2025《中考数学•终极押题猜想》山东(解析版)_初中资料合集_2025中考数学《终极押题猜想》全国13地方版_2025《中考数学•终极押题猜想》山东

2025 年中考数学终极押题猜想（山东专用）
（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）
押题猜想一 由分式方程解的情况或不等式组的解集的情况求参数.....................................1
押题猜想二 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系.....................................................6
押题猜想三 新定义问题...........................................................................................................10
押题猜想四 规律问题（数字类、图形类）...........................................................................16
押题猜想五 反比例函数k的几何意义...................................................................................25
押题猜想六 二次函数的图象与性质（选填）.......................................................................33
押题猜想七 几何综合压轴（选填）.......................................................................................41
押题猜想八 统计与概率（解答题）.......................................................................................53
押题猜想九 解直角三角形（解答题）...................................................................................64
押题猜想十 平行四边形（解答题）.......................................................................................75
押题猜想十一 反比例函数与一次函数综合（解答题）...........................................................84
押题猜想十二 圆（解答题）.......................................................................................................99
押题猜想十三 二次函数图像与性质（解答题）.....................................................................109
押题猜想十四 二次函数实际问题（解答题）.........................................................................118
押题猜想十五 几何综合：类比探究（解答题）.....................................................................130
押题猜想一 由分式方程解的情况或不等式组的解集的情况求参数
限时：4min
ì3x+6
ï ³x+2 a 2y
（原创）若关于x的不等式组í 2 有解且最多有4个整数解，且关于y的分式方程 =3-
y-3 3-y
ï î6x-a<1
的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ．
【答案】-1
【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，
不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且最多有4个整数解确定出a的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数a的值，求出之和即可．
ì3x+6
ï ³x+2①
【详解】解：í 2 ，
ï î6x-a<1②
由①得：x³-2，
a+1
由②得：x< ，
6
ì3x+6
ï ³x+2
∵关于x的不等式组í 2 有解，
ï î6x-a<1
a+1
∴-2£x< ，
6
Q
不等式组有解且最多有4个整数解，
a+1
\-2< £2，
6
解得：-13<a£11，
a 2y
∵ =3- ，
y-3 3-y
分式方程去分母得：a=3y-9+2y，
a+9
解得：y= ，且y¹3，
5
Q
分式方程的解为整数，-13<a£11
\a=-9或-4或1或11，
则满足题意整数a之和为-9-4+1+11=-1．
故答案为：-1
押题解读
本考点为重要考点，预测25年中考中会出现选择题或者填空题。
由分式方程解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数，为近几年山东各地区的重点内容，两者
结合后综合难度提升。
1-k 1
【分式方程有解】1．若关于x的分式方程2- = 的解是正数，则k的取值范围是 ．
x-2 2-x
【答案】k <4且k ¹0
【分析】根据题意，将分式方程的解x用含k的表达式进行表示，进而令x>0，再因分式方程要有意义则x¹2，进而计算出k的取值范围即可．
【详解】解： 2(2-x)+1-k =1
4-2x-k =0
4-k
x=
2
根据题意x>0且x¹2
ì4-k
>0
ï
ï 2
∴í
4-k
ï ¹2
îï 2
ìk <4
∴í
îk ¹0
∴k的取值范围是k <4且k ¹0．
2a 4
【分式方程有增根】 2．若分式方程 = +5有增根，则a= ．
x+2 x+2
【答案】2
【分析】本题主要考查了分式方程中增根的运用，熟练掌握相关方法是解题关键．首先将分式方程去掉分
母转化为整式方程，根据分式方程有增根进一步得出整式方程的解，由此代入整式方程求出a的值即可．
2a 4
【详解】解： = +5，
x+2 x+2
去分母得：2a=4+5x+2，
2a-14
解得：x= ，
5
2a 4
∵分式方程 = +5有增根
x+2 x+2
∴x=-2，
2a-14
∴ =-2，
5
解得：a=2，
故答案为：2．
ax 2
【分式方程无解】 3．若关于x的分式方程 + =3无解，则a的值为 ．
x-2 2-x
【答案】1或3
【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，
两种情况进行求解即可．【详解】解：方程去分母，得：ax-2=3x-6，
整理，得：a-3x=-4；
∵方式方程无解，
①当整式方程无解时：a-3=0，解得：a=3；
②当分式方程有增根时，则：x-2=0，解得x=2，
把x=2，代入a-3x=-4，得：2a-3=-4，
解得：a=1；
故答案为：1或3．
ì7-2x£1
【不等式组解集求参数】 4．若关于x的不等式组í 的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ）
îx-m<0
A．5<m<6 B．5<m£6 C．5£m£6 D．5£m<6
【答案】B
【分析】本题考查不等式组整数解问题，解题的关键是正确求出不等式的解．分别解不等式①和不等式
②，结合三个整数解直接求解即可得到答案．
ì7-2x£1①
【详解】解：í ，
îx-m<0②
解不等式①得：x³3，
解不等式②得：x<m，
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为：3£x<m，
∵整数解共有3个，
∴5<m£6
故选：B．
ì x>m-6
【不等式组与三边关系】5．线段3,3,m能构成三角形，且使关于x的不等式组í 有解的所有
î-3x+8³3m-4
整数m的和为 ．
【答案】10
【分析】本题考查构成三角形的三边关系、解不等式组、不等式组有解时参数范围等知识，先由三角形三
边关系得到0<m<6，再解含参数的不等式组，根据不等式组有解情况得到所有整数m，求和即可得到答案．熟练掌握由不等式组有解情况求出参数范围的方法是解决问题的关键．
【详解】解： 线段3,3,m能构成三角形，
Q
\0<m<6，
ì x>m-6①
í ，
î-3x+8³3m-4②
由②得x£4-m，
ì x>m-6
Q
关于x的不等式组í 有解，
î-3x+8³3m-4
\不等式组的解集为m-6<x£-m+4，
则m<5，即0<m<5，
Qm为整数，
\m可取1,2,3,4，
ì x>m-6
则使关于x的不等式组í 有解的所有整数m的和为1+2+3+4=10，
î-3x+8³3m-4
故答案为：10．
ìx-1 x
³ -1
ï
ï 2 3
【不等式组与一元二次方程】6．若关于x的不等式组í 有且仅有4个整数解，且使关于x的一
1
ï3x- m<0
ïî 2
元二次方程x2-(2m+1)x+m2+3=0有实数根，则符合条件的整数m的和为 ．
【答案】18
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解、一元二次方程根的判别式，解本题的关键在综合得出m
ì x³-3
ï 1
的取值范围．把不等式组整理为í 1 ，再根据不等式组有解，得出不等式组的解集为-3£x< m，再
x< m 6
ï
î 6
根据不等式组有4个整数解，得出关于x的不等式组的整数解为：-3、-2、-1，0，进而得出0<m£6，
解出m的取值范围，再根据一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，得出4m-11³0，解出m的取值
范围，然后综合得出m的取值范围，进而得出符合条件的整数m为3、4、5、6，据此即可得出答案．
ìx-1 x
³ -1 ì x³-3
ï
ï 2 3 ï
【详解】解：关于x的不等式组í ，整理可得：í 1 ，
1 x< m
ï3x- m<0 ï î 6
ïî 2ìx-1 x
³ -1
ï
ï 2 3
∵关于x的不等式组í 有解集，
1
ï3x- m<0
ïî 2
1
∴不等式组的解集为：-3£x< m，
6
ìx-1 x
³ -1
ï
ï 2 3
∵关于x的不等式组í 有且仅有4个整数解，
1
ï3x- m<0
ïî 2
∴关于x的不等式组的整数解为：-3、-2、-1，0，
1
∴0< m£1，
6
解得：0<m£6，
∵关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+3=0有实数根，
∴D=b2-4ac=é-2m+1ù 2 -4  m2+3  =4m-11³0，
ë û
11
解得：m³ ，
4
11
综上所述，m的取值范围为 £a£6，
4
∴符合条件的整数m为3、4、5、6．
∴3+4+5+6=18，
故答案为：18
押题猜想二 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
限时：2min
（原创）若m，n是一元二次方程x2-4x+2=0的两个实数根，则(m-3)2-2n的值为 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．先根据根与系数的关系求出
m2-4m=-2，m+n=4，然后把(m-3)2-2n变形后代入求值即可．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2-4x+2=0的两个实数根，∴m2-4m+2=0，m+n=4，
∴即m2-4m=-2，m+n=4，
∴(m-3)2-2n
=m2-6m+9-2n
=m2-4m-2m+n+9
=-2-8+9=-1，
故答案为：-1．
押题解读
本考点为课表选考点，但是近几年山东省各地区中考均有涉及，而且该考点与代数式求值问题结合是经典
题型。所以预测25年中考中会出现相关题型，熟练掌握韦达定理为解题关键。
【根的情况求参数】1．关于x的方程m-2x2+2m+1x+m-2=0有实数根，则m的取值范围是 ．
3
【答案】m³
4
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．根据一元二次方程
ax2+bx+c=0a¹0的根与D=b2-4ac有如下关系：①当D >0时，方程有两个不相等的两个实数根；②
当D =0时，方程有两个相等的两个实数根；③当D<0时，方程无实数根．及一元二次方程的定义即可得
出结果．
【详解】解：当m-2¹0时，方程为一元二次方程，由题意得：
D=2m+12-4m-2m-2³0，
即4m2+4m+1-4m2+16m-16³0，
3
解得：m³ 且m¹2，
4
当m=2时，方程m-2x2+2m+1x+m-2=0为：一元一次方程，有实数根，
3
∴关于x的方程m-2x2+2m+1x+m-2=0有实数根，则m的取值范围是m³ ．
43
故答案为：m³ ．
4
【一元二次方程解的定义】2．已知x = m 是一元二次方程x2-x-1=0的一个根，则代数式2025-m2+m的
值是 ．
【答案】2024
【分析】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查
了整体代入的思想．
把x=m代入方程，整理得m2-m=1，把所求的代数式变形为2025-(m2-m)，再整体代入计算即可．
【详解】∵x=m是一元二次方程x2-x-1=0的一个根，
∴m2-m-1=0，
即m2-m=1，
∴2025-m2+m=2025-(m2-m)=2025-1=2024，
故答案为：2024．
1
【根的判别式及根与系数的关系】3．若x，x 是已知关于x的方程x2-(m-1)x+ m2 =0的两个实数根，
1 2 4
1 1
且xx - mx - mx +m=-4，则m的值为 ．
1 2 2 1 2 2
【答案】-2
【分析】本题考查了根的判别式及根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a¹0)的两根
1 2
b c
时，x +x =- ，xx = ，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键．先由根的判别式求得m的取值范
1 2 a 1 2 a
1
围，再根据根与系数的关系得x +x =m-1，xx = m2,再代入列方程求解即可．
1 2 1 2 4
1
【详解】解： 关于x的方程x2-(m-1)x+ m2 =0有两个实数根，
Q
4
\Δ=é-m-1ù 2 -4´1´ 1 m2 ³0，
ë û
4
1
解得：m£ ，
2
1
根据根与系数的关系得x +x =m-1，xx = m2,
1 2 1 2 4
1 1
xx - mx - mx +m=-4，
Q 1 2 2 1 2 2
1
\xx - mx +x +m=-4，
1 2 2 1 21 1
\ m2- mm-1+m=-4，
4 2
解得：m =8,m =-2，
1 2
1
m£ ，
Q
2
\m=-2，
故答案为：-2．
【一元二次方程解的定义及根与系数的关系】4．若m，n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根，则
m+n-22的值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求
b
出n2-5n+2=0，m+n=- =5，从而得到n2 =5n-2，再将原式利用完全平方公式展开，利用n2 =5n-2
a
替换n2项，整理后得到m+n+2，再将m+n=5代入即可．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根，
b
∴n2-5n+2=0，m+n=- =5，
a
则n2 =5n-2
∴m+n-22
=m+n2-4n+4
=m+5n-2-4n+4
=m+n+2
=5+2
=7
故答案为：7
2
【与函数图像结合】5．已知关于x的一元二次方程x2+2x+1-k =0无实数根，则函数y=kx与函数y=
x
的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k
的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置．【详解】解：∵方程x2+2x+1-k =0无实数根，
∴Δ=4-41-k<0，
解得：k <0，则函数y=kx的图象过二，四象限，
2
而函数y= 的图象过一，三象限，
x
2
∴函数y=kx与函数y= 的图象不会相交，则交点个数为0，
x
故选：A．
押题猜想三 新定义
限时：6min
（原创）现定义对于一个数a，我们把a称为a的“邻一数”；若a³0，则a=a-1；若a<0，则
a=a+1．例如：1=1-1=0，-0.5=-0.5+1=0.5．下列说法，其中正确结论有（ ）个
①若a¹b，则a¹b；
②当x>0，y<0时，x-1=y+1，那么代数式x2+3y+y2-3x-2xy的值为4；
5 3 1
③方程m-1+m+2=-2的解为m=- 或m=- 或m=- ；
2 2 2
④若函数y=  -x2-3  +3x +3 ，当y>0时，x的取值范围是-4<x<4．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】新定义下的实数运算、已知式子的值，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项
与移项、根据交点确定不等式的解集
【分析】当a=1.5，b=-0.5时，根据“邻一数”定义，可得a=b，可判定①；当x>0，y<0时，根据
5
“邻一数”定义，可得x-y=4，代入计算即可判定②；当m<-2时，可解得m=- ，当-2£m<1时，可解
2
3 1
得m=- ，当m³1时，解得m=- ，舍去，可判定③；根据“邻一数”定义，得
2 2
y=  -x2-3  +3x +3=-x2-3+1+3 x +3-1=-x2+3 x +4，画出函数图象，根据图象求出x的取值范
围，即可判定④．【详解】解：①当a=1.5，b=-0.5时，则a=1.5=1.5-1=0.5，b=-0.5=-0.5+1=0.5，
∴
a=b，
∴若a¹b，则a¹b错误，故①错误；
②当x>0，y<0时，
∵
x-1=y+1，
∴x-1-1= y+1+1，即x-y=4，
∴x2+3y+y2-3x-2xy=x-y2 -3x-y=42-3´4=4，故②正确；
③∵
m-1+m+2=-2，
当m<-2时，
5
m-1+1+m+2+1=-2，解得m=- ；
2
当-2£m<1时，
3
m-1+1+m+2-1=-2，解得m=- ；
2
当m³1时，
1
m-1-1+m+2-1=-2，解得m=- ，舍去；
2
5 3
∴方程m-1+m+2=-2的解为m=- 或m=- ，故 ③错误；
2 2
④∵y=  -x2-3  +3x +3=-x2-3+1+3 x +3-1=-x2+3 x +4，
其图象为：
由图象可得：当y>0时，-4<x<4，故④正确．
综上，正确的有②④，共2个，
故选：C．押题解读
本考点为重要考点，主要考查学生对新概念的理解能力和思辨能力，符合新课标的核心素养。该考点近三
年山东各地区出现的频次一直在增加，预测25年考查的概率很大。解决这类问题的关键就是认真审题，先
搞清楚题目给定的新概念，再结合所学知识解决即可。这类问题本质还是考查已学过的知识点，读懂新概
念是关键。
1
【一个数的平方根】1．我们规定用a,b表示一对数对，给出如下定义：记m= ，n= b（其中a>0，
a
b>0），将m,n与n,m称为数对a,b的一对“和谐数对”．例如：4,1的一对“和谐数对”为 æ ç 1 ,1 ö ÷和
è2 ø
æ 1ö
ç1, ÷．
è 2ø
(1)数对9,5的一对“和谐数对”是______；
(2)若数对16,b的一对“和谐数对”相同，则b的值为______；
(3)若数对a,b的一个“和谐数对”是5,4，直接写出ab的值______．
æ1 ö æ 1ö
【答案】(1)ç , 5÷，ç 5, ÷
è3 ø è 3ø
1
(2)
16
25 16
(3) 或
16 25
【分析】本题主要考查了新定义的实数运算：
（1）利用“和谐数对”的规定解答即可；
（2）利用“和谐数对”的定义列出关于b的等式解答即可；
（3）利用“和谐数对”的定义列出关于a、b的等式解答即可．
æ 1 ö æ 1 ö æ1 ö æ 1ö
【详解】（1）解：数对9,5的一对“和谐数对”是ç , 5 ÷和ç 5, ÷，即ç , 5÷和ç 5, ÷；
è 9 ø è 9ø è3 ø è 3ø
æ1 ö æ 1ö
故答案为：ç , 5÷，ç 5, ÷
è3 ø è 3ø
（2）解：∵数对16,b的一对“和谐数对”相同，1
∴ = b，
16
1
∴b= ；
16
1
故答案为：
16
（3）解：∵数对a,b的一个“和谐数对”是5,4，
1 1
∴ =5, b =4或 =4, b =5，
a a
1 1
∴a= ,b=16或a= ,b=25，
25 16
1 16 1 25
∴ab= ´16= 或ab= ´25= ．
25 25 16 16
25 16
故答案为： ，
16 25
【一元一次不等式组】2．在平面直角坐标系中，对于点Px,y，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特
y
别地，当 （其中xy¹0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点P2a-4,a+3在第二象限，下
x
列说法正确的是（ ）
A．a<-3
B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为2个
D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和小于10
【答案】D
【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a
的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用
“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D．
【详解】解：∵点P2a-4,a+3在第二象限，
ì2a-4<0
∴í ，
îa+3>0
∴-3<a<2，故选项A错误；
∵点P2a-4,a+3为“整点”， -3<a<2，
∴整数a为-2，-1，0，1，
∴点P的个数为4个，故选项B错误；∴“整点”P为-8,1，-6,2，-4,3，-2,4，
1 1 2 1 3 3 4
∵ =- ， =- ， =- ， =-2
-8 8 -6 3 -4 4 -2
∴“超整点”P为-2,4，故选项C错误；
∵点P2a-4,a+3为“超整点”，
∴点P坐标为-2,4，
∴点P到两坐标轴的距离之和2+4=6<10，故选项D正确，
故选：D．
【概率】3．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则该三位数为“平稳数”，用1，
2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）．
1 1 2 1
A． B． C． D．
3 2 3 6
【答案】A
【分析】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据题意列出所有可能，
根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解．
【详解】解：依题意，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有，
123,132,213,231,312,321共六种可能，
只有123，321是“平稳数”
2 1
∴恰好是“平稳数”的概率为 =
6 3
故选：A．
【平方差公式】4．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧
数”．例如16=52-32，16就是一个“智慧数”，可以利用m2-n2 =(m+n)(m-n)进行研究．下列结论：
①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整
数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号）
【答案】①②③
【分析】本题考查了平方差公式的应用以及整数的奇偶性分析．理解“智慧数”的定义是解题的关键．
根据“智慧数”的定义，通过对m2-n2 =(m+n)(m-n)中m、n的取值分析来判断各个结论是否正确．
【详解】解：设正奇数为2k+1（k为非负整数），ìm+n=2k+1
Qm2-n2 =(m+n)(m-n)，令í ，
î m-n=1
将两式相加可得：m+n+m-n=2k+1+1，即2m=2k+2，
解得：m=k+1，
将m=k+1代入m-n=1，解得：n=k．
k为非负整数，
Q
\m、n为正整数，
\所有的正奇数都可以表示成两个正整数的平方差，即所有的正奇数都是“智慧数”，
故①正确；
设能被4整除的正整数为4k（k为正整数且k¹1），
ìm+n=2k
Qm2-n2 =(m+n)(m-n)，令í ，
î m-n=2
将两式相加可得：m+n+m-n=2k+2，即2m=2k+2，
解得：m=k+1，
将m=k+1代入m-n=2，解得n=k-1．
Q
k为正整数且k¹1，\m、n为正整数，
\除4以外所有能被4整除的正整数都可以表示成两个正整数的平方差，即除4以外所有能被4整除的正
整数都是“智慧数”，
故②正确；
假设存在正整数m、n，使得m2-n2 =(m+n)(m-n)是被4除余2的正整数，即m2-n2 =4k+2（k为整
数）．
m+n与(m-n)的奇偶性相同，若m+n与(m-n)都是奇数，则(m+n)(m-n)都是奇数，不可能是4k+2
Q
这种偶数；
若m+n与(m-n)都是偶数，则(m+n)(m-n)能被4整除，也不可能是4k+2；
\被4除余2的正整数都不是“智慧数”．
故③正确；
综上所述，正确的结论是①②③．
故答案为：①②③．【二次函数】5．新定义：在平面直角坐标系中，对于点
Pm,n和点P¢m,n¢，
若满足m³0时，
n¢=n-4;m<0时， n¢=-n，则称点P¢m,n¢是点Pm,n的限变点．例如∶点 P2,5的限变点是P¢2,1，
1 1
点P -2,3的限变点是P¢-2,-3，若点 Pm,n在二次函数 y=-x2+4x+2的图像上，则当-1≤m≤3
2 2
时，其限变点P¢的纵坐标n¢的取值范围是（ ）
A．-2£n¢£2 B．1£n¢£2 C．1£n¢£3 D．-2£n¢£3
【答案】D
【分析】本题考查了抛物线的增减性，最值计算，熟练掌握性质是解题的关键．根据题意，得
y =-x2 +4x+2=-x-22 +6，根据抛物线的增减性，分类解答即可．
【详解】解：根据题意，得y =-x2 +4x+2=-x-22 +6，
故抛物线开口向下，且在对称轴直线x=2的左侧，y随x的增大而增大，右侧，y随x的增大而减小，
当-1£m<0时，在对称轴直线x=2的左侧，y随x的增大而增大，
故m=0时,n取最大值，且n=-0-22+6=2，
故m=-1时,n取最小值，且n=--1-22+6=-3，
故-3£n<2，根据新定义，得-2<n¢£3；
当0£m£3时，对称轴直线x=2在其范围内，
故n的最大值为6；
故m=0时,n取最小值，且n=-0-22+6=2，
故2£n£6，根据新定义，2-4£n-4£6-4，
故-2£n¢£2；
综上所述，-2£n¢£3 ．
故选：D．
押题猜想四 规律问题（数字类、图形类）
限时：3min
（原创）观察下列图形规律，当图形中的“d”的个数和“g”个数差为2024时，n的值为 ．【答案】不存在
【分析】本题考查了规律型：图形的变化类，解一元二次方程，设第n个图形中“d”的个数为a
n
个，“g”的
n(n+1)
个数为b
n
个，根据图形中“d”和“g”个数的变化，可找出变化规律a
n
=
2
；b
n
=3n，令a
n
-b
n
=2024即
可得出关于n的方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设第n个图形中“d”的个数为a
n
个，“g”的个数为b
n
个，
观察图形，
可知∶a =1,a =1+2=3,a =1+2+3=6,a =1+2+3+4=10，¼，
1 2 3 4
n(n+1)
\a =1+2+3+¼+n= ；
n 2
b =1´3=3,b =2´3=6,b =3´3=9,b =4´3=12，¼，
1 2 3 4
\b =3n；
n
当a -b =2024时，
n n
n(n+1)
\ -3n=2024，即n2-5n-4048=0，
2
5+ 16217 5- 16217
解得n= 或n= ，均不为整数，不符合题；
2 2
当b -a =2024时，
n n
n(n+1)
\3n- =2024，即n2-5n+4048=0，
2
D=25-4´1´4048=-16167<0，无解；
Q
综上，n的值不存在
故答案为：不存在．
押题解读
本考点为重要考点，山东各地区近5年中考出现的次数很多，选择、填空、解答题均有出现，但大多数地
方的考查还是以选填的形式出现，所以预测新中考地区应该会出现一个相关的填空压轴题。认真审题，找到规律是关键。如果前几组数据找不到规律，那就多写几组。
【数字类】1．如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角
处的两个数字提取出来组成有序数对：3,5；7,10；13,17；21,26；31,37 …如果单把每个数对中
的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．
 2 2 
【答案】 n +n+1,n +2n+2
【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n个数对的第一
个数为：nn+1+1，第n个数对的第二个位：n+12+1，即可求解．
【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…
即：1´2+1，2´3+1，3´4+1，4´5+1，5´6+1，…
则第n个数对的第一个数为：nn+1+1=n 2 +n+1，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…
即：22 +1；32+1；42 +1；52+1；62+1…，
则第n个数对的第二个位：n+12 +1=n 2 +2n+2，
 2 2 
∴第n个数对为： n +n+1,n +2n+2 ，
 2 2 
故答案为： n +n+1,n +2n+2 ．
【点坐标型】2如图，弹性小球从点P(0,3)出发，沿箭头方向不停地运动，每当小球碰到矩形OABC的边时
反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P，第2次碰到矩形的边时的点为
1
P，…，第n次碰到矩形的边时的点为P，点P 的坐标是 ．
2 n 2025【答案】8,3
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意画出小球的轨迹示意图，进而得到每6次碰撞为一
个循环，小球的坐标依次为3,0，7,4，8,3，5,0，1,4，0,3，再求出2024除以6的余数即可得
到答案．
【详解】解：根据题意可知小球的运动轨迹如下：
由图可知小球第一次碰到3,0，第二次碰到7,4，第三次碰到8,3，第四次碰到5,0，第五次碰到
1,4，第六次碰到0,3，
∴每6次碰撞为一个循环，小球的坐标依次为3,0，7,4，8,3，5,0，1,4，0,3，
∵2025¸6=337 3，
K
∴点P 的坐标是8,3，
2025
故答案为：8,3．
【多项式乘法】2．观察下列算式：① a-1a+1=a2-1；② a-1 a2+a+1  =a3-1；③
a-1 a3+a2+a+1  =a4-1；…结合你观察到的规律判断22025+22024+×××+22+2+1的计算结果的末位数字
为 ．
【答案】3【分析】本题考查了整式的混合运算和求值的运用．根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再
求出22026的个位数字，最后即可得出答案.
