文档内容
2025 年中考数学终极押题猜想（山东专用）
（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）
押题猜想一 由分式方程解的情况或不等式组的解集的情况求参数.....................................1
押题猜想二 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系.....................................................6
押题猜想三 新定义问题...........................................................................................................10
押题猜想四 规律问题（数字类、图形类）...........................................................................16
押题猜想五 反比例函数k的几何意义...................................................................................25
押题猜想六 二次函数的图象与性质（选填）.......................................................................33
押题猜想七 几何综合压轴（选填）.......................................................................................41
押题猜想八 统计与概率（解答题）.......................................................................................53
押题猜想九 解直角三角形（解答题）...................................................................................64
押题猜想十 平行四边形（解答题）.......................................................................................75
押题猜想十一 反比例函数与一次函数综合（解答题）...........................................................84
押题猜想十二 圆（解答题）.......................................................................................................99
押题猜想十三 二次函数图像与性质（解答题）.....................................................................109
押题猜想十四 二次函数实际问题（解答题）.........................................................................118
押题猜想十五 几何综合：类比探究（解答题）.....................................................................130
押题猜想一 由分式方程解的情况或不等式组的解集的情况求参数
限时：4min
ì3x+6
ï ³x+2 a 2y
（原创）若关于x的不等式组í 2 有解且最多有4个整数解，且关于y的分式方程 =3-
y-3 3-y
ï î6x-a<1
的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ．
【答案】-1
【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，
不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且最多有4个整数解确定出a的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可．
ì3x+6
ï ³x+2①
【详解】解：í 2 ，
ï î6x-a<1②
由①得：x³-2，
a+1
由②得：x< ，
6
ì3x+6
ï ³x+2
∵关于x的不等式组í 2 有解，
ï î6x-a<1
a+1
∴-2£x< ，
6
Q
不等式组有解且最多有4个整数解，
a+1
\-2< £2，
6
解得：-130，再因分式方程要有意义则x¹2，进而计算出k的取值范围即可．
【详解】解： 2(2-x)+1-k =1
4-2x-k =0
4-k
x=
2
根据题意x>0且x¹2
ì4-k
>0
ï
ï 2
∴í
4-k
ï ¹2
îï 2
ìk <4
∴í
îk ¹0
∴k的取值范围是k <4且k ¹0．
2a 4
【分式方程有增根】 2．若分式方程 = +5有增根，则a= ．
x+2 x+2
【答案】2
【分析】本题主要考查了分式方程中增根的运用，熟练掌握相关方法是解题关键．首先将分式方程去掉分
母转化为整式方程，根据分式方程有增根进一步得出整式方程的解，由此代入整式方程求出a的值即可．
2a 4
【详解】解： = +5，
x+2 x+2
去分母得：2a=4+5x+2，
2a-14
解得：x= ，
5
2a 4
∵分式方程 = +5有增根
x+2 x+2
∴x=-2，
2a-14
∴ =-2，
5
解得：a=2，
故答案为：2．
ax 2
【分式方程无解】 3．若关于x的分式方程 + =3无解，则a的值为 ．
x-2 2-x
【答案】1或3
【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，
两种情况进行求解即可．【详解】解：方程去分母，得：ax-2=3x-6，
整理，得：a-3x=-4；
∵方式方程无解，
①当整式方程无解时：a-3=0，解得：a=3；
②当分式方程有增根时，则：x-2=0，解得x=2，
把x=2，代入a-3x=-4，得：2a-3=-4，
解得：a=1；
故答案为：1或3．
ì7-2x£1
【不等式组解集求参数】 4．若关于x的不等式组í 的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ）
îx-m<0
A．5m-6
【不等式组与三边关系】5．线段3,3,m能构成三角形，且使关于x的不等式组í 有解的所有
î-3x+8³3m-4
整数m的和为 ．
【答案】10
【分析】本题考查构成三角形的三边关系、解不等式组、不等式组有解时参数范围等知识，先由三角形三
边关系得到0m-6①
í ，
î-3x+8³3m-4②
由②得x£4-m，
ì x>m-6
Q
关于x的不等式组í 有解，
î-3x+8³3m-4
\不等式组的解集为m-6m-6
则使关于x的不等式组í 有解的所有整数m的和为1+2+3+4=10，
î-3x+8³3m-4
故答案为：10．
ìx-1 x
³ -1
ï
ï 2 3
【不等式组与一元二次方程】6．若关于x的不等式组í 有且仅有4个整数解，且使关于x的一
1
ï3x- m<0
ïî 2
元二次方程x2-(2m+1)x+m2+3=0有实数根，则符合条件的整数m的和为 ．
【答案】18
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解、一元二次方程根的判别式，解本题的关键在综合得出m
ì x³-3
ï 1
的取值范围．把不等式组整理为í 1 ，再根据不等式组有解，得出不等式组的解集为-3£x< m，再
x< m 6
ï
î 6
根据不等式组有4个整数解，得出关于x的不等式组的整数解为：-3、-2、-1，0，进而得出00时，方程有两个不相等的两个实数根；②
当D =0时，方程有两个相等的两个实数根；③当D<0时，方程无实数根．及一元二次方程的定义即可得
出结果．
【详解】解：当m-2¹0时，方程为一元二次方程，由题意得：
D=2m+12-4m-2m-2³0，
即4m2+4m+1-4m2+16m-16³0，
3
解得：m³ 且m¹2，
4
当m=2时，方程m-2x2+2m+1x+m-2=0为：一元一次方程，有实数根，
3
∴关于x的方程m-2x2+2m+1x+m-2=0有实数根，则m的取值范围是m³ ．
43
故答案为：m³ ．
4
【一元二次方程解的定义】2．已知x = m 是一元二次方程x2-x-1=0的一个根，则代数式2025-m2+m的
值是 ．
【答案】2024
【分析】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查
了整体代入的思想．
把x=m代入方程，整理得m2-m=1，把所求的代数式变形为2025-(m2-m)，再整体代入计算即可．
【详解】∵x=m是一元二次方程x2-x-1=0的一个根，
∴m2-m-1=0，
即m2-m=1，
∴2025-m2+m=2025-(m2-m)=2025-1=2024，
故答案为：2024．
1
【根的判别式及根与系数的关系】3．若x，x 是已知关于x的方程x2-(m-1)x+ m2 =0的两个实数根，
1 2 4
1 1
且xx - mx - mx +m=-4，则m的值为 ．
1 2 2 1 2 2
【答案】-2
【分析】本题考查了根的判别式及根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a¹0)的两根
1 2
b c
时，x +x =- ，xx = ，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键．先由根的判别式求得m的取值范
1 2 a 1 2 a
1
围，再根据根与系数的关系得x +x =m-1，xx = m2,再代入列方程求解即可．
1 2 1 2 4
1
【详解】解： 关于x的方程x2-(m-1)x+ m2 =0有两个实数根，
Q
4
\Δ=é-m-1ù 2 -4´1´ 1 m2 ³0，
ë û
4
1
解得：m£ ，
2
1
根据根与系数的关系得x +x =m-1，xx = m2,
1 2 1 2 4
1 1
xx - mx - mx +m=-4，
Q 1 2 2 1 2 2
1
\xx - mx +x +m=-4，
1 2 2 1 21 1
\ m2- mm-1+m=-4，
4 2
解得：m =8,m =-2，
1 2
1
m£ ，
Q
2
\m=-2，
故答案为：-2．
【一元二次方程解的定义及根与系数的关系】4．若m，n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根，则
m+n-22的值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求
b
出n2-5n+2=0，m+n=- =5，从而得到n2 =5n-2，再将原式利用完全平方公式展开，利用n2 =5n-2
a
替换n2项，整理后得到m+n+2，再将m+n=5代入即可．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根，
b
∴n2-5n+2=0，m+n=- =5，
a
则n2 =5n-2
∴m+n-22
=m+n2-4n+4
=m+5n-2-4n+4
=m+n+2
=5+2
=7
故答案为：7
2
【与函数图像结合】5．已知关于x的一元二次方程x2+2x+1-k =0无实数根，则函数y=kx与函数y=
x
的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k
的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置．【详解】解：∵方程x2+2x+1-k =0无实数根，
∴Δ=4-41-k<0，
解得：k <0，则函数y=kx的图象过二，四象限，
2
而函数y= 的图象过一，三象限，
x
2
∴函数y=kx与函数y= 的图象不会相交，则交点个数为0，
x
故选：A．
押题猜想三 新定义
限时：6min
（原创）现定义对于一个数a，我们把a称为a的“邻一数”；若a³0，则a=a-1；若a<0，则
a=a+1．例如：1=1-1=0，-0.5=-0.5+1=0.5．下列说法，其中正确结论有（ ）个
①若a¹b，则a¹b；
②当x>0，y<0时，x-1=y+1，那么代数式x2+3y+y2-3x-2xy的值为4；
5 3 1
③方程m-1+m+2=-2的解为m=- 或m=- 或m=- ；
2 2 2
④若函数y= -x2-3 +3x +3 ，当y>0时，x的取值范围是-40，y<0时，根据
5
“邻一数”定义，可得x-y=4，代入计算即可判定②；当m<-2时，可解得m=- ，当-2£m<1时，可解
2
3 1
得m=- ，当m³1时，解得m=- ，舍去，可判定③；根据“邻一数”定义，得
2 2
y= -x2-3 +3x +3=-x2-3+1+3 x +3-1=-x2+3 x +4，画出函数图象，根据图象求出x的取值范
围，即可判定④．【详解】解：①当a=1.5，b=-0.5时，则a=1.5=1.5-1=0.5，b=-0.5=-0.5+1=0.5，
∴
a=b，
∴若a¹b，则a¹b错误，故①错误；
②当x>0，y<0时，
∵
x-1=y+1，
∴x-1-1= y+1+1，即x-y=4，
∴x2+3y+y2-3x-2xy=x-y2 -3x-y=42-3´4=4，故②正确；
③∵
m-1+m+2=-2，
当m<-2时，
5
m-1+1+m+2+1=-2，解得m=- ；
2
当-2£m<1时，
3
m-1+1+m+2-1=-2，解得m=- ；
2
当m³1时，
1
m-1-1+m+2-1=-2，解得m=- ，舍去；
2
5 3
∴方程m-1+m+2=-2的解为m=- 或m=- ，故 ③错误；
2 2
④∵y= -x2-3 +3x +3=-x2-3+1+3 x +3-1=-x2+3 x +4，
其图象为：
由图象可得：当y>0时，-40，
a
b>0），将m,n与n,m称为数对a,b的一对“和谐数对”．例如：4,1的一对“和谐数对”为 æ ç 1 ,1 ö ÷和
è2 ø
æ 1ö
ç1, ÷．
è 2ø
(1)数对9,5的一对“和谐数对”是______；
(2)若数对16,b的一对“和谐数对”相同，则b的值为______；
(3)若数对a,b的一个“和谐数对”是5,4，直接写出ab的值______．
æ1 ö æ 1ö
【答案】(1)ç , 5÷，ç 5, ÷
è3 ø è 3ø
1
(2)
16
25 16
(3) 或
16 25
【分析】本题主要考查了新定义的实数运算：
（1）利用“和谐数对”的规定解答即可；
（2）利用“和谐数对”的定义列出关于b的等式解答即可；
（3）利用“和谐数对”的定义列出关于a、b的等式解答即可．
æ 1 ö æ 1 ö æ1 ö æ 1ö
【详解】（1）解：数对9,5的一对“和谐数对”是ç , 5 ÷和ç 5, ÷，即ç , 5÷和ç 5, ÷；
è 9 ø è 9ø è3 ø è 3ø
æ1 ö æ 1ö
故答案为：ç , 5÷，ç 5, ÷
è3 ø è 3ø
（2）解：∵数对16,b的一对“和谐数对”相同，1
∴ = b，
16
1
∴b= ；
16
1
故答案为：
16
（3）解：∵数对a,b的一个“和谐数对”是5,4，
1 1
∴ =5, b =4或 =4, b =5，
a a
1 1
∴a= ,b=16或a= ,b=25，
25 16
1 16 1 25
∴ab= ´16= 或ab= ´25= ．
25 25 16 16
25 16
故答案为： ，
16 25
【一元一次不等式组】2．在平面直角坐标系中，对于点Px,y，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特
y
别地，当 （其中xy¹0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点P2a-4,a+3在第二象限，下
x
列说法正确的是（ ）
A．a<-3
B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为2个
D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和小于10
【答案】D
【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a
的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用
“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D．
【详解】解：∵点P2a-4,a+3在第二象限，
ì2a-4<0
∴í ，
îa+3>0
∴-30)上，连接AO并延长，交双曲线y = (x<0)于点B，点C为x
1 x 2 4x
轴上一点，且AO= AC，连接BC，若
V
ABC的面积是6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的k的几何意义，掌握反比例函数的k几何意义是解题的关键．
AD
过点A作AD^x轴，过点B作BF ^x轴，根据相似三角形的判定和性质得出 =2，确定OC =2OD，
BF
然后结合图形及面积求解即可．
【详解】解：过点A作AD^x轴，过点B作BF ^x轴，如图所示：
∴AD∥BF ，
∴ AOD∽ BOF ，
V V
k k
∵点A在双曲线y = (x>0)上，点B在y = (x<0)，
