文档内容
2025 年中考数学终极押题猜想（湖北专用）
押题猜想一 圆综合（选择题压轴）..................................................................................................................1
押题猜想二 二次函数小题综合（选择题压轴）...............................................................................................9
押题猜想三 几何动点类图象的综合问题（选择题压轴）..............................................................................18
押题猜想四 规律探索（选择题压轴）............................................................................................................25
押题猜想五 几何求值类小题综合（填空题压轴）.........................................................................................29
押题猜想六 几何最值类小题综合（填空题压轴）.........................................................................................38
押题猜想七 数与式、方程与不等式（解答题）.............................................................................................46
押题猜想八 几何中的基本证明（解答题）.....................................................................................................50
押题猜想九 解直角三角形及其应用（解答题）.............................................................................................56
押题猜想十 概率统计（解答题）....................................................................................................................63
押题猜想十一 一次函数与反比例函数综合（解答题）..................................................................................71
押题猜想十二 圆中的证明问题（解答题）.....................................................................................................82
押题猜想十三 实际应用问题（解答题）........................................................................................................92
押题猜想十四 几何大题综合（解答题压轴）...............................................................................................101
押题猜想十五 二次函数大题综合（解答题压轴）.......................................................................................118
押题猜想一 圆综合（选择题压轴）
如图， 是 的外接圆，弦 交 于点 ， ，过点 作 于点 ，延
长 交 于点 ，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】B
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】作 于点M，由题意可得出 ，从而可得出 为等边三角形，从而得到
，再由已知得出 ， 的长，进而得出 ， 的长，再求出 的长，
再由勾股定理求出 的长．
【详解】解：作 于点M，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
2 / 142故选：B．
押题解读：本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理
等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键．
1．如图，已知等边三角形 内接于 ，D是 的中点，P是 上的动点（不与点A，C重合），
连接 交 于点E，则 的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、圆周角定理、直角三角形中两个锐角互余等知识点，灵活运
用相关性质内容是解题的关键．
先根据圆和等边三角形的性质可得得出A、O、D三点共线，由圆周角定理得 ，结合
直角三角形中两个锐角互余可得 以及三角形内角和180度，得 ，据此进行判断即
可．
【详解】解：连接 ，
∵等边三角形 内接于 ，D是 的中点
∴A、O、D三点共线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵P是 上的动点（不与点A，C重合）， ，
∴在 中， ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴ ，
观察A、B、C、D四个选项，则 的度数可能是 ．
故选：C．
2．如图，在 中， ， ， 经过A，C两点， 的延长线交 于点D．若
， ，则 的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形，设 交 于点 ，作 ，连接 ，勾股定理，
求出 的长，三线合一，求出 的长，三角函数求出 的长，进而求出 的长，圆周角定理得到
，设半径为 ，根据 ，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设 交 于点 ，作 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
设圆的半径为 ，则： ，
∴ ，
4 / 142在 中， ，
∴ ，即： ，
∴ ；即： 的半径是 ．
故选A．
3．如图， 为半圆 的直径，点 在半径 上， 为半圆的中点，点 在 上， ，
交 于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，构造半圆的另外一半得 ，延
长 交 于 ，延长 交 于 ，连接 ，过点 作 于 ，先证明四边形 是矩形，
得到 ，再证明 ， ，求出 ，设 ，则
，根据勾股定理求出 ，根据三角形面积公式求出
，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：构造半圆的另外一半得 ，延长 交 于 ，延长 交 于 ，连接 ，过点
作 于 ，如图：
∵ ，
，
∴ 是 直径，
，
，
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，
∴四边形 是矩形，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
∵点 是半圆中点，
，
，
在 中， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： （舍去）或 ，
，
∴ ，
∴ ，
，
，
6 / 142∴
∴ 是 中点，
∵ 是 中点， 是 中点，
∴ 是 中位线，
，
，
故选：A．
4．如图，在 外存在一点 ，过点 作两条直线 和 交 于 、 、 、 ，点 在 上，满
足 ，连接 ， ， 与 交于点 ，若 ， ， ，则
的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，证明 ，得到
，得到 ，结合 ，得到 ，进而得到
，连接 ，证明 ，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
7 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
连接 ，则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ 或 （舍掉）；
故选：C．
5．如图，在正三角形 中， ， ， 分别是 ， 的中点，以 为直径作 ， 是边
上的动点，连接 ，以 为直径作半圆交 于点 ，则线段 长的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
8 / 142【分析】作 ，由题意可知， 是 的中位线，那么 ， ，由 是直
径，可知 是直角，那么 ，那么当 最短时， 最小，根据垂线段最
短，可知当 时， 最短，根据平行线之间距离处处相等，此时， ，接着在
中，算得 ，最后算得答案．
【详解】解： 在正三角形 中， ，
，
， 分别是 ， 的中点，
， ，
在 上，
，
以 为直径作半圆交 于点 ，
那么当 最短时， 最小，根据垂线段最短，可知当 时， 最短，
作 ，如图所示：
当 时， ，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形中位线，垂线段最短，直径所对的圆周角是90
度，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司押题猜想二 二次函数小题综合（选择题压轴）
已知二次函数 的 与 的部分对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
下列结论正确的是（ ）
A．
B． 的解集是
C．对于任意的常数 ，必有
D．若点 ， ， 在该函数图象上，则
【答案】C
【详解】解：由表格数据知，二次函数图象经过点 ， ， 图象开口向下，
二次函数图象的对称轴为直线 ， ， ，
，
，
，故选项A错误；
由表格可知当 时， ，
二次函数图象经过点 ，
由二次函数图象的对称性可知，二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为 ，
的解集是 ，
故选项B错误；
当 时， 是函数的最大值，当 时， 是函数的一个任意值，
，
，
故选项C正确；
若点 ， ， 在该函数图象上，
，图象开口向下，
10 / 142，
故选项D错误；
故选C．
押题解读：本题主要考查了二次函数的图象性质，对称轴等知识点，解决此题的关键是能根据图
表得到二次函数图象的相关性质．根据表格得到二次函数的图象，根据二次函数图象性质及对称轴，
区间的增减性即可解决此题．
1．小明从如图所示的二次函数 的图象中，观察得出了下面4条信息：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确信息的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数一般式各项系数与图象的关系，熟练掌握其关系，仔细观察图象进行解答
即可．
【详解】①如图，∵抛物线开口方向向下，
∴ ．
∵对称轴 ，
∴ ．
∵抛物线与 轴交点在 轴正半轴，
∴ ，
∴ ；
故①正确，符合题意．
②∵对称轴 ，
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故②正确；
③如图，当 时， ，
∴ ，即 ．
∴ ．故③正确，符合题意．
④如图，当 时， ，即 ，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴ ．
∵
∴ ．
∴ ，即 ．故④正确，符合题意．
综上所述，正确的结论是①②③④，共4个．
故选：D．
2．抛物线 的对称轴直线 ．抛物线与 轴的一个交点在点 和点 之间，其
部分图象如图所示，下列结论中：① ；② ；③关于 的方程 有两个不相等实
数根；④ ，正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系；①抛物线的对称轴
即可得；②先根据抛物线与x轴交点位置、对称性可得当 时， ，再结合 即
可得；③根据二次函数的顶点坐标可得抛物线与直线 有两个交点，由此即可得；④先根据顶点坐标可
得 ，再结合 即可得．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，则结论①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在 和 之间，且 时， ，
当 时， ，
由二次函数的对称性得： 时的函数值与 时的函数值相等，
12 / 142当 时， ，
即 ，
，即 ，
，即 ，则结论②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为 ，
∴抛物线与直线 有两个交点，
∴关于x的方程 有两个不相等实数根，则结论③正确；
∵ 化成顶点式为 ，且其顶点坐标为 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵抛物线的开口向下，
，
∴ ，
∴ ，则结论④正确；
综上，正确的有①③④，
故选：D．
3．如图，已知顶点为 的抛物线 过点 ，给出下列结论：① ；②对于任
意的实数m，均有 ；③ ；④若 ，则 ；⑤ ；⑥已知
点 均在抛物线上，若 ， ，，则 ．其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式；先利用待定系数法求出抛物线的
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解析式为 ，即 ，则可对①③⑤进行判断；当 时， 有最小值 可对②
进行判断；利用利用抛物线的对称性得到当 或 时， ，利用函数图象得到抛物线不在直
线 的下方所对应的自变量的范围可对④进行判断；通过计算 ，得到 ，
根据 ， ，求得 ，可对⑥进行判断．
【详解】解：设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，所以⑤正确，
，
即 ，
， ， ，
，所以①正确；
， ，
，所以③正确；
当 时， 有最小值 ，
对于任意的 ，均有 ，所以②错误；
抛物线的对称轴为直线 ，
当 或 时， ，
当 时， 或 ，所以④错误；
，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
14 / 142解得 ，所以⑥错误，
综上，正确的有3个．
故选：B．
4．已知二次函数 （ ）与 轴交于 、 两点，与 轴交点 的纵坐标是 ，
且 ，则以下结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．抛物线 的顶点坐标为
D．若 ，则 或
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，二次函数和不等式的
关系，顶点坐标，对称轴等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
利用二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，二次函数和不等式的关系，顶点坐标，对
称轴等知识点逐项进行判断即可．
【详解】解：A. 因为二次函数 （ ）与 轴交于 、 两点，与 轴交点
的纵坐标是 ，且 ，可判断出抛物线开口向下，对称轴位于 轴的左侧，