【详解】解：∵① a-1a+1=a2-1；
② a-1 a2+a+1  =a3-1；
③a-1 a3+a2+a+1  =a4-1；
…，
∴ a-1 an-1+an-2+ L +1  =an-1，
∴22025+22024+×××+22+2+1
=2-1 22025+22024+×××+22+2+1 
=22026-1．
因为21 =2，22 =4，23 =8，24 =16，25 =32，L，
所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环．
因为2024¸4=506，所以22024的末位数字为6，
所以22026的末位数字为4，
所以22026-1的末位数字为3，
即22025+22024+×××+22+2+1的计算结果的末位数字为3．
故答案为：3．
【图形类】3．如图，春节期间，广场上空用红色无人机（〇）和黄色无人机（Δ）组成如下图案：
结合上面图案中“〇”和“△”的排列方式及规律，当正整数n= 时，使得红色无人机（〇）比黄色无人
机（△）的个数多28台．
【答案】8【分析】本题考查了图形规律，根据题意总结规律是解题的关键，根据所给图形，分别求出图形中〇和△的
个数，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
第1个图案中〇的个数为3=12+2，△的个数为10=1´4+6；
第2个图案中〇的个数为6=22+2，△的个数为14=2´4+6；
第3个图案中〇的个数为11=32+2，△的个数为18=3´4+6；
…，
所以第n个图案中〇的个数为（n2+2）个，△的个数为（4n+6）个．
由n2+2=4n+6+28得，
n =-4（舍去），n =8，
1 2
所以n的值为8．
故答案为：8．
3
【图形、函数等】5．如图，在平面直角坐标系中，直线l :y= x+1与直线l :y= 3x交于点A，过A作
1 3 2 1 1
x轴的垂线，垂足为B ，过B 作l 的平行线l 交于A ，过A 作x轴的垂线，垂足为B ，过B 作l 的平行线
1 1 2 1 2 2 2 2 2
交l 于A ，过A 作x轴的垂线，垂足为B …按此规律，则线段A A 的长度为 ．（n³1，且n为正整
1 3 3 3 n n+1
数）
3n
【答案】
2n+2
【分析】如图，过点A作AC ^ A B 于点C ，过点A 作AC ^AB 于点C ，过点A 作AC ^AB 于点C ，
1 1 1 2 2 1 2 2 2 3 3 2 3 3 3 4 4 3
确定直线l :y= 3 x+1与坐标轴的交点坐标B  - 3,0  ，A0,1，得到tanÐAOB= OA = 3 ，ÐAOB=30°，
1 3 OB 3
ìïx= 3 æ 3 3ö æ 3 ö æ5 3 ö
联立直线l 与直线l 的表达式并解得í ，得A ç , ÷，B ç ,0÷，依次求出B ç ,0÷，
1 2 ïîy=3 1ç è 2 2÷ ø 1ç è 2 ÷ ø 2ç è 4 ÷ øæ19 3 ö æ65 3 ö 3 9 27
B ç ,0÷，B ç ,0÷，得到AC =BB = 3，AC =B B = 3，AC =B B = 3，再根据
3ç 8 ÷ 4ç 16 ÷ 1 1 1 2 4 2 2 2 3 8 3 3 3 4 16
è ø è ø
锐角三角函数，即可求解，
【详解】解：如图，过点A作AC ^ A B 于点C ，过点A 作AC ^AB 于点C ，过点A 作AC ^AB 于
1 1 1 2 2 1 2 2 2 3 3 2 3 3 3 4 4
点C ，
3
3
设直线l :y= x+1交x轴于点B，交y轴于点A，
1 3
3
当x=0时，得：y=1；当y=0时， x+1=0，解得：x=- 3，
3
∴B  - 3,0  ，A0,1，
∴OB= 3，OA=1；
OA 1 3
∴tanÐAOB= = = ，
OB 3 3
∴ÐAOB=30°，
ì 3
ì
ïy=
3
x+1 ï
ïx=
2
由í 3 解得í ，
ï ï 3
îy= 3x
ïî
y=
2
æ 3 3ö
∴A ç , ÷
1ç 2 2÷
è ø
∵AB ^x轴，
1 1
æ 3 ö
∴B ç ,0÷，
1ç 2 ÷
è ø
∵过B 作l 的平行线l 交于A ，
1 2 1 2
æ 3 ö
设直线BA 的表达式为y= 3x+b，过点B ç ,0÷，
1 2 1ç 2 ÷
è ø
3
∴0= 3´ +b，
2
3
解得：b=- ，
2
3
∴y= 3x- ，
2ì 3 ì 5 3
ïy= x+1 ïx=
ï 3 ï 4
由í 解得í ，
ï 3 ï 9
y= 3x- y=
îï 2 ïî 4
æ5 3 9ö
∴A ç , ÷，
2ç 4 4÷
è ø
∵AB ^ x轴，
2 2
æ5 3 ö
∴B ç ,0÷，
2ç 4 ÷
è ø
æ5 3 ö
设直线B A 的表达式为y= 3x+c，过点B ç ,0÷，
2 3 2ç 4 ÷
è ø
5 3
∴0= 3´ +c，
4
15
解得：c=- ，
4
15
∴y= 3x- ，
4
ì 3 ì 19 3
ïy= x+1 ïx=
ï 3 ï 8
由í 解得í ，
ï 15 ï 27
y= 3x- y=
ïî 4 ïî 8
æ19 3 27ö
∴A ç , ÷，
3ç 8 8 ÷
è ø
∵AB ^x轴，
3 3
æ19 3 ö
∴B ç ,0÷，
3ç 8 ÷
è ø
æ19 3 ö
设直线B A 的表达式为y= 3x+d，过点B ç ,0÷，
3 4 3ç 8 ÷
è ø
19 3
∴0= 3´ +d，
8
57
解得：d =- ，
8
57
∴y= 3x- ，
8ì 3 ì 65 3
ïy= x+1 ïx=
ï 3 ï 16
由í 解得í ，
ï 57 ï 81
y= 3x- y=
ïî 8 ïî 16
æ65 3 81ö
∴A ç , ÷，
4ç 16 16÷
è ø
∵AB ^x轴，
4 4
æ65 3 ö
∴B ç ,0÷，
4ç 16 ÷
è ø
……
∵AC ^ A B ，AC ^AB ，AC ^AB ，
1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4
∴AC ∥x轴，AC ∥x轴，AC ∥x轴，
1 1 2 2 3 3
∴ÐA AC =ÐA AC =ÐA AC =ÐABO=30°，
4 3 3 3 2 2 2 1 1
5 3 3 3 19 3 5 3 9 65 3 19 3 27
AC =BB = - = 3，AC =B B = - = 3，AC =B B = - = 3，
1 1 1 2 4 2 4 2 2 2 3 8 4 8 3 3 3 4 16 8 16
3 3 9 9
3 3 3 3
AC 4 4 3 31 AC 8 8 9 32
∴AA = 1 1 = = = = ，A A = 2 2 = = = = ，
1 2 cosÐA AC cos30° 3 8 23 2 3 cosÐA AC cos30° 3 16 24
2 1 1 3 2 2
2 2
9 27
3 3
AC 8 16 27 33
A A = 3 3 = = = = ，
3 4 cosÐA AC cos30° 3 32 25
4 3 3
2
3n
按此规律，线段A A 的长度为 ．
n n+1 2n+2
3n
故答案为： ．
2n+2押题猜想五 反比例函数 k 的几何意义
限时：5min
k k
（原创）如图，点A在双曲线y = (x>0)上，连接AO并延长，交双曲线y = (x<0)于点B，点C为x
1 x 2 4x
轴上一点，且AO= AC，连接BC，若
V
ABC的面积是6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的k的几何意义，掌握反比例函数的k几何意义是解题的关键．
AD
过点A作AD^x轴，过点B作BF ^x轴，根据相似三角形的判定和性质得出 =2，确定OC =2OD，
BF
然后结合图形及面积求解即可．
【详解】解：过点A作AD^x轴，过点B作BF ^x轴，如图所示：
∴AD∥BF ，
∴ AOD∽ BOF ，
V V
k k
∵点A在双曲线y = (x>0)上，点B在y = (x<0)，
1 x 2 4x
k
k 4 k
∴S = ,S = =
VAOD 2 VBOF 2 8
S
∴ VAOD =4，
S
VBOF
AD
∴( )2 =4，
BF
AD
∴ =2，
BF1
∴BF = AD，
2
∵AO= AC，AD^x轴，
∴OC =2OD，
1 1
∵ OD´AD= k，
2 2
∴OD´AD=k，
∴OC´AD=2k
1 1 1
∴S = S +S = OC´AD+ OC´BF = OC´(AD+BF)
VABC VAOC VBOC 2 2 2
1 3 3 3
= OC´ AD= OC´AD= k =6
2 2 4 2
∴k =4，
故选：C．
押题解读
本考点为重要考点，反比例函数能在在选填部分的考查的内容不多，基本就是图像性质和k的几何意义。
山东省各地区中考中，k的几何意义出现的次数较多。大多都是直接套用模型，难度不大。做好模型积累
即可轻松解决问题。
【平移】1．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC
摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然
6
后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数y=
x
的图象上，则a的值为 ．
【答案】2或3【分析】本题考查了反比例函数，平移，解一元二次方程．
6
先得出点A和点B的坐标，再得出平移后点A和点B对应点的坐标，根据平移后两点恰好都落在函数y=
x
的图象上，列出方程求解即可．
【详解】解：∵OA=OB=5，
∴A-5,0,B0,5，
设平移后点A、B的对应点分别为A¢、B¢，
∴A¢-5+a,-a,B¢a,5-a，
6
∵A¢、B¢两点恰好都落在函数y= 的图象上，
x
6
∴把B¢a,5-a代入y= 得：a5-a=6，
x
解得：a=2或a=3．
故答案为：2或3．
k
【菱形】2．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y= 的图象上，对角线AC与BD的交点恰
x
好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是 ．
【答案】-3
【分析】由点A（1，1），求得OA= 2，进而求得OB= 6，根据点B在直线BD：y=-x上，可以求得点B
的坐标，从而可以求得k的值．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点A（1，1），
∴OA= 2，2
OA
∴BO= = 3 = 6，
tan30°
3
∵直线AC的解析式为y=x，
∴直线BD的解析式为y=-x，
∵OB= 6，
∴点B的坐标为（- 3， 3），
k
∵点B在反比例函数y= 的图象上，
x
k
∴ 3= ，
- 3
解得，k=-3，
故答案为-3．
14 k
【三角形】3．点A在反比例函数y =- 的图象上，点B在反比例函数y= 的图象上，连接并延长AB，
x x
交y轴于点C，且AC ^ y轴，连接OA，D是OA的中点，S =1.5，则k的值为 ．
△ABD
【答案】-8
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点
是关键．
【详解】解：如图，连接OB，
∵D是OA的中点，S =1.5，
△ABD∴S =2S =2´1.5=3，
VAOB VABD
14
∵点A在反比例函数y =- 图象上，
x
1
∴S = ´ -14 =7，
VAOC 2
∴S =S -S =7-3=4，
VBOC VAOC VAOB
∴ k =2S =2´4=8，
VBOC
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k =-8．
故答案为：-8．
4
【正方形】4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= x+4的图象与x轴，y轴分别相交于点B，点
3
k
A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y= (x＜0)的图象上，则k的值为 ．
x
【答案】-21
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可．
4
【详解】解：∵一次函数y＝ x+4中，当x＝0时，y＝0+4＝4，
3
∴A（0，4），
∴OA＝4；
4
∵当y＝0时，0＝ x+4，
3
∴x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
∴OB＝3；
如图，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
在△AOB和△BEC中，
ìÐCBE=ÐBAO
ï
íÐBEC =ÐAOB ，
ï
îBC = AB
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝AO＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝3+4＝7，
∴C点坐标为（﹣7，3），
k
∵点C在反比例函数y＝ （x＜0）图象上，
x
∴k＝﹣7×3＝﹣21．
故答案为：﹣21．
【与相似三角形结合】5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在y轴的正半轴上，反
k
比例函数y= (x>0)的图象分别交AB于中点D，交OC于点E，且CE:OE =1:2，连接AE，DE，若S =2，
x △ADE
则k的值为 ．64 1
【答案】 /9
7 7
【分析】本题考查平行四边形性质，三角形中位线，相似三角形判定与性质．连接BE，延长BC交x轴于
æ kö 8 4
H，过E作EG^x轴于G，DF ^x轴于F，可求S 平行四边形AOCB =2S VAEB =8，设Dç è a, a ÷ ø ，可求OA= 2a = a ，
OE 2 4 2
由CE:OE =1:2，可求 = ，由EG∥CH ，可证 OGE∽ OHC，可求OG= a，EG= CH ，求出
V V
OC 3 3 3
æ4 4k 16ö
Eç a, - ÷，据此求解即可．
è3 3a 3aø
【详解】解：连接BE，延长BC交x轴于H，过E作EG^x轴于G，DF ^x轴于F，
∴DF∥BH ，
AD OF
∴ = ，
BD FH
∵点D为AB中点，
1
∴AD=BD= AB，OF =FH ，
2
∵S =2，
△AED
∴S =2S =4，
VAEB VAED
∴S =2S =8，
平行四边形AOCB VAEB
æ kö
设Dça, ÷，
è aø
OF =a，FH =OF =a，OH =2a，
8 4
OA= = ，
2a a
∵CE:OE =1:2，
CE 1
∴ = ，
OE 2
CE+OE 1+2
∴ = ，
OE 2OE 2
∴ = ，
OC 3
∵EG∥CH ，
∴ÐOEG=ÐOCH ，ÐOGE=ÐOHC =90°，
∴ OGE∽ OHC，
V V
OE OG EG 2
∴ = = = ，
OC OH CH 3
2 4 2
∴OG= OH = a，EG= CH ，
3 3 3
连接OD并延长，交HB的延长线于点Q，
∵AO∥BQ，
∴ÐQ=ÐAOD，ÐQBD=ÐOAD，
∵AD=BD，
∴△QBD≌△OAD，
4
∴OD=DQ，BQ=OA= ，
a
∵OF =FH ，
∴DF是△OQH 的中位线，
1 1æ4 4 ö
∴DF = QH = ç + +CH÷，
2 2èa a ø
2k 8
∴CH = - ，
a a
2 4k 16
EG= CH = - ，
3 3a 3a
æ4 4k 16ö
Eç a, - ÷，
è3 3a 3aø
4 æ4k 16ö
点E在反比例函数图象上， a×ç - ÷=k，
3 è3a 3aø64
解得k = ，
7
64
故答案为： ．
7
押题猜想六 二次函数的图象与性质（选填）
限时：10min
（原创）函数y= ax2+bx+c  a>0,b2-4ac>0  的图象是由函数y =ax2 +bx+c的图象 轴上方部分不变，
x轴下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是
①2a+b=0；②c=3；③abc>0； ④3a+c=0；⑤将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．
【答案】①③④⑤
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、
二次函数图象的平移
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公
b
式x=- ，即可得到2a+b=0，故①正确；由图象可判断二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点为
2a
(0,-3)，即c=-3，故②错误；根据图象判断a>0，b<0，结合c=-3，可知abc>0，故③正确；当x=-1
时，y=0，结合b=-2a可判断④正确；求出原二次函数的表达式y=x2-2x-3，即可判断函数顶点的坐标，
可以得到将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为(1,5)，继而得出直线y=5与平移后的函数图象有
3个交点，故⑤正确．
【详解】解： 图象经过-1，0，3，0，
Q
-1+3
\抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x= =1，
2
b
\- =1，
2a
\b=-2a，即2a+b=0，故①正确；
a>0，
Q\抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方，
\c=-3<0，故②错误；
a>0，
Q
\b=-2a<0，
\abc>0，故③正确；
∵
-1，0，
∴a-b+c=0，
∵b=-2a，
∴a+2a+c=0，
即3a+c=0，故④正确；
∵将点-1，0和3，0代入y=ax2+bx-3，
ì a-b-3=0 ì a=1
∴í ，解得í ，
î9a+3b-3=0 îb=-2
∴二次函数的表达式为：y=x2-2x-3，
∵当x=1时，y=1-2-3=-4，
∴图象上当-1<x<3时，函数顶点的坐标为(1,4)，
∴将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为(1,5)，如图所示：
故⑤正确；
综上：正确的有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．押题解读
本考点为重要考点，山东省各地区近5年二次函数图象与性质的内容次数很多，相关的内容：二次函数的
图象与性质、二次函数图与系数abc的关系、二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系。
解决此类问题基本步骤：①判断系数abc的正负；②根据对称轴找到a、b之间的关系；③探究x=±1、±
2、±3所对应的y的式子
【无图象无表格】1．关于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②如果当x£2时，y随x的增大而减小，则m=2；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；
④如果当x=1时的函数值与x=2023时的函数值相等，则当x=2024时的函数值为-3．
其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质综合，涉及抛物线与x轴的交点，平移，增减性，熟练掌握二次
函数的图象与性质是解题的关键．利用二次函数的性质逐一分析即可：①利用根的判别式判断即可；②利
用增减性判断即可；③利用平移得出点3，0在二次函数y=x2-2mx-3的图象上，代入即可；④根据二次
函数的对称性即可解答．
【详解】解：①∵D=-2m2-4´1´-3=4m2+12>0，
∴二次函数y=x2-2mx-3的图象与x轴有两个公共点，
故①正确；
-2m
②对于二次函y=x2-2mx-3，对称轴为直线- = m，
2
∵当x£2时，y随x的增大而减小，
∴m≥2，
故②错误；
③∵二次函数y=x2-2mx-3的图象向左平移3个单位后过原点，∴点3，0在二次函数y=x2-2mx-3的图象上，
∴9-6m-3=0，
∴m=1，
故③错误；
④∵当x=1时的函数值与x=2023时的函数值相等，
1+2023
∴二次函数y=x2-2mx-3的图象的对称轴为直线x= =1012，
2
当x=0时，y=x2-2mx-3=-3，
∴当x=2024时，y=x2-2mx-3的函数值为-3，
故说法④正确．
综上所述，正确的说法有①④．
故选：B．
【表格】2．已知抛物线y=ax-m2+k（a、m、k为常数，且a¹0）的自变量x与函数y的几组对应值
如表：
x … -2 -1 1 3 5 6 …
y … 5 0 -4 0 12 21 …
将抛物线平移得到新抛物线y =ax-m+12 +k，若点n,5在新抛物线上，则n的值为（ ）
1
A．-3 B．4 C．±4 D．±3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题关键．依题意
得出n+1,5在y=ax-m2+k上，根据表格和对称轴，得出n+1=-2或n+1=4，即可求解．
【详解】解：依题意，抛物线y=ax-m2+k向左平移1个单位得到新抛物线y =ax-m+12 +k，点n,5
1
在新抛物线上，
∴n+1,5在y=ax-m2+k上，
观察表格可得-2,5在抛物线上，
-1+3
又对称轴为直线x= =1，
2∴
4,5也在原抛物线上，
∴n+1=-2或n+1=4，
∴n=-3或3．
故选：D．
【有图像】3．如图，二次函数y=ax2+bx+ca¹0的对称轴是直线x=1，且与x轴的一个交点坐标为
3,0．下列说法：
①ab<0；②3a+c=0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a¹0的两个根为-1，3；④若-2,y ，
1
2,y 在该抛物线上，则y < y ；⑤对任意实数m，不等式am2+bm³a+b恒成立．其中正确结论的个数
2 1 2
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据二次函数的对称
轴和开口方向，可判断①④，根据二次函数与x轴的交点可判断②③；根据二次函数的最值可判断⑤．
【详解】解：
Q
二次函数y=ax2+bx+ca¹0开口向上，对称轴是直线x=1，
b
\a>0，- =1，
2a
\b=-2a<0，
\ab<0，①正确；
Q
二次函数y=ax2+bx+ca¹0的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点为3,0，
\二次函数与x轴的一个交点为-1,0，
\a-b+c=0，
\a--2a+c=3a+c=0，②正确；
二次函数y=ax2+bx+ca¹0与x轴的交点为-1,0和3,0，
Q\关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a¹0的两个根为-1，3，③正确；
二次函数y=ax2+bx+ca¹0开口向上，
Q
\距离对称轴越近，函数值越小，
Q
二次函数y=ax2+bx+ca¹0的对称轴是直线x=1，2-1<1--2，
\y < y ，④错误；
2 1
Q
二次函数y=ax2+bx+ca¹0的对称轴是直线x=1，
\当x=1是，二次函数有最小值为a+b+c，
\对任意实数m，都有am2+bm+c³a+b+c，即am2+bm³a+b
\对任意实数m，不等式am2+bm³a+b恒成立，⑤正确，
故选：C．
【有图像】4．抛物线y=ax2+bx+ca¹0的对称轴是直线x=-1，其图象如图所示．下列结论：
①abc<0；②4a+c2 <2b2；③若 x,y 和 x,y 是抛物线上的两点，则当 x +1 > x +1时，
1 1 2 2 1 2
y < y ；④抛物线的顶点坐标为-1,m，则关于x的方程ax2+bx+c=m-1无实数根．其中正确结论的个
1 2
数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置判断a，b，c符号．②把x=±2分别代入函数
解析式，结合图象可得(4a+c)2-(2b)2的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y
值越大．④由抛物线顶点纵坐标为m可得ax2+bx+c m，从而进行判断ax2+bx+c=m-1无实数根．
…
【详解】解：①Q 抛物线图象开口向上，\a>0，
对称轴在直线y轴左侧，
Q
\a，b同号，b>0，
抛物线与y轴交点在x轴下方，
Q
\c<0，
\abc<0，故①正确．
②(4a+c)2-(2b)2 =(4a+c+2b)(4a+c-2b)，
当x=2时ax2+bx+c=4a+c+2b，由图象可得4a+c+2b>0，
当x=-2时，ax2+bx+c=4a+c-2b，由图象可得4a+c-2b<0，
\(4a+c)2-(2b)2 <0，即(4a+c)2 <(2b)2，
故②正确．
③|x +1|=|x -(-1)|，|x +1|=|x -(-1)|，
1 1 2 2
|x +1|>|x +1|，
Q 1 2
\点(x ，y)到对称轴的距离大于点(x ，y )到对称轴的距离，
1 1 2 2
\y > y |，
1 2
故③错误．
④Q 抛物线的顶点坐标为(-1,m)，
\y m，
…
\ax2+bx+c m，
…
\ax2+bx+c=m-1无实数根．
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：B．
【有图象】5．二次函数y=ax2+bx+ca¹0的部分图象如图所示，图象过点-1,0，对称轴为直线x=2，
æ 1 ö æ7 ö
