文档内容
2025 年中考数学终极押题猜想（武汉专用）
押题猜想一 一元二次方程根与系数的关系及应用（选填）............................................................................1
押题猜想二 反比例函数的性质及应用（选填）...............................................................................................2
押题猜想三 解直角三角形及其应用（选填）...................................................................................................3
押题猜想四 几何与图象结合问题（选填）......................................................................................................5
押题猜想五 圆中的综合问题（选填）..............................................................................................................7
押题猜想六 二次函数小综合（选填）..............................................................................................................9
押题猜想七 几何求值类问题小题压轴（选填）.............................................................................................11
押题猜想八 几何最值类问题小题压轴（选填）.............................................................................................13
押题猜想九 规律探索问题（选填）................................................................................................................15
押题猜想十 新定义问题（选填）....................................................................................................................17
押题猜想十一 数与式、方程与不等式（解答题）.........................................................................................19
押题猜想十二 几何中的基本证明（解答题）.................................................................................................20
押题猜想十三 概率统计（解答题）................................................................................................................21
押题猜想十四 圆中的证明问题（解答题）.....................................................................................................26
押题猜想十五 无刻度作图（解答题）............................................................................................................28
押题猜想十六 实际应用问题（解答题）........................................................................................................31
押题猜想十七 几何大题综合（解答题压轴）.................................................................................................33
押题猜想十八 二次函数大题综合（解答题压轴）.........................................................................................36
押题猜想一 一元二次方程根与系数的关系及应用（选填）
已知a，b是关于x的一元二次方程 的两个不等的实数根，则代数式 的值是
（ ）
A．2 B． C．1 D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司押题解读：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，由根与系数的关系得 ，将分式变
形，然后代入求解，即可求解；掌握根与系数的关系：“ 、 是一元二次方程 的两个根，
则有 ”是解题的关键．
1．若 是一元二次方程 的两根，则 的值为（ ）
A．8 B．6 C．−4 D．4