∴ ，
，故该选项正确，不符合题意；
B. 因为二次函数 （ ）与 轴交于 、 两点，当函数值为0时，即当
时， ，
， ，
∴ ，
，
∵抛物线与 轴交点 的纵坐标是 ，且 ，
∴ ，
即 ，
解得 ，故该选项正确，不符合题意；
15 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C.由B选项可得抛物线的对称轴为直线 ，所以顶点横坐标为 ，
根据抛物线顶点纵坐标公式可得， ，
∴抛物线 的顶点坐标为 ，故该选项正确，不符合题意；
D.当 时，抛物线的函数值为 ，此时，根据对称轴可得该点的对称点的横坐标为 ，
由选项A可知抛物线开口向下，
∴当 时， ，
即当 时， ，故该选项错误，符合题意；
故选：D．
5．如图，抛物线 （ 为常数）交 轴于点 ，与 轴的一个交点在 和 之间，顶点为 ．
①抛物线 与直线 有且只有一个交点；
② 的取值范围为 ；
③若点 ，点 ，点 在该函数图象上，则 ；
④若将该抛物线向右平移 个单位，再向上平移 个单位，所得抛物线的解析式为 ；
⑤若点 关于直线 的对称点为 ，点 ， 分别在 轴和 轴上，当 时，四边形 周长的
最小值为 ．
其中正确结论的序号有（ ）
A．①②④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，与坐标轴交点的
计算，平移规律，轴对称最短路径的计算是关键．根据判别式可判定①；根据图示可得当 时，
，可判定②；根据对称轴即函数对称轴性质可判定③；根据函数平移规律可判定④；根据
轴对称最短路径的计算可判定⑤．
【详解】解：抛物线 （ 为常数）交 轴于点 ，
16 / 142∴ ，
抛物线 与直线 ，则有 ，
∴ ，
∴抛物线 与直线 有且只有一个交点，故①正确；
∵抛物线 （ 为常数）与 轴的一个交点在 和 之间，对称轴直线为 ，
∴另一个交点在 和 之间，
根据图示可得，当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，故②正确；
若点 ，点 ，点 在该函数图象上，对称轴直线为 ，离对称轴直线越近，函数
值越小，
∴ ，
∴ ，故③错误；
∵二次函数 ，
∴将该抛物线向右平移 个单位，再向上平移 个单位，
∴平移后得抛物线的解析式为 ，故④正确；
当 时， ，则 ，
∴点 关于直线 的对称点为 ，
∴顶点坐标 ，则 ，
如图所示，作点 关于 轴对称点 ，作点 关于 轴对称点 ，
∴ ，
∴四边形 ，
17 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当点 四点共线时， 值最小，
∴ ，
∴四边形 周长的最小值为 ，故⑤错误．
综上所述，正确的有①②④，
故选：A．
押题猜想三 几何动点类图象的综合问题（选择题压轴）
如图，等边 的边长为 ，动点 从点 出发，以每秒 的速度，沿 的方向运动，
当点 回到点 时运动停止．设运动时间为 （秒）， ，则 关于 的函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，过 作 于点 ，
则 ， ，
①当点 在 上时， ， ， ，
18 / 142，
该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线 ；
由此可排除A，B，C．
②当 时，即点 在线段 上时， ；
则 ，
该函数的图象是在 上的抛物线，且对称轴为 ；
③当 时，即点 在线段 上，此时， ，
则 ，
该函数的图象是在 上的抛物线，且对称轴为直线 ；
故选：D．
押题解读：本题是动点对应的函数图象问题，根据该函数关系式可以确定该函数的图象，解答该
题时，需要对点 的位置进行分类讨论，以防错选．
1．如图1，四边形 是平行四边形，连接 ，动点 从点 出发，沿折线 匀速运动，
回到点 后停止．设点 运动的路程为 ，线段 的长为 ，图2是 与 的函数关系的大致图象，则四
边形 的面积是（ ）
A．44 B．48 C．96 D．120
【答案】C
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，根据图像获取有用信息是解题的关键．结合图象可得，
，求出 ，再求出 边上的高，进而得出答案．
【详解】解：结合图象可得， ，
，
为等腰三角形，
边上的高
，
19 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故选：C．
2．在物理学实验中，老师和同学们设计了一个梯形轨道 来模拟物体的运动路径．已知轨道 段与
段平行（ ），且 段与水平方向成 夹角（ ）．轨道各部分的长度为
， ．实验中，两个小球 和 分别从 点和 点出发，沿 边和 边自由滑动（
不与 重合， 不与 重合）．同学们通过传感器记录 和 的中点 ， 的位置，并发现 点到 点
的距离 与小球 的位移 （ ）存在动态关系．请根据上述条件，建立 与 的函数模型，并选择
下列图象中能正确反映该函数关系的示意图．（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，解题的关键是正确分情况讨论．
如图所示，过点A作 于点 ，过点D作 于点M，首先求出 ，然后分两种情况讨论：
当点 在点 左侧和当点 在点 右侧，然后分别利用勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，过点A作 于点 ，过点D作 于点M，
∵
∴
∵ ，
∴
同理可得，
∴
①当点 在点 左侧（ ），
∵ ，
20 / 142∴ ，
，
点 分别为 的中点，
是 的中位线，
，
；
②当点 在点 右侧（ ），
， ，
同理可得： ，
；
综上所述， ．
∴当 时，y取得最小值 ；当 时，
∴能正确反映该函数关系的示意图是C．
故选：C．
3．如图1，在正方形 中，动点P从点A出发，沿 的方向匀速运动，当点P到达点C时停止
运动．过点P作 ，交 于点Q．设点P运动的路程为x， ，图2是点P运动时y随x变化
的关系图象，则正方形 的边长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【分析】本题考查了动点类的函数图象分析，涉及正方形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的
性质等，正确读懂函数图象是解题的关键．
21 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司设正方形 的边长为 ,则 ，当点 在边 上运动时， ，可得
，继而代入数据，求出 关于 的函数解析式，再由二次函数的性质以及图象分析求解即可．
【详解】解：设正方形 的边长为 ,则 ，
当点 在边 上运动时， ，如图：
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 取得最大值，由图象可得，此时 ，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
4．如图1，点 从 的顶点B出发，沿 匀速运动到点A，图2是点 运动时，线段 的
长度 随时间 变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形， 为最低点，则 的周长是（ ）
22 / 142A．12 B．16 C．18 D．24
【答案】C
【分析】由图得，当点 运动到点 和店 处时， 长都是5，即 ，当 最短时，即 垂
直 时长为3，根据勾股定理求出 ，再由三线合一定理求出 ，即可根据三角形周长公式计算即可．
【详解】解：由图象可知，点 在 上运动时，此时 不断增大，最大为 ,
故 ，
由图象可知，点 从 向 运动时， 最大值为5，即 ，
，
当 最短时，即 垂直 时长为3，
如图，
在 中，
， ，
，
， ，
，
，
的周长为 ．
故选：C ．
5．如图，在 中， ， ， ，点D，E分别在线段 ， 上，且 是
的中位线，点P从点D出发沿 向点E运动，点Q在 上且满足 ，连接 ，过点Q作
交 于点R，设点P运动的路程为x， 的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ）
23 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，二次函
数的图象性质，先证明四边形 为平行四边形，所以 ，再证 ，列比例式
，得到 ， ，所以 ，再根据三角形面积公式列出 关于
的函数表达式，利用函数性质解题．，掌握以上内容是解题关键．
【详解】解： 是 的中位线，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
，
，
， ，
24 / 142，
故 ，
所以抛物线的开口向下，顶点为 ，
自变量的取值范围为 ，
以点 和 为端点的 抛物线上的一段．
故选：C．
押题猜想四 规律探索（选择题压轴）
任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，
经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点
中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．则点
经过2025次运算后得到点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：点 经过1次运算后得到点为 ，即为 ，
经过2次运算后得到点为 ，即为 ，
经过3次运算后得到点为 ，即为 ，
，
发现规律：点 经过3次运算后还是 ，
点 经过2025次运算后得到点 ，
故选： ．
押题解读：本题考查了规律型点的坐标，解答本题的关键是找到规律点 经过3次运算后还是
，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可．
1．观察下面两行数：
1，5，11，19，29，…；
25 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司1，3，6，10，15，…．
取每行数的第8个数，计算这两个数的和是（ ）
A．147 B．126 C．107 D．92
【答案】C
【分析】本题考查数字的变化之类的问题，解题的关键是观察得到两行数字的变化规律．
观察第二行可知第 个数为： ，第一行的第 个数为第2行第 个数的2倍减1，从而得到
答案．
【详解】解：设第一行第 个数为 ，第二行第 个数为 ，
观察第二行可知第 个数为： ，
∴第二行可知第 个数为： ，
∵第一行的第 个数为第2行第 个数的2倍减1，即 ，
∴第一行的第8个数为： ，
∵ ，
∴取每行数的第8个数，计算这两个数的和是 ，
故选：C．
2．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形数阵解释二项式 展
开式的各项系数，这一数学发现比欧洲早近 年，此三角形被后人称为“杨辉三角”．在“杨辉三角”
中，两边上的数都是 ，其余每个数是它上方的（左右）两数之和．如 ， ，．．．，若从
第三行的“ ”开始，按箭头所指依次构成一列数： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，则这
列数中第 个数是（ ）
A．56 B．42 C．28 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了数字类变化规律，由题意得出第24个数在从 开始的第 行的第 个数，观察可得由
从 开始的第 行的数依次为 ， ， ， ， ， ， ，由此即可得出答案．
【详解】解： ， ，
第24个数在从 开始的第 行的第 个数，
26 / 142观察可得：由从 开始的第 行的数依次为： ， ， ， ， ，
由从 开始的第 行的数依次为： ， ， ， ， ， ，
由从 开始的第 行的数依次为 ， ， ， ， ， ， ，
第24个数为 ，
故选：A．
3．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积
的一半，依此类推，则 ．借助图形，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查图形的变化类，根据题意可发现各部分面积的变化规律，再根据图形可知阴影部分的面
积和部分⑥的面积相等，从而根据规律，即可求解．
【详解】解：依题意，
故选：B．
4．等角螺线在自然界中很常见．如图，连接大正六边形六条边的中点，形成一个小的正六边形，再连接
小正六边形六条边的中点，形成一个更小的正六边形，重复多次，可形成以逆时针方向环绕的等腰三角形
串（如阴影部分所示），这个三角形串就是一个简单的等角螺线．若大正六边形的边长为1，则该等角螺
线中第8个等腰三角形的顶角顶点与大正六边形中心的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正六边形的性质，得到等角螺线中等腰三角形顶点到中心的距离等于正六边形的边长，由此
27 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司规律可得第8个等腰三角形的顶角顶点与大正六边形中心的距离为 即可得出结果．
【详解】解：如图，正六边形 ，中心为O，点 分别是正六边形 各边的中
点，
六边形 是正六边形，边长为1，
，
，
是等边三角形，
，
点是 的中点，
，
，
六边形 是正六边形，
，
是等边三角形，
同理得：由正六边形各边中点连接形成的正六边形，顶点到中心O点的距离为 ，
同理可得：第8个等腰三角形的顶角顶点与大正六边形中心的距离为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，图形类规律探究，熟练掌
握正多边形的性质是解题的关键．
5．如图，动点 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点 ，第2次接着
运动到点 ，第3次接着运动到点 ，……，按这样的运动规律，经过第47次运动后动点 的坐标
是（ ）
28 / 142A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查点的坐标变化规律，依次求出每次运动后点P对应点的坐标，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
第1次运动后动点P的坐标是 ；
第2次运动后动点P的坐标是 ；
第3次运动后动点P的坐标是 ；
第4次运动后动点P的坐标是 ；
第5次运动后动点P的坐标是 ；
第6次运动后动点P的坐标是 ；
第7次运动后动点P的坐标是 ；
第8次运动后动点P的坐标是 ；
…，
由此可见，第n次运动后动点P的横坐标为n，且纵坐标按1，0，2，0依次出现，
又因为 余3，
所以第47次运动后动点P的坐标是（47，2）；
故选：A．
押题猜想五 几何求值类小题综合（填空题压轴）
如图，矩形 中， ， 为 上靠近点 的三等分点， 为 上一点， ，
，则 ．
29 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】
【分析】根据题意 ，如图所示，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，延
长 交 于点 ，连接 ，则四边形 是矩形， ， 是等腰直角三角形，则
，设 ，则 ，则 ，有点 四点共圆，点
四点共圆， ，则 ，
，由 ，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 为 上靠近点 的三等分点，
∴ ，
如图所示，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，
则四边形 是矩形， ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，则 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
30 / 142∴点 四点共圆，点 四点共圆，