1 x 2 4x
k
k 4 k
∴S = ,S = =
VAOD 2 VBOF 2 8
S
∴ VAOD =4，
S
VBOF
AD
∴( )2 =4，
BF
AD
∴ =2，
BF1
∴BF = AD，
2
∵AO= AC，AD^x轴，
∴OC =2OD，
1 1
∵ OD´AD= k，
2 2
∴OD´AD=k，
∴OC´AD=2k
1 1 1
∴S = S +S = OC´AD+ OC´BF = OC´(AD+BF)
VABC VAOC VBOC 2 2 2
1 3 3 3
= OC´ AD= OC´AD= k =6
2 2 4 2
∴k =4，
故选：C．
押题解读
本考点为重要考点，反比例函数能在在选填部分的考查的内容不多，基本就是图像性质和k的几何意义。
山东省各地区中考中，k的几何意义出现的次数较多。大多都是直接套用模型，难度不大。做好模型积累
即可轻松解决问题。
【平移】1．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC
摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然
6
后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数y=
x
的图象上，则a的值为 ．
【答案】2或3【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．
6
先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数y=
x
的图象上，列出方程求解即可．
【详解】解：∵OA=OB=5，
∴A-5,0,B0,5，
设平移后点A、B的对应点分别为A¢、B¢，
∴A¢-5+a,-a,B¢a,5-a，
6
∵A¢、B¢两点恰好都落在函数y= 的图象上，
x
6
∴把B¢a,5-a代入y= 得：a5-a=6，
x
解得：a=2或a=3．
故答案为：2或3．
k
【菱形】2．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y= 的图象上，对角线AC与BD的交点恰
x
好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是 ．
【答案】-3
【分析】由点A（1，1），求得OA= 2，进而求得OB= 6，根据点B在直线BD：y=-x上，可以求得点B
的坐标，从而可以求得k的值．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点A（1，1），
∴OA= 2，2
OA
∴BO= = 3 = 6，
tan30°
3
∵直线AC的解析式为y=x，
∴直线BD的解析式为y=-x，
∵OB= 6，
∴点B的坐标为（- 3， 3），
k
∵点B在反比例函数y= 的图象上，
x
k
∴ 3= ，
- 3
解得，k=-3，
故答案为-3．
14 k
【三角形】3．点A在反比例函数y =- 的图象上，点B在反比例函数y= 的图象上，连接并延长AB，
x x
交y轴于点C，且AC ^ y轴，连接OA，D是OA的中点，S =1.5，则k的值为 ．
△ABD
【答案】-8
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点
是关键．
【详解】解：如图，连接OB，
∵D是OA的中点，S =1.5，
△ABD∴S =2S =2´1.5=3，
VAOB VABD
14
∵点A在反比例函数y =- 图象上，
x
1
∴S = ´ -14 =7，
VAOC 2
∴S =S -S =7-3=4，
VBOC VAOC VAOB
∴ k =2S =2´4=8，
VBOC
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k =-8．
故答案为：-8．
4
【正方形】4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= x+4的图象与x轴，y轴分别相交于点B，点
3
k
A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y= (x＜0)的图象上，则k的值为 ．
x
【答案】-21
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可．
4
【详解】解：∵一次函数y＝ x+4中，当x＝0时，y＝0+4＝4，
3
∴A（0，4），
∴OA＝4；
4
∵当y＝0时，0＝ x+4，
3
∴x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
∴OB＝3；
如图，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
在△AOB和△BEC中，
ìÐCBE=ÐBAO
ï
íÐBEC =ÐAOB ，
ï
îBC = AB
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝AO＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝3+4＝7，
∴C点坐标为（﹣7，3），
k
∵点C在反比例函数y＝ （x＜0）图象上，
x
∴k＝﹣7×3＝﹣21．
故答案为：﹣21．
【与相似三角形结合】5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在y轴的正半轴上，反
k
比例函数y= (x>0)的图象分别交AB于中点D，交OC于点E，且CE:OE =1:2，连接AE，DE，若S =2，
x △ADE
则k的值为 ．64 1
【答案】 /9
7 7
【分析】本题考查平行四边形性质，三角形中位线，相似三角形判定与性质．连接BE，延长BC交x轴于
æ kö 8 4
H，过E作EG^x轴于G，DF ^x轴于F，可求S 平行四边形AOCB =2S VAEB =8，设Dç è a, a ÷ ø ，可求OA= 2a = a ，
OE 2 4 2
由CE:OE =1:2，可求 = ，由EG∥CH ，可证 OGE∽ OHC，可求OG= a，EG= CH ，求出
V V
OC 3 3 3
æ4 4k 16ö
Eç a, - ÷，据此求解即可．
è3 3a 3aø
【详解】解：连接BE，延长BC交x轴于H，过E作EG^x轴于G，DF ^x轴于F，
∴DF∥BH ，
AD OF
∴ = ，
BD FH
∵点D为AB中点，
1
∴AD=BD= AB，OF =FH ，
2
∵S =2，
△AED
∴S =2S =4，
VAEB VAED
∴S =2S =8，
平行四边形AOCB VAEB
æ kö
设Dça, ÷，
è aø
OF =a，FH =OF =a，OH =2a，
8 4
OA= = ，
2a a
∵CE:OE =1:2，
CE 1
∴ = ，
OE 2
CE+OE 1+2
∴ = ，
OE 2OE 2
∴ = ，
OC 3
∵EG∥CH ，
∴ÐOEG=ÐOCH ，ÐOGE=ÐOHC =90°，
∴ OGE∽ OHC，
V V
OE OG EG 2
∴ = = = ，
OC OH CH 3
2 4 2
∴OG= OH = a，EG= CH ，
3 3 3
连接OD并延长，交HB的延长线于点Q，
∵AO∥BQ，
∴ÐQ=ÐAOD，ÐQBD=ÐOAD，
∵AD=BD，
∴△QBD≌△OAD，
4
∴OD=DQ，BQ=OA= ，
a
∵OF =FH ，
∴DF是△OQH 的中位线，
1 1æ4 4 ö
∴DF = QH = ç + +CH÷，
2 2èa a ø
2k 8
∴CH = - ，
a a
2 4k 16
EG= CH = - ，
3 3a 3a
æ4 4k 16ö
Eç a, - ÷，
è3 3a 3aø
4 æ4k 16ö
点E在反比例函数图象上， a×ç - ÷=k，
3 è3a 3aø64
解得k = ，
7
64
故答案为： ．
7
押题猜想六 二次函数的图象与性质（选填）
限时：10min
（原创）函数y= ax2+bx+c a>0,b2-4ac>0 的图象是由函数y =ax2 +bx+c的图象 轴上方部分不变，
x轴下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是
①2a+b=0；②c=3；③abc>0； ④3a+c=0；⑤将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．
【答案】①③④⑤
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、
二次函数图象的平移
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公
b
式x=- ，即可得到2a+b=0，故①正确；由图象可判断二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点为
2a
(0,-3)，即c=-3，故②错误；根据图象判断a>0，b<0，结合c=-3，可知abc>0，故③正确；当x=-1
时，y=0，结合b=-2a可判断④正确；求出原二次函数的表达式y=x2-2x-3，即可判断函数顶点的坐标，
可以得到将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为(1,5)，继而得出直线y=5与平移后的函数图象有
3个交点，故⑤正确．
【详解】解： 图象经过-1，0，3，0，
Q
-1+3
\抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x= =1，
2
b
\- =1，
2a
\b=-2a，即2a+b=0，故①正确；
a>0，
Q\抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方，
\c=-3<0，故②错误；
a>0，
Q
\b=-2a<0，
\abc>0，故③正确；
∵
-1，0，
∴a-b+c=0，
∵b=-2a，
∴a+2a+c=0，
即3a+c=0，故④正确；
∵将点-1，0和3，0代入y=ax2+bx-3，
ì a-b-3=0 ì a=1
∴í ，解得í ，
î9a+3b-3=0 îb=-2
∴二次函数的表达式为：y=x2-2x-3，
∵当x=1时，y=1-2-3=-4，
∴图象上当-10，
∴二次函数y=x2-2mx-3的图象与x轴有两个公共点，
故①正确；
-2m
②对于二次函y=x2-2mx-3，对称轴为直线- = m，
2
∵当x£2时，y随x的增大而减小，
∴m≥2，
故②错误；
③∵二次函数y=x2-2mx-3的图象向左平移3个单位后过原点，∴点3，0在二次函数y=x2-2mx-3的图象上，
∴9-6m-3=0，
∴m=1，
故③错误；
④∵当x=1时的函数值与x=2023时的函数值相等，
1+2023
∴二次函数y=x2-2mx-3的图象的对称轴为直线x= =1012，
2
当x=0时，y=x2-2mx-3=-3，
∴当x=2024时，y=x2-2mx-3的函数值为-3，
故说法④正确．
综上所述，正确的说法有①④．
故选：B．
【表格】2．已知抛物线y=ax-m2+k（a、m、k为常数，且a¹0）的自变量x与函数y的几组对应值
如表：
x … -2 -1 1 3 5 6 …
y … 5 0 -4 0 12 21 …
将抛物线平移得到新抛物线y =ax-m+12 +k，若点n,5在新抛物线上，则n的值为（ ）
1
A．-3 B．4 C．±4 D．±3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题关键．依题意
得出n+1,5在y=ax-m2+k上，根据表格和对称轴，得出n+1=-2或n+1=4，即可求解．
【详解】解：依题意，抛物线y=ax-m2+k向左平移1个单位得到新抛物线y =ax-m+12 +k，点n,5
1
在新抛物线上，
∴n+1,5在y=ax-m2+k上，
观察表格可得-2,5在抛物线上，
-1+3
又对称轴为直线x= =1，
2∴
4,5也在原抛物线上，
∴n+1=-2或n+1=4，
∴n=-3或3．
故选：D．
【有图像】3．如图，二次函数y=ax2+bx+ca¹0的对称轴是直线x=1，且与x轴的一个交点坐标为
3,0．下列说法：
①ab<0；②3a+c=0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a¹0的两个根为-1，3；④若-2,y ，
1
2,y 在该抛物线上，则y < y ；⑤对任意实数m，不等式am2+bm³a+b恒成立．其中正确结论的个数
2 1 2
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据二次函数的对称
轴和开口方向，可判断①④，根据二次函数与x轴的交点可判断②③；根据二次函数的最值可判断⑤．
【详解】解：
Q
二次函数y=ax2+bx+ca¹0开口向上，对称轴是直线x=1，
b
\a>0，- =1，
2a
\b=-2a<0，
\ab<0，①正确；
Q
二次函数y=ax2+bx+ca¹0的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点为3,0，
\二次函数与x轴的一个交点为-1,0，
\a-b+c=0，
\a--2a+c=3a+c=0，②正确；
二次函数y=ax2+bx+ca¹0与x轴的交点为-1,0和3,0，
Q\关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a¹0的两个根为-1，3，③正确；
二次函数y=ax2+bx+ca¹0开口向上，
Q
\距离对称轴越近，函数值越小，
Q
二次函数y=ax2+bx+ca¹0的对称轴是直线x=1，2-1<1--2，
\y < y ，④错误；
2 1
Q
二次函数y=ax2+bx+ca¹0的对称轴是直线x=1，
\当x=1是，二次函数有最小值为a+b+c，
\对任意实数m，都有am2+bm+c³a+b+c，即am2+bm³a+b
\对任意实数m，不等式am2+bm³a+b恒成立，⑤正确，
故选：C．
【有图像】4．抛物线y=ax2+bx+ca¹0的对称轴是直线x=-1，其图象如图所示．下列结论：
①abc<0；②4a+c2 <2b2；③若 x,y 和 x,y 是抛物线上的两点，则当 x +1 > x +1时，
1 1 2 2 1 2
y < y ；④抛物线的顶点坐标为-1,m，则关于x的方程ax2+bx+c=m-1无实数根．其中正确结论的个
1 2
数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置判断a，b，c符号．②把x=±2分别代入函数
解析式，结合图象可得(4a+c)2-(2b)2的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y
值越大．④由抛物线顶点纵坐标为m可得ax2+bx+c m，从而进行判断ax2+bx+c=m-1无实数根．
…
【详解】解：①Q 抛物线图象开口向上，\a>0，
对称轴在直线y轴左侧，
Q
\a，b同号，b>0，
抛物线与y轴交点在x轴下方，
Q
\c<0，
\abc<0，故①正确．
②(4a+c)2-(2b)2 =(4a+c+2b)(4a+c-2b)，
当x=2时ax2+bx+c=4a+c+2b，由图象可得4a+c+2b>0，
当x=-2时，ax2+bx+c=4a+c-2b，由图象可得4a+c-2b<0，
\(4a+c)2-(2b)2 <0，即(4a+c)2 <(2b)2，
故②正确．
③|x +1|=|x -(-1)|，|x +1|=|x -(-1)|，
1 1 2 2
|x +1|>|x +1|，
Q 1 2
\点(x ，y)到对称轴的距离大于点(x ，y )到对称轴的距离，
1 1 2 2
\y > y |，
1 2
故③错误．
④Q 抛物线的顶点坐标为(-1,m)，
\y m，
…
\ax2+bx+c m，
…
\ax2+bx+c=m-1无实数根．
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：B．
【有图象】5．二次函数y=ax2+bx+ca¹0的部分图象如图所示，图象过点-1,0，对称轴为直线x=2，
æ 1 ö æ7 ö
下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c>3b；（3）若点A-3,y 、点Bç- ,y ÷、点Cç ,y ÷在该函数图
1 è 2 2 ø è2 3 ø
象上，则y < y < y ；（4）若方程ax+1x-5=-3的两根为x和x ，且x y
3 2
1
∵a<0，-3<- <2
2
∴y < y
1 2
∴y < y < y
1 2 3
故错误；
（4）∵a<0，3
∴x+1x-5=- >0
a
∴
x+1x-5>0
解之得：x <-1或x >5，
1 2
∴x <-1<5”“=”或“<”）；
(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方
差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的
甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委 评委 评委 评委 评委
1 2 3 4 5
甲 93 90 92 93 92
乙 91 92 92 92 92
丙 90 94 90 94 k
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中k（k为整
数）的值为____________.
