速筛选选项，重点突破"动态条件下的结论判断"，警惕"伪命题陷阱"（如"相
似必全等"），通过构造反例验证命题严谨性。
1．如图所示，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知点𝐴(0,4)，𝑃(𝑡,𝑡)，且0<𝑡<4，点𝑄在𝑥轴的负半轴上，
𝑂𝑄>𝑂𝐴，将线段𝑄𝑃绕点𝑄逆时针旋转90∘变为线段𝑄𝐵，以𝑃𝐴，𝑃𝑄为邻边作▱𝑃𝐴𝐶𝑄，射线𝐵𝐶交𝑥轴于点𝐷，
𝐵𝐸是点𝐵到𝑦轴的垂线段．则下列结论中：①𝐴𝐶⊥𝐵𝑄；②四边形𝑂𝐷𝐵𝐸是正方形；③𝐴𝐸+𝐶𝐷=𝑂𝑄；④𝐶𝑄
存在最小值，且其最小值是2 2；⑤若连接𝑂𝑃，则𝑡值从小变大时，∠𝐴𝐶𝑄+∠𝑂𝑃𝑄的值先增大再减小，错
误的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=90°，𝐴𝐷是高，𝐵𝐸是中线，𝐶𝐹是角平分线，𝐶𝐹交𝐴𝐷于点𝐺，交𝐵𝐸于点
𝐻．下列结论：①𝑆 =𝑆 ；②∠𝐴𝐹𝐺=∠𝐴𝐺𝐹；③∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐻𝐶𝐵；④∠𝐹𝐴𝐺=2∠𝐴𝐶𝐹，其中错误的
△𝐴𝐵𝐸 △𝐵𝐶𝐸
是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．“藻井”是中国古代建筑中位于室内上方的特色结构，被誉为“室内最灿烂的星空”．某校数学小组的同学
在研究时发现智化寺藻（图1）、故宫太和殿藻井中都有类似图2的几何结构，他们通过测量得知𝐴 ,𝐵 ,𝐶 ,𝐷
1 1 1 1
分别是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的四条边的中点，将四边形𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 绕正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的中心顺时针旋转45°，可以得到
1 1 1 1
学科网（北京）股份有限公司四边形𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ,𝐸𝐿,𝐹𝐺,𝐻𝐼,𝐽𝐾分别经过点𝐴 ,𝐵 ,𝐶 ,𝐷 ，且平行于𝐴 𝐷 ,𝐴 𝐵 ,𝐵 𝐶 ,𝐶 𝐷 ．给出下面四个结论：
2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1
①E，F是线段𝐴𝐵的三等分点；
②𝐴 是线段𝐸𝐿的中点；
2
③𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽𝐾𝐿是正八边形；
④△𝐴𝐴 𝐷 的面积是△𝐴𝐸𝐿的面积的2倍．
1 1
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
4．如图，正方形边长为𝑎，点𝐸是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷内一点，满足∠𝐴𝐸𝐵=90°，连接𝐶𝐸．给出下面四个结论：
①𝐴𝐸+𝐶𝐸≥ 2𝑎；②𝐶𝐸≤ 5―1𝑎；③∠𝐵𝐶𝐸的度数最大值为60°；④当𝐶𝐸=𝑎时，tan∠𝐴𝐵𝐸= 1 ．上述结
2 2
论中，所有正确结论的序号为 ．
5．如图，⊙𝑂是△𝐴𝐵𝐶的外接圆，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，垂足为点𝐷，∠𝐴𝐶𝐷的平分线交𝐴𝐵于点𝐸，
交⊙𝑂于点𝐹．给出下面五个结论：
①∠𝐹𝐴𝐵=∠𝐹𝐶𝐵；②𝐸𝐵=𝐸𝐶；③𝐹𝐴=𝐹𝐸；
④当点𝐸与点𝑂重合时，若𝐴𝐵=6，则阴影部分的面积为9π―9 3；
2
学科网（北京）股份有限公司⑤当𝐴𝐸:𝐵𝐸=2:1时，△𝐴𝐸𝐹与△𝐵𝐶𝐸的面积比3:1．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
押题猜想十 几何图形翻折旋转问题选填压轴
限时：10min
正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为2，点𝐸在边𝐵𝐶上，将△𝐶𝐷𝐸沿直线𝐷𝐸翻折，使得点𝐶落在正方形内的点𝐹处，连接𝐵𝐹
并延长交正方形𝐴𝐵𝐶𝐷一边于点𝐺．当𝐵𝐸=𝐷𝐺时，则𝐵𝐸的长为 ．
押题解读
押题理由：新课标强化"空间观念与几何变换"，旋转翻折题作为选填压轴热点（占比10%-12%），考查动
态几何中的不变量思想，是区分高阶几何思维的核心题型。
押题依据：①2024新课标新增"复合变换的坐标规律"要求；②真题创新融合"多图形联动旋转"折叠
押题秘籍：掌握"轨迹追踪法"（标记关键点变换路径），熟记"旋转60°→构造等边三角形"等速解技巧。重
点突破"二次折叠/旋转叠加"问题，用"折纸实操+坐标系验证"双轨训练，警惕"动态过程中的临界状态"（如
共线时刻），
1．如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐹为𝐵𝐶边上靠近𝐵的三等分点，点𝐸为𝐴𝐷边上的动点，将矩形左侧沿𝐸𝐹翻折得
到𝐶′𝐷′𝐸𝐹，点𝐸从𝐷运动到𝐴的过程中，设点𝐶′的轨迹为Ω，点𝐷′的轨迹为Γ，𝐷′𝐹与Ω交于𝐺，若𝐵𝐶=6，
𝐶𝐷=3，则𝐷′𝐺的长为（ ）
A．1 B．2 C． 6 D． 10
1
2．在等腰Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=90°，点D在𝐴𝐵上，点E在𝐴𝐶上且𝐴𝐷=𝐶𝐸= 𝐴𝐶，连接𝐸𝐷，将△𝐴𝐸𝐷沿𝐸𝐷
4
翻折到Rt△𝐴𝐵𝐶的内部，得到△𝐴′𝐸𝐷，连接𝐴′𝐵．则tan∠𝐴′𝐵𝐷=（ ）
学科网（北京）股份有限公司3 2 3 1
A． B． C． D．
10 7 11 2
3．如图，正方形𝐴𝐸𝐹𝐺与正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长都为3，正方形𝐴𝐸𝐹𝐺绕顶点𝐴旋转一周，在此旋转过程中，线
段𝐷𝐹的长的取值范围是（ ）
A．3 2―3≤𝐷𝐹≤3 2+3 B．3 2≤𝐷𝐹≤6
C．3≤𝐷𝐹≤6 D．3 2―3≤𝐷𝐹≤0