∴ ，
在 中， ，
∴ 是等腰直角三角形，则 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
押题解读：本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，含 角的直角三角形的性质，
圆的基础知识，掌握矩形的性质，同弧所对圆周角相等是关键．
1．如图，点 在菱形 的边 上，将 沿 折叠，使点 的对应点 恰好落在边 上．若
，则 的值是 ．
【答案】
【分析】如图，过 作 于 ，在 的延长线上取点 ，使 ，设 ，则 ，
可得 ， ，证明 ，可得 ， ，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，过 作 于 ，在 的延长线上取点 ，使 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
31 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由对折可得：
，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，
作出合适的辅助线是解本题的关键．
2．如图，正方形 的对角线 ， 相交于点 ，点 为 上一点，连接 并延长交 于点 ．
若 ， ，则正方形 的周长为 ．
32 / 142【答案】
【分析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先利用正方形的性质证得
， ，再证明 平分 ，然后利用角平分线的性质可得 ，再
利用特殊三角形函数值求得 ，最后根据正方形的性质求出其周长．
【详解】解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∵四边形 是正方形，对角线 ， 相交于点 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴正方形 的周长为 ，
故选： 8．
【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一，角
平分线的判定与性质，二次根式的混合运算等知识，解题的关键是掌握上述知识，并能熟练求解．
3．如图，在矩形 中， ，E是 边上的一动点，连接 ，过点D作
交 于点G，垂足为点F，连接 ．
33 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）当点G恰为 中点时，则 ．
（2）当 平分 时，若 ，则 ．
【答案】 3
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，
添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）延长 与 交于点H，根据矩形的性质可得 ，从而可得
，再根据线段的中点定义可得 ，然后利用 证明 ，
从而利用全等三角形的性质可得 ，进而可得 ，再根据垂直定义可得 ，
最后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算即可解答；
(2)根据矩形的性质可得 ，再利用角平分线的性质可得 ，
，从而可得 ，进而可得 ，然后在 中，利用勾股定理求出
，再设 ，则 ，从而在 中，利用勾股定理进行计算可求出 的长，
最后求比即可．
【详解】解：（1）如图：延长 与 交于点H，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵点G为 中点，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
34 / 142∴ ．
故答案为：3；
（2）∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
，
，
在 中， ，
∴ ，
设 ， ,
在 中， ,
∴ ,解得： ，
∴ ，
,
故答案为： ．
4．如图，在正方形 中，点 是对角线 的中点，点 在线段 上，连接 并延长交 于点 ，
过点 作 交 于点 ，连接 交 于 ，
（1）则 °．
（2）若 ， ，则 ．
【答案】
【分析】（1）作 的外接圆，由正方形性质得 ， ，则 为 外接圆的直
径，再根据 得点 在 的外接圆上，则 ， ，据此可得答
案；
（2）连接 ，过 作 于 ， 于 ，则四边形 为矩形，进而得 ，证明
35 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司和 全等得 ，再证明 为等腰直角三角形，得 ，则 ，由
勾股定理得即 ， ，
，可得 ， ，再求解即可．
【详解】解：（1）作 的外接圆，如图1所示：
四边形 为正方形，
， ，
为 外接圆的直径，
，
，
点 在 的外接圆上，
，
，
故答案为： ；
（2）连接 ，过点 作 于 ， 于 ，如图3所示：
则四边形 为矩形，
，
四边形 为正方形，
， ，
在 和 中，
，
36 / 142，
，
， ，
为等腰直角三角形，
，
，
， ， ，
和 均为等腰直角三角形，
即 ， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的
判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的
压轴题．
5．如图，在正方形 中，点M是线段 延长线上的一点，线段 与 ， 分别交于点P，H，
过点P作 的垂线交 于点N，连接 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】连接 ，过点P作 的垂线分别与 ， 交于S，T．证明 ，得出 ，
，证明 ，得出 ，则 ，根据三线合一性质得出 ，同理证明
四边形 是矩形，得出 ， ，则 ，设 ，
则 ， ， ， ．证明 ，根据相
似三角形的性质得出 ，求出 ，则 ，根据平行线分线段成
37 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司比例求出 ，即可求解．
【详解】解：连接 ，过点P作 的垂线分别与 ， 交于S，T．
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
同理四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴设 ， 则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
38 / 142∴ ，即 ，
化简得 ，解得 （负值舍去），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，
解一元二次方程，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
押题猜想六 几何最值类小题综合（填空题压轴）
如图，在菱形 中， ， ，点 、 分别是边 、 上的动点，且 ，则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】连接 ，过点 作 于点 ，证明 和 都是等边三角形，再由勾股定理求
得 ，再得出 的最小值为 ，然后证明 ，进而推出 是等边三角形，
即可得解．
【详解】解：如图，连接 ，过点 作 于点 ，
四边形 是菱形， ， ，
， ，
39 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司和 都是等边三角形，
， ，
，
，
在 中， ，
，
的最小值为 ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
是等边三角形，
，
的最小值为 ，
故答案为： ．
押题解读：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，
全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
1．如图，在正方形 中， ，点 是 边的中点，点 、 是 边上的两个动点且 ，
连结 、 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平移的性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，把 向右平移 个单
位长度，使点 与点 重合，得到 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ，则有
，当点 、 、 三点共线时 最短，利用勾股定理求出 的长度，即为
的最小值．
40 / 142【详解】解：如下图所示，把 向右平移 个单位长度，使点 与点 重合，得到 ，延长
交 于M，则四边形 是矩形，
∴ ， ；
四边形 是正方形，
， ，
则 ，
由平移的性质可知 ，
，
作点 关于 的对称点 ，连接 ，
则 ，
，
，
当点 、 、 三点共线时 最短，
∵ ， ，
， ，
，
在 中， ，
的最小值是 ．
故答案为： ．
2．如图，已知 中三边长分别为 ， ， ，动点 在边 上运动，过点 作
， ，垂足分别为 、 ，则 的最小值为 ．
41 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】 /
【分析】作 于点 ，设 ，利用勾股定理得到 ，代入数据
解出 的值，解 得到 ， ，得出 ，由 ， 得到
四点共圆，记圆心为 ，且 为 的直径，利用外接圆的性质得到 ，分析可得
当 时， 有最小值，利用等面积法求出 的最小值，即可求解．
【详解】解：如图，作 于点 ，则 ，
设 ，则 ，
，
，
解得： ，
，
，
，
，
，
， ，
，
四点共圆，记圆心为 ，且 为 的直径，
如图，作 于点 ，连接 、 ，
， ，
， ，
42 / 142又 ，
，
，
，
，
，
当 时， 有最小值，此时 有最小值，
，
．
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形、圆内接四边形、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点，
利用外接圆的性质求线段最值是解题的关键．
3．如图，在 中， ， ，点 是平面内一点，且 ．过点 作
于点 ．
①若 ，则 的长为 ；
②当线段 绕点 在平面内旋转时，线段 长度的最大值为 ．
【答案】 3 4
【分析】（1）由勾股定理可求解；
（2）根据题意识别出点 是在以 为直径的圆上运动，点 是在以 为圆心，以1为半径的圆上运动，
所以当 与圆 相切于点 ，且 在△ 外部时， 最大， 最大，由勾股定理可求解．
【详解】解：① ，
，
43 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故答案为：3；
② ，
，
点 是在以 为直径的圆上运动，
，且 是绕点 旋转，
点 是在以 为圆心，以1为半径的圆上运动，
如图，当 与圆 相切于点 ，且 在 外部时， 最大， 最大，
由题意可得： ，
四边形 为圆的内接四边形， ， ，
， ， ，
， ，
，
，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的性质、勾股定理等，解题
的关键是识别出隐圆模型，作出合适的辅助线．
4．如图，菱形 边长为 ， ， 是 的中点， ， 分别是边 ， 上的两个动点，且
，连接 、 ，则 ， 的最小值是 ．
【答案】
【分析】连接 ，过点 作 于点 ，根据勾股定理得出 ，进而根据 ，
即可得出 的长；延长 交于点 ，取 中点 ，连接 并延长与 延长线交于点 ，连接
44 / 142，连接 ，证明 ，得到 ，同理证明： ，
为等边三角形，继而可得 是 的垂直平分线，则 ，由 ，
即可确定最小值．
【详解】解：如图，连接 ，过点 作 于点 ，
∵菱形 边长为 ， ，则
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴
延长 交于点 ，取 中点 ，连接 并延长与 延长线交于点 ，连接 ，连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵F是 的中点，菱形 边长为4，
∴ ，
45 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
同理证明： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
当点 三点共线时，取得最小值为 ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形
的判定与性质，线段垂直平分线的性质，难度较大，解题的关键在于转化思想的运用．
5．如图，在平行四边形 中， ， ， ． 为边 的中点， 为边 上的一动
点，将 沿 翻折得 ，连接 ， ，则 面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质和最短路径，解题关键是确定点 在以点 为圆心， 为半径的
圆上运动，当点 到 的距离最短时三角形的面积最小，利用勾股定理求出最小值即可．
【详解】由题意可知，点 在以点 为圆心， 为半径的圆上运动，而 的长不变，
所以 面积的最小，就是点 到 的距离最短．
因为 ，所以过点 作 ，垂足为 ．
∵ ，
∴
∴ ，
46 / 142∴ ．
∵ ．
∴ ，
∴点E到 的距离为 ，
∵ ， 为边 的中点，
∴ ，
∴点 到 的最短距离为
所以 面积 ．
故答案为： ．
押题猜想七 数与式、方程与不等式（解答题）
（1）计算：
（2）解下列一元一次不等式组，并在数轴上表示解集：
【答案】（1）3；（2） ，数轴见解析
【详解】（1）解：
；
（2）解：
47 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由①得， ，
由②得， ，
∴原不等式组的解集为： ，
∴数轴表示为：
．
押题解读：本题考查了实数的运算，解一元一次不等式组，涉及特殊角的三角函数值，零指数和
负整数指数幂，二次根式的加减法运算，掌握运算法则，正确计算是解题的关键．
（1）分别化简计算零指数幂、负整数指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值，再进行加减计算；
（2）先求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集，再画数轴表示解集．
1．计算： ．
【答案】1
【分析】本题考查了二次根式的加减，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，先逐项化简，再算乘法，
后算加减．
【详解】解：
．
2．（1）计算： ．
（2）化简： ．
【答案】（1）1；（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，涉及负整数指数幂和零指数幂等知识点，掌握运
算法则，正确计算是解题的关键．
（1）分别计算化简负整数指数幂和零指数幂以及算术平方根，再进行加减计算；
（2）先进行括号内异分母分式减法运算，再将除法化为乘法计算．
【详解】（1）解：
；
48 / 142（2）解：
．
3．解不等式组： ，并写出该不等式组的正整数解．
【答案】 ，正整数解有1、2、3、4、5
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取
小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解∶解不等式 ，得
解不等式 ，得
所以不等式组的解集为
正整数解有1、2、3、4、5．
4．解不等式组 并把它的解集表示在数轴上．
【答案】 ，见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．分别求出
不等式组中各不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，再表示在数轴上即可．
