数学终极押题猜想（全国二卷通用）（解析版）_2024-2027高三（6-6月题库）_2026年05月高三试卷_260519数学终极押题猜想（全国二卷通用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

2026 年高考数学终极押题猜想
目 录
押题猜想01 抽象函数性质综合应用.................................................................................................
押题猜想02 平面向量-投影向量、最值问题....................................................................................
押题猜想03 三角函数-三角换元、 𝛚范围求解..............................................................................
押题猜想04 圆锥曲线离心率及面积比值范围问题.........................................................................
押题猜想05 排列组合及条件概率.................................................Error! Bookmark not defined.
押题猜想06 立体几何-外接球、内切球与空间向量........................................................................
押题猜想07 数列-求最值及证明不等式............................................................................................
押题猜想08 解三角形定值与最值-内部含线....................................................................................
押题猜想09 导数-比较大小、零点及恒成立求参问题................Error! Bookmark not defined.
押题猜想10 圆锥曲线-定点定值最值问题........................................................................................
押题猜想11 概率统计与数列、函数等模块的综合应用.............Error! Bookmark not defined.押题猜想 01 抽象函数性质综合应用
试题前瞻·能力先查
限时：4min
【原创题】已知定义在R上的函数 f x的图象是一条连续不断的曲线，若当x>0时，
éf x+ f¢xùex >éf x- f¢xùe-x，且 f -x+ f x=0，则（ ）
ë û ë û
A． f e< f -e B．xf x£0
C． f x存在极大值点 D． f x有且只有一个零点
【答案】D
【详解】 f -x+ f x=0，即 f -x=-f x，故函数 f x为奇函数，
Q
设gx= f xex+ f xe-x = f x ex+e-x ，则g¢x=éf¢x+ f xùex+éf¢x- f xùe-x，
ë û ë û
由题意，当x>0时，g¢x=éf¢x+ f xùex+éf¢x- f xùe-x >0，
ë û ë û
\gx= f x ex+e-x 在0,+¥上单调递增，
又 ex+e-x为偶函数，故gx为奇函数，
Q
\gx= f x ex+e-x 在-¥,0上单调递增，gx图像连续不断且g0=0，
\gx= f x ex+e-x 在R上单调递增，
\当x>0时，ex+e-x >0,gx>0，\f x>0；同理当x<0时，\f x<0，
对于A，ge= f e ee+e-e ,g-e= f -e e-e+ee ，
Q
ge>g-e，\f e> f -e，故A错误.
对于B，当x>0时， f x>0，则xf x>0，故B错误.
对于C，由于函数 f x的单调性未知，故该选项不确定，故C错误.
对于D，当x>0时，f x>0，当x<0时，f x<0，且 f 0=0，\f x有且只有一个零点，故D正
确.
分析有理·押题有据
抽象函数不考具体解析式，纯考逻辑与性质，区分度高，是中档生和尖子生的分水岭。连续多年在选
择第8～11题位置出现，属于“必考中档压轴”，极少缺席。重思维、轻计算，考单调性、奇偶性、对称
性、周期性综合，完美匹配“素养立意”命题思路。可与不等式、零点、导数结合既能单独出小题，也能
作为导数大题的铺垫，命题空间极大。
近5年全国Ⅱ/甲卷真题高频重复，奇偶性 + 单调性解不等式；对称性 + 周期性求函数值；抽象函数
+ 图像判断零点个数；每年至少1道，从未断档。考纲要求：理解函数奇偶性、单调性、周期性、对称性，能综合运用性质解决问题。抽象函数是对这一要求最直接的考查。各省模拟卷大量出现“双对称推周期”
“奇偶+单调解不等式”，与全国卷命题高度同频。抽象函数无法死记硬背题型，必须理解逻辑，非常适合
高考选拔。。
密押预测·精练通关
1．（2026·四川·模拟预测）已知函数 f(x)及其导函数 f¢(x)的定义域均为R，且 f(x)为偶函数， f¢(x)是减
函数，则（ ）
A． f(1)< f(2)< f(-3) B． f(-3)< f(1)< f(2)
C． f(2)< f(-3)< f(1) D． f(-3)< f(2)< f(1)
【答案】D
【详解】由函数 f(x)的定义域均为R，且 f(x)为偶函数，得 f(-x)= f(x)，
求导得-f¢(-x)= f¢(x)，则 f¢(0)=0，由 f¢(x)是R上的减函数，
得当x>0时， f¢(x)< f¢(0)=0，因此函数 f(x)在[0,+¥)上单调递减，
所以 f(-3)= f(3)< f(2)< f(1).
2．（2026·山东青岛·一模）已知定义在R上的函数 f(x)满足 f(x)+ f(2-x)=0，f(1+x)= f(3-x)，当xÎ[1,2]
时， f(x)=x3-2x2+x，则方程7f(x)-x+1=0所有根之和为（ ）
A．8 B．11 C．15 D．17
【答案】D
【详解】由 f x+ f 2-x=0，得函数 f x关于点1,0对称，
又 f 1+x= f 3-x，得函数 f x关于直线x=2对称，
从而函数 f x是周期为4的周期函数.
又当xÎ1,2时， f x=x3-2x2+x，则 f¢x=3x2-4x+1=3x-1x-1³0，
即 f x是1,2的单调递增函数， f 1=0， f 2=2，可画出 f x的部分图象，
1
又方程7f x-x+1=0的根即y= f x与y= x-1的交点横坐标，如图
7
两函数共有17个交点，并且关于点1,0对称，故所有根之和为17.
3．（2026·山东青岛·一模）已知函数 f x的定义域为R，且 f x-2为偶函数， f 2x-1为奇函数，
2025
f 0=1，则åf i=（ ）
i=1A．1 B．0 C．-1 D．-2
【答案】B
【详解】因为 f x-2为偶函数， f 2x-1为奇函数，
所以 f x-2= f -x-2， f 2x-1=-f -2x-1，
所以函数 f x关于x=-2轴对称，关于-1,0中心对称，
所以 f x= f -x-4， f x+2=-f -x-4，
所以 f x=-f x+2，令t=x-2，则 f x-2=-f x，即-f x-2= f x，
所以 f x-2= f x+2，令m=x+2，则 f x= f x+4，所以 f x的周期为4，
又 f 0=1， f x=-f x+2，所以 f 0=-f 2=1，所以 f 2=-1，
又函数 f x关于x=-2轴对称，关于-1,0中心对称，
所以 f -1=0， f -3=0，
又 f x的周期为4，所以 f -1= f 3=0， f -3= f 1=0， f 0= f 4=1，
所以函数 f x一个周期内的函数值为 f 1=0， f 2=-1， f 3=0， f 4=1，
所以 f 1+ f 2+ f 3+ f 4=0+-1+0+1=0，
2025
所以 å f i= f 1+ f 2+ f 3+ f 4+×××+ f 2024+ f 2025
i=1
=506´éf 1+ f 2+ f 3+ f 4ù+ f 1= f 1=0，
ë û
i=1
所以 å f i=0.
2025
4．（2026·山西大同·一模）已知函数 f x的定义域为0,+¥，若对于定义域内给定的任意x ，
1
x x ¹ x ，都有 x 2 f x 1 -x 1 f x 2  >0，则不等式 f 2x> 2f  x2-3  + 3f 2x 的解集为（ ）
2 1 2 x -x x x2
1 2
A．  3,3  B．  3,+¥  C．0,3 D．3,+¥
【答案】A
x f x -x f x 
【详解】因为函数 f x满足对任意的x，x Î0,+¥，x ¹ x ，都有 2 1 1 2 >0，
1 2 1 2 x -x
1 2
设x >x >0，则x -x >0，所以x f x -x f x >0，即x f x >x f x ，
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
f x  f x  f x
所以 1 > 2 ，令gx= ，
x x x
1 2
因为当x >x >0时，都有gx >gx ，
1 2 1 2
所以函数gx在0,+¥上单调递增.2f  x2-3  3f 2x
又不等式 f 2x> + 两边同乘以x2，
x x2
得x2f 2x>2xf  x2-3  +3f 2x，即  x2-3  f 2x>2xf  x2-3  ，
即 f 2x > f  x2-3  ，所以g2x>g  x2-3  ，
2x x2-3
ì2x>0
ï  
故íx2-3>0 ，解得 3<x<3，即xÎ 3,3 .
ï î2x>x2-3
5．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数 f x的定义域为R， f 1=0，若
f xy- f x f y= f x+y-1，则下列说法正确的是（ ）
19
A． f 0=1 B．å f n=190
n=1
C．函数 f x+1是奇函数 D．函数 f x+1是偶函数
【答案】C
【详解】对于A，令x=1,y=0，则 f 0- f 1 f 0= f 1-1，故 f 0=-1，故A错误；
对于B，令y=1，则 f x- f x f 1= f x+1-1，
所以 f x+1= f x+1，故 f n nÎN* 为等差数列，首项为零，公差为1，
19 19´18
故å f n=19´0+ ´1=171，故B错误；
2
n=1
对于C，因为 f x+1= f x+1， f 1=0，故 f 1= f 0+1，
故 f 0=-1，同理 f -1=-2，
在 f xy- f x f y= f x+y-1中令y=-1，
则 f -x+2f x= f x-1-1，由B的分析可得 f x-1= f x-1，
所以 f -x+2f x= f x-2，所以 f -x+ f x=-2，
所以 f -x+1+ f x+1=0，所以 f -x+1+ f x+1=0，
所以函数 f x+1是奇函数，故C正确；
对于D，由C的分析可得 f -x+ f x=-2即 f -x+1+ f x+1=0，
故函数 f x+1是奇函数，故D错误.
6．（2026·陕西西安·模拟预测）定义在R上的函数 f x满足： f -1+x- f -1-x=0，且
f 1+x+ f 1-x=0，当xÎ-1,1时， f x=ax3-x2-1，则 f x的最大值与最小值的差为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2【答案】A
【详解】对任意的xÎR， f -1+x- f -1-x=0， f 1+x+ f 1-x=0，
所以 f x的图象关于直线x=-1对称，又关于点1,0对称，
所以 f -2+x= f -x， f 2+x+ f -x=0，
所以 f x+2+ f x-2=0，所以 f x+4+ f x=0，即 f x+4=-f x，
所以 f x+8=-f x+4= f x，故 f x是周期为8的周期函数．
因为 f x的定义域为R，所以对称中心1,0在 f x的图象上，可得 f 1=a-2=0，则a=2．
当xÎ-1,1时， f x=2x3-x2-1，有 f¢x=2x3x-1，
1 1
当-1£x<0或 <x£1时， f¢x>0；当0<x< 时， f¢x<0.
3 3
æ 1ö æ1 ù
可知 f x在-1,0上递增，在区间ç0, ÷上递减，在ç ,1
ú
上递增．
è 3ø è3 û
æ1ö 1 1 28
当xÎ-1,1时， f x = f 0=-1， f x = f ç ÷=2´ - -1=- ，
极大值 极小值 è3ø 27 9 27
又因为 f -1=-4， f 1=0，所以 f x =-4， f x =0，
min max
由于 f x的图象关于点1,0对称，故当xÎ1,3时， f x =4， f x =0．
max min
故当xÎ-1,3时， f x =-4， f x =4．
min max
由于 f x的图象关于直线x=-1对称，故当xÎ-5,3时， f x =-4， f x =4．
min max
因为 f x是周期为8的周期函数，故当xÎR时， f x =-4， f x =4．
min max
因此 f x的最大值与最小值的差为4--4=8.
7．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数 f(x)是定义在R上的偶函数，y= f(x-1)关于(2,0)中心对称，则
下列说法正确的是（ ）
A． f(x)的一个周期为6 B． f(-1)=0
2026
C． f(2)=0 D．å f(i)=0
i=1
【答案】B
【详解】选项A，
Q
y= f(x-1)的图像向左平移1个单位得到y= f(x)，
又y= f(x-1)关于(2,0)中心对称，
\y= f(x)关于(1,0)中心对称，\f(1+x)=-f(1-x)，
将 f(1+x)=-f(1-x)式子中的x用x+1代替，得到 f(2+x)=-f(-x)，
Q
f(x)是定义在R上的偶函数，\f(-x)= f(x)，
\f(2+x)=-f(x)，将此式子中的x用x+2代替，得到 f(4+x)=-f(2+x)= f(x)，则 f(x)是一个以4为周期的周期函数，故选项A错误；
选项B，
Q
y= f(x)关于(1,0)中心对称， f(x)的定义域为R，\f(1)=0，
Q
f(x)是定义在R上的偶函数，\f(-1)= f(1)=0，故选项B正确；
选项C，
Q
f(2+x)=-f(x)，\f(2)=-f(0)，但是 f 0根据题中已知条件无法得到，故选项C错误；
选项D，
Q
f(x)是一个以4为周期的周期函数，
\f(3)= f(-1) ， f(4)= f(0)，
f(2+x)=-f(x)，\f(2)=-f(0)，\f(2)+ f(0)=0，
Q
\f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)= f(1)+ f(2)+ f(-1)+ f(0)，
f(-1)= f(1)=0，\f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)= f(2)+ f(0)=0，
Q
2026
\åf(i)=506´f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)+ f(1)+ f(2)= f(1)+ f(2)= f(2)，
i=1
2026
仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出å f(i)=0，故选项D错误.
i=1
8．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数 f x及其导函数gx的定义域均为R，gx在R上单调递增，
gx+1为奇函数，则（ ）
A．g1=0 B．gx=g2-x
æ 4ö
C． f x的图象关于直线x=1对称 D． f çlog ÷< f log 5
è 2 3ø 4
【答案】AC
【详解】因为gx+1为奇函数，所以gx+1=-g-x+1，
令x=0，得g1=-g1，得g1=0，故A正确；
令t =x+1，则gt=-g2-t，即gx=-g2-x，
若gx=g2-x，则gx=0恒成立，与gx在R上单调递增矛盾，故B错误；
因为gx=-g2-x，所以gx的图象关于点1,0中心对称，
又g1=0，gx在R上单调递增，所以x<1时gx<0，x>1时gx>0，
故 f x在-¥,1上单调递减，在1,+¥上单调递增，
又函数 f x的导函数为gx，则 f¢x=-f¢2-x，得 f x= f 2-x+c，其中c为常数，
令x=1，得 f 1= f 1+c，得c=0，故 f x= f 2-x，
故 f x的图象关于直线x=1对称，故C正确；
æ 4ö æ 4ö
由 f x的对称性可知， f çlog ÷= f ç2-log ÷= f log 3，
è 2 3ø è 2 3ø 2æ 4ö
因为log 3=log 9>log 5>log 4=1，以及 f x的单调性可知， f çlog ÷> f log 5，故D错误.
2 4 4 4 è 2 3ø 4
9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数 f(x)的定义域为Z，若 f(x+y)= f(x)f(1-y)+ f(y)f(1-x)，且
10
f(1)=-f(-1)=1，则å f(2i)=（ ）
i=1
A．0 B．1 C．10 D．20
【答案】A
【详解】令x= y=0，则 f(0)=0，
令x= y=1，则 f(2)=2f(1)f(0)=2f(0)=0．
令y=1，则 f(x+1)= f(-x+1)，所以函数 f(x)的图象关于直线x=1对称．
令y=-1，则 f(x-1)= f(x)f(2)+ f(1-x)f(-1)=-f(1-x)，
所以 f(x)=-f(-x)， f(x)的图象关于点(0,0)对称．
由 f(x+1)= f(-x+1)和 f(x-1)=-f(1-x)，可得 f(x-1)=-f(x+1)，
令t=x-1，则 f t=-f t+2，
故 f(x+2)= f(-x)=-f(x)，则 f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]= f(x)，
f(x)是周期T =4的函数．
10
又 f(0)=0, f(1)=1, f(2)=0, f(-1)=-1，所以å f(2i)=10´0=0．
i=1
æ 4ö æ 2ö
10．（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为R的偶函数 f x满足 f çx+ ÷= f çx+ ÷- f x，且 f x在0,2
è 3ø è 3ø
上是单调递增函数，若函数gx= fx- fx-1，则下列结论正确的是（ ）
A．gx为偶函数 B．gx在2,3上是单调递增函数
C．g1>g3 D．gx+2=gx
【答案】C
æ 4ö æ 2ö 2 æ 4ö æ 2ö
【详解】已知 f çx+ ÷= f çx+ ÷- f(x)（①），将x替换为x+ 得 f(x+2)= f çx+ ÷- f çx+ ÷
è 3ø è 3ø 3 è 3ø è 3ø
（②），
由①+②得 f x+2=-f x，则 f x+4=-f x+2= f x，
即函数 f x周期为4，且 f(x+2)=-f(x)恒成立，
又 f(x)是定义域R的偶函数，故 f(-x)= f(x)，且 f(x)在[0,2]单调递增，
因此 f(2)> f(0) ，结合 f(2)=-f(0)得 f(0)<0.
选项A：g(-x)= f(-x)- f(-x-1)= f(x)- f(x+1)（③），
由 f(x+2)=-f(x)得 f(x+1)=-f(x-1)，代入③式得g(-x)= f(x)+ f(x-1)，而g(x)= f(x)- f(x-1)，显然g(-x)¹ g(x)，故A错误；
选项B：xÎ[2,3]时， f(x)=-f(x-2)，x-2Î[0,1]， f(x-2)递增，
故 f(x)在[2,3]递减； 同时x-1Î[1,2]， f(x-1)在[1,2]上单调递增，
因此g(x)= f(x)- f(x-1)，根据单调性运算性质可知g(x)递减函数，故B错误；
选项C：g(1)= f(1)- f(0), g(3)= f(3)- f(2)= f(-1)-(-f(0))= f(1)+ f(0)因此g(1)-g(3)=-2f(0)，
已知 f(0)<0，故-2f(0)>0Þg(1)>g(3)，故C正确；
选项D：g(x+2)= f(x+2)- f(x+1)=-f(x)-(-f(x-1))=-[f(x)- f(x-1)]=-g(x)¹g(x)，故D错误.
押题猜想 02 平面向量-投影向量、最值问题
试题前瞻·能力先查
限时：4min
π
【原创题】已知菱形ABCD的边长为2，ÐBAD= ，点Q在线段DC上，点P在线段BC上，BP=QC，
3
uuur uuur
则DP×BQ的最大值为（ ）
3 3
A．- B．2 C． D．－2
2 2
【答案】A
π π
【详解】在边长为2的菱形ABCD中，由ÐBAD= ，得ÐBCD= ，由点Q在线段DC上，
3 3
uuur uuur uuur uuur
令CQ=lCD,0£l£1，由点P在线段BC上， BP=QC，得CP=(1-l)CB，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则BQ=CQ-CB=lCD-CB,DP=CP-CD=(1-l)CB-CD，
uuur uuur π uuur uuur uuur uuur uuur uuur
而CB×CD=2´2cos =2，因此DP×BQ=[(1-l)CB-CD]×(lCD-CB)
3
=[l(1-l)+1]C
uu
B
ur
×C
uu
D
ur
-(1-l)C
uu
B
ur2
-lC
uu
D
ur2
=2(l-l2+1)-4(1-l)-4l
1 3 3 1
=-2l2+2l-2=-2(l- )2- £- ，当且仅当l= 时取等号，
2 2 2 2
uuur uuur 3
所以DP×BQ的最大值为- .
2
分析有理·押题有据位置极其固定，全国Ⅱ卷多年稳定在选择第5～8题，一道纯向量小题，5分必出，极少缺席。难度适
中、区分度好，不偏不难，但很容易因公式记错、投影搞反、几何转化不到位丢分，是二轮必抓稳分点。
新高考命题偏好“几何+代数”双视角，向量既能考坐标运算，又能考几何投影、数量积、模长最值，完美
契合“数形结合”素养。可与圆锥曲线、解三角形、立体几何自然结合，单独考小题，也常作为大题工具
出现，命题灵活、覆盖面广。
近5年全国Ⅱ/甲卷真题高频重复，向量数量积与夹角；投影与投影向量；模长最值、系数线性组合最
值；向量与三角形四心（重心、外心、垂心、内心）简单结合，考纲与教材核心要求明确要求掌握：向量
线性运算、数量积、投影、模长公式、坐标运算，以及向量在几何中的应用。2026各地模拟卷高度一致
一模二模普遍聚焦：投影向量计算；数量积范围问题，与全国卷命题风格完全同频。反套路但不超纲
不考复杂技巧，重在公式理解与几何直观，非常适合高考基础中档题定位。
密押预测·精练通关
uuur uuur
1．（2026·四川·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为2，点E在线段AC上，则AE×BE的最小值为（ ）
3 1 1 1
A．- B．- C．- D．-
4 2 4 8
【答案】B
uuur uuur uuur
【详解】在边长为2的正方形ABCD中，AC = AB+BC，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
设AE=xAC =x(AB+BC),0£x£1，BE= AE-AB=(x-1)AB+xBC，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
而AB×BC =0，因此AE×BE=x(AB+BC)×[(x-1)AB+xBC]=4x(x-1)+4x2
1 1 1 1
=8x2-4x=8(x- )2- ³- ，当且仅当x= 时取等号，
4 2 2 4
uuur uuur 1
所以AE×BE的最小值为- .
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2．（2026·山西朔州·一模）已知向量AB=2,-1,BC =m,4，且 AB+AC = AB-AC ，则 AC =（ ）
3 5 61
A．3 2 B． 34 C． D．
2 2
【答案】C
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】因为 AB+AC = AB-AC ，所以(AB+ AC)2 =(AB-AC)2，展开整理得AB×AC =0，
uuur uuur uuur uuur uuur
由AB=2,-1,BC =m,4得AC = AB+BC =m+2,3，即2m+2-3=0，
1 uuur æ3 ö
所以m=- ，即AC =ç ,3÷
2 è2 ø
uuur æ3ö 2 3 5
所以 AC = ç ÷ +32 = .
è2ø 2uur uur uur
3．（2026·山西晋中·模拟预测）在平面内，某质点在三个力F,F,F 的作用下恰好处于平衡状态，其中
1 2 3
uur uur uur uur
F =(3,-2),F =(-1,2)，则F 在F 上的投影向量的坐标为（ ）
2 3 3 1
A．-2,0 B．-1,0
æ 2 5 4 5ö æ2 5 4 5ö
C．ç- , ÷ D．ç ,- ÷
ç 5 5 ÷ ç 5 5 ÷
è ø è ø
【答案】B
uur uur uur uur uur uur r
【详解】因为三个力F,F,F 的作用下恰好处于平衡状态，所以F +F +F =0，
1 2 3 1 2 3
uur uur uur uur r uur
设F =x,y，根据向量的坐标运算，F +F +F =x+2,y=0，所以x=-2,y=0，所以F =-2,0.
1 1 2 3 1
uur uur uur
因为 u F ur 3g u F ur 1 =2, u F ur 1 =2，所以 u F ur 3 在 u F ur 1 上的投影向量的坐标为 F 3 u F g ur F 1 gu F F ur 1 =-1,0 .
1 1
4．（2026·辽宁大连·模拟预测）在 V ABC中，点D是直线BC上一点，且满足 u B u D ur = 1 C uu B ur ，若C uu D ur =mr，
2
u A u B ur =nr，则 u A u C ur =（ ）
2 2 2 2
A． mr+nr B． mr-nr C．- mr-nr D．- mr+nr
3 3 3 3
【答案】D
【详解】由 u B u D ur = 1 C uu B ur 得C uu D ur =C uu B ur + u B u D ur =C uu B ur + 1 C uu B ur = 3 C uu B ur ，所以C uu B ur = 2 C uu D ur = 2 mr ．
2 2 2 3 3
又 u B u C ur =-C uu B ur =- 2 mr，而 u A u B ur =nr，
3
则 u A u C ur = u A u B ur + u B u C ur =nr+ æ ç- 2 mrö ÷=- 2 mr+nr ．
è 3 ø 3
故选：D.
5．（2026·辽宁大连·一模）已知点P是圆C:x-22+y2 =4上一点，直线l:kx-y-k+1=0与圆C相交于
uuur uuur
A，B两点，则 PA+PB 的最大值为（ ）
A．2+ 2 B．2+2 2 C．4+ 2 D．4+2 2
【答案】D
【详解】依题意，直线l:kx-y-k+1=0可化为kx-1-y-1=0，所以直线l过定点D1,1；
圆C:x-22+y2 =4的圆心为C2,0，半径为r=2，所以CD = 2 <2，所以定点D在圆C的内部；如上图（左），作AB的中点M ，则 u P u A ur + u P u B ur =2 u P u M uur ，所以 u P u A ur + u P u B ur =2 u P u M uur ；
uuuur uuur
如上图（中），在△DCM 中，CM £ CD = 2，当D与M 重合时取等号，此时AB^CD；
uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur
如上图（右），在△PCM 中， PM £ PC + CM =r+ CM =2+ CM ，当PC与CM 共线时取等号；
uuur uuur uuuur uuur  uuur  
所以 PA+PB =2 PM £2 PD £2 2+ CD £2 2+ 2 =4+2 2.当D与M 重合，且AB^CD，P,C,D共线
时取等号.
故选：D.
6．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量m ur =1,2，n r =  5-2t2,t  满足m ur -2n r =-5,0，则向量m ur 与n r 的夹角为
（ ）
π π 3π 5π
A． B． C． D．
6 4 4 6
【答案】B
【详解】因为mr-2nr=(1,2)-2(5-2t2,t)=(4t2-9,2-2t)=-5,0，
ì4t2-9=-5
所以í ，解得t=1，
î2-2t =0
所以nr=3,1，
mr×nr 3+2 2
所以cos mr,nr = = = ，又0£ mr,nr £π，
mr nr 1+4 9+1 2
ur r π
所以向量m与n的夹角为 ，
4
故选：B
uuuur uuur uuur
7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知点M 是
V
ABC的重心，若BM =lAB+mAC，则l+2m=（ ）
1
A．-1 B．- C．0 D．1
3
【答案】C
【详解】uuuur uuuur
设D是AC的中点，则BM =2MD.
uuuur 2uuur 2æ1uuur uuurö 1uuur 2uuur
所以BM = BD= ç AC-AB÷= AC- AB.
3 3è2 ø 3 3
uuuur uuur uuur 2 1
因为BM =lAB+mAC，所以l=- ,m= ，
3 3
因此l+2m=0.
8．（2026·黑龙江·一模）如图，已知正方形ABCD的边长为2，且F为AD边中点，BF与AC交于点E，
uuur uuur
则BE×BC =________．
4 1
【答案】 /1
3 3
BE BC
【详解】在正方形ABCD中，因为F 为AD中点，所以
V
AEF
:V
CEB，且 = =2，
FE FA
uuur 2uuur 2æuuur 1uuurö 2uuur 1uuur
则BE= BF = çBA+ BC÷= BA+ BC，
3 3è 2 ø 3 3
uuur uuur æ2uuur 1uuurö uuur 2uuur uuur 1uuur uuur
则BE×BC =ç BA+ BC÷×BC = BA×BC+ BC×BC
è3 3 ø 3 3
=
1u
B
u
C
ur2
=
1
´22 =
4
.
3 3 3
æπ πö
9．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 f(x)=sinç x+ ÷的图象在y轴右侧的第一个最高点
è3 6ø
uuur uuur
和第一个最低点分别为A和B，O为坐标原点，则OA×OB=_________．
【答案】3æπ πö π π π uuur
【详解】由函数 f(x)=sinç x+ ÷，令 x+ = ，解得x=1，所以A(1,1)，即OA=(1,1)，
è3 6ø 3 6 2
π π 3π uuur
再令 x+ = ，解得x=4，所以B(4,-1)，即OB=(4,-1)
3 6 2
uuur uuur
所以OA×OB=4-1=3。
10．（2026·贵州毕节·二模）已知向量ar=(1,-4)，b r =(2,3)，则向量ar在向量b r 上的投影向量为（ ）
æ10 15ö æ 10 15ö æ 20 30ö æ20 30ö
A．ç , ÷ B．ç- ,- ÷ C．ç- ,- ÷ D．ç , ÷
è13 13ø è 13 13ø è 13 13ø è13 13ø
【答案】C
【详解】因为ar=(1,-4)，b r =(2,3)，\ar×b r =1´2-4´3=-10，b r = 4+9 = 13，
b r æ ar×b rö ar×b r r -10 æ-20 -30ö
则向量ar在向量b r 上的投影向量为 b r ×ç ç b r ÷ ÷ = b r2 ×b = 13 2,3=ç è 13 , 13 ÷ ø .
è ø
押题猜想 03 三角函数-三角换元、𝛚范围求解
试题前瞻·能力先查
限时：4min
【原创题】若函数 f x=-1-sinwx（w>0）在0,π内存在唯一的x ，使得 f x =-2，则w的取值可能
0 0
为（ ）
1 5
A． B． C．1 D．3
2 2
【答案】BC
【详解】由 f x=-1-sinwx=-2，知sinwx=1在0,π内存在唯一的解.
π 5π 1 5
当xÎ0,π时，wxÎ0,wπ，则 <wπ£ ，即 <w£ ，
2 2 2 2
因仅有选项B,C中的值在此范围，故B,C正确.
