文档内容
2025 年中考数学终极押题猜想（山东专用）
（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）
押题猜想一 由分式方程解的情况或不等式组的解集的情况求参数.....................................1
押题猜想二 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系.....................................................2
押题猜想三 新定义问题.............................................................................................................3
公众号★全科AA+
押题猜想四 规律问题（数字类、图形类）.............................................................................5
押题猜想五 反比例函数k的几何意义.....................................................................................7
押题猜想六 二次函数的图象与性质（选填）.........................................................................9
押题猜想七 几何综合压轴（选填）.......................................................................................11
押题猜想八 统计与概率（解答题）.......................................................................................13
押题猜想九 解直角三角形（解答题）...................................................................................19
押题猜想十 平行四边形（解答题）.......................................................................................25
押题猜想十一 反比例函数与一次函数综合（解答题）...........................................................28
押题猜想十二 圆（解答题）.......................................................................................................32
押题猜想十三 二次函数图像与性质（解答题）.......................................................................35
押题猜想十四 二次函数实际问题（解答题）...........................................................................38
押题猜想十五 几何综合：类比探究（解答题）.......................................................................45
押题猜想一 由分式方程解的情况或不等式组的解集的情况求参数
限时：4min
ì3x+6
ï ³x+2 a 2y
（原创）若关于x的不等式组í 2 有解且最多有4个整数解，且关于y的分式方程 =3-
y-3 3-y
ï î6x-a<1
的解为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ．
押题解读
本考点为重要考点，预测25年中考中会出现选择题或者填空题。由分式方程解的情况求参数、由不等式组解集的情况求参数，为近几年山东各地区的重点内容，两者
结合后综合难度提升。
1-k 1
【分式方程有解】1．若关于x的分式方程2- = 的解是正数，则k的取值范围是 ．
x-2 2-x
2a 4
【分式方程有增根】 2．若分式方程 = +5有增根，则a= ．
x+2 x+2
ax 2
【分式方程无解】 3．若关于x的分式方程 + =3无解，则a的值为 ．
x-2 2-x
ì7-2x£1
【不等式组解集求参数】 4．若关于x的不等式组í 的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ）
îx-m<0
A．5m-6
【不等式组与三边关系】5．线段3,3,m能构成三角形，且使关于x的不等式组í 有解的所有
î-3x+8³3m-4
整数m的和为 ．
ìx-1 x
³ -1
ï
ï 2 3
【不等式组与一元二次方程】6．若关于x的不等式组í 有且仅有4个整数解，且使关于x的一
1
ï3x- m<0
ïî 2
元二次方程x2-(2m+1)x+m2+3=0有实数根，则符合条件的整数m的和为 ．
押题猜想二 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
限时：2min
（原创）若m，n是一元二次方程x2-4x+2=0的两个实数根，则(m-3)2-2n的值为 ．
押题解读
本考点为课表选考点，但是近几年山东省各地区中考均有涉及，而且该考点与代数式求值问题结合是经典
题型。所以预测25年中考中会出现相关题型，熟练掌握韦达定理为解题关键。【根的情况求参数】1．关于x的方程m-2x2+2m+1x+m-2=0有实数根，则m的取值范围是 ．
【一元二次方程解的定义】2．已知x = m 是一元二次方程x2-x-1=0的一个根，则代数式2025-m2+m的
值是 ．
1
【根的判别式及根与系数的关系】3．若x，x 是已知关于x的方程x2-(m-1)x+ m2 =0的两个实数根，
1 2 4
1 1
且xx - mx - mx +m=-4，则m的值为 ．