【详解】解： ，
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
不等式组的解集为 ，
把不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
49 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5．（1）先化简，再求值： 其中 ．
（2）解不等式组： ，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】（1） ， ；（2）不等式组无解，见解析
【分析】本题考查的是解不等式组，特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟知分式混合运算和解不等
式组的法则是解答此题的关键．
（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出 的值代入进行计算即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：
，
当 时，
原式 ；
（2）解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
在数轴上表示不等式的解集为：
50 / 142所以不等式组无解．
押题猜想八 几何中的基本证明（解答题）
如图，已知平行四边形 中，点F是对角线 上一点， ，延长 交边 于点E．
(1)求证： ；
(2)当 时，求证：四边形 是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到 ，证明 ，得到 ，等量代
换即可得出结论；
（2）平行线分线段成比例，得到 ，进而得到 ，推出 ，相似三角形的性
质，推出 ，进而得到 ，结合平行线的性质，推出 ，进而得
到 ，即可得证．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴
∴
∴
51 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形．
押题解读：本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行
四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键
1．如图，在 中，点E，F分别在边 上， ．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，证明四边形 为平行四边形，进而得到 ，根据
，即可得出结论．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
52 / 142∴ ，即： ．
2．如图，已知 ， ， 与 交于点M．过点C作 ，过点B作 ，
与 交于点N．
(1)求证： ；
(2)已知 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解
题的关键．
（1）运用 证明 ，即可作答．
（2）先根据 得出 ，再结合平行线的性质得 ，
，则 ，即可作答．
【详解】（1）证明：在 与 中，
∵ ， ， ，
∴ ．
（2）解：如图：
由（1）知 ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ．
3．如图，在 中， ，D是 内一点，连接 ，将线段 绕点C逆时针旋转到 ，使
，连接 ．
53 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求证： ．
(2)当 时，求 与 的度数和．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质：
（1）利用 证明 即可；
（2）证明 为等边三角形，进而得到 ，利用全等三角形的对应角相等，结合角的和差关系
即可得出结果．
【详解】（1）解：∵旋转，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ，
∴ ．
4．如图，点 在菱形 的对角线 上，射线 交 于 ， ．
(1)尺规作图：在 延长线上找一点 ，使得四边形 为平行四边形；
(2)在（1）的前提下， 交 于点 ，若 ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
54 / 142(2)
【分析】（1）延长 到 ，使得 ，连接 即可；
（2）证明 ，设 ，利用相似三角形的判定与性质及平行线分线段成比例定理构建方程
求解．
【详解】（1）解：如图，四边形 即为所求；
（2）设 ．
四边形 是菱形，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
， ，
，
，
，
解得 或 （舍去），
经检验 的分式方程的解．
．
【点睛】本题考查作图 复杂作图，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定与性质及
平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
55 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5．如图，点 在直线 上， ， 与 交于点 ．求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据线段的和差可得出 ，再利用 即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出 ，再根据等角对等边即可得证．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ．
∴在 和 中，
，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ．
押题猜想九 解直角三角形及其应用（解答题）
如图，地面上的点 到两个山峰 的峰顶有两条索道 ．在点 处测得峰顶 的仰角为 ，峰
顶 的仰角为 ．已知索道 的长度为2千米．为进一步方便游客，现准备新建一条与地面平行的索道
，与索道 相交于点 ．求新建索道 的长．（精确到0.01千米，参考数据： ）
【答案】新建索道 的长约为2.73千米
56 / 142【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点 作 于点 ，分别解 ， ，求得
， 的长，进而根据 即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
在 中， 千米， ．
，
千米， 千米，
在 中， ，
千米，
（千米）．
答：新建索道 的长约为2.73千米．
押题解读：本题考查解直角三角形的实际应用，此考点在各类考试中较为常见，多以解答题形式呈现，
难度适中。主要考查对特殊角度（如 30°、45°）三角函数值的运用，以及将实际问题转化为数学模型（直
角三角形）的能力。解题关键在于准确识别直角三角形，利用特殊角的三角函数计算边长。熟练掌握特殊
角的三角函数值，正确构建直角三角形模型是解决此类问题的核心，这对后续学习三角函数在实际生活中
的应用（如测量高度、距离等）具有重要的铺垫作用。
1．小鹏想测量学校内一棵古树的高度．如图，小鹏在B 处测得树顶A的仰角α为 ，然后他向前走了
到达C处，测得树顶A的仰角β为 ．已知 ，点B，C，O在同一条直线上，请你帮
助小鹏计算出古树的高度 ．(结果精确到 ，参考数据： ， ，
， )
【答案】古树的高度 约为 ．
57 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设 ，在 中，求得 ，在 中，
求得 ，根据 ，列式计算即可求解．
【详解】解：延长 交 于点F，则 ，
， ．
设 ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
由题意得 ，
∴ ，即 ，
解得 ，即 ．
∴ ．
答：古树的高度 约为 ．
2．如图，某农业示范基地用无人机对一块试验田进行检测作业，在距离试验田 （ 为水平状态）高
度为 的点 处测得边界 处的俯角为 ，无人机垂直下降 至 处，又测得边界 处俯角为 ．
已知点 ， ， ， 在同一平面内，求试验田边界 ， 之间的距离（参考数据： ，
， ， ，结果精确到 ）．
58 / 142【答案】试验田边界 ， 之间的距离约为
【分析】本题考查解直角三角形的应用，构造直角三角形是解答的关键．延长 交 于点 ，在
和在 中，利用锐角三角函数定义求得 、 即可求解．
【详解】解：延长 交 于点 ，由题意得：
， ， ，
，
．
在 中， ，
．
在 中， ，
．
．
试验田边界 ， 之间的距离约为 ．
3．图1是某路灯的实物图，图2是其平面示意图．某数学项目学习小组要测量某路灯 的顶部到
地面的距离 ．已知该小组测得 ， ， ．根据以上测量结果，请你帮助该小组
计算路灯顶部到地面的距离 ．（结果精确到 ，参考数据： ， ，
）
59 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，过点 作 于点 ，则
， ．先求出 ，再根据 即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，则四边形 是矩形，
∴ ， ．
在 中， ，
，
．
答：路灯顶部到地面的距离 约为 ．
4．2022年11月29日，“神舟十五号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成果发射．2023年2月9日神
舟五号航天员进行了出舱活动，为了确保任务的圆满完成，航天员借助机械臂进行舱外作业．如图是处于
工作状态的某型号手臂机器人示意图， 是垂直于工作台的移动基座， 为机械臂，
．（参考数据：
）．
(1)求机械臂端点C到工作台的距离 的长（结果精确到 ）
(2)求 的长．（结果精确到 ）
【答案】(1)机械臂端点C到工作台的距离 的长约为 ；
(2) 的长约为
60 / 142【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是
解题的关键．
（1）过点A作 ，过点B作 ， ，垂足为E、F、H，在 中，求得
，在 中，求得 ，最后求得 的长即可；
（2）在 中，求得 的长，在 中，求得 的长，最后求得 的长．
【详解】（1）解：如图，过点A作 ，过点B作 ， ，垂足为E、F、H，
四边形 是矩形，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
在矩形 中， ，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
机械臂端点 到工作台的距离 的长约为 ．
（2）解：在 中， ，
61 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
在 中， ，
，
，
在矩形 和矩形 中，
的长约为 ．
5．“一缕清风银叶转”，某市大型风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电
能，造福千家万户，某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两
所成的角为 ，当其中一片风叶 与塔干 叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶
部O的仰角 ，风叶 的视角 ．
(1)已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算 的值；
(2)求风叶 的长度．
【答案】(1)
(2)风叶 的长度为 米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键．
（1）根据题中公式计算即可；
（2）过点A作 ，连接 ， ，先根据题意求出 ，再根据等腰对等边证明 ，
结合第一问的结论用三角函数即可求 ，再证明四边形 是矩形，进一步计算即可求出．
【详解】（1）解：由题意可得： ，
∴
62 / 142；
（2）解：过点A作 ，连接 ， ，如图所示，
由题意得： 米， ，
∴ 米， ， 米，
∵三片风叶两两所成的角为 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 米，
∵ ， ，
∴ ，
由（1）得： ，
∴ 米，
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ 米，
∵三片风叶两两所成的角为 ，且三片风叶长度相等，
∴ ，
∴ 米，
∴风叶 的长度为 米．
63 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司押题猜想十 概率统计（解答题）
某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宰命昂学习科学
知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：A．微重力环境下的太空“冰雪”实验，B．液桥端示实验，
C．水油分离实验．D．太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查．
将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，回答下列问题：
(1)共调查了_______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为_______；
(2)请补全条形统计图：
(3)若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图
的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
【答案】(1)50，
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，再由 乘以A的占比即可求解圆心
角即可解决问题；
（2）求出D、C的人数，即可解决问题；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式
求解即可．
【详解】（1）解：共调查的学生人数为： （名），
∴图2中A所对应的圆心角度数为： ，
故答案为：50， ；
（2）解：D的人数为： （人）
∴C的人数为： （人），
补全条形统计图如下：
64 / 142（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为 ．
押题解读：本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，从统计图中获
取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键．
1．某校为倡导环保理念，随机抽查了部分学生家庭一学期产生的废旧电池数量，将样本数据进行整理，
用x（单位：节）表示废旧电池数量，分成四组：A． ，B． ，C． ，D．
，E． ．分组数据中，常用各组的组中值代表各组的实际数据．整理后绘制如下不完整的频数分
布直方图和扇形统计图：
(1)补全频数分布直方图，并计算A组扇形对应的圆心角的度数；
(2)若该校共有1200户学生家庭，估计一学期产生废旧电池不少于7节的户数；
(3)计算样本数据的平均数．
65 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】(1)见解析，
(2)336户
(3)
【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图、样本估计整体、平均数等知识点，灵活运用相关知识
成为解题的关键．
（1）先用B组的人生除以B组所占百分比求得调查总人数，进而求得D组的人数，即可补全条形统计图；