分析有理·押题有据
小题必考，位置稳定，全国Ⅱ卷连续多年固定在选择第6～9题出一道三角函数小题，分值5分，几乎
从不缺席。ω范围问题是近年“固定压轴小题”三角函数图像性质、单调性、零点、对称轴求 ω 范围，
是全国卷最爱的中档拉分题，区分度极高。三角换元是二轮隐形高频工具，常在求最值、圆锥曲线参数方
程、不等式中出现，属于“不单独考但处处用”的核心方法。完美契合新高考方向，重图像、重性质、重
数形结合，不考死记硬背，非常适合考查数学素养。2026全国Ⅱ卷三角函数小题必出，ω范围题概率接近100%，三角换元大概率在函数/解析几何最值中用到。
近5年全国Ⅱ/甲卷真题高度重复，三角函数图像平移、伸缩变换；由单调性、零点、对称轴求 ω 范
围；- 三角恒等变换与最值；三角换元求无理函数、二次型最值，考纲与教材核心要求掌握正弦型函数
y=Asin(wx+ų) 图像与性质；掌握同角关系、诱导公式、和差倍角；会用换元思想转化问题，2026各地一模
二模一致指向各地模拟卷高频出现：给定区间单调 → 求 ω；给定零点个数 → 求 ω；给定对称轴/极值
点 → 求 ω完全贴合全国卷命题风格。命题稳定、难度可控既能基础送分，又能适度综合卡中档学生，是
命题人最爱的题型之一。
密押预测·精练通关
π 3π æ πö
1．（2026·云南·模拟预测）若 <a-b< ,cosa-2sinb= 2,sina+2cosb=-1，则sinçb+ ÷＝（ ）
2 2 è 6ø
3 6 3 6
A． B． C．- D．-
3 3 3 3
【答案】D
ìïsina+2cosb=-1 ìsin2a+4sinacosb+4cos2b=1
【详解】由题设í ，则í ，
ïîcosa-2sinb= 2 îcos2a-4cosasinb+4sin2b=2
1
所以4sinacosb-4cosasinb+5=3，可得sinacosb-cosasinb=sin(a-b)=- ，
2
π 3π 7 7
由 <a-b< ，则a-b= π，故b=a- π，
2 2 6 6
æ 7 ö
代入cosa-2sinb= 2，则cosa-2sinça- π÷= 2，
è 6 ø
æ7 ö æ πö
所以cosa+2sinç π-a÷= 2，则cosa+2sinça- ÷= 2，
è6 ø è 6ø
π π 6
所以cosa+2sinacos -2cosasin = 3sina= 2Þsina= ，
6 6 3
æ πö æ 7 πö 6
所以sinçb+ ÷=sinça- π+ ÷=-sina=- .
è 6ø è 6 6ø 3
 π 1
2．（2026·云南大理·二模）将函数 f(x)=sin x+ 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标保持不
3 2
π
变，再将所得图象向右平移 个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论中正确的是（ ）
6
A．g(x)的最小正周期为4π
é πù
B．g(x)在 0, 上只有一个零点
ê ú
ë 3û
é πù
C．g(x)在 0, 上单调递增
ê ú
ë 2ûæ5π ö
D．点ç ,0÷是g(x)图象的一个对称中心
è 2 ø
【答案】BD
æ πö 1
【详解】将函数 f(x)=sinçx+ ÷的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标保持不变，
è 3ø 2
æ πö π
可以得到y=sinç2x+ ÷，再将所得图象向右平移 个单位长度，
è 3ø 6
é æ πö πù
可得到函数g(x)=sin
ê
2çx- ÷+
ú
=sin2x的图象．
ë è 6ø 3û
2π
对于A选项，函数g(x)=sin2x的最小正周期为T = =π，A选项错误；
2
é πù é 2pù
对于B选项，xÎ 0, ，2xÎ 0, ，g(x)=sin2x=0解得x=0，
ê ú ê ú
ë 3û ë 3 û
g(x)只有一个零点，B选项正确；
é πù
对于C选项，xÎ 0, ，2xÎ[0,π]，而y=sint在[0,π]上不单调，
ê ú
ë 2û
é πù
故g(x)=sin2x在 0, 上并不单调，C选项错误；
ê ú
ë 2û
æ5pö
对于D选项，gç ÷=sin5p=sinp=0，D选项正确．
è 2 ø
故选：BD.
sin2x
3．（2026·山西朔州·一模）已知 f x= +2cosx，则（ ）
cosx
A． f x是偶函数
3π
B． f x的图象关于直线x= 对称
2
C． f x的值域为é-2 2,2 2ù
ë û
D．当 f x=a在 æ ç0, πö ÷有2个不同实根x,x 时，ax +x 的取值范围是  π, 2π 
è 2ø 1 2 1 2
【答案】AD
ì π ü
【详解】 f x的定义域为íx x¹ +kπ,kÎZý，关于原点对称，
î 2 þ
sin-2x sin2x
f -x= +2cos-x= +2cosx= f x，所以 f x为偶函数，A正确；
cos-x cosx
sin23π-x sin2x æ3π ö
f 3π-x= +2cos3π-x= -2cosx=-f x，所以 f x关于ç ,0÷对称，B错；
cos3π-x -cosx è 2 øπ π æ πö
当xÎ(- +2kπ,2kπ]È( +2kπ,π+2kπ]，kÎZ时， f x=-2sinx+2cosx=-2 2sinçx- ÷，
2 2 è 4ø
π 3π π π 3π
x- Î(- +2kπ,- +2kπ]È( +2kπ, +2kπ]，kÎZ，则 f xÎé-2 2,-2ùÈé2,2 2ù，
ë û ë û
4 4 4 4 4
æ π ö æ 3π ö æ πö
当xÎç2kπ, +2kπ÷Èçπ+2kπ, +2kπ÷，kÎZ时， f x=2 2sinçx+ ÷，
è 2 ø è 2 ø è 4ø
x+ π Î æ ç π +2kπ, 3π +2kπ ö ÷È æ ç 5π +2kπ, 7π +2kπ ö ÷，kÎZ，则 f xÎé ë -2 2,-2  È  2,2 2ù û ，
4 è4 4 ø è 4 4 ø
综上可得 f x的值域为é-2 2,-2ùÈé2,2 2ù，C错；
ë û ë û
æ πö æ πö
xÎç0, ÷时， f x=2 2sinçx+ ÷，图象如下所示：
è 2ø è 4ø
所以aÎ  2,2 2  ，x +x = π ，则ax +x Î  π, 2π  ，D正确.
1 2 2 1 2
4．（2026·山西运城·一模）若函数 f x=π  sin4x+cos4 x  的图象关于点m,nm<0对称，则m+n的最大
值为（ ）
π 3π 5π 7π
A． B． C． D．
8 8 8 8
【答案】C
【详解】 f x=π  sin4x+cos4 x  =π é sin2x+cos2x 2 -2sin2 xcos2 x ù =πé1-2sin2xcos2xù=π é 1- 1 sin22x ù .
êë úû ë û ê ë 2 ú û
1-cos4x é 1-cos4xù π
因为sin22x= ，所以 f x=π 1- = 3+cos4x .
ê ú
2 ë 4 û 4
π π kπ æπ kπ 3πö
令4x= +kπ,kÎZ，得x= + ,kÎZ，所以函数 f x的对称中心为ç + , ÷,kÎZ.
2 8 4 è8 4 4 ø
因为函数 f x=π  sin4x+cos4 x  的图象关于点m,nm<0对称，
π kπ 1
所以 + <0，解得k <- ，取最大的整数k =-1.
8 4 2
π π π 3 π 3 5
此时m = - =- ,n= π，所以m+n的最大值为m+n=- + π= π.
max 8 4 8 4 8 4 8
æ pö
5．（2026·山西大同·一模）下列关于函数 f x=4sinç2x- ÷的说法正确的是（ ）
è 8øp
A．直线x= 是函数y= f x图象的一条对称轴
16
é p pù
B． f x在区间 - , 上单调递增
ê ú
ë 8 8û
p
C． f x的图象可通过y=4sin2x的图象上所有点向右平移 个单位长度得到
8
p
D．若x ¹ x ，且 f x = f x =2，则 x -x =
1 2 1 2 1 2 min 3
【答案】BD
æ π ö æπ πö π
【详解】对于A， f ç ÷=4sinç - ÷=0，0不是函数的最值，所以函数不关于x= 对称，故A错误；
è16ø è8 8ø 16
π π π 3π 5π
对于B，令- +2kπ£2x- £ +2kπ，kÎZ，解得- +kπ£x£ +kπ，kÎZ，
2 8 2 16 16
é 3π 5π ù
所以函数 f x的单调递增区间为 - +kπ, +kπ kÎZ，
ê ú
ë 16 16 û
é 3π 5πù
令k =0，得函数 f x在 - , 上单调递增，
ê ú
ë 16 16û
é π πù é 3π 5πù é p pù
又 - , Í - , ，所以函数 f x在 - , 上单调递增，故B正确；
ê ú ê ú ê ú
ë 8 8û ë 16 16û ë 8 8û
p é æ πöù æ πö
对于 C，将函数y=4sin2x的图象上所有点向右平移 个单位长度得到y=4sin ê 2çx- ÷ú =4sinç2x- ÷，
8 ë è 8øû è 4ø
故C错误；
æ πö æ πö 1 π π π 5π
对于D，4sinç2x- ÷=2，解得sinç2x- ÷= ，2x - = +2kπ,k ÎZ，2x - = +2k π,k ÎZ，
è 8ø è 8ø 2 1 8 6 1 1 2 8 6 2 2
π
则 x -x = - +k -k π,k -k ÎZ，
1 2 3 1 2 1 2
p
故当k =k 时， x -x = ，故D正确.
1 2 1 2 min 3
x æ π πö
6．（2026·辽宁抚顺·一模）已知函数 f x=sin2x+j- ç- <j< ÷，若函数 f x与gx的图象关于
π è 2 2ø
π 1
直线x= 对称，且g0= ，则j=（ ）
6 6
π π π π
A． B． C． D．
12 6 4 3
【答案】B
æπö 1 æpö æ2π ö 1 1 æ2π ö 1
【详解】由题意知 f ç ÷=g0= ，所以 f ç ÷=sinç +j÷- = ，所以sinç +j÷= .
è3ø 6 è 3ø è 3 ø 3 6 è 3 ø 2
π π π 2π 7π 2π 5π π
因为- <j< ，所以 < +j< ，所以 +j= ，解得j= .
2 2 6 3 6 3 6 6æ πö
7．（2026·辽宁·模拟预测）将函数 f x= Asinwx+j+b,çA>0,w>0,0<j< ÷的图象按照以下顺序进
è 2ø
行变换：
π 1 1
①向左平移 个单位长度；②横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 倍；③向下平移 个单位长度，
6 2 2
可得到函数gx=sinx的图象．则下列结论正确的是（ ）
é π 3π ù
A．若 f x³0，则x的取值范围为 +kπ, +kπ kÎZ
ê ú
ë12 4 û
æ wxö é 2π πù
B．若函数 f ç- ÷,w>0在-π,0上的图象与直线y=1有且只有一个交点，在
ê
- ,
ú
上单调递减，
è 2 ø ë 5 3û
é1 1ù
则wÎ ,
ê ú
ë3 2û
æ 7πö é πù
C．若函数 f çx+ ÷-1在区间
ê
t,t+
ú
上的最值分别为m,n，则 m-n 的取值范围是é
ë
2-1,2ù
û
è 24ø ë 4û
D．若方程 f x= 3 在0,π内恰有两个根x,x x <x ，则sin2x -2x =- 15
2 1 2 1 2 1 2 8
【答案】ABD
π
【详解】由题意得将 f(x)= Asin(wx+j)+b的图象向左平移 个单位长度，
6
é æ πö ù æ π ö
则y= Asin
ê
wçx+ ÷+j
ú
+b= Asinçwx+ w+j÷+b，
ë è 6ø û è 6 ø
1
而横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 倍，
2
1æ æw π ö ö 1 æw π ö b
得到y= çAsinç x+ w+j÷+b÷= Asinç x+ w+j÷+ ，
2è è 2 6 ø ø 2 è 2 6 ø 2
1
而向下平移 个单位长度，
2
1 æw π ö b 1
可得gx= Asinç x+ w+j÷+ - =sinx，
2 è 2 6 ø 2 2
π æ πö
则A=2,w=2,j=- ,b=1，即 f(x)=2sinç2x- ÷+1.
3 è 3ø
æ πö æ πö 1
对于A，由 f(x)=2sinç2x- ÷+1³0，得sinç2x- ÷³- ，
è 3ø è 3ø 2
π π 7π
由三角函数的图象可得- +2kπ£2x- £ +2kπkÎZ，
6 3 6
é π 3π ù
可得x的取值范围为 +kπ, +kπ kÎZ，故A正确；
ê ú
ë12 4 ûæ wxö é æ wxö πù π
对于B，由题意得 f ç- ÷=2sin ê 2´ç- ÷- ú +1=-2sin(wx+ )+1，
è 2 ø ë è 2 ø 3û 3
π π
令-2sin(wx+ )+1=1，可得wx+ =kπ,kÎZ，
3 3
π é π πù
而xÎ-π,0，则wx+ Î -wπ+ , ，
ê ú
3 ë 3 3û
æ wxö
若 f ç- ÷在-π,0上的图象与直线y=1有且只有一个交点，
è 2 ø
π
则wx+ =kπ,kÎZ在-π,0上有且只有一个解，
3
π é1 4ö
可得-wπ+ Î-π,0，解得wÎ
ê
, ÷.
3 ë3 3ø
æ wxö é 2π πù π é 2π πù
若 f ç- ÷在
ê
- ,
ú
上单调递减，则y=2sin(wx+ )在
ê
- ,
ú
上单调递增，
è 2 ø ë 5 3û 3 ë 5 3û
é 2π πù π é 2πw π πw πù
因为xÎ - , ，所以wx+ Î - + , + ，
ê ú ê ú
ë 5 3û 3 ë 5 3 3 3û
π é π πù
令t =wx+ ，由正弦函数性质得y=sint在 - , 上单调递增，
ê ú
3 ë 2 2û
ì 2πw π π
- + ³-
ï ï 5 3 2 æ 1ù
可得í ，解得wÎç0,
ú
，
ï πw + π £ π è 2û
ïî 3 3 2
é1 1ù
综上可得，wÎ , ，故B正确；
ê ú
ë3 2û
æ 7πö é 7π πù æ πö
对于C，由题意得 f çx+ ÷-1=2sin
ê
2(x+ )-
ú
=2sinç2x+ ÷，
è 24ø ë 24 3û è 4ø
æ 7πö é πù
不妨设函数 f çx+ ÷-1在区间
ê
t,t+
ú
上的最大值为m，最小值为n，
è 24ø ë 4û
π é π ù π é π πù
令t =- ，则区间变为 - ,0 ，可得2x+ Î - , ，
ê ú ê ú
4 ë 4 û 4 ë 4 4û
æ πö
则2sinç2x+ ÷Îé
ë
- 2, 2ù
û
，即m= 2,n=- 2，
è 4ø
此时 m-n = 2-(- 2) =2 2，
即 m-n 的取值范围是é 2-1,2ù不成立，故C错误；
ë û
π t π æ π 5πö
对于D，令2x- =t，则x= + ，tÎç- , ÷，
3 2 6 è 3 3 ø
3
若方程 f(x)= 在0,π内恰有两个根x，x x <x ，
2 1 2 1 23 1 æ π 5πö æ π ö
则2sint+1= ，即sint = 在ç- , ÷内恰有两个根t ,t ç0<t < <t <π÷，
2 4 è 3 3 ø 1 2 è 1 2 2 ø
1 15
则sint =sint = ，且t +t =π，得到cost =-cost = ，
1 2 4 1 2 1 2 4
15
故sin2x -2x =sint -t =sint cost -cost sint =- ，故D正确.
1 2 1 2 1 2 1 2 8
故选：ABD
æ 2026πö æπ ö
8．（2026·广西·模拟预测）已知函数 f x=tançwx+ ÷（w>0），若曲线y= f x关于点ç ,0÷中
è 3 ø è3 ø
心对称，则w的最小值为__________.
1
【答案】 /0.5
2
ækπ ö
【详解】由正切函数性质可知，函数y=tanx的对称中心为ç ,0÷,kÎZ，
è 2 ø
æπ ö
因为曲线y= f x关于点ç ,0÷中心对称，
è3 ø
π 2026π kπ 3k
所以w´ + = ,kÎZ，即w= -2026,kÎZ
3 3 2 2
3k 4052
因为w>0，所以 -2026>0，解得k > ，
2 3
1
因为kÎZ，所以k =1351，故w = .
min min 2
1
故答案为：
2
æ πö
9．（2026·陕西铜川·一模）设 f x为奇函数，将 f x的图像向左平移jç0<j< ÷个单位长度后，得到函
è 2ø
数gx=sin2x+ 3cos2x的图像，则j=（ ）
π π π 5π
A． B． C． D．
12 6 3 12
【答案】B
æ1 3 ö
【详解】gx=sin2x+ 3cos2x=2ç sin2x+ cos2x÷
ç2 2 ÷
è ø
æ π πö æ πö
=2çsin2xcos +cos2xsin ÷=2sinç2x+ ÷，
è 3 3ø è 3ø
æ πö
因为将 f x的图像向左平移jç0<j< ÷个单位长度后，得到函数gx=sin2x+ 3cos2x的图像，
è 2ø
æ πö
所以gx向右平移jç0<j< ÷个单位长度后，得到函数 f x的图像，
è 2øé πù æ πö
所以 f x=gx-j=2sin
ê
2x-j+
ú
=2sinç2x-2j+ ÷，
ë 3û è 3ø
π π kπ
又因为 f x为奇函数，所以-2j+ =kπ,kÎZ，所以j= - ,kÎZ，
3 6 2
π π
又0<j< ，所以j= .
2 6
故选：B.
æ πö π
10．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数 f x=tanwx+j çw>0,j< ÷，x= 为 f x的一个零点， f x
è 2ø 6
æ5π ö æπ 5πö
的图象关于点ç ,0÷对称，且 f x在ç , ÷上单调递增，则（ ）
è12 ø è6 12ø
A．w=2
p
B．j=
6
æ5πö
C． f ç ÷=0
è 3 ø
æ π ö
D． f x在ç- ,0÷上单调递增
è 6 ø
【答案】AC
π æ5π ö æπ 5πö
【详解】因为 f x=tanwx+j的一个零点为x= ， f x的图象关于点ç ,0÷对称，且 f x在ç , ÷
6 è12 ø è6 12ø
上单调递增，
π æ5π πö π
所以 =T =2ç - ÷= ，所以w=2，A正确；
w è12 6ø 2
æπö æπ ö π π
由 f ç ÷=tanç +j÷=0及j< ，得j=- ，B错误；
è6ø è3 ø 2 3
æ πö æ5πö æ10π πö
所以 f x=tanç2x- ÷, f ç ÷=tanç - ÷=tan3π=0，C正确；
è 3ø è 3 ø è 3 3ø
π π π
因为x=- 时， f x不存在，因为- <- <0，
12 6 12
æ π π ö æ π ö
所以函数 f x在ç- ,- ÷,ç- ,0÷上单调递增，故D错误．
è 6 12ø è 12 ø
押题猜想 04 圆锥曲线离心率及面积比值范围问题
试题前瞻·能力先查
限时：4minx2 y2
【原创题】已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F ，F ，经过F 的直线与C的右支交于
a2 b2 1 2 2
1
A，B两点，且cosÐBAF = ， AF = AB ，则C的离心率是（ ）
1 9 1
21 15
A． B． C． 3 D． 5
3 3
【答案】A
【详解】设 AB =m，则 AF = AB =m，
1
由双曲线的定义，可得 AF - AF =2a，所以 AF =m-2a，
1 2 2
又由 BF = AB - AF =m-(m-2a)=2a，
2 2
因为 BF - BF =2a，所以 BF = BF +2a=2a+2a=4a，
1 2 1 2
在 V ABF 1 中，由余弦定理得 BF 1 2 = AB2+ AF 1 2-2 AB AF 1 cosÐBAF 1 ，
1 1 16m2
(4a)2 =m2+m2-2´m2´ ，即16a2 =2m2-2´m2´ = ，
9 9 9
即m2 =9a2，所以m=3a，则 AF =3a, AF =3a-2a=a，
1 2
在△AFF 中，由余弦定理得 FF 2 = AF 2+ AF 2-2 AF AF cosÐFAF ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 7 c2 7
即(2c)2 =(3a)2+a2-2´3a´a´ ，解得c2 = a2，所以 = ，
9 3 a2 3
c 21
所以双曲线的离心率为e= = .
a 3
分析有理·押题有据
地位：小题必考“黄金考点”全国Ⅱ卷每年必有一道离心率小题，位置稳定在选择 6～8题，分值5分，
几乎从不缺席。区分度极强，二轮必争之分入门简单、想快很难，能轻松拉开中等生与尖子生差距，是命
题人最爱用的“卡分题”。可结合：焦点三角形、渐近线、垂直、向量、中点、几何性质，考法多但套路
固定。新高考风格高度契合，重几何性质、轻暴力计算，强调数形结合与转化，完全符合新课标命题思路。
近5年全国Ⅱ/甲卷真题高频重复，焦点三角形求离心率；垂直条件（向量垂直、斜率乘积＝-1）；渐
近线夹角、倾斜角；中点弦、对称点，每年必考一类，从未断档。 考纲与教材核心要求离心率 e=c/a 是描述圆锥曲线形状的核心量，考纲明确要求熟练求解。 2026各地一模二模高度一致各地模拟卷几乎都把离心
率作为小题必考，考法与全国卷高度同频。不超纲、不偏怪，可深可浅，既能简单送分，也能稍加包装变
成小压轴，命题弹性极佳。
密押预测·精练通关
x2 y2
1．（2026·陕西榆林·一模）已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且
a2 b2
4
BM =4 13， AM =10，tanÐBAM = ，则C的离心率为（ ）
3
1 1 2 2 2
A． B． C． D．
3 2 3 3
【答案】A
【详解】因为 BM > AM ，所以点M 在y轴左侧，
4 4
如图，作MN ^x轴，垂足为N ．由tanÐBAM = ，得sinÐBAM = ，
3 5
所以 MN = AM sinÐBAM =8，即 y =8，
M
则 AN = 102-82 =6， BN =  4 13 2 -82 =12，
所以 AB =2a=18，即a=9，则x =-9+6=-3，则点M 的坐标为-3,8或-3,-8，
M
(-3)2 82
结合a=9，将M(-3,8)代入到椭圆方程有 + =1，
81 b2
c 3 1
解得b2 =72，则c= 92-72=3，则e= = = .
a 9 3
2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线C:y2 =12x的焦点为F，点Mx ,y 在抛物线C上，若
0 0
|MF|=9，O为坐标原点，则（ ）
A．x =3 3 B．y =±6 2
0 0
C．|OM |=6 3 D．点F到直线OM的距离为2 2
【答案】BC【详解】抛物线C:y2 =12x的焦点F3,0，准线x=-3，
对于A，由抛物线的定义，得|MF |= x +3=9，则x =6，A错误；
0 0
对于B，由点Mx ,y 在抛物线C上，得y2 =12´6=72，则y =±6 2，B正确；
0 0 0 0
对于C，|OM |= x2+y2 = 36+72 =6 3，C正确；
0 0
1 1
对于D，设点F到直线OM的距离为d，则S = OM·d = OF·y ，d = 6，D错误.
VOFM 2 2 0
x2 y2
3．（2026·陕西商洛·二模）已知双曲线C： - =1a>0,b>0，圆M 为以实轴AA 为直径的圆，试验发
a2 b2 1 2
现将圆M 竖直上移 3个单位或水平右移 6个单位后均与双曲线的渐近线相切，则该双曲线C的离心率为
（ ）
5 6
A． B． C． 2 D． 3
2 2
【答案】B
【详解】由题，圆M：x2+y2 =a2，竖直上移 3个单位或水平右移 6个单位后，
 2  2
分别得到圆M :x2+ y- 3 =a2，M : x- 6 +y2 =a2，
1 2
若圆M ，圆M 均与双曲线的渐近线相切，不妨取渐近线bx-ay=0，
1 2
ì 0- 3a
ï =a
ïï a2+b2 ì ï 3a=ac
有í ，即í ，解得a= 2b，
ï 6b-0 ïî 6b=ac
ï =a
ïî a2+b2
c b2 6
所以双曲线C的离心率e= = 1+ = .
a a2 2
4．（2026·陕西西安·模拟预测）设抛物线C:y2 =2px(p>0)的焦点为F ，准线为l，过点F 的直线交C于A,B
两点，以F 为圆心，|FA|为半径的圆交l于M,N两点.若AM ^l,|FA|=6，则一定有（ ）
A．p=2 B．直线AF 的斜率是 3
C．|AB|=9 D． V AMN 的面积是18 3
【答案】D
【详解】对于A，以F 为圆心， FA为半径的圆交准线l于M，N 两点,且AM ^l,
故 FA = FM = AM ，所以
V
AMF是等边三角形，所以ÐAMF =60o，
设准线l与x轴交于点H,则ÐHMF =30o，如下图：故p= HF = MF sin30o =3,故A错误；
对于B，因为ÐMAF =60o,AM 平行于x轴，
故ÐAFH =120o，故当A点位于第一象限时，直线AF 的倾斜角为60o；
当A点位于第四象限时，直线AF 的倾斜角为120o；所以直线AF 的斜率是± 3，故B不正确；
对于C，因为直线AF 的斜率是± 3，且抛物线C：y2 =6x，
æ 3ö
故直线AB的方程为：y=± 3çx- ÷，
è 2ø
æ 3ö 2
联立方程得3çx-
÷
=6x，即4x2-20x+9=0,
è 2ø
设Ax,y ,Bx ,y ,则x +x =5，故 AB =x +x + p=8，故C不正确；
1 1 2 2 1 2 1 2
对于D,由A知 ÐHMF =30o，故 MH = MF cos30o =3 3,
1
故 MN =2 MH =6 3, S = ´ MN ´ AM =18 3,故D正确.
VAMN 2
y2
5．（2026·陕西铜川·一模）已知双曲线C:x2- =1，的左顶点为A，右焦点为F ，过点A且斜率为k的
3
1
直线l与双曲线C的右支交于点Q，与直线x= 交于点P，下列说法正确的是（ ）
2
A．双曲线C的离心率为2
B．- 3<k < 3
1
C．若AQ^QF，则k=±
2
D．若P是线段AQ的中点，则k=±1
【答案】ABD
y2
【详解】由双曲线C:x2- =1，可得a2 =1,b2 =3，所以a=1,b= 3,c= a2+b2 =2，
3
c 2
所以左顶点A-1,0，右焦点F2,0，离心率e= = =2，故A正确；
a 1
设直线l的方程为y=kx+1，代入双曲线方程得3x2-k2x+12 =3，
整理得  3-k2 x2-2k2x-  k2+3  =0，-k2-3 k2+3
设Qx ,y ，则x ×-1= ，所以x = ，
0 0 0 3-k2 0 3-k2
k2+3
又点Q在双曲线C的右支上，则 ³1，解得- 3<k < 3，故B正确；
3-k2
uuur uuur uuur uuur
若AQ^QF，所以AQ×QF =0，又AQ=x +1,y ,QF =2-x ,-y ，
0 0 0 0
uuur uuur
所以AQ×QF =x +1,y ×2-x ,-y =x +1×2-x -y2 =-x2+x +2-y2，
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
又因为y =kx +1，所以 u A u Q ur ×Q uu F ur =-x2+x +2-k2x +12 =-  k2+1  x2+  1-2k2 x +2-k2
0 0 0 0 0 0 0
æk2+3ö 2 k2+3 -54k2+18
=-  k2+1  ´ç ÷ +  1-2k2 × +2-k2 = =0，
è3-k2
ø
3-k2  3-k22
3
解得k =± ，故C错误；
3
1 æ1 3kö
直线l与直线x= 交于点Pç , ÷，
2 è2 2 ø
1 x 1
若P是线段AQ的中点，则由中点坐标公式得 -
2
+ 0
= 2
，解得x
0
=2，
k2 3
故 + 2，解得k=±1，符合- 3<k < 3，故D正确.
=
3 k2
-
故选：ABD.
x2 y2
6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知双曲线C： - =1（a>0，b>0）的右焦点为F ，半焦距为c.过
a2 b2
3
F 作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，且
V
OHF 的面积为 c2，则C的离心率为（ ）
8
2 3
A．2 B．2或 3 C．2或 5 D．2或
3
【答案】D
b b
【详解】由题可得双曲线的渐近线为y=± x，这里不妨取y= x，即bx-ay=0，
a a
bc bc
点Fc,0到直线bx-ay=0的距离 FH = = =b，
a2+b2 c在 V OHF 中OH = OF 2- FH 2 = c2-b2 =a，
1 1 3
所以S = ·OH·HF = ab= c2，则4ab= 3c2，
VOHF 2 2 8
又因b2 =c2-a2，所以4a c2-a2 = 3c2，
化简可得16a2c2 -16a4 =3c4，等式两边同时除以a4，可得16e2-16=3e4，
4
即3e4-16e2+16=0，解得e2 = 或e2 =4，
3
2 3
因e>1，所以e= 或e=2.
3
7．（2026·黑龙江·一模）已知抛物线C:y2 =4x的焦点为F ，P为C上一动点，A为一定点，则正确的有
（ ）
 
A．若 PF =4，则点P的坐标为 3,2 3
B．若A5,3，则 PA + PF 的最小值为6
C．若A3,0，则 PA的最小值为2 2
π
D．若A3,0，则ÐAPF的最大值为
4
【答案】BCD
p
【详解】对于A，因为焦半径 PF =x + =4，所以x =3，代入y2 =4x，解得y =±2 3，
P 2 P P
 
所以P 3,±2 3 ，故A错误；
对于B，将横坐标5代入抛物线方程中，得y2 =20>9，所以点A在抛物线内，
所以 PA + PF ³5+1=6，当且仅当PA与x轴平行时取等，故B正确；
对于C，设Px ,y ，则y2 =4x ，
0 0 0 0
所以|PA|2=x -32+y 2 =x -32+4x =x 2-2x +9=x -12+8³8，
0 0 0 0 0 0 0
所以 PA的最小值为2 2，C正确；
对于D，设点M是x轴上点A右侧一点，不妨设P位于第一象限，
如图所示：k -k
则tanÐAPF =tanÐMAP-ÐMFP= PA PF
1+k k
PA PF
y y
0 - 0
x -3 x -1 2y 4 x 4
= 0 0 = 0 = 0 = ，
y2 x2-4x +3+y2 x2+3 3
1+ 0 0 0 0 0 x3 +
x -3x -1 0 x
0 0 0
3  t2+1 t+1t-1
令t = x t³0，分母为y=t3+3t-1，则y¢=3t2-3t-2 = ，
0
t2
当tÎ0,1，y¢<0，所以y=t3+3t-1在0,1上单调递减；
当tÎ1,+¥，y¢>0，所以y=t3+3t-1在1,+¥上单调递增；
所以当t=1时，y =1+3=4，
min
π
此时tanÐAPF £1，由图知0<ÐAPF <π，所以ÐAPF £ ，故D正确.