1 2 2 1 2 2
【一元二次方程解的定义及根与系数的关系】4．若m，n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根，则
m+n-22的值为 ．
2
【与函数图像结合】5．已知关于x的一元二次方程x2+2x+1-k =0无实数根，则函数y=kx与函数y=
x
的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
押题猜想三 新定义
限时：6min
（原创）现定义对于一个数a，我们把a称为a的“邻一数”；若a³0，则a=a-1；若a<0，则
a=a+1．例如：1=1-1=0，-0.5=-0.5+1=0.5．下列说法，其中正确结论有（ ）个
①若a¹b，则a¹b；
②当x>0，y<0时，x-1=y+1，那么代数式x2+3y+y2-3x-2xy的值为4；
5 3 1
③方程m-1+m+2=-2的解为m=- 或m=- 或m=- ；
2 2 2
④若函数y= -x2-3 +3x +3 ，当y>0时，x的取值范围是-40，
a
b>0），将m,n与n,m称为数对a,b的一对“和谐数对”．例如：4,1的一对“和谐数对”为 æ ç 1 ,1 ö ÷和
è2 ø
æ 1ö
ç1, ÷．
è 2ø
(1)数对9,5的一对“和谐数对”是______；
(2)若数对16,b的一对“和谐数对”相同，则b的值为______；
(3)若数对a,b的一个“和谐数对”是5,4，直接写出ab的值______．
【一元一次不等式组】2．在平面直角坐标系中，对于点Px,y，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特
y
别地，当 （其中xy¹0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点P2a-4,a+3在第二象限，下
x
列说法正确的是（ ）
A．a<-3
B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为2个
D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和小于10
【概率】3．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则该三位数为“平稳数”，用1，
2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）．
1 1 2 1
A． B． C． D．
3 2 3 6
【平方差公式】4．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数m，n的平方差，那么称这个正整数为“智慧
数”．例如16=52-32，16就是一个“智慧数”，可以利用m2-n2 =(m+n)(m-n)进行研究．下列结论：
①所有的正奇数都是“智慧数”，②除4以外所有能被4整除的正整数都是“智慧数”；③被4除余2的正整
数都不是“智慧数”．其中正确的结论是 ．（填序号）
【二次函数】5．新定义：在平面直角坐标系中，对于点
Pm,n和点P¢m,n¢，
若满足m³0时，
n¢=n-4;m<0时， n¢=-n，则称点P¢m,n¢是点Pm,n的限变点．例如∶点 P2,5的限变点是P¢2,1，
1 1
点P -2,3的限变点是P¢-2,-3，若点 Pm,n在二次函数 y=-x2+4x+2的图像上，则当-1≤m≤3
2 2
时，其限变点P¢的纵坐标n¢的取值范围是（ ）A．-2£n¢£2 B．1£n¢£2 C．1£n¢£3 D．-2£n¢£3
押题猜想四 规律问题（数字类、图形类）
限时：3min
（原创）观察下列图形规律，当图形中的“d”的个数和“g”个数差为2024时，n的值为 ．
押题解读 公众号★全科AA+
本考点为重要考点，山东各地区近5年中考出现的次数很多，选择、填空、解答题均有出现，但大多数地
方的考查还是以选填的形式出现，所以预测新中考地区应该会出现一个相关的填空压轴题。认真审题，找
到规律是关键。如果前几组数据找不到规律，那就多写几组。
【数字类】1．如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角
处的两个数字提取出来组成有序数对：3,5；7,10；13,17；21,26；31,37 …如果单把每个数对中
的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．
【点坐标型】2如图，弹性小球从点P(0,3)出发，沿箭头方向不停地运动，每当小球碰到矩形OABC的边时
反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P，第2次碰到矩形的边时的点为
1
P ，…，第n次碰到矩形的边时的点为P ，点P 的坐标是 ．
2 n 2025【多项式乘法】2．观察下列算式：① a-1a+1=a2-1；② a-1 a2+a+1 =a3-1；③
a-1 a3+a2+a+1 =a4-1；…结合你观察到的规律判断22025+22024+×××+22+2+1的计算结果的末位数字
为 ．
【图形类】3．如图，春节期间，广场上空用红色无人机（〇）和黄色无人机（Δ）组成如下图案：
结合上面图案中“〇”和“△”的排列方式及规律，当正整数n= 时，使得红色无人机（〇）比黄色无人
机（△）的个数多28台．
3
【图形、函数等】5．如图，在平面直角坐标系中，直线l :y= x+1与直线l :y= 3x交于点A，过A作
1 3 2 1 1
x轴的垂线，垂足为B ，过B 作l 的平行线l 交于A ，过A 作x轴的垂线，垂足为B ，过B 作l 的平行线
1 1 2 1 2 2 2 2 2
交l 于A ，过A 作x轴的垂线，垂足为B …按此规律，则线段A A 的长度为 ．（n³1，且n为正整
1 3 3 3 n n+1
数）押题猜想五 反比例函数 k 的几何意义
限时：4min
k k
（原创）如图，点A在双曲线y = (x>0)上，连接AO并延长，交双曲线y = (x<0)于点B，点C为x
1 x 2 4x
轴上一点，且AO= AC，连接BC，若
V
ABC的面积是6，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