2．若a，b是方程 的两个根，则 的值是（ ）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
3．已知关于 的方程 的两实数根为 ， ，若 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
4．若关于 的方程 有两个实数根，且两根之和不小于 ，则代数式
化简的结果是（ ）
A． B．1 C． D．
5．若关于 的方程 的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程
的两根之积是（ ）
A． B． C． D．
押题猜想二 反比例函数的性质及应用（选填）
已知点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，且 ，则 ， ，
的大小关系为 ．（用“ ”连接）
押题解读：本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题
的关键．先确定反比例函数图象所在象限及单调性． 根据 判断点 、 在第四象限，
2 / 42点 在第二象限． 利用单调性得出 、 、 的大小关系即可．
1．若点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
2．若点 和点 都在反比例函数 的图象上，且 ，则k的值可以是 ．
3．如果反比例函数 的图像上有两点 、 ，当 时，有 ，那么m的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若点 和点 在反比例函数 （ 为常数）的图象上，若 ，则 ，
，0的大小关系为 ．
5．函数 图象上有 两点（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
押题猜想三 解直角三角形及其应用（选填）
如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一
处．已知试管 ， ，试管倾斜角 为 ．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水
槽壁 ，延长 交 的延长线于点 ，（点 ， ， ， 在一条直线上），经测得：
， ，求铁架台和点 的水平距离 的长度（结果精确到 ）．（参考数
据： ， ， ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．33.0 B．33.8 C．26.0 D．26.8
押题解读：本题为解直角三角形的应用问题，是常见考查题型，多在填空题中出现，侧重中等难
度。主要考查解直角三角形的边角关系、矩形性质及等腰三角形判定。解题关键在于通过作辅助线构
造直角三角形与矩形，利用三角函数求线段长度，再通过角度计算推导，进而求解长度。对于此类几
何问题，要熟练掌握直角三角形边角关系、矩形性质及等腰三角形判定方法，通过作辅助线转化条件，
灵活运用已知数据进行计算。
1．如图，要测量塔的高度，在塔前平地上C处，用测角仪测得塔顶B的仰角 ，沿 方向走
到E处，测得塔顶点B的仰角 ，且量得 长为 ，测角仪的高度为 ，点C、E、A在
同一直线上，则塔 的高度为 m（参考数据： ， ， ）．
2．某数学兴趣小组用无人机测量乌鲁木齐市红山塔 的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距
水平地面 的P点，测得红山塔顶端A的俯角为 ，再将无人机面向红山塔沿水平方向飞行
到达Q点，测得红山塔顶端A的俯角为 ，求红山塔 的高度约为多少？（结果保留一位小数）（参考
数据： ， ， ）
3．为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图， 与地面
平行，坐垫C可沿射线 方向调节．已知 ，车轮半径为 ，当 时，小明体验后
觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为 ．（结果精确到1cm，参考数据：
4 / 42）
4． 市为响应“加快产业迭代升级、促进绿色生态发展”的号召，三年前决定将该市的一家高能耗工厂
进行迁建，并将其原址改建成“工业遗址文化乐园”．工程之初，施工方对厂区内的一座高炉进行了测绘，
先将测角仪放置在水平地面的 处，观测镜头 距地面 米，此时测得高炉顶端 的仰角 ，再将
测角仪移至地面的 处，测得高炉顶端 的仰角 ，已知 相距 米，高炉底部 与 在同
一水平线上．则高炉 的高度约为 米．（计算结果精确到 米）．（参考数据： ，
．）
5．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作且不易收纳．小敏设计了一种衣架，在使用
时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图①，衣架杆 ， ；若衣架收拢
时， ，如图②所示；则收拢时的宽度比松开时的宽度缩短了 ．（保留一位小数，
）
押题猜想四 几何与图象结合问题（选填）
如图，将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向槽内
匀速注水，直到水槽注满为止．能刻画水杯中水面的高度 （厘米）与注水时间 （分）的函数关系的图象
大致是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
押题解读：本题考查了函数的图象．根据将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水
杯中原有部分水，现沿水槽内壁向水橧内匀速注水，即可求出圆柱形水杯内水面的高度 与注水时间
的函数图象．
1．向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设