4．如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷和正方形𝐶𝐸𝐹𝐺，将正方形𝐶𝐸𝐹𝐺绕着点𝐶旋转，连接𝐵𝐹，点𝐺恰好落在𝐵𝐹上时，连接
𝐷𝐹,𝐴𝐸,𝐴𝐸交𝐵𝐹于点𝐻．若𝐴𝐵=10,𝐷𝐹=2，则𝐴𝐻的长为 ．
5．如图，△𝐴𝐵𝐶中∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶=10cm，△𝐶𝐷𝐸中，∠𝐷𝐶𝐸=90°，𝐷𝐶=𝐸𝐶=6cm，直线𝐵𝐷
与直线𝐴𝐸交于点𝐹．现将△𝐷𝐶𝐸绕点𝐶旋转1周，在旋转过程中，∠𝐹= °，线段𝐴𝐹长度的最大值是
cm．
学科网（北京）股份有限公司押题猜想十一 计算类解答题
限时：4min
―1
（1）计算： 1 +(π+2023)0―2cos60°+ 9；
2
（2）解方程：𝑥2+6𝑥+8=0．
押题解读
押题理由：新课标注重"运算能力与过程规范"，计算题占解答题分值20%+（据《2025中考分析报告》），
重点考查分式、根式等综合运算，因步骤分占比高成基础题抢分关键。
押题依据：①2024新课标新增"真实情境下的多步运算"要求；②真题趋势呈现"代数式求值技巧化"（整
体代入/配方变形）、"跨知识点混合运算"（如三角函数与幂运算结合）；③考情显示"符号漏变""约分不彻
底"等过程性错误频发。
押题秘籍：严格遵循"审式→定序→分步→检验"四步流程，建立"运算优先级清单"，用"彩色标注法"追踪
符号变化。重点训练"条件求值题"（如"整体法"解分式方程），通过"逆向代入"验证结果，规范书写避免
跳步，特别警惕"去分母漏乘""开方未加±"等高频失误点。
1．（1）计算： 16+2sin60°+| 3―2|；
𝑥―2 2
（2）解方程： = ―2．
𝑥―1 1―𝑥
2．（1）计算：| 3―2|+2sin60°―(π―2025)0⋅3 27．
―1
（2）先化简，再求值：𝑚2―2𝑚+1 ÷ 𝑚2 ―1 ，其中𝑚= 1 ．
𝑚2―1 𝑚2+𝑚 3
―1
3．（1）计算： 1 ―2sin45°+|― 2|+(2021―𝜋)0
2
5𝑥―3>2𝑥+7
（2）解下列一元一次不等式组，并在数轴上表示解集： 2𝑥+1
≤𝑥+2
3
4．已知𝑥≠𝑦，𝑥≠―𝑦，有三个代数式：𝐴=2𝑥2―2𝑦2，𝐵=𝑥2―𝑥𝑦，𝐶=3𝑥2―6𝑥𝑦+3𝑦2．
(1)因式分解𝐴；
(2)在𝐴，𝐵，𝐶中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简．
押题猜想十二 应用类解答题
限时：5min
学科网（北京）股份有限公司【问题背景】
2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面
积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高25%；
素材二：购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元；
1
素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的 ．
3
【问题解决】
(1)求A，B两种书架的单价；
(2)设购买𝑎个A种书架，购买书架的总费用为𝑤元，求𝑤与𝑎的函数关系式，并求出总费用最少时的购买方
案．
押题解读
新课标深化“实践育人”导向，近5年应用类题型稳居40%以上，突出模型建构与跨学科迁移能力。
熟练“情境拆解→变量提取→模型验证”思维链，精练分段函数、动态几何、统计推断3类高频模型，关注
垃圾分类、新能源等政策热点衍生的数学问题。
1．利用以下素材解决问题．
莲藕定价问题
2025年央视元宵晚会上，一根来自湖北的长达2.33米、9节9孔的“藕王”惊艳亮相，
瞬间吸引了全网目光每逢冬季，排骨藕汤更是湖北人餐桌上必不可少的美食．某餐
饮店主打莲藕汤，其成本为5元/份，当售价为25元/份时，平均每天可以卖出120
素
份．
材
1
素 经市场调研发现：售价每上涨1元/份，每天要少卖出5份；售价每下降1元/份，每
材 天可多卖出10份．
学科网（北京）股份有限公司2
任
若涨价2元/份，则平均每天的销售量为_______份；若设降价𝑥元/份，则平均每天
务
的销售量为_______份（用含𝑥的代数式表示）．
1
任
务 若涨价销售，该餐饮店如何调整售价，才能使每天的利润达到2415元？
2
任
“元旦”假期，为保证藕汤的最佳口感，尽快减少库存，该餐饮店应如何调整售价才
务
能使每天的利润最高？
3
2．2025年3月12日是我国第47个植树节．植树节前，某校计划采购一批树苗参加植树节活动．经了解，
每棵乙种树苗比每棵甲种树苗贵10元，用900元购买甲种树苗的棵数恰好与用1200元购买乙种树苗的棵
数相同．
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格；
(2)学校计划购买甲、乙两种树苗共600棵，经过与供货商沟通，每棵甲种树苗的售价不变，每棵乙种树苗
的售价打9折，若要求购买时甲种树苗的数量不超过乙种树苗数量的2倍，则学校应该如何设计购买方案，
才能使购买树苗的总费用最少？
押题猜想十三 作图类解答题
限时：10min
图①，图②，图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点均称为格点，△𝐴𝐵𝐶的顶点均在格点
上．仅用无刻度的直尺；分别在给定的网格中按下列要求作图．
(1)在图①中，找一个格点𝐷，使得点𝐷为△𝐴𝐵𝐶的外心．
(2)在图②中，找一个格点𝐸，使得∠𝐵𝐸𝐶+∠𝐵𝐴𝐶=180∘．
(3)在图③中，找一个格点𝐹，使得∠𝐶𝐵𝐹+∠𝐵𝐴𝐶=90∘．
学科网（北京）股份有限公司押题解读
新课标强化“几何直观”核心素养，近3年作图题分值上升至12%-15%，注重动手实践与空间观念。
2024新课标新增“用数学工具表达真实情境”要求， 掌握尺规作图“五步验证法”（如角平分线双弧定位），
熟练三视图“虚实线转化规则”，强化旋转/对称作图“关键点追踪法”。重点关注“网格作图+函数结合”新题
型（如抛物线顶点平移），考前用坐标纸特训“无刻度直尺作图”陷阱，务必保留作图痕迹辅助线。
1．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△𝐴𝐵𝐶的顶点都在正方形网格的