押题解读
本考点为重要考点，反比例函数能在在选填部分的考查的内容不多，基本就是图像性质和k的几何意义。
山东省各地区中考中，k的几何意义出现的次数较多。大多都是直接套用模型，难度不大。做好模型积累
即可轻松解决问题。
【平移】1．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC
摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然
6
后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数y=
x
的图象上，则a的值为 ．
k
【菱形】2．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y= 的图象上，对角线AC与BD的交点恰
x
好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是 ．14 k
【三角形】3．点A在反比例函数y =- 的图象上，点B在反比例函数y= 的图象上，连接并延长AB，
x x
交y轴于点C，且AC ^ y轴，连接OA，D是OA的中点，S =1.5，则k的值为 ．
△ABD
4
【正方形】4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= x+4的图象与x轴，y轴分别相交于点B，点
3
k
A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y= (x＜0)的图象上，则k的值为 ．
x
【与相似三角形结合】5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在y轴的正半轴上，反
k
比例函数y= (x>0)的图象分别交AB于中点D，交OC于点E，且CE:OE =1:2，连接AE，DE，若S =2，
x △ADE
则k的值为 ．押题猜想六 二次函数的图象与性质（选填）
限时：10min
（原创）函数y= ax2+bx+c a>0,b2-4ac>0 的图象是由函数y =ax2 +bx+c的图象 轴上方部分不变，
x轴下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是
①2a+b=0；②c=3；③abc>0； ④3a+c=0；⑤将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．
押题解读
本考点为重要考点，山东省各地区近5年二次函数图象与性质的内容次数很多，相关的内容：二次函数的
图象与性质、二次函数图与系数abc的关系、二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系。
解决此类问题基本步骤：①判断系数abc的正负；②根据对称轴找到a、b之间的关系；③探究x=±1、±
2、±3所对应的y的式子
【无图象无表格】1．关于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点； ②如果当x£2时，y随x的增大而减小，则m=2；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；
④如果当x=1时的函数值与x=2023时的函数值相等，则当x=2024时的函数值为-3．
其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【表格】2．已知抛物线y=ax-m2+k（a、m、k为常数，且a¹0）的自变量x与函数y的几组对应值
如表：
x … -2 -1 1 3 5 6 …
y … 5 0 -4 0 12 21 …将抛物线平移得到新抛物线y =ax-m+12 +k，若点n,5在新抛物线上，则n的值为（ ）
1
A．-3 B．4 C．±4 D．±3
【有图像】3．如图，二次函数y=ax2+bx+ca¹0的对称轴是直线x=1，且与x轴的一个交点坐标为
3,0．下列说法：
①ab<0；②3a+c=0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a¹0的两个根为-1，3；④若-2,y ，
1
2,y 在该抛物线上，则y < y ；⑤对任意实数m，不等式am2+bm³a+b恒成立．其中正确结论的个数
2 1 2
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【有图像】4．抛物线y=ax2+bx+ca¹0的对称轴是直线x=-1，其图象如图所示．下列结论：
①abc<0；②4a+c2 <2b2；③若 x,y 和 x,y 是抛物线上的两点，则当 x +1 > x +1时，
1 1 2 2 1 2
y < y ；④抛物线的顶点坐标为-1,m，则关于x的方程ax2+bx+c=m-1无实数根．其中正确结论的个
1 2
数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【有图象】5．二次函数y=ax2+bx+ca¹0的部分图象如图所示，图象过点-1,0，对称轴为直线x=2，
æ 1 ö æ7 ö
下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c>3b；（3）若点A-3,y 、点Bç- ,y ÷、点Cç ,y ÷在该函数图
1 è 2 2 ø è2 3 ø象上，则y < y < y ；（4）若方程ax+1x-5=-3的两根为x和x ，且x ”“=”或“<”）；
(2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方
差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的
甲、乙、丙三位选手的打分如下：
评委 评委 评委 评委 评委
1 2 3 4 5
甲 93 90 92 93 92
乙 91 92 92 92 92
丙 90 94 90 94 k
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中k（k为整
数）的值为____________.