用 乘以A组所占的比例即可解答；
（2）用样本估计整体即可解答；
（3）根据平均数的定义列式计算即可．
【详解】（1）解：本次调查学生数为： 人，
D组的人数为 人，
补全条形统计图如下：
A组对应的圆心角为 ．
（2）解：
答：估计一学期产生废旧电池不少于7节的户数约为336户．
（3）解：样本平均数 ．
2．2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，维护国家安全是每个公民的基本义务．为增强国家安
全意识，某校八、九年级部分学生参加了国家安全法知识竞赛．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取20
名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析．成绩（用 表示，单位：分）分为 ， ， ， 四个等级，
分别是：
． ； ． ； ． ； ． ．
下面给出了部分信息：
九年级20名学生的成绩为：1 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ；
八年级 等级的学生成绩为： ， ， ， ， ， ， ， ．
66 / 142八、九年级所抽学生成绩统计表
平均 中位 众
年级 方差
数 数 数
九年
级
八年
级
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中， ______， ______， ______；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理
由即可）
(3)该校八年级有200名学生、九年级有180名学生参加了此次竞赛，估计该校八、九年级参加此次竞赛成
绩为 等的学生人数是多少？
【答案】(1) ， ， ；
(2)见解析
(3) 人
【分析】本题主要考查了统计表、扇形统计图、平均数、中位数、众数、方差、用样本估计总体．平均数、
中位数、众数反映的是一组数据的集中趋势，方差反映的是一组数据的波动大小，方差越小说明这组数据
的波动越小．
（1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可知 ；根据八年级学生成绩达到 的人数为 人，
根据八年级级 名学生竞赛成绩在 组的数据共有8个，得出 组人数的占比为 ，进而求得 组的占
比为 ，得出 组人数是 ，进而根据八年级学生的成绩从大到小排列第 和 名的成绩分别为 和
，所以可知八年级的中位数为 ；
（2）根据八年级学生与九年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比九年级学生的众数高，且八年级
学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定；
（3）用样本估计总体，分别求出九年级和八年级达到优秀的人数，两数之和即为该校九、八年级学生参
加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的人数．
【详解】（1）解：从九年级 名学生的竞赛成绩可以看出，九年级的成绩众数是 分，
；
八年级 等级的学生成绩为： ， ， ， ， ， ， ， ．
67 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司八年级 名学生竞赛成绩在 组的人数为 ，
∴ 组的占比为
∴从扇形统计图中可知： 组的占比为 ，
∴
则 组人数为 人
八年级 名学生竞赛成绩在 组和 组的共有 人，
中位数为第 和 名的成绩分别为 和 ，
∴ ；
故答案为： ， ， ；
（2）解：我认为八年级学生的成绩更好，因为八年级学生与九年级学生的平均分相等，八年级学生的众
数比九年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定；
（3）解：八年级参加竞赛的 人中成绩为 等的有 人，九年级参加竞赛的 人中成绩为 等的有11人，
估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为 等的学生人数是 人．
3．为树立学生的劳动观念，某中学开展了劳动技能大赛，经过五轮比赛，最终甲、乙、丙三位选手获得
一等奖．小明同学对三位选手的五轮得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息
如下：
信息一：甲、乙两位选手的得分折线图：
信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数、方差数据如下：
选手
统计 甲 乙 丙
量
平均
数
中位
数
68 / 142____
方差
_
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中 ， ，c的值： ________， ________， ________；
(2)根据以上信息可知，选手________发挥的稳定性更好（填“甲”或“乙”）．
(3)该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手？请说明理由．
【答案】(1)9.2，8.9，9.0
(2)甲
(3)应该推荐甲选手，甲的五轮比赛平均得分大于乙的平均得分，等于丙的平均得分；甲的五轮比赛得分的
中位数最高，且甲的得分最稳定，所以应该推荐甲选手
【分析】本题考查平均数、方差，中位数以及折线统计图，理解中位数、平均数以及方差的定义，掌握中
位数、平均数以及方差的计算方法是正确解答的关键．
（1）根据中位数、平均数的计算方法进行计算即可；
（2）计算甲、丙两位选手的五轮成绩的方差即可；
（3）根据平均数、方差进行判断即可．
【详解】（1）解：选手甲的五轮成绩分别为9.2，8.8，9.3，8.7，9.5，选手丙的五轮成绩分别为8.3，
9.1，9.3，8.4，9.4，
将选手甲的五轮成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数是9.2，因此甲选手五轮成绩的中位数是9.2，
即 ，
选手丙的五轮成绩的平均数 （分），
选手丙五轮比赛总成绩为 分，其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3，
所以，另两个成绩和为 ，
故另两个成绩均大于9.0，
所以， ；
故答案为：9.2，8.9；9.0‘
（2）解：选手甲五轮成绩的方差
，
选手乙五轮成绩的方差 ，
∵ ，
∴甲发挥稳定，
故答案为：甲；
（3）解：应该推荐甲选手，甲的五轮比赛平均得分大于乙的平均得分，等于丙的平均得分；甲的五轮比
赛得分的中位数最高，且甲的得分最稳定，所以应该推荐甲选手
69 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司4．学校为重点抓好学生“防溺水”安全教育，对部分学生就安全知识的了解程度进行了随机抽样调查，
并绘制了如图所示的两幅统计图，形成如下报告：
结合调查信息，回答下列问题：
(1)本次调查共抽查了______名学生，其中“基本了解”安全知识的学生人数是______；
(2)若该校有1000名初中生，请估计该校“非常了解”安全知识的人数约有______；
(3)某班有3名男生和1名女生参加“防溺水安全比赛”的选拔，两名学生被选中，则恰好选中1名男生和
1名女生的概率是______；
(4)请你就如何提高防溺水安全意识向该校提一条合理建议．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
(4)见解析
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率；
（1）根据条形统计图得出基本了解的人数，用基本了解的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数；
（2）根据扇形统计图与条形统计图得出“非常了解”安全知识的人数，再根据样本估计总体即可求解；
（3）画树状图求概率即可求解；
（4）根据统计图可得了解很少和不了解的人数占比较大，加大安全教育，言之合理即可求解．
【详解】（1）解： 人，故此次抽查的学生总数为200人，
基本了解的人数为80人，
故答案为： ， ．
（2）解：不了解的占比为 ，人数为 人，
∴非常了解的人数为： 人
（人）
故答案为： ．
（3）解：画树状图如图，
70 / 142总共有12种等可能情况，满足一男一女的有6种情况， ；
恰好有1名男生和1名女生的概率为 ．
故答案为： ．
（4）由统计图可知，了解很少和不了解的人数占比较大，建议学校加大宣传，开展好“防溺水”安全教
育．（答案不唯一）．
5．为倡导健康生活方式，国家将“体重管理”纳入健康战略．国际上常用身体质量指数（ ）来衡量
人体胖瘦程度，其计算公式是 ．中国人的 数值标准为： 为偏瘦；
为正常； 为偏胖； 为肥胖．某校为调查九年级学生的胖瘦程度，从
该年级随机抽取10名学生，测得他们的身高和体重，并计算出相应的 数值．
【收集数据】
九年级10名学生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体重 59.0 62.4 70.0 70.6 63.8 57.8 64.2 72.7 54.0 52.2
身高 1.64 1.73 1.72 1.78 1.85 1.70 1.56 1.61 1.62 1.64
21.9 20.8 23.7 22.3 18.6 26.4 28.0 20.6 19.4
【整理数据】
九年级10名学生 频数分布表
组别 频数
0
1
【应用数据】
(1)求数据统计表中 的值，并直接写出 的值．
71 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)请估计该校九年级300名学生中 的人数．
【答案】(1) ， ，
(2) 人
【分析】本题考查了频数分布表和用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法是解题的关键．
（1）根据计算公式可得x的值，根据表格可得a，b的值；
（2）利用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：由题意得：x 20，
∴由九年级10名学生 频数分布表得 ， ；
（2）解： （人），
答：估计该校九年级300名学生中 的人数为60人．
押题猜想十一 一次函数与反比例函数综合（解答题）
如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于
P，Q两点，且点P的纵坐标为3，点 ．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)请直接写出关于x的不等式 的解集；
(3)若点M在x轴上，且 的面积是 的面积的3倍，求点 的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为
(2) 或
(3)点 的坐标为 或
72 / 142【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ；
∵点P的纵坐标为3，且点P也在反比例函数 的图象上，
∴ ，
解得 ，
∴点P的坐标为 ，
∵一次函数 的图象经过点 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：观察图象，不等式 的解集为： 或 ；
（3）解：令 ， ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ，
由题意得 ，即 ，
73 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴ ，
∴点 的坐标为 或 ．
押题解读：本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形
的面积求点的坐标．
（1）利用待定系数法求出 ，再求得点P的坐标为 ，利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题；
（3）根据 ，求出 的面积，再根据 的面积是 面积的一半，构建方程
求得 的长，即可解决问题．
1．如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于 、A两点，与反比例函数 的图像分别交于
两点，点 的坐标为 ．
(1)求 和 的值；
(2)求 的面积．
【答案】(1) ，
(2)4
【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数的图像与坐标轴的交点，一次函数与反比例函数图像的
交点．
（1）把点 代入函数 与 即可求解；
（2）对于直线 ，分别令 与 ，求出点A，B的坐标，得到 ， 的长．解方程组
得到点C，D的坐标，根据 即可求解．
【详解】（1）解：∵直线 过点 ，
∴ ，解得 ，
74 / 142∵反比例函数 的图像过点 ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴直线 的解析式为 ，反比例函数解析式为 ，
对于直线 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，解得 ，
∴ ， ，
∴ ， ．
过点C作 轴于点E，过点D作 轴于点F，
解方程组 得 或 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
．
2．如图，已知点 ，以 为边作等边三角形 ，点B在第一象限，点C是 边上的动点，经过
点C的反比例函数 的图像与 边交于点D，连接 ．
75 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求线段 所在直线的解析式；
(2)若 ，求此时k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据等边三角形的性质求得点B坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）过C作 于H，过D作 于N，过B作 延长线于M，证明 得
到 ，结合锐角三角函数得到 ， ，设 ，推导出 ，
，利用反比例函数图像上点的坐标特征得到 ，进而
解方程求得x值即可解答．
【详解】（1）解：过B作 于H，
∵点 ， 为等边三角形，点B在第一象限，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设线段 所在直线的解析式为 ，
将 ， 代入，得 ，
解得 ，
76 / 142∴线段 所在直线的解析式为 ；
（2）解：过C作 于H，过D作 于N，过B作 延长线于M，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ；
∴ ， ，
∴ ，
∴点D坐标为 即 ，
∵点C、D都在反比例函数 的图像上，
∴ ，
由 ，
解得 ， （与点B重合，舍去），
77 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴ ．
【点睛】本题考查反比例函数、一次函数与几何的综合，涉及待定系数法求函数解析式、等边三角形的性
质、勾股定理、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、解直角三角形等知识，熟练掌
握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键．
3．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)直线 与y轴交于点C，点D，E分别在一次函数和反比例函数的图象上，当四边形 是平行四边
形时，求点D的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为
(2) 或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，平行四边形的性质，画出图形，利用平行四边形的性质列出