格点（网格线的交点）上．将△𝐴𝐵𝐶经过一次平移得到△𝐴 𝐵 𝐶 ，点𝐴 、𝐵 、𝐶 分别是A、B、C的对应
1 1 1 1 1 1
点，△𝐴𝐵𝐶绕点A逆时针旋转90°后得到△𝐴𝐵 𝐶 ，点𝐵 、𝐶 分别是B、C的对应点．
2 2 2 2
(1)画出平移后的△𝐴 𝐵 𝐶 和旋转后的△𝐴𝐵 𝐶 ；
1 1 1 2 2
(2)利用格点画出线段𝐴𝐶的垂直平分线𝐷𝐸；
(3)平移过程中，线段𝐴𝐶扫过的图形面积是___________．
2．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点△𝐴𝐵𝐶（顶点均为网格线的交点）
和格点𝑂．
(1)以点𝑂为位似中心将△𝐴𝐵𝐶在网格中放大2倍得到△𝐴 𝐵 𝐶 ，请画出△𝐴 𝐵 𝐶 ；
1 1 1 1 1 1
(2)以点𝐵为旋转中心，将△𝐴𝐵𝐶按顺时针方向旋转90°，得到△𝐴 𝐵𝐶 ，请画出△𝐴 𝐵𝐶 ；
2 2 2 2
学科网（北京）股份有限公司(3)尺规作图：在𝐴 𝐶 上求作点𝑃，使𝑃𝐴 =𝑃𝐶．（不写作法，保留作图痕迹）
1 1 1
3．如图，在平面直角坐标系中，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点的坐标分别为𝐴(2,4)、𝐵(1,5)、𝐶(1,2)，直线𝑙：
𝑦=―𝑥．
(1)画出△𝐴𝐵𝐶关于𝑦轴对称的△𝐴 𝐵 𝐶 ，并写出𝐴 、𝐵 、𝐶 的坐标；
1 1 1 1 1 1
(2)画出△𝐴 𝐵 𝐶 关于直线𝑙对称的△𝐴 𝐵 𝐶 ，并写出𝐴 、𝐵 、𝐶 的坐标；
1 1 1 2 2 2 2 2 2
(3)△𝐴 𝐵 𝐶 能否由△𝐴𝐵𝐶绕某一点旋转得到，若能，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角度．若不能，请
2 2 2
说明理由．
4．如图，这是5×5的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
1
(1)如图1，在𝐴𝐵上作点𝐷,𝐴𝐶上作点E，连接𝐷𝐸，使得𝐷𝐸∥𝐵𝐶，且𝐷𝐸= 𝐵𝐶；
2
1
(2)如图2，在𝐴𝐵上作点𝐹,𝐴𝐶上作点G，连接𝐹𝐺，使得𝐹𝐺∥𝐵𝐶，且𝐹𝐺= 𝐵𝐶．
3
5．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段𝐴𝐶的位置如图．
(1)以C为旋转中心，将线段𝐴𝐶顺时针旋转90°，得到线段𝐶𝐴 ，然后向右平移1个单位长度，再向下平移2
1
学科网（北京）股份有限公司个单位长度，得到线段𝐴 𝐶 ，画出𝐴 𝐶 ；
2 2 2 2
(2)连接𝐴𝐴 ，过点C作△𝐴𝐶𝐴 的高𝐶𝐷；
1 1
(3)过𝐴𝐶的中点E作𝐸𝐹∥𝐶 𝐴 ．
2 2
押题猜想十四 统计与概率类解答题
限时：6min
2025年1月，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》的通知，将实验等探究实践纳入评价体
系．某校根据实际情况组织了一次理化实验操作测试，分为物理组和化学组，每场测试每组各有12名学生，
每名学生随机抽取1道试题进行测试，满分10分，成绩均为整数，下面是根据某场测试成绩绘制的不完整
的统计图表：
平均 方 中位
组别
分 差 数
物理
𝑎 2.08 7
组
化学
8.25 1.52 𝑏
组
请解答下列问题：
(1)𝑎=___________，𝑏=___________
(2)你认为哪一组学生的成绩较好？请说明理由．
(3)该场测试结束后，老师准备从四名得满分的学生中随机抽取两名分享实验操作经验，请用列表或画树状
学科网（北京）股份有限公司图的方法，求恰好抽到一名物理组和一名化学组学生的概率．
押题解读
2024新课标新增“用概率解释随机现象”（P89）；真题迭代出多源数据关联分析（如运动手环心率/步数相关
性）、复杂概率模型（游戏公平性/遗传规律）等；需掌握树状图/列表法求概率的“无重复无遗漏”原则，警
惕统计量陷阱（如方差与平均数混淆）。专项突破“图表嵌套题”（折线图+扇形图混合分析），考前建立“概
率-生活案例”对应库。
1．某数学小组为了了解甲、乙两个品牌的机器狗专卖店3月份销售额的情况，从这两个品牌的机器狗专卖
店中，各随机抽取了25家专卖店，获得了它们3月份销售额（单位：万元）的数据，并对数据进行整理、
描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲品牌抽取的机器狗专卖店销售额数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：60≤𝑥<80，
80≤𝑥<100，100≤𝑥<120，120≤𝑥<140，140≤𝑥<160，）
𝑏．甲品牌抽取的机器狗专卖店销售额数据在100≤𝑥<120这一组的是：100，100，101，109，114，115，
116，118．
c．甲、乙两个品牌抽取的机器狗专卖店销售额数据的平均数、中位数如下表：
平均 中位
数 数
甲 108 𝑚
乙 110 115
根据以上信息，回答下列问题．
(1)表中𝑚的值为___________．
(2)在甲品牌抽取的机器狗专卖店中，记3月份销售额高于它们的平均销售额的专卖店的个数为𝑝 ；在乙品
1
学科网（北京）股份有限公司牌抽取的机器狗专卖店中，记3月份销售额高于它们的平均销售额的专卖店的个数为𝑝 ．比较𝑝 ，𝑝 的大
2 1 2
小，并说明理由．
(3)若乙品牌共有200家机器狗专卖店，估计乙品牌的机器狗专卖店3月份的总销售额（直接写出结果）．
2．美育是传承中华文明的重要方式，是增强文化自信的重要力量．某校为建设美育育人环境，打造文明高
雅的校园文化，决定举办校园文化节，组织学生为文化节进行徽标设计比赛．经过初选，确定了五幅徽标
入围最后的评选．学校在各个年级随机进行“我最喜爱的徽标”问卷调查，被调查的学生只能选择其中的一
幅徽标．根据调查数据绘制成下面的两幅统计图：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是______．扇形统计图中D对应圆心角的度数为______
(2)把条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）
(3)该校共有2000名学生，请你估计选择E徽标的学生有多少人?