【统计】4．3月14日是国际数学日，也称“π日”．今年3月14日某校七年级300名学生参加了华容道、鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛．比赛采取积分制，每参加一项可获得10至20分，达到90分及
90分以上的学生可获得“π日”徽章．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了m名学生，并对他们的积分
进行整理、描述，绘制成下面的统计图（数据分为5组：20£x<40，40£x<60，60£x<80，
80£x<100，100£x£120）：
根据以上信息，完成下列问题．
(1)下列抽取样本的方式中，最合理的是 （填写序号）：
①从七年级的学生中抽取m名男生；
②从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取m名学生；
③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取m名学生．
(2)写出m的值，并补全频数分布直方图；
(3)100£x£120这一组对应的扇形的圆心角度数是 ；
(4)80£x<100这一组的学生积分是：81，82，90，93，93，93，96，98，98，请估计七年级学生获得“π日”
徽章的人数．
押题猜想九 解直角三角形（解答题）
限时：8min（原创）光岳楼位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），是中国十大名楼之一，光岳楼为
中国既古老又雄伟的木构楼阁，是宋元建筑向明清建筑过渡的代表作，在中国古代建筑史上有着重要地位，
1988年光岳楼被列为全国重点文物保护单位，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉．某校数学实践小组利用
所学数学知识测量光岳楼的高度，他们制订了两个测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．在测量仰
角的度数以及有关长度时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果．下面是两个方案及测量数
据（不完整）：
项
测量光岳楼的高度
目
方案一：标杆垂直立于地面，借助
方 平行的太阳光线构成相似三角 方案二：利用锐角三角函数．测量：距离
案 形．测量：标杆长CD，影长ED及 CD，仰角a，仰角b
同一时刻塔影长DB
说
E,D,B三点在同一条直线上 B,C,D三点在同一条直线上
明
测
量
示
意
图
测量 平均 测量
第一次 第二次 第一次 第二次 平均值
项目 值 项目
测
量 CD 1.61m 1.59m 1.6m b 29.9° 30.1° 30°
数
ED 1.18m 1.22m 1.2m a 37.1° 36.9° 37°
据
DB 25m 26m CD 12.8m 13.2m 13m
【问题解决】
(1)求“方案一”两次测量塔影长DB的平均值；
(2)根据“方案一”的测量数据，求出光岳楼AB的高度；
(3)根据“方案二”的测量数据，求出光岳楼AB的高度．（参考数据：sin37°»0.60,cos37°»0.80,tan37°»0.75, 3»1.73．结果保留1位小数）．
押题解读
本考点为必考考点，解直角三角形的相关内容也会和其他内容结合在选填中出现。题型固定，难度不大，
只要掌握好相关的知识，认真审题即可。预测25年中考也会出现解直角三角形的解答题，难度适中；
小概率出现在选填题。
公众号★全科AA+
【仰角、俯角】1．某校数学“综合与实践”小组在测量临沂书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告：
测量对
书圣阁
象
测量目
学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题
的
测量工
无人机
具
如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）：
先将无人机从地面的点C处垂直上升90.7m至点P，此时测得书圣阁的顶端A
测量方
的俯角为16°；
案
再将无人机从点P处向右沿水平方向飞行60m至点D，然后沿垂直方向上升
20m至点Q，此时测得书圣阁的端A的俯角ÐEQA=45°．|测量示
意图
请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出书圣阁的高度．（结果保留整数，参
考数据：sin16° »0.28,cos16° »0.96,tan16° »0.29
【其他问题】2. 臂架泵车（如图1）是一种用于建筑工程中混凝土输送和浇筑的特种工程车辆，集混凝土泵
送、臂架伸展和移动功能于一体，广泛应用于高层建筑、桥梁、隧道等施工场景．图2是其输送原理平面
图，进料口A到建筑楼的水平距离为24米，到地面的垂直距离为2米，AB，BC，CD，DE为输送臂，
可绕A，B，C，D旋转，已知输送臂AB垂直地面且AB=14米，BC =CD=13米，DE=7米，
ÐBCD=134.8°，ÐCDE=112.6°．
(1)BD的长约为________；（直接写出答案）
(2)求出料口到地面的距离．
12 5 41 11
（参考数据：sin67.4°» ，cos67.4°» ，sin56.3°» ，cos56.3°» ）
13 13 50 20【其他问题】3. 图1是一盏可调节台灯，图2为其平面示意图，固定底座OA与水平面OE垂直，AB为固
定支撑杆，BC为可绕着点B旋转的调节杆，若AB=30cm，BC =35cm，OA=8cm，ÐOAB=143°，
ÐABC =80°，求台灯灯体C到水平面OE的距离．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°»0.60，