容器内底部所受水的压强为 （单位：帕），时间为 （单位：秒），则 关于 的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
2．如图 ，在平行四边形 中，动点 从点 出发，沿折线 方向匀速运动，运动到点 时停
止，设点 的运动路程为 ，线段 的长度为 ， 与 的函数图象如图 所示．若 的最大值为 ，则
的长为（ ）
A． B． C． D．
6 / 423．如图（1），底面积为 的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”．现向容器
内匀速注水，注满为止．在注水过程中，水面高度 与注水时间t（s）之间的关系如图（2），若“几
何体”的下方圆柱的底面积为 ，则“几何体”上方圆柱体的高是（ ）
A． B． C． D．
4．如图1，在正方形 中，动点P从点A出发，沿 的方向匀速运动，当点P到达点C时停止
运动．过点P作 ，交 于点Q．设点P运动的路程为x， ，图2是点P运动时y随x变化
的关系图象，则正方形 的边长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
5．在物理学实验中，老师和同学们设计了一个梯形轨道 来模拟物体的运动路径．已知轨道 段与
段平行（ ），且 段与水平方向成 夹角（ ）．轨道各部分的长度为
， ．实验中，两个小球 和 分别从 点和 点出发，沿 边和 边自由滑动（
不与 重合， 不与 重合）．同学们通过传感器记录 和 的中点 ， 的位置，并发现 点到 点
的距离 与小球 的位移 （ ）存在动态关系．请根据上述条件，建立 与 的函数模型，并选择
下列图象中能正确反映该函数关系的示意图．（ ）
A． B．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
押题猜想五 圆中的综合问题（选填）
如图， 是 的外接圆，弦 交 于点 ， ，过点 作 于点 ，延
长 交 于点 ，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C．8 D．
押题解读：本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理
等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键．
1．如图，点A，B，C，D都在 上， 为 的直径，且 ，若 ， ，则
的半径为（ ）
A．10 B．2 C． D．5
2．如图，在 中， ， ，以 为直径作 ，交 于点 ，点 是 上一点，
连接 并延长，交 于点 ，连接 ．若 ， ，则 的长为（ ）
8 / 42A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形 中， 是 边上一点，连接 ， ，作 的外接圆 交 于
点 ．已知 的半径为 ， ，则 ；若 ， ，则
．
4．如图，在正方形 中，先以点 为圆心， 长为半径画弧，再以 为直径作半圆 ，交前弧于
点 ，连接 ， ．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在 中， ， ， 是 的外接圆， 为 上一动点，过 作直线
的垂线，垂足为 ．在 从 沿 运动到 的过程中，点 经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司押题猜想六 二次函数小综合（选填）
如图，二次函数 的图象与x轴交于点 ，与y轴的交点B在 与 之间（不包括
这两点），对称轴为直线 ．下列结论：① ；②若点 ，点 是函数图象上两点，
则 ；③当 时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线
；④ ；⑤ ．
其中正确的有 （填序号）
押题解读：本题考查二次函数的图象与系数关系，二次函数的对称性，二次函数的增减性，二次
函数图象平移规律，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，不等式的性质，综合应用这些
知识点是解题关键．
1．已知抛物线 （a，b，c均为常数，且 ）经过点 ，下列结论：① ；②
；③当 时y随x的增大而增大；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是 个．
2．抛物线 的顶点为 ，与 轴的一个交点 在点 和 之间，其部
分图象如图，有以下结论：① ；②若 ， 是图象上的两点，则 ；③
；④若方程 没有实数根，则 ；⑤ ．其中结论正确的是 ．
10 / 423．如图，抛物线 与x轴交于点 ， ，其中 ，下列结论中正确的是
．（只填写序号）
① ；② ；③ ；④关于x的不等式 的解集为 ．
4．抛物线 （ ）的顶点为 ，与 轴的一个交点 在点 和 之间，其
部分图象如图，有以下结论： ； 若 ， 是图象上的两点，则 ；
； 若方程 没有实数根，则 ； ．其中结论正确的是
5．如图，二次函数 图像的对称轴是直线 ，下列结论：① ；② ；③
（m为常数）；④若关于x的方程 恰有三个解，则 ，其中正确
的是 （填序号）．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司押题猜想七 几何求值类问题小题压轴（选填）
如图，由三个全等的三角形（ ， ， ）与中间的小等边三角形 拼成一个大等边三角
形 ．连接 并延长交 于点 ，若 ，则：
（1） 的度数是 ；
（2） 的长是 ．
押题解读：本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，
勾股定理，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造直