4
x2 y2
8．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右顶点为A，过点A且斜率为2
a2 b2
的直线与C的两条渐近线分别交于P，Q两点（其中点P在第一象限）.若O为坐标原点，点M满足
uuur uuur uuuur uuuur 5
OP+OQ=2OM ，∣AM∣= a，则双曲线C的离心率为（ ）
2
7 21 5 5
A． B． C． D．
2 3 3 2
【答案】B
uuur uuur uuuur
【详解】 OP+OQ=2OM ，\M 为PQ的中点，
Q
过点M 作MN ^x轴，交x轴于点N ，
设 AN =mm>0，
Q
过点A的直线的斜率为2，\MN =2m，
\ AM = MN 2+ AN 2 = 5m，
uuuur 5 5 1 1
AM = a，\ 5m= a，\m= a， AN = a，\MN =a，
Q
2 2 2 21 3 æ3 ö
Q
Aa,0，\OA =a，\ON = OA + AM =a+ a= a，\Mç a,a÷，
2 2 è2 ø
设Px,y ,Qx ,y ，
1 1 2 2
x +x 3 y +y
M 为PQ的中点，\ 1 2 = a, 1 2 =a，\x +x =3a,y +y =2a，
Q 2 2 2 1 2 1 2
x2 y2
Q Px 1 ,y 1 ,Qx 2 ,y 2 是双曲线C: a2 - b2 =1(a>0,b>0)的渐近线上的点，
x2 y2 x2 y2
\ 1 - 1 =0, 2 - 2 =0，
a2 b2 a2 b2
x2 y2 x2 y2 x2 x2 y2 y2
\ 1 - 1 = 2 - 2 ，\ 1 - 2 = 1 - 2 ，
a2 b2 a2 b2 a2 a2 b2 b2
b2 y2-y2 y -y y +y 
\ = 1 2 = 1 2 1 2 ，
a2 x2-x2 x -x x +x 
1 2 1 2 1 2
y -y
Q k = 1 2 =2，x +x =3a,y +y =2a，
x -x 1 2 1 2
1 2
b2 2a 4
\ =2´ = ，
a2 3a 3
c b2 4 21
\e= = 1+ = 1+ = .
a a2 3 3
故选：B.
x2
9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知椭圆C: +y2 =1，F ，F 分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是
2 1 2
椭圆C上任意一点，下列说法正确的有（ ）
A． V F 1 PF 2 的周长是2 2+2
π
B．ÐF 1 PF 2 = 3 时， V F 1 PF 2 的面积是 3
C． PF × PF 的最大值是2
1 2
D．过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则 V ABO面积的最小值为 2
【答案】ACDx2
【详解】对于A，由椭圆C: +y2 =1知椭圆焦点在x轴上，且a= 2,b=1,c=1，
2
则
V
F
1
PF
2
的周长是 PF
1
+ PF
2
+ F
1
F
2
=2a+2c=2 2+2，故A正确；
对于B，由椭圆的定义得 PF + PF =2a=2 2， FF =2c=2，
1 2 1 2
由余弦定理得， PF 2+ PF 2-2 PF PF ×cosÐFPF = FF 2，
1 2 1 2 1 2 1 2
4
则PF + PF 2 -3 PF PF =4，即8-3 PF PF =4，则 PF PF = ，
1 2 1 2 1 2 1 2 3
1 1 4 3 3
所以 V F 1 PF 2 的面积为 2 PF 1 PF 2 ×sinÐF 1 PF 2 = 2 ´ 3 ´ 2 = 3 ，故B错误；
2
æ PF + PF ö
对于C，由 PF + PF =2 2，则 PF × PF £ç 1 2 ÷ =2，
1 2 1 2 2
è ø
当且仅当 PF = PF = 2时等号成立，故C正确；
1 2
x2 y2 x×x y×y
对于D，先证明：椭圆 + =1(a>b>0)上的一点x ,y 处的切线方程为 0 + 0 =1.
a2 b2 0 0 a2 b2
ìx2 y2
ï + =1
ïa2 b2
联立í ，得(a2y 2+b2x 2)x2-2a2b2x x+b2a4-a4y 2 =0，
x×x y×y 0 0 0 0
ï 0 + 0 =1
ïî a2 b2
x 2 y 2
Q 点x 0 ,y 0 在椭圆上，\ a 0 2 + b 0 2 =1(a>b>0)Þb2x 0 2+a2y 0 2 =a2b2，
\a2b2x2-2a2b2xx +a2b2x 2 =0，即a2b2(x2-2xx +x 2)=0，
0 0 0 0
\a2b2(x-x )2 =0， 得x=x ，故直线和椭圆仅有一个公共点，
0 0
x2 y2 x×x y×y
则椭圆 + =1(a>b>0)上的一点x ,y 处的切线方程为 0 + 0 =1.
a2 b2 0 0 a2 b2
设Px ,y ，由题意知C:
x2
+y2 =1的切线斜率存在，则切线方程为
x
0
x
+y y=1，
0 0 2 2 0
1 2 æ 2 ö æ 1 ö
令x=0，得y= ，令y=0，得x= ，即Aç ,0÷,Bç0, ÷，
y 0 x 0 èx 0 ø è y 0 ø
x2 x2 x
又 0 +y2 =1，则1= 0 +y2 ³2× 0 × y ，
2 0 2 0 2 0
2 x 2
即 x y £ ，当且仅当 0 = y = 时等号成立，
0 0 2 2 0 2
1 2 1 1
则 ABO面积为 × × = ³ 2，
V 2 x y x y
0 0 0 0
即
V
ABO的面积的最小值为 2，故D正确.y2
10．（2026·重庆·模拟预测）已知双曲线C:x2- =1，F 、F 是其左右焦点，点P为双曲线上在第一象限
1 2
3
内的一点，连接点P与右焦点F 的直线交双曲线的右支于另一点Q，记点P到两渐近线的距离为d 、d ，
2 1 2
点Q到两渐近线的距离为d 、d ， PFF 、 QFF的内切圆圆心分别为I 、I ，则下列结论正确的是（ ）
3 4 V 1 2 V 1 2 1 2
A．dd >d d
1 2 3 4
B．两内切圆相切于x轴上同一点
C．点F 在以I I 为直径的圆上
2 1 2
é 8 3 ö
D．两内切圆周长之和的取值范围是ê4π, π÷
÷
3
ë ø
【答案】BCD
【详解】对于双曲线C，a=1，b= 3，则c= a2+b2 = 1+3=2，如图所示：
y2 y2
对于A选项，设点Px,y 、Qx ,y ，则x2- 1 =1，x2- 2 =1，
1 1 2 2 1 3 2 3
y
双曲线C的渐近线方程为y=± 3x，即x± =0，
3
y y y2
x - 1 x + 1 x2- 1
1 3 1 3 1 3 1 3 3
所以dd = × = = = ，同理可得d d = ，
1 2 1 1 4 4 4 3 4 4
1+ 1+
3 3 3 3
故dd =d d ，A错；
1 2 3 4
对于B选项，设
V
PF
1
F
2
的内切圆I
1
分别切边PF
1
、PF
2
、F
1
F
2
于点R、S、T，
由切线长定理可得 PR = PS ， FR = FT ， FS = FT ，
1 1 2 2
因为 PF + FF - PF =2a+2c=2+2´2=6，
1 1 2 2
又因为 PF + FF - PF =PR + FR+FT + FT -PS + FS 
1 1 2 2 1 1 2 2
= FR + FT =2 FT =6，所以 FT =3，即 FT =x --2=3，解得x =1，
1 1 1 1 1 T T
故圆I 切x轴于点T1,0，同理可知圆I 切x轴于点T1,0，
1 2
故两内切圆相切于x轴上同一点，B对；
对于C选项，因为I
1
为
V
PF
1
F
2
的内心，故ÐI
1
F
2
P=ÐI
1
F
2
F
1
，同理可得ÐI
2
F
2
Q=ÐI
2
F
2
F
1
，因为ÐI F P+ÐI F F +ÐI FQ+ÐI F F =π，即2ÐI F F +ÐI F F=π，
1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1
π
即2ÐI F I =π，故ÐI F I = ，即I F ^I F ，故点F 在以I I 为直径的圆上，C对；
1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2
对于D选项，由图可知，直线PQ不与x轴重合，设直线PQ的方程为x=my+2，
ìx=my+2
联立í 可得  3m2-1  y2+12my+9=0，
î3x2-y2 =3
因为直线PQ与双曲线C的右支交于两点，
ì3m2-1¹0
ï
所以í ，
Δ=144m2-36  3m2-1  =36  m2+1  >0
ïî
12m 9
由韦达定理可得y +y =- ，y y = ，
1 2 3m2-1 1 2 3m2-1
12m2 4
由题意可得x +x =my +2+my +2=my +y +4=- +4=- >0，
1 2 1 2 1 2 3m2-1 3m2-1
3 3
可得3m2-1<0，解得- <m< ，
3 3
9m2-24m2 -3m2-4
xx =my +2my +2=m2y y +2my +y +4= +4= >0，
1 2 1 2 1 2 1 2 3m2-1 3m2-1
3 3
可得3m2-1<0，解得- <m< ，
3 3
æ 3ö 1   æπ πö
设直线PQ的倾斜角为a，当mÎç ç è 0, 3 ÷ ÷ ø 时，则tana= m Î 3,+¥ ，此时aÎç è3 , 2 ÷ ø ，
π
当m=0时，a= ，
2
æ 3 ö 1   æπ 2πö
当mÎç ç è - 3 ,0÷ ÷ ø 时，则tana= m Î -¥,- 3 ，此时aÎç è2 , 3 ÷ ø ，
æπ 2πö
综上所述aÎç , ÷，
è3 3 ø
π æπ 2πö
设ÐI F F =q，则ÐI F F = -q，所以ÐF I T =q，则2q=π-aÎç , ÷，
1 2 1 2 2 1 2 2 2 è3 3 ø
æπ πö æ 3 ö
故qÎç è6 , 3 ÷ ø ，所以tanqÎç ç è 3 , 3÷ ÷ ø ，
设圆I 、圆I 的半径分别为r 、r ，
1 2 1 2
r FT 1
因为tanÐI FT =tanq= 1 =r，tanÐF I T =tanq= 2 = ，
1 2 FT 1 2 2 r r
2 2 2
1 æ 3 ö
所以r = ，则rr =1，且r =tanqÎç , 3÷，
1 r 1 2 1 ç 3 ÷
2 è øæ 1ö
故两内切圆周长之和为2πr +r =2πçr + ÷，
1 2 è 1 r ø
1
1 æ 3 ö
构造函数 f x=x+ ，其中xÎç , 3÷，
x ç 3 ÷
è ø
由对勾函数的单调性可知函数 f x在 æ ç 3 ,1 ù ú上单调递减，在é1, 3  上单调递增，
ç 3 ë
è û
因为 f 1=2， f æ ç 3ö ÷= f  3  = 4 3 ，故r + 1 Î é ê2, 4 3 ÷ ö ，
ç 3 ÷ 3 1 r 3 ÷
è ø 1 ë ø
æ 1ö é 8 3 ö
所以两内切圆周长之和为2πr 1 +r 2 =2πç è r 1 + r 1 ÷ ø Îê ë 4π, 3 π÷ ÷ ø ，
é 8 3 ö
故两内切圆周长之和的取值范围是ê4π, π÷，D对.
3 ÷
ë ø
押题猜想 05 排列组合及条件概率
试题前瞻·能力先查
限时：4min
【原创题】黑龙江省实验中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个
地点参加志愿活动，若每位志愿者仅去一个地点且每个地点至少需要1名学生，则不同的分配方法种数为
（ ）
A．81 B．72 C．36 D．12
【答案】C
【详解】先从四人中选出两人当成一组，共C2种分法，
4
再将三组人进行分配，共A3种，
3
故共有C2A3 =36种分配方法.
4 3
分析有理·押题有据小题必考，5分稳在全国Ⅱ卷多年稳定在选择第9～11题考一道排列组合小题，偶尔结合概率一起考，
基本年年都有。区分度高，中档生必争思路对就秒出，思路错怎么算都不对，是典型“一看就会、一做就
错”的拉分题。命题风格固定、不跑偏不考偏难怪，只考：相邻不相邻、分组分配、特殊位置优先、间接
法（正难则反），套路极强。常结合选课、排队、分配岗位、数字组成等真实场景，非常贴合全国卷命题
习惯。
近5年全国Ⅱ/甲卷高频重复，相邻捆绑、不相邻插空；特殊元素/特殊位置优先；平均分组、不平均分
组；数字问题（奇偶、被几整除）；正难则反（间接法）考纲明确要求，理解分类加法、分步乘法计数原
理，能解决简单计数问题，是必考基础模块。 2026各地一模二模模拟卷几乎都围绕：排队、选课、分配、
数字组数四类出题，和全国卷完全同频。可与概率、统计自然结合既能单独考小题，也能作为概率大题第
一问，命题空间大。
考场万能做题步骤 先看：有序还是无序，有序→排列A，无序→组合C 再看：能不能一步做完 能→
分类加；不能→分步乘，有无限制条件：特殊优先、相邻捆绑、不相邻插空，正面复杂就用：总数 - 不符
合条件 = 答案，总之相邻捆绑不邻插，特殊位置优先它。均分除重防重复，正难则反最省事。有序排列无
序组，分步相乘分类加。
密押预测·精练通关
1．（2026·山西晋中·模拟预测）小明参加校园新春体能打卡，需完成9次打卡动作，其中有2次柔韧打卡，
3次力量打卡，4次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2次耐力打卡不能相邻，
不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种.
【答案】150
【详解】第一步：排非耐力打卡：非耐力共有2+3=5次打卡，同类顺序固定，
只需从5个位置中选2个放柔韧打卡，剩余3个放力量打卡，
放法数为：C2 =10；
5
第二步：插入耐力打卡：5个排好的打卡共形成6个空隙（含两端），
要选4个空隙各插入1次耐力打卡（保证不相邻），且耐力顺序固定，
选法数为：C4 =15，
6
第三步：根据分步乘法计数原理，总顺序数为：10´15=150.
2．（2026·山西朔州·一模）某自动化生产线连续生产编号为1到10的10个产品，计划从中抽取3个进行
检测，若抽取的3个产品编号不全是连续整数，则抽取方法种数为__________.
【答案】112
10!
【详解】从编号为1到10的10个产品中任意抽取3个，共有C3 = = 10´9´8 =120种方法，
10 3!10-3!
3´2´1
当取到的3个产品编号是相邻整数时，不符合要求，即123，234，345，456，567，678，789，8910，这8
种情况不符合要求，
所以抽取的产品编号不全是连续整数的抽取方法有120-8=112种方法.
3．（2026·辽宁大连·模拟预测）将编号为1,2,×××,n的n个小球放入编号为1,2,×××,2n的2n个盒子中，其中
n³4，要求每个盒子至多放一个小球，且对于任意的i号球1£i£n-1放入的盒子所对应编号都小于i+1
号球放入的盒子所对应编号，则n-1号球放入编号为______________的盒子的概率最大.【答案】2n-2
【详解】将编号为1,2,×××,n的n个小球放入编号为1,2,×××,2n的2n个盒子中，要求每个盒子至多放一个小球，
看作是从 2n 个盒子中选出n个并按球的编号顺序排列，因此总的放法数为Cn .
2n
设事件：第i号球放入盒子a
i
，满足a
1
<a
2
<
L
<a
n
，设a
n-1
=k时概率最大，
前n-2个球要从编号 1,2,…, k-1中选n-2个盒子并排序，方法数为Cn-2；
k-1
第n个球要从编号k+1,k+2, L ,2n中选 1 个盒子，方法数为2n-k；
因此，对固定k，满足a =k的放法数为Nk=Cn-2×2n-k .
n-1 k-1
要使概率最大，只需求Nk的最大值，
Nk+1
=
Cn
k
-2×é
ë
2n-k+1ù
û =
k×2n-k-1
Nk Cn-2×2n-k ék-n-2ù×2n-k
k-1 ë û
Nk+1
令 ³1，得k(2n-k-1)³(k-n+2)(2n-k)，整理得2n(n-2)³k(n-1)，
Nk
2nn-2 2nn-2 2
即k £ ，当n³4时， =2n-2-
n-1 n-1 n-1
因为 k 为整数，且kÎn-1,2n-1，所以取最接近的整数，可得k =2n-2.
故答案为：2n-2
4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）下图是由七个圆和八条线段构成的图形（该图形不能旋转和翻转），其中
由同一条线段连通的两个圆称作“相邻的圆”.若将1，2，3，4，5，6，7这七个数字分别填入这七个圆中，
且满足带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，则符合要求的填法共有____________种.
【答案】200
【详解】
将有阴影的圆分别标为a,b,c，由于带有阴影的圆中的数字大于其所有相邻的圆中的数字，
当阴影的圆中的数字为7,6,5时，则将7,6,5填在a,b,c中有A3种方法，接着剩下的4个数字填到圆中有A4
3 4
种方法，所以共有A3 A4 =144种方法；
3 4
当阴影的圆中的数字为7,6,4时，若将4填到c，则接着安排7,6有A2种方法，与c相邻的两个圆只能从1,2,3
2
中选两个有A2种方法，剩下两个数有A2种填法，所以共有A2 A2 A2 =24种方法；
3 2 2 3 2
若将4填到a或b，有2种方法，则接着安排7,6有A2种方法，与4相邻的三个圆只能填1,2,3有A3种方法，
2 3
剩下一个数有1种填法，所以共有2A3 A2 =24种方法；
3 2
当阴影的圆中的数字为7,6,3时，则3只能填到c，则接着安排7,6有A2种方法，与c相邻的两个圆只能安排
2
1,2有A2种方法，剩下两个数有A2种填法，所以共有A2 A2 A2 =8种方法；
2 2 2 2 2
所以总共有144+24+24+8=200种填法.
故答案为：200
5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相
邻的不同站法有（ ）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
【答案】B
【详解】第一类：先排3名男生，甲在两端的排序有A1A2种，再2名女生插空有A1A1种；
2 2 2 3
第二类：先排3名男生，甲在中间的排序有A2种，再2名女生插空有A2种，
2 4
故男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有A1A2A1A1 +A2A2 =48（种）.
2 2 2 3 2 4
6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋
子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2
个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为（ ）
1 2 7 3
A． B． C． D．
3 5 15 5
【答案】C
【详解】根据题意，任意取的2个球共有C2 =15种，
6
取出的2个球的编号之和为奇数，
则取出的2个球的编号必须为一个奇数一个偶数，且至少有一个为黑球，
所以，一个白球（奇数）一个黑球（偶数）有C1C1 =4种，
2 2
一个白球（偶数）一个黑球（奇数）有1种，
4+1+2 7
两个黑球（一奇一偶）共有C1C1 =2种，故概率为 = ．
1 2 15 15
故选：C．7．（2026·广西河池·二模）在一次校园活动的组织过程中，由甲、乙等5名同学负责接待、咨询、向导三
个志愿者服务项目，每名同学只负责一个服务项目，且每个服务项目至少有一名同学负责．若甲、乙两人
负责同一个服务项目，则不同的安排方案共有（ ）
A．18种 B．36种 C．48种 D．54种
【答案】B
【详解】将甲、乙视为1个人，即相当于将4名同学安排到3个项目的方案，有C2A3 =36种．
4 3
8．（2026·广西南宁·一模）某市十景包含扬美古风、青山塔影、明山锦绣、望仙怀古、伊岭神宫、九龙戏
珠、南湖情韵、凤江绿野、邕江春泛、龙虎猴趣，每个景点都有其独特的魅力．某游客计划从这10个景点
中随机选择2个景点进行游玩，则青山塔影被选中的概率是______．
1
【答案】 /0.2
5
【详解】从10个景点中随机选择2个景点，
总共有 C2 =45 种选择方法，
10
若要确保青山塔影被选中，则需从剩余9个景点中再选1个，
有 C1 =9 种选择方法，
9
9 1
因此，青山塔影被选中的概率为 = .
45 5
1
故答案为：
5
9．（2026·广西南宁·一模）某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文
化与文物考古、民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5个研学方向．学校安排6名教师负责这5个
方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1
个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（ ）
A．2400 B．1800 C．1500 D．2100
【答案】B
【详解】由题意可得其中一个研学活动有2名教师负责，剩下四个研学活动有1名教师负责，
故不同的分配方法种数为C2A5 =1800.
6 5
故选：B
10．（2026·重庆·模拟预测）将6个相同的小球分别标上数字2，3，4，6，7，8，从中随机地取两个小球.
记事件A为“取出的两个小球上的数字均为偶数”，事件B为“取出的两个小球中至少有一个小球上的数字能
被3整除”，则（ ）
A．PA=P  B  B．PAB=P  A  ×P  B 
C．P  AB  =PAB D．PAB=P  A|B  ×PA【答案】ACD
【详解】由题设可得样本空间中样本点的总数为C2 =15，
6
而A中样本点的个数为C2 =6，B中样本点的个数为C2+2C1 =9，
4 2 4
6 2 9 3
对于A，由古典概型的概率公式得PA= = ，PB= = ，
15 5 15 5
故P  B  =1- 3 = 2 ，故PA=P  B  ，故A正确；
5 5
3 1
对于B，AB中样本点的个数为1´C1 =3，故PAB= = ，
3 15 5
3 2 6
而P  A  ×P  B  =1-P(A)1-P(B)= ´ = ¹PAB，故B错误；
5 5 25
3 1
对于C，AB中样本点的个数为C2 =3，故P  AB  = = =PAB，
3 15 5
故C正确；
3
 
对于D，P  A|B  ×PA= P AB ×PA= 15 ´ 2 = 1 =PAB，故D正确.
P  B  6 5 5
15
故选：ACD.
押题猜想 06 立体几何-外接球、内切球与空间向量
试题前瞻·能力先查
限时：4min
【原创题】在长方体ABCD-ABCD 中，AB=2 2,AD= AA =2，Q为线段BC 上的动点，P为AC的中
1 1 1 1 1 1 1
点，过点A且与直线AC垂直的平面a交AC于点E，交AD于点F,M 为a内的动点，A,A,E,F四点均在
1 1 1 1
球O的表面上，则（）
1
A．AC =3AE
1 1
B．三棱锥Q-AEF的体积是定值
π
C．球O与该长方体的公共部分的体积为
1 3
 
D．△PMD的周长的最小值为2 2+1
【答案】BCD
【详解】对于A，以D为原点，分别以DA,DC,DD 所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.
1
已知AB=2 2,AD= AA =2，则D(0,0,0)，A(2,0,0),C(0,2 2,0),A(2,0,2).
1 1uuur uuur
可得AC =(-2,2 2,-2), AA=(0,0,-2)，
1 1
uuur uuur
设AE=lAC =(-2l,2 2l,-2l)，则E(2-2l,2 2l,2-2l).
1 1
uuur uuur
因为平面a过点A与直线AC垂直并交于点E，所以AC×AE=0，
1 1
又 u A u E ur =(-2l,2 2l,2-2l)，则 u A uu C r × u A u E ur =(-2)´(-2l)+2 2´2 2l+(-2)´2-2l=0，
1
1 uuur 1uuur
化简得：4l+8l-4+4l=0，解得l= ，即AE= AC，可得AC =4AE，故A错误；
4 1 4 1 1 1
对于B，在长方体ABCD-ABCD 中，易得BC //AD ，因BC Ëa，AD Ìa，则BC //平面a，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
又因QÎBC ，则点Q到平面a的距离为定值，而点A,E,F 的位置固定，即△AEF 的面积S 为定值，故
1 VAEF
三棱锥Q-AEF的体积是定值，故B正确；
对于C，由AC ^a,AF Ìa，则AC ^ AF ，又AC在平面ADDA上的射影为AD，
1 1 1 1 1 1
在正方形ADDA中，AD ^ AD，故AD ^AC，即点F 为AD,AD的交点，
1 1 1 1 1 1 1 1
下面证明AA的中点O即经过A,A,E,F 四点的球的球心O.
1 1 1 1
1 3 2 3
如图，因F 是AD的中点，则OF = AD=1，由上分析已得E( , , )，
1 1 2 2 2 2
3 2 3
又O(2,0,1)，则OE= (2- )2+(0- )2+(1- )2 =1，即OA=OA =OF =OE=1，
1 1 2 2 2 1 1 1 1 1
故AA的中点O即经过A,A,E,F 四点的球面的球心，
1 1 1
1 1 4 π
由图知，该球与长方体公共部分的体积为球体积的 ，即V = ´ π´13 = ，故C正确；
4 4 3 3
对于D，因△PMD的周长为PD+PM +MD，因P为AC的中点，则P(1, 2,1)，
1
于是PD= 12+( 2)2+12 =2，依题意，只需求PM +MD的最小值.
由上分析知点P与点A关于平面a对称，M 为平面a内的动点，则PM = AM ，PM +MD= AM +MD，
1 1 1
因点A与点D在平面a的两侧，故当且仅当A,M,D三点共线时，PM +MD取得最小值为
1 1
AD= 22+22 =2 2，
1
此时，△PMD的周长取得最小值2 2+2.故D正确.
故选：BCD分析有理·押题有据
题型极其固定全国Ⅱ卷结构：小题 1 道：外接球 / 内切球（选择 8～11 题，5-6 分）；大题 1 道：
空间向量求角与距离（解答第 16或 17 题，15 分）合计 20 分左右，占比极高，基本不会缺席。外接球
是“中档生分水岭”公式多、模型固定，会模型就秒杀，不会就卡死，区分度极强。空间向量大题完全套
路化 建系→求点→求法向量→算夹角，步骤固定，是必拿满分大题。新高考趋势：重几何模型 + 重计算
规范，不考怪题，考常见几何体、常见模型，完全贴合二轮复习重点。
近 5 年全国Ⅱ/甲卷高度重复，小题几乎每年：长方体外接球；直棱柱、正棱锥外接球；墙角模型（三
条棱两两垂直）大题必用：线面垂直建系；求线面角、二面角；偶尔考动点、存在性问题，考纲核心要求
；掌握球、柱、锥的结构与表面积体积；掌握空间向量运算与夹角计算；会用向量解决空间角问题， 2026
各地模拟卷高度一致全部围绕：外接球半径、体积、表面积；空间向量求线面角 / 二面角完全复刻全国卷
风格。
今年重点小题押：外接球（内切球考得极少）重点押 4 大模型：墙角模型（三条棱两两垂直）
长方体/正方体模型；直棱柱外接球； 正棱锥（高+底面外接圆）。大题押：空间向量；二面角（最高频）；
线面角；存在性问题（是否存在点 P 满足某角度）；简单体积/距离计算
密押预测·精练通关
1．（2026·陕西商洛·二模）祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同，则
积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等，这就是“祖暅原理”．现有一
个空心铁质半球壳，外半径为 3cm，内半径为1cm（厚度均匀），放入水中后漂浮（平面朝下）．已知浸
入水中部分的深度为1cm，则浸入水中部分的体积为______cm3．
【答案】2p
【详解】以半球壳的球心为坐标原点，在高度为z-1£z£0处作水平截面，半球壳的截面为圆环，
则圆环外半径为 3-z2 ，内半径为 1-z2 ，
则浸入水中部分的截面面积为Sz=π  3-z2-1+z2 =π3-1=2π，与z无关，
发现浸入水中部分的截面面积与一个高度为R，底面半径为 3-1= 2的圆柱的截面面积相同， 2
又浸入水中部分的深度为1cm，由祖暅原理知，浸入水中部分的体积为V =π 2 ×1=2π．
2．（2026·吉林通化·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为r ，r r <r ，半径为2的球与圆台的
1 2 1 2
上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为25π，则圆台的表面积为（ ）
A．30π B．35π C．42π D．50π
【答案】C
【详解】如图，设内切球的半径为r，
设圆台上、下底面圆心分别为O,O ，则圆台内切球的球心O一定在OO 的中点处，
1 2 1 2
设球O与母线切于M 点，所以OM ^ AB，所以OM =OO =OO =r，
1 2
所以 V AOO 1 与 V AOM 全等，所以AM =r 1 ，同理BM =r 2 ，
圆台的母线长l =r +r ，
1 2
又πr +r l =25π，所以r +r 2 =25，解得r +r =5，
1 2 1 2 1 2
又OO =2r=4，所以r -r = l2-OO2 =3，
1 2 2 1 1 2
所以r =1，r =4，圆台的表面积为πr2+πr2+25π=42π．
1 2 1 2
3．（2026·陕西西安·三模）如图，菱形ABCD的各点都在同一平面上，且边长为4，ÐBAD=60°.设E，F
分别为AB，AD的中点，分别以CE，EF，CF为折痕把
V
BCE，△AEF ，
V
DCF 折起，使点B，A，D
重合于点P，并构成三棱锥P-CEF.若三棱锥P-CEF的各顶点都在同一球面上，则该球的体积为________.
【答案】32 3π
【详解】连接AC交EF于点Q，
把 BCE，△AEF ， DCF 折起后构成的三棱锥P-CEF如图1所示，
V V
故PC=BC=DC=4.在 ABC中，由余弦定理可得
V
æ 1ö
AC2 = AB2+BC2-2AB×BC×cos120°=42+42-2´4´4´ç- ÷=48，
è 2ø
故AC =4 3.
3
其中 PEF是边长为2的正三角形，所以PQ=2´ = 3，CQ= AC-PQ=3 3.
!
2
1 3
设O为 PEF的外心，则O在PQ上，且OQ= PQ= .
1 ! 1 1 3 3
设O 为△CEF 的外心，则O 在CQ上，
2 2
故过O且垂直于平面PEF的直线与过O 且垂直于平面EFC的直线的交点即为球心，
1 2
即过O且垂直于PQ的直线与过O 且垂直于CQ的直线的交点即为球心，
1 2
设球心为O，另设OO 交CQ于点G，如图2所示.
1
在△CEF 中，如图3所示，EO =CO ，EQ=1，QO = EO2-1.
2 2 2 2
14 3 13 3
因为CQ=QO +CO =3 3，即 EO2-1+EO =3 3，解得EO = ，QO = .
2 2 2 2 2 9 2 9
 2  2
在 CPQ中，由余弦定理得 PQ2+CQ2-PC2 3 + 3 3 -42 7 ，
V cosÐCQP= = =
2PQ×CQ 2´ 3´3 3 9
QO 3 9 3 3 13 3 3 3 64 3
故QG= 1 = ´ = ，GO =QO -QG= - = .
cosÐCQP 3 7 7 2 2 9 7 63
2 2
æ3 3ö æ 3ö 4 6
在Rt V O 1 QG中，GO 1 = QG2-O 1 Q2 = ç ç 7 ÷ ÷ -ç ç 3 ÷ ÷ = 21 ，
è ø è ø
4 6
GO 21 4 2
又由 GOQ∽ GOO，可得tanÐOOO =tanÐCQP=tanÐGQO = 1 = = ，
V 1 V 2 1 2 1 OQ 3 7
1
3GO 64 3 7 8 6
故OO = 2 = ´ = ，
2 tanÐOOO 63 4 2 9
1 2
2 2
æ8 6ö æ14 3ö
所以球的半径R=OC = OO2+CO2 = ç ÷ +ç ÷ = 12 =2 3，
2 2 ç 9 ÷ ç 9 ÷
è ø è ø
4πR3
故球的体积为 =32 3π.