下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c>3b；（3）若点A-3,y 、点Bç- ,y ÷、点Cç ,y ÷在该函数图
1 è 2 2 ø è2 3 ø
象上，则y < y < y ；（4）若方程ax+1x-5=-3的两根为x和x ，且x <x ，则x <-1<5<x ．其中
1 3 2 1 2 1 2 1 2
正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】（1）正确，根据对称轴公式计算即可；
（2）错误，利用x=-3时，y<0，即可判断；
（3）错误，利用函数图象即可判断；
（4）正确，利用二次函数与二次不等式关系即可判断．
b
【详解】（1）∵- =2，
2a
∴4a+b=0，故正确；
（2）∵x=-3时，y<0，
∴9a+c-3b<0，
∴9a+c<3b，故错误；
æ 1 ö æ7 ö
（3）∵点A-3,y 、点Bç- ,y ÷、点Cç ,y ÷，
1 è 2 2 ø è2 3 ø
7 3 æ 1ö 5
∴ -2= ，2-ç- ÷=
2 2 è 2ø 2
3 5
∴ <
2 2
∴点C离对称轴的距离近，
∴y > y
3 2
1
∵a<0，-3<- <2
2
∴y < y
1 2
∴y < y < y
1 2 3
故错误；
（4）∵a<0，3
∴x+1x-5=- >0
a
∴
x+1x-5>0
解之得：x <-1或x >5，
1 2
∴x <-1<5<x ，故正确．
1 2
故：（1）（4）正确，选B．
押题猜想七 几何综合压轴（选填）
限时：10min
（原创）如图，矩形ABCD中，AD=6,AB=4，E为AB的中点，将 ADE沿DE翻折得到 FDE，延长EF
V V
交BC于G，FH ^BC，垂足为H，连接BF、DG．以下结论：①BF∥ED； ②BH =3FH；
3
③tanÐGEB= ；④S =0.3，其中正确的个数是（ ）
4 VBFG
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理依次对各个选项进行判断、
计算，即可得出答案．
【详解】解：①∵AB=4，E为AB的中点，
∴AE=BE=2，
∵将 ADE沿DE翻折得到 FDE，
V V
∴AD=DF,AE=EF =2,ÐAED=ÐDEF，
∴AE=EF =BE，
∴ÐEBF =ÐEFB，∵ÐAEF =ÐEBF+ÐEFB，
∴ÐAED=ÐEBF，
∴BF∥ED，
故①正确；
②∵BF∥ED，
∴ÐABF =ÐAED，
∵ÐABF+ÐFBH =90°,ÐAED+ÐADE=90°，
∴ÐFBH =ÐADE，
FH AE 2 1
∴tanÐFBH = =tanÐADE= = = ，
BH AD 6 3
FH 1
∴ = ，
BH 3
∴BH =3FH，
故②正确；
③过点E作EM ^BF于点M，如图，
∵AE=EF =BE，
1
∴ÐFEM = ÐBEF，
2
1
∵ÐDEF = ÐAEF，
2
1
∴ÐFEM +ÐDEF = ´180°=90°，
2
∵ÐDEF+ÐEDF =90°，
∴ÐFEM =ÐEDF，
∵ÐEMF =ÐDFE=90°，
∴ EFM∽ DEF ，
V V
FM EF
∴ = ，
EF ED10
∴.FM = ，
5
2 10
∴BF =2FM = ，
5
∵ÐHBF+ÐEBM =ÐEBM +ÐBEM =90°，
∴ÐHBF =ÐBEM =ÐFEM =ÐFDE，
∵ÐBHF =ÐDFE=90°，
∴ BHF∽ DFE，
V V
FH BH
∴ = ，
EF DF
∵BH =3FH，
2 6
∴FH = ,BH = ，
5 5
设HG=x，
∵FH ^BC，
∴FH∥BE，
∴ GFH∽ GEB，
V V
2
HG HF x 5
∴ = ，即 = ，
BG BE 6 2
x+
5
3
解得，x= ，
10
3
∴BG=BH +HG= ，
2
BG 3
∴tanÐGEB= = ，
EB 4
故③正确；
1
④S = BG×FH =0.3，
VBFG 2
故④正确；综上共有4个正确．
故选：D．
押题解读
本考点为重要考点，综合性很高，一般情况下难度较大。主要是在四边形的基础下旋转和折叠的相关内容
的考查。大多是勾股定理、全等三角形的考查，稍难一点的问题会涉及到三角形相似和圆。
【旋转】1．如图，在矩形ABCD中，AD=4，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG，
点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则
V
GDF 的面积为 ．
【答案】8 2-8
【分析】本题考查旋转的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、矩形的性质、
等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
过点D作EF的平行线，交AE于点M ，交FG于点N ，则MN ^ AE,MN ^FG．由旋转可得，
AE= AB,EF =BC，结合矩形的性质可得AD=BC =EF =DE=4, MN =EF =4,AE= AB=FG
= AD2+DE2 =4 2, DM = AD×sin45°=2 2,则DN =MN-DM =4-2 2，再利用三角形的面积公式计算
即可．
【详解】解：过点D作EF的平行线，交AE于点M ，交FG于点N ．则MN ^ AE,MN ^FG．
由旋转可得，AE= AB,EF =BC．
∵四边形ABCD为矩形，
\AD=BC,ÐADE=90°，
\AD=BC =EF =DE=4,MN =EF =4，
\AE= AB=FG= AD2+DE2 =4 2,ÐDAM =45°，
2
\DM = AD×sin45°=4´ =2 2，
2
\DN =MN-DM =4-2 2，
1 1
∴ V GDF 的面积为 FG×DN = ´4 2´(4-2 2) =8 2-8．
2 2
故答案为：8 2-8．
【折叠】2．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D
恰好落在BC边上的点F处，那么tanÐEFC = ．
4
【答案】
3
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质和勾股定理，正切的定义，解题关键是熟练掌握折叠的性质
和勾股定理．
折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边
和对应角相等．
先根据矩形的性质得BC=AD=10，CD= AB=6，ÐB=ÐC=90°，再根据折叠的性质得AF = AD=10，
EF =DE，在中Rt V ABF，利用勾股定理计算出BF = AF2-AB2 =8，则CF=2，设CE = x，则
EF =6-x，然后在Rt ECF 中根据勾股定理得到x2+22 =6-x2，解方程即可得到x= 8 ，即CE= 8 ，再根
V
3 3
据正切函数的定义即可求解．
【详解】解：
Q
四边形ABCD为矩形，AB=6，AD=10，
\BC=AD=10，CD= AB=6，ÐB=ÐC=90°，
Q
矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，\AF = AD=10，EF =DE，
在Rt ABF中，
V
BF = AF2-AB2 =8，
\CF =BC-BF =10-8=2，
设CE = x，则EF =DE=CD-CE=6-x，
在Rt ECF 中，
V
CE2+CF2 =EF2，
即x2+22 =6-x2，
8
解得，x= ，
3
8
\CE= ，
3
8
CE 3 4．
∴tanÐEFC = = =
CF 2 3
4
故答案为： ．
3
【相似】3．如图，矩形ABCD中，点P在对角线BD上，延长AP交DC于点G，过点P作EF ^ AG，分别
交AD、BC于点E、F，AB=3，AD=4．如果ÐAEP=ÐAPB，那么AP的长是（ ）
6 5 7 5
A．2 B．3 C． D．
5 5
【答案】C
【分析】如图，过点A作AQ^BD于点Q，根据矩形的性质得BD= AB2+AD2 =5，由
1 1 12 16
S = BD×AQ= AB×AD得AQ= ，由勾股定理得QD= AD2-AQ2 = ，证明△AQP∽△APE得
△ABD 2 2 5 5
QP AQ QP PE PE PD QP PD 16
= ，即 = ，证明△PDE∽△ADP得∴ = 继而得到 = ，设QP=x，则PD= -x，
PE AP AQ AP AP AD AQ AD 5
16
-x
x 5 6
得 = ，解得：x= ，再根据AP= AQ2+QP2 可得结论．
12 4 5
5【详解】如图，过点A作AQ^BD于点Q，
∵矩形ABCD中，AB=3，AD=4，
∴BD= AB2+AD2 = 32+42 =5，
1 1
∵S = BD×AQ= AB×AD，
△ABD 2 2
∴BD×AQ= AB×AD，即5AQ=3´4，
12
∴AQ= ，
5
æ12ö 2 16
在Rt△AQD中，QD= AD2-AQ2 = 42-ç ÷ = ，
è 5 ø 5
∵AQ^BD，EF ^ AG，
∴ÐAQP=ÐAPE=90°，
又∵ÐAEP=ÐAPB，
∴△AQP∽△APE，
QP AQ QP PE
∴ = ，即 = ，
PE AP AQ AP
∵Ð1+ÐAEP=90°，Ð2+ÐDPG=90°，
又∵ÐAEP=ÐAPB=ÐDPG，
∴Ð1=Ð2，
又∵ÐPDE=ÐADP，
∴△PDE∽△ADP，
PE PD
∴ = ，
AP AD
QP PD
∴ = ，
AQ AD
16
设QP=x，则PD= -x，
5
16
-x
x 5
∴ = ，
12 4
56
解得：x= ，
5
æ12ö 2 æ6ö 2 6 5
在Rt△AQP中，AP= AQ2+QP2 = ç ÷ +ç ÷ = ，
è 5 ø è5ø 5
6 5
∴AP的长是 ．
5
故选：C．
【全等、相似、旋转等综合】4．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的点，且
ÐEAF =45°，AE、AF 分别交对角线BD于点M 、N ，则下列结论：①ÐAEB=ÐAEF；
②△ABN∽△MDA；③AM×AE= AN×AF；④BM2+DN2 =MN2．其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③ D．①②③④
【答案】D
【分析】把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到 ABH ，根据旋转的性质，得出BH =DF，AH = AF，
V
ÐBAH =ÐDAF，再根据角之间的数量关系，得出ÐEAH =ÐEAF =45°，再根据“边角边”，得出
AEF≌ AEH ，再根据全等三角形的性质，得出ÐAEH =ÐAEF，即ÐAEB=ÐAEF，即可判断结论①；
V V
根据正方形的性质，得出ÐADB =ÐEAF =45°，再根据角之间的数量关系，得出ÐANB=ÐMAD，
ÐADM =ÐNBA=45°，再根据相似三角形的判定，得出△ABN∽△MDA，即可判断结论②；连接NE，证
明△AMN∽△AFE，再根据相似三角形的性质，得出AM×AE= AN×AF，即可判断结论③；把△AND按顺
时针绕点A旋转90°，连接MN¢，证明
V
BN¢M 是直角三角形，再根据勾股定理，得出MN¢2 =BN¢2+BM2，
再根据“边角边”，得出
V
AN¢M≌
V
ANM ，进而得出MN =MN¢，再根据等量代换，得出BM2+DN2 =MN2，
即可判断结论④，综合即可得出答案．
【详解】解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到 ABH ，
V∴BH =DF，AH = AF，ÐBAH =ÐDAF，ÐABH =ÐADF =90°，
∴H、B、C在同一直线上，
∵ÐEAF =45°，
∴ÐEAH =ÐBAH +ÐBAE=ÐDAF+ÐBAE=90°-ÐEAF =45°，
∴ÐEAH =ÐEAF =45°，
在△AEF 和△AEH中，
ì AH = AF
ï
íÐEAH =ÐEAF =45°，
ï
î AE= AE
∴V AEF≌ V AEHSAS，
∴ÐAEH =ÐAEF，
即ÐAEB=ÐAEF，故结论①正确；
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴ÐADB=45°，
∴ÐADB =ÐEAF =45°，
∵ÐANB=ÐDAN+ÐADB=ÐDAN+45°，
又∵ÐMAD=ÐDAN+ÐEAF =ÐDAN+45°，
∴ÐANB=ÐMAD，
又∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴ÐADM =ÐNBA=45°，
∴△ABN∽△MDA，故结论②正确；
如图，连接NE，
∵ÐMAN =ÐMBE=45°，ÐAMN =ÐBME，
∴△AMN∽△BME，
AM MN
∴ = ，
BM MEAM BM
∴ = ，
MN ME
∵ÐAMB=ÐEMN，
∴ AMB∽ NME，
V V
∴ÐAEN =ÐABD=45°，
∵ÐEAN =45°，
∴ÐNAE=ÐNEA=45°，
∴△AEN是等腰直角三角形，
∴AE= 2AN，
∵△AMN∽△BME， AFE∽ BME，
V V
∴△AMN∽△AFE，
AM AN
∴ = ，
AF AE
∴AM×AE= AN×AF，故结论③正确；
如图，把△AND按顺时针绕点A旋转90°，连接MN¢，
∴DN =BN¢，ÐABN¢=ÐADN =45°，
∵ÐABD=45°，
∴ÐMBN¢=ÐABN¢+ÐABD=90°，
∴ BN¢M 是直角三角形，
V
∴MN¢2 =BN¢2+BM2，
在 AN¢M 和 ANM 中，
V V
ì AN¢= AN
ï
íÐEAH =ÐEAF =45°，
ï
î AM = AM
∴V AN¢M≌ V ANMSAS，
∴MN =MN¢，∴MN2 =MN¢2 =BN¢2+BM2 =DN2+BM2，
即BM2+DN2 =MN2，故结论④正确，
综上可得：正确的结论有①②③④．
故选：D
【圆、解直角三角形】5．如图，正方形边长为a，点E是正方形ABCD内一点，满足ÐAEB =90°，连接
5-1
CE．给出下面四个结论：①AE+CE≥ 2a；②CE≤ a；③ÐBCE的度数最大值为60°；④当CE =a
2
1
时，tanÐABE= ．上述结论中，所有正确结论的序号为 ．
2
【答案】①④
【分析】根据题意点E在以AB为直径的圆上运用，如图所示，取AB的中点O，以点O为圆心，以OB为
1
半径画圆，则点A,B,E共圆，则OA=OB=OE= a，在 V ACE中，AE+CE³ AC = 2a，即
2
æ1 ö 2 5
AC+CE³ 2a，可判定①；连接OC，OC = OB2+BC2 = ç a÷ +a2 = a，当点E在OC上时，CE
è2 ø 2
的值最小，可判定②；根据切线的性质，解直角三角形的计算可得判定③；根据切线的性质，垂径定理，
正切值的计算可判定④；由此即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，边长为a，
∴AB=BC =CD= AD=a，ÐABC =ÐBCD=ÐCDA=ÐDAB=90°，
∵ÐAEB=90°，
∴点E在以AB为直径的圆上运用，
1
如图所示，取AB的中点O，以点O为圆心，以OB为半径画圆，则点A,B,E共圆，则OA=OB=OE= a，
2①连接AC，
∴
V
ABC是等腰直角三角形，AC= 2a，
在 V ACE中，AE+CE³ AC = 2a，即AC+CE³ 2a，故①正确；
②连接OC，
∵点O是AB中点，
1 1
∴OB= AB= a，
2 2
æ1 ö 2 5
∴OC = OB2+BC2 = ç a÷ +a2 = a，
è2 ø 2
5 1 5-1
∴当点E在OC上时，CE的值最小，最小值为CE=OC-OE= a- a= a，
2 2 2
5-1
∴CE³ a，故②错误；
2
如图所示，当CE与 O相切时，ÐBCE的值最大，
e
∴ÐBCE=2ÐBCO，
1
a
OB 2 5 1
∵sinÐBCO= = = ¹ ，
OC 5 5 2
a
2
∴ÐBCO¹30°，即ÐBCE¹60°，故③错误；
∵e O是以OB为半径的圆，且ÐABC =90°，
∴BC是
e
O的切线，且BC =a，
若CE =a时，
∴OB=OE,BC =CE=a，
∴OC ^BE，
∴ÐABE+ÐEBC =ÐEBC+ÐBCO=90°，
∴ÐABE=ÐBCO，1
a
∴ OB 2 1，故④正确；
tanÐABE=tanÐBCO= = =
BC a 2
综上所述，正确的有①④，
故答案为：①④ ．
押题猜想八 统计与概率（解答题）
限时：8min
（原创）根据以下调查报告解决问题．
调查主题 学校八年级学生视力健康情况
学生视力健康问题引起社会广泛关注．某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，
背景介绍
随机收集部分学生《视力筛查》数据．
调查结果
八年级学生右眼视力领
数分布表
右眼视力 频数
3.8£x<4.0 3
4.0£x<4.2 24
4.2£x<4.4 18
4.4£x<4.6 12
4.6£x<4.8 9
4.8£x<5.0 9
5.0£x<5.2 15
合计 90
建议：……（说明：以上仅展示部分报告内容）．
(1)本次调查活动采用的调查方式是________（填写“普查”或“抽样调查”）：
(2)视力在“4.8£x<5.0”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.9，这组数
据的中位数是________；
(3)视力低于5.0属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为_______
人；
(4)视力在“3.8£x<4.0”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽到两位男生的概
率是________；
(5)请为做好近视防控提一条合理的建议．
【答案】(1)抽样调查；
(2)4.8；
(3)500；
1
(4) ；
3
(5)建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．
【分析】（1）根据普查和抽样调查的区别即可判断；
（2）根据中位数的定义即可求解；
（3）根据600乘以视力低于5．0的人数所占的百分比即可求解；
（4）根据题意画出树状图，再根据概率公式求解即可；
（5）根据学生近视程度较为严重，提出合理化建议即可．
本题考查了条形统计图和频数分布表，样本估计总体，中位数的定义，简单概率公式计算等知识，掌握相
关知识是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）解：把9个数据按从小到大的顺序排列为：4.8、4.8、4.8、4.8、4.8、4.9、4.9、4.9、4.9，排在第5位的数是4.8，
∴这组数据的中位数是4.8，
故答案为：4.8；
（3）解：调查数据中，视力低于5．0的人数有：3+24+18+12+9+9=75（人），
∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为：
75
600´ =500（人）
90故答案为：500；
（4）解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下：
共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种，
2 1
∴恰好抽到两位男生的概率是： = ，
6 3
1
故答案为： ；
3
（5）解：由表中数据说明该校学生近视程度较严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．
押题解读
本考点为必考考点，统计与概率问题的考查基本都是以解答题形式出现。统计考查数据分析（众数、中位
数、平均数（加权）、方差等），概率考查用列表法或树状图法求概率。列表法可以不重复不遗漏的列出所
有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是
放回实验还是不放回实验．
【概率与统计】1．“强国必须强语，强语助力强国．”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优
秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛．该校随机抽取部分学
生比赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结
果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
(1)这次调查活动共抽取 人；(2)条形统计图中的m= ；“C”等所在扇形的圆心角的度数为 度；
(3)请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）；
(4)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“推广普
通话宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率．
【答案】(1)50
(2)7；108°
(3)见解析
1
(4)
6
【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数；
（2）用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值； 用成绩为C等级的人数所占百分比
乘以360°即可求出C等级所在扇形圆心角的度数；
（3）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；
（4）根据题意画出树状图，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联、树状图或列表法求概率等知识，根据题意正确计算是解
题的关键．
【详解】（1）解：16¸32%=50（人），
故答案为：50；
（2）m=50´14%=7，
“C”等所在扇形的圆心角的度数为1-24%-32%-14%´360°=30%´360°=108°，
故答案为：7；108°
（3）A等级的人数为：50´24%=12（人），
补全条形统计图，如图所示
（4）树状图如下：2 1
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为 = ．
12 6
【概率与统计】2．为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共
20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽
取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表．
【收集数据】
八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，
95，95，100，95．八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，
90，90，95，90，90，95，90，95，95．
【描述数据】
八年级（1）班20名学生成绩统计表
分
80 85 90 95 100
数
人
3 3 a b 3
数
【分析数据】
八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表
统计量班级 平均数 中位数 众数 方差
八年级（1）班 m n 95 41.5
八年级（3）班 91 90 P 26.5【应用数据】
根据以上信息，回答下列问题，
(1)填空：m=______，n =______，p=______；
(2)请补全条形统计图；
(3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由；
(4)从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽
取的2名学生恰好在同一个班级的概率．
【答案】(1)91，92.5，90
(2)图见解析
(3)八（1）班的成绩更好一些，理由见解析
2
(4)
5
【分析】本题考查求平均数，中位数和众数，利用方差判断稳定性，列表法求概率：
（1）根据平均数，中位数和众数的计算方法，进行计算即可；
（2）根据数据描述画出条形图即可；
（3）利用中位数和众数进行判断即可；
（4）用A,B,C表示（1）班的3个满分学生，D,E表示（3）班的2个满分学生，列出表格进行求解即可．
1
【详解】（1）解：m= 80´3+85´3+90´4+95´7+100´3=91；
20
将八（1）的数据排序后，第10个和第11个数据为90,95，
90+95
∴n= =92.5，
2
八（3）班的数据出现次数最多的为：90，
∴p=90；
（2）由题可知，八（3）班90分的人数为7人，95分的人数为6个，补全条形图如图：
（3）八（1）班的成绩更好一些，理由如下：两个班级成绩的平均数相同，八（1）班的中位数和众数均比八（1）班的高，故八（1）班的成绩更好一些；
（4）用A,B,C表示（1）班的3个满分学生，D,E表示（3）班的2个满分学生，列出表格如下：
A B C D E
A A，B A，C A，D A，E
B B，A B，C B，D B，E
C C，A C，B C，D C，E
D D，A D，B D，C D，E
E E，A E，B E，C E，D
共20种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好在同一个班级的情况有8种，
8 2
∴P= = ．
20 5
【统计】3．某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段.