角三角形和相似三角形，是解题的关键．
1．如图， 中， ，点 是 上一点， ，连接 ，沿着 翻折得到 ，
交 于点 ，延长 交 于点 ，若 ， ，则 ．
12 / 422．如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点 ， ， ，点 ， 分别为 ，
上的点，且 ， 于点 ，连接 ，若 ，则 的长为 ．
3．如图，在矩形 中， ，E是 边上的一动点，连接 ，过点D作
交 于点G，垂足为点F，连接 ．
（1）当点G恰为 中点时，则 ．
（2）当 平分 时，若 ，则 ．
4．如图，在 中， ， ．点 是边 上的一点（点 不与点 ， 重合），在射
线 上取点 ，使 ，以 为边作正方形 ，使点 和点 在直线 同侧．
（1）当 时，点 到直线 的距离为 ；
（2）连接 ，当 时，正方形 的边长为 ．
5．如图1， 中， ， ， ，点 ， 分别为 ， 的中点，连接 ．如
图 ，将 逆时针绕点 在平面内旋转，连接 ，当点 ， ， 恰好在一条直线上时， 的长为
．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司押题猜想八 几何最值类问题小题压轴（选填）
如图，已知 中三边长分别为 ， ， ，动点 在边 上运动，过点 作
， ，垂足分别为 、 ，则 的最小值为 ．
押题解读：本题考查了解直角三角形、圆内接四边形、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握
相关知识点，利用外接圆的性质求线段最值是解题的关键．
1．如图，在等腰直角三角形 中， ， ，点 为 上一点，且 ，将 绕
点 旋转，得到 ，连接 ，过点 作 于点 ，则 的最小值为 ，最大值为 ．
2．如图，已知在正方形 中， ， ， ， ，点 为 中点，连接 ，
点 为 中点．连接 ，则 的最大值为 ．
14 / 423．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与 轴、 轴分别相交于点A、B， 的圆心 的
坐标为 ，半径为1，点 是直线 上的一个动点，直线 与 相切于点 ，则线段 长度的最
小值为 ．
4．如图，矩形 中， ，点 在 上， ，点 在线段 边上运动（不与 、
重合），线段 绕着点 顺时针旋转 得到 ，连接 ．
（1）当 时，则 ；
（2）在 运动的过程中， 的最小值为 ．
5．如图，菱形 边长为 ， ， 是 的中点， ， 分别是边 ， 上的两个动点，且
，连接 、 ，则 ， 的最小值是 ．
押题猜想九 规律探索问题（选填）
已知 为实数，规定运算： ， ， ， ，…， ．按上述规
定，当 时， 的值等于（ ）
A． B． C． D．0
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司押题解读：本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算 的值即可．
1．用正方形的普通水泥砖和彩色水泥砖（阴影部分）按如图的方式铺人行道：如果每块正方形水泥砖边
长为 ，按照这种铺法（人行道恰好 宽，且人行道上全部用这两种水泥砖无缝钢满），那么当用了
块彩色水泥砖时，人行道铺了 ．
2．如图是反比例函数 的图象，点 ，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，在射线CA上，
依次截取 ，过点 ， ， ， 分别作x轴的垂线，依次交反比例函数的图
象于点 ， ， ， ．按照上述方法则线段 的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图， 个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点 ， ， ， 为边 ， ，
， ， 的中点， 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ，则
．
4．如图1，在 中， ．以这个直角三角形的三边为边分别向外作正方形．
图2由图1的两个小正方形分别向外作直角边之比为 的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的
直角边为边向外作正方形，…，按此规律，则图11中所有正方形的面积之和为（ ）
16 / 42A．400 B．350 C．300 D．250
5．在综合实践活动中，数学兴趣小组对 这n个自然数中，任取两数之差的绝对值不大于 的取法种
数k进行了探究．发现：当 时，只有 一种取法，即 ；当 时，有 和 两种取法，
即 ；当 时，可得 ；……．若 时，则k的值为 ；若 ，则k的值为
．
6．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按如下方向依次不断移动，得到 、 、
、 、 、 ，那么 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，第一象限的角平分线分别与反比例函数 ， ， ⋯的图象交
于点 ，过 分别作坐标轴的平行线，依次得到矩形 ， ， …，
其面积依次记作 ，则 可以表示为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
押题猜想十 新定义问题（选填）
已知函数 和 是关于x的函数，点 在函数 的图象上，点 在函数 的图象上，规定：当
时，有 ，那么称函数 和 具有“性质O”，则下列函数具有“性质O”的是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
押题解读：本题属于新定义类问题，根据给出定义构造方程，利用根的判别式判断方程是否有解，
从而达到解决问题的目的．
1．定义新运算： ，例如： ， ．若 ，则