3
故答案为：32 3π
4．（2026·山西大同·一模）如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD是边长为1的正方形，棱AE^底面
ABCD，CF//AE，且AE=CF =a，则下列表述一定正确的是（ ）
A．EF//平面ABCD
B．几何体ABCDEF外接球表面积是2a2π
2a
C．几何体ABCDEF的体积是
3
D．当a=1时，几何体ABCDEF一定有内切球
【答案】AC
【详解】因为CF//AE且CF = AE，
所以四边形ACFE为平行四边形，所以EF//AC，
根据线面平行的判定定理可知EF//平面ABCD，故A正确；
几何体ABCDEF外接球即为长方体ABCD-EGFH的外接球，
所以R= 12+12+a2 ，所以外接球表面积是S =4πR2 =  2+a2 π，故B错误；
2
对于C选项，可以将几何体ABCDEF补成长方体ABCD-EGFH，
æ1 1 ö 2
如图，几何体ABCDEF的体积为V =1´1´a-2ç ´a´ ´1´1÷= a，故C正确；
è3 2 ø 3
当a=1时，假设几何体ABCDEF有内切球，
1 2 1 æ 1 3ö
则根据等体积法V = ×S ×r 可得 = ´ç1+4´ +2´ ÷´r ，
3 表 内 3 3 ç 2 2 ÷ 内
è ø
3 1
即r =1- < ，因为平面ADE上的点与平面BCF上的点的距离是1，
内 3 21
即内切球半径为 ，矛盾，故几何体ABCDEF没有内切球，故D错误.
2
5．（2026·辽宁沈阳·一模）已知球O内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上､下底面以及侧面均相切），
且该正四棱台的上､下底面棱长之比为1:2，则球O与该正四棱台的体积之比为__________.
π
【答案】
7
【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，
设圆O与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点O，O ，
1 2
不妨设正四棱台上、下底面的棱长为2a，4a，
则CO =CP=a，BO =BP=2a，BC=BP+PC=3a，
1 2
故在直角梯形OO BC中，过点C作CE^AB，垂足为E，所以EB=a，
1 2
在Rt△CEB中，CE= 32-12a=2 2a，为棱台的高，也是球的直径，
所以半径为 2a，所以球的体积为V = 4 π×  2a 3 = 8 2a3π ，
1 3 3
1 56 2a3
棱台体积为V = ´2 2a´é2a2+4a2+2a×4aù= ，
2 3 ë û 3
8 2a3π
V 3 π
所以球与棱台的体积比为 1 = = .
V 56 2a3 7
2
3
π
故答案为： .
7
6．（2026·黑龙江大庆·二模）已知正方体ABCD-ABCD 的棱长为3，则下列说法正确的是（ ）
1 1 1 1
A．CD //平面ABC
1 1 1B．三棱锥A -BDC 的外接球的表面积为27π
1 1
3 3π
C．若该正方体表面上的动点P满足DP=2 3，则动点P的轨迹长度是
1 2
6
D．若该正方体的内切球表面上的动点Q满足BQ //平面ACD ，则线段BQ长度的最小值为
1
2
【答案】ABD
【详解】如图：
对于A：在正方体ABCD-ABCD 中，CD // AB，ABÌ平面ABC,CD Ë平面ABC ，所以CD //平面
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ABC ，故A正确；
1 1
对于B：三棱锥A -BDC 与正方体ABCD-ABCD 有相同的外接球，
1 1 1 1 1 1
1 3 3
所以外接球的半径R= AC = ，所以S =4πR2 =27π，故B正确；
2 1 2
对于C：当PÎ平面BCCB 时，因为DC ^平面BCCB,CPÌ平面BCCB ，所以DC ^CP，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
因为DP=2 3,DC =3，所以CP= DP2-CD2 = 3，
1 1 1 1 1 1 1
1 3π
所以点P的运动轨迹是以C 为圆心，半径为 3的圆的 ，其长度是 ；
1 4 2
3π
同理，当点P为正方形ABBA或ABCD内部及边界上的动点时，点P的轨迹长度均为 ；
1 1
2
当点P为正方形ABCD 内部及边界上的动点时，
1 1 1 1
若PÎBC ，则ÐPDC =30o；若PÎAB ，则ÐPDA =30o，
1 1 1 1 1 1 1 1
300 1 3π
所以点P的轨迹是以D 为圆心，半径为2 3的圆的 = ，其长度是 ；
1 3600 12 3
3π
同理，当点P为正方形ADDA或CDDC内部及边界上的动点时，点P的轨迹长度均为 ，
1 1 1 1
3
3π 3π 5 3π
所以动点P的轨迹长度为 ´3+ ´3= .故C不正确；
2 3 2
对于D：在正方体中，平面ABC //平面ACD ，
1 1 1
因为点Q满足BQ //平面ACD ，所以点Q在平面ABC 上.
1 1 1又因为点Q在正方体的内切球表面上，
所以点Q的轨迹为正三角形ABC 的内切圆，记圆心为O.
1 1 1
3 æ2 1ö 6
则BQ的最小值为BO -r= ´3 2´ç - ÷= ，故D正确.
1 2 è3 3ø 2
故选：ABD
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）动点P在棱长为4的正方体内部及表面运动，动球P是以点P为球心，半
径为1的球，求动点P在运动过程中球P的轨迹形成的几何体体积（ ）
40 40
A．96+16p B．96+ p C．160+16p D．160+ p
3 3
【答案】D
【详解】球P的轨迹形成的几何体为一个棱长为4的正方体和6个长宽高分别为4，4，1的长方体，以及
12个以1为底面半径，4为高的四分之一个圆柱体加上8个以1为半径的八分之一球，
1 1 4 40
所以球P的轨迹形成的几何体体积为4´4´4+6´4´4´1+12´ ´p´4+8´ ´ p=160+ p.
4 8 3 3
故选：D.
8．（2026·贵州毕节·二模）如图，平行六面体ABCD-ABCD 的底面ABCD是正方形，AB= AA ，且
1 1 1 1 1
π
ÐAAB=ÐAAD= ，E，F，G，H分别是AB，BC，CD ，DA 的中点.
1 1 3 1 1 1 1
(1)求证：平面EFC //平面GHA；
1
(2)求BD 与平面EFC 所成角的余弦值.
1 1
70
【答案】(1)证明见解析(2)
10
【详解】（1）因为E,F分别是AB,BC的中点，所以EF是
V
ABC的中位线，得EF // AC，
又因为G,H 分别是CD,DA 的中点，所以GH // AC ，
1 1 1 1 1 1在平行六面体中，AC//AC ， 因此EF//GH ，
1 1
GH Ì平面GHA，EF Ë平面GHA，故EF //平面GHA；
由G是CD 中点，E是AB的中点，
1 1
1 1
结合平行六面体的性质可得CG= CD = AB= AE，且CG//AE，
1 2 1 1 2 1
所以四边形AECG是平行四边形，得CE//AG，
1 1
因为AGÌ平面GHA，CEË平面GHA，所以CE//平面GHA，
1 1
因为EF
I
C
1
E=E，且EF,C
1
EÌ平面EFC
1
，因此平面EFC
1
//平面GHA；
（2）
如图以A为原点建立空间直角坐标系，不妨设AB= AA =2，
1
根据题设条件得各点坐标A(0,0,0),B(2,0,0),C2,2,0,D(0,2,0),E1,0,0,F2,1,0，
π
设A(a,b,c),则由AA = AB= AD，且ÐAAB=ÐAAD= ，
1 1 1 1 3
可得 AAD, AAB都是等边三角形，即AB= AD=2，
V 1 V 1 1 1
ìa2+b2+c2 =4 ìa=1
则 ï ï í a-22 +b2+c2 =4，解得 ï íb=1 ，即A(1,1, 2),所以 u A u A ur =(1,1, 2),
1 1
ï ï
ïî a2+b-22 +c2 =4 îc= 2
取平面EFC 中向量： u E u F ur =(1,1,0)， u E u C uur = u E u C ur +C uu C uur = u E u C ur + u A u A ur =1,2,0+(1,1, 2)=  2,3, 2  ，
1 1 1 1
设平面EFC 的法向量nr=x,y,z，
1
ì ï u E u F ur ×nr=0 ïìx+y=0 2
则í
ïî u E u C uur ×nr=0
Þí
ïî2x+3y+ 2z=0
，不妨令x=1，则y=-1,z=
2
，
1
æ 2ö
即平面EFC 的法向量nr=ç1,-1, ÷，
1 ç 2 ÷
è ø
u B u D uur = u A u D uur - u A u B ur = u A u A ur + u A u D ur - u A u B ur =(1,1, 2)+0,2,0-2,0,0=  -1,3, 2 
1 1 1
设直线BD 与平面EFC 所成角为q，
1 1 
æ 2ö
u B u D uur ×nr -1,3, 2 ×ç è 1,-1, 2 ÷ ø -1-3+1 3 30
则sinq= 1 = = = = ，
u B u D uur 1 × nr  -1,3, 2  × æ ç1,-1, 2ö ÷ 1+9+2´ 1+1+ 1 30 10
2 2
è ø
30 70
因为q为锐角，所以cosq= 1-sin2q= 1- = ，
100 10
70
即BD 与平面EFC 所成角的余弦值为 .
1 1
10
9．（2026·贵州黔东南·模拟预测）如图，在三棱柱ABC-ABC 中，平面ACC A ^平面ABC，四边形ACC A
1 1 1 1 1 1 1
是矩形，AB= AC =2，BC = AA =2 2.
1
(1)证明：AA ^平面ABC.
1
(2)求平面ABC与平面ABC 夹角的余弦值.
1 1
2 2 BD
(3)在线段BC 上是否存在点D，使得直线AD与平面ABC 所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；
1 1 1 3 CD
1
若不存在，请说明理由.
3 BD 1
【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3)存在， =
3 CD 3
1
【详解】（1）因为AB= AC =2，BC =2 2，所以AB2+AC2 =BC2，所以AB^AC.
因为平面ACC 1 A 1 ^平面ABC，且平面ACC 1 A 1I 平面ABC = AC，ABÌ平面ABC，
所以AB^平面ACC A .
1 1
因为AA Ì平面ACC A ，所以AB^ AA .
1 1 1 1
因为四边形ACC A 是矩形，所以AA ^ AC.
1 1 1
因为ACÌ平面ABC，ABÌ平面ABC，且ABÇAC = A，所以AA ^平面ABC；
1
（2）由（1）可知AC，AB，AA 两两垂直，则以A为坐标原点，
1
AC，AB，AA 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
1因为AB= AC =2，AA =2 2，所以A  0,0,2 2  ，B0,2,0，C  2,0,2 2  ， u A uu B r =  0,2,-2 2  ，
1 1 1 1
uuuur
AC =2,0,0.
1 1
设平面ABC 的法向量为nr=x,y,z，
1 1
则 ì ï í ïî n n r r × × u u A A u u 1 u u C B r ur = = 2 2 y x - = 2 0 2z=0 ，令y= 2，得nr=  0, 2,1  .
1 1
易知平面ABC的一个法向量为mr =0,0,1
.
设平面ABC与平面ABC 的夹角为q，
1 1
|nr×mr| 1 3
则cosq=|cosánr,mrñ|= = = ，
|nr||mr| 3 3
3
即平面ABC与平面ABC 夹角的余弦值为 .
1 1
3
uuur uuur
（3）假设存在满足条件的点D，且BD=lBC （0≤l≤1），
1
2 2
使得直线AD与平面ABC 所成角的正弦值为 .
1 1
3
由（2）可知A0,0,0，B0,2,0，C  2,0,2 2  ，
1
uuur uuur uuur uuur uuuur  
则AD= AB+BD= AB+lBC = 2l,2-2l,2 2l .
1
2 2
因为直线AD与平面ABC 所成角的正弦值为 ，
1 1
3
所以|cosánr, u A u D ur ñ|= | | nr nr | × | u A u A u u D u D u r r | | = 3´ 4l2+4 2 l2 2 -8l+4+8l2 = 2 3 2 .
1 1 BD 1
解得l= ，所以BD= BC ，即 = ，
4 4 1 CD 3
1
BD 1
则存在满足条件的点D，此时 = .
CD 3
1
10．（2026·云南·模拟预测）如图，平面四边形ABCD是棱长为3的正方形．PA^平面ABCD,PA//QC，且PA=3CQ=3．
(1)求证：BC ^平面PAB；
(2)求平面PQB与平面ABCD夹角的余弦值；
(3)线段PA上是否存在点M，使得平面MQBÇ平面ABCD=l，且满足l//平面PAC?若存在，试确定点M
的位置；若不存在，请说明理由．
3 19
【答案】(1)证明见解析(2) (3)存在，M 是PA上靠近A的三等分点，MA=CQ=1
19
【详解】（1）因为四边形ABCD是正方形，所以BC ^ AB，
因为PA^平面ABCD,BCÌ平面ABCD，所以PA^BC，
又PA
I
AB= A,PA、ABÌ平面PAB，所以BC ^平面PAB；
（2）如下图所示，因为PA//CQ,PA=3,CQ=1，则P,A,C,Q四点共面，
延长PQ,AC交于E，延长EB,DA交于F，易得平面PQBÇ平面ABCD=EF ，
作AG^EF ，连接PG，
因为PA^平面ABCD,EF Ì平面ABCD，所以PA^EF，
又PA
I
AG= A,PA、AGÌ平面PAG，所以EF ^平面PAG，
由PG,AGÌ平面PAG，则EF ^PG，EF ^ AG，即平面PQB与平面ABCD夹角为ÐAGP，
QC 1 CE BC 3´9 9
易知 = = = ，所以AF =9，则AG= = ，
PA 3 AE AF 32+92 10
AG AG 3 19
cosÐAGP= = = ；
PG AG2+32 19
（3）假设线段PA上存在点M满足题意，
由平面ABCD 平面PAC = AC，lÌ平面ABCD，l//平面PAC，则l//AC，
I
又平面MBQ
I
平面PAC =MQ，lÌ平面MBQ，l//平面PAC，则l//MQ，
所以MQ//AC，即M 是PA上靠近A的三等分点，此时MA=CQ=1押题猜想 07 数列-求最值及证明不等式
试题前瞻·能力先查
限时：8min
【原创题】已知函数 f x=ax-1（a>0且a¹1）的图象经过点1,2，记数列a 的前n项和为S ，且
n n
S = f n.
n
(1)求数列a 的通项公式；
n
3n-1 1 1
(2)设b = ，数列b 的前n项和为T ，求证： £T < ．
n a +1a +1 n n 21 n 12
n n+1
【答案】(1)a =2×3n-1,nÎN*．(2)证明见解析
n
【详解】（1）由题意 f(1)=2Þa-1=2Þa=3，
所以数列{a }的前n项和为S =3n-1．
n n
当n=1时，a =3-1=2；
1
当n³2时，a =S -S =(3n-1)-(3n-1-1)=2×3n-1．
n n n-1
当n=1时，上式亦成立，所以数列{a }的通项公式为a =2×3n-1,nÎN*．
n n
（2）由（1）知a =2×3n-1，
n
3n-1 3n-1 1æ 1 1 ö
则b n = a +1a +1 =  2×3n-1+1  2×3n+1  = 4 ç è2×3n-1+1 - 2×3n+1 ÷ ø ，
n n+1
1æ 1 1 1 1 1 1 ö
所以T n =b 1 +b 2 + L +b n = 4 ç è2×30+1 - 2×31+1 + 2×31+1 - 2×32+1 + L + 2×3n-1+1 - 2×3n+1 ÷ ø
1æ1 1 ö
= ç - ÷.
4è3 2×3n+1ø
1 1
因为 >0，所以T < ．
2×3n+1 n 12
1æ1 1 ö 1
又因为nÎN*时，T n = 4 ç è3 - 2×3n+1 ÷ ø 单调递增，所以T n ≥T 1 = 21 ，
1 1
所以 £T < ．
21 n 12
分析有理·押题有据
位置固定，必考题型，全国Ⅱ卷近几年，数列大题第二问，要么考最值，要么考不等式证明，几乎是
固定搭配，分值 5～6 分，是整张卷“中档压轴”常客。区分度极高，必练求最值：会作差/作商就稳，不
会就卡壳；不等式证明：放缩尺度难把握，是拉开分数的关键；能有效筛选基础扎实、逻辑严谨的学生。求最值、裂项放缩、等比放缩、累加法，都是全国卷“老演员”，几乎不跑偏。与新高考方向高度契合，
重逻辑推理、重结构、轻偏怪技巧，非常适合考查数学核心素养。2026 全国Ⅱ卷数列大题，第二问 90%
概率考：数列最值 或 数列不等式证明。
近 5 年全国Ⅱ/甲卷真题高度重复，求通项后，求 a 或 Sn 的最值；证明：求和 < C 型不等式；裂
n
项相消后放缩、等比放缩；与函数单调性结合判断数列增减；考纲明确要求；理解数列是特殊函数，会用
函数方法研究单调性、最值；会用放缩、累加法证明简单不等式。2026 各地一模二模一致指向，模拟卷数
列题几乎都是：第一问：求通项，第二问：最值 / 不等式证明完全贴合全国卷风格。
密押预测·精练通关
1．（2026·山西运城·一模）设正项数列a 的前n项和为S ，且2S =a2+a ．
n n n n n
(1)求a 的通项公式;
n
1
(2)若b = ，记数列b 的前n项和为T ，证明：T <2．
n 2an -1 n n n
【答案】(1)a =n(2)证明见解析
n
【详解】（1）依题意，当n=1时，2S =2a =a2+a ，a >0，则a =1；
1 1 1 1 n 1
当n³2时，2S =a2+a ，2S =a2 +a ，两式相减，
n n n n-1 n-1 n-1
整理可得a +a a -a -1=0，又a 为正项数列，故a -a =1，
n n-1 n n-1 n n n-1
所以数列a 是以a =1为首项，d =1为公差的等差数列，
n 1
所以a =n.
n
1
（2）证明：由（1）可知a =n，所以b = ，显然T =b =1<2，
n n 2n-1 1 1
1 1
当n³2，则2n-1=2×2n-1-1=2n-1+2n-1-1>2n-1，即 < ，
2n-1 2n-1
1 1
(1- )
1 1 2 2n-1 1
此时T <1+ + + =1+ =2- <2，
n 2 L 2n-1 1 2n-1
1-
2
综上，T <2成立.
n
2．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列a 的前n项和为S ，且2S -3a =4n-3.
n n n n
(1)证明：a -2是等比数列；
n
(2)设b =na -2，求数列b 的前n项和T .
n n n n
1-2n 3
【答案】(1)证明见解析(2)T = ´3n+1-
n 4 4
【详解】（1）证明：因为2S -3a =4n-3，
n n
所以当n=1时，2a -3a =4-3，解得a =-1，
1 1 1当n³2时，2S -3a =4n-1-3=4n-7，
n-1 n-1
所以2S -S -3a -a =4，即a =3a -4.
n n-1 n n-1 n n-1
所以a -2=3a -2n³2，
n n-1
又a -2=-3，
1
所以a -2是以-3为首项，3为公比的等比数列.
n
（2）由（1）知，a -2=-3´3n-1 =-3n.
n
所以b =na -2=-n´3n，
n n
则-T
n
=1´31+2´32+3´33+
L
+n´3n，①
-3T
n
=1´32+2´33+3´34+
L
+n-1´3n+n´3n+1，②
①减去②，得：
2T n =  3+32+33+ L +3n -n´3n+1 = 3  1 1 - - 3 3n -n´3n+1= æ ç è 1 2 -n ö ÷ ø 3n+1- 3 2 .
1-2n 3
所以T = ´3n+1- .
n 4 4
3．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知a
n
是公差为d的等差数列，其前n项和为S
n
，且a
2
+a
5
=12，
S =25.
5
(1)求a 的通项公式；
n
2
(2)若数列b 满足b = ，其前n项和为T ，证明：T <1.
n n a a n n
n n+1
【答案】(1)a =2n-1(2)证明见解析
n
ìa +a =2a +5d =12, ìa =1,
【详解】（1）由题意得í 2 5 1 解得í 1
î S =5a +10d =25, îd =2,
5 1
所以a =a +n-1d =2n-1.
n 1
2 2 1 1
（2）由b = = = - ，
n a a 2n-12n+1 2n-1 2n+1
n n+1
1 1 1 1 1
所以T =b +b +×××+b =1- + - +×××+ -
n 1 2 n 3 3 5 2n-1 2n+1
1
=1- <1.
2n+1
4．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列a 中，记Da =a -a ，若Da 为等差数列，则称a 为二阶等差数
n n n+1 n n n
列．
(1)若a =4n2-5n+3，判断a 是否为二阶等差数列？并说明理由；
n n(2)已知二阶等差数列a 满足a =0，a =1，a =3．
n 1 2 3
①求数列a 的通项公式；
n
②若不等式a <k×2n-1对"nÎN*恒成立，求实数k的取值范围．
n
nn-1 æ3 ö
【答案】(1)是，理由见解析(2)①a = ；②ç ,+¥÷.
n 2 è4 ø
【详解】（1）因为a =4n2-5n+3，所以Δa =a -a =é4n+12 -5n+1+3ù-  4n2-5n+3 
n n n+1 n ë û
=8n-1，
所以Δa -Δa =é8n+1-1ù-8n-1=8，故数列Da 为等差数列，
n+1 n ë û n
故数列a 为二阶等差数列.
n
（2）①根据题意可得Da =a -a =1-0=1，Da =a -a =3-1=2，
1 2 1 2 3 2
因为数列Da 为等差数列，故数列Da 的公差为Da -Da =2-1=1,
n n 2 1
所以等差数列Da 的首项为Da =1，故Δa =1+n-1´1=n，
n 1 n
所以Da =a -a =n，
n n+1 n
当n³2时，a -a =1，a -a =2，L，a -a =n-1，
2 1 3 2 n n-1
1+n-1n-1 nn-1
上述等式相加得a -a =1+2+ +n-1= = ，
n 1 L 2 2
nn-1 nn-1
故a =a + = ，
n 1 2 2
nn-1 nn-1
a =0也满足a = ，故对任意的nÎN*，a = ；
1 n 2 n 2
n2-n n2-n
②由题意可知"nÎN*，a <k×2n-1，即 <k×2n-1，可得k > ，
n 2 2n
n2-n n+12 -n+1 n2-n n3-n
令b = ，则b -b = - = ，
n 2n n+1 n 2n+1 2n 2n+1
当n£2且nÎN*时，b >b ，可得b <b <b ；
n+1 n 1 2 3
当n=3时，b =b ；
3 4
当n³4且nÎN*时，b
n+1
<b
n
，可得b
4
>b
5
>b
6
>
L
，
32-3 3 3
所以数列b 的最大项为b =b = = ，故k > ，
n 4 3 23 4 4
æ3 ö
所以实数k的取值范围是ç ,+¥÷.
è4 ø
5．（2026·湖北武汉·模拟预测）在数列a 中，a =6，a =20，a =30，且a -a 是等差数列.
n 1 3 4 n+1 n
(1)求a ；
21 1 1 1
(2)证明： + + L + < .
a a a 2
1 2 n
【答案】(1)a =12(2)证明见解析
2
【详解】（1）设b =a -a ，则b =a -a =a -6,b =20-a ,b =10，
n n+1 n 1 2 1 2 2 2 3
因为a -a 是等差数列，即b 是等差数列，
n+1 n n
则有b +b =2b ，即a -6+10=2×(20-a )，解得a =12.
1 3 2 2 2 2
（2）由（1）知，b =6,b =8，则b 的公差为2，首项为6，
1 2 n
则b =2n+4，即a -a =2n+4，
n n+1 n
当n³2时，a -a =2n+2
n n-1
a -a =2n
n-1 n-2
M
a -a =6
2 1
将各式相加，得a -a =2n+2+2n+ +6，
n 1 L
2n+2+6n-1
即a -6= =n2+3n-4，即a =n2+3n+2，而a =6满足上式，
n 2 n 1
1 1 1 1 1
因此a =n2+3n+2， = = = - ，
n a n2+3n+2 n+1n+2 n+1 n+2
n
1 1 1 æ1 1ö æ1 1ö æ 1 1 ö 1 1
则 + + L + =ç - ÷+ç - ÷+ L +ç - ÷= - ，
a a a è2 3ø è3 4ø èn+1 n+2ø 2 n+2
1 2 n
1 1 1 1
因为n³1，则 >0，则 - < ，得证.
n+2 2 n+2 2
6．（2026·黑龙江·一模）数列a 是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S ，满足____．数列b 满
n n n
足b =2，且b -b a =a ．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中.
1 n+1 n n n+1
①a =2，S =14；
1 3
②a =2，a +1，a ，a -3成等差数列；
1 1 2 3
③S =14，S =126；
3 6
(1)分别求出数列a 与b 的通项公式；
n n
ìb ,n为奇数
(2)若数列c 满足c =í n ，求数列c 的前10项和T ．
n n îa ,n为偶数 n 10
n
（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
【答案】(1)选择任一条件都有a =2n，b =2n(2)T =1414
n n 10
【详解】（1）若选①，设a 的公比为q，则2+2q+2q2 =14，且q>0，
n
解得q = 2，a =2，因此a =2n，
1 na
由b -b a =a ，得b -b = n+1 =2，而b =2，
n+1 n n n+1 n+1 n a 1
n
则数列b 是以2为首项，2为公差的等差数列，
n
所以b =b +n-1d =2n．
n 1
若选②，设a 的公比为q，由a +1,a ,a -3成等差数列，得2a =a ，解得q = 2，因此a =2n
n 1 2 3 2 3 n
a
由b -b a =a ，得b -b = n+1 =2，而b =2，
n+1 n n n+1 n+1 n a 1
n
则数列b 是以2为首项，2为公差的等差数列，
n
所以b =b +n-1d =2n．
n 1
ìS =a  1+q+q2 =14
若选③，设a 的公比为q，则 ï í 3 1 ，解得q=2,a =2，因此a =2n，
n
ïS -S
=aq3 1+q+q2
=112
1 n
î 6 3 1
a
由b -b a =a ，得b -b = n+1 =2，而b =2，
n+1 n n n+1 n+1 n a 1
n
则数列b 是以2为首项，2为公差的等差数列，
n
所以b =b +n-1d =2n．
n 1
ìb ,n为奇数 ì2n,n为奇数
（2）数列c 满足c =í n ，则c =í ，
n n îa ,n为偶数 n î2n,n为偶数
n
所以T =c +c +c +c +c +c +c +c +c +c 
10 1 3 5 7 9 2 4 6 8 10
=2+6+10+14+18+  22+24+26+28+210
5´2+18 4  1-45
= + =1414．
2 1-4
7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数 f x=2sinx-ax.
(1)当a=1时，求函数 f x在0,π上的值域；
é πù
(2)若对任意xÎ 0, ，都有 f x³xcosx，求实数a的取值范围；
ê ú
ë 2û
n 1 1 1 1 8
(3)证明： <tan +tan +tan + L +tan <
 nÎN*
.
2n+4 22 32 42 (n+1)2 3π
é πù
【答案】(1) -π, 3- (2) -¥,1 (3)证明见解析
ê ú
ë 3û
【详解】（1）当a=1时， f x=2sinx-x,xÎ0,π，则 f¢x=2cosx-1，
令 f¢x>0，则cosx> 1 ，即0<x< π ；
2 31 π
令 f¢x<0，则cosx< ，即 <x<π.
2 3
æ πö æπ ö
所以 f x在ç0, ÷上单调递增，在ç ,π÷上单调递减，
è 3ø è3 ø
æπö π
又 f 0=0, f ç ÷= 3- , f π=-π，
è3ø 3
é πù
所以 f x的值域为 -π, 3- .
ê ú
ë 3û
（2）由 f x³xcosx，得2sinx-xcosx-ax³0，
é πù
设hx=2sinx-xcosx-ax,xÎ 0, ，则h0=0，
ê ú
ë 2û
h¢x=2cosx-cosx+xsinx-a=cosx+xsinx-a，
设gx=cosx+xsinx-a，则g¢x=xcosx，
é πù é πù
所以当xÎ 0, 时，g¢x³0，所以h¢x在 0, 上单调递增，
ê ú ê ú
ë 2û ë 2û
æπö π
所以1-a=h¢0£h¢x£h¢ ç ÷= -a.
è2ø 2
π é πù
①当a³ 时，h¢x£0,hx在
ê
0,
ú
上单调递减，则hx£0，不满足题意；
2 ë 2û
π æ πö
②当1<a< 时，$x Îç0, ÷，使得h¢x =0，
2 0 è 2ø 0
当0<x<x 时，h¢x<0,hx在0,x 上单调递减，则hx£h0=0，不满足题意；
0 0
é πù
③当a£1时，h¢x³0,hx在
ê
0,
ú
上单调递增，则hx³h0=0，满足题意.
ë 2û
综上可得a£1，即实数a的取值范围是-¥,1
.
æ πö
（3）证明：由（2）得，当a=1时，任意xÎç0, ÷,2sinx-xcosx-x>0恒成立，
è 2ø
x sinx x
即tan = > ，
2 1+cosx 2
1 1 1 1 1
所以tan > > = -
 nÎN*
，
(n+1)2 (n+1)2 n+1n+2 n+1 n+2
1 1 1 1
所以tan +tan +tan +
L
+tan
22 32 42 (n+1)2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n
> - + - + - + + - = - = .
L
2 3 3 4 4 5 n+1 n+2 2 n+2 2n+4
4 π 4 1 4cos2x-π
令px= x-tanx,0<x< ，则p¢x= - = ，
π 4 π cos2x πcos2xæ πö
存在x Îç0, ÷，使得p¢x =0.
0 è 4ø 0
æ πö
则当xÎ0,x 时，p¢x>0；当xÎçx , ÷时，p¢x<0，
0 è 0 4ø
æ πö æπö
于是px在0,x 上单调递增，在çx , ÷上单调递减，而p0= pç ÷=0，
0 è 0 4ø è4ø
所以px>0，即当0<x< π 时， 4 x>tanx.