【答案】(1)①91，4；②<
(2)甲，92
【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方
法是正确解答的前提．
（1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可；
（2）根据方差的定义和意义求解即可；
（3）根据题意得出x ³x ³x ，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可．
甲 丙 乙
【详解】（1）①从教师评委打分的情况看，91分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为91，
所以m=91，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第23个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手
打分的中位数在第4组91£x<94，故答案为：91，4；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：88，90，91，91，91，91，
92，92，
88+90+91+91+91+91+92+92
\x= =90.75<91，
8
故答案为：<；
90+92+92+93+93
（2）x = =92，
甲 5
1
S2= é90-922+92-922+92-922+93-922+93-922ù=1.2，
甲 5ë û
91+92+92+92+92
x = =91.8，
乙 5
1
S2= é91-91.82+92-91.82+92-91.82+92-91.82+92-91.82ù=0.16，
乙 5ë û
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
Q
1
依题意，当x ³x ³x ，则91.8£ 90+94+90+94+k£92
甲 丙 乙 5
解得：91£k £92
当k =91时，x =x =91.8
丙 乙
1
此时S2 = é2´90-91.82+2´94-91.82+91-91.82ù=3.36
丙 5ë û
∵S2 >S2 ，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，
丙 乙
当k =92时，x =x =92
丙 甲
1
此时S2 = é2´90-922+2´94-922+92-922ù=3.2
丙 5ë û
∵S2 >S2，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲
丙 甲
故答案为：甲，92．
【统计】4．3月14日是国际数学日，也称“π日”．今年3月14日某校七年级300名学生参加了华容道、
鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛．比赛采取积分制，每参加一项可获得10至20分，达到90分及
90分以上的学生可获得“π日”徽章．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了m名学生，并对他们的积分
进行整理、描述，绘制成下面的统计图（数据分为5组：20£x<40，40£x<60，60£x<80，
80£x<100，100£x£120）：根据以上信息，完成下列问题．
(1)下列抽取样本的方式中，最合理的是 （填写序号）：
①从七年级的学生中抽取m名男生；
②从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取m名学生；
③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取m名学生．
(2)写出m的值，并补全频数分布直方图；
(3)100£x£120这一组对应的扇形的圆心角度数是 ；
(4)80£x<100这一组的学生积分是：81，82，90，93，93，93，96，98，98，请估计七年级学生获得“π日”
徽章的人数．
【答案】(1)③
(2)40，见解析
(3)81°
(4)120人
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握扇形统
计图和频数分布直方图的特点．
（1）根据样本的选取应该具有应具有代表性、客观性和随机性进行判断即可；
（2）根据20£x<40的人数为4人，占总调查人数的10%，求出m的值即可；求出100£x£120的人数，
然后补全频数分布直方图即可；
（3）用360°乘100£x£120的百分比，求出结果即可；（4）用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：①从七年级的学生中抽取m名男生不具有代表性和普遍性，故①不符合题意；
②从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取m名学生，不具有代表性和普遍性，故②不符合题意；
③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取m名学生，具有代表性和普遍性，故③符合题意．
故答案为：③；
（2）解：m = 4¸10% = 40，
100£x£120的人数为40-4-11-7-9=9，补全频数分布直方图，如图所示：
（3）解：100£x£120这一组对应的扇形的圆心角度数为：
9
360°´ =81°．
40
（4）解：80£x<100这一组的学生积分达到90分或90分以上的人数为7人，
估计七年级学生获得“π日”徽章的人数为：
7+9
´300=120（人）．
40
押题猜想九 解直角三角形（解答题）
限时：8min
（原创）光岳楼位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），是中国十大名楼之一，光岳楼为
中国既古老又雄伟的木构楼阁，是宋元建筑向明清建筑过渡的代表作，在中国古代建筑史上有着重要地位，
1988年光岳楼被列为全国重点文物保护单位，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉．某校数学实践小组利用
所学数学知识测量光岳楼的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．在测量仰
角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果．下面是两个方案及测量数据（不完整）：
项
测量光岳楼的高度
目
方案一：标杆垂直立于地面，借助
方 平行的太阳光线构成相似三角 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离
案 形．测量：标杆长CD，影长ED及 CD，仰角a，仰角b
同一时刻塔影长DB
说
E,D,B三点在同一条直线上 B,C,D三点在同一条直线上
明
测
量
示
意
图
测量 平均 测量
第一次 第二次 第一次 第二次 平均值
项目 值 项目
测
量 CD 1.61m 1.59m 1.6m b 29.9° 30.1° 30°
数
ED 1.18m 1.22m 1.2m a 37.1° 36.9° 37°
据
DB 25m 26m CD 12.8m 13.2m 13m
【问题解决】
(1)求“方案一”两次测量塔影长DB的平均值；
(2)根据“方案一”的测量数据，求出光岳楼AB的高度；
(3)根据“方案二”的测量数据，求出光岳楼AB的高度．（参考数据：sin37°»0.60,cos37°»0.80,
tan37°»0.75, 3»1.73．结果保留1位小数）．
【答案】(1)25.5m
(2)34.0m
(3)32.5m【分析】本题主要考查相似三角形的性质，仰俯角解直角三角形，理解题意，掌握相似三角形的性质，解
直角三角形的计算是关键．
（1）根据平均值的计算即可求解；
ED CD
（2）根据题意得 EDC∽ DBA，则 = ，代入求值即可；
V V
DB AB
3
（3）设BC =xm，则BD=BC+CD=x+13m，AB=BD´tan30°= x+13m，解得x»43.3，所以
3
AB=0.75x=32.5m，由此即可求解．
25+26 51
【详解】（1）解：“方案”两次测量塔影长DB的平均值是 = =25.5m；
2 2
（2）解：根据题意得 EDC∽ DBA，
V V
ED CD
∴ = ，
DB AB
∵ED=1.2m，CD=1.6m，DB=25.5m，
DB´CD 25.5´1.6
∴AB= = =34.0m；
ED 1.2
（3）解：设BC =xm，
∵CD=13m，
∴BD=BC+CD=x+13m，
∵ÐACB=a=37°，
∴AB=BC´tan37°»0.75xm，
∵ÐADB=b=30°，
3
∴AB=BD´tan30°= x+13m，
3
3
∴0.75x= x+13，
3
解得x»43.3，
∴AB=0.75x=32.5m，
答：光岳楼AB的高度约为32.5m．
押题解读
本考点为必考考点，解直角三角形的相关内容也会和其他内容结合在选填中出现。题型固定，难度不大，
只要掌握好相关的知识，认真审题即可。预测25年中考也会出现解直角三角形的解答题，难度适中；
小概率出现在选填题。【仰角、俯角】1．某校数学“综合与实践”小组在测量临沂书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告：
测量对
书圣阁
象
测量目
学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题
的
测量工
无人机
具
如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）：
先将无人机从地面的点C处垂直上升90.7m至点P，此时测得书圣阁的顶端A
测量方
的俯角为16°；
案
再将无人机从点P处向右沿水平方向飞行60m至点D，然后沿垂直方向上升
20m至点Q，此时测得书圣阁的端A的俯角ÐEQA=45°．|
测量示
意图
请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出书圣阁的高度．（结果保留整数，参
考数据：sin16° »0.28,cos16° »0.96,tan16° »0.29
【答案】58m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，准确理解题意，熟练掌握解直角三角形的方法
是解题的关键．延长BA交QE于M ，延长PD交MB于F，设QM =xm，在Rt
V
QMA中，ÐAQM =45°，
可得MA=QM = xm，AF =(x-20)m，在Rt△PFA中，通过AF =PF×tanÐAPF，列出方程
x-20=(x+60)´0.29，解方程求得MA，最后通过AB=PC+QD-MA，求得AB的值．
【详解】解：如图，延长BA交QE于M ，延长PD交MB于F，由题易知，四边形QMFD,PCBF为矩形，
则QM =DF,MF =QD=20m, FB=PC =90.7m，
设QM =xm，则PF =(x+60)m，
在Rt QMA中，ÐAQM =45°，
V
\ÐMAQ=45°=ÐMQA，
则MA=QM = xm，
\AF =(x-20)m，
在Rt△PFA中，ÐAPF =16°，
AF
tanÐAPF = ，
Q
PF
\AF=PF×tanÐAPF，即x-20=(x+60)´0.29，
解得：x»52.68，
则AB=90.7+20-52.68»58(m)，
答：书圣阁的高度约为58m．
【其他问题】2. 臂架泵车（如图1）是一种用于建筑工程中混凝土输送和浇筑的特种工程车辆，集混凝土泵
送、臂架伸展和移动功能于一体，广泛应用于高层建筑、桥梁、隧道等施工场景．图2是其输送原理平面
图，进料口A到建筑楼的水平距离为24米，到地面的垂直距离为2米，AB，BC，CD，DE为输送臂，
可绕A，B，C，D旋转，已知输送臂AB垂直地面且AB=14米，BC =CD=13米，DE =7米，
ÐBCD=134.8°，ÐCDE=112.6°．
(1)BD的长约为________；（直接写出答案）(2)求出料口到地面的距离．
12 5 41 11
（参考数据：sin67.4°» ，cos67.4°» ，sin56.3°» ，cos56.3°» ）
13 13 50 20
【答案】(1)24；
(2)23米
【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．
1过点C作CM ^BD，利用锐角三角函数可得BM =12，根据等腰三角形的性质可得BD=2BM =24米；
2过点B作BP^EP，垂足为P，利用勾股定理可以求出BD=24米，根据进料口A到建筑楼的水平距离
为24米，可得BP=24米，根据HL可证Rt EDB≌Rt EPB，根据全等三角形的性质可得进料口到地面的距
V V
离为EP+16=7+16=23（米）．
【详解】（1）解：如下图所示，过点C作CM ^BD，
ÐBCD=134.8°，CB=CD，
Q
1
\ÐBCM = ´134.8°=67.4°，BM =DM ，
2
12
\BM =BCsinÐBCM =BCsin67.4°»13´ =12，
13
\BD=2BM =24(米)，
故答案为：24米；
（2）解：如下图所示，过点B作BP^EP，垂足为P，
在Rt BDE中，
V
DE=7米，
Q
\ BE= BD2+DE2 = 242+72 =25米，
BP=24米，
Q
\BP=BD，ìBE=BE
在Rt
V
EDB和Rt
V
EPB中，í
îBD=BP
\Rt EDB≌Rt EPB，
V V
\DE=PE，
\E 到地面的距离为EP+16=7+16=23（米），
\E 到地面的距离为23米．
【其他问题】3. 图1是一盏可调节台灯，图2为其平面示意图，固定底座OA与水平面OE垂直，AB为固
定支撑杆，BC为可绕着点B旋转的调节杆，若AB=30cm，BC =35cm，OA=8cm，ÐOAB=143°，
ÐABC =80°，求台灯灯体C到水平面OE的距离．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°»0.60，
cos37°»0.80，tan37°»0.75，sin27°»0.45，cos27°»0.89，tan27°»0.51）
【答案】47.8cm
【分析】过C作CM ^OE交于M ，过B作BN ^CM 交于N ，延长OA交BN 于P，根据ÐOAB=143°，求
出ÐBAP=180°-ÐOAB=37°，根据余玄直接求出AP，即可得到OP，根据BN ^CM ，CM ^OE，OA^OE
CN
得到四边形POMN为矩形，得到ÐABP，从而得到ÐCBN，结合sinÐCBN = 即可得到答案；
BC
【详解】解：过C作CM ^OE交于M ，过B作BN ^CM 交于N ，延长OA交BN 于P，
∵ÐOAB=143°，
∴ÐBAP=180°-ÐOAB=37°，
∴在Rt△BAP中AB=30cm，AP
cosÐBAP= ，
AB
AP»AB´0.80=24cm，
∴OP=OA+AP=8+24=32cm，
∵BN ^CM ，CM ^OE，OA^OE，
∴ÐPOM =ÐOMN =ÐMNP=90°，
∴四边形POMN为矩形，
∴MN =OP=32 cm，ÐAPN =90°，
∵ÐBAP=37°，
∴ÐABP=90°-ÐBAP=53°，
∵ÐCBA=80°，
∴ÐCBN =ÐCBA-ÐABP=27°，
在Rt CBN 中CB=35cm，
V
CN
sinÐCBN = ，
BC
CN =BC´sin27°»35´0.45=15.75cm，
∴CM =MN+CN =32+15.75»47.8cm，
答：C到水平面OE的距离约为47.8cm，
【相似】4．【综合与实践】
火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使
用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几
何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移
计”这一设备开展了学习与探究：激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光
接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成
像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离．
阅
读
理
解
被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的
距离，也就是图中点M与点N之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线
方向传播，最后在光学成像设备上成像．
发
现
原
理
如图，直线M¢N¢∥直线l∥直线l ，直线MN垂直于l 和l ，垂足分别为M 和N ，
1 2 1 2
线段MM¢与线段NN¢交于点O，线段NN¢与直线l 交于点P，ÐM¢MP=a．
1
建
立
模
型
解 （1）作NH ^MM¢于点H，设MN =m，请用含m和a的式子表示HN 的长度；
决 （2）若M¢N¢=5，OM¢=27，OM =140，求MN的长度．（结果精确到个位，参问 考数据：sinα»0.8，cosα»0.6，tanα»1.33）
题
【答案】（1）mcosa（2）49
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造直角三角形，是