3．为倡导健康生活方式，国家将“体重管理”纳入健康战略．国际上常用身体质量指数（𝐵𝑀𝐼）来衡量人体
体重（单位：kg）
胖瘦程度，其计算公式是𝐵𝑀𝐼= ．中国人的𝐵𝑀𝐼数值标准为：𝐵𝑀𝐼<18.5为偏瘦；
身高2 单位：m2
18.5≤𝐵𝑀𝐼<24为正常；24≤𝐵𝑀𝐼<28为偏胖；𝐵𝑀𝐼≥28为肥胖．某校为调查九年级学生的胖瘦程度，
从该年级随机抽取10名学生，测得他们的身高和体重，并计算出相应的𝐵𝑀𝐼数值．
【收集数据】
九年级10名学生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体重
59.0 62.4 70.0 70.6 63.8 57.8 64.2 72.7 54.0 52.2
(kg)
身高(𝑚) 1.64 1.73 1.72 1.78 1.85 1.70 1.56 1.61 1.62 1.64
𝐵𝑀𝐼 21.9 20.8 23.7 22.3 18.6 𝑥 26.4 28.0 20.6 19.4
【整理数据】
学科网（北京）股份有限公司九年级10名学生𝐵𝑀𝐼频数分布表
组别 𝐵𝑀𝐼 频数
𝐴 𝐵𝑀𝐼<18.5 0
𝐵 18.5≤𝐵𝑀𝐼<24 𝑎
𝐶 24≤𝐵𝑀𝐼<28 𝑏
𝐷 𝐵𝑀𝐼≥28 1
【应用数据】
(1)求数据统计表中𝑥的值，并直接写出𝑎，𝑏的值．
(2)请估计该校九年级300名学生中𝐵𝑀𝐼≥24的人数．
4．某人工智能模型用于图像识别．共有50000幅图像，其中45000幅图像用于模型学习，剩下的5000幅
图像用于模型学习后的评估测试．
下面给出了学习时的正确率和学习后评估测试的正确率，部分数据如下：
学习次数 1 3 5 7 9 10 11 13
学习时的正确率 0.530 0.670 0.750 0.800 0.850 0.870 0.890 0.905
学习后评估测试
0.605 0.710 0.755 0.780 0.795 0.800 0.800 0.800
的正确率
(1)根据表格数据，在平面直角坐标系中，以学习次数为横坐标，以学习后评估测试的正确率为纵坐标，已
经绘制了相应的点，并用虚线表达变化趋势．请你以学习次数为横坐标，以学习时的正确率为纵坐标，绘
制相应的点，并用虚线表达变化趋势；
(2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①经过第12次学习，学习后评估测试的正确率和学习时的正确率差约为_______（结果保留小数点后三
学科网（北京）股份有限公司位）；
②至少经过_______次学习，学习后评估测试的正确率低于学习时的正确率；
③当学习后评估测试的正确率达到稳定时，用该模型识别100幅图像，估计_______幅能被正确识别．
5．为树立学生的劳动观念，某中学开展了劳动技能大赛，经过五轮比赛，最终甲、乙、丙三位选手获得一
等奖．小明同学对三位选手的五轮得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如
下：
信息一：甲、乙两位选手的得分折线图：
信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数、方差数据如下：
选手统
甲 乙 丙
计量
平均数 9.1 𝑏 9.1
中位数 𝑎 9.1 𝑐
方差 _____ 0.212 0.308
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中𝑎，𝑏，c的值：𝑎=________，𝑏=________，𝑐=________；
(2)根据以上信息可知，选手________发挥的稳定性更好（填“甲”或“乙”）．
(3)该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手？请说明理由．
押题猜想十五 解直角三角形类解答题
限时：8min
黄山迎客松是黄山的标志性景观，它位于黄山风景区玉屏楼的青狮石旁．如图，某直升飞机于空中M处探
测到迎客松，此时直升飞机的飞行高度𝑀𝑁为1703米，从直升飞机上看迎客松顶端A的俯角∠𝐶𝑀𝐴=35°，
学科网（北京）股份有限公司看迎客松根部B的俯角∠𝐶𝑀𝐵=45°．已知迎客松所处位置的海拔高度𝐵𝐷为1670米，求迎客松的高度𝐴𝐵
（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
押题解读
新课标要求“用数学解决真实情境问题”，近5年解直角三角形分值稳定在10%-12%，常结合工程测量、智
能设备定位等生活场景，凸显数学建模能力。 需熟记“测高/测距/坡度”三大模型公式链（如tanα=垂直高
度/水平距离），强化含特殊角（30°/45°）的构造思维，警惕“正弦/余弦混淆”“单位漏写”高频扣分点，考前
重点训练“无图多解”类开放题。
1．“一缕清风银叶转”，某市大型风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，
造福千家万户，某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成
的角为120°，当其中一片风叶𝑂𝐵与塔干𝑂𝐷叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的
仰角∠𝑂𝐸𝐷=45°，风叶𝑂𝐴的视角∠𝑂𝐸𝐴=30°．
(1)已知α，β两角和的余弦公式为：sin(𝛼+𝛽)=sin𝛼cos𝛽+cos𝛼sin𝛽，请利用公式计算sin75°的值；
(2)求风叶𝑂𝐴的长度．