x的值为 ．
2．我们定义一种新函数：形如 （ ，且 ）的函数叫做“鹊桥”函数．小明
同学画出了“鹊桥”函数 的图象（如图），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为
， 和 ；②图象具有对称性，对称轴是直线 ；③当 或 时，函数值y随x
值的增大而增大；④当 或 时，函数的最小值是0；⑤当 时，函数的最大值是4．其中正确
的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．新定义：在平面直角坐标系中，对于点 和点 若满足 时， 时，
，则称点 是点 的限变点．例如∶点 的限变点是 ，点 的限
18 / 42变点是 ，若点 在二次函数 的图像上，则当 时，其限变点
的纵坐标 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)，给出 ，则称点Q为点P的“可控
变点”，例如：点(2，3)的“可控变点”为点(2，3)，点(−1，2)的“可控变点”为点(−1，−2)，若点P在
函数 的图像上，则其“可控变点”Q的纵坐标y′关于x的函数图像大致正确的是( )
A． B．
C． D．
5．新定义： 为二次函数 （ ，a，b，c为实数）的“图象数”．如：
的“图象数”为 ．若点 ， 在“图象数”为 的二次函数
的图象上，且 ， ，则当 时， 的取值范围为（ ）
A． B． C． 或 D．
押题猜想十一 数与式、方程与不等式（解答题）
解不等式组 ，并写出所有整数解．
押题解读：本题考查一元一次不等式组的解法及整数解的确定，此考点在初中数学中属于基础且
重要内容，多在解答题中考查，难度适中。主要考查对一元一次不等式组解法的掌握，先分别求解每
个不等式，再确定不等式组的解集，最后在解集范围内找出整数解。解题关键在于正确运用不等式性
质求解每个不等式，准确确定解集的公共部分。熟练掌握一元一次不等式的解法及不等式组解集的确
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司定方法（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到）是解决此类问题的核心，这对后
续函数等知识的学习也有重要铺垫作用。
1． （1） 计算：
（2） 解方程：
2．计算： ．
3．解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来．
4．（1）解不等式： ，并把解集在数轴上表示出来；
（2）解方程：
5．先化简，再求值： ，其中 ．
押题猜想十二 几何中的基本证明（解答题）
如图，在平行四边形 中， ， ，垂足分别是E，F．
(1)求证： ；
(2)连接 ，请添加一个与角度相关的条件，使四边形 是平行四边形．（不需要说明理由）
押题解读：本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定，此考点常见于解答题，难度中等。
(1) 问借助平行四边形对边相等，对角相等的性质，结合垂直条件得到直角相等，利用全等三角形判定定
理 证明 关键在于对平行四边形性质及全等判定的熟练运用。(2)问添加与角度相关
条件使四边形为平行四边形，需依据平行四边形判定定理（如两组对边分别平行），通过角度关系（如
推导 , 结合 判定。熟练掌握平行四边形的性质与判定定理、全等三角
20 / 42形的判定方法是解题关键，这些知识对后续几何解题具有重要作用。
1．如图， 、 是平行四边形 的对角线 上的两点， ，求证：
(1) ；
(2) ．
2．如图，已知平行四边形 中，点F是对角线 上一点， ，延长 交边 于点E．
(1)求证： ；
(2)当 时，求证：四边形 是菱形．
3．如图，在矩形 中，以点 为圆心， 长为半径画弧，交边 于点 ，以点 为圆心， 长
为半径画弧，交边 于点 ，连接 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 ，则当 ______时，四边形 为菱形．
4．如图，点 在线段 上， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
5．如图，在 中， ， 分别是 ， 的中点， ，交 的延长线于点 ，连接 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)当 ________时，四边形 为菱形．
押题猜想十三 概率统计（解答题）
为了更好地满足家长和学生的需求，周口某中学积极响应国家政策开展了丰富多彩的课后延时服务活动，
为了解家长对课后延时服务的满意情况，在全校学生家长中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成
如图尚不完整的统计图．
(1)本次活动共调查了 人，扇形统计图中“不满意”部分的扇形所对应的圆心角的度数是 ；
(2)请补全条形统计图；
(3)若本校共有4800人，请通过此次问卷调查结果，估计全校家长对课后延时服务“基本满意”的人数．
押题解读：本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合，求扇形统计图圆心角，有样本估计总体，
根据条形统计图与扇形统计图的综合求出参与调查的总人数是解答本题的关键．
（1）由由条形图与扇形统计图可知：比较满意的家长人数有20人，占，求出参与调查的总人数，进
而求出扇形统计图中“不满意”部分的扇形所对应的圆心角的度数即可；
（2）求出非常满意的人数补全统计图即可；
（3）用总人数乘以“基本满意”的占比即可．
1．甲公司推出了“ ” 机器人（简称甲款），乙公司推出了“豆包”AI机器人（简称乙款）．
22 / 42有关人员开展了对甲，乙两款机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行