(1)初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制）.对评委给某位选手的打分进行整理、
描述和分析.下面给出了部分信息.
a.教师评委打分：
86 88 90 91 91 91 91 92 92 98
b.学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组82£x<85，第2组85£x<88，第3组88£x<91，
第4组91£x<94，第5组94£x<97，第6组97£x£100）：
c.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
平均 中位 众
数 数 数
教师评
91 91 m
委学生评
90.8 n 93
委
根据以上信息，回答下列问题：
①m的值为___________，n的值位于学生评委打分数据分组的第__________组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为x，则x___________91
（填“>”“=”或“<”）；
(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方
差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的
甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委 评委 评委 评委 评委
1 2 3 4 5
甲 93 90 92 93 92
乙 91 92 92 92 92
丙 90 94 90 94 k
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中k（k为整
数）的值为____________.
【答案】(1)①91，4；②<
(2)甲，92
【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方
法是正确解答的前提．
（1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可；
（2）根据方差的定义和意义求解即可；
（3）根据题意得出x ³x ³x ，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可．
甲 丙 乙
【详解】（1）①从教师评委打分的情况看，91分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为91，
所以m=91，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第23个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手
打分的中位数在第4组91£x<94，故答案为：91，4；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：88，90，91，91，91，91，
92，92，
88+90+91+91+91+91+92+92
\x= =90.75<91，
8
故答案为：<；
90+92+92+93+93
（2）x = =92，
甲 5
1
S2= é90-922+92-922+92-922+93-922+93-922ù=1.2，
甲 5ë û
91+92+92+92+92
x = =91.8，
乙 5
1
S2= é91-91.82+92-91.82+92-91.82+92-91.82+92-91.82ù=0.16，
乙 5ë û
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
Q
1
依题意，当x ³x ³x ，则91.8£ 90+94+90+94+k£92
甲 丙 乙 5
解得：91£k £92
当k =91时，x =x =91.8
丙 乙
1
此时S2 = é2´90-91.82+2´94-91.82+91-91.82ù=3.36
丙 5ë û
∵S2 >S2 ，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意，
丙 乙
当k =92时，x =x =92
丙 甲
1
此时S2 = é2´90-922+2´94-922+92-922ù=3.2
丙 5ë û
∵S2 >S2，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲
丙 甲
故答案为：甲，92．
【统计】4．3月14日是国际数学日，也称“π日”．今年3月14日某校七年级300名学生参加了华容道、
鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛．比赛采取积分制，每参加一项可获得10至20分，达到90分及
90分以上的学生可获得“π日”徽章．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了m名学生，并对他们的积分
进行整理、描述，绘制成下面的统计图（数据分为5组：20£x<40，40£x<60，60£x<80，
80£x<100，100£x£120）：根据以上信息，完成下列问题．
(1)下列抽取样本的方式中，最合理的是 （填写序号）：
①从七年级的学生中抽取m名男生；
②从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取m名学生；
③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取m名学生．
(2)写出m的值，并补全频数分布直方图；
(3)100£x£120这一组对应的扇形的圆心角度数是 ；
(4)80£x<100这一组的学生积分是：81，82，90，93，93，93，96，98，98，请估计七年级学生获得“π日”
徽章的人数．
【答案】(1)③
(2)40，见解析
(3)81°
(4)120人
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握扇形统
计图和频数分布直方图的特点．
（1）根据样本的选取应该具有应具有代表性、客观性和随机性进行判断即可；
（2）根据20£x<40的人数为4人，占总调查人数的10%，求出m的值即可；求出100£x£120的人数，
然后补全频数分布直方图即可；
（3）用360°乘100£x£120的百分比，求出结果即可；（4）用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：①从七年级的学生中抽取m名男生不具有代表性和普遍性，故①不符合题意；
②从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取m名学生，不具有代表性和普遍性，故②不符合题意；
③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取m名学生，具有代表性和普遍性，故③符合题意．
故答案为：③；
（2）解：m = 4¸10% = 40，
100£x£120的人数为40-4-11-7-9=9，补全频数分布直方图，如图所示：
（3）解：100£x£120这一组对应的扇形的圆心角度数为：
9
360°´ =81°．
40
（4）解：80£x<100这一组的学生积分达到90分或90分以上的人数为7人，
估计七年级学生获得“π日”徽章的人数为：
7+9
´300=120（人）．
40
押题猜想九 解直角三角形（解答题）
限时：8min
（原创）光岳楼位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），是中国十大名楼之一，光岳楼为
中国既古老又雄伟的木构楼阁，是宋元建筑向明清建筑过渡的代表作，在中国古代建筑史上有着重要地位，
1988年光岳楼被列为全国重点文物保护单位，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉．某校数学实践小组利用
所学数学知识测量光岳楼的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．在测量仰
角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果．下面是两个方案及测量数据（不完整）：
项
测量光岳楼的高度
目
方案一：标杆垂直立于地面，借助
方 平行的太阳光线构成相似三角 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离
案 形．测量：标杆长CD，影长ED及 CD，仰角a，仰角b
同一时刻塔影长DB
说
E,D,B三点在同一条直线上 B,C,D三点在同一条直线上
明
测
量
示
意
图
测量 平均 测量
第一次 第二次 第一次 第二次 平均值
项目 值 项目
测
量 CD 1.61m 1.59m 1.6m b 29.9° 30.1° 30°
数
ED 1.18m 1.22m 1.2m a 37.1° 36.9° 37°
据
DB 25m 26m CD 12.8m 13.2m 13m
【问题解决】
(1)求“方案一”两次测量塔影长DB的平均值；
(2)根据“方案一”的测量数据，求出光岳楼AB的高度；
(3)根据“方案二”的测量数据，求出光岳楼AB的高度．（参考数据：sin37°»0.60,cos37°»0.80,
tan37°»0.75, 3»1.73．结果保留1位小数）．
【答案】(1)25.5m
(2)34.0m
(3)32.5m【分析】本题主要考查相似三角形的性质，仰俯角解直角三角形，理解题意，掌握相似三角形的性质，解
直角三角形的计算是关键．
（1）根据平均值的计算即可求解；
ED CD
（2）根据题意得 EDC∽ DBA，则 = ，代入求值即可；
V V
DB AB
3
（3）设BC =xm，则BD=BC+CD=x+13m，AB=BD´tan30°= x+13m，解得x»43.3，所以
3
AB=0.75x=32.5m，由此即可求解．
25+26 51
【详解】（1）解：“方案”两次测量塔影长DB的平均值是 = =25.5m；
2 2
（2）解：根据题意得 EDC∽ DBA，
V V
ED CD
∴ = ，
DB AB
∵ED=1.2m，CD=1.6m，DB=25.5m，
DB´CD 25.5´1.6
∴AB= = =34.0m；
ED 1.2
（3）解：设BC =xm，
∵CD=13m，
∴BD=BC+CD=x+13m，
∵ÐACB=a=37°，
∴AB=BC´tan37°»0.75xm，
∵ÐADB=b=30°，
3
∴AB=BD´tan30°= x+13m，
3
3
∴0.75x= x+13，
3
解得x»43.3，
∴AB=0.75x=32.5m，
答：光岳楼AB的高度约为32.5m．
押题解读
本考点为必考考点，解直角三角形的相关内容也会和其他内容结合在选填中出现。题型固定，难度不大，
只要掌握好相关的知识，认真审题即可。预测25年中考也会出现解直角三角形的解答题，难度适中；
小概率出现在选填题。【仰角、俯角】1．某校数学“综合与实践”小组在测量临沂书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告：
测量对
书圣阁
象
测量目
学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题
的
测量工
无人机
具
如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）：
先将无人机从地面的点C处垂直上升90.7m至点P，此时测得书圣阁的顶端A
测量方
的俯角为16°；
案
再将无人机从点P处向右沿水平方向飞行60m至点D，然后沿垂直方向上升
20m至点Q，此时测得书圣阁的端A的俯角ÐEQA=45°．|
测量示
意图
请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出书圣阁的高度．（结果保留整数，参
考数据：sin16° »0.28,cos16° »0.96,tan16° »0.29 
【答案】58m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，准确理解题意，熟练掌握解直角三角形的方法
是解题的关键．延长BA交QE于M ，延长PD交MB于F，设QM =xm，在Rt
V
QMA中，ÐAQM =45°，
可得MA=QM = xm，AF =(x-20)m，在Rt△PFA中，通过AF =PF×tanÐAPF，列出方程
x-20=(x+60)´0.29，解方程求得MA，最后通过AB=PC+QD-MA，求得AB的值．
【详解】解：如图，延长BA交QE于M ，延长PD交MB于F，由题易知，四边形QMFD,PCBF为矩形，
则QM =DF,MF =QD=20m, FB=PC =90.7m，
设QM =xm，则PF =(x+60)m，
在Rt QMA中，ÐAQM =45°，
V
\ÐMAQ=45°=ÐMQA，
则MA=QM = xm，
\AF =(x-20)m，
在Rt△PFA中，ÐAPF =16°，
AF
tanÐAPF = ，
Q
PF
\AF=PF×tanÐAPF，即x-20=(x+60)´0.29，
解得：x»52.68，
则AB=90.7+20-52.68»58(m)，
答：书圣阁的高度约为58m．
【其他问题】2. 臂架泵车（如图1）是一种用于建筑工程中混凝土输送和浇筑的特种工程车辆，集混凝土泵
送、臂架伸展和移动功能于一体，广泛应用于高层建筑、桥梁、隧道等施工场景．图2是其输送原理平面
图，进料口A到建筑楼的水平距离为24米，到地面的垂直距离为2米，AB，BC，CD，DE为输送臂，
可绕A，B，C，D旋转，已知输送臂AB垂直地面且AB=14米，BC =CD=13米，DE =7米，
ÐBCD=134.8°，ÐCDE=112.6°．
(1)BD的长约为________；（直接写出答案）(2)求出料口到地面的距离．
12 5 41 11
（参考数据：sin67.4°» ，cos67.4°» ，sin56.3°» ，cos56.3°» ）
13 13 50 20
【答案】(1)24；
(2)23米
【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．
1过点C作CM ^BD，利用锐角三角函数可得BM =12，根据等腰三角形的性质可得BD=2BM =24米；
2过点B作BP^EP，垂足为P，利用勾股定理可以求出BD=24米，根据进料口A到建筑楼的水平距离
为24米，可得BP=24米，根据HL可证Rt EDB≌Rt EPB，根据全等三角形的性质可得进料口到地面的距
V V
离为EP+16=7+16=23（米）．
【详解】（1）解：如下图所示，过点C作CM ^BD，
ÐBCD=134.8°，CB=CD，
Q
1
\ÐBCM = ´134.8°=67.4°，BM =DM ，
2
12
\BM =BCsinÐBCM =BCsin67.4°»13´ =12，
13
\BD=2BM =24(米)，
故答案为：24米；
（2）解：如下图所示，过点B作BP^EP，垂足为P，
在Rt BDE中，
V
DE=7米，
Q
\ BE= BD2+DE2 = 242+72 =25米，
BP=24米，
Q
\BP=BD，ìBE=BE
在Rt
V
EDB和Rt
V
EPB中，í
îBD=BP
\Rt EDB≌Rt EPB，
V V
\DE=PE，
\E 到地面的距离为EP+16=7+16=23（米），
\E 到地面的距离为23米．
【其他问题】3. 图1是一盏可调节台灯，图2为其平面示意图，固定底座OA与水平面OE垂直，AB为固
定支撑杆，BC为可绕着点B旋转的调节杆，若AB=30cm，BC =35cm，OA=8cm，ÐOAB=143°，
ÐABC =80°，求台灯灯体C到水平面OE的距离．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°»0.60，
cos37°»0.80，tan37°»0.75，sin27°»0.45，cos27°»0.89，tan27°»0.51）
【答案】47.8cm
【分析】过C作CM ^OE交于M ，过B作BN ^CM 交于N ，延长OA交BN 于P，根据ÐOAB=143°，求
出ÐBAP=180°-ÐOAB=37°，根据余玄直接求出AP，即可得到OP，根据BN ^CM ，CM ^OE，OA^OE
CN
得到四边形POMN为矩形，得到ÐABP，从而得到ÐCBN，结合sinÐCBN = 即可得到答案；
BC
【详解】解：过C作CM ^OE交于M ，过B作BN ^CM 交于N ，延长OA交BN 于P，
∵ÐOAB=143°，
∴ÐBAP=180°-ÐOAB=37°，
∴在Rt△BAP中AB=30cm，AP
cosÐBAP= ，
AB
AP»AB´0.80=24cm，
∴OP=OA+AP=8+24=32cm，
∵BN ^CM ，CM ^OE，OA^OE，
∴ÐPOM =ÐOMN =ÐMNP=90°，
∴四边形POMN为矩形，
∴MN =OP=32 cm，ÐAPN =90°，
∵ÐBAP=37°，
∴ÐABP=90°-ÐBAP=53°，
∵ÐCBA=80°，
∴ÐCBN =ÐCBA-ÐABP=27°，
在Rt CBN 中CB=35cm，
V
CN
sinÐCBN = ，
BC
CN =BC´sin27°»35´0.45=15.75cm，
∴CM =MN+CN =32+15.75»47.8cm，
答：C到水平面OE的距离约为47.8cm，
【相似】4．【综合与实践】
火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使
用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几
何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移
计”这一设备开展了学习与探究：激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光
接收元件上成像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成
像的位置也随之改变．可以通过成像的位移来计算物体实际的移动距离．
阅
读
理
解
被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的
距离，也就是图中点M与点N之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线
方向传播，最后在光学成像设备上成像．
发
现
原
理
如图，直线M¢N¢∥直线l∥直线l ，直线MN垂直于l 和l ，垂足分别为M 和N ，
1 2 1 2
线段MM¢与线段NN¢交于点O，线段NN¢与直线l 交于点P，ÐM¢MP=a．
1
建
立
模
型
解 （1）作NH ^MM¢于点H，设MN =m，请用含m和a的式子表示HN 的长度；
决 （2）若M¢N¢=5，OM¢=27，OM =140，求MN的长度．（结果精确到个位，参问 考数据：sinα»0.8，cosα»0.6，tanα»1.33）
题
【答案】（1）mcosa（2）49
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造直角三角形，是
解题的关键：
（1）过点N 作NH ^M¢M 于点H，对顶角结合同角的余角相等，得到ÐMNH =a，解直角三角形MHN ，
求出HN 的长即可；
（2）作N¢D∥MN ，交MM¢于点D，解直角三角形DM¢N¢，证明 DON¢∽ MON ，列出比例式进行求解
V V
即可．
【详解】解：过点N 作NH ^MM¢于点H，则：ÐNHM=90°，ÐCMH =a，
∵MN ^l ，
1
∴ÐCMN =90°，
∴ÐMNH =ÐCMH =90°-ÐHMN =a，
在Rt MHN中，HN =MN×cosa=mcosa；
V
（2）作N¢D∥MN ，交MM¢于点D∵M¢N¢∥l,MN ^l ，
1 1
∴ÐN¢M¢D=a,DN¢^M¢N¢，
M¢N¢
∴DM¢= »8，DN¢=M¢N¢tana»7，
cosa
∴OD=OM¢-DM¢=27-8=19，
∵N¢D∥MN ，
∴ DON¢∽ MON ，
V V
MN OM 140
∴ = = »7，
DN¢ OD 19
∴MN =7DN¢=7´7=49．
【其他问题】5．2022年11月29日，“神舟十五号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成果发射．2023年2
月9日神舟十五号航天员进行了出舱活动，为了确保任务的圆满完成，航天员借助机械臂进行舱外作业．如
图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，
OA=1m，AB=5m，BC=2m，ÐABC=145°，ÐBCD=60°．（参考数据：
sin25°»0.42，cos25°»0.91，tan25°»0.47，2 »1.41，3»1.73）．
(1)求机械臂端点C到工作台的距离CD的长（结果精确到0.1m）
(2)求OD的长．（结果精确到0.1m）
【答案】(1)机械臂端点C到工作台的距离CD的长约为6.6m；
(2)OD的长约为3.8m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是
解题的关键．
（1）过点A作AE ^CD，过点B作BF⊥CD，BH^AE，垂足为E、F、H，在Rt BCF 中，求得
V
CF=1m，在Rt△BHA中，求得BH =4.55m，最后求得CD的长即可；
（2）在Rt
V
BCF 中，求得BF的长，在Rt△BHA中，求得AH 的长，最后求得OD的长．
【详解】（1）解：如图，过点A作AE ^CD，过点B作BF⊥CD，BH^AE，垂足为E、F、H，\四边形EFBH是矩形，
\ÐFBH =90°，
在Rt BCF 中，BC =2m，ÐBCF =60°，
V
\ÐCBF =30°，
CF
cosÐBCF = ，
Q
BC
CF 1
\ = ，
2 2
\CF =1m，
ÐABC=145°，
Q
\ÐABH =ÐABC-ÐCBF-ÐFBH =145°-30°-90°=25°，
在Rt△BHA中，AB=5m，ÐABH =25°，
BH
cosÐABH =
Q
AB
BH
\ »0.91，
5
\BH »4.55m，
\在矩形EFBH中，EF =BH =4.55m，
AE^CD,CD^OD,AO^OD，
Q
\四边形AEDO是矩形，
OA=1m，
Q
\DE=OA=1m，
\CD=CF+EF+DE=1+4.55+1»6.6m，
\机械臂端点C到工作台的距离CD的长约为6.6m．
（2）解：在Rt BCF 中，BC =2m,ÐBCD=60°，
V
BF
sinÐBCD= ,
Q
BC
BF 3
\ = ,
2 2
\BF = 3m»1.73m，在Rt△BHA中，AB=5m,ÐABH =25°，
AH
sinÐABH = ，
Q
AB
AH
\ »0.42,
5
\AH »2.1m，
Q
在矩形EFBH和矩形AEDO中，
\DO= AE = AH +EH =1.73+2.1»3.8m
\OD的长约为3.8m．
押题猜想十 平行四边形
限时：8min
（原创）如图，在菱形ABCD中，ÐBAC 的平分线交BC于点E，ÐACD的平分线交AD于点F．
(1)求证：AF =CE；
(2)从下列条件中任选一个作为已知条件，并判断四边形AECF的形状．请证明你的结论．
①ÐBAD=2ÐABC；②AC =BC．
选择的条件：_______（填写序号）．
（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)见解析
(2)若选①ÐBAD=2ÐABC，则四边形AECF为矩形，理由见解析；若选②AC =BC，则四边形AECF为
矩形，理由见解析
【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的判定，等边三角形的判定及性质等，理