cos37°»0.80，tan37°»0.75，sin27°»0.45，cos27°»0.89，tan27°»0.51）
【相似】4．【综合与实践】
火车轨道的平顺性和稳定性直接影响列车的运行安全．我国目前轨道检测的主要方法是机械检测，通过使
用机械传感器和无损检测设备（包括激光三角位移传感器、超声波传感器等）来测量轨道的各种参数（几
何尺寸、轨距、高差和曲率），从而判断轨道是否有损伤或缺陷．某校科创活动小组率先就“激光三角位移
计”这一设备开展了学习与探究：
阅
激光三角位移计是由半导体激光向目标物照射激光，聚集目标物反射的光，并在光接收元件上成
读
像．一旦离目标物的距离发生改变，聚集反射光的角度也会改变，成像的位置也随之改变．可以通
理
过成像的位移来计算物体实际的移动距离．
解被测量物体从初始位置移动到最终位置，需要测量的是参考平面与目标测量平面的距离，也就是图
中点M与点N之间的距离．假设激光通过接收透镜后仍按照原直线方向传播，最后在光学成像设
备上成像．
发
现
原
理
如图，直线M¢N¢∥直线l∥直线l ，直线MN垂直于l 和l ，垂足分别为M 和N ，线段MM¢与线
1 2 1 2
段NN¢交于点O，线段NN¢与直线l 交于点P，ÐM¢MP=a．
1
建
立
模
型
解
（1）作NH ^MM¢于点H，设MN =m，请用含m和a的式子表示HN的长度；（2）若M¢N¢=5，
决
OM¢=27，OM =140，求MN的长度．（结果精确到个位，参考数据：sinα»0.8，cosα»0.6，
问
tanα»1.33）
题【其他问题】5．2022年11月29日，“神舟十五号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成果发射．2023年2
月9日神舟十五号航天员进行了出舱活动，为了确保任务的圆满完成，航天员借助机械臂进行舱外作业．如
图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，
OA=1m，AB=5m，BC =2m，ÐABC =145°，ÐBCD=60°．（参考数据：
sin25°»0.42，cos25°»0.91，tan25°»0.47，2 »1.41，3»1.73）．
公众号★全科AA+
(1)求机械臂端点C到工作台的距离CD的长（结果精确到0.1m）
(2)求OD的长．（结果精确到0.1m）
押题猜想十 平行四边形
限时：8min
（原创）如图，在菱形ABCD中，ÐBAC的平分线交BC于点E，ÐACD的平分线交AD于点F．(1)求证：AF =CE；
(2)从下列条件中任选一个作为已知条件，并判断四边形AECF的形状．请证明你的结论．
①ÐBAD=2ÐABC；②AC =BC．
选择的条件：_______（填写序号）．
（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）
押题解读
本考点为必考考点，多与三角形全等、相似结合。解答本类题型需要熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、
正方形的判定与性质定理。预测25年依然会以解答题形式出现，难度适中。
【平行四边形、矩形】1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，ÐABD=ÐCDB，BE^ AC
于点E，DF^AC于点F，且BE=DF．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
BC
(2)若AB=BO，当ÐABE等于多少度时，四边形ABCD是矩形？请说明理由，并直接写出此时 的值．
AB【相似、平行四边形】2．如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F ，
1
DE= CD．
2
(1)求证：
V
ABF∽
V
CEB；
(2)若 DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
V
【矩形、相似】3．如图所示，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE^BD．
(1)求证：AD2 =DE×DC；
1
(2)F 为线段AE延长线上一点，且满足EF =CF = BD，求证：CE= AD．
2
【结构不良型】4．如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点．
Y(1)求证：DE=BF ；
(2)请从以下三个条件：①AC =2BD；②ÐBAC =ÐDAC；③AB= AD中，选择一个合适的作为已知条件，
使四边形DEBF为菱形．
你选择添加的条件是：______（填写序号）；添加条件后，请证明四边形DEBF为菱形．
【选择型】5．如图，以
V
ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，
V
BCE，
△ACF．连接DE，EF．
(1)求证：△DBE≌△ABC；
(2)请从以下两个问题中选择其中一个进行解答（若多选，则按第一个解答计分）
①当
V
ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？请加以证明；
②当
V
ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？请加以证明．
押题猜想十一 反比例函数与一次函数综合（解答题）
限时：10min1 k k
（原创）如图，直线y = x与双曲线y = (k >0)交于A点，且点A的横坐标为4，双曲线y = (k >0)上
1 2 2 x 2 x
有一动点C(m,n)(0 y 时x的取值范围；
1 2
(3)连接AC，当△COD与
V
AOB的重合部分的面积为1时，求
V
OAC的面积．
押题解读
本考点为必考考点，24年省考出现新颖的考查形式，但考查问题相对简单。反比例函数和一次函数综合主