解题的关键：
（1）过点N 作NH ^M¢M 于点H，对顶角结合同角的余角相等，得到ÐMNH =a，解直角三角形MHN ，
求出HN 的长即可；
（2）作N¢D∥MN ，交MM¢于点D，解直角三角形DM¢N¢，证明 DON¢∽ MON ，列出比例式进行求解
V V
即可．
【详解】解：过点N 作NH ^MM¢于点H，则：ÐNHM=90°，ÐCMH =a，
∵MN ^l ，
1
∴ÐCMN =90°，
∴ÐMNH =ÐCMH =90°-ÐHMN =a，
在Rt MHN中，HN =MN×cosa=mcosa；
V
（2）作N¢D∥MN ，交MM¢于点D∵M¢N¢∥l,MN ^l ，
1 1
∴ÐN¢M¢D=a,DN¢^M¢N¢，
M¢N¢
∴DM¢= »8，DN¢=M¢N¢tana»7，
cosa
∴OD=OM¢-DM¢=27-8=19，
∵N¢D∥MN ，
∴ DON¢∽ MON ，
V V
MN OM 140
∴ = = »7，
DN¢ OD 19
∴MN =7DN¢=7´7=49．
【其他问题】5．2022年11月29日，“神舟十五号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成果发射．2023年2
月9日神舟十五号航天员进行了出舱活动，为了确保任务的圆满完成，航天员借助机械臂进行舱外作业．如
图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，
OA=1m，AB=5m，BC=2m，ÐABC=145°，ÐBCD=60°．（参考数据：
sin25°»0.42，cos25°»0.91，tan25°»0.47，2 »1.41，3»1.73）．
(1)求机械臂端点C到工作台的距离CD的长（结果精确到0.1m）
(2)求OD的长．（结果精确到0.1m）
【答案】(1)机械臂端点C到工作台的距离CD的长约为6.6m；
(2)OD的长约为3.8m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是
解题的关键．
（1）过点A作AE ^CD，过点B作BF⊥CD，BH^AE，垂足为E、F、H，在Rt BCF 中，求得
V
CF=1m，在Rt△BHA中，求得BH =4.55m，最后求得CD的长即可；
（2）在Rt
V
BCF 中，求得BF的长，在Rt△BHA中，求得AH 的长，最后求得OD的长．
【详解】（1）解：如图，过点A作AE ^CD，过点B作BF⊥CD，BH^AE，垂足为E、F、H，\四边形EFBH是矩形，
\ÐFBH =90°，
在Rt BCF 中，BC =2m，ÐBCF =60°，
V
\ÐCBF =30°，
CF
cosÐBCF = ，
Q
BC
CF 1
\ = ，
2 2
\CF =1m，
ÐABC=145°，
Q
\ÐABH =ÐABC-ÐCBF-ÐFBH =145°-30°-90°=25°，
在Rt△BHA中，AB=5m，ÐABH =25°，
BH
cosÐABH =
Q
AB
BH
\ »0.91，
5
\BH »4.55m，
\在矩形EFBH中，EF =BH =4.55m，
AE^CD,CD^OD,AO^OD，
Q
\四边形AEDO是矩形，
OA=1m，
Q
\DE=OA=1m，
\CD=CF+EF+DE=1+4.55+1»6.6m，
\机械臂端点C到工作台的距离CD的长约为6.6m．
（2）解：在Rt BCF 中，BC =2m,ÐBCD=60°，
V
BF
sinÐBCD= ,
Q
BC
BF 3
\ = ,
2 2
\BF = 3m»1.73m，在Rt△BHA中，AB=5m,ÐABH =25°，
AH
sinÐABH = ，
Q
AB
AH
\ »0.42,
5
\AH »2.1m，
Q
在矩形EFBH和矩形AEDO中，
\DO= AE = AH +EH =1.73+2.1»3.8m
\OD的长约为3.8m．
押题猜想十 平行四边形
限时：8min
（原创）如图，在菱形ABCD中，ÐBAC 的平分线交BC于点E，ÐACD的平分线交AD于点F．
(1)求证：AF =CE；
(2)从下列条件中任选一个作为已知条件，并判断四边形AECF的形状．请证明你的结论．
①ÐBAD=2ÐABC；②AC =BC．
选择的条件：_______（填写序号）．
（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)见解析
(2)若选①ÐBAD=2ÐABC，则四边形AECF为矩形，理由见解析；若选②AC =BC，则四边形AECF为
矩形，理由见解析
【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的判定，等边三角形的判定及性质等，理
解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）在菱形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，可得ÐBAC =ÐACD，由角平分线的定义可知
1 1
ÐEAC = ÐBAC，ÐFCA= ÐACD，进而可知ÐEAC =ÐFCA，即AE
P
CF ，可得四边形AECF是平行四
2 2边形，即可证明结论；
（2）若选①ÐBAD=2ÐABC，根据菱形的性质可得ÐBAD=120°，ÐABC =60°，则
V
ABC为等边三角形，
则AB= AC，再根据“三线合一”得ÐAEC =90°，结合（1）即可证明四边形AECF为矩形；
若选②AC =BC，根据菱形的性质可得AB= AC，，再根据“三线合一”得ÐAEC =90°，结合（1）即可证明
四边形AECF为矩形．
【详解】（1）证明：在菱形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴ÐBAC =ÐACD，
∴AE平分ÐBAC ，CF平分ÐACD，
1 1
∴ÐEAC = ÐBAC，ÐFCA= ÐACD，
2 2
∴ÐEAC =ÐFCA，
∴AE
P
CF ，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF =CE；
（2）若选①ÐBAD=2ÐABC，则四边形AECF为矩形，理由如下：
在菱形ABCD中，AB=BC，AD∥BC，
∴ÐBAD+ÐABC =180°，
又∵ÐBAD=2ÐABC，
∴ÐBAD=120°，ÐABC =60°，
∴V ABC为等边三角形，则AB= AC，
又∵AE平分ÐBAC ，
∴AE^BC，即ÐAEC =90°，
由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF为矩形；
若选②AC =BC，则四边形AECF为矩形，理由如下：
在菱形ABCD中，AB=BC，
∵AC =BC，
∴AB= AC，
又∵AE平分ÐBAC ，
∴AE^BC，即ÐAEC =90°，由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF为矩形．
押题解读
本考点为必考考点，多与三角形全等、相似结合。解答本类题型需要熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、
正方形的判定与性质定理。预测25年依然会以解答题形式出现，难度适中。
【平行四边形、矩形】1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ÐABD=ÐCDB，BE^ AC
于点E，DF^AC于点F，且BE=DF．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
BC
(2)若AB=BO，当ÐABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时 的值．
AB
【答案】(1)证明见解析
BC
(2)当ÐABE=30°时，四边形ABCD是矩形，理由见解析，此时 = 3
AB
【分析】（1）先证明AB∥CD得到ÐEAB=ÐFCD，再由垂线的定义得到ÐAEB=ÐCFD=90°，据此证明
V
AEB≌
V
CFDAAS，得到AB=CD，由此即可证明四边形ABCD是平行四边形；
（2）当ÐABE=30°时，四边形ABCD是矩形，利用三角形内角和定理得到ÐBAO=60°，则可证明
V
AOB
是等边三角形，得到OA=OB，进而可证明AC =BD，则四边形ABCD是矩形，在Rt△ABC中，
BC
tanÐBAC = = 3．
AB
【详解】（1）证明：∵ÐABD=ÐCDB，
∴AB∥CD，
∴ÐEAB=ÐFCD，
∵BE^ AC，DF^AC，
∴ÐAEB=ÐCFD=90°，又∵BE=DF，
∴V AEB≌ V CFDAAS，
∴AB=CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：当ÐABE=30°时，四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵BE^ AC，
∴ÐAEB =90°，
∵ÐABE=30°，
∴ÐBAO=60°，
又∵AB=BO，
∴V AOB是等边三角形，
∴OA=OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∴OB=OD=OA=OC，
∴AC =BD，
∴四边形ABCD是矩形，
即当ÐABE=30°时，四边形ABCD是矩形，
∴ÐABC =90°，
BC
∴在Rt△ABC中，tanÐBAC = = 3．
AB
【相似、平行四边形】2．如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，
1
DE= CD．
2
(1)求证：
V
ABF∽
V
CEB；
(2)若 DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
V【答案】(1)证明见解析
(2)24
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得ÐA=ÐC，AB∥CD，由平行线的性质得到ÐABF =ÐCEB，根
据相似三角形的判定定理即可得证；
（2）证明△EFD∽△EBC，根据相似三角形的性质，可求出
V
EBC的面积，即可得到四边形BCDF 的面积，
再证明△BFA∽△EFD，根据相似三角形的性质，可求出△AFB的面积，由此可得平行四边形ABCD的面
积．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ÐA=ÐC，AB∥CD，
∴ÐABF =ÐCEB，
∴V ABF∽ V CEB；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴△EFD∽△EBC，△BFA∽△EFD，
1
∵DE= CD， DEF的面积为2，
V
2
ED 1
∴ = ，
EC 3
S æEDö 2 æ1ö 2 1
∴ △EFD =ç ÷ =ç ÷ = ，
S èECø è3ø 9
△EBC
S æ ABö 2
∴ △BFA =ç ÷ =22 =4，
S èDEø
△EFD
∵ DEF的面积为2，
V
∴S =18，S =8，
△EBC △BFA
∴S =S -S =18-2=16，
四边形BCDF △EBC △DEF
∴S =S +S =16+8=24，
YABCD 四边形BCDF △ABF
∴平行四边形ABCD的面积为24．
【矩形、相似】3．如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE^BD．(1)求证：AD2 =DE×DC；
1
(2)F为线段AE延长线上一点，且满足EF =CF = BD，求证：CE= AD．
2
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由矩形性质得到ÐBAD=90°，ÐADE=90°，AB=DC，由角的互余得到ÐABD=ÐDAE，从
而确定 ADE∽ BAD，利用相似三角形性质得到AD2 =DE×DC；
V V
（2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到OA=OD=EF =CF，
ÐODA=ÐOAD，ÐFEC =ÐFCE， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到．
【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，ÐBAD=90°，ÐADE=90°，AB=DC，
\ÐABD+ÐADB=90°，
Q
AE^BD，
\ÐDAE+ÐADB=90°，
\ÐABD=ÐDAE，
QÐBAD=ÐADE=90°，
\ ADE∽ BAD，
V V
AD DE
\ = ，即AD2 =DE×BA，
BA AD
AB=DC，
Q
\ AD2 =DE×DC；
（2）证明：连接AC交BD于点O，如图所示：在矩形ABCD中，ÐADE=90°，则ÐDAE+ÐAED=90°，
Q
AE^BD，
\ÐDAE+ÐADB=90°，
\ÐADB=ÐAED，
QÐFEC =ÐAED，
\ÐADO=ÐFEC，
1
在矩形ABCD中，OA=OD= BD，
2
1
EF =CF = BD，
Q
2
\OA=OD=EF =CF ，
\ÐADO=ÐOAD，ÐFEC =ÐFCE，
ÐADO=ÐFEC，
Q
\ÐADO=ÐOAD=ÐFEC =ÐFCE，
在
V ODA
和
V
FEC中，
ìÐODA=ÐFEC
ï
íÐOAD=ÐFCE
ï
îOD=FE
\ ODA≌ FECAAS，
V V
\CE= AD．
【结构不良型】4．如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点．
Y(1)求证：DE=BF；
(2)请从以下三个条件：①AC =2BD；②ÐBAC =ÐDAC；③AB= AD中，选择一个合适的作为已知条件，
使四边形DEBF为菱形．
你选择添加的条件是：______（填写序号）；添加条件后，请证明四边形DEBF为菱形．
【答案】(1)见解析 (2)②，证明见解析
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得到AO=CO,OD=OB然后根据题意得到OE=OF，进而证明出
四边形DEBF是平行四边形，即可得到DE=BF；
（2）选择添加的条件是：②ÐBAC =ÐDAC，首先根据平行四边形的性质得到ÐDCA=ÐBAC，然后利用
等量代换得到ÐDCA=ÐDAC，然后利用等腰三角形三线合一性质得到AC^BD，然后利用对角线垂直的
平行四边形是菱形证明即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO,OD=OB
∵点E，F分别是AO，CO的中点
∴OE=OF
∴四边形DEBF是平行四边形
∴DE=BF；
（2）选择添加的条件是：②．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，
∴ÐDCA=ÐBAC
∵ÐBAC =ÐDAC
∴ÐDCA=ÐDAC
∴AD=CD
∵AO=CO
∴AC^BD
∵四边形DEBF是平行四边形
∴平行四边形DEBF是菱形．
【选择型】5．如图，以
V
ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，
V
BCE，
△ACF．连接DE，EF．(1)求证：△DBE≌△ABC；
(2)请从以下两个问题中选择其中一个进行解答（若多选，则按第一个解答计分）
①当
V
ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？请加以证明；
②当
V
ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？请加以证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)①当ÐBAC =150°时，四边形ADEF 是矩形；②当AB= AC，且ÐBAC ¹60°时，四边形ADEF 是菱形
【分析】（1）由“SAS”可证△DBE≌△ABC；
（2）①根据全等三角形的性质可得DE= AC，可得DE= AF ，同理可证AD=EF，即可证四边形ADEF
是平行四边形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，故添加ÐBAC =150°即可证明；
②根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故添加AB= AC，且ÐBAC ¹60°，由等边三角形的性质可得
AB=AD=AC=AF，由菱形的判定可得结论．
【详解】（1）证明：∵V ABD, V EBC都是等边三角形．
\AD=BD= AB,BC =BE=EC，ÐBAD=ÐCAF =ÐDBA=ÐEBC =60°，
\ÐDBE+ÐEBA=ÐABC+ÐEBA，
\ÐDBE=ÐABC，
在△CAB和△EDB中
ìBD=BA
ï
íÐDBE=ÐABC，
ï
îBE=BC
\ DBE≌ ABCSAS．
V V
（2）①解：当ÐBAC =150°时，四边形ADEF 是矩形
∵△DBE≌△ABC．
\DE= AC，
又 ∵△ACF是等边三角形，
\AC=AF，\DE= AF，
同理可证：AD=EF，
∴四边形ADEF 是平行四边形．
∵ÐBAD=ÐCAF =60°,ÐBAC =150°，
∴ÐDAF =360°-60°-60°-150°=90°，