解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）在菱形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，可得ÐBAC =ÐACD，由角平分线的定义可知
1 1
ÐEAC = ÐBAC，ÐFCA= ÐACD，进而可知ÐEAC =ÐFCA，即AE
P
CF ，可得四边形AECF是平行四
2 2边形，即可证明结论；
（2）若选①ÐBAD=2ÐABC，根据菱形的性质可得ÐBAD=120°，ÐABC =60°，则
V
ABC为等边三角形，
则AB= AC，再根据“三线合一”得ÐAEC =90°，结合（1）即可证明四边形AECF为矩形；
若选②AC =BC，根据菱形的性质可得AB= AC，，再根据“三线合一”得ÐAEC =90°，结合（1）即可证明
四边形AECF为矩形．
【详解】（1）证明：在菱形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴ÐBAC =ÐACD，
∴AE平分ÐBAC ，CF平分ÐACD，
1 1
∴ÐEAC = ÐBAC，ÐFCA= ÐACD，
2 2
∴ÐEAC =ÐFCA，
∴AE
P
CF ，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF =CE；
（2）若选①ÐBAD=2ÐABC，则四边形AECF为矩形，理由如下：
在菱形ABCD中，AB=BC，AD∥BC，
∴ÐBAD+ÐABC =180°，
又∵ÐBAD=2ÐABC，
∴ÐBAD=120°，ÐABC =60°，
∴V ABC为等边三角形，则AB= AC，
又∵AE平分ÐBAC ，
∴AE^BC，即ÐAEC =90°，
由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF为矩形；
若选②AC =BC，则四边形AECF为矩形，理由如下：
在菱形ABCD中，AB=BC，
∵AC =BC，
∴AB= AC，
又∵AE平分ÐBAC ，
∴AE^BC，即ÐAEC =90°，由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF为矩形．
押题解读
本考点为必考考点，多与三角形全等、相似结合。解答本类题型需要熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、
正方形的判定与性质定理。预测25年依然会以解答题形式出现，难度适中。
【平行四边形、矩形】1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ÐABD=ÐCDB，BE^ AC
于点E，DF^AC于点F，且BE=DF．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
BC
(2)若AB=BO，当ÐABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时 的值．
AB
【答案】(1)证明见解析
BC
(2)当ÐABE=30°时，四边形ABCD是矩形，理由见解析，此时 = 3
AB
【分析】（1）先证明AB∥CD得到ÐEAB=ÐFCD，再由垂线的定义得到ÐAEB=ÐCFD=90°，据此证明
V
AEB≌
V
CFDAAS，得到AB=CD，由此即可证明四边形ABCD是平行四边形；
（2）当ÐABE=30°时，四边形ABCD是矩形，利用三角形内角和定理得到ÐBAO=60°，则可证明
V
AOB
是等边三角形，得到OA=OB，进而可证明AC =BD，则四边形ABCD是矩形，在Rt△ABC中，
BC
tanÐBAC = = 3．
AB
【详解】（1）证明：∵ÐABD=ÐCDB，
∴AB∥CD，
∴ÐEAB=ÐFCD，
∵BE^ AC，DF^AC，
∴ÐAEB=ÐCFD=90°，又∵BE=DF，
∴V AEB≌ V CFDAAS，
∴AB=CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：当ÐABE=30°时，四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵BE^ AC，
∴ÐAEB =90°，
∵ÐABE=30°，
∴ÐBAO=60°，
又∵AB=BO，
∴V AOB是等边三角形，
∴OA=OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∴OB=OD=OA=OC，
∴AC =BD，
∴四边形ABCD是矩形，
即当ÐABE=30°时，四边形ABCD是矩形，
∴ÐABC =90°，
BC
∴在Rt△ABC中，tanÐBAC = = 3．
AB
【相似、平行四边形】2．如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，
1
DE= CD．
2
(1)求证：
V
ABF∽
V
CEB；
(2)若 DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
V【答案】(1)证明见解析
(2)24
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得ÐA=ÐC，AB∥CD，由平行线的性质得到ÐABF =ÐCEB，根
据相似三角形的判定定理即可得证；
（2）证明△EFD∽△EBC，根据相似三角形的性质，可求出
V
EBC的面积，即可得到四边形BCDF 的面积，
再证明△BFA∽△EFD，根据相似三角形的性质，可求出△AFB的面积，由此可得平行四边形ABCD的面
积．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ÐA=ÐC，AB∥CD，
∴ÐABF =ÐCEB，
∴V ABF∽ V CEB；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴△EFD∽△EBC，△BFA∽△EFD，
1
∵DE= CD， DEF的面积为2，
V
2
ED 1
∴ = ，
EC 3
S æEDö 2 æ1ö 2 1
∴ △EFD =ç ÷ =ç ÷ = ，
S èECø è3ø 9
△EBC
S æ ABö 2
∴ △BFA =ç ÷ =22 =4，
S èDEø
△EFD
∵ DEF的面积为2，
V
∴S =18，S =8，
△EBC △BFA
∴S =S -S =18-2=16，
四边形BCDF △EBC △DEF
∴S =S +S =16+8=24，
YABCD 四边形BCDF △ABF
∴平行四边形ABCD的面积为24．
【矩形、相似】3．如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE^BD．(1)求证：AD2 =DE×DC；
1
(2)F为线段AE延长线上一点，且满足EF =CF = BD，求证：CE= AD．
2
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由矩形性质得到ÐBAD=90°，ÐADE=90°，AB=DC，由角的互余得到ÐABD=ÐDAE，从
而确定 ADE∽ BAD，利用相似三角形性质得到AD2 =DE×DC；
V V
（2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到OA=OD=EF =CF，
ÐODA=ÐOAD，ÐFEC =ÐFCE， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到．
【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，ÐBAD=90°，ÐADE=90°，AB=DC，
\ÐABD+ÐADB=90°，
Q
AE^BD，
\ÐDAE+ÐADB=90°，
\ÐABD=ÐDAE，
QÐBAD=ÐADE=90°，
\ ADE∽ BAD，
V V
AD DE
\ = ，即AD2 =DE×BA，
BA AD
AB=DC，
Q
\ AD2 =DE×DC；
（2）证明：连接AC交BD于点O，如图所示：在矩形ABCD中，ÐADE=90°，则ÐDAE+ÐAED=90°，
Q
AE^BD，
\ÐDAE+ÐADB=90°，
\ÐADB=ÐAED，
QÐFEC =ÐAED，
\ÐADO=ÐFEC，
1
在矩形ABCD中，OA=OD= BD，
2
1
EF =CF = BD，
Q
2
\OA=OD=EF =CF ，
\ÐADO=ÐOAD，ÐFEC =ÐFCE，
ÐADO=ÐFEC，
Q
\ÐADO=ÐOAD=ÐFEC =ÐFCE，
在
V ODA
和
V
FEC中，
ìÐODA=ÐFEC
ï
íÐOAD=ÐFCE
ï
îOD=FE
\ ODA≌ FECAAS，
V V
\CE= AD．
【结构不良型】4．如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点．
Y(1)求证：DE=BF；
(2)请从以下三个条件：①AC =2BD；②ÐBAC =ÐDAC；③AB= AD中，选择一个合适的作为已知条件，
使四边形DEBF为菱形．
你选择添加的条件是：______（填写序号）；添加条件后，请证明四边形DEBF为菱形．
【答案】(1)见解析 (2)②，证明见解析
【分析】（1）首先根据平行四边形的性质得到AO=CO,OD=OB然后根据题意得到OE=OF，进而证明出
四边形DEBF是平行四边形，即可得到DE=BF；
（2）选择添加的条件是：②ÐBAC =ÐDAC，首先根据平行四边形的性质得到ÐDCA=ÐBAC，然后利用
等量代换得到ÐDCA=ÐDAC，然后利用等腰三角形三线合一性质得到AC^BD，然后利用对角线垂直的
平行四边形是菱形证明即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO,OD=OB
∵点E，F分别是AO，CO的中点
∴OE=OF
∴四边形DEBF是平行四边形
∴DE=BF；
（2）选择添加的条件是：②．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，
∴ÐDCA=ÐBAC
∵ÐBAC =ÐDAC
∴ÐDCA=ÐDAC
∴AD=CD
∵AO=CO
∴AC^BD
∵四边形DEBF是平行四边形
∴平行四边形DEBF是菱形．
【选择型】5．如图，以
V
ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，
V
BCE，
△ACF．连接DE，EF．(1)求证：△DBE≌△ABC；
(2)请从以下两个问题中选择其中一个进行解答（若多选，则按第一个解答计分）
①当
V
ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？请加以证明；
②当
V
ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？请加以证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)①当ÐBAC =150°时，四边形ADEF 是矩形；②当AB= AC，且ÐBAC ¹60°时，四边形ADEF 是菱形
【分析】（1）由“SAS”可证△DBE≌△ABC；
（2）①根据全等三角形的性质可得DE= AC，可得DE= AF ，同理可证AD=EF，即可证四边形ADEF
是平行四边形；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，故添加ÐBAC =150°即可证明；
②根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故添加AB= AC，且ÐBAC ¹60°，由等边三角形的性质可得
AB=AD=AC=AF，由菱形的判定可得结论．
【详解】（1）证明：∵V ABD, V EBC都是等边三角形．
\AD=BD= AB,BC =BE=EC，ÐBAD=ÐCAF =ÐDBA=ÐEBC =60°，
\ÐDBE+ÐEBA=ÐABC+ÐEBA，
\ÐDBE=ÐABC，
在△CAB和△EDB中
ìBD=BA
ï
íÐDBE=ÐABC，
ï
îBE=BC
\ DBE≌ ABCSAS．
V V
（2）①解：当ÐBAC =150°时，四边形ADEF 是矩形
∵△DBE≌△ABC．
\DE= AC，
又 ∵△ACF是等边三角形，
\AC=AF，\DE= AF，
同理可证：AD=EF，
∴四边形ADEF 是平行四边形．
∵ÐBAD=ÐCAF =60°,ÐBAC =150°，
∴ÐDAF =360°-60°-60°-150°=90°，
∴四边形ADEF 是矩形．
②当AB= AC，且ÐBAC ¹60°时，四边形ADEF 是菱形，
理由如下：∵AB= AC，且△ABD,△ACF是等边三角形，
\AB=AD=AC=AF ，
∴ ADEF是菱形．
Y
当ÐBAC =60°时，A,E重合，此时 ADEF不存在．
Y
押题猜想十一 反比例函数与一次函数综合（解答题）
限时：10min
1 k k
（原创）如图，直线y = x与双曲线y = (k >0)交于A点，且点A的横坐标为4，双曲线y = (k >0)
1 2 2 x 2 x
上有一动点C(m,n)(0<m<4)，过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接OC．
(1)求k的值；
(2)直接写出y > y 时x的取值范围；
1 2
(3)连接AC，当△COD与
V
AOB的重合部分的面积为1时，求
V
OAC的面积．
【答案】(1)8(2)x>4或-4<x<0
(3)6
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，反比例
函数系数k的几何意义，正确地求得k的值是解题的关键．
1 k
（1）首先将A点横坐标代入y= x求出A4,2，然后代入y= 求解即可；
2 x
1 8
（2）根据要使得y > y ，只需y = x的图象在y = 的图象上方时x的取值范围，再结合其交点坐标即可
1 2 1 2 2 x
得出答案；
æ 1 ö
（3）设△COD与
V
AOB的重合部分的面积值为S，设Eçm, m÷，根据三角形的面积公式得到E2,1，求
è 2 ø
得OD=2，根据梯形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）解：∵点A的横坐标是4
1 1
∴将x=4代入y = x= ´4=2
1 2 2
∴A4,2
k
∴将A4,2代入y = ，得k =8，
2 x
\k的值为8；
1 8
（2）令y = x与y = 的另一个交点为F，
1 2 2 x
由反比例函数与正比例函数的性质可知F-4,-2，
1 8
要使得y > y ，只需y = x的图象在y = 的图象上方，
1 2 1 2 2 x
此时，x>4或-4<x<0；
1
（3）连接AC，令y
1
=
2
x与CD交点为E，设△COD与
V
AOB的重合部分的面积值为S，
1
E 在直线y= x上，
Q
2æ 1 ö
\设E点的坐标为Eçm, m÷，
è 2 ø
\OD=m，
1 1 1 1
\S = OD×DE= m× m= m2 =1，
2 2 2 4
解得m=2或-2（舍去），
\E2,1，
\OD=2，
8
Q
点C在函数y= 的图象上，
x
8
\CD= y= =4
2
8
S =S = =4，
Q VAOB VCOD 2
\S =梯形ABDC的面积=4-S =3，
VCEO VODE
由（1）知OB=4，AB=2，
\BD=4-2=2，
1 1
\梯形ABDC的面积= BD×(DC+AB)= ´2´(4+2)=6，
2 2
\S =梯形ABDC的面积=6．
ΔAOC
押题解读
本考点为必考考点，24年省考出现新颖的考查形式，但考查问题相对简单。反比例函数和一次函数综合主
要的考点还是解析式、交点坐标、不等式关系和面积问题， 注意割补法在面积问题中的应用。属于中考常
考题型，难度适中。
【表格类】1．列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值
2 k
之间的对应关系．下表是函数y=- x+b与y= 部分自变量与函数值的对应关系：
3 x
3
x - a 6
22 1
y=- x+b a
3 3
k
y= -1
x
(1)求a、b的值，并补全表格；
2 k
(2)结合表格，当y=- x+b的图象在y= 的图象上方时，直接写出x的取值范围．
3 x
【答案】(1)a=4，b=3，补全表格见解析
3
(2)x<- 或0<x<6
2
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图象法写自变量的取值范围；
（1）根据表格信息建立方程组求解a、b的值，再求解表格中其它的值，再补全表格即可；
（2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图象可得答案．
ì 2 æ 3ö
ï
a=- ´ç- ÷+b
æ 3 ö æ 1ö 2 ï 3 è 2ø
【详解】（1）解：依题意把点ç- ,a÷，ça, ÷代入y=- x+b得，í ，
è 2 ø è 3ø 3 ï 1 2
=- a+b
ïî 3 3
ìa=4
解得：í ，
îb=3
2
\一次函数为y=- x+3，
3
k
把6,-1代入y= ，得k =-6，
Q
x
6
\反比例函数为：y=- ，
x
-6
3 y= =4 -6 3
当x=- 时， 3 ，当x=4时，y= =- ，
2 - 4 2
2
补全表格如下：
3
x - 4 6
2
2 1
y=- x+3 4 -1
3 3
6 3
y=- 4 - -1
x 2æ 3 ö
（2）解：由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，ç- ,4÷,6,-1，
è 2 ø
2 k 3
\当y=- x+b的图象在y= 的图象上方时，x的取值范围为：x<- 或0<x<6．
3 x 2
【中点坐标】2．在平面直角坐标系xOy中，已知△OAB为等边三角形，AB=6，点C为AB的中点，反比
k
例函数y= (x>0)的图象经过A，B两点，且与OC交于点D，ÐBOE=15°，点B的横纵坐标之和为3 6．
x
(1)点C的坐标为________；（请直接写出结果）
(2)求反比例函数的解析式；
(3)求线段CD的长度．
æ3 6 3 6ö
【答案】(1)ç , ÷
ç 2 2 ÷
è ø
9
(2)y=
x
(3)3 3-3 2
【分析】（1）过点B作BM ^x轴于M，过点A作AN ^ y轴于N，证明
V
OBM≌
V
OANAAS，得
BM=AN，OM =ON ，设Bx,y，则Ay,x，然后由中点坐标公式求解；
（2）设B点坐标为(x,y)，则OB= x2+y2 =6．再根据x+y=3 6，求得xy=9，即可求得k =9，从而求解；
（3）先由点C坐标求得OC =3 3，再证明OC是第一象限角的平分线，从而可得OC所在直线的解析式为ìy=x
ï
y= x，再联立í 9，求得D点的坐标为(3,3)，从而可求得OD的长， 然后由CD=OC-OD求解即可．
y=
ï
î x
【详解】（1）解：过点B作BM ^x轴于M，过点A作AN ^ y轴于N，如图，
则ÐBMO=ÐANO=90°，
∵△OAB为等边三角形，
∴ÐAOB=60°，OA=OB，
∵ÐBOE=15°，
∴ÐAON =ÐBOE=15°，
∴V OBM≌ V OANAAS，
∴BM=AN，OM =ON ，
设Bx,y，则Ay,x，
∵点C为AB的中点，
æ y+x x+yö
∴点Cç , ÷，
è 2 2 ø
∵点B的横纵坐标之和为3 6，
∴x+y=3 6，
æ3 6 3 6ö
∴Cç , ÷，
ç 2 2 ÷
è ø
æ3 6 3 6ö
故答案为：ç , ÷．
ç 2 2 ÷
è ø
（2）解：设B点坐标为(x,y)，则OB= x2+y2 =6．
∵B的横纵坐标之和为3 6，
∴x+y=3 6．解得xy=9．
∴k =9．
9
∴反比例函数的解析式为y= ．
x
æ3 6 3 6ö
（3）解：∵Cç , ÷
ç 2 2 ÷
è ø
2 2
æ3 6ö æ3 6ö
∴OC = ç ÷ +ç ÷ =3 3，
ç ÷ ç ÷
2 2
è ø è ø
∵△OAB为等边三角形，点C为AB的中点，
1
∴ÐBOC = ÐAOB=30°，
2
∴ÐCOE=ÐBOC+ÐBOE=45°，
∴OC是第一象限角的平分线，
∴OC所在直线的解析式为y= x．
ìy=x
ï
联立í 9，
y=
ï
î x
ìx=3
解得í ，
îy=3
∴D点的坐标为(3,3)．
∴OD= 32+32 =3 2．
∴CD=OC-OD=3 3-3 2．
∴CD的长度为3 3-3 2．
k
【三角形面积】3.如图，一次函数y
=
x
+
3的图像与反比例函数y= k ¹0的图像交于点A与点Ba,-1．
x
(1)求反比例函数的表达式；k
(2)请直接写出x+3³ 的解集．
x
(3)若点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线，与直线AB相
交于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求点P的坐标．
4
【答案】(1)y= ；
x
(2)x³1或-4£x<0
(3)2,2
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合应用，正确解得反比例函数的表达式是解题的关键．
（1）首先求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求解；
（2）求出点A的坐标，根据函数图象的位置关系即可得到答案；
æ 4 ö 1 1 4
（3）设点P的坐标为çm, ÷，利用三角形面积公式得到S = CP´m= m+3- ´m=3，分两种情况
è mø VOPC 2 2 m
分别进行求解即可．
【详解】（1）解：将点Ba,-1代入一次函数y
=
x
+
3，
可得-1=a+3，
解得a=-4，
∴B-4,-1，
k
将点B-4,-1代入反比例函数y= k ¹0，
x
k
可得-1= ，解得k =4，
-4
4
∴该反比例函数的表达式为y= ；
x
4
（2）解：由y= 和y
=
x
+
3联立得到，
x
ìy=x+3
ï
í 4
y=
ï
î x
ìx=-4 ìx=1
解得í 或í ，
îy=-1 îy=4
∴点A的坐标是1,4，
4
由图象可知，当x³1或-4£x<0时，一次函数y x 3图象在反比例函数y= 上方，
= +
xk
∴x+3³ 的解集是x³1或-4£x<0
x
（3）如下图，
æ 4 ö
设点P的坐标为çm, ÷，则Cm,m+3，
è mø
4
∴CP= m+3- ，点O到直线CP的距离为m，
m
∵点P在第一象限，
∴m>0，
1 1 4
S = CP´m= m+3- ´m=3，
VOPC 2 2 m
4 1æ 4 ö
当m+3> 时， çm+3- ÷´m=3，
m 2è mø
整理得到，m2+3m-10=0，
可解得m=2或m=-5
经检验m=2或m=-5都是分式方程的解，
∵m>0
∴m=-5不合题意，舍去；
4 1æ 4 ö
当m+3< 时， ç -m-3÷´m=3，
m 2èm ø
整理得到，m2+3m+2=0，
可解得m=-2或m=-1，
经检验m=-2或m=-1都是分式方程的解，
∵m>0
∴m=-2和m=-1不合题意，舍去；
∴m=2，
∴点P的坐标为2,2．k
【相似】4．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y= x>0的图象上，
x
A1,0,C0,2．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A¢B¢（点A平移后的对应点为A¢），A¢B¢交函数
k
y= x>0的图象于点D，过点D作DE^y轴于点E．
x
(1)求函数关系式；
(2) OBD的面积与四边形ABDA¢的面积的数量关系为_________；（填“>”，“=”或“<”）
V
(3)证明：ÐB¢BD=ÐBB¢O．
2
【答案】(1)y=
x
(2)=
(3)见解析
k
【分析】（1）根据矩形的性质可得点B1,2，再把B1,2代入y= x>0，即可求解；