4 π
所以tan
1
<
4
×
1
<
8æ
ç
1
-
1 ö
÷
 nÎN*
，
(n+1)2 π (n+1)2 πè2n+1 2n+3ø
1 1 1 1 8æ1 1 1 1 1 1 ö
所以tan +tan +tan + L +tan < ç - + - + L + - ÷
22 32 42 (n+1)2 πè3 5 5 7 2n+1 2n+3ø
8æ1 1 ö 8
= ç - ÷< .
πè3 2n+3ø 3π
n 1 1 1 1 8
综上所述， <tan +tan +tan + L +tan <
 nÎN*
.
2n+4 22 32 42 (n+1)2 3π
8．（2026·广西·模拟预测）已知公比q¹1的等比数列a ，其前n项和为S ，且a =1，2S =S +S .
n n 1 n n+1 n+2
(1)求a 的通项公式；
n
(2)求2a +5a +8a +×××+3n-1a .
1 2 3 n
【答案】(1)a =-2n-1 (2)-n-2n
n
【详解】（1）因为2S =S +S ，所以S -S +S -S =0，即a +2a =0，
n n+1 n+2 n+2 n n+1 n n+2 n+1
a
因为数列a 为等比数列，所以q= n+2 =-2，
n a
n+1
因为a =1，所以a 的通项公式为a =-2n-1；
1 n n
（2）设T =2a +5a +8a +×××+3n-1a ，
n 1 2 3 n
由（1）知a =-2a ，a =-2n-1，
n+1 n n
则-2T =2a +5a +8a +×××+3n-1a ，
n 2 3 4 n+1
两式作差得3T =2a +3a +a +a +×××+a -3n-1a
n 1 2 3 4 n n+1
-2-a
=2+3× n+1 -3n-1a =-3na =-3n-2n，
1+2 n+1 n+1
故T =2a +5a +8a +×××+3n-1a =-n-2n .
n 1 2 3 n
9．（2026·广西南宁·一模）已知数列a 的前n项和S =n2+ pn（p为常数），且a =8．
n n 1
(1)求a 的通项公式；
n(2)设b = 2 ，数列  2n+bb  的前n项和为T ，证明：T <2n+1- 7 ．
n a n n+1 n n 4
n
【答案】(1)a =2n+6；(2)证明过程见解析
n
【详解】（1）因为a =S =12+ p=8，解得p=7，
1 1
故S =n2+7n，
n
故当n³2时，a =S -S =n2+7n-én-12+7n-1ù=2n+6，
n n n-1 ë û
又2´1+6 =8，故a =8也满足a =2n+6，
1 n
综上，a 通项公式为a =2n+6；
n n
2 2 1
（2）b = = = ，
n a 2n+6 n+3
n
1 1 1
故2n+bb =2n+ =2n+ - ，
n n+1 n+3n+4 n+3 n+4
1 1 1 1 1 1
所以T =2+ - +22+ - + +2n+ -
n 4 5 5 6 L n+3 n+4
æ1 1 1 1 1 1 ö 2-2n+1 1 1
=2+22+
L
+2n+ç - + - +
L
+ - ÷= + -
è4 5 5 6 n+3 n+4ø 1-2 4 n+4
1 1 7 1 7
=2n+1-2+ - =2n+1- - <2n+1- .
4 n+4 4 n+4 4
10．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列a 中，a =1,na =n+1a +nn+1．
n 1 n+1 n
ìa ü
(1)证明：í ný为等差数列，并求a 的通项公式；
î n þ n
(2)记b =-1na ，数列b 的前n项和为S ，求S ；
n n n n n
n2-n+1 3 ìna ü
(3)数列c 满足：ac +a c + +a c = ×3n+1- ，求í ný的最大项．
n 1 1 2 2 L n n 2 2 î c þ
n
1
【答案】(1)证明见解析，a =n2(2)S = -1nnn+1(3)1
n n 2
a a
【详解】（1）等式na =n+1a +nn+1两边同除以nn+1，得 n+1 = n +1，
n+1 n n+1 n
ìa ü a
所以数列í ný是以1为首项，1为公差的等差数列．由上知 n =n，即得a =n2．
î n þ n n
（2）由（1）知，b =-1nn2．
n
当n为偶数时，S =
 22-12
+
 42-32
+ +
 n2-n-12
n L
3+2n-1 n 1
=3+7+ +2n-1= × = nn+1.
L
2 2 21 1
当n为奇数时，S =S +-1nn2 = n-1n-n2 =- nn+1．
n n-1 2 2
1
综上，S = -1nnn+1．
n 2
（3）当n=1时，ac =3；当n³2时，
1 1
有a c =
n2-n+1
×3n+1-
n-12 -n-1+1
×3n =n2×3n，可得a c
=n2×3n nÎN*
．
n n 2 2 n n
所以，c =3n nÎN* ．记
na
n =d ，则d =
n3
．
n c n n 3n
n
x ln3 x
令 f x=33 -x,x³3 ，则 f¢x= 33 -1³ln3-1>0，
3
可得 f x在区间3,+¥上单调递增，则 f x³ f 3=0，即得 x ，即3x ³x3．
33 ³x
x3
所以当x³4时，3x >x3，即 <1，可知数列d 从第4项开始每一项均小于1．
3x n
1 8
因为d = ,d = ,d =1，所以数列d 的最大项是第三项，
1 3 2 9 3 n
ìna ü
其值为1，即得数列í ný的最大项为1．
î c þ
n
押题猜想 08 解三角形定值与最值-内部含线
试题前瞻·能力先查
限时：8min
π π
【原创题】已知函数 f(x)=2sin(wx+j)(0<w<2,0<j< )， f(x)£ f( )恒成立，且 f(0)= 3．
2 6
(1)求 f(x)的解析式；
(2)记
V
ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 f(B)=0，a=4，
V
ABC的面积为2 3，求sinC．
π 21
【答案】(1) f(x)=2sin(x+ )(2)
3 14
3 π π
【详解】（1）由 f(0)=2sinj= 3，得sinj= ，而0<j< ，则j= ，
2 2 3
π π π π π π
由 f(x)£ f( )恒成立，得 f( )=2sin( w+ )=2，即sin( w+ )=1，w>0，
6 6 6 3 6 3
π π π
因此 w+ = +2kπ,kÎN，解得w=12k+1,kÎN，而0<w<2，则w=1，
6 3 2
π
所以 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(x+ ).
3π 2π
（2）由（1）得， f(B)=2sin(B+ )=0，而0<B<π，解得B= ，
3 3
1 1 2π
由S = acsinB= ´4csin =2 3，解得c=2，
2 2 3
1
由余弦定理得b= a2+c2-2accosB = 16+4-2´4´2´(- ) =2 7，
2
3
b c 2´
由正弦定理 = ，得 csinB 2 21 ．
sinB sinC sinC = = =
b 2 7 14
分析有理·押题有据
大题必考，位置极稳，全国Ⅱ卷近几年，解三角形固定在第15题，13分，是第一道大题，必须拿满分。
“内部一条线”是近年最热考法，单纯考边、角、面积太简单，现在高频考：角平分线、中线、高线、平
行线，难度适中、区分度好。定值+最值是标准考法，第一问求角/边（定值），第二问求周长、面积、边长
范围（最值），是全国卷最成熟的命题结构。不超纲、不玄学，全是套路，只用：正余弦定理 + 面积公式 +
基本不等式。2026 全国Ⅱ卷解三角形大题，90% 考：三角形内部一条线 + 定值+最值。
近5年全国Ⅱ/甲卷真题高度重复，给中线、角平分线、高线，求边长或角度；求面积最值、周长最值
；结合基本不等式、三角恒等变换，考纲核心要求熟练运用正余弦定理解三角形，掌握面积公式与最值问
题，是基础大题必考内容。2026各地一模二模高度一致，几乎所有模拟卷解三角形都在考：三角形内有一
条线；定值+范围双问完全贴合全国卷风格。
今年重点只押三类“内部一条线”，覆盖全部考法： 中线问题（最高频）；角平分线问题（次高频）
；高线 / 垂线问题（常规）外加必考：面积最值；周长最值；边长范围。
密押预测·精练通关
1．（2026·陕西咸阳·二模）在
V
ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
asinA-csinC =bsinB-sinC．
(1)求角A；
(2)若点D在BC上，AD=CD=2，b=3，求c．
π 9 21-21
【答案】(1)A= (2)
3 10
【详解】（1）由正弦定理得asinA-csinC =bsinB-sinC得a2-c2 =bb-c，
b2+c2-a2 1
所以b2+c2-a2 =bc，所以由余弦定理得cosA= = ，
2bc 2
π
因为0< A<π，所以A= ．
3AC²+CD²-AD² 3 7
（2）在 V ACD中，AD=CD=2,AC =b=3，所以cosC = = ，sinC = 1-cos2C = ，
2·AC·CD 4 4
2π æ2π ö 3 1 3 3+ 7
又B=π-A-C = -C,sinB=sinç -C÷= cosC+ sinC = ，
3 è 3 ø 2 2 8
bsinC 9 21-21
在 V ABC中，由正弦定理得c= = ．
sinB 10
2．（2026·陕西·二模）在
V
ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，ÐBAC =120°，AD为ÐBAC的角
平分线，且AD=2．
(1)若sinB=2sinC，求a的大小；
(2)设M 为BC中点，连接AM ， ABC面积取得最小值时，求线段AM 的长度.
V
【答案】(1)3 7；(2)2
【详解】（1）因为sinB=2sinC，由正弦定理得b=2c.
因为ÐBAC的角平分线交BC于点D，所以ÐBAD=ÐCAD=60o，
1 1 1
由S =S +S ，得 bcsinÐBAC = c×ADsinÐBAD+ b×ADsinÐCAD，
VABC VADB VCDA 2 2 2
1 1 1
则 ×2×bsin60o+ ×2×c×sin60o = ×b×csin120o，
2 2 2
即bc=2c+2b，所以c=3,b=6.
æ 1ö
在
V
ABC中，由余弦定理得a2 =b2+c2-2bccos120o =36+9-2´3´6´ç- ÷=63，
è 2ø
即a= 63=3 7；
1 1 1
（2）由S =S +S ，得 bcsinÐBAC = c×ADsinÐBAD+ b×ADsinÐCAD，
VABC VADB VCDA 2 2 2
1 1 1
得 ×2×bsin60o+ ×2×c×sin60o = ×bcsin120o，
2 2 2
1 1 1
化简得bc=2c+2b，即 + = ，
b c 2
1 1 1 1 1 1 1
所以 + = ³2 ´ ，即 ³ Þbc³16，
b c 2 b c 4 bc
当且仅当b=c=4时等号成立，bc取得最小值， ABC面积取得最小值，
V
此时
V
ABC为等腰三角形，M 为BC中点，则AM 既是中线也是角平分线.
即D,M 重合，故AM = AD=2.
3．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角
V
ABC中，D为边BC上一点，AD平分ÐBAC，且cosB cosC-cosB
= ．
b b-c
(1)证明：DA=DB；
(2)若a=2，求AD长度的取值范围．
æ 4ö
【答案】(1)证明见解析(2)ç1, ÷
è 3ø
cosB cosC-cosB cosB cosC-cosB
【详解】（1）由 = 与正弦定理可得 = ．
b b-c sinB sinB-sinC
展开得cosBsinB-cosBsinC =sinBcosC-sinBcosB，
所以2cosBsinB=sinB+C=sinA，即得sin2B=sinA，
æ πö
由于
V
ABC为锐角三角形，B和A均在ç0, ÷内， 则A=2B或A+2B=p，
è 2ø
当A+2B=p时，因A+B+C =p，则B=C，即得b=c，此时题设条件不满足，舍去.
1
故A=2B，又AD平分ÐBAC，所以ÐBAD= ÐBAC =ÐB．
2
故DA=DB．
（2）由（1）知A=2B，则C =π-A-B=π-3B．
因为 ABC为锐角三角形，
V
π π π
所以0<B< ，0< A=2B< ，0<C =π-3B< ，
2 2 2
π π
解得 <B<
6 4
a b c 2sinB 2sinC 2sin3B
已知a=BC =2，由正弦定理 = = ，得b= ，c= = ．
sinA sinB sinC sin2B sin2B sin2B
BD AB c sin3B
因AD平分ÐA，则 = = = ．
DC AC b sinB
设BD=x，则DC=2-x，且由（1）知DA=DB=x，
x sin3B
则得 = （*）
2-x sinB
因sin3B=sinB+2B=sinBcos2B+cosBsin2B=3sinB-4sin3B，
x 3sinB-4sin3B
则 = =3-4sin2B，
2-x sinBæπ πö æ1 2ö
设t =3-4sin2B，由BÎç è6 , 4 ÷ ø ，得sinBÎç ç è 2 , 2 ÷ ÷ ø ，则tÎ1,2．
x 2t
由 =t可得x= ，
2-x 1+t
2t 2
又函数 =2- 在tÎ1,2上单调递增，
1+t 1+t
2t æ 4ö æ 4ö
故 Îç1, ÷，即ADÎç1, ÷.
1+t è 3ø è 3ø
4
4．（2026·辽宁大连·模拟预测）△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足a2+b=c，tanC = .
3
(1)证明：a+b+c<2；
(2)求△ABC的内切圆半径r的取值范围；
1
(3)若a= ，△ABC的内切圆上有一点P，求点P到A,B,C三点的距离的平方和的最值.
5
æ 1 ù 18 22
【答案】(1)证明见解析(2)ç0,
ú
(3)最小值为 ，最大值为
è 16û 625 625
【详解】（1）证明，由tanC >0知cosC >0，在 ABC中由余弦定理得：
V
a2+b2-c2 a2+(b-c)(b+c) a2[1-(b+c)]
cosC = = = >0
2ab 2ab 2ab
\b+c<1，a+b+c<2(b+c)<2
（2）由2ab1+cosC=a+b2-c2 =a+b+ca+b-c
absinC a+b-csinC
可知r= =
a+b+c 21+cosC
4 3
又 sinC = ,cosC =
Q
5 5
-a2+a
\r=
4
a2+b=c \asinA+sinB=sinC
Q
sinC-sinB
\a= Î0,1
sin(B+C)
-a2+a 1æ 1ö 2 1 æ 1 ù
而r= =- ça- ÷ + \rÎç0, ú .
4 4è 2ø 16 è 16û
4 3
（3） tanC = \cosC =
Q
3 5
ìc2 =b2+a2-2abcosC 1 3
由í ,代入a= ,cosC =
î
a2+b=c 5 53 4 p
解得b= ,c= ，可知 ABC为直角三角形，且A= ，
V
25 25 2
以A为原点，AB,AC分别为x,y轴正方向建立平面直角坐标系，
æ 4 ö æ 3 ö a+b+c 1 1
则Bç ,0÷,Cç0, ÷，设内心Ir,r,有 r= bcÞr=
è25 ø è 25ø 2 2 25
设Pr+rcosq,r+rsinq,则PA2 =r+rcosq2+r+rsinq2
PB2 = æ çrcosq+r- 4 ö ÷ 2 +r+rsinq2, PC2 =r+rcosq2 + æ çr+rsinq- 3 ö ÷ 2
è 25ø è 25ø
4 2
整理得： PA2+ PB2+ PC2 = - cosq，
125 625
\PA2+ PB2+ PC2Î é 18 , 22 ù ，即所求得最小值为 18 ，最大值为 22 .
ê ú
ë625 625û 625 625
5．（2026·辽宁大连·一模）已知
V
ABC与△ABD，点C与点D在直线AB的同侧，且边AC与边BD相交于
uuur uuur 2π
点O，O为AC中点，DO=2OB，AB=2，ÐABC = .
3
(1)若BD平分ÐABC，求AD；
(2)若BC =3，求sinÐBAD.
9 201
【答案】(1)AD= 7(2)sinÐBAD=
134
1 2π π
【详解】（1）因为BD平分ÐABC，所以ÐABD=ÐCBD= ´ = ，
2 3 3
又因为O为AC中点，且边AC与边BD相交于点O，
所以在
V
ABC中，BD是ÐABC的平分线且过对边AC的中点，
故 ABC是等腰三角形，即AB=BC =2，
V
在 V ABC中，由余弦定理得：AC2 = AB2+BC2-2 g AB g BC g cos120o，
1
4+4-2´2´2´(- )=12，
2
所以AC =2 3，AO=OC = 3，
则在
V
ABO中，AB=2，AO= 3，ÐABO=60o，由余弦定理得：
AO2 = AB2+BO2-2
g
AB
g
BO
g
cos60o1
3=4+BO2-2´2´BO´ ，解得BO=1，
2
uuur uuur
又因为DO=2OB，则OD=2BO=2，
所以BD=BO+OD=3，
同理，在△ABD中，AB=2，BD=3，ÐABD=60o，由余弦定理得：
AD2 = AB2+BD2-2
g
AB
g
BD
g
cos60o，
1
=4+9-2´2´3´ =7，
2
所以AD= 7.
（2）以B为原点，BA所在直线为x轴，垂直于BA的直线为y轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
由图可知A坐标为(-2,0)，
3 3 3
因为BC =3，ÐABC =120o，得C坐标为 3cos60o,3sin60o  =( , )，
2 2
1 3 3
又因为O为AC中点，由中点坐标公式得出O点坐标为(- , )，
4 4
uuur uuur 3 9 3
设D点坐标为(x,y)，由DO=2OB和B(0,0)，得出D点坐标为(- , ),
4 4
uuur uuur 5 9 3
所以AB=(2,0)，AD=( , )，
4 4
5 9 3 5
uuuruuur 2´ +0´
AB·AD 4 4 2 5
则cosÐBAD= uuur uuur = = = ，
AB AD 5 9 3 67 2 67
2´ ( )2+( )2 2´
4 4 2
25 9 201
所以sinÐBAD= 1-cos2ÐBAD = 1- = ，
4´67 134
9 201
所以sinÐBAD= .
134
π
6．（2026·吉林白山·二模）如图，在平面四边形ABCD中，A= ，E在边AB上，BE=3，AE=CE，
3
3 3 æ πö
DE^CE,△BEC的面积为 ，记ÐBEC =qç0<q< ÷．
2 è 2øπ
(1)若q= ，求线段BC的长度；
3
(2)当q为何值时，线段DE的长度最小？求出该最小值．
 
【答案】(1) 7(2)6 2- 3
3 3 π
【详解】（1）因为 BEC的面积为 ，BE=3，q= ，
V
2 3
3 π 3 3
所以 EC×sin = ，则EC =2，
2 3 2
π 1
在 BEC中利用余弦定理得BC2 =EC2+EB2-2EC×EBcos =4+9-2´2´3´ =7，
V
3 2
所以线段BC的长度为 7.
（2）设AE=CE=m，
3 3 3 3 3
因为 V BEC的面积为 ，BE=3，所以 msinq= ，则msinq= 3，
2 2 2
π
因为DE^CE，所以ÐDEA= -q，
2
π æπ ö π π
因为A= ，所以ÐADE=π-ç -q÷- =q+
3 è2 ø 3 6
DE AE
在 DAE中利用正弦定理可得， = ，
V
sinA sinÐADE
π
m×sin
AE×sinA 3 3 3
则DE= = = =
sinÐADE æ πö æ πö  3sinq+cosq  sinq
sinçq+ ÷ 2sinçq+ ÷sinq
è 6ø è 6ø
3 6 6
= = =
1-cos2q 1 sin2q- 3cos2q+ 3 æ πö ，
3× + sin2q 2sinç2q- ÷+ 3
2 2 è 3ø
π π π 2π 3 æ πö
因为0<q< ，所以- <2q- < ，则- <sinç2q- ÷£1，
2 3 3 3 2 è 3ø
æ πö 6  
则0<2sinç2q- ÷+ 3£2+ 3，则DE³ =6 2- 3 ，
è 3ø 2+ 3
æ πö π π 5π
等号成立时sinç2q- ÷=1，则2q- = ，即q= ，
è 3ø 3 2 125π  
故当q= 时线段DE的长度最小，最小为6 2- 3 .
12
7．（2026·吉林·模拟预测）已知
V
ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c，且2c-b=2acosB．
(1)求A；
5 B
(2)若b= 2,C = π，数列a 的通项公式为a =asin(2nA+ ),nÎN*，设S 为数列a 的前n项和，求
12 n n 3 n n
S ．
2026
π 6
【答案】(1)A= ；(2) .
3 2
【详解】（1）在
V
ABC中，由2c-b=2acosB及正弦定理，得2sinC-sinB=2sinAcosB，
则2sin(A+B)-sinB=2sinAcosB，即2sinAcosB+2cosAsinB-sinB=2sinAcosB，
1
于是2cosAsinB=sinB，而sinB>0，则cosA= ，又0< A<π，
2
π
所以A= .
3
π 5 π bsinA
（2）由（1）知，A= ，而C= π，则B= ，又b= 2，则由正弦定理得a= = 3，
3 12 4 sinB
B 2π π 2π π
因此a =asin(2nA+ )= 3sin( n+ )，函数 f(x)=sin( x+ )的最小正周期为3，
n 3 3 12 3 12
3π 17π 25π
因此数列a 是以3为周期的周期数列，a +a +a = 3(sin +sin +sin )
n 1 2 3 4 12 12
2 π π π π 2 π π
= 3[ -sin( + )+sin( - )]= 3( -2cos sin )=0，而2026=675´3+1，
2 4 6 4 6 2 4 6
2 6
所以S =675(a +a +a )+a =675´0+ 3´ = .
2026 1 2 3 1 2 2
1
8．（2026·吉林长春·一模）在
V
ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosB=- ，且
V
ABC的
3
5 2
面积为 .
2
(1)求ac的值；
(2)若bsinC =2 2，求AC边上的高BD.
15 10 2
【答案】(1)ac= (2)
2 9
【详解】（1）因为cosB=- 1 ，BÎ0,π，所以sinB= 1-cos2B = 2 2 ，
3 3
1 5 2 1 2 2 5 2
又 V ABC的面积S = acsinB= ，所以 ac´ = ，
2 2 2 3 215
所以ac= .
2
bsinC 2 2 15
c= = =3
（2）由正弦定理得b×sinC =c×sinB=2 2，则 sinB 2 2 ，所以 2 5，
a= =
3 3 2
25 5 æ 1ö 81 9
由余弦定理，b2 =a2+c2-2accosB= +9-2´ ´3´ç- ÷= ，解得b= ，
4 2 è 3ø 4 2
9 1 1 9 5 2
即AC = ，又 V ABC的面积S = AC´BD= ´ ´BD= ，
2 2 2 2 2
10 2 10 2
解得BD= ，即AC边上的高BD为 .
9 9
9．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在
V
ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a,b,c，
2c-2acosB= 3b.
(1)求角A；
(2)若a=1，bc=2 3，c>b，求AB边上的高.
π 3
【答案】(1) (2)
6 2
【详解】（1）因为2c-2acosB= 3b，
根据正弦定理得，2sinC-2sinAcosB= 3sinB.
因为C =π-(A+B)，所以sinC =sin(A+B)，
所以2sin(A+B)-2sinAcosB= 3sinB，
所以2cosAsinB= 3sinB，
3
因为BÎ(0,π)，所以sinB¹0，所以cosA= ，
2
π
因为AÎ(0,π)，所以A= .
6
π
（2）根据余弦定理得，a2 =b2+c2-2bccos ，
6
将a=1，bc=2 3代入上式整理得，b2+c2 =7，
又因为bc=2 3且b<c，解得b= 3，c=2，
所以a2+b2 =c2，所以
V
ABC为以AB为斜边的直角三角形，
ab 1´ 3 3
所以斜边AB上的高为h= = = .
c 2 2
3
10．（2026·黑龙江大庆·二模）在 V ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且b×cosA+ a×sinB=c.
3
(1)求B；(2)若a+c=6，且
V
ABC的面积为 3，求
V
ABC的周长.
π
【答案】(1)B= (2)6+2 6
3
3 3
【详解】（1）由正弦定理得：b×cosA+ a×sinB=cÞsinBcosA+ sinBsinA=sinC，
3 3
在三角形中C =π-A+B，所以sinBcosA+ 3 sinBsinA=sinA+B，
3
3 3
即sinBcosA+ sinBsinA=sinAcosB+cosAsinBÞ sinBsinA=sinAcosB，
3 3
3
因为AÎ0,π,sinA¹0，所以 sinB=cosBÞtanB= 3，
3
π
因为BÎ0,π，所以B=
3
1 3
（2）S = acsinB= ac= 3，所以ac=4，
△ABC 2 4
由余弦定理得b2 =a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac=36-12=24，所以b=2 6，
则a+c+b=6+2 6，
所以 V ABC的周长为6+2 6.
押题猜想 09 导数-比较大小、零点及恒成立求参问题
试题前瞻·能力先查
限时：8min
【原创题】已知函数 f x=ax-3e2x-2aÎR，且 f 1为函数 f x的极值.
(1)求实数a的值；
1
(2)当x³1时， f x+mex-1+ m2 ³0恒成立，求实数m的取值范围；
2
n 1 1
(3)证明：当n³2时，å < ．
f(i) 2
i=2
【答案】(1)a=2(2)m£-2 e或m³ 3-1(3)证明见解析
【详解】（1）因为 f¢(x)=a×e2x-2+(ax-3)×2e2x-2 =(2ax+a-6)e2x-2，又 f(1)为函数 f(x)的极值， 所以
f¢(1)=0，即(2a+a-6)e0 =3a-6=0，解得a=2.
验证极值点：当a=2时， f¢(x)=4(x-1)e2x-2.
当x<1时， f¢(x)<0， f(x)单调递减；
当x>1时， f¢(x)>0， f(x)单调递增.因此x=1是 f(x)的极小值点，符合题意，故a=2.
1
（2）由(1)得 f(x)=(2x-3)e2x-2，设g(x)=(2x-3)e2x-2+mex-1+ m2，
2
g¢(x)=4(x-1)e2x-2+mex-1 =ex-1é4(x-1)ex-1+mù
ë û
设h(x)=4(x-1)ex-1+m， h¢(x)=4xex-1.
当x³1时，h¢(x)>0，因此h(x)在[1,+¥)上单调递增，h(x)³h(1)=m.
情况1：m³0
此时h(x)³m³0，故g¢(x)³0，g(x)在[1,+¥)上单调递增，最小值为g(1).
1
g(1)= m2+m-1³0，解得m£-1- 3或m³ 3-1，结合m³0，得m³ 3-1.
2
情况2：m<0
h(x)在[1,+¥)上单调递增，且h(1)=m<0，x®+¥时h(x)®+¥，
故存在唯一x Î(1,+¥)，使得h(x )=0，即m=-4(x -1)ex0-1.
0 0 0
当xÎ[1,x )时，g¢(x)<0，g(x)单调递减；
0
当xÎ(x ,+¥)时，g¢(x)>0，g(x)单调递增.
0
因此g(x)的最小值为g(x )，代入m=-4(x -1)ex0-1，
0 0
化简得g(x )=e2x0-2×(8x2-18x +9)³0，
0 0 0
3
因e2x0-2 >0，故8x2-18x +9³0，解得x ³ .
0 0 0 2
3
设H(x)=-4(x-1)ex-1，xÎ[ ,+¥)， H¢(x)=-4xex-1<0，
2
3
故H(x)在[ ,+¥)上单调递减，
2
æ3ö
因此m=H(x )£Hç ÷=-2 e，
0 è2ø
综上所述，实数m的取值范围是m£-2 e或m³ 3-1.
1 1
（3）证明：由(1)得 f(i)=(2i-3)e2i-2，因此 = .
f(i) (2i-3)e2i-2
令t(x)=ex-(x+1)，则t¢(x)=ex-1，
当x>0时，t¢(x)>0，当x<0时，t¢(x)<0，
所以t(x)=ex-(x+1)在(0,+¥)上递增，在(-¥,0)上递减，
所以t(x) =e0-(0+1)=0，所以t(x)=ex-(x+1)³0
min
所以不等式ex ³x+1（当且仅当x=0时取等号），
令x=2i-2，得e2i-2 ³2i-1，且i³2时2i-2¹0，故e2i-2 >2i-1.
因此对i³2，有：1 1 1æ 1 1 ö n 1 1 n æ 1 1 ö
< = ç - ÷，即å < å ç - ÷
f(i) (2i-3)(2i-1) 2è2i-3 2i-1ø f(i) 2 è2i-3 2i-1ø
i=2 i=2
n æ 1 1 ö 1 1 1 1 1 1 1
因为å ç - ÷= - + - + L + - =1- ，
è2i-3 2i-1ø 1 3 3 5 2n-3 2n-1 2n-1
i=2
n 1 1æ 1 ö
所以å < ç1- ÷.
f(i) 2è 2n-1ø
i=2
1 1æ 1 ö 1 n 1 1
因n³2时 >0，故 ç1- ÷< ，即å < ，不等式得证.