∴四边形ADEF 是矩形．
②当AB= AC，且ÐBAC ¹60°时，四边形ADEF 是菱形，
理由如下：∵AB= AC，且△ABD,△ACF是等边三角形，
\AB=AD=AC=AF ，
∴ ADEF是菱形．
Y
当ÐBAC =60°时，A,E重合，此时 ADEF不存在．
Y
押题猜想十一 反比例函数与一次函数综合（解答题）
限时：10min
1 k k
（原创）如图，直线y = x与双曲线y = (k >0)交于A点，且点A的横坐标为4，双曲线y = (k >0)
1 2 2 x 2 x
上有一动点C(m,n)(0 y 时x的取值范围；
1 2
(3)连接AC，当△COD与
V
AOB的重合部分的面积为1时，求
V
OAC的面积．
【答案】(1)8(2)x>4或-4 y ，只需y = x的图象在y = 的图象上方时x的取值范围，再结合其交点坐标即可
1 2 1 2 2 x
得出答案；
æ 1 ö
（3）设△COD与
V
AOB的重合部分的面积值为S，设Eçm, m÷，根据三角形的面积公式得到E2,1，求
è 2 ø
得OD=2，根据梯形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：∵点A的横坐标是4
1 1
∴将x=4代入y = x= ´4=2
1 2 2
∴A4,2
k
∴将A4,2代入y = ，得k =8，
2 x
\k的值为8；
1 8
（2）令y = x与y = 的另一个交点为F，
1 2 2 x
由反比例函数与正比例函数的性质可知F-4,-2，
1 8
要使得y > y ，只需y = x的图象在y = 的图象上方，
1 2 1 2 2 x
此时，x>4或-40)的图象经过A，B两点，且与OC交于点D，ÐBOE=15°，点B的横纵坐标之和为3 6．
x
(1)点C的坐标为________；（请直接写出结果）
(2)求反比例函数的解析式；
(3)求线段CD的长度．
æ3 6 3 6ö
【答案】(1)ç , ÷
ç 2 2 ÷
è ø
9
(2)y=
x
(3)3 3-3 2
【分析】（1）过点B作BM ^x轴于M，过点A作AN ^ y轴于N，证明
V
OBM≌
V
OANAAS，得
BM=AN，OM =ON ，设Bx,y，则Ay,x，然后由中点坐标公式求解；
（2）设B点坐标为(x,y)，则OB= x2+y2 =6．再根据x+y=3 6，求得xy=9，即可求得k =9，从而求解；
（3）先由点C坐标求得OC =3 3，再证明OC是第一象限角的平分线，从而可得OC所在直线的解析式为ìy=x
ï
y= x，再联立í 9，求得D点的坐标为(3,3)，从而可求得OD的长， 然后由CD=OC-OD求解即可．
y=
ï
î x
【详解】（1）解：过点B作BM ^x轴于M，过点A作AN ^ y轴于N，如图，
则ÐBMO=ÐANO=90°，
∵△OAB为等边三角形，
∴ÐAOB=60°，OA=OB，
∵ÐBOE=15°，
∴ÐAON =ÐBOE=15°，
∴V OBM≌ V OANAAS，
∴BM=AN，OM =ON ，
设Bx,y，则Ay,x，
∵点C为AB的中点，
æ y+x x+yö
∴点Cç , ÷，
è 2 2 ø
∵点B的横纵坐标之和为3 6，
∴x+y=3 6，
æ3 6 3 6ö
∴Cç , ÷，
ç 2 2 ÷
è ø
æ3 6 3 6ö
故答案为：ç , ÷．
ç 2 2 ÷
è ø
（2）解：设B点坐标为(x,y)，则OB= x2+y2 =6．
∵B的横纵坐标之和为3 6，
∴x+y=3 6．解得xy=9．
∴k =9．
9
∴反比例函数的解析式为y= ．
x
æ3 6 3 6ö
（3）解：∵Cç , ÷
ç 2 2 ÷
è ø
2 2
æ3 6ö æ3 6ö
∴OC = ç ÷ +ç ÷ =3 3，
ç ÷ ç ÷
2 2
è ø è ø
∵△OAB为等边三角形，点C为AB的中点，
1
∴ÐBOC = ÐAOB=30°，
2
∴ÐCOE=ÐBOC+ÐBOE=45°，
∴OC是第一象限角的平分线，
∴OC所在直线的解析式为y= x．
ìy=x
ï
联立í 9，
y=
ï
î x
ìx=3
解得í ，
îy=3
∴D点的坐标为(3,3)．
∴OD= 32+32 =3 2．
∴CD=OC-OD=3 3-3 2．
∴CD的长度为3 3-3 2．
k
【三角形面积】3.如图，一次函数y
=
x
+
3的图像与反比例函数y= k ¹0的图像交于点A与点Ba,-1．
x
(1)求反比例函数的表达式；k
(2)请直接写出x+3³ 的解集．
x
(3)若点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线，与直线AB相
交于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求点P的坐标．
4
【答案】(1)y= ；
x
(2)x³1或-4£x<0
(3)2,2
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，正确解得反比例函数的表达式是解题的关键．
（1）首先求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求解；
（2）求出点A的坐标，根据函数图象的位置关系即可得到答案；
æ 4 ö 1 1 4
（3）设点P的坐标为çm, ÷，利用三角形面积公式得到S = CP´m= m+3- ´m=3，分两种情况
è mø VOPC 2 2 m
分别进行求解即可．
【详解】（1）解：将点Ba,-1代入一次函数y
=
x
+
3，
可得-1=a+3，
解得a=-4，
∴B-4,-1，
k
将点B-4,-1代入反比例函数y= k ¹0，
x
k
可得-1= ，解得k =4，
-4
4
∴该反比例函数的表达式为y= ；
x
4
（2）解：由y= 和y
=
x
+
3联立得到，
x
ìy=x+3
ï
í 4
y=
ï
î x
ìx=-4 ìx=1
解得í 或í ，
îy=-1 îy=4
∴点A的坐标是1,4，
4
由图象可知，当x³1或-4£x<0时，一次函数y x 3图象在反比例函数y= 上方，
= +
xk
∴x+3³ 的解集是x³1或-4£x<0
x
（3）如下图，
æ 4 ö
设点P的坐标为çm, ÷，则Cm,m+3，
è mø
4
∴CP= m+3- ，点O到直线CP的距离为m，
m
∵点P在第一象限，
∴m>0，
1 1 4
S = CP´m= m+3- ´m=3，
VOPC 2 2 m
4 1æ 4 ö
当m+3> 时， çm+3- ÷´m=3，
m 2è mø
整理得到，m2+3m-10=0，
可解得m=2或m=-5
经检验m=2或m=-5都是分式方程的解，
∵m>0
∴m=-5不合题意，舍去；
4 1æ 4 ö
当m+3< 时， ç -m-3÷´m=3，
m 2èm ø
整理得到，m2+3m+2=0，
可解得m=-2或m=-1，
经检验m=-2或m=-1都是分式方程的解，
∵m>0
∴m=-2和m=-1不合题意，舍去；
∴m=2，
∴点P的坐标为2,2．k
【相似】4．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y= x>0的图象上，
x
A1,0,C0,2．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A¢B¢（点A平移后的对应点为A¢），A¢B¢交函数
k
y= x>0的图象于点D，过点D作DE^y轴于点E．
x
(1)求函数关系式；
(2) OBD的面积与四边形ABDA¢的面积的数量关系为_________；（填“>”，“=”或“<”）
V
(3)证明：ÐB¢BD=ÐBB¢O．
2
【答案】(1)y=
x
(2)=
(3)见解析
k
【分析】（1）根据矩形的性质可得点B1,2，再把B1,2代入y= x>0，即可求解；
x
1
（2）连接OB,BD,OD，OD交AB于点K，根据反比例函数比例系数的几何意义，可得S =S = ´2=1，
VAOB VA¢OD 2
从而得到S =S ，即可求解；
VKOB 四边形A¢AKD
2n
æ 2 ö
（3）设平移距离为n，可得点B¢n+1,2，Dçn+1, ÷，从而得到BB¢ n n+1 B¢D ，可证明
è n+1ø = = =
OA¢ n+1 2 A¢B¢
B¢BD∽ A¢OB¢，从而得到ÐB¢BD=ÐB¢OA¢，再由B¢C∥A¢O，可得ÐCB¢O=ÐA¢OB¢，即可求证．
V V
【详解】（1）解：∵四边形OABC是矩形，
∴AB^x轴，BC ^ y轴，
∵A1,0,C0,2，
∴点B1,2，
k
把点B1,2代入y= x>0，得：k =2，
x2
∴函数关系式为y= ；
x
（2）解：如图，连接OB,BD,OD，OD交AB于点K，
1
∵S =S = ´2=1，
VAOB VA¢OD 2
∴S =S ，
VKOB 四边形A¢AKD
∴S +S =S +S ，
VBOK VBKD 四边形A¢AKD VBKD
∴ OBD的面积=四边形ABDA¢的面积；
V
故答案为：=；
（3）解：如图，设平移距离为n，
根据题意得：四边形A¢B¢CO是矩形，
∴ÐBB¢D=ÐOA¢B¢=90°，
∴点B¢n+1,2，
2
∵反比例函数y= ，
x
æ 2 ö
∴Dçn+1, ÷，
è n+1ø
2 2n
∴BB¢=n,OA¢=n+1,B¢D=2- = ,A¢B¢=2，
n+1 n+1
2n
∴BB¢ n n+1 B¢D ，
= = =
OA¢ n+1 2 A¢B¢∴ B¢BD∽ A¢OB¢，
V V
∴ÐB¢BD=ÐB¢OA¢，
∵B¢C∥A¢O，
∴ÐCB¢O=ÐA¢OB¢，
∴ÐB¢BD=ÐBB¢O．
1 k
【平行四边形】5．如图，一次函数y=- x+1的图象与反比例函数y= x<0的图象交于点Pa,2，与
2 x
y轴交于点Q．
(1)求a、k的值；
(2)直线AB过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，AP=PB，连接AQ．
①求△APQ的面积；
②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请
求出所有符合条件的点M坐标．
【答案】(1)a=-2，k =-4
5 æ 4 ö
(2)① ；②ç- ,3÷，-4,1
2 è 3 ø
【分析】（1）将P点坐标代入一次函数解析式可求出a的值，再将坐标代入反比例函数解析式可求出k的值；
（2）过点A作AH∥y轴，交PQ于点H，设B的坐标b,0，点A的坐标为t,h，根据P的纵坐标，可
以求出h的值，进而求出A点坐标，求出Q点坐标，根据可求出H点坐标，进而求出AH 的长，
S
△APQ
=S
△APH
+S
△AHQ
，在
V
APH和
V
AHQ中，AH 为底边， 高分别是P点、y轴到AH 的距离，根据点
P、点A的横坐标即可求得，根据面积公式计算即可；
（3）分两种情况，当MN和PQ为对角线时，可根据平行四边形的性质，以及平移来确定M 点纵坐标，进
而求出M 的坐标；当MQ和NP为对角线时，以及平移来确定M 点纵坐标，进而求出对应M 点坐标，从而
求解．1
【详解】（1）解：（1）把点Pa,2代入y=- x+1解得，a=-2，
2
k
把P-2,2代入y= 解得，k =-4；
x
（2）∵k =-4，
4
∴反比例函数解析式为y=- ．
x
①设B的坐标b，0，点A的坐标为t，h，
∵AP=PB，P-2，2，
4
∴h=4，把At，4代入y=- 得：t=-1，
x
∴点A-1，4，
1
∵一次函数y=- x+1的图象与y轴交于点Q．
2
∴Q的坐标为0,1，
æ 3ö
过点A作AH∥y轴，交PQ于点H．则点H坐标ç-1, ÷，
è 2ø
5
∴AH = ，
21 1 5
∴S =S +S = ´AH´1+ ´AH´1= ，
△APQ △APH △AHQ 2 2 2
æ 4 ö
②设点Mçm,- ÷，Nn,0，
è mø
∵P-2,2，Q0,1，点M、N、P、Q构成平行四边形；
当MN和PQ为对角线时，如下图：
Q点可看做是将N 点先向右平移|n|个单位，再向上平移OQ个单位得到，
故M 点也是相应关系，即P点向右平移 n 个单位，再向上平移OQ=1个单位，如下图：
故M 点的纵坐标为P点纵坐标加OQ：y =2+1=3，
M
4 4
即- =3，m=-
m 3
æ 4 ö
M的坐标为ç- ,3÷；
è 3 ø
当MQ和NP为对角线时， 如下图：N 点可看做是将Q点先再向下平移OQ个单位，向左平移|n|个单位得到，
故M 点也是相应关系，即M 点是P点再向下平移OQ=1个单位，再向左平移 n 个单位得到，如下图：
4
故M 点的纵坐标为2-1=1，- =1，
m
m=-4，
故此时M 点坐标为：(-4,1)；
æ 4 ö
综上，M 点的坐标为：ç- ,3÷，(-4,1)，
è 3 ø
押题猜想十二 圆
限时：10min
（原创）如图，已知AB是
e
O的直径，AC是
e
O的弦，点D在
e
O外，延长DC，AB相交于点E，过点
D作DF ^ AB于点F，交AC于点G，DG=DC．(1)求证：DE是
e
O的切线；
(2)若
e
O的半径为6，点F为线段OA的中点，CE=8，求DF的长．
【答案】(1)见解析
39
(2)
4
【分析】（1）连接OC，根据等边对等角和对顶角相等可推出ÐOAC =ÐOCA，ÐDGC =ÐDCG=ÐAGF，
结合DF ^ AB和三角形内角和，从而推出ÐOCD=ÐOAC+ÐAGF =90°，得证；
OC CE
（2）由（1）可知ÐOCE=90°，可证△DFE∽△OCE，推出 = ，再由勾股定理可得OE=10，利用
DF FE
6 8
点F为线段OA的中点，可得OF =3，从而得到EF =13，从而得到 = ，即可得到答案．
DF 13
【详解】（1）证明：连接OC，如图，
OA=OC，DG=DC，
Q
\ÐOAC =ÐOCA，ÐDGC=ÐDCG，
ÐAGF =ÐDGC，
Q
\ÐAGF =ÐDCG，
又 DF ^ AB，
Q
\ÐAFG=90°，
\ÐOAC+ÐAGF =180°-ÐAFG=180°-90°=90°，
\ÐOCD=ÐOCA+ÐDCG=ÐOAC+ÐAGF =90°，
\DE是
e
O的切线；
（2）解：如（1）图，ÐOCE=90°，
又 ÐDFE=90°，ÐOEC =ÐDEF，
Q\ DFE∽ OCE，
V V
OC CE
\ = ，
DF FE
Qe
O的半径为6，CE=8，
\OC =OB=OA=6，
\OE2 =OC2+CE2，即OE= 62+82 =10，
又
Q
点F为线段OA的中点，
1 1
\OF = OA= ´6=3，
2 2
\EF =OF+OE=3+10=13，
6 8
\ = ，
DF 13
39
\DF = ．
4
押题解读
本考点为必考考点，①切线的判定与性质基本属于必考题型；②垂径定理和勾股定理求线段长度属于比较常
见的题型，稍难一些的话大多与相似三角形结合；③求不规则图形的面积考查的次数也很多，但是出现在
解答题的部分较少，多数以选填的形式考查，但新中考题量减少，预测会出现在圆的解答题的一小问。
【不规则图形面积】1. 如图，AB是
e
O的直径，射线BC交
e
O于点D，E是劣弧AD上一点，且BE平分
ÐFBA，过点E作EF ^BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．
(1)证明：GF 是
e
O的切线；(2)若AB=8，EF=2 3，求DB的长；
(3)在（2）的基础上，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)4
8
(3)8 3- π
3
【分析】（1）如图，连接OE，根据角平分线的定义和等边对等角证明Ð1=Ð3，推出OE∥BF ，再由
EF^BC，得到OE^GF，即可证明GF 是 O的切线；
e
（2）连接OE，过点O作OM ^BD于M ，证明四边形OEFM 是矩形，得到EF =OM =2 3，利用勾股定
理求出BM =2，即可由垂径定理得到BD=2BM =4；
（3）先解直角三角形得到ÐEOG=∠OBM =60° ，求出EG=4 3，再根据S =S -S 进行求
阴影 △OEG 扇形AOE
解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接OE，
BE平分ÐFBA，
Q
\Ð1=Ð2，
OB=OE，
Q
\Ð2=Ð3
\Ð1=Ð3，
\OE∥BF，
EF ^BC，
Q
\OE^GF，
OE是 O的半径，
Q e
\GF是 O的切线；
e（2）解：连接OE，过点O作OM ^BD于M ，
\ÐOEF =ÐOMF =90°，
EF ^BC，
Q
\ÐEFM =90°，
\四边形OEFM 是矩形，
\EF =OM =2 3，
AB=8，
Q
\OB=4，
2
\BM = OB2-OM2 = 42- 2 3 =2，
OM ^BD，
Q
\BD=2BM =4；
OM 3
（3）解： sinÐOBM = = ，
Q
OB 2
\ÐOBM =60°，
\ÐEOG=∠OBM =60°
OE=4，
Q
\EG=4 3，
1 60p×42 8
\ S =S -S = ´4´4 3- =8 3- p．
阴影 △OEG 扇形AOE 2 360 3
【不规则图形面积】2. 如图，
V
ABC内接于
e
O，AB为
e
O的直径，CD^ AB于点D，将△CDB沿BC所
在的直线翻折，得到
V
CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．(1)求证：CF是
e
O的切线；
2
(2)若sinÐCFB= ，AB=8，求图中阴影部分的面积．
2
【答案】(1)见解析
(2)2π-4
【分析】（1）连接OC，由折叠的性质得ÐDBC =ÐEBC，ÐBEC =ÐCDB=90°，再证明OC∥BE，推出