方程是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解答；
（2）画出图形，根据平行四边形的性质可得 ，列方程即可解答．
【详解】（1）解：把 代入 ，
可得 ，解得 ，
反比例函数的解析式为 ；
把 代入 ，可得 ，
，
把 ， 代入 ，
可得 ，
78 / 142解得 ，
一次函数的解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
，
，
如图，当四边形 为平行四边形时，
四边形 为平行四边形，
，即 轴，且 ，
设点 ，则 ，
则可得 ，
整理得 ，
解得 ，
， ，
即点D的坐标为 或
4．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象分别交于点 和点 ，
且与x轴交于点 ．
79 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)将直线 向上平移 个单位，平移后的直线与 的图象在第一象限交于点P，
若 ，求平移距离d．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）先将点 代入一次函数 ，求得一次函数解析式，再求出点 ，即可求出把比例函
数解析式；
（2）作 轴交直线 于点 ，根据 ，即可求 ．
【详解】（1）解： 点 在一次函数 的图象上，
，
，
∴一次函数 的表达式为 ；
点 在直线 上，
，
．
，
把 代入 得 ，
80 / 142解得： ，
反比例函数 的表达式为 ；
（2）解：作 轴交直线 于点 ，
，
，
，
，
．
5．如图，四边形 为矩形，点 在 轴正半轴上，点 在 轴正半轴上，点 的坐标为 ，反
比例函数 的图像与边 分别交于点 （不与边的端点重合），连接 ， ， ．
(1)若 为边 的中点，求 的值及点 的坐标；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质与矩形的性质，解题关键是根据点的坐标求出反比例函数解析
式，再利用反比例函数图象的性质求解；
（1）先根据 为边 的中点求出点D的坐标，再根据待定系数法求出解析式，求出点E坐标即可；
81 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）设出点D的坐标，点E坐标，根据 ，得出
【详解】（1）解：∵点 的坐标为 ， 为边 的中点，
∴点 的坐标为 ，
代入 得， ，
解得， ，
把 代入 得， ，
解得， ，
点E坐标为
（2）解：∵点 的坐标为 ，反比例函数 的图像与边 分别交于点 ，
设点D的坐标为 ，点E坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得， （舍去）或 ，
则点D的坐标为 ，点E坐标为 ，
， ，
．
82 / 142押题猜想十二 圆中的证明问题（解答题）
如图， ， 是⊙ 的直径，连接 ， ，过点 作 于点 ， 交 于点 ，交⊙ 于
另一点 ，过点 作⊙ 的切线交 的延长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求⊙ 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）根据切线的性质和等腰三角形的性质，结合等角的余角相等得到 ，进而利用等
角对等边可得结论；
（2）先利用直径所对的圆周角是直角得到 ，再利用等角的余角相等得到 ，然后根
据相似三角形的判定可得结论；
（3）设 ， ，则 ， ， ，证明 求得
，再利用等腰三角形的性质得到 ，由 列方程求解x值即可
解答．
【详解】（1）证明：∵ 与⊙ 的相切于点C， 是⊙ 的直径，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
83 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）证明：∵ 是⊙ 的直径，
∴ ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，又 ，
∴ ；
（3）解：由 可设 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，即⊙ 的半径是4．
押题解读：本题考查切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定
理等知识，熟练掌握切线的性质以及相似三角形的性质是解答的关键．
1．如图， 是 的直径， ， 交 于点 ，过点 作 的切线交 于点 ．
84 / 142(1)求证： ；
(2)过点 作 交 的延长线于点 ．若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相
关知识点是解题的关键．
（1）连接 ，利用等腰三角形的性质得到 ，继而得到 ，根据切线的性质得到
，得出 ，即可得到结论；
（2）连接 ，得到 ，继而得到 ，求出 ，
．得到 ．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
，
．
，
．
．
．
．
是 的切线，
．
．
．
．
85 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）解：如图，连接 ．
是 的直径，
．
∵ ，
是 的中点．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
2．如图所示，菱形 的顶点A，B，D都在 上，延长 交 于点E，连接 ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)已知菱形的边长为3， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
86 / 142(2)
【分析】（1）先证明 ， ，可得 ， ，结合圆的内
接四边形的性质证明 ，再进一步可得结论；
（2）如图，过点 作 交 于点 ．求解 ，结合等腰三角形的性质可得 ．求
解 ，再利用面积公式计算即可．
【详解】（1）证明： 四边形 是菱形，
∴ ， ，
， ．
又 四边形 内接于 ，
，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：如图，过点 作 交 于点 ．
， ，
．
，
．
，
，
四边形 的面积是 ．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，菱形的性质，圆的内接四边形的性质，平行线的性质，作出合适
的辅助线，熟记菱形的性质是解本题的关键．
3．如图， 为 半径，点B在 上， ，连接 交 于点D， ．
87 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边对等角得出 ，结合已知和圆周角定理可得 ，
根据三角形内角和定理可求出 ， ，根据平行线的性质可得 ，最后根据切
线的判定即可得证；
（2）根据等边对等角和平行线的性质可得出 ，结合由（1）中 ，可求出
，根据圆周角定理求出 ，在 中，根据勾股定理可求出 ，
最后根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ， ，
∵ ，
88 / 142∴ ，
∴ ，
又 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴ 的长为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，弧长公式等知识，明确
题意，添加合适辅助线，求出 是解题的关键．
4．如图，在 中， ， 是 上一点， ，以 为直径作 交 于点 ，射
线 交 于点 ，且 为 的中点，连 交 于点 ，连接 ， ．
(1)若 为 的中点，求证： ；
(2)若 ， ，求 值和 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) ，
【分析】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，解直角三角形，综合运用相
关知识是解题的关键．
89 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）由 ， ，得到 ，由 为 直径， 为 中点，得到
，从而推出 ，从而推出 ，由 为 中点得到
，从而 ，得证 ；
（2）连接 ， ，由 得到 ，
设 ，则 ，因此 ， ，求得 ．由
，得到 ，从而得到 ，
，设 ，则 ，在 中，有 ，得到
，因此 ，求解即可．
【详解】（1）证明： ， ，
，
为 直径， 为 中点，
， ，
，
，
，
为 中点，
，
，
，
；
（2）解：连接 ， ，
，
∴ ，
，
∴ ；
90 / 142设 ，则 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
，
∴ ，
∵在 ， ， ，
∴ ，
，
设 ，则 ，
∵在 中， ，
∴ ，
，
∴ ，
，
，
，
的半径为 ．
5．如图，在 中， ， 是 上一点， 经过点 ，与 相切于点 ，点 、 分别是
与 的交点，且 ．
91 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求 的度数．
(2)若 ，求图中阴影部分的面积为多少？
【答案】(1)
(2)阴影部分的面积为
【分析】本题主要考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，求扇形的面积，
（1）连接 ，根据切线的性质得 ，再说明 ，
可得 ，然后证明 接下来根据 可得答案；
（2）由（1）得 ，可得 为等边三角形，进而求出 ， ，再求出
和扇形 ，最后根据面积差可得答案．
【详解】（1）解：连接 ，
是 的切线， 为切点，
．
，即 ，
，
．
，
，
，
即 ，
．
，
，
．
是O的直径，
，
，
；
92 / 142（2）解：由（1），得 ，
．
，
为等边三角形，
．
，
，
．
根据勾股定理，得 ，
，
扇形 ，
阴影部分的面积为 ．
押题猜想十三 实际应用问题（解答题）
春节期间，由“饺子”编剧并执导的奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评．某商家抓
住商机，随即销售一种成本为每件20元的特色哪吒纪念品．经销售发现：当售价为每件30元时，每天可
售出100件；售价每上涨2元，日销量就会减少4件；售价每下降1元，日销量就会增加5件．设该纪念
品的售价为每件 元（ 为整数且 ），每天的销售量为 件．
(1)求出 与 的函数关系式；
(2)该纪念品售价定为多少元时，商家每天获得的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1) ；
(2)当定价为50元时，商家每天获得的最大利润为1800元．
【详解】（1）解：当 时，每天的销量为 ，
当 时，日销量为 ，
∴ ；
（2）解：设商家获得的利润为w元，
93 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当 时，则 ，
对称轴为 ，
，且x为整数，此时w随x的增大而增大，
故当 时，则最大利润 ，
当 时，则 ，
对称轴为 ，
，且x为整数，此时w随x的增大而增大，
当 时，则最大利润 ，
综上所述：当定价为50元时，商家每天获得的利润最大，最大利润为1800元．
押题解读：本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）分情况列出一次函数关系式即可；
（2）根据题意，求出每种情况的最大利润，再比较即可得出答案．
1．在生物实验中，研究人员对某种微生物在特定营养液中的繁殖情况进行观测．发现微生物的数量增长
速率v（个/时）与营养液中关键营养物质的浓度x（ ）密切相关，通过一系列实验记录得如下数据：
3
营养物质浓度x/（ ） 0 10 20 40
0
1
微生物数量增长速率 v/（个/时） 0 12 18 12
8
(1)请根据表中数据，在平面直角坐标系中绘制出微生物数量增长速率v随营养物质浓度x变化的大致图象．
(2)经分析，该关系可以用二次函数 来描述，请利用表格中的数据，通过解方程组的方式求
出a、b、c的值（结果保留2位小数）．
(3)若希望微生物数量增长速率v不低于15个/时，则营养物质浓度x的范围应是多少？（结果保留2位小数，
）
【答案】(1)见解析
(2)a、b、c的值分别为 、1.50、0.00
(3)
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）根据表中数据，描点画出微生物数量增长速率v随营养物质浓度x变化的大致图象即查；
（2）根据表中数可知， ， ，再将点 代入解析式，即可得方程组，解方程组
即可；
（3） ，则 ，解方程得 ，再结合（1）的图象即可得出结论．
94 / 142【详解】（1）解：在平面直角坐标系中绘制出微生物数量增长速率v随营养物质浓度x变化的大致图象如
图所示，
（2）解：根据表中数可知， ， ，
二次函数 过点 ，
∴ ，
解得 ，
即a、b、c的值分别为 、1.50、0.00；
（3）解：由（2）可知二次函数解析式为 ，
令 ，则 ，
解得 ，
∵ ，
∴ 或 ，
结合（1）中的图象可知，若希望微生物数量增长速率v不低于15个/时，则营养物质浓度x的范围应是
．
2．在某场篮球比赛中，李飞在距篮圈中心正下方 处跳起投篮，球运行的路线大致是抛物线．当球运行
到距离李飞的水平距离为 时，达到最大高度 ，然后准确落入篮圈．已知篮圈到地面的距离为
．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
(2)李飞身高 ，再这次跳投中，球在他头顶上方 处出手，问：球出手时，李飞跳离地面的高度是
多少？
95 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(3)此时，若对方队员小刚在李飞前面跳起最大高度为 时，盖帽拦截获得成功，那么小刚是在李飞前
面多远距离跳起盖帽拦截的？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求抛物线的解析式，根据点的横坐标求函数值，根据函数值求点的坐标等知识点，
解题的关键是熟练掌握抛物线图象的性质．
（1）利用顶点坐标和 ，利用待定系数法即可求出解析式；
（2）将 代入 即可得出答案；
（3）将 代入 即可得出答案．
【详解】（1）解：（1）由题意知，该抛物线的顶点为 ，因此设所求抛物线的解析式为
，
将 代入得
解得
抛物线的解析式为 ；
∴（2）解：将 代入 得， ，
∴答：球出手时，李飞跳离地面的高度是 ；
（3）解：将 代入 得， ，
解得 ， （舍去）
答：小刚是在李飞前面 处跳起盖帽拦截的．
3．随着高产农田项目的推进，新型灌溉方式——喷灌逐步推广，如图1，它比传统的渠道灌溉节省了土地，
减少了水资源的浪费．为此，学校数学兴趣小组开展数学项目式实践活动，对某种喷灌系统建立数学模型．
如图2，以喷水管 所在直线为 轴，地面为 轴，喷水管的底部为原点 建立平面直角坐标系，喷出的
水柱最外层的形状为抛物线， 轴上的点 为水柱的最外落水点．经测量：以点 为喷水口，水管高度
，喷水管底部点 与点 的距离为 ， ，在 点用标杆测得 ．
96 / 142(1)求最外层水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)观察到该喷灌系统可顺、逆时针往返喷洒，但平面旋转角度不超过 ，且喷出的水可渗透到 外，
这个喷头最多可灌溉多少平方米土地?
(3)同学们把喷水管换成了不同的长度，水压不变，观察到：水柱的最外落水点 与 点的距离也不同，测
量数据如下：
喷水管长度 1.0m
的距离
若 与 成二次函数关系，求：
①当喷水管长度为_____ 时，水柱的最外落水点 与 点的距离最大；
②最大距离为多少米?