x
1
（2）连接OB,BD,OD，OD交AB于点K，根据反比例函数比例系数的几何意义，可得S =S = ´2=1，
VAOB VA¢OD 2
从而得到S =S ，即可求解；
VKOB 四边形A¢AKD
2n
æ 2 ö
（3）设平移距离为n，可得点B¢n+1,2，Dçn+1, ÷，从而得到BB¢ n n+1 B¢D ，可证明
è n+1ø = = =
OA¢ n+1 2 A¢B¢
B¢BD∽ A¢OB¢，从而得到ÐB¢BD=ÐB¢OA¢，再由B¢C∥A¢O，可得ÐCB¢O=ÐA¢OB¢，即可求证．
V V
【详解】（1）解：∵四边形OABC是矩形，
∴AB^x轴，BC ^ y轴，
∵A1,0,C0,2，
∴点B1,2，
k
把点B1,2代入y= x>0，得：k =2，
x2
∴函数关系式为y= ；
x
（2）解：如图，连接OB,BD,OD，OD交AB于点K，
1
∵S =S = ´2=1，
VAOB VA¢OD 2
∴S =S ，
VKOB 四边形A¢AKD
∴S +S =S +S ，
VBOK VBKD 四边形A¢AKD VBKD
∴ OBD的面积=四边形ABDA¢的面积；
V
故答案为：=；
（3）解：如图，设平移距离为n，
根据题意得：四边形A¢B¢CO是矩形，
∴ÐBB¢D=ÐOA¢B¢=90°，
∴点B¢n+1,2，
2
∵反比例函数y= ，
x
æ 2 ö
∴Dçn+1, ÷，
è n+1ø
2 2n
∴BB¢=n,OA¢=n+1,B¢D=2- = ,A¢B¢=2，
n+1 n+1
2n
∴BB¢ n n+1 B¢D ，
= = =
OA¢ n+1 2 A¢B¢∴ B¢BD∽ A¢OB¢，
V V
∴ÐB¢BD=ÐB¢OA¢，
∵B¢C∥A¢O，
∴ÐCB¢O=ÐA¢OB¢，
∴ÐB¢BD=ÐBB¢O．
1 k
【平行四边形】5．如图，一次函数y=- x+1的图象与反比例函数y= x<0的图象交于点Pa,2，与
2 x
y轴交于点Q．
(1)求a、k的值；
(2)直线AB过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，AP=PB，连接AQ．
①求△APQ的面积；
②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请
求出所有符合条件的点M坐标．
【答案】(1)a=-2，k =-4
5 æ 4 ö
(2)① ；②ç- ,3÷，-4,1
2 è 3 ø
【分析】（1）将P点坐标代入一次函数解析式可求出a的值，再将坐标代入反比例函数解析式可求出k的值；
（2）过点A作AH∥y轴，交PQ于点H，设B的坐标b,0，点A的坐标为t,h，根据P的纵坐标，可
以求出h的值，进而求出A点坐标，求出Q点坐标，根据可求出H点坐标，进而求出AH 的长，
S
△APQ
=S
△APH
+S
△AHQ
，在
V
APH和
V
AHQ中，AH 为底边， 高分别是P点、y轴到AH 的距离，根据点
P、点A的横坐标即可求得，根据面积公式计算即可；
（3）分两种情况，当MN和PQ为对角线时，可根据平行四边形的性质，以及平移来确定M 点纵坐标，进
而求出M 的坐标；当MQ和NP为对角线时，以及平移来确定M 点纵坐标，进而求出对应M 点坐标，从而
求解．1
【详解】（1）解：（1）把点Pa,2代入y=- x+1解得，a=-2，
2
k
把P-2,2代入y= 解得，k =-4；
x
（2）∵k =-4，
4
∴反比例函数解析式为y=- ．
x
①设B的坐标b，0，点A的坐标为t，h，
∵AP=PB，P-2，2，
4
∴h=4，把At，4代入y=- 得：t=-1，
x
∴点A-1，4，
1
∵一次函数y=- x+1的图象与y轴交于点Q．
2
∴Q的坐标为0,1，
æ 3ö
过点A作AH∥y轴，交PQ于点H．则点H坐标ç-1, ÷，
è 2ø
5
∴AH = ，
21 1 5
∴S =S +S = ´AH´1+ ´AH´1= ，
△APQ △APH △AHQ 2 2 2
æ 4 ö
②设点Mçm,- ÷，Nn,0，
è mø
∵P-2,2，Q0,1，点M、N、P、Q构成平行四边形；
当MN和PQ为对角线时，如下图：
Q点可看做是将N 点先向右平移|n|个单位，再向上平移OQ个单位得到，
故M 点也是相应关系，即P点向右平移 n 个单位，再向上平移OQ=1个单位，如下图：
故M 点的纵坐标为P点纵坐标加OQ：y =2+1=3，
M
4 4
即- =3，m=-
m 3
æ 4 ö
M的坐标为ç- ,3÷；
è 3 ø
当MQ和NP为对角线时， 如下图：N 点可看做是将Q点先再向下平移OQ个单位，向左平移|n|个单位得到，
故M 点也是相应关系，即M 点是P点再向下平移OQ=1个单位，再向左平移 n 个单位得到，如下图：
4
故M 点的纵坐标为2-1=1，- =1，
m
m=-4，
故此时M 点坐标为：(-4,1)；
æ 4 ö
综上，M 点的坐标为：ç- ,3÷，(-4,1)，
è 3 ø
押题猜想十二 圆
限时：10min
（原创）如图，已知AB是
e
O的直径，AC是
e
O的弦，点D在
e
O外，延长DC，AB相交于点E，过点
D作DF ^ AB于点F，交AC于点G，DG=DC．(1)求证：DE是
e
O的切线；
(2)若
e
O的半径为6，点F为线段OA的中点，CE=8，求DF的长．
【答案】(1)见解析
39
(2)
4
【分析】（1）连接OC，根据等边对等角和对顶角相等可推出ÐOAC =ÐOCA，ÐDGC =ÐDCG=ÐAGF，
结合DF ^ AB和三角形内角和，从而推出ÐOCD=ÐOAC+ÐAGF =90°，得证；
OC CE
（2）由（1）可知ÐOCE=90°，可证△DFE∽△OCE，推出 = ，再由勾股定理可得OE=10，利用
DF FE
6 8
点F为线段OA的中点，可得OF =3，从而得到EF =13，从而得到 = ，即可得到答案．
DF 13
【详解】（1）证明：连接OC，如图，
OA=OC，DG=DC，
Q
\ÐOAC =ÐOCA，ÐDGC=ÐDCG，
ÐAGF =ÐDGC，
Q
\ÐAGF =ÐDCG，
又 DF ^ AB，
Q
\ÐAFG=90°，
\ÐOAC+ÐAGF =180°-ÐAFG=180°-90°=90°，
\ÐOCD=ÐOCA+ÐDCG=ÐOAC+ÐAGF =90°，
\DE是
e
O的切线；
（2）解：如（1）图，ÐOCE=90°，
又 ÐDFE=90°，ÐOEC =ÐDEF，
Q\ DFE∽ OCE，
V V
OC CE
\ = ，
DF FE
Qe
O的半径为6，CE=8，
\OC =OB=OA=6，
\OE2 =OC2+CE2，即OE= 62+82 =10，
又
Q
点F为线段OA的中点，
1 1
\OF = OA= ´6=3，
2 2
\EF =OF+OE=3+10=13，
6 8
\ = ，
DF 13
39
\DF = ．
4
押题解读
本考点为必考考点，①切线的判定与性质基本属于必考题型；②垂径定理和勾股定理求线段长度属于比较常
见的题型，稍难一些的话大多与相似三角形结合；③求不规则图形的面积考查的次数也很多，但是出现在
解答题的部分较少，多数以选填的形式考查，但新中考题量减少，预测会出现在圆的解答题的一小问。
【不规则图形面积】1. 如图，AB是
e
O的直径，射线BC交
e
O于点D，E是劣弧AD上一点，且BE平分
ÐFBA，过点E作EF ^BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．
(1)证明：GF 是
e
O的切线；(2)若AB=8，EF=2 3，求DB的长；
(3)在（2）的基础上，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)4
8
(3)8 3- π
3
【分析】（1）如图，连接OE，根据角平分线的定义和等边对等角证明Ð1=Ð3，推出OE∥BF ，再由
EF^BC，得到OE^GF，即可证明GF 是 O的切线；
e
（2）连接OE，过点O作OM ^BD于M ，证明四边形OEFM 是矩形，得到EF =OM =2 3，利用勾股定
理求出BM =2，即可由垂径定理得到BD=2BM =4；
（3）先解直角三角形得到ÐEOG=∠OBM =60° ，求出EG=4 3，再根据S =S -S 进行求
阴影 △OEG 扇形AOE
解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接OE，
BE平分ÐFBA，
Q
\Ð1=Ð2，
OB=OE，
Q
\Ð2=Ð3
\Ð1=Ð3，
\OE∥BF，
EF ^BC，
Q
\OE^GF，
OE是 O的半径，
Q e
\GF是 O的切线；
e（2）解：连接OE，过点O作OM ^BD于M ，
\ÐOEF =ÐOMF =90°，
EF ^BC，
Q
\ÐEFM =90°，
\四边形OEFM 是矩形，
\EF =OM =2 3，
AB=8，
Q
\OB=4，
 2
\BM = OB2-OM2 = 42- 2 3 =2，
OM ^BD，
Q
\BD=2BM =4；
OM 3
（3）解： sinÐOBM = = ，
Q
OB 2
\ÐOBM =60°，
\ÐEOG=∠OBM =60°
OE=4，
Q
\EG=4 3，
1 60p×42 8
\ S =S -S = ´4´4 3- =8 3- p．
阴影 △OEG 扇形AOE 2 360 3
【不规则图形面积】2. 如图，
V
ABC内接于
e
O，AB为
e
O的直径，CD^ AB于点D，将△CDB沿BC所
在的直线翻折，得到
V
CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．(1)求证：CF是
e
O的切线；
2
(2)若sinÐCFB= ，AB=8，求图中阴影部分的面积．
2
【答案】(1)见解析
(2)2π-4
【分析】（1）连接OC，由折叠的性质得ÐDBC =ÐEBC，ÐBEC =ÐCDB=90°，再证明OC∥BE，推出
FC⊥OC，据此即可证明CF是 O的切线；
e
（2）先求得ÐCFB=45°，在Rt
V
COD中，求得CD=OD=2 2，再利用扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵CD^ AB，
∴ÐCDB=90°，
∵△CDB沿直线BC翻折得到 CEB，
V
∴ÐDBC =ÐEBC，ÐBEC =ÐCDB=90°，
∵OB，OC是
e
O的半径，
∴OB=OC，
∴ÐOCB=ÐOBC，
∴ÐEBC =ÐOCB，
∴OC∥BE，
∴ÐFCO=ÐBEC =90°，
∴FC⊥OC于点C，又∵OC为
e
O的半径，
∴CF是
e
O的切线；
2
（2）解：∵sinÐCFB= ，
2
∴ÐCFB=45°，
由（1）得ÐFCO=90°，
∴ÐFOC =90°-ÐCFB=45°，
∵CD^ AB，
∴ÐCDO=90°，
∵AB=8，
1 1
∴OC = AB= ´8=4，
2 2
在Rt
V
COD中，ÐAOC=45°，
2
∴CD=OD=OCsinÐAOC =4´ =2 2，
2
1 1
∴S = OD×CD= ´2 2´2 2 =4，
△COD 2 2
45
∴S = ´π´42 =2π，
扇形AOC 360
∴S =S -S =2π-4．
阴影 扇形AOC △COD
1
【解直角三角形】3．如图，在
V
ABC中，ÐACB=90°，点D是AB上一点，且ÐBCD= ÐA，点O在BC
2
上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
(1)试判断直线AB与
e
O的位置关系，并说明理由；
3
(2)若sinB= ,
e
O的半径为3，求AC的长．
5
【答案】(1)直线AB与
e
O相切，理由见解析
(2)6
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理，得到ÐBOD=2ÐBCD=ÐA，进而得到ÐB+ÐA=ÐB+ÐBOD=90°，即可得出AB与
e
O相切；
（2）解直角三角形ODB，求出OB的长，进而求出BC的长，再解直角三角形ACB，求出AC的长即可．
【详解】（1）解：直线AB与
e
O相切，理由如下：
连接OD，则：ÐBOD=2ÐBCD，
1
∵ÐBCD= ÐA，即：2ÐBCD=ÐA，
2
∴ÐBOD=ÐA，
∵ÐACB=90°，
∴ÐB+ÐBOD=ÐB+ÐA=90°，
∴ÐODB=90°，
∴OD^ AB，
∵OD为
e
O的半径，
∴直线AB与
e
O相切；
3
（2）解：∵ÐODB=90°，sinB= ,
e
O的半径为3，
5
OD 3
∴OD=OC =3,sinB= = ，
OB 5
∴OB=5，
∴BC =OB+OC =8，
∵ÐACB=90°，
AC 3
∴sinB= = ，
AB 5
设：AC =3x,AB=5x，
则：BC = AB2-AC2 =4x=8，
∴x=2，
∴AC =3x=6．
【相似】4．如图，AB是
e
O的直径，点C为
e
O上一点，过点O作BC的垂线，交过点B的切线于点D，OD交
e
O于点E，连接AE交BC于点H．
(1)求证：ÐD=ÐAEC．
4
(2)若
e
O的半径为10，cosA= ，求BH 的长．
5
【答案】(1)见解析
(2)BH =15
【分析】（1）由切线的性质得ÐABC+ÐFBD=90°；由BC^OD得ÐFBD+ÐD=90°，从而有ÐD=ÐABC；
再由同弧对的圆周角相等得ÐD=ÐABC，从而得结论成立；
（2）连接BE，由余弦函数关系可求得AE，进而由勾股定理求得BE；由垂径定理及线段垂直平分线的性
BH 5
质得BE=CE=12，再证明△ABH∽△CEH ，得 = ,设BH =5x，则EH =3x，在Rt△BEH 中，由勾股
EH 3
定理建立方程，可求得x的值，从而求得BH ．
【详解】（1）证明：∵BD是
e
O的切线，
∴ÐOBD=90°，
∴ÐABC+ÐFBD=90°．
∵BC^OD，
∴ÐFBD+ÐD=90°，
∴ÐD=ÐABC．
∵ÐABC =ÐAEC，
∴ÐD=ÐAEC．
（2）解：连接BE，如图所示，
∵AB是
e
O的直径，
e
O的半径为10，
∴ÐAEB =90°，AB=20．
4
∵在Rt AEB中，cosA= ，
V
5
4
∴EA= AB×cosA=20´ =16，
5∴BE= AB2-EA2 = 202-162 =12．
∵OE^BC，
∴BF =CF，
∴BE=CE，
∴BE=CE=12．
∵ÐA=ÐC，ÐABC =ÐAEC，
∴△ABH∽△CEH ，
AB BH 20 5
∴ = = = ．
CE EH 12 3
设BH =5x，则EH =3x．
∵在Rt△BEH 中，BE2+EH2 =BH2，
∴122+3x2 =5x2，
∴x=3（负值已舍去），
∴BH =5´3=15
【相似】5．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点P，过点B作EB^BD，交DC的延长线于点E，以
BE为直径作
e
O．
(1)判断直线PC与
e
O的位置关系，并说明理由；
(2)若BC =8,PC =5，求
e
O的直径．
【答案】(1)相切，理由见解析
40
(2)
3【分析】本题主要考查矩形的性质，切线的判定以及相似三角形的判定与性质，证明△BCD∽△EBD是解
答本题的关键．
（1）连接OC，证明PC ^OC即可；
（2）求出CD=6，证明△BCD∽△EBD，运用相似三角形的性质可得结论．
【详解】（1）解：直线PC与
e
O相切，理由如下：
如图，连接OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ÐBCD =90°,PB = PC ，
∴ÐBCE=90°,ÐPBC =ÐPCB，
∵BE为
e
O的直径，
∴点C在
e
O上，
∴OC为
e
O的半径，OC =OB，
∴ÐOBC =ÐOCB．
∴ÐPBC+ÐOBC=ÐPCB+ÐOCB，即ÐDBE=ÐPCO，
又∵EB^BD，
∴ÐDBE=90°，
∴ÐPCO=90°，即PC ^OC，
∵OC为
e
O的半径，
∴直线PC与
e
O相切；
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，PC=5，
∴BD=AC=2PC=10，
∴CD= BD2-BC2 = 102-82 =6，
∵ÐBCD=ÐDBE=90°,ÐBDC =ÐEDB，
∴△BCD∽△EBD．CB CD
∴ = ，
BE BD
8 6
∴ = ，
BE 10
40
∴BE = ，
3
40
∴e O的直径为 ．
3
押题猜想十三 二次函数图像与性质（解答题）
限时：15min
æ 1 11ö
（原创）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点坐标为 ç- , ÷ ．
è 2 4 ø
(1)求二次函数的表达式；
(2)将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移mm>0个单位长度后，恰好落在y=x2+bx+c的图象上，
求m的值；
(3)当n£ x£2时， 二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值差为5，则n的值为 ．
【答案】(1)y=x2+x+3
(2)m的值为4
-1+ 5
(3)n的值为：
2
【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，
（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
æ 5 11 ö
（2）先求顶点出平移后的坐标ç- , +m÷，然后把坐标代入解析式即可；
è 2 4 ø
1
（3）分为- <n£2，-3£n£2时，n<-3时，建立方程解题即可．
2
æ 1 11ö
【详解】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点坐标为 ç- , ÷ ．
è 2 4 ø
æ 1ö 2 11
∴二次函数的解析式为y=çx+ ÷ + ，
è 2ø 4
æ 1ö 2 11
∴y=çx+ ÷ + =x2+x+3；
è 2ø 4æ 1 11ö æ 5 11 ö
（2）解：将ç- , ÷顶点向左平移2个单位长度，再向上平移mm>0个单位长度后的坐标为：ç- , +m÷，
è 2 4 ø è 2 4 ø
11 æ 5ö 2 æ 5ö
则 +m=ç- ÷ +ç- ÷+3，
4 è 2ø è 2ø
解得m=4，
∴m的值为4；
æ 1ö 2 11 1
（3）解：∵y=çx+ ÷ + 的对称轴为直线：x=- ，
è 2ø 4 2
1
当- <n£2时，
2
∴函数最大值为：y=22+2+3=9，
函数最小值为y=n2+n+3，
∴9-n2-n-3=5，即n2+n-1=0，
-1+ 5 -1- 5
解得：n = ，n = （不符合题意，舍去）
1 2 2 2
-1+ 5
∴n= ；
2
当-3£n£2时，
∴函数最大值为：y=22+2+3=9，
11
函数最小值为y= ，
4
11 25
∴9- = ¹5，不符合题意；
4 4
当n<-3时，
∴函数最大值为：y=n2+n+3，
11
函数最小值为y= ，
4
11 19
∴n2+n+3- =5，即n2+n- =0，
4 4
-1-2 5 -1+2 5
解得：n = ，n = （不符合题意，都舍去）；
1 2 2 2
-1+ 5
综上：n的值为： ．
2
押题解读本考点为重要考点，二次函数图象性质出现在解答题单独考查是24年省中考出现的新型题目，目前考查难
度不大，研究了新中考地区的25年模拟题大多也是以最值和范围类型的问题考查。
【最值】1. 已知二次函数y=-x2+bx+c．
(1)若该二次函数的图象经过1,6，-2,-9两点．
①求该二次函数的表达式；
②当-1£x£3时，求y的取值范围．
(2)当x£0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数图象与x轴交点间的距离．
【答案】(1)①y=-x2+4x+3；②-2≤y≤7
(2)二次函数图象与x轴交点间的距离为2 3
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）①待定系数法求出函数解析式即可；②根据增减性求最值即可；
（2）根据题意，易得抛物线有最大值为3，抛物线的开口向下，且当x=0时y=2，求出函数解析式式，
进而求出与x轴的交点坐标，即可．
ì -1+b+c=6
【详解】（1）解：①根据题意，得í ，
î-4-2b+c=-9
ìb=4
解这个方程组，得í
îc=3
\二次函数的表达式为y=-x2+4x+3
②y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7，
\函数的图象抛物线的顶点坐标为(2,7)，开口向下，
\当-1£x<2时，y随x的增大而增大，当2<x£3时，y随x的增大而减小
\当x=2时，y有最大值7，
又当x=-1时，y=-2，当x=3时，y=6，
\-2£ y£7，
（2）
Q
当x£0时，y的最大值为2，当x>0时，y的最大值为3，b
\抛物线的对称轴x= 在y轴的右侧，
2
\b>0，
Q
函数的图象抛物线开口向下，当x£0时，y的最大值为2，
\c=2，
4ac-b2 4´(-1)´c-b2
= =3，
Q
4a 4´(-1)
\b=±2，
又b>0
\b=2，
\y=-x2+2x+2．
当y=-x2+2x+2=0时，得：x =1+ 3，x =1- 3，
1 2
\抛物线与x轴的交点坐标为(1+ 3,0)，(1- 3,0)，
\二次函数图象与x轴交点间的距离为1+ 3-(1- 3)=2 3．
【两点间距离公式】2．在平面直角坐标系xOy中，点P(2,4)在二次函数y=ax2+2x+c(a>0)的图象上，
(1)用含a的代数式表示c=______________________；
(2)当0£ x£2时，求二次函数的最大值；
(3)已知直线y= x与抛物线y=ax2+2x+c(a>0)相交于A，B两点，若2 10 £ AB<8，求a的取值范围．
【答案】(1)-4a
(2)当x=2时，函数有最大值为4
1 1
(3) <a£
4 2
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，抛物线与直线的交点形成的“弦
长”问题．
（1）将点P(2,4)代入y=ax2+2x+c(a>0)即可求解；
1
（2）确定二次函数解析式y=ax2+2x-4a，由于对称轴直线x=- <0，开口向上，再根据二次函数的性
a
质即可求解；
（3）设y=ax2+2x-4a的图象与直线y= x交点为Ax,y ,Bx ,y x <x ．联立解析式得
1 1 2 2 1 21
ax2+2x-4a=x，则x -x = x +x 2 -4x ×x ，由根与系数的关系代入得到x -x = +16，而
2 1 1 2 1 2 2 1 a2
AB= x -x 2 +y -y 2 = 2x -x ，再解不等式即可．
1 2 1 2 2 1
【详解】（1）解：由题意将点P(2,4)代入y=ax2+2x+c(a>0)得：4a+4+c=4，
∴c=-4a
（2）解：由（1）得c=-4a
\二次函数解析式：y=ax2+2x-4a
a>0
Q
1
\对称轴为直线x=- <0
a
0£x£2
Q
\当x=2时，函数有最大值为y=4a+4-4a=4；
（3）解：设y=ax2+2x-4a的图象与直线y= x交点为Ax,y ,Bx ,y x <x ．
1 1 2 2 1 2
则有y =x,y =x ，
1 1 2 2
联立解析式得ax2+2x-4a=x，即ax2+x-4a=0，
1
\x +x =- ,x ×x =-4，
1 2 a 1 2
x -x = x +x 2 -4x ×x ，
Q 2 1 1 2 1 2
1
\x -x = +16，
2 1 a2
∵AB= x -x 2 +y -y 2 ，
2 1 2 1
∴AB= x -x 2 +x -x 2 = 2x -x ，
2 1 2 1 2 1
2 10 £ AB<8，
Q
\2 5£x -x <4 2，
2 1
1
\2 5£ +16 <4 2
a2
1 1
即 <a£ ．
4 2
【图象性质】3．已知二次函数y=ax2-(a-2)x+2(a¹0)．
(1)若函数图象经过点(3,2)，求抛物线的对称轴．(2)若a>0，当x³-1时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．