要的考点还是解析式、交点坐标、不等式关系和面积问题， 注意割补法在面积问题中的应用。属于中考常
考题型，难度适中。
【表格类】1．列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值2 k
之间的对应关系．下表是函数y=- x+b与y= 部分自变量与函数值的对应关系：
3 x
3
x - a 6
2
2 1
y=- x+b a
3 3
k
y= -1
x
(1)求a、b的值，并补全表格；
2 k
(2)结合表格，当y=- x+b的图象在y= 的图象上方时，直接写出x的取值范围．
3 x
【中点坐标】2．在平面直角坐标系xOy中，已知△OAB为等边三角形，AB=6，点C为AB的中点，反比
k
例函数y= (x>0)的图象经过A，B两点，且与OC交于点D，ÐBOE=15°，点B的横纵坐标之和为3 6．
x
(1)点C的坐标为________；（请直接写出结果）
(2)求反比例函数的解析式；
(3)求线段CD的长度．
k
【三角形面积】3.如图，一次函数y
=
x
+
3的图像与反比例函数y= k ¹0的图像交于点A与点Ba,-1．
x公众号★全科AA+
(1)求反比例函数的表达式；
k
(2)请直接写出x+3³ 的解集．
x
(3)若点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线，与直线AB相
交于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求点P的坐标．
k
【相似】4．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y= x>0的图象上，
x
A1,0,C0,2．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A¢B¢（点A平移后的对应点为A¢），A¢B¢交函数
k
y= x>0的图象于点D，过点D作DE^y轴于点E．
x
(1)求函数关系式；
(2) OBD的面积与四边形ABDA¢的面积的数量关系为_________；（填“>”，“=”或“<”）
V
(3)证明：ÐB¢BD=ÐBB¢O．
1 k
【平行四边形】5．如图，一次函数y=- x+1的图象与反比例函数y= x<0的图象交于点Pa,2，与
2 x
y轴交于点Q．(1)求a、k的值；
(2)直线AB过点P，与反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，AP=PB，连接AQ．
①求△APQ的面积；
②点M在反比例函数的图象上，点N在x轴上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请
求出所有符合条件的点M坐标．
押题猜想十二 圆
限时：10min（原创）如图，已知AB是
e
O的直径，AC是
e
O的弦，点D在
e
O外，延长DC，AB相交于点E，过点
D作DF ^ AB于点F ，交AC于点G，DG=DC．
(1)求证：DE是
e
O的切线；
(2)若
e
O的半径为6，点F 为线段OA的中点，CE=8，求DF的长．
押题解读
本考点为必考考点，①切线的判定与性质基本属于必考题型；②垂径定理和勾股定理求线段长度属于比较常
见的题型，稍难一些的话大多与相似三角形结合；③求不规则图形的面积考查的次数也很多，但是出现在
解答题的部分较少，多数以选填的形式考查，但新中考题量减少，预测会出现在圆的解答题的一小问。
【不规则图形面积】1. 如图，AB是
e
O的直径，射线BC交
e
O于点D，E是劣弧AD上一点，且BE平分ÐFBA，过点E作EF ^BC于点F，延长FE和BA的延长线交于点G．
(1)证明：GF 是
e
O的切线；
(2)若AB=8，EF =2 3，求DB的长；
(3)在（2）的基础上，求图中阴影部分的面积．
【不规则图形面积】2. 如图，
V
ABC内接于
e
O，AB为
e
O的直径，CD^ AB于点D，将△CDB沿BC所
在的直线翻折，得到 CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．
V
(1)求证：CF是
e
O的切线；
2
(2)若sinÐCFB= ，AB=8，求图中阴影部分的面积．
2
1
【解直角三角形】3．如图，在
V
ABC中，ÐACB=90°，点D是AB上一点，且ÐBCD= ÐA，点O在BC
2
上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．(1)试判断直线AB与
e
O的位置关系，并说明理由；
3
(2)若sinB= ,
e
O的半径为3，求AC的长．
5
【相似】4．如图，AB是
e
O的直径，点C为
e
O上一点，过点O作BC的垂线，交过点B的切线于点D，
OD交
e
O于点E，连接AE交BC于点H．
公众号★全科AA+
(1)求证：ÐD=ÐAEC．
4
(2)若
e
O的半径为10，cosA= ，求BH 的长．
5
【相似】5．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点P，过点B作EB^BD，交DC的延长线于点E，以
BE为直径作
e
O．(1)判断直线PC与
e
O的位置关系，并说明理由；
(2)若BC =8,PC =5，求
e
O的直径．
押题猜想十三 二次函数图像与性质（解答题）
限时：15min
æ 1 11ö
（原创）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点坐标为 ç- , ÷ ．
è 2 4 ø
(1)求二次函数的表达式；
(2)将顶点向左平移2个单位长度，再向上平移mm>0个单位长度后，恰好落在y=x2+bx+c的图象上，
求m的值；
(3)当n£ x£2时， 二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值差为5，则n的值为 ．