2n-1 2è 2n-1ø 2 f(i) 2
i=2
分析有理·押题有据
压轴地位不可动摇全国Ⅱ卷第18、19题必是导数大题，选择填空也常出一道导数小题，总分值20分
左右，是整张试卷区分尖子生与普通生的核心题。三大考法高度固定，大题结构几乎年年一样：第1问：
单调性、切线、极值（送分）；第2问：零点个数 / 恒成立求参 / 比较大小（拉分）命题风格成熟、不跑
偏，不考怪招，重点考：分类讨论、分离参数、构造函数、隐零点、放缩，套路极强，二轮突击性价比极
高。重思维轻计算，侧重逻辑分析、函数构造、数形结合，完美契合新课标“理性思维”考查目标。2026
全国Ⅱ卷导数大题100%必考，90%概率考：零点问题 或 恒成立求参 或 比较大小。
近5年全国Ⅱ/甲卷真题高度重复，恒成立求参数范围（含端点效应、隐零点）；函数零点个数判断、
存在性证明；双变量比较大小、极值点偏移；含参单调性讨论，考纲核心要求：熟练应用导数研究函数单
调性、极值、最值；能够解决函数零点、不等式证明、恒成立问题。2026各地一模二模各地模拟卷导数题
均围绕：含参单调性；恒成立求参；零点个数；构造函数比大小，完全复刻全国卷命题逻辑。
今年重点只押3类，覆盖99%考法：恒成立求参数范围（最高频），函数零点个数与存在性（次高频）
双变量/单变量比较大小、不等式证明（压轴考法）解题口诀：导数题，先求导，单调极值先找到。恒成立，
分离参，不行再把分类谈。零点题，看符号，单调区间要分好。比大小，作差构，同构放缩压轴路。
密押预测·精练通关
1．（2026·黑龙江·一模）已知函数 f x=a(x+1)2+x+lnx，aÎR．
(1)讨论 f x的单调性；
1 1
(2)当- £a<0时，求证： f x£2a- -1．
2 2a
【答案】(1)当a³0时，函数 f x在区间0,+¥上单调递增；
æ 1 ö æ 1 ö
当a<0时，函数 f x在区间ç0,- ÷上单调递增，在区间ç- ,+¥÷上单调递减．
è 2aø è 2a ø
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可知，函数 f x=a(x+1)2+x+lnx，aÎR的定义域为0,+¥，
x+12ax+1
导数 f¢x= ，x>0
x当a³0时，xÎ0,+¥， f¢x>0；
æ 1 ö æ 1 ö
当a<0时，xÎç0,- ÷， f¢x>0；xÎç- ,+¥÷， f¢x<0；
è 2aø è 2a ø
综上，当a³0时，函数 f x在区间0,+¥上单调递增；
æ 1 ö æ 1 ö
当a<0时，函数 f x在区间ç0,- ÷上单调递增，在区间ç- ,+¥÷上单调递减．
è 2aø è 2a ø
1
（2）由（1）可知，当- £a<0时，
2
æ 1 ö æ 1 ö
函数 f x在区间ç0,- ÷上单调递增，在区间ç- ,+¥÷，上单调递减．
è 2aø è 2a ø
æ 1 ö 2 1 æ 1 ö 1
所以 f x =aç1- ÷ - +lnç- ÷=a-1- -ln-2a，
max è 2aø 2a è 2aø 4a
1 1 1
要证 f x£2a- -1，需证a-1- -ln-2a£2a- -1．
2a 4a 2a
1 1
即需证a- +ln-2a³0,- £a<0恒成立，
4a 2
1 1
令ga=a- +ln-2a,- £a<0，
4a 2
1 2 (2a+1)2
则g¢a=1+ + = ³0
4a2 2a 4a2
é 1 ö
所以函数ga在区间
ê
- ,0÷单调递增，
ë 2 ø
æ 1ö
故ga³gç- ÷=0，
è 2ø
1 1
所以a- +ln-2a³0，- £a<0恒成立，
4a 2
1 1
所以当- £a<0时， f x£2a- -1．
2 2a
2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数 f(x)=aex-1+2x-3，其中aÎR.
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)（ⅰ）当a³1时，证明： f(x)³3lnx(x>0)；
（ⅱ）当a=1时，设0<m<1<n，且 f(m)+ f(n)=0.求证： f(mn)× f(m+n)<0.
【答案】(1)答案见解析(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【详解】（1） f¢(x)=aex-1+2，
①当a³0时， f¢(x)³0， f(x)在(-¥,+¥)单调递增，
æ 2ö
②当a<0时，令 f¢x =0，解得x =1+lnç- ÷，
0 0 è aøæ æ 2öö æ æ 2ö ö
当xÎç-¥,1+lnç- ÷÷时， f¢(x)>0，当xÎç1+lnç- ÷,+¥÷时， f¢(x)<0，
è è aøø è è aø ø
æ æ 2öö æ æ 2ö ö
所以 f(x)在ç-¥,1+lnç- ÷÷上单调递增，在ç1+lnç- ÷,+¥÷上单调递减，
è è aøø è è aø ø
综上，当a³0时， f(x)在(-¥,+¥)单调递增；
æ æ 2öö
当a<0时， f(x)在ç-¥,1+lnç- ÷÷上单调递增，
è è aøø
æ æ 2ö ö
在ç1+lnç- ÷,+¥÷上单调递减.
è è aø ø
（2）设g(x)=ex-1+2x-3-3lnx，
3
则g¢(x)=ex-1+2- ，
x
因为g¢(x)在(0,+¥)上单调递增，g¢(1)=0，
所以当xÎ(0,1)时，g¢(x)<0，g(x)单调递减；
当xÎ(1,+¥)时，g¢(x)>0，g(x)单调递增；
所以g(x)³g(1)=0，当且仅当x=1时取等，
所以 f x-3lnx=gx³0，即 f(x)³3lnx，当且仅当a=1，x=1时取等；
（ⅱ）法一：由（1）已知，当a=1时， f(x)在(0,+¥)单调递增；
因为m+n>1，所以 f(m+n)> f(1)=0，
æ 1 ö 1
由（2）可知， f(m)>3lnm， f ç ÷>3ln =-3lnm，
èmø m
æ 1 ö
所以 f m+ f ç ÷>3lnm+-3lnm=0，
èmø
æ 1 ö
因为 f(m)+ f(n)=0，所以 f ç ÷> f(n)，
èmø
1
所以 >n，即mn<1，
m
所以 f(mn)< f(1)=0，
所以 f(mn)× f(m+n)<0
法二：
由（1）已知，当a=1时， f(x)在(0,+¥)单调递增；
因为m+n>1，所以 f(m+n)> f(1)=0；（同法一）
设j(x)=x  ex-1+2  ，xÎ(0,+¥)，易知j(x)在(0,+¥)上单调递增，所以当xÎ(0,1)时，j(x)<j æ ç 1ö ÷，即x  ex-1+2  < 1æ çe 1 x -1 +2 ö ÷，
èxø x
è ø
1 æ 1 -1 ö 1 æ1ö
上式整理得ex-1+2- çex +2÷<0，即 f¢(x)- f¢ ç ÷<0
x2
è ø
x2 èxø
æ1ö
设h(x)= f(x)+ f ç ÷，xÎ(0,1)，所以h(x)在(0,1)上单调递减，
èxø
æ 1 ö
所以h(m)>h(1)=0，即 f(m)+ f ç ÷>0，
èmø
æ 1 ö 1
因为 f(m)+ f(n)=0，所以 f ç ÷> f(n)，所以 >n，即mn<1，
èmø m
所以 f(mn)< f(1)=0
所以 f(mn)× f(m+n)<0（同法一）
法三：
由（1）已知，当a=1时， f(x)在(0,+¥)单调递增；
因为m+n>1，所以 f(m+n)> f(1)=0；（同法一）
设h(t)= f(1+t)+ f(1-t)，tÎ(0,1)，
所以h¢(t)= f¢(1+t)- f¢(1-t)=et -e-t >0，所以h(t)在(0,1)上单调递增，
显然0<1-m<1，所以h(1-m)>h(0)=0，即 f(m)+ f(2-m)>0，
因为 f(m)+ f(n)=0，所以 f(2-m)> f(n)，所以2-m>n，即m+n<2，
根据基本不等式，2 mn <m+n<2，所以mn<1，
所以 f(mn)< f(1)=0，
所以 f(mn)× f(m+n)<0
法四：
由（1）已知，当a=1时， f(x)在(0,+¥)单调递增；
因为m+n>1，所以 f(m+n)> f(1)=0；（同法一）
因为 f(m)+ f(n)=em-1+en-1+2(m+n)-6=0，所以em-1+en-1 =6-2(m+n)
根据基本不等式，2 em+n-2 <em-1+en-1 =6-2(m+n)，
设m+n=t，所以2 et-2 <6-2t，整理得et-2-(3-t)2 <0，
设h(t)=et-2-(3-t)2，
所以h¢(t)=et-2+2(3-t)，h¢¢(t)=et-2-2，
所以h¢(t)在(-¥,2+ln2)单调递减，在(2+ln2,+¥)单调递增，
所以h¢(t)³h¢(2+ln2)=2(2-ln2)>0，所以h(t)为增函数，因为h(2)=0，所以当且仅当t<2时，et-2-(3-t)2 <0，
所以m+n<2，
根据基本不等式，2 mn <m+n<2，所以mn<1，
所以 f(mn)< f(1)=0
所以 f(mn)× f(m+n)<0（同法三）
3．（2026·广西河池·二模）已知函数 f x=alnx-2x+2aaÎR．
(1)讨论 f x的极值；
2
(2)当a> 时，证明：a2ex >xf x+2x2-2ax．
e2
æ a ö
【答案】(1)当a£0时， f x无极值；当a>0时， f x的极大值为açln +1÷，无极小值.(2)证明见解析
è 2 ø
a a-2x
【详解】（1）函数 f x的定义域为0,+¥，求导得： f¢x= -2= ，
x x
当a£0时，a-2x<0对任意x>0恒成立，故 f¢x<0， f x在0,+¥上单调递减，无极值；
a
当a>0时，令 f¢x=0，得x= ，
2
a a
当x< 时， f¢x>0， f x单调递增；当x> 时， f¢x<0， f x单调递减，
2 2
a æaö a a a æ a ö
故当x= 时 f x取得极大值 f ç ÷=aln -2´ +2a=aln +a=açln +1÷，无极小值.
2 è2ø 2 2 2 è 2 ø
æ a ö
综上，当a£0时， f x无极值；当a>0时， f x的极大值为açln +1÷，无极小值.
è 2 ø
（2）因为xf x+2x2-2ax=xalnx-2x+2a+2x2-2ax=axlnx，
所以原不等式等价于a2ex >axlnx，因a>0,x>0，两边除以a得：只需证aex >xlnx.
当0<x<1时，不等式显然成立；
xlnx xlnx 2 2 xlnx 2
当x>1时，xlnx>0，只需证a> < ，因为a> ，故只需证 < .
ex ex e2 e2 ex e2
xlnx 1+lnxex-xlnxex 1-lnx×x-1
令gx= x>1，求导得： g¢x= = ，
ex e2x ex
令hx=1-lnx×x-1，hx在1,+¥上单调递减，且h2=1-ln2>0，he=2-e<0，
故存在唯一x Î2,e，使得hx =0，即1=lnx x -1 .
0 0 0 0
当1<x<x 时，hx>0，g¢x>0，gx单调递增；当x>x 时，hx<0，g¢x<0，gx单调递减.
0 0
x lnx
故当x=x 时，gx取得极大值也是最大值gx = 0 0 .
0 0 ex01 x x
代入lnx = 得：g(x )= 0 ，令j(x)= (x>2)，
0 x -1 0 (x -1)ex0 (x-1)ex
0 0
则j¢x=
x-1ex-xé
ë
ex+x-1exù
û =
x-1-x2
<0恒成立，则j(x)在(2,+¥)上单调递减，
éx-1exù 2 x-12ex
ë û
2 2
故j(x )<j(2)= ，即gx < 成立.
0 e2 max e2
综上，原不等式a2ex >xf x+2x2-2ax得证.
æ πö
4．（2026·广西南宁·一模）（1）若函数 f x=sinçwx- ÷ w>0图象的两个相邻对称中心的横坐标相差
è 3ø
6，求 f x．
æ4 ö
（2）在（1）的条件下，设函数gx=tx+1-lnç -1÷，试判断并证明函数hx= f x+gx图象的对
èx ø
称性．
（3）已知（2）中gx的导函数g¢x有两个零点m,n,且n>m³1．
（i）求t的取值范围；
（ii）当a³1时，证明：gm+an>t．
π π
【答案】（1） f x=sin( x- )；（2）hx的图象关于点(2,3t)成中心对称，证明见解析；
6 3
4
（3）（i）[- ,-1)；（ii）证明见解析
3
【详解】（1）依题意，函数 f x的最小正周期T满足 T = π =6，则w= π ，
2 w 6
π π
故 f x=sin( x- )；
6 3
π π 4
（2）由（1） f x=sin( x- )，gx=tx+1-ln( -1)，
6 3 x
π π æ4 ö
则函数hx= f x+gx=sin( x- )+tx+1-lnç -1÷关于点(2,3t)成中心对称，证明如下：
6 3 èx ø
4
由 -1>0，可得0<x<4，即函数hx的定义域为(0,4)，
x
π π π π π π π π
因 f(4-x)+ f(x)=sin[ (4-x)- ]+sin( x- )=sin( - x)+sin( x- )=0，
6 3 6 3 3 6 6 3
4 4
g(4-x)+g(x)=t4-x+1-ln( -1)+tx+1-ln( -1)
4-x x
x 4-x x 4-x
=6t-ln -ln =6t-ln( × )=6t，
4-x x 4-x x
则h4-x+h(x)= f(4-x)+g(4-x)+ f(x)+g(x)=6t，即函数hx的图象关于点(2,3t)成中心对称.
4 1 1 4
（3）（i）由gx=tx+1-ln( -1)，xÎ(0,4)求导得g¢(x)=t+ + =t+ ，
x 4-x x x(4-x)
4
由g¢(x)=0可得x(4-x)t+4=0，显然t¹0，可得- =x(4-x)，
t
设h(x)=x(4-x)=-x2+4x=-(x-2)2+4，可知该函数在(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，
且h1=h3=3,h2=4,h4=0，如图，要使gx的导函数g¢x有两个零点m,n，且n>m³1，
4 4 4
则需使函数y=- 与hx在[1,4)上有2个交点，即需使3£- <4，解得- £t<-1，即t的取值范围是
t t 3
4
[- ,-1).
3
4 4
（ii）由g¢(m)=g¢(n)=0，可得t =- =- ，化简得：4(m-n)=m2-n2，
m(4-m) n(4-n)
4-m
因n>m³1，则得m+n=4，即n=4-m，且1£m<2<n£3，则gm=tm+1-ln ，
m
4-m 4-m
要证gm+an>t，需证tm+1-ln +a(4-m)>t，即证tm-ln +a(4-m)>0，
m m
因a³1，不妨取a=1，（若此时不等式成立，因4-m>0，则易得a³1时更成立），
4-m 4 4 4-m
即需证tm-ln +4-m>0，因t =- ，代入整理得- -ln +4-m>0，
m m(4-m) 4-m m
4 u
设u=4-m，则m=4-u，由1£m<2可得uÎ(2,3]，于是可得- -ln +u>0，
u 4-u
4
即需证u- -lnu+ln(4-u)>0（*）.
u
4 4 1 1 u24-u+82-u
设j(u)=u- -lnu+ln(4-u),uÎ(2,3]，则j¢u=1+ - - = ，
u u2 u 4-u u24-u
令pm=u24-u+82-u,uÎ2,3，则p¢u=2u4-u-u2-8=-3u2+8u-8<0，
所以pm在2,3上单调递减，pm³ p3=1>0，
所以j¢(u)>0，即j(u)在(2,3]上单调递增，又j(2)=0，
则j(u)>j(2)=0，即（*）成立，故当a³1时，gm+an>t得证.
5．（2026·广西南宁·一模）已知函数h(x)=x3-6x2+9x-1．
(1)求h(x)在0,4上的最值．
(2)设函数 f(x)=hx+3-tx．
（i）讨论 f(x)的单调性；
（ii）若a为 f(x)的一个极值点，且 f(a)= f(b)，a¹b，证明2a+b为定值．
【答案】(1)最大值为3，最小值为-1.(2)（i）见解析；（ii）证明见解析.
【详解】（1）h¢(x)=3x2-12x+9，令h¢(x)=0，解得x=1或x=3.
当xÎ0,1时，h¢(x)>0，h(x)单调递增，
当xÎ1,3时，h¢(x)<0，h(x)单调递减，
当xÎ3,4时，h¢(x)>0，h(x)单调递增，
所以h(x)在x=1时取得极大值h(1)=3，在x=3时取得极小值h(3)=-1，
又h(0)=-1，h(4)=3，
所以h(x)在0,4上的最大值为3，最小值为-1.
（2）（i） f(x)=hx+3-tx=x3-6x2+(12-t)x-1，
f¢(x)=3x2-12x+12-t，
判别式D=-122-4´3´12-t=12t，
当t£0时，Δ£0， f¢(x)³0， f(x)在R上单调递增；
12± 12t 3t
当t>0时，Δ>0，令 f¢(x)=0，解得x= =2± ，
6 3
3t
当xÎ(-¥,2- )时， f¢(x)>0， f(x)单调递增，
3
3t 3t
当xÎ(2- ,2+ )时， f¢(x)<0， f(x)单调递减，
3 3
3t
当xÎ(2+ ,+¥)时， f¢(x)>0， f(x)单调递增，
3
综上所述，当t£0时， f(x)在R上单调递增，
3t 3t 3t 3t
当t>0时， f(x)在(-¥,2- )，(2+ ,+¥)上单调递增， f(x)在(2- ,2+ )上单调递减.
3 3 3 3
（ii）因为a为 f(x)的一个极值点，所以 f¢(a)=0，即 f¢(a)=3a2-12a+12-t =0，
所以t =3a2-12a+12，
由 f(a)= f(b)得a3-6a2+(12-t)a-1=b3-6b2+(12-t)b-1，整理得a3-b3-6a2+6b2+(12-t)a-(12-t)b=0，
(a-b)(a2+ab+b2)-6(a-b)(a+b)+(12-t)(a-b)=0，
化简得a-bé a2+ab+b2 -6a+b+12-tù=0，
ë û
因为a¹b，所以a2+ab+b2-6a-6b+12-t =0，
将t =3a2-12a+12代入，得a2+ab+b2-6a-6b+12-(3a2-12a+12)=0，
整理得-2a2+ab+b2+6a-6b=0，
(b-a)(b+2a)-6(b-a)=0，
化简得(b-a)(b+2a-6)=0，
因为a¹b，所以b+2a-6=0，即b+2a=6，
所以2a+b为定值.
a
6．（2026·广西柳州·二模）已知函数 f x= +lnx.
x
(1)当a=1时，求曲线y= f x在点 1, f 1 处的切线方程；
(2)若 f x有极小值，记 f x的极小值为ga，证明：ga£ea-1.
【答案】(1)y=1(2)证明见解析
1
【详解】（1）当a=1时， f x= +lnx，
x
1 1 x-1
所以 f x的定义域为0,+¥， f 1=1， f¢x=- + = ，
x2 x x2
所以 f¢1=0，即在点1,1处的切线斜率为0.
由点斜式可知曲线y= f x在点 1, f 1 处的切线方程为y-1=0，即y=1.
a a 1 x-a
（2）由 f x= +lnx知 f x的定义域为0,+¥，且 f¢x=- + = .
x x2 x x2
x-a
①当a£0时， f¢x= >0恒成立， f x是增函数，没有极小值，不符合题意.
x2
x-a
②当a>0时，若xÎ0,a，则 f¢x= <0，所以 f x在0,a上单调递减；
x2
x-a
若xÎa,+¥，则 f¢x= >0，所以 f x在a,+¥上单调递增，
x2
所以 f x有极小值，且极小值为 f a=1+lna，所以ga=1+lna.
要证ga£ea-1，即1+lna£ea-1，只需证ea-1-1-lna³0.
1
令ha=ea-1-1-lnaa>0，则h¢a=ea-1- ，
a
1
由复合函数的单调性知h¢a=ea-1- 在0,+¥上单调递增，
a1
又h¢1=e1-1- =0，
1
所以当aÎ0,1时，h¢a<0，ha单调递减；
当aÎ1,+¥时，h¢a>0，ha单调递增，
所以ha=ea-1-1-lnaa>0在a=1时取得极小值，也是最小值，
所以ha³h1=e1-1-1-ln1=0，即ha=ea-1-1-lna³0，
即ga£ea-1.
7．（2025·广西河池·三模）已知函数 f x=lnx-xex-2+x-ln2.
(1)求曲线y= f x在点 2,f 2 处的切线方程.
(2)设 f x的导函数为 f¢x，证明： f¢x存在唯一零点.
(3)求 f x的最大值.
【答案】(1)3x+2y-6=0(2)证明见解析(3)1-ln2
【详解】（1）已知 f x=lnx-xex-2+x-ln2，则 f 2=ln2-2+2-ln2=0，
1 1 3 3
f¢x= -(x+1)ex-2+1，则 f¢2= -3+1=- ，所以切线方程为y-0=- x-2，
x 2 2 2
即3x+2y-6=0.
1
（2）由（1） f¢x= -(x+1)ex-2+1，其定义域为0,+¥，
x
1
设g(x)= f¢x= -(x+1)ex-2+1，
x
1
则g¢(x)=- -(x+2)ex-2 <0，
x2
所以g(x)在0,+¥上单调递减，
2
由g(1)=1-2e-1+1=2- >0，
e
1 3
g(2)= -3e0+1=- <0，即 f¢x存在唯一零点.
2 2
（3）由（2）知 f¢x在0,+¥上单调递减，
且存在唯一零点x Î1,2，使得 f¢x =0，当0<x<x 时， f¢x>0， f x在0,x 上单调递增；
0 0 0 0
当x>x 时， f¢x<0，
0
f x在x ,+¥上单调递减；所以 f x的最大值为 f x .
0 0
1 1 x +1
因为 f¢x =0，所以 -(x +1)ex0-2+1=0，即(x +1)ex0-2 = +1= 0 ，
0 x 0 0 x x
0 0 01
化简为ex0-2 = 。则x -2=-lnx ，而 f  x  =lnx -x ex0-2+x -ln2
x 0 0 0 0 0 0
0
1
=lnx -x ex0-2+x -ln2 =2-x -x ´ +x -ln2=1-ln2，
0 0 0 0 0 x 0
0
故 f x的最大值为1-ln2.
1
8．（2026·重庆九龙坡·一模）已知函数 f x=ex- ax2, f¢x为 f x的导数.
2
(1)求曲线y= f x在点 0, f 0 处的切线方程；
1
(2)对"xÎ0,+¥，都有 f x> ax2+x+1，求a的取值范围；
2
e2
(3)设gx= f¢x-bsinx，若gx在0,+¥上有零点，求证：a2+b2 > .
2
æ 1ù
【答案】(1)y=x+1(2)ç-¥,
ú
(3)证明见解析
è 2û
1
【详解】（1）由 f x=ex- ax2，得 f 0=1，
2
而 f¢x=ex-ax，则 f¢0=1，
所以曲线y= f x在点 0, f 0 处的切线方程为y=x+1.
1 1 1
（2）由 f x> ax2+x+1，则ex- ax2 > ax2+x+1，
2 2 2
即ex -ax2-x-1>0对于xÎ0,+¥恒成立，
设hx=ex-ax2-x-1，xÎ0,+¥，则h¢x=ex-2ax-1，
设mx=ex-2ax-1，xÎ0,+¥，
则m¢x=ex-2a，函数m¢x在0,+¥上单调递增，且m¢0=1-2a，
1
当1-2a³0，即a£ 时，m¢x>0，则函数mx在0,+¥上单调递增，
2
所以h¢x=mx>m0=0，则函数hx在0,+¥上单调递增，
则hx>h0=0，即ex -ax2-x-1>0对于xÎ0,+¥恒成立；
1
当1-2a<0，即a> 时，令m¢x<0，得0<x<ln2a，
2
令m¢x>0，得x>ln2a，
所以函数mx在 0,ln2a 上单调递减，在 ln2a,+¥ 上单调递增，
则xÎ0,ln2a 时，h¢x=mx<m0=0，
此时函数hx在 0,ln2a 上单调递减，则hx<h0=0，不符合题意.æ 1ù
综上所述，a的取值范围为ç-¥,
ú
.
è 2û
（3）由gx= f¢x-bsinx=ex-ax-bsinx，xÎ0,+¥，
令gx=ex-ax-bsinx=0，即ax+bsinx-ex =0，
设gx在0,+¥上的零点为t>0，则at+bsint-et =0，
则点a,b为直线tx+ysint-et =0上一点，
所以 a2+b2 表示点a,b到原点的距离，
et e2t
则 a2+b2 ³ ，即a2+b2 ³ ，
t2+sin2t t2+sin2t
设ut=sint-t，t>0，则u¢t=cost-1£0，
所以函数ut在0,+¥上单调递减，则ut=sint-t<u0=0，
即sint<t，又sintÎ-1,1，
e2t e2t e2t
则a2+b2 ³ > = ，
t2+sin2t t2+t2 2t2
e2t t-1e2t
设vt= ，t>0，则v¢t= ，
2t2 t3
令v¢t<0，得0<t<1，令v¢t>0，得t>1，
所以函数vt在0,1上单调递减，在1,+¥上单调递增，
e2 e2
则vt³v1= ，即a2+b2 > .
2 2
lnx+1 æ1ö
9．（2026·贵州安顺·一模）已知函数 f x= x>0，gx= f x+ f ç ÷．
x èxø
(1)令hx=xf x，求hx在点 e-1,he-1 处的切线方程：
(2)讨论gx在0,1上的单调性；
x
(3)证明：（i）当x>0时，lnx+1>
x+1
（ii）1<gx£2ln2．
【答案】(1)x-ey+1=0(2)gx在0,1单调递增．(3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
1 1
【详解】（1）hx=xf x=lnx+1，则h¢x= ，h¢e-1= ，he-1=1，
x+1 e
1
所以hx在点 e-1,he-1 处的切线方程为y-1= éx-e-1ù，即x-ey+1=0．
ë û
e
æ1ö
（2）gx= f x+ f ç ÷，则
èxøx
-lnx+1
g¢x= f¢x+ f¢ æ ç 1ö ÷ æ ç- 1 ö ÷= x+1 - 1 +ln æ ç 1 +1 ö ÷ ，
èxøè x2 ø x2 x+1 èx ø
x
-lnx+1
记 mx=g¢x= x+1 - 1 +ln æ ç 1 +1 ö ÷ ，
x2 x+1 èx ø
- x ×x2- é x -lnx+1 ù 2x 1 2
æ
çlnx+1-
x2x+1ö
÷
故 m¢x= x+12 ê ëx+1 ú û + 1 + - x2 = ç è x+12 ÷ ø
x4 x+12 1 x3
+1
x
x2x+1 xx-1
设Fx=lnx+1- ，则F¢x=
x+12 x+13
当0<x<1时，F¢x<0，Fx单调递减，所以Fx<F0=0，即m¢x<0，所以g¢x单调递减，
所以g¢x>g¢1=0，故gx在0,1单调递增．
（3）证明：（i）令tx=lnx+1- x x>0，则t¢x= 1 - 1 = x >0，
x+1 x+1 x+12 x+12
所以tx在0,+¥上单调递增，所以tx>t0=0，即当x>0时tx>0，
x
所以当x>0时，lnx+1> ；
x+1
æ1ö 1 1
（ii）由（i）可知当x>0时， f x> 1 ，故 gx= f x+ f ç èx ÷ ø > x+1 + 1 =1 ，
x+1 +1
x
æ1ö æ1ö æ1ö æ1ö
由于gx= f x+ f ç ÷,则gç ÷= f ç ÷+ f x，故gx=gç ÷，
èxø èxø èxø èxø
1 æ1ö
由（2）可知gx在0,1单调递增，y= 在1,+¥单调递减，故gç ÷在1,+¥单调递减，即gx在1,+¥
x èxø
单调递减，
故gx£g1=2ln2，所以1<gx£2ln2．
10．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知函数 f x=ex-ax2-x-1.
1
(1)当a= 时，求曲线y= f x在点 2,f 2 处的切线方程.
2
1
(2)当a= 时，证明：当x£0时， f x£0.
2
(3)若 f x有两个零点，求a的取值范围.
【答案】(1)y=  e2-3  x-e2+1(2)证明见解析；(3) æ ç0, 1ö ÷U æ ç 1 ,+¥ ö ÷.
è 2ø è2 ø1 1
【详解】（1）当a= 时， f x=ex- x2-x-1，则 f¢x=ex-x-1，
2 2
从而 f 2=e2-5， f¢2=e2-3，
故曲线y= f x在点 2, f 2 处的切线方程为y-  e2-5  =  e2-3 x-2，
即y=  e2-3  x-e2+1；
（2）设gx= f¢x=ex-x-1，则g¢x=ex-1.
显然g¢x£0在-¥,0上恒成立，所以 f¢x在-¥,0上单调递减.
又 f¢0=0，所以 f¢x³0在-¥,0上恒成立，
所以 f x在-¥,0上单调递增，
故 f x£ f 0=0，即当x£0时， f x£0.
（3）由题意可得 f¢x=ex-2ax-1.
设hx= f¢x=ex-2ax-1，则h¢x=ex-2a.
①若a£0，显然h¢x>0，则hx在-¥,+¥上单调递增，即 f¢x在-¥,+¥上单调递增.
又 f¢0=0，所以当xÎ-¥,0时， f¢x<0，当xÎ0,+¥时， f¢x>0，
则 f x在-¥,0上单调递减，在0,+¥上单调递增，
又 f 0=0，所以 f x只有一个零点，故a£0不符合题意.
1
②若0<a< ，则当xÎ-¥,ln2a 时，h¢x<0，当xÎln2a,+¥ 时，h¢x>0，
2
则 f¢x在 -¥,ln2a 上单调递减，在 ln2a,+¥ 上单调递增.
又 f¢0=0，所以 f¢ln2a<0，又 f¢ æ ç- 1 ö ÷=e - 2 1 a >0，
è 2aø
æ 1 ö
所以存在唯一的x Îç- ,ln2a ÷，使得 f¢x =0.
0 è 2a ø 0
当xÎ-¥,x È0,+¥时， f¢x>0，当xÎx ,0时， f¢x<0，
0 0
则 f x在-¥,x ，0,+¥上单调递增，在x ,0上单调递减.
0 0
又 f 0=0，所以 f x >0，又当x®-¥时， f x®-¥，
0
1
所以 f x恰有两个零点，则0<a< 符合题意.
2
1
③若a= ，则由（2）知 f¢x³0在R上恒成立，所以 f x在-¥,+¥上单调递增，
2
1
又 f 0=0，所以 f x只有一个零点，则a= 不符合题意.
21
④若a> ，则当xÎ-¥,ln2a 时，h¢x<0，当xÎln2a,+¥ 时，h¢x>0，
2
则 f¢x在 -¥,ln2a 上单调递减，在 ln2a,+¥ 上单调递增.
又 f¢0=0，所以 f¢ln2a<0，又 f¢4a=e4a -8a2-1>0，
所以存在唯一的x Îln2a,4a ，使得 f¢x =0.
1 1
当xÎ-¥,0Èx,+¥时， f¢x>0，当xÎ0,x 时， f¢x<0，
1 1
则 f x在-¥,0，x,+¥上单调递增，在0,x 上单调递减.
1 1
又 f 0=0，所以 f x <0，又当x®+¥时， f x®+¥，
1
1
所以 f x恰有两个零点，则a> 符合题意.
2
æ 1ö æ1 ö
综上，a的取值范围为ç0, ÷Èç ,+¥÷.