FC⊥OC，据此即可证明CF是 O的切线；
e
（2）先求得ÐCFB=45°，在Rt
V
COD中，求得CD=OD=2 2，再利用扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵CD^ AB，
∴ÐCDB=90°，
∵△CDB沿直线BC翻折得到 CEB，
V
∴ÐDBC =ÐEBC，ÐBEC =ÐCDB=90°，
∵OB，OC是
e
O的半径，
∴OB=OC，
∴ÐOCB=ÐOBC，
∴ÐEBC =ÐOCB，
∴OC∥BE，
∴ÐFCO=ÐBEC =90°，
∴FC⊥OC于点C，又∵OC为
e
O的半径，
∴CF是
e
O的切线；
2
（2）解：∵sinÐCFB= ，
2
∴ÐCFB=45°，
由（1）得ÐFCO=90°，
∴ÐFOC =90°-ÐCFB=45°，
∵CD^ AB，
∴ÐCDO=90°，
∵AB=8，
1 1
∴OC = AB= ´8=4，
2 2
在Rt
V
COD中，ÐAOC=45°，
2
∴CD=OD=OCsinÐAOC =4´ =2 2，
2
1 1
∴S = OD×CD= ´2 2´2 2 =4，
△COD 2 2
45
∴S = ´π´42 =2π，
扇形AOC 360
∴S =S -S =2π-4．
阴影 扇形AOC △COD
1
【解直角三角形】3．如图，在
V
ABC中，ÐACB=90°，点D是AB上一点，且ÐBCD= ÐA，点O在BC
2
上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
(1)试判断直线AB与
e
O的位置关系，并说明理由；
3
(2)若sinB= ,
e
O的半径为3，求AC的长．
5
【答案】(1)直线AB与
e
O相切，理由见解析
(2)6
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理，得到ÐBOD=2ÐBCD=ÐA，进而得到ÐB+ÐA=ÐB+ÐBOD=90°，即可得出AB与
e
O相切；
（2）解直角三角形ODB，求出OB的长，进而求出BC的长，再解直角三角形ACB，求出AC的长即可．
【详解】（1）解：直线AB与
e
O相切，理由如下：
连接OD，则：ÐBOD=2ÐBCD，
1
∵ÐBCD= ÐA，即：2ÐBCD=ÐA，
2
∴ÐBOD=ÐA，
∵ÐACB=90°，
∴ÐB+ÐBOD=ÐB+ÐA=90°，
∴ÐODB=90°，
∴OD^ AB，
∵OD为
e
O的半径，
∴直线AB与
e
O相切；
3
（2）解：∵ÐODB=90°，sinB= ,
e
O的半径为3，
5
OD 3
∴OD=OC =3,sinB= = ，
OB 5
∴OB=5，
∴BC =OB+OC =8，
∵ÐACB=90°，
AC 3
∴sinB= = ，
AB 5
设：AC =3x,AB=5x，
则：BC = AB2-AC2 =4x=8，
∴x=2，
∴AC =3x=6．
【相似】4．如图，AB是
e
O的直径，点C为
e
O上一点，过点O作BC的垂线，交过点B的切线于点D，OD交
e
O于点E，连接AE交BC于点H．
(1)求证：ÐD=ÐAEC．
4
(2)若
e
O的半径为10，cosA= ，求BH 的长．
5
【答案】(1)见解析
(2)BH =15
【分析】（1）由切线的性质得ÐABC+ÐFBD=90°；由BC^OD得ÐFBD+ÐD=90°，从而有ÐD=ÐABC；
再由同弧对的圆周角相等得ÐD=ÐABC，从而得结论成立；
（2）连接BE，由余弦函数关系可求得AE，进而由勾股定理求得BE；由垂径定理及线段垂直平分线的性
BH 5
质得BE=CE=12，再证明△ABH∽△CEH ，得 = ,设BH =5x，则EH =3x，在Rt△BEH 中，由勾股
EH 3
定理建立方程，可求得x的值，从而求得BH ．
【详解】（1）证明：∵BD是
e
O的切线，
∴ÐOBD=90°，
∴ÐABC+ÐFBD=90°．
∵BC^OD，
∴ÐFBD+ÐD=90°，
∴ÐD=ÐABC．
∵ÐABC =ÐAEC，
∴ÐD=ÐAEC．
（2）解：连接BE，如图所示，
∵AB是
e
O的直径，
e
O的半径为10，
∴ÐAEB =90°，AB=20．
4
∵在Rt AEB中，cosA= ，
V
5
4
∴EA= AB×cosA=20´ =16，
5∴BE= AB2-EA2 = 202-162 =12．
∵OE^BC，
∴BF =CF，
∴BE=CE，
∴BE=CE=12．
∵ÐA=ÐC，ÐABC =ÐAEC，
∴△ABH∽△CEH ，
AB BH 20 5
∴ = = = ．
CE EH 12 3
设BH =5x，则EH =3x．
∵在Rt△BEH 中，BE2+EH2 =BH2，
∴122+3x2 =5x2，
∴x=3（负值已舍去），
∴BH =5´3=15
【相似】5．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点P，过点B作EB^BD，交DC的延长线于点E，以
BE为直径作
e
O．
(1)判断直线PC与
e
O的位置关系，并说明理由；
(2)若BC =8,PC =5，求
e
O的直径．
【答案】(1)相切，理由见解析
40
(2)
3【分析】本题主要考查矩形的性质，切线的判定以及相似三角形的判定与性质，证明△BCD∽△EBD是解
答本题的关键．
（1）连接OC，证明PC ^OC即可；
（2）求出CD=6，证明△BCD∽△EBD，运用相似三角形的性质可得结论．
【详解】（1）解：直线PC与
e
O相切，理由如下：
如图，连接OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ÐBCD =90°,PB = PC ，
∴ÐBCE=90°,ÐPBC =ÐPCB，
∵BE为
e
O的直径，
∴点C在
e
O上，
∴OC为
e
O的半径，OC =OB，
∴ÐOBC =ÐOCB．
∴ÐPBC+ÐOBC=ÐPCB+ÐOCB，即ÐDBE=ÐPCO，
又∵EB^BD，
∴ÐDBE=90°，
∴ÐPCO=90°，即PC ^OC，
∵OC为
e
O的半径，
∴直线PC与
e
O相切；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，PC=5，
∴BD=AC=2PC=10，
∴CD= BD2-BC2 = 102-82 =6，
∵ÐBCD=ÐDBE=90°,ÐBDC =ÐEDB，
∴△BCD∽△EBD．CB CD
∴ = ，
BE BD
8 6
∴ = ，
BE 10
40
∴BE = ，
3
40
∴e O的直径为 ．
3
押题猜想十三 二次函数图像与性质（解答题）
限时：15min
æ 1 11ö
（原创）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点坐标为 ç- , ÷ ．
è 2 4 ø
(1)求二次函数的表达式；
(2)将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移mm>0个单位长度后，恰好落在y=x2+bx+c的图象上，
求m的值；
(3)当n£ x£2时， 二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值差为5，则n的值为 ．
【答案】(1)y=x2+x+3
(2)m的值为4
-1+ 5
(3)n的值为：
2
【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，
（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
æ 5 11 ö
（2）先求顶点出平移后的坐标ç- , +m÷，然后把坐标代入解析式即可；
è 2 4 ø
1
（3）分为- 0个单位长度后的坐标为：ç- , +m÷，
è 2 4 ø è 2 4 ø
11 æ 5ö 2 æ 5ö
则 +m=ç- ÷ +ç- ÷+3，
4 è 2ø è 2ø
解得m=4，
∴m的值为4；
æ 1ö 2 11 1
（3）解：∵y=çx+ ÷ + 的对称轴为直线：x=- ，
è 2ø 4 2
1
当- 0时，y的最大值为3，求二次函数图象与x轴交点间的距离．
【答案】(1)①y=-x2+4x+3；②-2≤y≤7
(2)二次函数图象与x轴交点间的距离为2 3
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）①待定系数法求出函数解析式即可；②根据增减性求最值即可；
（2）根据题意，易得抛物线有最大值为3，抛物线的开口向下，且当x=0时y=2，求出函数解析式式，
进而求出与x轴的交点坐标，即可．
ì -1+b+c=6
【详解】（1）解：①根据题意，得í ，
î-4-2b+c=-9
ìb=4
解这个方程组，得í
îc=3
\二次函数的表达式为y=-x2+4x+3
②y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7，
\函数的图象抛物线的顶点坐标为(2,7)，开口向下，
\当-1£x<2时，y随x的增大而增大，当20时，y的最大值为3，b
\抛物线的对称轴x= 在y轴的右侧，
2
\b>0，
Q
函数的图象抛物线开口向下，当x£0时，y的最大值为2，
\c=2，
4ac-b2 4´(-1)´c-b2
= =3，
Q
4a 4´(-1)
\b=±2，
又b>0
\b=2，
\y=-x2+2x+2．
当y=-x2+2x+2=0时，得：x =1+ 3，x =1- 3，
1 2
\抛物线与x轴的交点坐标为(1+ 3,0)，(1- 3,0)，
\二次函数图象与x轴交点间的距离为1+ 3-(1- 3)=2 3．
【两点间距离公式】2．在平面直角坐标系xOy中，点P(2,4)在二次函数y=ax2+2x+c(a>0)的图象上，
(1)用含a的代数式表示c=______________________；
(2)当0£ x£2时，求二次函数的最大值；
(3)已知直线y= x与抛物线y=ax2+2x+c(a>0)相交于A，B两点，若2 10 £ AB<8，求a的取值范围．
【答案】(1)-4a
(2)当x=2时，函数有最大值为4
1 1
(3) 0)即可求解；
1
（2）确定二次函数解析式y=ax2+2x-4a，由于对称轴直线x=- <0，开口向上，再根据二次函数的性
a
质即可求解；
（3）设y=ax2+2x-4a的图象与直线y= x交点为Ax,y ,Bx ,y x 0)得：4a+4+c=4，
∴c=-4a
（2）解：由（1）得c=-4a
\二次函数解析式：y=ax2+2x-4a
a>0
Q
1
\对称轴为直线x=- <0
a
0£x£2
Q
\当x=2时，函数有最大值为y=4a+4-4a=4；
（3）解：设y=ax2+2x-4a的图象与直线y= x交点为Ax,y ,Bx ,y x 0，当x³-1时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．
æ 1 ö æ 1 ö
(3)若Aç1- ,b÷，Bç3- ,c÷两点都在二次函数的图象上，试比较b与c的大小，并说明理由．
è a ø è a ø
3
【答案】(1)x=
2
2
(2)00时，bc，见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
（1）先把点(3,2)代入二次函数y=ax2-(a-2)x+2(a¹0)求出二次函数解析式，然后求出抛物线的对称轴
即可；
（2）根据当x³-1时，y随x的增大而增大，得出抛物线在对称轴右侧y随x的增大而增大，根据a>0，
a-2
列出关于a的不等式 £-1，解不等式即可；
2a
1 1 æ 1 ö æ 1 ö
（3）先求出抛物线的对称轴为直线x= - ，根据Aç1- ,b÷，Bç3- ,c÷，得出点A，点B在对称轴的
2 a è a ø è a ø
右侧，分两种情况：当a>0时，当a<0时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：将点(3,2)代入二次函数y=ax2-(a-2)x+2(a¹0)，
得9a-3a-2+2=2，
解得a=-1，
\抛物线的表达式为y=-x2+3x+2，
3 3
\抛物线的对称轴为直线x=- = ．
2´-1 2
（2）解：
Q
a>0，当x³-1时，y随x的增大而增大，
\抛物线在对称轴右侧y随x的增大而增大，
a-2
抛物线的对称轴为直线x= ，
Q
2a
a-2
\ £-1，
2a
2
解得：a£ ，
3
2
∴00时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
1 1
1- <3- ，
Q
a a
\bc．
综上，当a>0时，bc．
【对称点】4．已知抛物线y=ax2+bx+ca<0，Mx,y ，Nx ,y 是抛物线上两点，抛物线的对称轴
1 1 2 2
是直线x=t．
(1)当t =3时，
①直接写出b与a满足的等量关系；
②若y = y ，则x +x =_____．
1 2 1 2
(2)已知x =t-1，x =t+3，点Cx ,y 在抛物线上．当2 y > y ，求t的取值范围．
1 2 3 3 3 1 3 2
【答案】(1)①b=-6a；②6
(2)t的取值范围是0£t£2或4£t£5
【分析】（1）①利用对称轴公式求得即可；
②利用二次函数的对称性即可求解；
（2）由题意可知Mx,y 在对称轴的左侧，Nx ,y 在对称轴的右侧，点C到对称轴的距离小于点N到
1 1 2 2
对称轴的距离大于点M到对称轴的距离，据此即可得到关于t的不等式组，解不等式组即可．
b
【详解】（1）解：①∵t =- =3，
2a
∴b=-6a；
②∵Mx,y ，Nx ,y 是抛物线上两点，
1 1 2 2
∴点Mx,y ，Nx ,y 关于对称轴对称，
1 1 2 2∵抛物线的对称轴为直线x=3，
x +x
∴ 1 2 =3，
2
∴x +x =6．
1 2
故答案为：6；
（2）解：由x =t-1，x =t+3可知，Mx,y 在对称轴的左侧，Nx ,y 在对称轴的右侧，抛物线开口
1 2 1 1 2 2
向下，
∵点Cx ,y 在抛物线上，2 y > y ，
3 1 3 2
ì t-1³3
∴í ，解得4£t£5；
î2t-2£t+3
当点Cx ,y 在对称轴的右侧时，
3 3
∵当2 y > y ，
3 1 3 2
ì t+3³3
∴í ，解得0£t£2；
î2t-3£t-1
∴t的取值范围是0£t£2或4£t£5．
【平移】5．已知抛物线G:y =mx2 -2mx-8m(m¹0)．
(1)当y=0时，求x的值；
(2)点Q(a,b)是抛物线上一点，若m<0，且a³0时b£6，求m的值；
(3)当m=-1时，把抛物线G向下平移n(n>0)个单位长度得到新抛物线H，如果抛物线H与x轴的一个交点
的坐标为(x,0)，且-15，又抛物线H与x轴有交点，故9-n³0，进而可以得解．
【详解】（1）解：由题意，y=mx2-2mx-8m=mx2-2x-8=0，
又 m¹0，
Q
\x2-2x-8=0，
\(x-4)(x+2)=0，
\x=4或x=-2．
（2）解：由题意，y=mx2-2mx-8m=m x2-2x-8 =m(x-1)2-9m，
m<0，
Q
∴当x=1时，函数y=m(x-1)2-9m有最大值为-9m，
又此时点Q(a,b)是抛物线上一点，a³0时，都有b£6，
\-9m=6，
2
\m=- ．
3
（3）解：由题意，当m=-1时，抛物线G为y=-(x-1)2+9，
∴把抛物线G向下平移n(n>0)个单位长度得到新抛物线H为y=-(x-1)2+9-n，
∵抛物线H与x轴的一个交点的坐标为x,0，且-15，
又 ∵抛物线H与x轴有交点，
\9-n³0，
\n£9，
\50)个单位，得
1
到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S ．若S =2S ，求m的值．
2 1 2
1
【答案】(1)y=- x2+4
18
(2)24
(3)6或6 3
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+c，把点A，C的坐标代入，即可求解；
ì 1
y= x
ï
1 ï 3
（2）运用待定系数法求出直线OA的解析式为y= x，解方程组í 得到点E的坐标，根据对
3 1
ïy=- x2+4
ïî 18
称得到点F的坐标，进而可解答；
1 æ 1 ö
（3）设平移后的抛物线解析式为y=- x+m2+4，则得到此时抛物线与 y轴的交点Dç0,- m2+4÷，
18 è 18 ø
1 1
根据S = S ，结合两个三角形的底相同，即可得到OD= OC，进而即可解答．
2 2 1 2
【详解】（1）解：设抛物线对应的函数关系式为：y=ax2+c，
ì36a+c=2
由题意得，把A6,2，C0,4代入得，í
î c=4
ì 1
ïa=-
\í 18．
ï î c=4
1
\抛物线对应的函数关系式为：y=- x2+4
18
（2）解：设直线OA的关系式为：y=kx
直线OA经过点A(6,2)
Q1
\6k =2，即k =
3
1
\直线OA的关系式为：y= x
3
ì 1
y= x
ï
ï 3
\解方程组í
1
ïy=- x2+4
ïî 18
ìx =-12 ìx =6
\í 1 ，í 2
î y =-4 îy =2
1 2
\点E的坐标为(-12,-4)，根据对称性可得点F的坐标为(12,-4)
\EF =12-(-12)=24；
1
（3）解：设平移后的抛物线对应的关系式为：y=- x+m2+4
18
1
令x=0，则y=- m2+4
18
æ 1 ö
此时抛物线与y轴的交点设为Dç0,- m2+4÷
è 18 ø
平移后抛物线和x轴交点间的距离不变，又S =2S
Q 1 2