押题解读
本考点为重要考点，二次函数图象性质出现在解答题单独考查是24年省中考出现的新型题目，目前考查难度不大，研究了新中考地区的25年模拟题大多也是以最值和范围类型的问题考查。
【最值】1. 已知二次函数y=-x2+bx+c．
(1)若该二次函数的图象经过1,6，-2,-9两点．
①求该二次函数的表达式；
②当-1£x£3时，求y的取值范围．
(2)当x£0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数图象与x轴交点间的距离．
【两点间距离公式】2．在平面直角坐标系xOy中，点P(2,4)在二次函数y=ax2+2x+c(a>0)的图象上，
(1)用含a的代数式表示c=______________________；
(2)当0£ x£2时，求二次函数的最大值；
(3)已知直线y=x与抛物线y=ax2+2x+c(a>0)相交于A，B两点，若2 10 £ AB<8，求a的取值范围．
【图象性质】3．已知二次函数y=ax2-(a-2)x+2(a¹0)．
(1)若函数图象经过点(3,2)，求抛物线的对称轴．
(2)若a>0，当x³-1时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．æ 1 ö æ 1 ö
(3)若Aç1- ,b÷，Bç3- ,c÷两点都在二次函数的图象上，试比较b与c的大小，并说明理由．
è a ø è a ø
【对称点】4．已知抛物线y=ax2+bx+ca<0，Mx,y ，Nx ,y 是抛物线上两点，抛物线的对称轴
1 1 2 2
是直线x=t．
(1)当t=3时，
①直接写出b与a满足的等量关系；
②若y = y ，则x +x =_____．
1 2 1 2
(2)已知x =t-1，x =t+3，点Cx ,y 在抛物线上．当2 y > y ，求t的取值范围．
1 2 3 3 3 1 3 2
【平移】5．已知抛物线G:y =mx2 -2mx-8m(m¹0)．
(1)当y=0时，求x的值；
(2)点Q(a,b)是抛物线上一点，若m<0，且a³0时b£6，求m的值；(3)当m=-1时，把抛物线G向下平移n(n>0)个单位长度得到新抛物线H，如果抛物线H与x轴的一个交点
的坐标为(x,0)，且-10)个单位，得
1
到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S ．若S =2S ，求m的值．
2 1 2【销售问题】4．综合与实践
【项目背景】
九（1）班同学帮助回乡创业的王叔叔团队在线上销售一种农产品．具体任务是：提出合理销售价格建议，
取得较好销售利润．经调查：去年线上销售这种农产品的年销售量y（万斤）与售价x（元/斤）之间的关
系如图所示．
【解决问题】
(1)假设这种农产品价格不超过15元/斤．
（i）求去年销售这种农产品的年销售量y与售价x之间的函数表达式（不要求写自变量x的取值范围）；
（ii）销售这种农产品时，如果各种销售成本总计为8元/斤，要确保今年利润在20万元以上，按去年经验，
求今年这种农产品的售价范围；
(2)关于今年销售这种农产品增加如下信息：①此种农产品的批发价为4元/斤；②销售这种农产品需先投入
成本20万元（不含以批发价购入这种农产品所需资金）；③市场管理部门规定这种农产品的售价不超过30
元/斤．结合今年和去年的销售信息，这种农产品的售价为多少元时，获得的年利润最大？最大年利润是多
少？【投球问题】5．【发现问题】
投掷实心球是某市中考体育考试项目之一，李明发现实心球从出手到落地的过程中，
实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．
【提出问题】
实心球竖直高度与水平距离之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
李明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）
的数据如表：
水平距离
0 2 4 5 6 8 9
x/m
竖直高度
2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 1.1
y/m
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，李明发现其图象是二次函数的
一部分．
【解决问题】
(1)在李明投掷过程中，出手时实心球竖直高度是________m，实心球在空中的最大高度是________m；
(2)求满足条件的二次函数的解析式；
(3)根据该市中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等
于9.75m时，即可得满分10分，李明在此次考试中能否得到满分，请说明理由．押题猜想十五 几何综合：类比探究
限时：17min
（原创）．数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF利一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若
AE=1，AB=2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转a(0°£a£90°)角，观察图形的变化，完成探究活动．
公众号★全科AA+
(1)【初步探究】
如图1，BE和DF的数量关系是______．
如图2，连接BE，DF，并延长，延长线相交于点G，BG交AD于点M ．
问题1：BE和DF的位置关系______．数量关系______．
(2)【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题：
问题2：如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA=OD=OG．