整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个组进行统计：A组： ，B组： ，C
组： ，D组： ），下面给出了部分信息：
甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，
100；
乙款评分数据中C组的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中 ___________， ___________， ___________；
(2)在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，分别估计对甲、乙两
款机器人评价为非常满意（D组： ）的用户人数．
2．随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间．不同的快递公司在
配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公
司中选择一家合作．为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分
析如下：
配送速度和服务质量得分统计表：
项目 配送速度得分 服务质量得分
统计
平均数（单位： 中位数（单位： 平均数（单位： 方
快递公
分） 分） 分） 差
司
甲 7.8 7.5 7
乙 m 8 7
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)补全频数直方图．并求扇形统计图中圆心角a的度数为________；
(2)表格中的 ______， ______ （填“>”“=”或“<”）；
(3)综合上表中的统计量，你认为该农产品种植户应选择________公司？
(4)从甲公司抽取获得7分的3位快递员（2名男生，1名女生），当中抽取2人再次进行配送速度调查，请
用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到的都是男生概率．
3．当前AI市场十分火爆，众多优秀 模型不断涌现．百度的文心一言在语言理解和生成方面表现出色，
阿里云的通义千问具备多轮对话等能力，它们为科技发展注入强大动力．有关人员开展了对甲，乙两款
聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分
分数用 表示，分为四个等级：非常满意A． ；满意B． ；良好C． ；不满
意D． ），下面给出了部分信息．
甲款评分数据中 组包含的所有数据为：86，87，88，88，88，89，89；
乙款评分数据中 组包含的所有数据为：84，85，86，86，87，87，87，87，87，
甲款 机器人满意度评分乙款 机器人满意度评分根据以上信息，解答下列问题：
甲款 机器人满意度评分条形统计图
乙款 机器人满意度评分扇形统计图
甲、乙两款AI机器人满意度评分统计表
设 平均 中位 众
备 数 数 数
甲
85 88
款
85 86
乙
24 / 42款
(1)上述图表中 _____， _____， _____，并将条形统计图补充完整；
(2)根据以上数据分析，你认为哪款 ，聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)在此次测验中，有280人对甲款AI聊天机器人进行评分、300人对乙款 聊天机器人进行评分．请通
过计算，估计其中对所调查的聊天机器人非常满意的用户人数共有多少？
4．为促进学生健康成长和全面发展，提高同学们的身体素质，学校积极倡导校外体育锻炼．为了解学生
校外锻炼情况，现统计九年级部分学生每周的校外锻炼时间（时间用 表示，单位：h），并对这些数据进
行统计整理．数据分成4组：A组： ；B组： ；C组： ；D组： ．
下面给出了部分信息：
a．C组数据：6，6，6，6.2，6.5，6.6，6.7，6.8，7，7，7，7.3，7.6，7.8，8，8，8，8.2，8.4，8.4，
8.5，8.8
b．不完整的学生每周校外锻炼时间的条形统计图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
(1)该校此次调查共抽取了______名学生，扇形统计图中A组对应扇形的圆心角为______ ；
(2)请补全条形统计图；
(3)抽取的九年级学生每周校外锻炼时间的中位数是______h；
(4)该校计划成立体育社团，为每周校外锻炼时间不足6小时的同学提供训练指导，目前九年级共600名学
生，计划每15名同学配1名指导教师，请估计九年级所需指导教师的人数．
5．为了了解同学们对传统节日——清明节的认识．某中学开展了“清明知识我了解”的知识竞赛．现从
该校七、八年级参赛学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（成绩为百分制．学生得分均为整数且用 表
示）进行整理、描述和分析，并将其分成四组 ， ．
下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩：84，85，86，87，88，92，95，97，97，99；
八年级10名学生的竞赛成绩在 组中的数据：91，93，94．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
平均 中位 众
年级
数 数 数
七年
91 90
级
八年
91 100
级
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ___________， ， ；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对清明节知识掌握得更好？并说明理由；