1 1 1
则OD= OC，即 - m2+4 = ´ 4
2 18 2
解得m的值为m=±6或m=±6 3（舍去负值）
\m的值为6或6 3
【销售问题】4．综合与实践
【项目背景】
九（1）班同学帮助回乡创业的王叔叔团队在线上销售一种农产品．具体任务是：提出合理销售价格建议，
取得较好销售利润．经调查：去年线上销售这种农产品的年销售量y（万斤）与售价x（元/斤）之间的关
系如图所示．
【解决问题】(1)假设这种农产品价格不超过15元/斤．
（i）求去年销售这种农产品的年销售量y与售价x之间的函数表达式（不要求写自变量x的取值范围）；
（ii）销售这种农产品时，如果各种销售成本总计为8元/斤，要确保今年利润在20万元以上，按去年经验，
求今年这种农产品的售价范围；
(2)关于今年销售这种农产品增加如下信息：①此种农产品的批发价为4元/斤；②销售这种农产品需先投入
成本20万元（不含以批发价购入这种农产品所需资金）；③市场管理部门规定这种农产品的售价不超过30
元/斤．结合今年和去年的销售信息，这种农产品的售价为多少元时，获得的年利润最大？最大年利润是多
少？
【答案】(1)（i）y=-x+20；（ii）1020时，100，
Q
\w 随x的增大而增大，
2
即当x=30时，w 最大为6´30-44=136（万元）.
2
综上可知，当售价为30元/斤时，销售此种农产品的年利润最大，最大年利润为136万元．
【投球问题】5．【发现问题】
投掷实心球是某市中考体育考试项目之一，李明发现实心球从出手到落地的过程中，
实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．
【提出问题】
实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？
【分析问题】李明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）
的数据如表：
水平距离
0 2 4 5 6 8 9
x/m
竖直高度
2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1
y/m
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，李明发现其图象是二次函数的
一部分．
【解决问题】
(1)在李明投掷过程中，出手时实心球竖直高度是________m，实心球在空中的最大高度是________m；
(2)求满足条件的二次函数的解析式；
(3)根据该市中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等
于9.75m时，即可得满分10分，李明在此次考试中能否得到满分，请说明理由．
【答案】(1)2，3.6
(2)y=-0.1x-42+3.6
(3)李明在此次考试中能得到满分，见解析
【分析】（1）根据图表即可求解；
（2）设抛物线的解析式为y=ax-h2+k，通过图表求出抛物线的顶点，再代入0,2即可求出解析式；
（3）把y=0代入y=-0.1x-42+3.6，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果．
【详解】（1）解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为x=0时y的值，
通过图表可得当x=0时，y=2，
得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2m，
由当x=2时，y=3.2；当x=6时，y=3.2，
可得对称轴为直线x=4，
则当x=4时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当x=4时，y=3.6，
得实心球在空中的最大高度是3.6m；
（2）解：设抛物线的解析式为y=ax-h2+k，
由（1）得抛物线的顶点坐标为4,3.6，
则h=4,k =3.6，
得抛物线的解析式为y=ax-42+3.6，
把0,2代入，
得a0-42 +3.6=2，
解得a=-0.1，
∴抛物线的解析式为y=-0.1x-42+3.6；
（3）解：明明在此次考试中能得到满分，理由如下：
把y=0代入y=-0.1x-42+3.6，
得-0.1x-42 +3.6=0，
解得x =10或x =-2（不符合题意，舍去），
1 2
∵10>9.75，
∴明明在此次考试中能得到满分．
押题猜想十五 几何综合：类比探究
限时：17min
（原创）．数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF利一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若
AE=1，AB=2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转a(0°£a£90°)角，观察图形的变化，完成探究活动．(1)【初步探究】
如图1，BE和DF的数量关系是______．
如图2，连接BE，DF，并延长，延长线相交于点G，BG交AD于点M ．
问题1：BE和DF的位置关系______．数量关系______．
(2)【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题：
问题2：如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA=OD=OG．
(3)【尝试应用】
问题3：在图4中画出旋转角a为60°的图形，并求出当旋转角a从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．
【答案】(1)相等，垂直，相等
(2)见解析
2
(3) π，图见解析
3
【分析】（1）如图1，根据正方形和等腰直角三角形的性质和判定求解即可；如图2，由四边形ABCD是正
方形，△AEF 是等腰直角三角形，AE=1，证明△BAE≌△DAF，再进一步可得结论；
（2）如图3，由ÐBAD=90°,ÐBGD=90°，再结合直角三角形斜边上的中线的性质可得结论；
（3）如图4，证明G在以O为圆心，OD为半径的
e
O上，过F作FN ^ AD于N ，当ÐBAE=a=60°时，
证明ÐAFD=90°，可得ÐADF =30°,ÐAOG=2ÐADF =60°，证明四边形AEGF 是正方形，可得当旋转角a
从0°变化到60°时，G在 上运动，再进一步解答即可；
AG
【详解】（1）解：如图1，BE=FD，
理由如下：如图1，根据题意ÐA=90°,ÐAEF =45°,AB= AD，
∴ÐAEF =ÐAFE =45°，
∴AE=AF，
∴AB-AE= AF-AD，
∴BE=FD，故答案为：相等；
如图2，BE=DF;BE^DF；理由如下：
如图，∵四边形ABCD是正方形，
\AB=BC =CD= AD=2,ÐBAD=90°，
∵△AEF 是等腰直角三角形，AE=1，
\AE= AF =1,ÐEAF =90°，
\ÐBAE=ÐDAF ，
\ BAE≌ DAFSAS，
V V
\BE=DF,ÐABE=ÐADF，
ÐAMB=ÐDMG，
Q
\ÐBGD=ÐBAM =90°，
\BE^DF，
故答案为：垂直，相等．
（2）解：如图，
Q
四边形ABCD是正方形，
\ÐBAD=90°，
∵点O是BD的中点，
\OA=OB=OD，
BE^DF，
Q
\ÐBGD=90°，
Q
点O是BD的中点，
\OG=OB=OD，
\OA=OD=OG．
（3）解：旋转角a为60°的图形如图，
∵ÐBGD=90°,OB=OG=OD，
∴G在以O为圆心，OD为半径的
e
O上，
过F作FN ^ AD于N ，当ÐBAE=a=60°时，
\ÐDAF =a=60°,ÐAFN =30°，
AF = AE=1，
Q
1 1 3
\AN = AF = ,FN = AF2-AN2 = ，
2 2 2
1 3
\DN =2- = ,DF = FN2+DN2 = 3，
2 2
\AF2+DF2 =1+3=4= AD2，
\ÐAFD=90°，
\ÐADF =30°，
\ÐAOG=2ÐADF =60°，
而ÐEAF =ÐEGF =90°,AE= AF =1，
∴四边形AEGF 是正方形，
∴当旋转角a从0°变化到60°时，G在 上运动，
AG
Q
AB=2,OA=OB,AO^BD，
2
\OA=2´ = 2，
2
60p´ 2 2p
∴点G经过路线的长度为 = ．
180 3
押题解读
本考点为必考考点，多为三角形、四边形综合题，以相似三角形的判定和性质为主，结合解直角三角形，
锐角三角函数，勾股定理，平行线，平行四边形等知识解决问题。解题的关键是学会利用参数构建方程解
决问题，属于中考常考题型，难度较大【全等三角形】1. △ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），
以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，
(1)观察猜想：如图 1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为 ；
②BC，CD，CF之间的数量关系为 ；（将结论直接写在横线上）
(2)数学思考：如图 2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；
若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸：如图 3，当点D在线段 BC 的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB＝
2 2，CD=1，请求出GE的长
【答案】(1)①BC⊥CF；②BC＝CF＋CD
(2)BC⊥CF成立；BC＝CD＋CF不成立，CD＝CF＋BC．理由见解析
(3) 10
【分析】（1）由正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，证出△DAB≌△FAC（SAS），由全等三角形的性质
和余角的关系进而得到结论；
②由全等三角形的性质得到CF＝BD，进而得出结论；
（2）推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
（3）过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，证△ADH≌△DEM（AAS），推出EM＝DH
＝3，DM＝AH＝2，推出CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，由△BCG是等腰直角三角形，推出CG＝BC＝4，推
出GN＝CG−CN＝1，再由勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）解：①∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，在△DAB与△FAC中，
ì AD= AF
ï
íÐBAD=ÐCAF ，
ï
î AB= AC
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠B＝∠ACF，
∴∠ACB＋∠ACF＝90°，
即BC⊥CF；
故答案为：BC⊥CF；
②由①得：△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，
∵BC＝BD＋CD，
∴BC＝CF＋CD；
故答案为：BC＝CF＋CD；
（2）解：BC⊥CF成立；BC＝CD＋CF不成立，CD＝CF＋BC．理由如下：
∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
ì AD= AF
ï
íÐBAD=ÐCAF ，
ï
î AB= AC
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°．
∴∠ABD＝180°−45°＝135°，
∴∠BCF＝∠ACF−∠ACB＝135°−45°＝90°，
∴BC⊥CF，
∵CD＝DB＋BC，DB＝CF，∴CD＝CF＋BC；
（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图3所示：
∵∠BAC＝90°，AC＝AB＝2 2，
∴BC＝ 2AB＝4，
∵AH⊥BC，
1
AH＝ BC＝BH＝CH＝2，
2
∴DH＝CH＋CD＝3，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE＝CM，EM＝CN，
∵∠AHD＝∠ADC＝∠EMD＝90°，
∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°，
∴∠ADH＝∠DEM，
∴△ADH≌△DEM（AAS），
∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，
∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BGC＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG＝BC＝4，
∴GN＝1，在Rt△EGN中，由勾股定理得：EG＝ 11+32 = 10 ．
【旋转、对称】2．综合与实践
数学活动∶在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究
线段长度的有关问题．
动手操作：在Rt△ABC中，ÐBAC =90°，AB=6，AC =8，将三角形纸片ABC进行以下操作：
第一步∶如图1，将 DEC沿着DE进行翻折，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；
V
第二步∶如图2，隐去AD，将
V
ABC沿折痕DE剪开，然后将
V
DEC绕点D逆时针方向旋转得到
V
DFG，
点E，C的对应点分别是点F，G，射线GF 与边AC交于点M，（M不与点A重合），与边AB交于点N，线
段DG与AC交于点P．
数学思考：
(1)在图1中，求证∶AD=BD；
(2)在图2中， DEC绕点D旋转的过程中，试判断MF与ME的数量关系，并证明你的结论；
V
(3)在 DEC绕点D旋转的过程中，探究下列问题：
V
①如图3，当GF∥BC时，AM =________；
②如图4，当GF 经过点B时，AM =________．
【答案】(1)见解析
(2)MF =ME，证明见解析
7
(3)①3；②
4
【难度】0.65【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据旋转
的性质求解
【分析】（1）∵根据折叠可知AD=CD，则ÐC =ÐCAD，由ÐC+ÐB=ÐCAD+ÐBAD=90°得到
ÐB=ÐBAD，即可得到AD=BD；
（2）证明Rt
V
DMF≌Rt
V
DMEHL，即可证明结论；
24 32 7
（3）①作AH ^BC于H，交FG于K．求出AH = ，CH = ，证明四边形DFKH是矩形，求出KF =DH = ，
5 5 5
1 9 27
由折叠可知，AE=CE= AC =4，求出AK = ，设AM =x，则ME=MF =4-x，KM = -x，根据勾
2 5 5
股定理列方程，解方程即可得到答案；
25
②证明BM =MC，设BM =MC = y，在Rt ABM 中，由勾股定理列方程即可求出y= ，线段作差即可
V
4
得到答案．
【详解】（1）解：如图1中，∵将 DEC沿着DE进行翻折，使点C与点A重合，
V
∴AD=CD，
∴ÐC =ÐCAD，
在Rt△ABC中，ÐBAC =90°，
∴ÐC+ÐB=ÐCAD+ÐBAD=90°，
∴ÐB=ÐBAD，
∴AD=BD；
（2）MF =ME．
理由：如图2中，连接DM ，
∵ÐDFM =ÐDEM =90°，DM =DM，DF =DE，
∴Rt
V
DMF≌Rt
V
DMEHL，
∴MF =ME．
（3）①如图3中，作AH ^BC于H，交FG于K．在Rt△ABC中，ÐBAC =90°，AB=6，AC =8，
∴BC = AB2+AC2 = 62+82 =10，
1 1
∵S = AB×AC = AH×BC，
VABC 2 2
AB×AC 24
∴AH = = ，
BC 5
32
∴CH = AC2-AH2 = ，
5
∵GF∥BC，
∴ÐFKH =180°-ÐAHC =90°，
∴ÐAKM =ÐFKH =ÐAHC =ÐKFD=90°，
∴四边形DFKH是矩形，
1
又∵AD=CD=BD= BC =5，,
2
7
∴点D为BC的中点，DH =CH -CD= ，
5
7
∴KF =DH = ，
5
1
由折叠可知，AE=CE= AC =4，
2
∴DE是
V
ABC的中位线，
1
∴DE= AB=3，
2
∴DF =DE=3，
∴DF =KH =3，
9
∴AK = AH -KH = ，
5
27
设AM =x，则ME=MF = AE-AM =4-x，KM =KF+MF = -x，
5
∵AK2+KM2 =AM2，æ9ö 2 æ27 ö 2
∴ç ÷ +ç -x÷ =x2，
è5ø è 5 ø
解得x=3，
即AM =3；
故答案为：3
②如图4中，
∵DG=DB=DC，
∴ÐG=ÐDBG，
∵ÐG =ÐC，
∴ÐMBC =ÐC，
∴BM =MC，设BM =MC = y，
在Rt V ABM 中，∵BM2 = AB2+AM2，
∴62+8-y2 = y2，
25
∴y= ，
4
25 7
∴AM = AC-CM =8- = ．
4 4
7
故答案为： .