(3)【尝试应用】
问题3：在图4中画出旋转角a为60°的图形，并求出当旋转角a从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．押题解读
本考点为必考考点，多为三角形、四边形综合题，以相似三角形的判定和性质为主，结合解直角三角形，
锐角三角函数，勾股定理，平行线，平行四边形等知识解决问题。解题的关键是学会利用参数构建方程解
决问题，属于中考常考题型，难度较大
【全等三角形】1. △ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），
以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，
(1)观察猜想：如图 1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为 ；
②BC，CD，CF之间的数量关系为 ；（将结论直接写在横线上）
(2)数学思考：如图 2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；
若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸：如图 3，当点D在线段 BC 的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB＝
2 2，CD=1，请求出GE的长【旋转、对称】2．综合与实践
数学活动∶在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究
线段长度的有关问题．
动手操作：在Rt△ABC中，ÐBAC =90°，AB=6，AC =8，将三角形纸片ABC进行以下操作：
第一步∶如图1，将 DEC沿着DE进行翻折，使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；
V
第二步∶如图2，隐去AD，将
V
ABC沿折痕DE剪开，然后将
V
DEC绕点D逆时针方向旋转得到
V
DFG，点
E，C的对应点分别是点F，G，射线GF 与边AC交于点M，（M不与点A重合），与边AB交于点N，线段
DG与AC交于点P．
数学思考：
(1)在图1中，求证∶AD=BD；
(2)在图2中， DEC绕点D旋转的过程中，试判断MF与ME的数量关系，并证明你的结论；
V
(3)在 DEC绕点D旋转的过程中，探究下列问题：
V
①如图3，当GF∥BC时，AM =________；
②如图4，当GF 经过点B时，AM =________．【旋转、相似】3．（问题提出）如图1，在等边
V
ABC内部有一点P，PA=3，PB=4，PC=5，求ÐAPB
的度数．
（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
【尝试解决】将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP¢B，连接PP¢，则 APP¢为等边三角
V
形．\PP¢=PA=3，又
Q
PB=4，PC=5，PP¢2+PB2 =PC2，\
V
BP¢P为 三角形，\ÐAPB的度数为 ．
【类比探究】如图2，在
V
ABC中，ÐBAC =90°，AB= AC，其内部有一点P，若PA=2，PB=1，
PC=3，求ÐAPB的度数．
【联想拓展】如图3，在
V
ABC中，ÐBAC =90°，ÐBCA=30°，其内部有一点P，若PA=3，PB=2，
PC =4 3，求ÐAPB的度数．【折叠、全等、相似】4．综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 ABCD
Y
中，BE^ AD，垂足为E，F 为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明；
独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将
Y
ABCD沿着BF（F 为CD的中点）所在直线折叠，如图②，
点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将
Y
ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A'，使
A'B^CD于点H，折痕交AD于点M ，连接A'M ，交CD于点N ．该小组提出一个问题：若此
Y
ABCD的
面积为20，边长AB=5，BC =2 5，求图中阴影部分（四边形BHNM ）的面积．请你思考此问题，直接
写出结果．【平移、折叠、相似】5．【问题背景】
“综合与实践”课上，王老师带领同学们剪拼图形，用发展的眼光看问题，感受图形的变换美！
【特例感知】
（1）如图（1），纸片ABCD为矩形，且AD=4，AB=2，点E，F分别为边AD，BC的中点，沿EF将纸
片剪成两部分，将纸片DEFC沿纸片ABFE的对角线EB方向向上平移．
①当纸片DEFC平移至点E¢与EB的中点O重合时，两个纸片重叠部分FGE¢H的面积与原矩形纸片ABCD
的面积之比是______．
1
②当两个纸片重叠部分FGE¢H的面积与原矩形纸片ABCD的面积之比是 时，则平移距离EE¢为______．
16
【类比探究】
（2）如图（2），当纸片KLMN为菱形，KN =aa>2，ÐN =60°时，将纸片KLMN沿其对角线KM 剪开，
1
将纸片KLM 沿KM 方向向上平移．当两个纸片重叠部分K¢PM 的面积与纸片KLM 的面积之比为 时，求
2
平移距离KK¢（用含a的式子表示）．
【拓展延伸】
（3）某小组将图（2）剪下来的 MKL与图（1）中的四边形ABFE按图（3）的方式放在同一平面内，使点
V
L与点B重合，ML与BF重合．将 MKL从如图（3）所示的起始位置开始绕B点逆时针旋转
V
a0°