è 2ø è2 ø
押题猜想 10 圆锥曲线-定点定值最值问题
试题前瞻·能力先查
限时：10min
x2 y2
【原创题】已知椭圆E: + =1(a>b>0)的左顶点A(-2,0)，上顶点B(0,1)．
a2 b2
(1)求椭圆E的方程和直线AB的方程；
(2)过椭圆E上异于A的点C作x轴的垂线交直线AB于M 点，延长CM 至点N ，使MN =CM ，直线AN交
椭圆E于点D．
（i）求证：直线AC, AD的斜率之和为定值；
（ii）求 ACD面积的最大值．
V
x2 1 4108
【答案】(1) +y2 =1，y= x+1；(2)（i）证明见解析；（ii） .
4 2 2
x2 y2
【详解】（1）由椭圆E: + =1的左顶点A(-2,0)，上顶点B(0,1)，得a=2,b=1，
a2 b2
x2 1
所以椭圆E的方程为 +y2 =1，直线AB的方程为y= x+1.
4 2
（2）（i）直线AC斜率存在，设其方程为y = k(x+ 2)，点C(x ,y )
C C
ìy=k(x+2) 16k2-4
由í ，得(4k2+1)x2+16kx+16k2-4=0，则-2x = ，
îx2+4y2 =4 C 4k2+12-8k2 4k 2-8k2 4k
解得x = ,y =k(x +2)= ，即点C( , )，
C 4k2+1 C C 4k2+1 4k2+1 4k2+1
2-8k2 1 2-8k2 2
直线CM :x= 交直线y= x+1于点M( , )，
4k2+1 2 4k2+1 4k2+1
2-8k2 4-4k
由点M 是线段CN 的中点，得点N( , )，
4k2+1 4k2+1
4-4k
-0
4k2+1
因此直线AD的斜率k¢= =1-k，即k+k¢=1，
2-8k2
+2
4k2+1
所以直线AC, AD的斜率之和为定值.
2-8k¢2 4k¢ 2-8k2 4k 4 1+k2
（ii）由（i）同理得D( , )，|AC|= ( +2)2+( )2 = ，
4k¢2+1 4k¢2+1 4k2+1 4k2+1 4k2+1
2-8k¢2 4k¢
|k× - +2k|
点D到直线AC:kx-y+2k =0的距离 4k¢2+1 4k¢2+1 4|k-k¢| ，
d = =
k2+1 (4k¢2+1) k2+1
1 8|k-k¢| 8 (k+k¢)2-4kk¢ 8 1-4kk¢
则 V ACD的面积S = |AC|×d = = = ，
2 (4k2+1)(4k¢2+1) (4kk¢)2+4[(k+k¢)2-2kk¢]+1 (4kk¢)2-8kk¢+5
显然k¢¹k，4kk¢=4k(1-k)=-(2k-1)2+1<1，令 1-4kk¢ =t >0，
8t 8t 8(4-3t4)
S = = ，求导得S¢= ，
(1-t2)2-2(1-t2)+5 t4+4 (t4+4)2
4 4 8t 4 4
当0<t< 4 时，S¢>0；当t > 4 时，S¢ <0，函数S = 在(0,4 )上递增，在(4 ,+¥)上递减，
3 3 t4+4 3 3
4
84
4 3 3 4 4108 4108
当t = 4 3 时，S max = 4 = 2 4 3 = 2 ，所以 V ACD面积的最大值为 2 .
+4
3
分析有理·押题有据
大题必考，位置固定全国Ⅱ卷解析几何大题基本都在第17或18题，17分，是除导数外第二大压轴题。
考法高度统一第二问几乎就考三件事：定点问题（直线过定点、点在定直线上）；定值问题（斜率积、长
度积、面积为定值）；最值问题（面积最值、弦长最值、斜率范围）思路清晰就能拿满分，思路混乱算到
崩溃，是二轮必须突破的重点。重几何、轻死算，不考怪题，考对称、韦达定理、设而不求，完全贴合全国卷风格。2026全国Ⅱ卷圆锥曲线大题，100%考定点/定值/最值中的一类或组合。
近5年全国Ⅱ/甲卷高度重复，直线过定点（x轴、y轴上定点最常见）；斜率和、斜率积为定值；面积
最值、弦长最值；向量条件转化为韦达，考纲与教材要求，熟练掌握直线与圆锥曲线位置关系，会用韦达
定理、设而不求解决综合问题。2026各地一模二模一致指向模拟卷几乎全是：定点 + 定值，定值 + 最值。
今年重点押直线过定点（最高频）； 斜率之积/之和为定值； △AOB 面积最值；弦长最值、参数范围
密押预测·精练通关
x2 y2
1．（2026·山西运城·一模）已知A，B分别为椭圆C： + =1 a>b>0的左、右顶点，且 AB =4，C
a2 b2
3
的离心率为 ．
2
(1)求C的方程；
π
(2)若倾斜角为 的直线与C交于D，E两点，求DE的中点的轨迹方程；
4
(3)若直线l：x=my+t-2<t<2与C交于M ，N 两点，设直线AM，BN 的斜率分别为k，k ，且
1 2
k =7k ，求t．
2 1
x2 1 4 5 4 5 3
【答案】(1) +y2 =1(2)y=- x(- £x£ )(3)t=
4 4 5 5 2
【详解】（1）由题意可得： AB =4，即a=2，
c 3
由离心率e= = Þc= 3，所以b2 =a2-c2 =1.
a 2
x2
故椭圆方程为： +y2 =1.
4
p
（2）倾斜角为 ，可得斜率k =1.
4
设直线方程为：y=x+n，与椭圆联立：
代入得： x2 +x+n2 =1Þ æ ç 5ö ÷x2+2nx+  n2-1  =0，
4 è4ø
5
满足D=2n2-4´ ´  n2-1  =-n2+5³0，即- 5<n< 5.
4
8n 4  n2-1 
则x +x =- ，xx = .
1 2 5 1 2 5
设Dx,y ，Ex ,y ，
1 1 2 2
x +x 4n n
则中点横坐标：x = 1 2 =- ，纵坐标：y =x +n= .
0 2 5 0 0 5
x
消去参数n得：y =- 0 ，
0 41 4 5 4 5
所以中点轨迹方程为：y=- x(- £x£ ).
4 5 5
（3）
由题意可知直线l：x=my+t-2<t<2与椭圆交于M ,N ，
设k =k ，k =k ，Mx ,y ，Nx ,y ，
1 AM 2 BN 3 3 4 4
ì
与椭圆联立方程： ï í x=my+t ，消去x可得  m2 +4  y2 +2mty+t2 -4=0.
ïî
x2
+y2=1
4
2mt t2-4
则y +y =- ，y y = ，
3 4 m2+4 3 4 m2+4
y 7y y 7y
根据k =7k ，可得 4 = 3 ，即 4 = 3 ，
2 1 x -2 x +2 my +t-2 my +t+2
4 3 4 3
12-3t2
整理得：6my y +7t-2y -t+2y =0，即 y +y +7t-2y -t+2y =0，
3 4 3 4 t 3 4 3 4
可得：2t-3ét-2y -t+2y ù=0，
ë 3 4û
3
因为t-2，t+2为常数，则t-2y -t+2y =0不恒成立.，则2t-3=0，得：t= .
3 4 2
x2 y2
2．（2026·山西朔州·一模）已知椭圆C: + =1a>b>0上顶点为A0,1，直线l:y=kx与椭圆C交于
a2 b2
4 3
两点P,Q.当k =1时， PQ = .
3
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△APQ的外接圆面积最大时，求其外接圆的方程.
x2
【答案】(1) +y2 =1(2)x2+y2+y-2=0
2
【详解】（1）因为上顶点为A0,1，所以b=1，
x2 æ 1 ö a2
当k =1时，直线l:y=x，代入椭圆方程得 +x2 =1，整理得x2 ç +1÷=1Þx2 = ，
a2 èa2 ø a2+1
a æ a a ö æ a a ö
解得x=± ，故Pç , ÷ Qç- ,- ÷
a2+1 è a2+1 a2+1ø è a2+1 a2+1ø2 2
4 3 æ 2a ö æ 2a ö 8a2 8a2 4 3
又|PQ|= ， PQ = ç ÷ +ç ÷ = ，所以 = ，解得a2 =2，
3 è a2+1ø è a2+1ø a2+1 a2+1 3
x2
所以椭圆方程为 +y2 =1
2
（2）
设P(x ,y ),Q(-x ,-y )，△APQ外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F =0
0 0 0 0
ìx2+y2+Dx +Ey +F =0
代入P(x ,y ),Q(-x ,-y )得í 0 0 0 0 ，两式相加得F =-x2-y2，
0 0 0 0 îx2+y2-Dx -Ey +F =0 0 0
0 0 0 0
两式相减得Dx +Ey =0
0 0
ì x2
ìx2 ïy2 =1- 0
x2 ï 0 +y2 =1 ï 0 2
又P点既在l:y=kx，又在椭圆 +y2 =1上，所以í 2 0 Þí ，
2 ï îy =kx ïk2 = 1 - 1
0 0 ï î x2 2
0
x2
所以F =-x2-y2 =-1- 0 ，D=-kE
0 0 2
代入A0,1到外接圆方程得0+1+0+E+F =0ÞE+F =-1ÞE=-1-F，
x2 x2
故E= 0 ，D=-kE=-k 0
2 2
1 1 æ x2 ö 2 t2 t2 t
设t =x2,tÎ[0,2]，则k2 = - ，D2 =ç-k 0 ÷ =k2× =- + ，
0 t 2 è 2 ø 4 8 4
t2 t
E2 = ，F =-1-
4 2
t2 t t2
- + +
所以外接圆半径 D2 E2 8 4 4 t t2+18t+32
R= + -F = +1+ =
4 4 4 2 32
t>0时 t2+18t+32 ¢ =2t+18>0，故其在[0,2]上单调递增，在t=2时R取最大值，
1 1 1 1
此时，x =± 2，k2 = - = - =0，
0 t 2 2 2
x2 t
即k =0，D=-kE=0，E= 0 =1，F =-1- =-1-1=-2
2 2所以△APQ的外接圆面积最大时，其外接圆的方程为x2+y2+y-2=0
x2 y2 æ 5ö
3．（2026·山西晋中·模拟预测）已知椭圆C的方程为 + =1a>b>0，其长轴长为6，且点Mç2, ÷
a2 b2 è 3ø
在C上.
(1)求C的方程；
(2)设C的左顶点为E，动直线l的斜率为k，且l与C交于P,Q两点，O为坐标原点.
（i）若k =1，且△EPQ的重心在y轴上，求l的方程；
（ii）若l经过C的右焦点F ，点P在第一象限，N 是P关于原点的对称点，且四边形OFQN与△POQ的面
积之比为5:3，求k的值.
x2 y2 7
【答案】(1) + =1(2)（i）y=x- ；（ii） 3
9 5 3
【详解】（1）由长轴长为6，可得2a=6,a=3，则a2 =9.
æ 5ö 4 25
将点M 的坐标ç2, ÷代入椭圆方程，可得 + =1，
è 3ø 9 9b2
解得b2 =5.
x2 y2
故C的方程为 + =1.
9 5
（2）（i）由（1）可知E-3,0，设直线l:y=x+m,Px,y ,Qx ,y  .
1 1 2 2
ìy=x+m,
ï
联立得íx2 y2 可得14x2+18mx+9m2-45=0.
ï + =1,
î 9 5
9m 9m2-45
由Δ>0，可得- 14 <m< 14,x +x =- ,xx = .
1 2 7 1 2 14
-3+x +x
△EPQ的重心的横坐标为 1 2 =0，则x +x =3，
3 1 2
9m 7
即- =3,m=- ，符合- 14<m< 14，
7 3
7
故直线l的方程为y=x- .
3
（ii）由（i）可知F2,0
.
设PQ:x=ty+2t ¹0,Px,y ,Qx ,y ,y >0,y <0，
1 1 2 2 1 2
ìx=ty+2,
联立得 ï íx2 y2 可得  5t2+9  y2+20ty-25=0，
ï + =1,
î 9 5ì 20t
y +y =- ,
ï ï 1 2 5t2+9
则í
25
ïy y =- .
ïî 1 2 5t2+9
1
如图，因为△POQ的面积S = OF y -y = y -y ，
1 2 1 2 1 2
1
四边形OFQN的面积S =S -S =2S -S =2y -y - OF y = y -2y ,
2 VPQN VPOF VPOQ VPOF 1 2 2 1 1 2
S y -2y 5
所以 2 = 1 2 = ，得y =-2y .
S y -y 3 2 1
1 1 2
20t
故y +y = y -2y =-y =- ，①
1 2 1 1 1 5t2+9
25
y y =-2y2 =- ，②
1 2 1 5t2+9
æ 20t ö 2 25
联立①②，得ç è5t2+9 ÷ ø = 2  5t2+9  ，又P在第一象限，所以y 1 >0,t >0，
3
故解得t = ，所以k = 3.
3
x2 y2
4．（2026·新疆·一模）已知双曲线C： - =（1 a>0，b>0）的右顶点是抛物线E：y2 =4x的焦点，过双曲
a2 b2
uuuruuur
线C的右焦点作斜率不为0的直线与抛物线E交于A，B两点，且OA·OB=-4．
(1)求双曲线C的方程；
(2)点P在双曲线C的左支上，过点P作抛物线E的两条切线，其斜率分别为k，k ，求k2 +k2的最大值．
1 2 1 2
y2 10
【答案】(1)x2- =1(2) .
3 3
【详解】（1）由抛物线E：y2 =4x的焦点为1，0得a=1，设双曲线右焦点为F c，0，
2
直线AB：x=my+c，Ax ，y ，Bx ，y ，
A A B B
与抛物线方程联立可得y2-4my-4c=0，\y y =-4c．
A B
uuur uuur y y 2
则OA×OB=x x +y y = A B +y y =c2-4c=-4，
A B A B 16 A By2
解得c=2，所以b2 =c2-a2 =3，故C的方程为x2- =1.
3
（2）设抛物线的切线方程为y=kx+n，显然k ¹0，
与抛物线方程联立可得k2x2+2kn-4x+n2 =0，
1
令Δ=0，得2kn-42-4k2n2 =0Þ16-16kn=0Þn= ，
k
1
\切线方程为y=kx+ ．
k
设Px，y ，代入切线方程可得k2x -ky +1=0，
0 0 0 0
y 1 y2 2
\k +k = 0，kk = ，\k2+k2 =k +k 2 -2kk = 0 - ．
1 2 x 1 2 x 1 2 1 2 1 2 x2 x
0 0 0 0
Q
点P在C的左支上，\y
0
2 =3x
0
2-3，x
0
£-1．
2
3x2-3 2 3 2 æ 1 1ö 10
代入得k2+k2 = 0 - =- - +3=-3ç + ÷ + ，
1 2 x2 x x2 x èx 3ø 3
0 0 0 0 0
10
故当x =-3时，k2 +k2的最大值为 .
0 1 2 3
x2 y2 x2 y2
5．（2026·新疆·模拟预测）已知椭圆C ： + =1a>b>0与椭圆C ： + =1的离心率相等，且椭
1 a2 b2 2 8 4
圆C 经过点P2,0.
1
(1)求C 的方程；
1
(2)已知直线l与C 交于A，B两点（点A，B异于点P）.
1
2 3
（i）若原点O到直线l的距离为 ，证明：OA^OB；
3
（ii）若直线l过点Qu,0，且以线段AB为直径的圆恒过点P，求实数u的值.
x2 y2 2
【答案】(1) + =1(2)（i）证明过程见解析；（ii）u=
4 2 3
【详解】（1）由题意得a=2，
x2 y2 4 2
椭圆C ： + =1的离心率为 1- = ，
2
8 4 8 2x2 y2 c 2
故椭圆C ： + =1a>b>0的离心率为 = ，
1 a2 b2 a 2
又a=2，故c= 2，b2 =a2 -c2 =4-2=2，
x2 y2
所以C 的方程为 + =1；
1
4 2
（2）（i）当直线l的斜率不为0时，设为x=m+ty，
m 2 3
原点O到直线l的距离为 = ，故3m2 =4+4t2，
1+t2 3
x=m+ty与
x2
+
y2
=1联立可得  t2+2  y2+2mty+m2-4=0，
4 2
设Ax,y ,Bx ,y ，D=4m2t2-4  t2+2  m2-4  >0，解得2t2-m2+4>0，
1 1 2 2
2mt m2-4
则y +y =- ,y y = ，
1 2 t2+2 1 2 t2+2
2m2t2 m2-4
所以xx =m+ty m+ty =m2+mty +y +t2y y =m2- +t2×
1 2 1 1 1 2 1 2 t2+2 t2+2
2m2-4t2
= ，
t2+2
uuur uuur 2m2-4t2 m2-4 3m2-4t2-4
OA×OB=xx +y y = + = =0，
1 2 1 2 t2+2 t2+2 t2+2
当直线l的斜率为0时，设为y=n，
2 3 2 3
原点O到直线l的距离为 ，故n=± ，
3 3
2 3 x2 y2 2 3 2 3
不妨令n= ， + =1中，令y= 得x=± ，
3 4 2 3 3
æ2 3 2 3ö æ 2 3 2 3ö
不妨设Aç , ÷,Bç- , ÷，
ç ÷ ç ÷
3 3 3 3
è ø è ø
uuur uuur 2 3 æ 2 3ö 2 3 2 3
则OA×OB=xx +y y = ´ç- ÷+ ´ =0，
1 2 1 2 3 ç 3 ÷ 3 3
è ø
2 3
故OA^OB，综上，若原点O到直线l的距离为 ，则OA^OB；
3（ii）若直线l过点Qu,0，
当直线l的斜率为0时，直线l的方程为x=0，此时直线l与C 交于±2,0，
1
此时点A，B不异于点P，不合要求；
当直线l的斜率不为0时，设直线l为x=u+ty，
x=u+ty与
x2
+
y2
=1联立可得  t2+2  y2+2uty+u2-4=0，
4 2
设Ax,y ,Bx ,y ，D=4u2t2-4  t2+2  u2-4  >0，解得2t2-u2+4>0，
1 1 2 2
2ut u2-4
则y +y =- ,y y = ，
1 2 t2+2 1 2 t2+2
2ut2 4u
所以x +x =u+ty +u+ty =ty +y +2u=- +2u= ，
1 2 1 1 1 2 t2+2 t2+2
æx +x y +y ö æ 2u ut ö
故AB的中点坐标为ç 1 2, 1 2 ÷=ç ,- ÷，
è 2 2 ø èt2+2 t2+2ø
其中 AB = 1+t2 y +y 2-4y y = 1+t2 æ ç- 2ut ö ÷ 2 -4× u2-4
1 2 1 2 è t2+2ø t2+2
= 1+t2
4u2t2-4  u2-4  t2+2 
= 1+t2 2 -2u2+4t2+8 ，
t2+2 t2+2
-2u2+4t2+8
故以线段AB为直径的圆的半径为 1+t2 ，
t2+2
æ 2u ö 2 æ ut ö 2  1+t2 -2u2+4t2+8 
以线段AB为直径的圆的方程为çx- ÷ +çy+ ÷ = ，
è t2+2ø è t2+2ø  t2+2 2
又以线段AB为直径的圆过定点P2,0，将其代入上式，可得
æ 2u ö 2 æ ut ö 2  1+t2 -2u2+4t2+8 
ç2- ÷ +ç ÷ = ，
è t2+2ø èt2+2ø  t2+2 2
化简得  4-8u+3u2 t2 =16u-6u2-8，
ìï4-8u+3u2 =0 2
上式需满足í ，解得u=2或 ，
ïî16u-6u2-8=0 3
当u=2时，P,Q重合（不满足点A，B异于点P），不合要求，舍去；
2
当u= 时，满足要求，
3
2
综上，u= .
3
x2 y2
6．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）椭圆 + =1 (a>b>0)的一个顶点是B0，8，O为坐标原点，离心率为
a2 b23
.
5
(1)求椭圆方程；
(2)P是椭圆上x轴上方一点，F 是右焦点，PF的斜率为-4 3，求四边形OFPB的面积.
x2 y2
【答案】(1) + =1(2)20+12 3
100 64
ìb=8
ï
ïc 3 x2 y2
【详解】（1）由题知，í = ，解得：a=10，所以椭圆方程为 + =1；
ï a 5 100 64
ïa2-b2 =c2
î
ìy=-4 3x-6
ï
（2）因为F6,0，所以PF：y=-4 3x-6，联立í x2 y2 ，
ï + =1
î100 64
130
得19x2-225x+650=0，解得x=5或x= ，
19
130  
因为点P在x轴上方，所以y =-4 3(x -6)>0，解得x <6，故x= 不合题意，应舍去，所以P 5,4 3 ，
P P P 19
1 1
所以四边形OFPB的面积S =S +S = ´6´4 3+ ´8´5=20+12 3.
VOFP VOPB 2 2
π
7．（2026·甘肃·一模）如图所示，焦点在x轴上的椭圆C的顶点分别为A,A ,B,B ,ÐBA B = ，且椭圆
1 2 1 2 1 2 2 3
æ 6ö
过点ç1, ÷.
ç ÷
3
è ø
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C上任意一点P作四边形ABA B 的内切圆的两条切线PA,PB，切点分别为A,B，当切线斜率存
1 1 2 2
在时，记切线PA,PB斜率分别为k,k ，试判断k ×k 是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，请说明
1 2 1 2
理由；
(3)若切线PA,PB与椭圆C的另一个交点分别为E,F，求 EF 的最小值.
x2 1
【答案】(1) +y2 =1(2)k ×k 为定值，为- (3)2
3 1 2 3π π a
【详解】（1）因为ÐBA B = ，所以ÐB AO= ，即 = 3，
1 2 2 3 2 2 6 b
x2 y2 æ 6ö
可设椭圆C的方程为 + =1b>0，又因为椭圆C过点ç1, ÷，
ç ÷
3b2 b2
è
3
ø
2
代入椭圆C的方程得： 1 3 ，解得b2 =1，
+ =1
3b2 b2
x2
所以椭圆C的方程为： +y2 =1；
3
（2）k ×k 是定值.理由如下：
1 2
根据对称性，易知四边形ABA B 的内切圆的圆心为O
1 1 2 2
3
3
因为直线AB 的方程为x- 3y+ 3=0，所以圆O的半径r= = ，
1 2 2 2
12+ 3
设椭圆上任一点Px ,y ，则x2+3y2 =3，
0 0 0 0
当圆的切线斜率存在时，可设过点P的圆的切线方程为y-y =kx-x ，
0 0
即kx-y-kx +y =0，
0 0
-kx +y 3
所以圆的半径r= 0 0 = ，
k2+1 2
两边平方化简得：  3-4x2 k2+8x y k-4y2+3=0*,
0 0 0 0
因为切线PA,PB的斜率分别为k,k ，
1 2
所以k,k 是方程*的两个不同的根，
1 2
-4y2+3 -4y2+3 1
故k ×k = 0 = 0 =- ；
1 2 3-4x2 3-4  3-3y2 3
0 0
（3）①当直线PE的斜率存在时，设直线PE的方程为：y=k x+m，设Ex,y ，
1 1 1
3 m 3
因为直线PE为圆x2+y2 = 的切线，所以 = ，化简得4m2 =3k2+3，
4 k2+1 2 1
1
ìy=k x+m
联立方程í 1 ，消去y得：  1+3k2 x2+6kmx+3m2-3=0，
îx2+3y2 =3 1 1
-6km 3m2-3
显然Δ>0恒成立，x ,x 为上式的两个不同的根，且x +x = 1 ,x x = ，
0 1 0 1 1+3k2 0 1 1+3k2
1 1
O uu P ur ×O uu E ur =x x +y y =x x +k x +mk x +m =  1+k2 x x +kmx +x +m2
0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1
 1+k2 3m2-3  6k2m2 4m2-3k2-3
= 1 - 1 +m2 = 1 =0，
1+3k2 1+3k2 1+3k2
1 1 1可得OP^OE，同理可证OP^OF.
所以F,O,E三点共线，故弦EF恒过点O，
所以当P与A或A 重合时，|EF| = BB =2.
1 2 min 1 2
②当直线PE或直线PF的斜率不存在时，易得 EF = 6 >2，
综上可知，|EF| =2.
min
8．（2026·云南·模拟预测）已知椭圆C: x2 + y2 =1(a>b>0)过点  2,1  ，长轴长为4．过点D1,0的直线
a2 b2
AD AM
l与椭圆C交于A,B两点，已知点T4,0，M 为直线AT 上的一点，且 = ．
DB MT
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)求点M 的横坐标．
x2 y2 2 5
【答案】(1) + =1，离心率为 ．(2) ．
4 2 2 2
【详解】（1）由题意知，2a=4，\a=2．
2 1
又 + =1，\b2=2，c2 =a2 -b2 =2，\c= 2，
a2 b2
x2 y2 c 2
所以椭圆C的方程为 + =1，离心率e= = ．
4 2 a 2
（2）由题意知，2a=4，\a=2．
2 1
又 + =1，\b2=2，c2 =a2 -b2 =2，\c= 2，
a2 b2
x2 y2 c 2
所以椭圆C的方程为 + =1，离心率e= = ．
4 2 a 2
（2）当直线l的斜率不为0时，设其方程为x=my+1，A(x,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
ìx=my+1
由í ，得(m2+2)y2+2my-3=0，
îx2+2y2 =4
得到D=4m2+12(m2+2)>0，
-2m -3
则y +y = ,y y = ．
1 2 m2+2 1 2 m2+2
如图4，设M(x ,y )，由点M 是直线AT 上一点，
0 0则存在实数l，使得M uuu T r =l u A u T ur，
ì4-x =l(4-x ) ìx =4-l(4-x )
则í 0 1 ，即í 0 1 ，
î-y =l(-y ) îy =ly
0 1 0 1
AD AM
由 = ，得DM//BT，
DB MT
y y ly y
则 0 = 2 = 1 ，故l= 2 ，
x -1 x -4 l(x -4)+3 y -y
0 2 1 2 1
3
3y - (y +y )
代入可得 y (3-my) 2 2 1 2 3 5．
x =4- 2 1 =4- =4- =
0 y -y y -y 2 2
2 1 2 1
æ5 ö
当直线l的斜率为0时，不妨取A(-2,0)，B(2,0)，Mç ,0÷，符合题意．
è2 ø
5
故点M 的横坐标为 ．
2
æ 1ö
9．（2026·贵州安顺·一模）已知点Fç0, ÷，M 为平面内一动点，以MF为直径的圆与x轴相切，点M 的
è 4ø
轨迹记为Γ．
(1)求曲线Γ的方程；
(2)不过原点的直线l与曲线Γ交于不同的两点A,B，若以AB为直径的圆过坐标原点．
（i）证明：直线l过定点；
（ii）点C是曲线Γ上位于直线l下方的一动点，若对于给定的直线l，记
V
ABC的面积最大值为S，对所有
符合题设条件的动直线l，求S的最小值．
【答案】(1)y= x2(2)（i）证明见解析；（ii）1
æ 1ö
y+
【详解】（1）设点Mx,y，则以MF为直径的圆的圆心为 ç ç x , 4 ÷ ÷，半径r= 1 MF = 1 x2+ æ çy- 1ö ÷ 2 ，
ç 2 2 ÷ 2 2 è 4ø
è ø
1
因为该圆与x轴相切，所以 y+ 4 = 1 x2+ æ çy- 1ö ÷ 2 ，
2 2 è 4ø
æ 1ö 2 æ 1ö 2
所以 çy+ ÷ =x2+çy- ÷ ，整理得y= x2，
è 4ø è 4ø
故曲线Γ的方程为y= x2．
（2）（i）设直线l:y=kx+bb¹0，A  x,x2 ，B  x ,x2 ，
1 1 2 2ìy=x2
则í ，消去y得x2-kx-b=0，所以x +x =k，xx =-b，
îy=kx+b 1 2 1 2
以AB为直径的圆过原点，所以OA^OB，
uuur uuur
则OA×OB=xx +x2x2 =0Þ-b1-b=0，
1 2 1 2
因b¹0，解得b=1，所以直线l方程为y=kx+1，恒过定点0,1．
（ii）对于给定的k，直线l:y=kx+1与Γ交于A,B，
则 AB = x -x 2 +y -y 2 = 1+k2 x +x 2 -4xx ，
1 2 1 2 1 2 1 2
将x +x =k，x x =-b=-1，代入得 AB =  1+k2 k2+4  ，
1 2 1 2
又点C
 t,t2
在Γ上且位于l下方，即t2 <kt+1，
kt-t2+1
点C到直线l:kx-y+1=0的距离为d = ，
k2+1
kt-t2+1
由t2 <kt+1知kt-t2+1>0，故d = ，
k2+1
令 f t=-t2+kt+1，则对于给定的k， f t为开口向下的一元二次函数，
k2
k ækö k2 +1
所以当t= 2 时， f t取得最大值 f ç è2 ÷ ø = 4 +1，此时d最大， d max = 4 k2+1 ，
k2
+1
所以 V ABC面积的最大值 Sk= 1 AB ×d = 1  k2+4  k2+1  × 4 = 1  k2+4  3 2 ，
2 max 2 k2+1 8
1 3
令m=k2+4，m4,+¥，易知y= m2单调递增，
8
1 3 1
所以当m=4，即k =0时，Sk取得最小值S = ×42 = ×8=1．
min 8 8
æ1 3ö
10．（2026·贵州毕节·二模）已知中心在原点的椭圆C的一个焦点为(0, 2)，且过点ç , ÷.
è2 2ø
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知Ax,y ，Bx ,y ，Nx ,y 在C上，
1 1 2 2 3 3①若A是C与x轴的一个交点，B是C与y轴的一个交点，求 ABN的面积的最大值；
V
uuur uuur
②记线段AB中点为M， MN =3MO，记△OBN 的面积为S ，判断S 是否为定值，并说明理由.
VOBN VOBN
y2 6+ 3 3
【答案】(1) +x2 =1(2)① ；②S 为定值，且定值为 ，理由见解析
3 2 VOBN 4
【详解】（1）因为椭圆C的一个焦点为(0, 2)，所以c= 2，所以a2 =b2+c2 =b2+2，
y2 x2
所以可设椭圆的标准方程为 + =1，
b2+2 b2
æ1 3ö 9 1
又因为椭圆C过点ç è2 , 2 ÷ ø ，所以 4  b2+2  + 4b2 =1 ，
1
解方程可得b2 =1或b2 =- （舍去）.