4
【旋转、相似】3．（问题提出）如图1，在等边
V
ABC内部有一点P，PA=3，PB=4，PC=5，求ÐAPB
的度数．
（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
【尝试解决】将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP¢B，连接PP¢，则 APP¢为等边三角
V
形．\PP¢=PA=3，又
Q
PB=4，PC=5，PP¢2+PB2 =PC2，\
V
BP¢P为 三角形，\ÐAPB的度数为 ．
【类比探究】如图2，在
V
ABC中，ÐBAC =90°，AB= AC，其内部有一点P，若PA=2，PB=1，
PC=3，求ÐAPB的度数．
【联想拓展】如图3，在
V
ABC中，ÐBAC =90°，ÐBCA=30°，其内部有一点P，若PA=3，PB=2，
PC =4 3，求ÐAPB的度数．【答案】【尝试解决】直角，150°；【类比探究】135°；【联想拓展】120°
【分析】尝试解决：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP¢B，连接PP¢，根据旋转的性质，得到
P¢B=5， APP¢为等边三角形，进而得到PP¢=3，ÐAPP¢=60°，再利用勾股定理的逆定理，证明△BP¢P为
V
直角三角形，得到ÐBPP¢=90°，即可求出ÐAPB的度数；
类比探究：将△APC绕点A逆时针旋转90°，得到△AP¢B，连接PP¢，根据旋转的性质，得到P¢B=3， APP¢
V
为等腰直角三角形，进而得到ÐAPP¢=45°，PP¢=2 2，再利用勾股定理的逆定理，证明△BP¢P为直角三
角形，得到ÐBPP¢=90°，即可求出ÐAPB的度数；
联想拓展：如图，以PA为直角边构造直角三角形APP¢，使得ÐAPP¢=30°，ÐPAP¢=90°，先证明 ABC∽ AP¢P，
V V
AB P¢A P¢B AB
得出 = ，进而证明\BAP¢∽
V
CAP，得到 = ，然后利用特殊角的三角函数值，分别求出P¢B=4，
AC PA PC AC
PP¢=2 3，再利用勾股定理的逆定理，证明 BPP¢是直角三角形，得到ÐBPP¢=90°，即可求出ÐAPB的
V
度数．
【详解】尝试解决：解：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP¢B，连接PP¢，
\PA=P¢A=3，ÐPAP¢=60°，PC=P¢B=5，
\ APP¢为等边三角形，
V
\PP¢=PA=3，ÐAPP¢=60°，
PB=4，
Q
\PP¢2+PB2 =32+42 =25，P¢B2 =52 =25，
\PP¢2+PB2 =P¢B2，
\ BP¢P为直角三角形，
V
\ÐBPP¢=90°，
\ÐAPB=ÐAPP¢+BPP¢=60°+90°=150°，
\ÐAPB的度数为150°，
故答案为：直角，150°；
类比探究：解：如图，将△APC绕点A逆时针旋转90°，得到△AP¢B，连接PP¢，由旋转的性质可知，PA=P¢A=2，ÐPAP¢=90°，PC=P¢B=3，
\ APP¢是等腰直角三角形，
V
\ÐAPP¢=45°， PP¢= PA2+P¢A2 =2 2 ，
PB=1，
Q
\PP¢2+PB2 = 2 2 2 +12 =9，P¢B2 =32 =9，
\PP¢2+PB2 =P¢B2，
\ BP¢P为直角三角形，
V
\ÐBPP¢=90°，
\ÐAPB=ÐAPP¢+BPP¢=45°+90°=135°；
联想拓展：解：如图，以PA为直角边构造直角三角形APP¢，使得ÐAPP¢=30°，ÐPAP¢=90°，
ÐBAC =90°，ÐBCA=30°，
Q
\ÐBAC=ÐPAP¢，ÐBCA=ÐAPP¢，
\ ABC∽ AP¢P，
V V
AB AC
\ = ，
P¢A PA
AB P¢A
\ = ，
AC PA
ÐPAP¢=ÐBAP¢+ÐBAP=90°，ÐBAC=ÐCAP+ÐBAP=90°，
Q
\ÐBAP¢=ÐCAP，
\ BAP¢∽ CAP，
V V
P¢B AB
\ = ，
PC AC
AB 3
tanÐBAC= =tan30°= ，
Q
AC 3
P¢B 3
\ = ，
PC 3
PC =4 3，
Q3
\P¢B= ´4 3=4，
3
PA 3
cosÐAPP¢= =cos30°= ，PA=3，
Q
PP¢ 2
\PP¢=2 3，
在 BPP¢中，PB=2，P¢B=4，PP¢=2 3，
V
\PP¢2+PB2 = 2 3 2 +22 =16，P¢B2 =42 =16，
\PP¢2+PB2 =P¢B2，
\△BPP¢是直角三角形，
\ÐBPP¢=90°，
\ÐAPB=ÐBPP¢+ÐAPP¢=90°+30°=120°．
【折叠、全等、相似】4．综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 ABCD
Y
中，BE^ AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明；
独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将
Y
ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，
点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将
Y
ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A'，使
A'B^CD于点H，折痕交AD于点M ，连接A'M ，交CD于点N ．该小组提出一个问题：若此
Y
ABCD的
面积为20，边长AB=5，BC =2 5，求图中阴影部分（四边形BHNM ）的面积．请你思考此问题，直接
写出结果．
22
【答案】（1）EF =BF；见解析；（2）AG=BG，见解析；（3） ．
3【分析】（1）如图，分别延长AD，BF相交于点P，根据平行四边形的性质可得AD//BC，根据平行线的
性质可得ÐPDF =ÐC，ÐP=ÐFBC，利用AAS可证明△PDF≌△BCF，根据全等三角形的性质可得
1
FP=FB，根据直角三角形斜边中线的性质可得EF = BP，即可得EF =BF；
2
1
（2）根据折叠性质可得∠CFB=∠C′FB= ∠CFC′，FC=FC′，可得FD=FC′，根据等腰三角形的性质可得
2
∠FDC′=∠FC′D，根据三角形外角性质可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，
1
即可证明四边形DGBF是平行四边形，可得DF=BG= AB，可得AG=BG；
2
（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，根据平行四边形的面积可求出BH的长，根据折叠的性质可得
A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根据A'B^CD可得A′B⊥AB，即可证明△MBQ是等腰直角三角形，可
得MQ=BQ，根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，进而可证明△A′NH∽△CBH，根据相似三
角形的性质可得A′H、NH的长，根据NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根据相似三角形的性质可求出MQ的
长，根据S =S -S 即可得答案．
阴 △A′MB △A′NH
【详解】（1）EF =BF．
如图，分别延长AD，BF相交于点P，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴ÐPDF =ÐC，ÐP=ÐFBC,
∵F为CD的中点，
∴DF =CF ，
ìÐP=ÐFBC
ï
在△PDF和△BCF中，íÐPDF =ÐC，
ï
îDF =CF
∴△PDF≌△BCF，
∴FP=FB，即F为BP的中点，
1
∴BF = BP，
2
∵BE^ AD，
∴ÐBEP=90°，
1
∴EF = BP，
2
∴EF =BF．（2）AG=BG．
∵将
Y
ABCD沿着BF所在直线折叠，点C的对应点为C'，
1
∴∠CFB=∠C′FB= ∠CFC′，FC' =FC，
2
∵F为CD的中点，
1
∴FC =FD= CD，
2
∴FC' =FD，
∴∠FDC′=∠FC′D，
∵ÐCFC'=∠FDC′+∠FC′D，
1
∴ÐFC'D= ÐCFC'，
2
∴∠FC′D=∠C′FB，
∴DG//FB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC//AB，DC=AB，
∴四边形DGBF为平行四边形，
∴BG=DF，
1
∴BG= AB，
2
∴AG=BG．
（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，
∵
Y
ABCD的面积为20，边长AB=5，A'B^CD于点H，
∴BH=50÷5=4，
∴CH= BC2-BH2 =2，A′H=A′B-BH=1，∵将
Y
ABCD沿过点B的直线折叠，点A的对应点为A'，
∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，
∵A'B^CD于点H，AB//CD，
∴A'B^ AB，
∴∠MBH=45°，
∴△MBQ是等腰直角三角形，
∴MQ=BQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∴∠A′=∠C，
∵∠A′HN=∠CHB，
∴△A′NH∽△CBH，
CH BH 2 4
∴ = ，即 = ，
A'H NH 1 NH
解得：NH=2，
∵A'B^CD，MQ⊥A′B，
∴NH//MQ，
∴△A′NH∽△A′MQ，
A'H NH 1 2
∴ = ，即 = ，
A'Q MQ 5-MQ MQ
10
解得：MQ= ，
3
1 1 1 10 1 22
∴S =S -S = A′B·MQ- A′H·NH= ×5× - ×1×2= ．
阴 △A′MB △A′NH 2 2 2 3 2 3
【平移、折叠、相似】5．【问题背景】
“综合与实践”课上，王老师带领同学们剪拼图形，用发展的眼光看问题，感受图形的变换美！
【特例感知】
（1）如图（1），纸片ABCD为矩形，且AD=4，AB=2，点E，F分别为边AD，BC的中点，沿EF将纸片剪成两部分，将纸片DEFC沿纸片ABFE的对角线EB方向向上平移．
①当纸片DEFC平移至点E¢与EB的中点O重合时，两个纸片重叠部分FGE¢H的面积与原矩形纸片ABCD
的面积之比是______．
1
②当两个纸片重叠部分FGE¢H的面积与原矩形纸片ABCD的面积之比是 时，则平移距离EE¢为______．
16
【类比探究】
（2）如图（2），当纸片KLMN为菱形，KN =aa>2，ÐN =60°时，将纸片KLMN沿其对角线KM 剪开，
1
将纸片KLM 沿KM 方向向上平移．当两个纸片重叠部分K¢PM 的面积与纸片KLM 的面积之比为 时，求
2
平移距离KK¢（用含a的式子表示）．
【拓展延伸】
（3）某小组将图（2）剪下来的 MKL与图（1）中的四边形ABFE按图（3）的方式放在同一平面内，使
V
点L与点B重合，ML与BF重合．将 MKL从如图（3）所示的起始位置开始绕B点逆时针旋转a0°