2．如图1是户外钓鱼者，在斜坡𝐷𝐹上钓鱼，坡度为1∶3，抽象成数学图形如图2，鱼竿竿稍位于点A处，
距离斜坡面𝐴𝐷=50cm，鱼竿𝐴𝐵=450cm，𝐴𝐵与身体𝐷𝐸的夹角∠𝐸𝐴𝐵=48°，鱼线𝐵𝐶=600cm，与𝐴𝐵形
成的夹角∠𝐴𝐵𝐶=89°，鱼群在点C处，钓鱼者应把钓椅放在斜坡𝐷𝐹长度为多少时最合适？（参考数据：
学科网（北京）股份有限公司sin48°≈0.74，cos48°≈0.68，tan48°≈1.11，sin89°≈0.99，cos89°≈0.15，tan89°≈57.3，sin
41°≈0.66，cos41°≈0.76，tan41°≈0.89结果精确到个位）
3．图1是中国空间站材料舱外暴露实验装置，自2023年3月8日出舱至今，已在轨实验满一年．2024年3月
14日，装置及装置中安装的首批400余个材料样品圆满完成舱外暴露实验，成功返回中国空间站内．图2是
制作实验装置的某块原材料示意图，已知∠𝐷=90°，∠𝐵𝐴𝐷=71.6°，∠𝐴𝐵𝐶=63.4°，𝐴𝐷=𝐶𝐷=1米，求
四边形原材料𝐴𝐵𝐶𝐷的面积．（参考数据：tan63.4°≈2，tan26.6°≈0.5，tan71.6°≈3）
4．模拟医疗情境：某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离．为避免伤害器官，
检测射线可避开器官从侧面测量．某医学院两个医疗检测小组进行检测，通过医疗仪器获得相关数据，检
测方案与检测数据如表：
项目 检测新生物到皮肤的距离
测量工具 医疗仪器
检测小组 第一小组 第二小组
检测方案
说明 新生物在A处，点𝐵,𝐶在皮肤𝐷𝐸上
检测数据 ∠𝐷𝐵𝐹=32°,∠𝐺𝐶𝐸=46°,𝐵𝐶=10cm ∠𝐷𝐵𝐹=32°,∠𝐷𝐶𝐺=46°,𝐵𝐶=4cm
问题解决：
学科网（北京）股份有限公司(1)直接指出哪个小组的方案可行．
(2)根据可行方案的检测数据，计算出新生物到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin32°≈0.53,cos
32°≈0.85,tan32°≈0.62,sin46°≈0.72,cos46°≈0.69,tan46°≈1.04）
押题猜想十六 规律探究类综合解答题
限时：8min
【观察思考】
一人巷是位于合肥市国家5A级景区三河古镇风景区的一个著名景点（如图①），其墙体是由方砖按照一定规
律组合砌成的（如图②）．
当中竖放一块方砖，就横放6块方砖（如图③）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图④）；以此类
推．
【规律发现】
若一段墙一共竖放的方砖有n（n为正整数）块，则
（1）横放方砖的块数为__________（用含n的代数式表示）；
（2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为0.3×2+0.1；当竖放的方砖为2时，墙体的长度为
0.3×3+0.1×2；当竖放的方砖为3时，墙体的长度为0.3×4+0.1×3；……；当竖放的方砖为n时，墙
体的长度为__________．（墙体长度单位均为m）
【规律应用】
（3）已知需要砌一段长为42.3m的墙体，若按照图中规律需要方砖多少块？
押题解读
近3年规律题分值占比逐渐增大，聚焦数字、图形、代数式的模式发现与逻辑递推能力；2024新课标新增
“动态规律建模”要求（P67）；真题迭代出递推数列（斐波那契变形）、图形循环周期（如蜂巢结构）、多变
量联动规律（如光照强度与太阳能板角度）等创新题型. 掌握“观察-猜想-验证”三步法，熟记平方差/立方数
等特殊数列特征，强化“分式裂项”“错位相减”速算技巧。重点训练“动态规律可视化”（如GeoGebra模拟
学科网（北京）股份有限公司图形渐变），建立“生活案例-数学模型”对应库（如日历周期/细胞分裂），警惕“首项忽略”“递推项数偏移”高
频错误。
1．观察下列关于自然数的等式：
第1个等式：2×4―8=12―1；第2个等式：3×5―12=22―1；
第3个等式：4×6―16=32―1；第4个等式：5×7―20=42―1；⋯；
利用等式的规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：______；
(2)写出你猜想的第𝑛个等式（用含𝑛的式子表示），并证明．
2．我们知道能被3整除的数的规律，设𝑎𝑏𝑐是一个三位数，若𝑎+𝑏+𝑐可以被3整除，则这个数就能被3整除．
例如，三位数108，∵𝑎+𝑏+𝑐=1+0+8=9，9可以被3整除，∴108就能被3整除．
发现
将三位数𝑎𝑏𝑐去掉末尾数字𝑐得到两位数𝑎𝑏，再用𝑎𝑏减去𝑐的2倍所得的差为𝑎𝑏―2𝑐．若𝑎𝑏―2𝑐能被7整除，
则三位数𝑎𝑏𝑐就能被7整除．
验证
如，对于三位数364，∵36―2×4=28，28可以被7整除，∴364就能被7整除．
（1）用上述方法判断455能否被7整除？__________（填“能”或“不能”）；
探究
（2）请用含𝑎，𝑏，𝑐的代数式表示𝑎𝑏―2𝑐=______________；
（3）结合（2）论证“发现”中的结论正确．
3．观察下列等式：
①1×3+1=4=22
②2×4+1=9=32
③3×5+1=16=42
④4×6+1=25=52
……
(1)请根据你发现的规律填空：6×8+1=________=________；
(2)用含𝑛的等式表示上面的规律：_________；
(3)用你发现的规律解决下列问题：