2
y2
所以椭圆C的标准方程为 +x2 =1；
3
（2）①由椭圆的对称性，不妨取A-1,0,B  0, 3  ，
x y
则直线AB的方程为 + =1，即 3x-y+ 3=0，
-1 3
 
设N cosq, 3sinq ，则N 到直线AB的距离
3cosq- 3sinq+ 3
3 3 æ πö
d = = sinq-cosq+1 = 2sinçq- ÷+1，
3+1 2 2 è 4ø
æ πö 6+ 3
所以当sinçq- ÷=1时，d = ，又 AB = 3+1=2，
è 4ø max 2
1 6+ 3
所以 V ABN的面积的最大值为 AB d = ；
2 max 2
3
②S 为定值，且定值为 ，理由如下：
VOBN 4
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，
ìy=kx+m
ï
联立íy2 ，得kx+m2 +3x2-3=0，
ï +x2 =1
î 3
整理得  k2+3  x2+2kmx+m2-3=0，所以x +x =- 2km ，xx = m2-3 ，
1 2 k2+3 1 2 k2+3
km æ km ö 3m
因为线段AB中点为M，所以x =- ，所以y =kç- ÷+m= ，
M k2+3 M è k2+3ø k2+3
因为M uu N ur =3M uu O ur ，所以O uu N ur =2M uu O ur ，所以x ,y = æ ç 2km , -6m ö ÷，
3 3 èk2+3 k2+3øæ -6m ö 2
又Nx 3 ,y 3 在C上，所以 ç èk2+3 ÷ ø + æ ç 2km ö ÷ 2 =1 ，
3 èk2+3ø
整理得12m2+4k2m2 =  k2+3 2 ，所以4m2 =k2+3，
æ 2km ö 2 m2-3 4k2m2 4m2-12
又 AB = 1+k2 ç- ÷ -4´ = 1+k2 -
è k2+3ø k2+3  k2+3 2 k2+3
k2 k2+3  k2+3-12 k2 k2-9 9
= 1+k2 - = 1+k2 - = 1+k2 ，
 k2+3 2 k2+3 k2+3 k2+3 k2+3
m
又点O到直线AB的距离d = ，
1+k2
1 1 9 m 1 9m2 3
所以S = AB ×d = 1+k2 × = = .
VABO 2 2 k2+3 1+k2 2 k2+3 4
又因为线段AB中点为M，所以S =2S ，
VABO VBMO
uuur uuur
又ON =2MO，所以S =2S ，所以S =S ，
VOBN VBMO VOBN VABO
3
所以S 是否为定值，定值为 ；
VOBN 4
当直线AB的斜率不存在时，线段AB的中点M 在x轴上，
æ 1 ö 1 1 1 3
由对称性不妨取N1,0，此时Mç- ,0÷，此时 AB =3，S = AB ×d = ´3´ = ；
è 2 ø VABO 2 2 2 4
3
综上所述：S 为定值，且定值为 .
VOBN 4
押题猜想 11 概率统计与数列、函数等模块的综合应用
试题前瞻·能力先查
限时：7min
【原创题】在某工厂的产品质量检测中，设随机变量X表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到X个不合格产品的分布列为：
X 0 1 2 3
a
P a(1- p)2 a1- p ap
p
1
每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为 ，且各个
2
产品返工是否成功相互独立.事件A表示抽取的产品中有i个不合格产品（i=0,1,2,3），事件B表示抽取的
i
产品中返工成功的数量比返工失败的数量多.
1
(1)若p= ，求a，并根据全概率公式求PB；
3
(2)是否存在p值且pÎ0,1，使得EX=2，请说明理由.
9 69
【答案】(1)a= ， (2)不存在，理由见解析
40 160
1 4a 2 1
【详解】（1）当p= 时，PA = ,PA= a,PA = a,PA =3a，
3 0 9 1 3 2 3 3
4a 2 1 9
则 + a+ a+3a=1，解得a= ，
9 3 3 40
1 1
由题意，得PB∣A=C1´ = ，
1 1 2 2
æ1ö 2 1 æ1ö 3 æ1ö 3 1
PB∣A =C2 ç ÷ = ，PB∣A =C2 ç ÷ +C3 ç ÷ = .
2 2 è2ø 4 3 3 è2ø 3 è2ø 2
3 a 1 a
由全概率公式，得P(B)=åPB∣APA= (1- p)+ ap+
i i 2 4 2p
i=0
æ2- p 1 ö 9 æ 5 3ö 69
=aç + ÷= ´ç + ÷= .
è 4 2pø 40 è12 2ø 160
3a
（2）假设存在p，使EX= +2ap+a1- p=2
p
a 3 æ 1 ö 1
又 +ap+a1- p+a(1- p)2 =1.得 + p+1=2çp2-2p+ +2÷，化简得2p2-5p- +3=0
p p è p ø p
即2p3-5p2+3p-1=0
令hp=2p3-5p2+3p-1则h¢p=6p2-10p+3
因为h¢0=3>0,h¢1=-1<0，所以在0,1上存在p ，使得h¢p =0
0 0
10p -3
所以h¢p =6p 2-10p +3=0即p 2 = 0
0 0 0 0 6
且h¢p在0,p 为正，在p ,1为负
0 0
从而hp在0,p 为增函数，在p ,1为减函数
0 0h(p) =hp =2p 3-5p 2+3p -1
max 0 0 0 0
10p -3 10 5
=2× 0 ×p -5p 2+3p -1= p 2- p -5p 2+3p -1=- p 2+2p -1
6 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0
5æ 3ö 2 2
=- çp - ÷ - <0
3è 0 5ø 5
所以当pÎ0,1时，h(p) <0，即不存在p值，使得EX=2
max
分析有理·押题有据
新高考最主流命题趋势，近几年全国Ⅱ卷概率大题明显变难、变综合，不再是单纯套公式，而是概率+
递推数列+函数/导数捆绑考查，位置稳定在第17题，15分。区分度拉满，压轴级大题，既能考统计阅读、
概率计算，又能考数列递推、单调性、最值，一道题覆盖三大模块，是选拔高分考生的“王牌题”。 情境
真实、贴近时代常考：疾病检测、芯片合格率、游戏闯关、资金增长、排队模型，完全符合新课标“数学
建模、实际应用”导向。套路极强：读懂情境 → 建立递推关系 → 转化为数列/函数问题 → 求最值/范围
学会框架就能拿高分。2026 全国Ⅱ卷概率大题，极高概率考：概率与数列递推 / 函数单调性 / 最值综合。
近5年全国Ⅱ/甲卷真题反复出现，递推概率：Pn = aP +b；构造等比数列求通项；期望与数列求和综
n-1
合；概率表达式转化为函数，用导数/单调性求最值，考纲与新课标高度契合强调在实际问题中建立概率模
型，运用数列、函数知识解决问题。2026各地一模二模一致指向几乎所有高质量模拟卷都在出：闯关概率
递推；检验、检测类概率模型；期望 + 数列求和 + 函数最值与全国卷命题方向完全一致。
今年重点只押三类综合题，覆盖99%考法：概率递推 + 数列（最高频）构造 P 递推式 → 等比数
n
列 → 求通项、极限； 概率/期望表达式 + 函数单调性/最值，把表达式写成函数 f(x)，用导数或不等式求
最优方案； 统计数据 + 函数拟合 + 决策，给出数据，求回归方程，再用函数做预测、选最优。
密押预测·精练通关
1．（2026·贵州毕节·二模）某电商公司为研究直播带货中平台流量推广投入x（单位：万元）与销售额y
（单位：万元）的关系，统计了最近10场直播带货中平台流量推广投入和销售额数据，计算得：
10 10 10 10
åx =50,åy =400,åx y =2200，åx2 =300.
i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=1
(1)求销售额y关于直播带货中平台流量推广投入x的线性回归方程；
(2)该公司计划下一场直播投入总额10万元，现有两种方案：方案一：全部用于平台流量推广；方案二：部
分用于平台流量推广，部分用于主播佣金激励.其中平台流量推广投入x万元（0£x£10），主播佣金激励
投入（10-x）万元.根据以往经验，主播佣金激励投入t万元的销售额为（12t-t2）万元；平台流量推广的
效果仍符合（1）中的回归方程.比较两种方案，如何分配投入才能使销售额最大？并求出最大销售额.
n
åx -xy -y
i i
参考公式：线性回归方程yˆ =b ˆ x+aˆ中，b ˆ = i=1 ，aˆ= y-b ˆ x.
n
åx -x2
i
i=1【答案】(1)yˆ =4x+20(2)分配6万元投入平台流量推广、4万元投入主播佣金，最大销售额为76万元.
1 10 50 1 10 400
【详解】（1）由题意知，样本量 n=10， x = åx = =5，y = åy = =40,
10 i 10 10 i 10
i=1 i=1
10
åx y -10xy
i i 2200-10´5´40 200
根据公式变形得回归系数： b ˆ = i=1 = = =4,
å 10 x2-10x 2 300-10´52 50
i
i=1
则 aˆ= y-b ˆ x=40-4´5=20，
因此，销售额y关于直播带货中平台流量推广投入x的线性回归方程为：yˆ =4x+20；
（2）方案一：全部投入平台流量推广，即x=10代入回归方程得销售额：yˆ =4´10+20=60万元；
方案二：投入x万元到流量推广，t=10-x万元到主播佣金，且0£x£10，
总销售额为流量销售额加佣金销售额：y=4x+20+1210-x-10-x2 =-x2+12x+40，
对称轴为 x=6，在定义域[0,10]内，最大值为 y =-62+12´6+40=76万元，
max
因为 76>60，所以投入6万元到平台流量推广，4万元到主播佣金时销售额最大，最大销售额为76万元。
综上可得：分配6万元投入平台流量推广、4万元投入主播佣金时销售额最大，最大销售额为76万元.
2．（2026·贵州安顺·一模）有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事
件是相互独立的，且含有该酶的概率均为p0< p<1，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现
采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组k  kÎN*,2£k£N  人．在每一组中，取每人的
血液混合成一个样本进行检测．
若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测．
若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用
采集血样，利用现有采集过的血样）．
1
(1)若k =4，p= ，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率；
4
(2)用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值；
(3)设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若p=0.01，每组
b
人数k =10，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求 的取值范围．（参考数
a
据：0.9910 »0.90）
【答案】(1) 54 (2)N æ ç1-1- pk + 1ö ÷(3) æ ç 5 ,+¥ ö ÷
175 è kø è3 ø
æ 1ö
【详解】（1）设小组中有酶的人数为X，则X ~Bç4, ÷．
è 4ø
已知混合样本阳性，即X ³1，则恰有2人有酶的概率为æ1ö 2 æ3ö 2
PX =2 X ³1= PX =2 =
C2
4 ç è4 ÷ ø ç è4 ÷ ø = 54 ．
PX ³1 æ3ö 4 175
1-ç ÷
è4ø
（2）设每组检测次数Y，则Y的分布列为
Y 1 k+1
p 1- pk 1-1- pk
期望为EY=1´1- pk +1+k  1-1- pk =1+k  1-1- pk
则总检测次数的期望E=r×EY= N
k
é êë 1+k  1-1- pkù úû =N æ ç
è
1-1- pk +
k
1ö ÷
ø
；
（3）若分组检测，检测次数的期望为N æ ç1-1- pk + 1ö ÷．
è kø
总成本期望为E =aN+bN æ ç1-1- pk + 1ö ÷，
1 è kø
若逐一检测，则总成本为E =aN+bN．由节省50%以上得E <0.5E ．
2 1 2
代入p=0.01，k =10，1- pk »0.90，得a+b´0.2<0.5a+b，
b 5 b æ5 ö
整理得0.5a<0.3b，因此， > ，故 的取值范围是ç ,+¥÷．
a 3 a è3 ø
3．（2026·山西运城·一模）一场体育赛事招募赛会志愿者，赛会志愿者须参加通用培训和专业培训，两项
培训考核都合格才能通过培训考核，考核通过后才能参加赛事志愿服务．已知赛会志愿者参加通用培训后，
9 2
考核合格的概率为 ，参加专业培训后，考核合格的概率为 ．
10 3
(1)若志愿者A，B都参加了培训，求志愿者A，B中至少有1人通过培训考核的概率；
(2)现从12名通过培训考核的志愿者（包含3名女志愿者）中随机抽取4名志愿者参加某体育赛事的志愿服
务，记X为被抽取到的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望．
21
【答案】(1) (2)X的分布列为：
25
X 0 1 2 3
14 28 12 1
P
55 55 55 55
数学期望为1
【详解】（1）单个志愿者需要两项培训考核都合格才通过，且两次培训考核独立，
9 2 3
因此单个志愿者通过培训考核的概率为P= ´ = ，
10 3 53 2
则单个志愿者没有通过培训考核的概率为1- = .
5 5
因为“至少有1人通过”的对立事件为“两人都没有通过”，
æ2ö 2 21
因此所求概率P =1-ç ÷ = .
1 è5ø 25
（2）由题意，X服从超几何分布，X的所有可能取值为0,1,2,3，
CkC4-k
概率公式为PX =k= 3 9 k =0,1,2,3，
C4
12
C0C4 126 14 C1C3 3´84 28
分别计算概率得P(X =0)= 3 9 = = ，P(X =1)= 3 9 = = ，
C4 495 55 C4 495 55
12 12
C2C2 3´36 12 C3C1 9 1
P(X =2)= 3 9 = = ，P(X =3)= 3 9 = = ，
C4 495 55 C4 495 55
12 12
因此X的分布列为：
X 0 1 2 3
14 28 12 1
P
55 55 55 55
14 28 12 1
所以数学期望为E(X)=0´ +1´ +2´ +3´ =1.
55 55 55 55
4．（2026·辽宁抚顺·一模）某科技兴趣小组研发了一种AI模型，用于图象识别任务．为了测试该模型的性
能，对其进行了若干次试验，在每次试验中识别相同数目的图象，并记录该模型正确识别图象的数量，得
到如图所示的样本数据频率分布直方图．
(1)求a的值，并估计该模型在一次试验中正确识别图象数量的均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值
作代表）；
(2)以频率估计概率，在相同的条件下，随机对该模型进行4次试验，用X表示这4次试验中正确识别图象
不少于50个的次数，求X的分布列和数学期望EX．
【答案】(1)a=0.0125，x=67
(2)X的分布列为：
X 0 1 2 3 41 3 27 27 81
P
256 64 128 64 256
EX=3.
【详解】（1）由200.0050+0.0075+a+0.0150+0.0100=1Þa=0.0125.
所以x=20´20´0.0050+40´0.0075+60´0.0125+80´0.0150+100´0.0100 =67.
3
（2）以频率估计概率，正确识别图象不少于50个的概率为P=1-20´0.0050+0.0075 =0.75= .
4
æ 3ö
X表示这4次试验中正确识别图象不少于50个的次数，则X ~Bç4, ÷.
è 4ø
æ3ö 0 æ1ö 4 1 æ3ö 1 æ1ö 3 12 3
所以PX =0=C0×ç ÷ ×ç ÷ = ，PX =1=C1 ×ç ÷ ×ç ÷ = = ,
4 è4ø è4ø 256 4 è4ø è4ø 256 64
æ3ö 2 æ1ö 2 54 27 æ3ö 3 æ1ö 1 108 27
PX =2=C2×ç ÷ ×ç ÷ = = ，PX =3=C3×ç ÷ ×ç ÷ = = ，
4 è4ø è4ø 256 128 4 è4ø è4ø 256 64
æ3ö 4 æ1ö 0 81
PX =4=C4×ç ÷ ×ç ÷ = .
4 è4ø è4ø 256
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
1 3 27 27 81
P
256 64 128 64 256
3
所以EX=4´ =3.
4
5．（2026·辽宁·模拟预测）2014年，中华人民共和国国务院发布《关于深化考试招生制度改革的实施意
见》，启动了高考恢复以来最全面、最深刻的招生考试改革.依据《实施意见》精神，结合新时代高校选才
需求和修订后的高中课标，新高考外语科目推进考试内容改革，2017年起在部分新高考省份试点新的试卷
结构，其中包括完形填空这一题型.针对这一题型，某高中的李老师提出了经验：“对于完形填空中的一道题，
如果你不确定，那么你就不要对第一次选择的答案进行改动，因为根据经验表明，第一次选择的答案正确
率为60%．”请根据此话中的数据回答下列题目．
(1)现已知有一篇完形填空有N 道题，小朱在作答完形填空时，有p的概率会做，在会做的条件下有q的概
率因混淆词义做错；有1- p的概率不会做．已知小朱不会放弃任何一次作答机会，那么他“根据经验”进行
作答．
2 1
①若p= ，q= ，求小朱做对一道完形填空小题的概率PC；
3 4
②在①的条件下，已知N =3，若已知小朱每道完形填空的作答情况不受前一道题目作答情况的影响（即
相互独立），设小朱答对的题目数为X，求X的分布列与期望EX；(2)现已知有一篇完形填空有N 道题，小佳同学在做完形填空时，第n+1n£N且n³1道题的正确与否与第
1
n道题是否答对有关．若第n道题没有把握（看作答错），则第n+1道题正确的概率为 ；若第n道题有把
3
3
握答对（看作答对），则第n+1道题正确的概率为 ．在（1）①的条件下，设第n+1道题正确的概率为
5
P ，求P ．
n+1 n
【答案】(1)①PC=0.7；②分布列见解析，2.1(2)P
=
27
´
æ
ç
4 ö
÷
n-1
+
5
n 110 è15ø 11
【详解】（1）①设小朱会做某题为事件A，混淆词义出错为事件B，蒙对一道题为事件D．
其中PA= 2 ，P  B∣A  = 3 ，P  D A  =0.6，
3 4
根据全概率公式，有
2 3 1 3
PC=P  B|A  PA+P  D|A  P  A  = ´ + ´ =0.7，
3 4 3 5
②小朱答对的题目数X服从二项分布X ~B3,0.7，则
PX =0=C00.70 ´0.33 =0.027,PX =1=C10.71 ´0.32 =0.189
3 3
PX =2=C20.72 ´0.31 =0.441,PX =3=C30.73 =0.343.
3 3
分布列如下：
X 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
EX=3´0.7=2.1（道）
1 3
（2）根据全概率公式，有P = 1-P + P
n+1 3 n 5 n
4 1
化简得：P = P +
n+1 15 n 3
4
设新数列P +l，满足P +l= P +l
n n+1 15 n
5
解得：l=-
11
ì 5ü 5 7 5 27 4
\数列íP - ý是以P - = - = 为首项、 为公比的等比数列．
î n 11þ 1 11 10 11 110 15
27 æ 4 ö n-1 5
所以P = ´ç ÷ +
n 110 è15ø 11
6．（2026·黑龙江吉林·一模）截至2025年底，我国新能源汽车保有量达到4397万辆，占汽车总产量的
12%．某城市研究小组调查了300名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如4
下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，女性驾驶员的样本占样本总数的 ，
15
偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有120人．
偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计
男性驾驶员 120
女性驾驶员
合计 300
(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值a=0.01的独立性检验，分析对燃油汽车和新能
源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联.如果有关联，解释它们之间如何影响.
(2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8
人中随机抽取3人填写调查问卷，记抽取的3人中偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列及数学期望．
nad-bc2
参考公式及数据：c2 = ，n=a+b+c+d．
a+bc+da+cb+d
a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
a
【答案】(1)列联表为
偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计
男性驾驶员 120 100 220
女性驾驶员 30 50 80
合计 150 150 300
有关联，解释见解析，
(2)随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
1 15 15 5
P
56 56 28 28
15
期望为
8
【详解】（1）因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的50%，故样本中偏好燃油汽车的人数为
300´50%=150，4 4
因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的 ，故样本中女性驾驶员的人数为300´ =80，
15 15
由题意，列联表补充如下：
偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计
男性驾驶员 120 100 220
女性驾驶员 30 50 80
合计 150 150 300
零假设H 为：对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联．
0
300´(120´50-100´30)2
根据列联表数据，计算得c2 = »6.818>6.635= x ．
220´80´150´150 0.01
根据小概率值a=0.01的独立性检验，可以推断H 不成立，即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶
0
员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01．
100 50
男性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为 »0.455，女性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为 =0.625，前
220 80
者明显小于后者．根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为女性驾驶员偏好新能源汽车的概率更大．
30 50
（2）由题意，抽取的8人中偏好燃油汽车的人数为 ´8=3人，偏好新能源汽车的人数为 ´8=5人．
80 80
随机变量X的可能值为0，1，2，3．
C3 1 C2C1 15
PX =0= 3 = ，PX =1= 3 5 = ，
C3 56 C3 56
8 8
C1C2 15 C3 5
PX =2= 3 5 = ，PX =3= 5 = ．
C3 28 C3 28
8 8
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
1 15 15 5
P
56 56 28 28
15 15 5 15
X的数学期望EX=1´ +2´ +3´ = ．
56 28 28 8
7．（2026·河南濮阳·一模）某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了
解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了300名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布
直方图.(1)求频率分布直方图中a的值，并计算这300名市民评分的平均数；
(2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用X表示抽到的评分在90
分以上的人数，求X的分布列及数学期望E(X).
【答案】(1)a=0.025；这300名市民评分的平均数为80.7.(2)分布列见解析，EX=1
【详解】（1）解在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1，
则0.002+0.004+0.014+0.02+0.035+a´10=1，解得a=0.025.
这300名市民评分的平均数为：
x=45´0.02+55´0.04+65´0.14+75´0.2+85´0.35+95´0.25=80.7.
所以这300名市民评分的平均数为：80.7.
（2）解因为评分在90分以上的市民所占的频率为0.025´10=0.25，
æ 1ö
由题意可知，X ~ Bç4, ÷，
è 4ø
æ3ö 4 81 1 æ3ö 3 27
所以，PX =0=ç ÷ = ，PX =1=C1 × ×ç ÷ = ，
è4ø 256 4 4 è4ø 64
æ1ö 2 æ3ö 2 27 æ1ö 3 3 3
PX =2=C2×ç ÷ ×ç ÷ = ，PX =3=C3×ç ÷ × = ，
4 è4ø è4ø 128 4 è4ø 4 64
æ1ö 4 1
PX =4=ç ÷ = ，
è4ø 256
所以，随机变量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2 3 4
81 27 27 3 1
P
256 64 128 64 256
1
所以，EX=4´ =1.
4
8．（2026·黑龙江·一模）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）
已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元.某地区随机调查了经常使用某
AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表：第一组 第二组 第三组 第四组 第五组
年龄 10,20 20,30 30,40 40,50 ［50,60］
人数 30 150 90 60 30
(1)利用统计表中的数据试估计该AI工具用户的平均年龄；
(2)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记
抽到第一组的人数为m，第二组的人数为n．设X = m-n ，求X的分布列；
(3)已知该AI工具对某20个问题能准确答对其中的t（3£t£12，且tÎN）个．若从这20个问题中随机抽
取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时t的取值．
【答案】(1)32.5(2)分布列见解析(3)t=6
1
【详解】（1）估计平均年龄为 ´30´15+150´25+90´35+60´45+30´55 =32.5.
360
12
（2）由题意得，这12人中，年龄在第一组内的有 ´30=1（人），
360
12
年龄在第二组内的有 ´150=5（人），
360
则X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
C4+C1C1C2 2 C1C3+C1C3+C2C1C1 4 C2C2+C3C1 32
所以PX =0= 6 5 1 6 = ，PX =1= 5 6 1 6 5 1 6 = ，PX =2= 5 6 5 1 = ，
C4 11 C4 11 C4 99
12 12 12
C3C1 4 C4 1
PX =3= 5 6 = ，PX =4= 5 = ,
C4 33 C4 99
12 12
则X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
2 4 32 4 1
P
11 11 99 33 99
C3C7
（3）从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率为P= t 20-t ，
C10
20
设 f t=C3C7 ，由3£t£12，且tÎN得 f t>0，
t 20-t
t+1! 19-t!
×
f t+1 C3 C7 3!t-2! 7!12-t! t+113-t -t2+12t+13
所以 = t+1 19-t = = = ，
f t C3C7 t! 20-t! t-220-t -t2+22t-40
t 20-t ×
3!t-3! 7!13-t!
显然-t2+12t+13>0，-t2+22t-40>0，
令m=  -t2+12t+13  -  -t2+22t-40  =53-10t，f t+1 -t2+12t+13
当3£t£5时，有m>0， = >1，即 f t+1> f t，
f t -t2+22t-40
此时 f 3< f 4< f 5< f 6；
f t+1 -t2+12t+13
当6£t£12时，有m<0， = <1，即 f t+1< f t，
f t -t2+22t-40
此时 f 6> f 7> > f 12，即 f(t) = f 6，
L max
所以t=6．
9．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，
涵盖运载火箭､载人航天､深空探测等多个领域.为了了解不同学历人群对航天工程的关注情况，某社区随机
调查了200位社区居民，得到如下数据（单位：人）：
学历 关注 不关注 合计
本科及以上 80 20 100
本科以下 60 40 100
合计 140 60 200
(1)依据小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为对航天工程的关注情况与学历有关？
(2)现为了激发社区居民对航天工程的关注，该社区举办了一次航天知识闯关比赛，规则如下：
第一关：设置3道必答题，参与者需至少答对2道才能参与下一关答题，否则淘汰；
第二关：设置3道题，前2道题每答对1道奖励200元，答错即结束答题，奖励清零，2道题都答对可选择
放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3道题答对奖励400元，答错前2道奖
3
励减半，答题结束.已知甲参与闯关比赛，第一关答题的3道题每道题答对的概率均为 ，第二关答题的前2
4
道题每道题答对的概率均为p，第3道题答对的概率为1- p,pÎ0,1，各题答对与否相互独立.
（i）求甲能进入第二关答题的概率；
（ii）已知甲进入第二关答题，从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3道题，使获取的奖金更多.
n(ad-bc)2
参考公式及参考数据：c2 = ,n=a+b+c+d .
a+bc+da+cb+d
a 0.05 0.01
x 3.841 6.635
a
27 2 2
【答案】(1)能(2)（i） ；（ii）当0< p< 时，建议挑战第3道题；当p= 时，挑战和不挑战第3道题
32 3 32
都可以；当 < p<1时，建议不挑战第3道题.
3
【详解】（1）解：零假设为H ：对航天工程的关注情况与学历无关，
0
200´(80´40-60´20)2 200
c2 = = »9.524>6.635,
100´100´140´60 21
依据小概率值a=0.01的独立性检验，推断H 不成立，即认为对航天工程的关注情况与学历有关.
0
（2）解：（i）记甲能进入第二关答题为事件A，即3道题至少答对2道题，
æ3ö 2 1 æ3ö 3 27
所以PA=C2 ç ÷ ´ +ç ÷ =
3 è4ø 4 è4ø 32
（ii）若确定不挑战第3道题，获得奖金为X，X的可能取值为0,400，
PX =400= p2，PX =0=1- p2
则X的分布列为：
X 0 400
P 1- p2 p2
所以EX=400p2；
若确定挑战第3道题，获得奖金为Y，Y的可能取值为0,200,800，
PY =0=1- p2，PY =200= p3，PY =800= p21- p
则Y的分布列为
Y 0 200 800
P 1- p2 p3 p21- p
所以EY=-600p3+800p2.
令EX-EY=600p3-400p2 =200p23p-2，
2
故当0< p< 时，EX<EY，建议挑战第3道题；
3
2
当p= 时，EX=EY，挑战和不挑战第3道题都可以；
3
2
当 < p<1时，EX>EY，建议不挑战第3道题.
3
10．（2026·陕西·二模）小明和小红参加班级数学老师组织的游戏，游戏共2轮，每轮的规则如下：每轮开
始时，小明和小红手中各有两张牌，一张是王牌，一张是鬼牌，每人每次独立地随机取出1张牌相互交换，
交换3次后该轮结束.2轮进行完游戏结束．
(1)记每轮游戏在交换1次后，小明手里王牌的张数为X，求X的分布列及数学期望；(2)定义事件A为“至少有1轮结束后，小明手里的两张牌种类相同”．求事件A的概率
(3)若游戏改为仅进行1轮，交换次数k变为变量．若老师规定：若最终小明手里两张牌相同，则小明获胜
并获得奖金100元；若不同，则小红获胜并获得奖金100元．为了使游戏公平（即双方期望收益相等），
交换次数k应满足什么条件？
【答案】(1)
X 0 1 2
1 1 1
P
4 2 4
数学期望为1
39
(2) (3)k =1
64
【详解】（1）交换1次后，随机变量X的所有可能取值为0，1，2.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
PX =0= ´ = ，PX =1= ´ + ´ = ，PX =2= ´ = .
2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
1 1 1
P
4 2 4
1 1 1
随机变量X的期望EX=0´ +1´ +2´ =1
4 2 4
1 1
（2）设a 表示交换k次后小明手中两张牌种类相同的概率，则a = ，a = 1-a ，
k 1 2 k+1 2 k
1 1æ 1 ö 1æ 1æ 1öö 3
则经过3次后，a = 1-a = ç1- 1-a  ÷= ç1- ç1- ÷÷= .
3 2 2 2è 2 1 ø 2è 2è 2øø 8
事件“至少有1轮结束后，小明手里的两张牌种类相同”的对立事件为“两轮结束后，小明手里的两张牌种类
æ 3ö 2 25
不同”，其概率为 ç1- ÷ = ，
è 8ø 64
25 39
所以事件A的概率为PA=1- = .
64 64
1 1
（3）设a 表示交换k次后小明手中两张牌种类相同的概率，则a = ，a = 1-a ，
k 1 2 k+1 2 k
1 1æ 1ö
所以a - =- ça - ÷，
k+1 3 2è k 3ø
ì 1ü 1 1 1 1 1
所以ía - ý是以a - = - = 为首项，- 为公比的等比数列，
î k 3þ 1 3 2 3 6 21 1 æ 1ö k-1 1 1 æ 1ö k-1 1 1 æ 1ö k
所以a - = ´ç- ÷ ，所以a = + ´ç- ÷ = - ´ç- ÷ .
k 3 6 è 2ø k 3 6 è 2ø 3 3 è 2ø
1 1 1 æ 1ö k 1
为了使游戏公平，小明获胜的概率应为 ，所以a = - ´ç- ÷ = ，解得k =1.
2 k 3 3 è 2ø 2