æ 1 ö æ 1 ö
(3)若Aç1- ,b÷，Bç3- ,c÷两点都在二次函数的图象上，试比较b与c的大小，并说明理由．
è a ø è a ø
3
【答案】(1)x=
2
2
(2)0<a£
3
(3)当a>0时，b<c；当a<0时，b>c，见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
（1）先把点(3,2)代入二次函数y=ax2-(a-2)x+2(a¹0)求出二次函数解析式，然后求出抛物线的对称轴
即可；
（2）根据当x³-1时，y随x的增大而增大，得出抛物线在对称轴右侧y随x的增大而增大，根据a>0，
a-2
列出关于a的不等式 £-1，解不等式即可；
2a
1 1 æ 1 ö æ 1 ö
（3）先求出抛物线的对称轴为直线x= - ，根据Aç1- ,b÷，Bç3- ,c÷，得出点A，点B在对称轴的
2 a è a ø è a ø
右侧，分两种情况：当a>0时，当a<0时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：将点(3,2)代入二次函数y=ax2-(a-2)x+2(a¹0)，
得9a-3a-2+2=2，
解得a=-1，
\抛物线的表达式为y=-x2+3x+2，
3 3
\抛物线的对称轴为直线x=- = ．
2´-1 2
（2）解：
Q
a>0，当x³-1时，y随x的增大而增大，
\抛物线在对称轴右侧y随x的增大而增大，
a-2
抛物线的对称轴为直线x= ，
Q
2a
a-2
\ £-1，
2a
2
解得：a£ ，
3
2
∴0<a£
3
1 1
（3）解：
Q
抛物线的对称轴为直线x= - ，
2 a1 1 1 1
\ - <1- <3- ，
2 a a a
æ 1 ö æ 1 ö
∵Aç1- ,b÷，Bç3- ,c÷，
è a ø è a ø
∴点A，点B在对称轴的右侧，
①当a>0时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
1 1
1- <3- ，
Q
a a
\b<c．
②当a<0时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
1 1
1- <3- ，
Q
a a
\b>c．
综上，当a>0时，b<c；当a<0时，b>c．
【对称点】4．已知抛物线y=ax2+bx+ca<0，Mx,y ，Nx ,y 是抛物线上两点，抛物线的对称轴
1 1 2 2
是直线x=t．
(1)当t =3时，
①直接写出b与a满足的等量关系；
②若y = y ，则x +x =_____．
1 2 1 2
(2)已知x =t-1，x =t+3，点Cx ,y 在抛物线上．当2<x <3时，总有y > y > y ，求t的取值范围．
1 2 3 3 3 1 3 2
【答案】(1)①b=-6a；②6
(2)t的取值范围是0£t£2或4£t£5
【分析】（1）①利用对称轴公式求得即可；
②利用二次函数的对称性即可求解；
（2）由题意可知Mx,y 在对称轴的左侧，Nx ,y 在对称轴的右侧，点C到对称轴的距离小于点N到
1 1 2 2
对称轴的距离大于点M到对称轴的距离，据此即可得到关于t的不等式组，解不等式组即可．
b
【详解】（1）解：①∵t =- =3，
2a
∴b=-6a；
②∵Mx,y ，Nx ,y 是抛物线上两点，
1 1 2 2
∴点Mx,y ，Nx ,y 关于对称轴对称，
1 1 2 2∵抛物线的对称轴为直线x=3，
x +x
∴ 1 2 =3，
2
∴x +x =6．
1 2
故答案为：6；
（2）解：由x =t-1，x =t+3可知，Mx,y 在对称轴的左侧，Nx ,y 在对称轴的右侧，抛物线开口
1 2 1 1 2 2
向下，
∵点Cx ,y 在抛物线上，2<x <3，
3 3 3
∴点Cx ,y 关于对称轴的对称点为2t-x ,y ，
3 3 3 3
∴2t-3<2t-x <2t-2，
3
当点Cx ,y 在对称轴的左侧时，
3 3
∵当2<x <3时，总有y > y > y ，
3 1 3 2
ì t-1³3
∴í ，解得4£t£5；
î2t-2£t+3
当点Cx ,y 在对称轴的右侧时，
3 3
∵当2<x <3时，总有y > y > y ，
3 1 3 2
ì t+3³3
∴í ，解得0£t£2；
î2t-3£t-1
∴t的取值范围是0£t£2或4£t£5．
【平移】5．已知抛物线G:y =mx2 -2mx-8m(m¹0)．
(1)当y=0时，求x的值；
(2)点Q(a,b)是抛物线上一点，若m<0，且a³0时b£6，求m的值；
(3)当m=-1时，把抛物线G向下平移n(n>0)个单位长度得到新抛物线H，如果抛物线H与x轴的一个交点
的坐标为(x,0)，且-1<x <1，请求出n的取值范围．
1 1
【答案】(1)x=-2或x=4
2
(2)m=-
3(3)5<n<9
【分析】本题考查的是求解抛物线与x轴的交点坐标，抛物线的性质，求解抛物线的解析式，抛物线的平
移，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
（1）依据题意，由y=mx2-2mx-8m=mx2-2x-8=0，结合m¹0，从而可以判断得解；
（2）依据题意，y=mx2-2mx-8m=m  x2-2x-8  =m(x-1)2-9m，又m<0，从而当x=1时，函数
y=m(x-1)2-9m有最大值为-9m，又此时点Q(a,b)是抛物线上一点，a³0时，都有b£6，进而-9m=6，
故可以得解；
（3）依据题意，当m=-1时，抛物线G为y=-(x-1)2+9，从而表示出H为y=-(x-1)2+9-n，抛物线H
与x轴的一个交点的坐标为x,0，且-1<x <2，从而若当x =-1时，y=5-n=0，结合二次函数的性质，
1 1 1
n>5，又抛物线H与x轴有交点，故9-n³0，进而可以得解．
【详解】（1）解：由题意，y=mx2-2mx-8m=mx2-2x-8=0，
又 m¹0，
Q
\x2-2x-8=0，
\(x-4)(x+2)=0，
\x=4或x=-2．
（2）解：由题意，y=mx2-2mx-8m=m  x2-2x-8  =m(x-1)2-9m，
m<0，
Q
∴当x=1时，函数y=m(x-1)2-9m有最大值为-9m，
又此时点Q(a,b)是抛物线上一点，a³0时，都有b£6，
\-9m=6，
2
\m=- ．
3
（3）解：由题意，当m=-1时，抛物线G为y=-(x-1)2+9，
∴把抛物线G向下平移n(n>0)个单位长度得到新抛物线H为y=-(x-1)2+9-n，
∵抛物线H与x轴的一个交点的坐标为x,0，且-1<x <2，
1 1
又若当x =-1时，y=5-n=0，
1\n=5，
∵开口向下，
\n>5，
又 ∵抛物线H与x轴有交点，
\9-n³0，
\n£9，
\5<n£9．
押题猜想十四 二次函数实际问题
限时：15min
（原创）【项目式学习】
【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜
【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，
对蔬菜喷水管建立数学模型，菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、
逆时针往返喷洒．
【项目素材】
素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出
的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y
轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点．
素材二：乙小组测得种植农民的身高为1.75米，他常常往返于菜地之间．
素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．【项目任务】
2
(1)任务一：丁小组测量得喷头的高OA= 米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，
3
其中喷出的水正好经过一个直立木杆EF的顶部F处，木杆高EF =3米，距离喷水口OE=4米，求出水柱所
在抛物线的函数解析式．
(2)任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，求p的取值范围．
(3)任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口
的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（直接写出答案，精确到0.1米）．
1 5 2
【答案】(1)y=- x2+ x+
6 4 3
13
(2)p的取值范围为1< p<
2
(3)薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是8.4米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米
æ 2ö 2
【分析】（1）根据题意得到Aç0, ÷，D8,0，E4,0，F4,3，设抛弧线的解析式为：y=ax2+bx+ ，
è 3ø 3
利用待定系数法求解，即可得到抛物线的解析式；
（2）根据这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，结合农民最高点坐标为p,1.75，以及
二次函数性质求解，即可解题；
（3）根据薄膜所在平面和地面的夹角是45°，设薄膜所在平面的直线解析式为y=-x+m，当抛物线与薄膜
1 5 2
所在平面相切时（即只有一个交点），有-x+m=- x2+ x+ ，即b2-4ac=0，求出m的值，得到薄膜所
6 4 3
在平面的直线解析式，根据喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米，推出薄膜所在的直线应向右平移0.1米，
利用平移的规律得到平移后的解析式，即可解题．
æ 2ö
【详解】（1）解：由题可知：Aç0, ÷，D8,0，E4,0，F4,3，
è 3ø
2
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+ ，
3
2
将F4,3，D8,0代入y=ax2+bx+ 得：
3ì 2
16a+4b+ =3
ï
ï 3
í ，
2
ï64a+8b+ =0
ïî 3
ì 1
a=-
ï
ï 6
解得：í ，
5
ïb=
ïî 4
1 5 2
\抛物线的解析式为：y=- x2+ x+ ；
6 4 3
（2）解：由题可知：农民常常往返于菜地之间，则此时农民最高点坐标为p,1.75，
1 5 2 1 5 2
将其代入y=- x2+ x+ 得：1.75=- p2+ p+ ，
6 4 3 6 4 3
整理得2p-13p-1=0，
13
解得：p = ， p =1，要农民不会被水淋到，
1 2 2
13
则1< p< ，
2
13
综上：p的取值范围为1< p< ；
2
（3）解：由题知，薄膜所在平面和地面的夹角是45°，设薄膜所在平面的直线解析式为y=-x+m，
1 5 2
当抛物线与薄膜所在平面相切时，有-x+m=- x2+ x+ ，
6 4 3
整理得2x2-27x+12m-8=0，
有b2-4ac=-272-4´2´12m-8=0，
793
解得m= »8.3，
96
\薄膜所在平面的直线解析式为y=-x+8.3，
Q
喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米，
即薄膜所在的直线应向右平移0.1米，
\平移后的直线解析式为y=-x-0.1+8.3=-x+8.4，
当y=0时，-x+8.4=0，解得x=8.4，
\薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是8.4米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米．
押题解读本考点为必考考点，预测25年二次函数问题的考察方向为：抛物线型实际问题。
解决函数应用问题的一般步骤为：（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系；(2)建模：将文
字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；
(4) 还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题．
【轨迹问题】1. 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水
平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表．
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离
0 10 20 30 40 …
x/m
飞行高度y/m 0 18 32 42 48 …
探究发现：x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式
和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据
上面的探究发现解决下列问题．
1
【答案】探究发现：x=5t，y=- t2+10t；问题解决：（1）飞机落到安全线时飞行的水平距离为100m；
2
（2）发射平台相对于安全线的高度的变化范围为大于62.5m，小于78m
【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识点．
探究发现：利用待定系数法求解即可；
1
问题解决：（1）依题意得：- t2+10t =0，求解即可得出答案；
2
1
（2）设发射平台相对于安全线的高度为nm，飞机相对于安全线的飞行高度y¢=- t2+10t+n，结合
225<t<26，即可求解．
【详解】探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设x=kt，y=at2+bt，
ì4a+2b=18
由题意得：10=2k，í ，
î16a+4b=32
ì 1
ïa=-
解得：k =5，í 2，
î
ïb=10
1
∴x=5t，y=- t2+10t；
2
1
问题解决：（1）依题意得：- t2+10t =0，
2
解得：t =0（舍去），t =20，
1 2
当t=20时，x=100，
∴飞机落到安全线时飞行的水平距离为100m；
1
（2）设发射平台相对于安全线的高度为nm，飞机相对于安全线的飞行高度y¢=- t2+10t+n，
2
∵125< x<130，
∴125<5t<130，
∴25<t<26，
1
在y¢=- t2+10t+n中，当t=25，y¢=0时，n=62.5，
2
当t=26，y¢=0时，n=78，
∴62.5<n<78，
∴发射平台相对于安全线的高度的变化范围为大于62.5m，小于78m．
【拱桥问题】2．某城市计划在滨河步道AB上方搭建一座抛物线型观景台．根据以下素材探索完成任务．
【素材1】如图1，步道AB的宽为20m，观景台拱顶最高处距离地面为8m．
【素材2】如图2，为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求两个支撑
柱关于桥拱对称轴对称．支撑柱CD=EF =4m．
【素材3】如图3，在两个支撑柱上搭一个限高横杆CE，为提升景观效果，现要在横杆CE上方设置一个矩
形宣传牌，要求宣传牌满足以下条件：①宣传牌在观景台内部，且一边落在CE上；②矩形长、宽均为整
数；③宣传牌关于观景台的对称轴对称；④矩形面积为20m2．(1)以步道AB的中点为原点，求出抛物线的解析式；
(2)求两个支撑柱之间的距离（不考虑柱体厚度）；
(3)设计宣传牌方案：给出符合要求的宣传牌尺寸，并说明理由．
【答案】(1)y=-0.08x2+8(-10£x£10)
(2)10 2m
(3)矩形宣传牌的长为10m，宽为2m，左上方顶点的坐标是(-5,6)，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法解答即可求解；
（2）把y=4代入（1）所得函数解析式求出x的值即可求解；
（3）设矩形宣传牌为矩形MNPQ，且边NP落在CE上，拱桥的最高点到CE的距离为8-4=4m，且矩形
MNPQ长、宽均为整数，可得MN的值可以为1，2，3，进而根据矩形的面积及CE的长可得MN =2，
NP=10，据此解答即可求解；
本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：设最高点为H，
由题意得，H0,8，
AB=20，
Q
\OB=10，
\B(10,0)，
设抛物线的解析式为y=ax2+c，把B10,0和H0,8代入得，
ì100a+c=0
í ，
îc=8
ìa=-0.08
解得í ，
îc=8
\抛物线的函数表达式为y=-0.08x2+8(-10£x£10)；（2）解：令y=4，则-0.08x2+8=4，
解得x =-5 2，x =5 2，
1 2
∴两个支撑柱之间的距离是10 2m；
（3）解：如图，设矩形宣传牌为矩形MNPQ，且边NP落在CE上，
∵拱桥的最高点到CE的距离为8-4=4m，且矩形MNPQ长、宽均为整数，
∴ MN的值可以为1，2，3，
又∵矩形宣传牌的面积为20m2，
∴有下列2种初步的设计方案：
①MN =1，NP=20；②MN =2，NP=10；
CE=10 2<20，
Q
∴方案①不合题意，
∴MN =2，NP=10，此时点M 到路面的距离为6，
10
∵当x= =5时，y=-0.08x2+8=6m，
2
∴此时宣传牌左上方顶点M 的坐标是-5,6，符合题意，
综上所述，矩形宣传牌的长为10m，宽为2m，左上方顶点的坐标是(-5,6)．
【图形问题】3．许多数学问题源于生活．如图①是撑开后的户外遮阳伞，可以发现数学研究的对象一抛物
线．在如图②所示的平面直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物
线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．设点A、C，的坐标分别是6,2，0,4．(1)求抛物线对应的函数表达式（不要求写自变量x取值范围）；
(2)如图③，分别延长AO，BO交抛物线于点E，F，求E，F两点之间的距离；
(3)如图③，以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S ，将抛物线向左平移m(m>0)个单位，得
1
到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S ．若S =2S ，求m的值．
2 1 2
1
【答案】(1)y=- x2+4
18
(2)24
(3)6或6 3
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+c，把点A，C的坐标代入，即可求解；
ì 1
y= x
ï
1 ï 3
（2）运用待定系数法求出直线OA的解析式为y= x，解方程组í 得到点E的坐标，根据对
3 1
ïy=- x2+4
ïî 18
称得到点F的坐标，进而可解答；
1 æ 1 ö
（3）设平移后的抛物线解析式为y=- x+m2+4，则得到此时抛物线与 y轴的交点Dç0,- m2+4÷，
18 è 18 ø
1 1
根据S = S ，结合两个三角形的底相同，即可得到OD= OC，进而即可解答．
2 2 1 2
【详解】（1）解：设抛物线对应的函数关系式为：y=ax2+c，
ì36a+c=2
由题意得，把A6,2，C0,4代入得，í
î c=4
ì 1
ïa=-
\í 18．
ï î c=4
1
\抛物线对应的函数关系式为：y=- x2+4
18
（2）解：设直线OA的关系式为：y=kx
直线OA经过点A(6,2)
Q1
\6k =2，即k =
3
1
\直线OA的关系式为：y= x
3
ì 1
y= x
ï
ï 3
\解方程组í
1
ïy=- x2+4
ïî 18
ìx =-12 ìx =6
\í 1 ，í 2
î y =-4 îy =2
1 2
\点E的坐标为(-12,-4)，根据对称性可得点F的坐标为(12,-4)
\EF =12-(-12)=24；
1
（3）解：设平移后的抛物线对应的关系式为：y=- x+m2+4
18
1
令x=0，则y=- m2+4
18
æ 1 ö
此时抛物线与y轴的交点设为Dç0,- m2+4÷
è 18 ø
平移后抛物线和x轴交点间的距离不变，又S =2S
Q 1 2
1 1 1
则OD= OC，即 - m2+4 = ´ 4
2 18 2
解得m的值为m=±6或m=±6 3（舍去负值）
\m的值为6或6 3
【销售问题】4．综合与实践
【项目背景】
九（1）班同学帮助回乡创业的王叔叔团队在线上销售一种农产品．具体任务是：提出合理销售价格建议，
取得较好销售利润．经调查：去年线上销售这种农产品的年销售量y（万斤）与售价x（元/斤）之间的关
系如图所示．
【解决问题】(1)假设这种农产品价格不超过15元/斤．
（i）求去年销售这种农产品的年销售量y与售价x之间的函数表达式（不要求写自变量x的取值范围）；
（ii）销售这种农产品时，如果各种销售成本总计为8元/斤，要确保今年利润在20万元以上，按去年经验，
求今年这种农产品的售价范围；
(2)关于今年销售这种农产品增加如下信息：①此种农产品的批发价为4元/斤；②销售这种农产品需先投入
成本20万元（不含以批发价购入这种农产品所需资金）；③市场管理部门规定这种农产品的售价不超过30
元/斤．结合今年和去年的销售信息，这种农产品的售价为多少元时，获得的年利润最大？最大年利润是多
少？
【答案】(1)（i）y=-x+20；（ii）10<x£15
(2)售价为30元/斤时，销售此种农产品的年利润最大，最大年利润为136万元
【分析】本题考查了二次函数的最大利润，二次函数的解析式，二次函数的图象性质，一次函数的解析式，
一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）（i）先设年销售量y与售价x之间的函数表达式为y=kx+bk ¹0，再运用待定系数法求解，即可作
答．
（ii）设今年销售这种农产品的利润为w 万元，根据销售成本总计为8元/斤，得
1
w =x-8-x+20=-x2+28x-160，再结合二次函数的图象性质以及利润在20万元以上进行分析，即可
1
作答．
（2）设今年销售这种农产品的利润为w 万元，再进行分类讨论，当0< x£15时，w =-x-122+44，当
2 2
15<x£30时，w =6x-44，故w 随x的增大而增大，即可作答．
2 2
【详解】（1）解：（i）设去年销售这种农产品的年销售量y与售价x之间的函数表达式为y=kx+bk ¹0．
将0,20，15,5代入y=kx+b，
ìb=20，
得í
î15k+b=5，
ìb=20，
解得í
îk =-1，
即函数表达式为y=-x+20；
（ii）按去年经验，设今年销售这种农产品的利润为w 万元，
1则w =x-8-x+20=-x2+28x-160，
1
令w =20，即-x2+28x-160=20，
1
解得x=10或x=18（不符合题意，舍去），
∵w =-x2+28x-160的-1<0，
1
开口向下，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，
∴10<x<18，
∵这种农产品价格不超过15元/斤．
∴当w >20时，10<x£15，
1
即今年这种农产品的售价范围为10<x£15．
（2）解：结合今年和去年的销售信息，设今年销售这种农产品的利润为w 万元．
2
当0< x£15时，w =x-4-x+20-20=-x2+24x-100，
2
则配方得w =-x-122+44，
2
∵-1<0，
∴开口向下，即售价为12元/斤时，销售此种农产品的年利润最大，最大年利润是44万元；
当15<x£30时，w =6x-4-20，
2
即w = 6x-44．
2
6>0，
Q
\w 随x的增大而增大，
2
即当x=30时，w 最大为6´30-44=136（万元）.