学科网（北京）股份有限公司计算 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 ⋯ 1+ 1 ．
1×3 2×4 3×5 4×6 2023×2025
4．某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．图1为有1块六边形地砖
时，正方形地砖有6块，三角形地砖有6块；图2为有2块六边形地砖时，正方形地砖有11块，三角形地砖有10
块；⋯
(1)按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加______块，三角形地砖会增加______块；
(2)若铺设这条小路共用去𝑛块六边形地砖，用去的正方形地砖数量比用去的三角形地砖数量多30块，求𝑛的
值．
5．【问题提出】
甲、乙两人轮流从一堆石子中取石子，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始
石子总数为n，探究先手或后手必胜的策略．
【问题探究】
（1）基础情形验证：当每次最多取2颗（𝑚=2）时，填写下表并总结规律：
石子总数（n） 1 2 3 4 5 6 7
先手是否有必胜的
是 是 否
策略
结论：当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．
（2）扩展情形分析：若每次最多取3颗（𝑚=3）．
当𝑛=4时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略．
当𝑛=5时，先手第一次取______颗，可迫使后手陷入必输状态．
结论：当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略．
（3）数学归纳猜想：若每次最多取m颗（𝑚≥2），当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先
手有必胜的策略．
【问题解决】
当𝑚=7，𝑛=50时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择______（先手或后手），你的必胜策略是什
么？
学科网（北京）股份有限公司【问题拓展】
若规则改为每次至少取2颗（最后一次可取1颗），最多取4颗，其余策略不变．当𝑛=9时，先手第一次
应取______颗以确保必胜．
押题猜想十七 与圆有关的计算证明类综合解答题
限时：20min
综合与实践
【主题】圆形纸片与剪纸艺术
【素材】图1中半径为2的圆形纸片（⊙𝑂）若干．
【实践操作】活动一：如图2，在该圆形纸片（⊙𝑂）上剪出一个圆周角为90°的扇形．
活动二：如图3，在另一圆形纸片（⊙𝑂）内剪出一个内接正六边形，设该正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹的面积为𝑆 ，
1
再连接𝐴𝐶，𝐴𝐸，剪出△𝐴𝐶𝐸，设△𝐴𝐶𝐸的面积为𝑆 ．
2
活动三：在活动二的基础上，装饰粘贴上六个弧形花瓣，中心为点𝑂，𝐴𝐵所在圆的圆心𝐶恰好是△𝐴𝐵𝑂的内
心．
【实践探索】
(1)根据剪纸要求，计算图2中的扇形𝐴𝐵𝐶的面积．
𝑆
(2)请直接写出 1的值：______．
𝑆
2
(3)求弧形花瓣总的周长（图4中实线部分的长度）．（结果保留π）
押题解读
近5年圆相关题分值占比10%-14%，常融合传统文化（如园林设计）或科技场景（如卫星信号覆盖），凸
显综合应用能力。 2024新课标新增“动态圆与坐标系结合”要求（P68）；真题创新考查隐形圆模型（动点
轨迹）、圆与多边形综合（如正多边形的滚动周长）、跨学科应用（如齿轮传动计算）；“圆幂定理+相似三角
学科网（北京）股份有限公司形”双考点综合题占比超55%。 需熟练“垂径定理→勾股→三角函数”公式链，掌握切线判定“距离法”与“斜
率法”（坐标系中），强化“辅助线构造三法”（连半径、作弦心距、补全对称图形）。重点训练动态圆问题
（如GeoGebra模拟滚动圆轨迹），警惕“弦切角漏解”“弧长/面积公式混淆”高频错误，考前用工程图纸分析
传统建筑中的圆模型（如拱桥弧度计算）。
1．已知△𝐴𝐵𝐶内接于⊙𝑂，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐷为圆上一点，𝐷𝐹是⊙𝑂的切线，连结𝐶𝐷，与𝐴𝐵交于点
𝐸．
(1)如图1，延长𝐵𝐴与𝐷𝐹交于点𝐹．
①若∠𝐴𝐶𝐷=25°，求∠𝐹的大小．
②若𝐴𝐹=3，𝐷𝐹=5，求⊙𝑂的半径．
𝐶𝐴 4
(2)如图2，𝐴𝐶>𝐵𝐶，𝐷𝐹∥𝐴𝐵，延长𝐶𝐴与𝐷𝐹交于点𝐹，若 = ，求△𝐵𝐶𝐸与△𝐶𝐷𝐹的面积比．
𝐴𝐹 5
2．按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
(1)如图1，△𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴、𝐵在⊙𝑂上，点𝐶在⊙𝑂内，∠𝐴𝐶𝐵=90°，仅利用无刻度直尺在图中画⊙𝑂的
内接三角形𝐴𝐷𝐸，使△𝐴𝐷𝐸∽△𝐶𝐵𝐴；
(2)如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，以𝐴𝐵为直径的⊙𝑂交边𝐴𝐶于点𝐷，连接𝐵𝐷，过点𝐶作𝐶𝐸∥𝐴𝐵．
①请用无刻度的直尺和圆规作图：过点𝐵作⊙𝑂的切线，交𝐶𝐸于点𝐹；
②若𝐵𝐷=5，则𝐵𝐹的长度为多少．
3．如图1，以Rt△𝐴𝐵𝐶的直角边𝐴𝐵为直径画⊙𝑂，过𝐴作斜边𝐴𝐶的垂线交⊙𝑂于点𝐷，连结𝐶𝐷，交⊙𝑂于
点𝐸，交𝐴𝐵于点𝐹，连结𝐵𝐸．