【答案】(1)
(2)
(3)①0.8；②
【分析】（1）根据抛物线过交y轴于0.6m，可设抛物线的表达式为 ，再将B、D两点的
坐标代入，求出抛物线的表达式；
（2）根据这个喷灌系统最多可灌溉的半径和扇形的圆心角，利用扇形面积公式求解；
（3）①根据测量数据，得到的一对对称点，求出对称轴；
②设 与 的关系式为 ，将测量数据的三对值代入 与 的关系式中，得到关于待定系数的方
程组求解，求出 与 的关系式．
【详解】（1）解：∵抛物线过点 ， ， ．
∴设抛物线的表达式为 ．
解得：
最外层水柱所在抛物线的函数表达式为 ．
97 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）∵这个喷灌系统最多可灌溉的半径为 ，
这个喷灌系统最多可灌溉的面积为 ．
答：这个喷灌系统最多可灌溉 的土地．
（3）①∵点 ， 关于 与 所成的二次函数的图象的对称轴对称，
该二次函数的对称轴为直线 ．
故答案为： ．
②设 与 的关系式为 ，把 ， ， 代入，得
解得
与 的关系式为 ．
当 时， ．
最大距离为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，利用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数
的最值，求扇形面积等知识，解题的关键是根据题意利用待定系数法求出函数表达式．
4．人类免疫缺陷病毒（ ）是造成人类免疫系统缺陷的一种逆转录病毒．这一病毒会攻击并逐渐破坏
人类的免疫系统，致使宿主在被感染时得不到保护． 攻陷人体免疫系统的原理是吸附于靶细胞（主要
是T细胞）表面，通过受体进入细胞，破坏靶细胞的免疫防御功能．下图是某机体被 侵入后，宿主体
内T细胞相对浓度变化量随时间的变化情况．已知将 侵入机体的时刻设为0时刻，在 内T细胞
的相对浓度变化量为二次函数， 内T细胞的相对浓度变化量为反比例函数，且 时，T细胞的相
对浓度为 ．
98 / 142(1)写出C关于t的函数解析式；
(2)若T细胞相对浓度变化量在 以上时从生物学角度认为该机体患病，则求该机体患病的时间段．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数和比例函数的应用，待定系数法求函数解析式．
（1）当 时，设 ，用待定系数法求出函数解析式；当 时，设
，由反比例函数 经过 ，可求出反比例函数 的解析式；即可得解；
（2）先出当 时，t的值，进而可得答案．
【详解】（1）解：当 时，设 ，
抛物线 经过 ， ，
代入得： ，
解得： ，
，
当 时，
反比例函数 经过 ，设 ，
代入得： ，
；
（2）解： 当 时，函数 随着 的增大而增大，
此时令 ，解得 ，
当 时， 随着 的增大而减小，
令 ，则 ，
解得 ，
99 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司该机体患病的时间段为 ．
5．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡
上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里
表示起跳点A到地面 的距离， ，以O为坐标原点，以地面的水平线 为x轴， 所在的
直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距
离 与水平方向移动的距离 满足 ．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K
与 相距30 ，高度（与 距离）为5 ，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标．
(1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10 时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试
跳落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）．
(2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度 的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与 的对
应数据：
150 170 190 210 230 250 270
a
①猜想a关于 的函数类型，并求出函数解析式；
②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？
【答案】(1) ，能
(2)①成反比例函数关系， ，验证见解析；②当滑出速度 为 时，运动员的成绩恰好能达标．
【分析】本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关
键．
（1）根据题意可得抛物线经过点 ，对称轴为 ，从而得到抛物线的解析式为
，令 ，求出 ，比较即可求解；
（2）①设 ，将 代入得 ， ．将 代入 验证：当
100 / 142时， 成立，即可求解；②将 和 分别代入 ，得
， ．由 得 ，即可求解．
【详解】（1）解： 由题意得：抛物线 经过点 ，对称轴为 ，
可得 ，
解析式为 ，
令 ，则 ，
，
此运动员落地达标，
故答案为： ，能；
（2）解：①由表格数据可知， 与 的乘积相等，所以 与 成反比例函数关系．
设 ，
将 代入得 ，
解得 ，
．
将 代入 验证：当 时， 成立，
能相当精确地反映 与 的关系，即为所求的函数表达式．
②由题意可知，当运动员刚好达标即是抛物线刚好经过基准点 ，
将 和 分别代入 ，
得 ， ．
由 得 ，
又
101 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司．
答：当滑出速度 为 时，运动员的成绩恰好能达标．
押题猜想十四 几何大题综合（解答题压轴）
已知点 是等边 内一点，且 ，连接 并延长交 于点 ，将 绕点 顺时针旋
转 得到 ．
(1)如图1，若 ，请用含 的式子来表示 的度数；
(2)如图2，连接 交 于点 ，当 三点共线时，且 ．
①求证： ；
②求 的值．
【答案】(1) ；
(2)①见解析；② ．
【分析】（1）根据三角形的外角性质和三角形内角和定理求得 ，推出 ，得到
，则 ；
（2）①证明 ，推出 ，设 ，得到 ，
，推出 ，即可证明结论成立；
②作 于点 ，设 ， ，由 ，推出 ，即 ，
求得 ，进一步计算即可求解．
【详解】（1）解：如图，
102 / 142由三角形外角性质知 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
由旋转的性质知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，由（1）得 ，即 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②作 于点 ，
103 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∵ ，∴ ，
设 ， ，
由旋转的性质知 ， 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
整理得 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
押题解读：本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股
定理，二次根式的混合运算，解一元二次方程，等腰三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题
是解题的关键．
1．发现问题
（1）如图1，在 中， ，点 为线段 上的点， ，则 和 的数量关系
是_______；
104 / 142应用问题
（2）在 中， ，点 在线段 上，点 在 的延长线上，点 ，点 在线段 同侧，
，将线段 绕点 旋转使点 的对应点 落在线段 上，且 ．
①如图2，若 ，求证： ；
②如图3，若 ， ，点 ，点 为直线 ， 上的两个动点， ，点
为 的中点，直接写出线段 的最小值．
【答案】（1） ；（2）①见解析；②5
【分析】（1）由等腰三角形性质可得 ，再通过三角形内角和定理可得 ，
，则有 ，所以 ，从而求解；
（2）①取 中点 ，连接 ， ，通过证明 ，则有 ， ，结合
为 斜边 的中点，则 ，故有 ，然后通过三角形外角的性质和角
度和差得出 ，得出 ，最后利用等量代换即可证明；②作 于点 ，连接
、 、 ，利用等腰三角形的性质和三角函数的知识求出 ， ，利用垂线段最
短性质得出当 时， 有最小值，得到 ，再利用直角三角形的性质得到 ，
最后利用 即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）①证明：如图，取 中点 ，连接 ， ，
105 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 斜边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
②解：如图，作 于点 ，连接 、 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
106 / 142∴ ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
由①中的结论得， ，
当 时， 有最小值，此时 ，
∴ ，
∵ ， ，点 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当 、 、 三点共线时， 有最小值，为 ，
又∵ ，
∴ ，
∴线段 的最小值为5．
【点睛】本题考查了旋转的性质、线段最值问题、直角三角形斜边上的中线、解直角三角形、等腰三角形
的判定与性质、全等三角形的判定与性质，掌握相关知识点，结合图形构造全等三角形是解题的关键．本
题属于几何综合题，需要较强的几何知识储备和推理能力，适合有能力解决几何难题的学生．
2．在 和 中， ， ， ， ．
(1)如图 ，求证： ；
(2)当点 落在线段 上时．
如图 ，若 平分 时， ，求线段 的长；
如图 ， 是 的中点，过点 作 交 于点 ，当 时，判断线段 与 的数量
关系，并证明．
107 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】(1)见解析；
(2) ； ．
【分析】（ ）证明 ，然后根据全等三角形的性质即可求证；
（ ） 作 于点 ，求出 ，再通过等腰直角三
角形性质可得 ，又 平分 ，则 ，再得出 ，
则有 ，最后通过线段和差即可求解；
延长 交 于点 ，连接 交 于点 ，证明 ，则有 ，再证明
，所以 ，设 ，则 ，在 中，由勾股定理得
，再代入求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： 如图，作 于点 ，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
108 / 142∴ ，
∴ ；
如图，延长 交 于点 ，连接 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， 是 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等
腰三角形的判定与性质，角平分线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
3．在 中， ， ，P是边 上的一个动点（点P与A，C不重合），连
接 ，将 绕点B顺时针旋转 到 ，连接 与 交于点E．
109 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，当 时，求 的长；．
(3)如图3，过点A作 的垂线与 的延长线交于点F．探究 与 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】（1）由旋转的性质得 ， ，证明 ，即可得出结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质求得 ， ．从而求得 ，再证明
，得 ，即 ．所以 ，即可求解；
（3）在 上取点N，连接 ，使 ．再证明 ，得到 ．根据 ，
即可得出结论 ．
【详解】（1）证明：如图，
∵ ，即 ．
由将 绕点B顺时针旋转 到 ，可得： ， ，
即 ，
∴ ．
在 和 中，
∴ ，
110 / 142∴ ．
（2）解：∵在 中， ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
同理，在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
∴ ，
∴ ．
（3）解 ： ．
理由如下：在 上取点N，连接 ，使 ．
则 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
111 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴ ．
在 和 中
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判
定与性质．本题综合性强，有一定难度．
4．综合与探究
问题情境：
矩形 中， ， 的平分线交 于点E．将 绕点 顺时针旋转，得到
点A，B的对应点分别为点F，G（点G与点B不重合）．
深入探究：
(1)如图1，当点F在边 上时，求证： ；
(2)如图2，当点G在线段 上时，连接 ， ，求四边形 的面积；
(3)当点G在矩形 的对角线上时，连接 ，直接写出 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3) 或
【分析】（1）先根据旋转的性质可得 ，根据等腰三角形的性质可得 ，再根据三角
形的内角和定理可得 ，然后根据矩形的性质可得 ，由此即可得
证；
（2）设 交 于点 ，先证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，
，则 ，再证出 ，根据相似三角形的性质可得 的长，然后利用
112 / 142勾股定理求出 的长，最后根据四边形 的面积等于 求解即可得；
（3）分两种情况：①若点 在对角线 上时，过点 作 于 ，先证出点 在同一条直
线上，再求出 的长，从而可得 的长，然后利用勾股定理求解即可得；②若点 在对角线
上时，过点 作 于 ，过点 作 于 ，先根据等腰三角形的性质、勾股定理求出
的长，再证出 ，根据相似三角形的性质可得 的长，从而可得 的长，
然后利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）证明： 绕点 旋转得到 ，
，
∴ ，
．
．
矩形 中， ，
，
∴ ，
．
（2）解：如图，设 交 于点 ．
四边形 是矩形， ，
， ，
，
∴ ， ，
平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
113 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为
．
（3）解：①如图，若点 在对角线 上时，过点 作 于 ．
平分 ，
∴点 到 的距离等于 的长度．
由旋转的性质得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在同一条直线上，
114 / 142在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵在矩形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②如图，若点 在对角线 上时，过点 作 于 ，过点 作 于 ，
∵在矩形 中， ，
∴ ，
∴ ，
由上已得： ，
∴ （等腰三角形的三线合一），
在 中， ，
∴在 中， ，
115 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴ ， ， ，
由旋转的性质得： ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
综上， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知
识，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．
5．如图1，在矩形 中， ，P是线段 上一个动点（P不与A重合），以 为边在 的
上方作正方形 ，连接 ， ， ， 与 交于点G．
(1)若正方形 和矩形 的周长相等，则 的值为__________；
116 / 142(2)若 ，当 长为多少时， 是直角三角形？请说明理由；
(3)把图1沿 折叠，点F恰好落在线段 的延长线上的点 处，如图2所示，求 的值．
【答案】(1)
(2) 的长为2或 时， 是直角三角形，见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形 和矩形 的周长相等，得到 即可求解．
（2）分 和 两种情况讨论，当 时，可以得出 ，进一
步得到 即可求解；当 时，可以得到 ，进一步得到
即可求解．
（3）先利用折叠得到 ，过点G作 于M，得到 ，则 ，
设 ，得出 ，设正方形 的边长为y，利用
，得出 ，再利用相似三角形的判定与性质即可求解．
【详解】（1）解：∵在矩形 中， ，
∴在矩形 的周长为 ，
∵ 正方形 和矩形 的周长相等，
∴ ，
∴ ．
（2）解： 的长为2或 时， 是直角三角形，理由如下：
当 时，
因为正方形 中， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
117 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
因为矩形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴
∴
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为2或 时， 是直角三角形．
（3）解：由折叠可知 ，
过点G作 于M，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设正方形 的边长为y，
∴ ，
118 / 142∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用正切的概念建立相等关系解直角三角形，全等三角形
的判定与性质以及勾股定理等知识，解题关键是理解题意，发现全等三角形与相似三角形，利用三角函数
建立方程求解．
押题猜想十五 二次函数大题综合（解答题压轴）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交点 ，连接 ．
若点P是直线 下方抛物线上一动点，其横坐标为 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接 交 于点 ，当 时，求点P的坐标；
(3)设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最高点和最低点到 轴的距离分别为 ，
设 ．求出 关于 的函数解析式
119 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】(1)
(2)当 时，点 的坐标为 或
(3)
【分析】（1）由抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交点 ，再建立方程组求解即可；
（2）先求解直线 的解析式为 ， ，如图所示，过点 作 轴
交 于点 ，求解 ，证明 ， ，再进一步求解即可；
（3）设顶点坐标为 ，点 关于对称轴对称的点为 ，求解对称轴直线为 ，即 ，由题意可得，
，抛物线在点 与点 之间的部分包含点 和点 ，可得 ，求解点 关于对称轴
对称的点的坐标为 ，再分情况讨论即可；
【详解】（1）解：抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交点 ，
∴ ，
解得， ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：∵ ，
∴设直线 的解析式为： ，
∴ ，解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
∵点 是直线 下方抛物线 上一动点，其横坐标为 ，
∴ ，
如图所示，过点 作 轴交 于点 ，
120 / 142∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
整理得， ，
∴ ，
解得， ，
当 时， ，
即 ，
当 时， ，
即 ，
综上所述，当 时，点 的坐标为 或 ；
（3）解：二次函数 的图像如图所示，设顶点坐标为 ，点 关于对称轴对称的点为 ，
∴对称轴直线为 ，即
121 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由题意可得， ，抛物线在点 与点 之间的部分包含点 和点 ，
∴ ，
令 时， ，
解得， ，
∴点 关于对称轴对称的点的坐标为 ，
当 时， ，
∴ ；
当 时， ，
∴ ；
当 时， ，
∴ ；
综上所述， ；
押题解读：本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，二
次函数与线段问题，难度大，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键.