2
综上可知，当售价为30元/斤时，销售此种农产品的年利润最大，最大年利润为136万元．
【投球问题】5．【发现问题】
投掷实心球是某市中考体育考试项目之一，李明发现实心球从出手到落地的过程中，
实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．
【提出问题】
实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？
【分析问题】李明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）
的数据如表：
水平距离
0 2 4 5 6 8 9
x/m
竖直高度
2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1
y/m
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，李明发现其图象是二次函数的
一部分．
【解决问题】
(1)在李明投掷过程中，出手时实心球竖直高度是________m，实心球在空中的最大高度是________m；
(2)求满足条件的二次函数的解析式；
(3)根据该市中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等
于9.75m时，即可得满分10分，李明在此次考试中能否得到满分，请说明理由．
【答案】(1)2，3.6
(2)y=-0.1x-42+3.6
(3)李明在此次考试中能得到满分，见解析
【分析】（1）根据图表即可求解；
（2）设抛物线的解析式为y=ax-h2+k，通过图表求出抛物线的顶点，再代入0,2即可求出解析式；
（3）把y=0代入y=-0.1x-42+3.6，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果．
【详解】（1）解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为x=0时y的值，
通过图表可得当x=0时，y=2，
得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2m，
由当x=2时，y=3.2；当x=6时，y=3.2，
可得对称轴为直线x=4，
则当x=4时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当x=4时，y=3.6，
得实心球在空中的最大高度是3.6m；
（2）解：设抛物线的解析式为y=ax-h2+k，
由（1）得抛物线的顶点坐标为4,3.6，
则h=4,k =3.6，
得抛物线的解析式为y=ax-42+3.6，
把0,2代入，
得a0-42 +3.6=2，
解得a=-0.1，
∴抛物线的解析式为y=-0.1x-42+3.6；
（3）解：明明在此次考试中能得到满分，理由如下：
把y=0代入y=-0.1x-42+3.6，
得-0.1x-42 +3.6=0，
解得x =10或x =-2（不符合题意，舍去），
1 2
∵10>9.75，
∴明明在此次考试中能得到满分．
押题猜想十五 几何综合：类比探究
限时：17min
（原创）．数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF利一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若
AE=1，AB=2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转a(0°£a£90°)角，观察图形的变化，完成探究活动．(1)【初步探究】
如图1，BE和DF的数量关系是______．
如图2，连接BE，DF，并延长，延长线相交于点G，BG交AD于点M ．
问题1：BE和DF的位置关系______．数量关系______．
(2)【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题：
问题2：如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA=OD=OG．
(3)【尝试应用】
问题3：在图4中画出旋转角a为60°的图形，并求出当旋转角a从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．
【答案】(1)相等，垂直，相等
(2)见解析
2
(3) π，图见解析
3
【分析】（1）如图1，根据正方形和等腰直角三角形的性质和判定求解即可；如图2，由四边形ABCD是正
方形，△AEF 是等腰直角三角形，AE=1，证明△BAE≌△DAF，再进一步可得结论；
（2）如图3，由ÐBAD=90°,ÐBGD=90°，再结合直角三角形斜边上的中线的性质可得结论；
（3）如图4，证明G在以O为圆心，OD为半径的
e
O上，过F作FN ^ AD于N ，当ÐBAE=a=60°时，
证明ÐAFD=90°，可得ÐADF =30°,ÐAOG=2ÐADF =60°，证明四边形AEGF 是正方形，可得当旋转角a
从0°变化到60°时，G在 上运动，再进一步解答即可；
AG
【详解】（1）解：如图1，BE=FD，
理由如下：如图1，根据题意ÐA=90°,ÐAEF =45°,AB= AD，
∴ÐAEF =ÐAFE =45°，
∴AE=AF，
∴AB-AE= AF-AD，
∴BE=FD，故答案为：相等；
如图2，BE=DF;BE^DF；理由如下：
如图，∵四边形ABCD是正方形，
\AB=BC =CD= AD=2,ÐBAD=90°，
∵△AEF 是等腰直角三角形，AE=1，
\AE= AF =1,ÐEAF =90°，
\ÐBAE=ÐDAF ，
\ BAE≌ DAFSAS，
V V
\BE=DF,ÐABE=ÐADF，
ÐAMB=ÐDMG，
Q
\ÐBGD=ÐBAM =90°，
\BE^DF，
故答案为：垂直，相等．
（2）解：如图，
Q
四边形ABCD是正方形，
\ÐBAD=90°，
∵点O是BD的中点，
\OA=OB=OD，
BE^DF，
Q
\ÐBGD=90°，
Q
点O是BD的中点，
\OG=OB=OD，
\OA=OD=OG．
（3）解：旋转角a为60°的图形如图，
∵ÐBGD=90°,OB=OG=OD，
∴G在以O为圆心，OD为半径的
e
O上，
过F作FN ^ AD于N ，当ÐBAE=a=60°时，
\ÐDAF =a=60°,ÐAFN =30°，
AF = AE=1，
Q
1 1 3
\AN = AF = ,FN = AF2-AN2 = ，
2 2 2
1 3
\DN =2- = ,DF = FN2+DN2 = 3，
2 2
\AF2+DF2 =1+3=4= AD2，
\ÐAFD=90°，
\ÐADF =30°，
\ÐAOG=2ÐADF =60°，
而ÐEAF =ÐEGF =90°,AE= AF =1，
∴四边形AEGF 是正方形，
∴当旋转角a从0°变化到60°时，G在 上运动，
AG
Q
AB=2,OA=OB,AO^BD，
2
\OA=2´ = 2，
2
60p´ 2 2p
∴点G经过路线的长度为 = ．
180 3
押题解读
本考点为必考考点，多为三角形、四边形综合题，以相似三角形的判定和性质为主，结合解直角三角形，
锐角三角函数，勾股定理，平行线，平行四边形等知识解决问题。解题的关键是学会利用参数构建方程解
决问题，属于中考常考题型，难度较大【全等三角形】1. △ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），
以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，
(1)观察猜想：如图 1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为 ；
②BC，CD，CF之间的数量关系为 ；（将结论直接写在横线上）
(2)数学思考：如图 2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；
若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸：如图 3，当点D在线段 BC 的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB＝
2 2，CD=1，请求出GE的长
【答案】(1)①BC⊥CF；②BC＝CF＋CD
(2)BC⊥CF成立；BC＝CD＋CF不成立，CD＝CF＋BC．理由见解析
(3) 10
【分析】（1）由正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，证出△DAB≌△FAC（SAS），由全等三角形的性质
和余角的关系进而得到结论；
②由全等三角形的性质得到CF＝BD，进而得出结论；
（2）推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
（3）过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，证△ADH≌△DEM（AAS），推出EM＝DH
＝3，DM＝AH＝2，推出CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，由△BCG是等腰直角三角形，推出CG＝BC＝4，推
出GN＝CG−CN＝1，再由勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）解：①∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，在△DAB与△FAC中，
ì AD= AF
ï
íÐBAD=ÐCAF ，
ï
î AB= AC
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠B＝∠ACF，
∴∠ACB＋∠ACF＝90°，
即BC⊥CF；
故答案为：BC⊥CF；
②由①得：△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，
∵BC＝BD＋CD，
∴BC＝CF＋CD；
故答案为：BC＝CF＋CD；
（2）解：BC⊥CF成立；BC＝CD＋CF不成立，CD＝CF＋BC．理由如下：
∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
ì AD= AF
ï
íÐBAD=ÐCAF ，
ï
î AB= AC
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°．
∴∠ABD＝180°−45°＝135°，
∴∠BCF＝∠ACF−∠ACB＝135°−45°＝90°，
∴BC⊥CF，
∵CD＝DB＋BC，DB＝CF，∴CD＝CF＋BC；
（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图3所示：
∵∠BAC＝90°，AC＝AB＝2 2，
∴BC＝ 2AB＝4，
∵AH⊥BC，
1
AH＝ BC＝BH＝CH＝2，
2
∴DH＝CH＋CD＝3，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE＝CM，EM＝CN，
∵∠AHD＝∠ADC＝∠EMD＝90°，
∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°，
∴∠ADH＝∠DEM，
∴△ADH≌△DEM（AAS），
∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，
∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BGC＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG＝BC＝4，
∴GN＝1，在Rt△EGN中，由勾股定理得：EG＝ 11+32 = 10 ．
【旋转、对称】2．综合与实践
数学活动∶在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究
线段长度的有关问题．
动手操作：在Rt△ABC中，ÐBAC =90°，AB=6，AC =8，将三角形纸片ABC进行以下操作：
第一步∶如图1，将 DEC沿着DE进行翻折，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；
V
第二步∶如图2，隐去AD，将
V
ABC沿折痕DE剪开，然后将
V
DEC绕点D逆时针方向旋转得到
V
DFG，
点E，C的对应点分别是点F，G，射线GF 与边AC交于点M，（M不与点A重合），与边AB交于点N，线
段DG与AC交于点P．
数学思考：
(1)在图1中，求证∶AD=BD；
(2)在图2中， DEC绕点D旋转的过程中，试判断MF与ME的数量关系，并证明你的结论；
V
(3)在 DEC绕点D旋转的过程中，探究下列问题：
V
①如图3，当GF∥BC时，AM =________；
②如图4，当GF 经过点B时，AM =________．
【答案】(1)见解析
(2)MF =ME，证明见解析
7
(3)①3；②
4
【难度】0.65【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据旋转
的性质求解
【分析】（1）∵根据折叠可知AD=CD，则ÐC =ÐCAD，由ÐC+ÐB=ÐCAD+ÐBAD=90°得到
ÐB=ÐBAD，即可得到AD=BD；
（2）证明Rt
V
DMF≌Rt
V
DMEHL，即可证明结论；
24 32 7
（3）①作AH ^BC于H，交FG于K．求出AH = ，CH = ，证明四边形DFKH是矩形，求出KF =DH = ，
5 5 5
1 9 27
由折叠可知，AE=CE= AC =4，求出AK = ，设AM =x，则ME=MF =4-x，KM = -x，根据勾
2 5 5
股定理列方程，解方程即可得到答案；
25
②证明BM =MC，设BM =MC = y，在Rt ABM 中，由勾股定理列方程即可求出y= ，线段作差即可
V
4
得到答案．
【详解】（1）解：如图1中，∵将 DEC沿着DE进行翻折，使点C与点A重合，
V
∴AD=CD，
∴ÐC =ÐCAD，
在Rt△ABC中，ÐBAC =90°，
∴ÐC+ÐB=ÐCAD+ÐBAD=90°，
∴ÐB=ÐBAD，
∴AD=BD；
（2）MF =ME．
理由：如图2中，连接DM ，
∵ÐDFM =ÐDEM =90°，DM =DM，DF =DE，
∴Rt
V
DMF≌Rt
V
DMEHL，
∴MF =ME．
（3）①如图3中，作AH ^BC于H，交FG于K．在Rt△ABC中，ÐBAC =90°，AB=6，AC =8，
∴BC = AB2+AC2 = 62+82 =10，
1 1
∵S = AB×AC = AH×BC，
VABC 2 2
AB×AC 24
∴AH = = ，
BC 5
32
∴CH = AC2-AH2 = ，
5
∵GF∥BC，
∴ÐFKH =180°-ÐAHC =90°，
∴ÐAKM =ÐFKH =ÐAHC =ÐKFD=90°，
∴四边形DFKH是矩形，
1
又∵AD=CD=BD= BC =5，,
2
7
∴点D为BC的中点，DH =CH -CD= ，
5
7
∴KF =DH = ，
5
1
由折叠可知，AE=CE= AC =4，
2
∴DE是
V
ABC的中位线，
1
∴DE= AB=3，
2
∴DF =DE=3，
∴DF =KH =3，
9
∴AK = AH -KH = ，
5
27
设AM =x，则ME=MF = AE-AM =4-x，KM =KF+MF = -x，
5
∵AK2+KM2 =AM2，æ9ö 2 æ27 ö 2
∴ç ÷ +ç -x÷ =x2，
è5ø è 5 ø
解得x=3，
即AM =3；
故答案为：3
②如图4中，
∵DG=DB=DC，
∴ÐG=ÐDBG，
∵ÐG =ÐC，
∴ÐMBC =ÐC，
∴BM =MC，设BM =MC = y，
在Rt V ABM 中，∵BM2 = AB2+AM2，
∴62+8-y2 = y2，
25
∴y= ，
4
25 7
∴AM = AC-CM =8- = ．
4 4
7
故答案为： .
4
【旋转、相似】3．（问题提出）如图1，在等边
V
ABC内部有一点P，PA=3，PB=4，PC=5，求ÐAPB
的度数．
（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
【尝试解决】将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP¢B，连接PP¢，则 APP¢为等边三角
V
形．\PP¢=PA=3，又
Q
PB=4，PC=5，PP¢2+PB2 =PC2，\
V
BP¢P为 三角形，\ÐAPB的度数为 ．
【类比探究】如图2，在
V
ABC中，ÐBAC =90°，AB= AC，其内部有一点P，若PA=2，PB=1，
PC=3，求ÐAPB的度数．
【联想拓展】如图3，在
V
ABC中，ÐBAC =90°，ÐBCA=30°，其内部有一点P，若PA=3，PB=2，
PC =4 3，求ÐAPB的度数．【答案】【尝试解决】直角，150°；【类比探究】135°；【联想拓展】120°
【分析】尝试解决：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP¢B，连接PP¢，根据旋转的性质，得到
P¢B=5， APP¢为等边三角形，进而得到PP¢=3，ÐAPP¢=60°，再利用勾股定理的逆定理，证明△BP¢P为
V
直角三角形，得到ÐBPP¢=90°，即可求出ÐAPB的度数；
类比探究：将△APC绕点A逆时针旋转90°，得到△AP¢B，连接PP¢，根据旋转的性质，得到P¢B=3， APP¢
V
为等腰直角三角形，进而得到ÐAPP¢=45°，PP¢=2 2，再利用勾股定理的逆定理，证明△BP¢P为直角三
角形，得到ÐBPP¢=90°，即可求出ÐAPB的度数；
联想拓展：如图，以PA为直角边构造直角三角形APP¢，使得ÐAPP¢=30°，ÐPAP¢=90°，先证明 ABC∽ AP¢P，
V V
AB P¢A P¢B AB
得出 = ，进而证明\BAP¢∽
V
CAP，得到 = ，然后利用特殊角的三角函数值，分别求出P¢B=4，
AC PA PC AC
PP¢=2 3，再利用勾股定理的逆定理，证明 BPP¢是直角三角形，得到ÐBPP¢=90°，即可求出ÐAPB的
V
度数．
【详解】尝试解决：解：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP¢B，连接PP¢，
\PA=P¢A=3，ÐPAP¢=60°，PC=P¢B=5，
\ APP¢为等边三角形，
V
\PP¢=PA=3，ÐAPP¢=60°，
PB=4，
Q
\PP¢2+PB2 =32+42 =25，P¢B2 =52 =25，
\PP¢2+PB2 =P¢B2，
\ BP¢P为直角三角形，
V
\ÐBPP¢=90°，
\ÐAPB=ÐAPP¢+BPP¢=60°+90°=150°，
\ÐAPB的度数为150°，
故答案为：直角，150°；
类比探究：解：如图，将△APC绕点A逆时针旋转90°，得到△AP¢B，连接PP¢，由旋转的性质可知，PA=P¢A=2，ÐPAP¢=90°，PC=P¢B=3，
\ APP¢是等腰直角三角形，
V
\ÐAPP¢=45°， PP¢= PA2+P¢A2 =2 2 ，
PB=1，
Q
\PP¢2+PB2 =  2 2 2 +12 =9，P¢B2 =32 =9，
\PP¢2+PB2 =P¢B2，
\ BP¢P为直角三角形，
V
\ÐBPP¢=90°，
\ÐAPB=ÐAPP¢+BPP¢=45°+90°=135°；
联想拓展：解：如图，以PA为直角边构造直角三角形APP¢，使得ÐAPP¢=30°，ÐPAP¢=90°，
ÐBAC =90°，ÐBCA=30°，
Q
\ÐBAC=ÐPAP¢，ÐBCA=ÐAPP¢，
\ ABC∽ AP¢P，
V V
AB AC
\ = ，
P¢A PA
AB P¢A
\ = ，
AC PA
ÐPAP¢=ÐBAP¢+ÐBAP=90°，ÐBAC=ÐCAP+ÐBAP=90°，
Q
\ÐBAP¢=ÐCAP，
\ BAP¢∽ CAP，
V V
P¢B AB
\ = ，
PC AC
AB 3
tanÐBAC= =tan30°= ，
Q
AC 3
P¢B 3
\ = ，
PC 3
PC =4 3，
Q3
\P¢B= ´4 3=4，
3
PA 3
cosÐAPP¢= =cos30°= ，PA=3，
Q
PP¢ 2
\PP¢=2 3，
在 BPP¢中，PB=2，P¢B=4，PP¢=2 3，
V
\PP¢2+PB2 =  2 3 2 +22 =16，P¢B2 =42 =16，
\PP¢2+PB2 =P¢B2，
\△BPP¢是直角三角形，
\ÐBPP¢=90°，
\ÐAPB=ÐBPP¢+ÐAPP¢=90°+30°=120°．
【折叠、全等、相似】4．综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 ABCD
Y
中，BE^ AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明；
独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将
Y
ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，
点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将
Y
ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A'，使
A'B^CD于点H，折痕交AD于点M ，连接A'M ，交CD于点N ．该小组提出一个问题：若此
Y
ABCD的
面积为20，边长AB=5，BC =2 5，求图中阴影部分（四边形BHNM ）的面积．请你思考此问题，直接
写出结果．
22
【答案】（1）EF =BF；见解析；（2）AG=BG，见解析；（3） ．
3【分析】（1）如图，分别延长AD，BF相交于点P，根据平行四边形的性质可得AD//BC，根据平行线的
性质可得ÐPDF =ÐC，ÐP=ÐFBC，利用AAS可证明△PDF≌△BCF，根据全等三角形的性质可得
1
FP=FB，根据直角三角形斜边中线的性质可得EF = BP，即可得EF =BF；
2
1
（2）根据折叠性质可得∠CFB=∠C′FB= ∠CFC′，FC=FC′，可得FD=FC′，根据等腰三角形的性质可得
2
∠FDC′=∠FC′D，根据三角形外角性质可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，
1
即可证明四边形DGBF是平行四边形，可得DF=BG= AB，可得AG=BG；
2
（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，根据平行四边形的面积可求出BH的长，根据折叠的性质可得
A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根据A'B^CD可得A′B⊥AB，即可证明△MBQ是等腰直角三角形，可
得MQ=BQ，根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，进而可证明△A′NH∽△CBH，根据相似三
角形的性质可得A′H、NH的长，根据NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根据相似三角形的性质可求出MQ的
长，根据S =S -S 即可得答案．
阴 △A′MB △A′NH
【详解】（1）EF =BF．
如图，分别延长AD，BF相交于点P，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴ÐPDF =ÐC，ÐP=ÐFBC,
∵F为CD的中点，
∴DF =CF ，
ìÐP=ÐFBC
ï
在△PDF和△BCF中，íÐPDF =ÐC，
ï
îDF =CF
∴△PDF≌△BCF，
∴FP=FB，即F为BP的中点，
1
∴BF = BP，
2
∵BE^ AD，
∴ÐBEP=90°，
1
∴EF = BP，
2
∴EF =BF．（2）AG=BG．
∵将
Y
ABCD沿着BF所在直线折叠，点C的对应点为C'，
1
∴∠CFB=∠C′FB= ∠CFC′，FC' =FC，
2
∵F为CD的中点，
1
∴FC =FD= CD，
2
∴FC' =FD，
∴∠FDC′=∠FC′D，
∵ÐCFC'=∠FDC′+∠FC′D，
1
∴ÐFC'D= ÐCFC'，
2
∴∠FC′D=∠C′FB，
∴DG//FB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC//AB，DC=AB，
∴四边形DGBF为平行四边形，
∴BG=DF，
1
∴BG= AB，
2
∴AG=BG．
（3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，
∵
Y
ABCD的面积为20，边长AB=5，A'B^CD于点H，
∴BH=50÷5=4，
∴CH= BC2-BH2 =2，A′H=A′B-BH=1，∵将
Y
ABCD沿过点B的直线折叠，点A的对应点为A'，
∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，
∵A'B^CD于点H，AB//CD，
∴A'B^ AB，
∴∠MBH=45°，
∴△MBQ是等腰直角三角形，
∴MQ=BQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∴∠A′=∠C，
∵∠A′HN=∠CHB，
∴△A′NH∽△CBH，
CH BH 2 4
∴ = ，即 = ，
A'H NH 1 NH
解得：NH=2，
∵A'B^CD，MQ⊥A′B，
∴NH//MQ，
∴△A′NH∽△A′MQ，
A'H NH 1 2
∴ = ，即 = ，
A'Q MQ 5-MQ MQ
10
解得：MQ= ，
3
1 1 1 10 1 22
∴S =S -S = A′B·MQ- A′H·NH= ×5× - ×1×2= ．
阴 △A′MB △A′NH 2 2 2 3 2 3
【平移、折叠、相似】5．【问题背景】
“综合与实践”课上，王老师带领同学们剪拼图形，用发展的眼光看问题，感受图形的变换美！
【特例感知】
（1）如图（1），纸片ABCD为矩形，且AD=4，AB=2，点E，F分别为边AD，BC的中点，沿EF将纸片剪成两部分，将纸片DEFC沿纸片ABFE的对角线EB方向向上平移．
①当纸片DEFC平移至点E¢与EB的中点O重合时，两个纸片重叠部分FGE¢H的面积与原矩形纸片ABCD
的面积之比是______．
1
②当两个纸片重叠部分FGE¢H的面积与原矩形纸片ABCD的面积之比是 时，则平移距离EE¢为______．
16
【类比探究】
（2）如图（2），当纸片KLMN为菱形，KN =aa>2，ÐN =60°时，将纸片KLMN沿其对角线KM 剪开，
1
将纸片KLM 沿KM 方向向上平移．当两个纸片重叠部分K¢PM 的面积与纸片KLM 的面积之比为 时，求
2
平移距离KK¢（用含a的式子表示）．
【拓展延伸】
（3）某小组将图（2）剪下来的 MKL与图（1）中的四边形ABFE按图（3）的方式放在同一平面内，使
V
点L与点B重合，ML与BF重合．将 MKL从如图（3）所示的起始位置开始绕B点逆时针旋转a0°<a<30°，
V
旋转过程中，边KL与边AE相交于点T，边ML与边EF相交于点S，连接ST．请直接写出旋转过程中
S ，S ，S 之间的数量关系．
△STL △BFS △ABT
2- 2
【答案】（1）①1：8② 2+1或 2-1（2） a，详见解析（3）S = 3S +S ，详见解析
2
VSTL VABT VBFS
【分析】（1）①先求出S = 1 EE¢2，S = 1 2 2-EE¢ 2 ，由中点O为EB的中点，E¢与O重合，
VGE¢E 4 VHE¢B 4
1
得出EE¢= 2 ，进而即可得解；②由两个纸片重叠部分FGE¢H的面积与原矩形纸片ABCD面积之比是 ，
16
得出S = 1 ，然后可得2- 1 EE¢2- 1 2 2-EE¢ 2 = 1 ，解方程即可得解；
四边形FGE¢H 2 4 4 2
2
（2）由平移得 MK¢P∽ MKL，进而可得出MK¢= a，再进行线段和差即可；
V V
2
（3）如图，延长EA到P，使AP=SF，连BP，过点S作SN ^BT 交BT 于点N，过点P作PQ^BT 交BT
3 1
于点Q，利用面积公式求出S = BT×BS，S = BT×BS，得出S = 3S ，进而即可得解；
VLST 4 VBPT 4 VLST VBPT
【详解】（1）①∵AD=4，AB=2，∴S =2´4=8，
矩形ABCD
∵点E，F分别为边AD，BC的中点，
1 1
∴S = S = ´8=4，
矩形ABFE 2 矩形ABCD 2
1 1
∴S = ´S = ´4=2，
VFEB 2 矩形ABFE 2
∵四边形FEAB为正方形，
EF 2
EB= = =2 2
∴ FEB为等腰直角三角形， sin45° 2 ，
V
2
∵四边形D¢E¢F¢C¢在EB上平移，
∴ÐEE¢G=ÐEBF =45°，ÐGEE¢=45°
∴ GE¢E为等腰直角三角形，
V
同理， HE¢B也为等腰直角三角形，
V
1 1 1 1
∴S = ´GE´GE¢= GE2 = sin45°´EE¢2 = EE¢2，
VGE¢E 2 2 2 4
S = 1 ´HB´HE¢= 1 HB2 = 1 sin45°´BE¢2 = 1 BE¢2 = 1 2 2-EE¢ 2 ，
VHE¢B 2 2 2 4 4
∵中点O为EB的中点，E¢与O重合，
1 1
∴EE¢= ´EB= ´2 2 = 2，
2 2
∴S =S -S -S
四边形FGE¢H VFEB VGEE¢ VHE¢B
1 1  2 1  2
= ´2´2- ´ 2 - ´ 2 2- 2
2 4 4
1 1
=2- - =1，
2 2
∴两个纸片重叠部分FGE¢H的面积与原矩形纸片ABCD的面积之比是1:8，
故答案为：1:8；
1
②∵两个纸片重叠部分FGE¢H的面积与原矩形纸片ABCD面积之比是 ，S =2´4=8，
16
矩形ABCD1 1
∴S = ´8= ，
四边形FGE¢H 16 2
∵S =S -S -S =2- 1 EE¢2- 1 2 2-EE¢ 2
四边形FGE¢H VFEB VGEE¢ VHE¢B 4 4
∴2- 1 EE¢2- 1 2 2-EE¢ 2 = 1 ，
4 4 2
∴EE¢= 2+1或EE¢= 2-1，
故答案为： 2-1或 2+1；
（2）∵纸片KLMN为菱形，ÐN =60°，
1
∴S =S = S ，S 和S 为等边三角形，
VMNK VMKL 2 菱形KLMN VMNK VMKL
如图，过M点作MX ^NK 交NK 于点X，
3
∴MX =sin60°MN = a，
2
1 1 3 3
∴S =S = ´NK´MX = ´a´ a= a2，
VMNK VMKL 2 2 2 4
∵纸片KLM 沿KM 方向向上平移，
∴K¢P
P
KL，
MK¢P∽ MKL
V V
1
∵两个纸片重叠部分K¢PM 的面积与纸片KLM 的面积之比为 ，
2
S æMK¢ö 2 æMK¢ö 2 1
∴ VMK¢P =ç ÷ =ç ÷ = ，
S è MK ø è a ø 2
VMNK
2
∴MK¢= a，
22 2- 2
∴KK¢=MK-MK¢=a- a= a，
2 2
（3）如图，延长EA到P，使AP=SF，连BP，过点S作SN ^BT 交BT 于点N，过点P作PQ^BT 交BT
于点Q，
∵ABFE为正方形，
∴BF =BA，ÐABF =ÐF =ÐBAE=90°，
∴ÐF =ÐBAP=90°，
∴V BFS≌ V BAPSAS，
∴ÐFBS =ÐABP，BS =BP，S +S =S ，
VBFS VBAT VBTP
∵ÐSBT =60°，
∴ÐFBS+ÐABT =90°-60°=30°=ÐABP+ÐABT =ÐTBP，
1 1 3
S = ´BT´SN = ´BT´sin60°´BS = BT×BS，
VLST 2 2 4
1 1 1 1
S = ´BT´PQ= ´BT´sin30°´BP= BT×BP= BT×BS，
VBPT 2 2 4 4
3
BT×BS
S 4
∴ VLST = = 3，
S 1
VBPT BT×BS
4
∴S = 3S ，
VLST VBPT
∴S = 3S +S ，
VSTL VABT VBFS