学科网（北京）股份有限公司(1)若∠𝐴𝐶𝐷=30°，求∠𝐸𝐵𝐶；
(2)如图2，当△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形时，求𝐷𝐹:𝐶𝐸的值；
(3)若𝐴𝐵=2，设𝐶𝐷=𝑥，𝐶𝐸:𝐹𝐸=𝑦，求𝑦关于𝑥的函数表达式．
押题猜想十八 相似三角形类综合解答压轴题
限时：20min
问题情境
如图①，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶=2𝐴𝐵=4，连接𝐴𝐶，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐶顺时针旋转𝑛°(0<𝑛<180)得到
△𝐸𝐹𝐶，𝐴，𝐵的对应点分别为𝐸，𝐹．
数学思考
（1）如图①，在△𝐸𝐹𝐶旋转过程中，当点𝐹落在𝐴𝐷边上时，∠𝐸𝐹𝐷的度数为______；
问题探究
（2）如图②，直线𝐵𝐸交直线𝐶𝐹于点𝐺，在△𝐸𝐹𝐶旋转过程中，当𝐶𝐸⊥𝐴𝐶时，求𝐹𝐺的长；
问题解决
（3）如图③，连接𝐵𝐹，𝑀为线段𝐵𝐹的中点，连接𝐴𝑀，直线𝐸𝐹交直线𝐴𝐶于点𝑁，在△𝐸𝐹𝐶旋转过程中，𝐴𝑀
是否存在最小值，若存在，求出𝐴𝑀的最小值以及此时𝐴𝑁的长度；若不存在，请说明理由．
押题解读
学科网（北京）股份有限公司近年相似三角形压轴题分值占比增至10%-14%（据《2025中考数学年报》），掌握“三点定形→比例推导→
逆向验证”思维链，强化“等比代换”“中间量过渡”技巧，精练“无显性相似条件”的辅助线构造（如补全平行
线或对称轴）
1．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=90°，点𝐷是直线𝐵𝐶上一点，连接𝐴𝐷，将𝐷𝐴绕点𝐷顺时针旋转90°
得到𝐷𝐸，连接𝐴𝐸．
(1)如图1，若点𝐷在𝐵𝐶边上，且∠𝐷𝐴𝐵=60°，𝐶𝐷= 2，求线段𝐴𝐸的长；
(2)如图2，若点𝐷在𝐵𝐶的延长线上，点𝐹是𝐴𝐸的中点，𝐶𝐹的延长线交𝐵𝐴的延长线于点𝐺，探索线段𝐴𝐺，𝐴𝐶，
𝐶𝐷之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，若点𝐷在𝐵𝐶边上，点𝑃是𝐴𝐷的中点，𝐴𝐷=2，连接𝑃𝐶，将线段𝐴𝑃绕点𝐴旋转得到𝐴𝑄，连接𝐵𝑄，
将𝐵𝑄绕点𝐵逆时针旋转90°得到𝐵𝑀，连接𝑃𝑀，当𝑃𝐶取最大值时，直接写出此条件下△𝑃𝐶𝑀的面积的最大
值．
2．追本溯源
题（1）来自于课本中的练习题，请你提炼方法、类比探究，完成后面的题目．
(1)如图1，𝐴𝐵𝐶𝐷是一个正方形花园，𝐸、𝐹是它的两个门，且𝐷𝐸=𝐶𝐹，要修建两条路𝐵𝐸和𝐴𝐹，这两条路
等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
(2)如图2，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是边长为3的正方形，当点𝐸、𝐹分别是𝐴𝐷与𝐶𝐷的中点时，连接𝐴𝐹交𝐵𝐶的延长线于
点𝐻，连接𝐵𝐸交𝐴𝐹于点𝐺，连接𝐶𝐺，则𝐶𝐺=______．
(3)如图3，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是边长为3的正方形，点𝐸是𝐴𝐷延长线上一点，点𝐹是𝐶𝐷上一点．且𝐷𝐸=𝐷𝐹=1，
学科网（北京）股份有限公司连接𝐶𝐸交𝐴𝐹的延长线于点𝑃，求𝑃𝐸的长．
3．如图1，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶于点𝐷，点𝐸，𝐹分别为边𝐵𝐶，𝐴𝐵中点，连接𝐴𝐸，𝐷𝐹交于点𝐺，
连接𝐷𝐸．
(1)求证：∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐹𝐴𝐷；
(2)如图2，𝐻是𝐴𝐶边上一点，连接𝐸𝐻，且∠𝐺𝐸𝐻=∠𝐷𝐸𝐶．
①求证：𝐶𝐻=𝐷𝐺；
②若𝐴𝐵=4 5，𝐵𝐶=8，求𝐶𝐻的长．
4．在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动．
【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷，得到折痕𝐴𝐶，把纸片展平；
操作二：如图②，在边𝐴𝐷上选一点E，沿𝐵𝐸折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕𝐵𝐸；
操作三：如图③，在边𝐶𝐷上选一点F，沿𝐵𝐹折叠，使边𝐵𝐶与边𝐵𝐴重合，得到折痕𝐵𝐹．
把正方形纸片展平，得图④，折痕𝐵𝐸，𝐵𝐹与𝐴𝐶的交点分别为G、H．
（1）根据以上操作，得∠𝐸𝐵𝐹=________；
【探究证明】
（2）如图⑤，连接𝐺𝐹，试判断△𝐵𝐹𝐺的形状并证明；
【深入研究】
（3）如图⑥，连接𝐸𝐹，过点G作𝐶𝐷的垂线，分别交𝐴𝐵，𝐶𝐷，𝐸𝐹于点P、Q、M．请写出𝐸𝑀与𝑀𝐹的数量
关系，并说明理由．
学科网（北京）股份有限公司5．如图1，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=90∘，𝐵𝐶=2𝐴𝐵=12，点𝐷，𝐸分别是边𝐵𝐶，𝐴𝐶的中点，连接𝐷𝐸．将△𝐸𝐷𝐶
绕点𝐶按顺时针方向旋转，记旋转角为𝛼．
【问题发现】①当𝛼=0∘时， 𝐴𝐸 =___________；②当𝛼=180∘时， 𝐴𝐸 =___________；
𝐵𝐷 𝐵𝐷
【拓展探究】试判断：当0∘ ≤𝛼<360∘时， 𝐴𝐸 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
𝐷𝐵