1．如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图像与 轴交于点 ，点 ，与 轴
交于点 ，点 是抛物线上一点，且横坐标是1，连接 ， ．点 是第三象限抛物线上一动点．
(1)填空； ______；
(2)如图1，过点 作 交 于点 ，连接 交 于点 ．当 最大时，点 是 轴上一个动
点，求 的最大值；
122 / 142(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线 方向平移，使平移后的抛物线经过点 ，点 是平
移后的抛物线上一点， ，连接 ．将线段 平移到线段 （点 、 分别与点 、 对应）．
若点 、 同时落在平移后的抛物线上，求点 的坐标．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出 ，待定系数法求出直线 的解析式为 ，过点 作 轴交 于 ，
过点 作 轴交 的延长线于 ，则 ，求出 ，得出 ，设
，则 ， ，证明 ，
，由相似三角形的性质结合二次函数的性质得出当 时， 有最大值，此时
，由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点 、 、 三点共线时， 的值最大，
为 ，最后两点间距离公式计算即可得解；
（3）先求出直线 的解析式为 ，由 ，可设将抛物线向右平移 个单位
长度，向上平移 个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为 ，代入点 ，求出
平移后的抛物线的解析式为 ，即可求解 ，设 向左平移 个单位，向下平移
个单位，则 ， ，将其代入 ，求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数 的图像与 轴交于点 ，
∴ ，
解得： ，
∴解析式为： ，
故答案为：1；
123 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）解：∵点 为拋物线上一点，且横坐标为1，
∴当 时， ，即 ，
设 的解析式为 ，
将 ， 代入解析式可得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
如图，过点 作 轴交 于 ，过点 作 轴交 的延长线于 ，
则 ，
在 中，当 时， ，即 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，
124 / 142此时 ，即 ，
由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点 、 、 三点共线时， 的值最大，为 ，
∴ ；
（3）解： ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入解析式
可得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，
∵将抛物线沿射线 方向平移，
∴设将抛物线向右平移 个单位长度，则向上平移 个单位长度，
∴平移后的抛物线的解析式为 ，
∵平移后的拋物线经过点 ，
∴ ，
解得： （不符合题意，舍去）或 ，
∴平移后的抛物线的解析式为 ，其对称轴为直线 ，
∵ 为平移后抛物线上一点，
∴ ，即 ，
125 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司如图：
设 向左平移 个单位，向下平移 个单位，
则 ， ，
将其代入
得：
上式 下式得， ，
解得： ，
∴ ，点 即为抛物线的顶点，
∴ ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—相似三角形的判定与性质、求一次函
数解析式、两点间距离公式，二次函数图象的平移等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当
的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与坐标轴分别相交于点A、B、 三
点，其对称轴为直线
(1)求该抛物线的表达式；
126 / 142(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线 分别与y轴、直线 交于点D、E．
①当点E是线段 的中点时，求点F的坐标；
②若 的面积分别为 ， 且满足 ，请直接写出点F的横坐标．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】本题考查了二次函数与面积的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，直线与抛物线的交点问
题，解一元二次方程，难度较大，解题的关键是将面积比进行转化．
（1）根据待定系数即可求解；
（2）①先求出 中点 的坐标，然后求出直线 的表达式，与抛物线的表达式联立即可求解交点 坐
标；
②先将面积比化为底之比得到 ，设 ，取 的中点记为点 ，则
，进行线段转化得到 为 的中点，再表示出点 的坐标，最后代入直线 的
表达式，解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：根据抛物线的对称轴为 ，
得 ，
解得 ，
将 代入抛物线可得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：①解：当 时，得 ，
解得 ， ，
， ，
∵点E是线段 的中点，
∴ ，
设 的解析式为 ，将 ， 代入 ，
得 ，
127 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解得 ，
的解析式为 ，
与抛物线解析式联立得： ，
解得： 或 ，
点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，
∴ ；
②设 的解析式为 ，将 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
取 的中点记为点 ，则 ，如图：
∴ ，
128 / 142∴ ，
∴ ，
∴ 为 的中点，
∴ ，
即 ，
将 代入 ，
得： ，
整理得： ，
解得： ，
∴点 的横坐标为 ．
3．抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线 上的
一动点，设点 的横坐标为 ．
(1)求抛物线 的表达式．
(2)如图1，连接 ，并延长 交 轴于点 ，连接 ，交 轴于点 ．点 在运动过程中，
的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
(3)将该抛物线 向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线 刚好经过点 ，点
为抛物线 对称轴上一点．在平面内确定一点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形．
129 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】(1)
(2) 的值为定值10，理由见详解
(3) 点坐标为 或
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，抛物线和菱形的综
合等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法和菱形的判定和性质．
（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）过点 作 轴于点 ，得出 ，利用相似三角形的对应边成比例，列
出关于 的代数式，化简代数式即可得出结论；
（3）根据菱形的判定和性质分类讨论，根据题意画出图形，假设出点的坐标，根据对边平行且相等列出
方程，解方程即可得出坐标．
【详解】（1）解：将 ， 两点代入 得，
解得 ，
∴抛物线 的表达式为 ；
（2）解： 的值为定值10，理由如下，
如图，过点 作 轴于点 ,则 ,
130 / 142∴ ,
即
假设点 坐标为 ，则点 坐标为 ，
∴ ， ， , ， ，
∴ ，
整理得，
∴ 的值为定值10；
（3）解：平移后抛物线 的表达式为 ，
整理得 ，
联立 ，
解得 ，
∴点 坐标为 ，
∴根据勾股定理得，
抛物线 的对称轴为直线 ，
①当以点 为圆心 长为半径画圆时，此圆与直线 无交点，因为点 到直线 的距离为
；
②当以点 为圆心 长为半径画圆时，如下图所示，
131 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司假设交点 坐标为 ，
∴
解得 或 ，
即 ，
假设 ，
∵ ,
∴ ， ； ， ；
解得 ； ；
所以此时 ；
③当 为菱形的对角线时，作 的垂直平分线，交对称轴于点 ，如下图所示，
132 / 142假设 ，
∴
即
解得
∴
假设 ，根据 得，
，
解得 ，
所以此时
综上可得 点坐标为 或 ．
4．如图 ，平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴的正半轴于点 ，
，
133 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1) ______；
(2)在第二象限的抛物线上取点 ，连接 交 于 ，连接 ，若点 的横坐标为 ， 的面积为 ，
求 与 的函数关系式．（不要求写出自变量 的取值范围）
(3)在（2）的条件下， 与 交于点 ，在第二象限取点 ，（点 不在抛物线上），再做 于
，连接 ，当 ， 时， ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据抛物线解析式得出 、 ，由 得出 ，求出
后，将点 坐标代入抛物线 即可得到 ；
（2）由抛物线解析式得 ，作 于点 ， 于点 ，证得 ，
由相似三角形的性质可得 ，求出 后即可表示出 ，最后由 即可得到 与 的函
数关系式；
（3）延长 至 ，使 ，连接 ，交 于 ，作 于 ， 于 ，证明
，由相似三角形性质求出 、 、 ，由“边角边”证明 ，设
，证得 ， ，再由三线合一可得 ，设 ，
，设 ，证明 ，由相似三角形性质得 ，解得 ，
由 求得 ，即可得 、 ，证得 ，由相似三角形性
质可得 、 、 ，得出 点坐标，并求出直线 的解析式，结合直线 解析式和抛物线解析式
即可得到点 的坐标．
【详解】（1）解：依题得： ， ，
134 / 142， ，
，
，
解得 ，
，
将点 坐标代入抛物线 ，
得 ，
．
（2）解：依题得： ，
作 于点 ， 于点 ，
则 ，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：延长 至 ，使 ，连接 ，交 于 ，作 于 ， 于 ，
135 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司中， ，
，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
设 ，
又 ，
，
，
，
，
又 ， ，
，
，
，
136 / 142，
设 ， ，设 ，
， ，
，
，
，
，
即 ，
得 ， （舍），
，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
， ， ，
，
解析式 ，
点 是抛物线与直线 的交点，
则 ，
解得 ， （舍），
，
．
【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的相关计算、待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与
性质、勾股定理解直角三角形、全等三角形的判定与性质、等角对等边、三线合一定理、解一元二次方程
137 / 142
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司的实际应用、一次函数与二次函数综合，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
5．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，抛物线 ：
经过 ， 两点，与 轴交于点 ，连接 ，且 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图2，点 为抛物线上一点，且位于第三象限， 于点 ，若 ，求点 的坐标；
(3)抛物线 与抛物线 ： 关于原点对称，抛物线 与 轴正半轴交于点 ，作 交
直线 于点 ，在抛物线 上是否存在点 ，使得∠ ，若存在，求出点 的坐标，若不
存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或 ；
(3) 或
【分析】（1）先求出 ， ，再根据 ，求出 ，利用待定系数法即可求解；
（2）取 的中点 ，在 的延长线上取点G，使点G与点F关于点B对称，得到 ，根
据 ，求出 ，证明四边形 是矩形，求出直线 ，联立
，求解即可；
（3）抛物线 与抛物线 关于原点对称，求出 的函数表达式为 ，分点
H位于第一象限，点H位于第三象限两种情讨论即可．
【详解】（1）解： 直线 与x轴，y轴分别交于点A，B，
138 / 142， ，
，
，
，
，
经过点A，B，C，
解得
抛物线的解析式为 ；
（2）解： ，
，
， ，
取 的中点 ，在 的延长线上取点G，使点G与点F关于点B对称，
，
，
， ，
，
，
四边形 是矩形，
，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司设直线 且过点 ，
，
，
或 ；
（3）解：抛物线 与抛物线 关于原点对称，
的函数表达式为 ，
点F的坐标为 ，
，
点G的坐标为 ，
在x轴上取一点P，使得 ，此时 ，
设 ，
，
，
，
，
当点H位于第一象限时，过点B作 交 的延长线于点Q，作 轴于点M，作 轴于
点N，
140 / 142设点Q的坐标为 ，
， ， ， ，
∵
∴
∵
∴ ，
，
，
，
， ，
，
，
直线 与 交于点H，
（舍去），
点H的坐标为 ，
当点H位于第三象限时，点 与点Q关于点B对称，此时 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
，
（舍去），
点H的坐标为 ，
综上所述，点H的坐标为 或 ．
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质，解直角三
角形．注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用．
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