【问题解决】当△𝐸𝐷𝐶旋转至𝐴，𝐷，𝐸三点共线时，直接写出线段𝐵𝐷的长．
押题猜想十九 二次函数类综合解答压轴题
限时：20min
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线𝑦=―𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点(2,3)，与𝑥轴交于点𝐴，𝐵（点𝐴在点𝐵左
侧），与𝑦轴交于点𝐶，对称轴直线𝑙为𝑥=1．
(1)求该抛物线的函数解析式及顶点坐标．
(2)设点𝐶关于直线𝑙的对称点为点𝐷，𝑃是直线𝑙上的一个动点，是否存在点𝑃，使𝑃𝐴―𝑃𝐷有最大值？若存在，
求出𝑃𝐴―𝑃𝐷的最大值；若不存在，请说明理由．
学科网（北京）股份有限公司2
(3)𝑀为抛物线上一点，连接𝑀𝐶，过点𝑀作𝑀𝑁⊥𝐶𝑀交直线𝑙于点𝑁，若tan∠𝑀𝐶𝑁= ，求点𝑀的坐标．
3
押题解读
二次函数作为初中数学核心模型，近年压轴题占比持续走高（《2025年报》显示达15%+），其融合经济优
化、物理运动等复杂场景，精准考查学生高阶建模、数形结合及分类讨论能力，契合新课标“应用意识”要
求。
①2024新课标明确“函数与不等式联动求实际极值”（P81）；②真题趋势聚焦“智慧城市信号覆盖”“抛物线
轨迹动态分析”等跨学科新题；③大数据显示“含参函数+多临界点讨论”题型错误率超60%，成命题热点。
采用“拆题三步法”（审题建系→建模求解析式→实际意义验证），强化“分段函数”边界意识及“参数变动对
开口/顶点影响”动态分析。专项攻克“多函数交叉求最优解”题型（如利润-成本双抛物线模型），善用
GeoGebra模拟参数变化，总结“区间最值误判”“交点漏解”等7类高频错因，结合真题提炼“经济类”“几何
类”“物理类”三大母题破题模板。
1．如图，抛物线𝑦=―𝑥2+𝑏𝑥+𝑐与𝑥轴交于点𝐴(―1,0)，点𝐵，与𝑦轴交于点𝐶(0,3)，直线𝑙∥𝐵𝐶，且与抛
物线交于M，N两点．
(1)求抛物线和直线𝐵𝐶的函数表达式；
(2)设点M，N的横坐标分别为𝑥 ,𝑥 ，试判断𝑥 +𝑥 的值是否会改变？若不变，求出该值；若改变，请说
𝑀 𝑁 𝑀 𝑁
明理由；
(3)若直线𝑙在直线𝐵𝐶上方运动，交点𝑀在点𝑁的左侧．作直线𝑀𝐶与𝑁𝐵交于点𝑃，如图2所示．在直线𝑙运动
的过程中，试说明：点𝑃的横坐标是一个定值．
2．如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥―2与𝑥轴分别交于点𝐴(―1,0)、点𝐵（点𝐴在点𝐵的左侧），与𝑦轴交于点𝐶，对
3
称轴为直线𝑥= ．
2
学科网（北京）股份有限公司(1)求抛物线解析式；
(2)点𝑃为直线𝐵𝐶下方抛物线上一点，连接𝑃𝐵，𝑃𝐶，点𝑀为抛物线对称轴上一动点，𝑀𝑁⊥𝑦轴，垂足为𝑁，
连接𝑀𝑃，𝑁𝐵，当△𝑃𝐵𝐶面积最大时，求此时点𝑃的坐标及𝑃𝑀+𝑀𝑁+𝑁𝐵的最小值；
(3)将抛物线沿射线𝐵𝐶方向平移后过点𝐶，在新抛物线上是否存在一点𝑄，使∠𝐵𝐴𝑄与∠𝑂𝐶𝐴互补，若存在，直
接写出点𝑄的坐标；若不存在，请说明理由．
3．已知抛物线𝐺:𝑦=𝑎(𝑥+1)(𝑥―4)（𝑎为常数，𝑎≠0）经过点𝐶(0,4)，函数图像与𝑥轴交于点𝐴，𝐵（𝐴在𝐵
的左边），其对称轴与𝑥轴相交于点𝐸．
(1)求𝑎的值；
(2)𝑄为𝑥轴上方抛物线上的动点，过点𝑄作直线𝐴𝑄，𝐵𝑄，分别交抛物线的对称轴于点𝑀，𝑁．点𝑄在运动过
程中，𝐸𝑀+𝐸𝑁的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
(3)已知坐标系中有一直线𝐿:𝑦=―𝑥+𝑡，点𝐷为抛物线𝐺上任意一点，点𝐹为直线𝐿上任意一点，如果𝐷，𝐹两
点间的距离的最小值大于2，求𝑡的取值范围．
4．如图，直线𝑦=―𝑥+4分别交𝑥、𝑦轴于𝐵，𝐶点，抛物线𝑦=― 1 𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过𝐵，𝐶两点且与𝑥轴交于另
2
一点𝐴，点𝑃是𝑥轴上方抛物线上一点，且点𝑃的横坐标为𝑚．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图1，当点𝑃是抛物线的顶点时，连接𝑃𝐴交𝐵𝐶于点𝐸．求𝐶𝐸与𝐵𝐸之间的数量关系；
(3)过𝑃作𝑃𝑀⊥𝑥轴于𝑀，𝑃𝑁⊥𝑦轴于𝑁，令矩形𝑃𝑀𝑂𝑁的周长为𝐶．
学科网（北京）股份有限公司①求𝐶与𝑚的函数解析式；
②若矩形𝑃𝑀𝑂𝑁围成的区域（不含边界，即矩形四条边上的点不符合区域）记为𝑈，当𝐶≤10且𝑈内恰有奇
数个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出𝑚的取值范围．
5．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥―4(𝑎≠0)的图象与𝑥轴交于𝐴(4,0),𝐵(―1,0)两点，
与𝑦轴交于点𝐶．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当𝑦>0时，𝑥的取值范围是______；
(3)如图2，点𝑃是直线𝐴𝐶下方抛物线上的一个动点，连接𝐴𝑃、𝐴𝐶、𝐵𝑃、𝐵𝐶，线段𝐴𝐶与𝐵𝑃交于点𝑄，设△𝑃𝐴𝑄
的面积为𝑆 ,△𝐵𝐶𝑄的面积为𝑆 ，当𝑆 ―𝑆 取最大值时，求点𝑃的坐标；
1 2 1 2
(4)当―1≤𝑥<𝑚时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，求𝑚的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司