(3)若该校七年级有800名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请你估计参加此次竞赛成绩不
低于95分的学生一共有多少人．
押题猜想十四 圆中的证明问题（解答题）
如图，⊙ 是 的外接圆， ，点E为⊙ 外一点，连接 并延长，交⊙ 于点D，交
于点M，连接 ，若 ， ．
(1)如图1，求证： 是⊙ 的切线；
(2)如图2，若M为 的中点， ，求 的长．
押题解读：本题主要考查切线的性质与判定、圆周角定理、二次根式的混合运算及勾股定理等知
26 / 42识点，熟练掌握切线的性质与判定、圆周角定理及勾股定理是解题的关键．
1．如图， 为 的直径， 是 的切线，C为切点， ， ，垂足为D．
(1)若 ，求 的直径．
(2)延长 ， 相交于点F．若 ，求 ， ， 围成图形的面积．
2．如图，已知 是 的外接圆， 是直径， 的切线 与弦 的延长线交于点 为
上一点，连接 交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)过点 作 于点 ，若 ，求 的长．
3．如图， 是半圆 的直径，弦 ，点 在弦 上，连接 ， ．
(1)若 ， ， ，求 的长；
(2)在 上取一点 ，使得 ，求证： ．
4．如图， 为 的直径， 是 上一点，过点 的直线交 的延长线于点 ，作 ，垂足
为 ，已知 平分 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的值．
5．已知， 是 的弦， 于点 ，且 ，连接 ．
(1)如图1，若 是 的直径，求 的度数．
(2)如图2，求证：① ，②
押题猜想十五 无刻度作图（解答题）
如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 的顶点都是格点，仅用无刻度
的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，先将 绕点A顺时针旋转 ，得到线段 ，再在 上画点E，使得 ；
(2)在图2中，先画 平分 交 于点F，再画线段 ，使得 ，且 ．
押题解读：本题考查了作图旋转的变换，圆内接四边形，平行线分线段成比例，等腰三角形的判
定和性质，平行线的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
1．如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中有格点 ，请仅用无刻度直尺，在给定的网格
中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线，并回答下列问题：
28 / 42(1)在图1中线段 上画点D，使 ，并画出点A关于 的对称点M；
(2)在图1中线段 上画点E，使 ；
(3)如图2，点F为线段 上任意一点，在线段 上画点G，使 ．
2．如图：在 的网格中， 、 、 为格点，仅用无刻度直尺完成画图，画图过程用虚线表示，结果
用实线表示．
(1)图1，在将线段 绕 顺时针旋转 得线段 ，再在 上找一点 ，使得 ；
(2)在图2，先作 边高 ，再在 上找一点 ，使得 ．
3．如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 的4个顶点都在格点上，
E是边 与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，先画 交 于点G，交边 于点F，再在 上画点H，使得 平分 ；
(2)在图2中，先画 的高 ，再分别在边 和 上画点M、N，使得 ，且 ．
4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)线段 的长等于______；
(2)半圆O以 为直径，仅用无刻度直尺，在如图所示的网格中完成画图：
①画 的角平分线 ；
②在线段 上画点P，使 ．
5．如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中A，B，C，D都是格点，E为
与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)如图1，先将线段 绕点A顺时针旋转 到 ，再在 上画点G，使 ；
(2)如图2，先在 上画一点H，使 ，再在 上画点P，使 ．
6．如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 的顶点都是格点，仅用无
刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，D是 上一点，先画出线段 关于 的对称线段 ，再在 上画点E，使 ；
(2)在图2中，先画点B绕点A逆时针旋转 的对应点Q，再在 上画点M，使 ．
7．如图是由边长为1的小正方形构成的网格， 的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中
画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．按步骤完成下列问题：
30 / 42(1)如图（1），将线段AC绕着点A逆时针旋转 得到线段AD；
(2)如图（1），在 边上找一点 ，连接 ，使 ；
(3)如图（2），画出点 关于 的对称点 ，连接 ，在射线 上取点 ，使得 ，画出点 ．
8．如图， 的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示
结果用实线表示．
(1)在图1中，先画出 的高 ，再取 中点E；
(2)在图2中，点F为 与网格线的交点，先将 绕点B顺时针方向旋转 得到线段 ，点H与点F
为对应点，再在 上取一点P使 最小．
押题猜想十六 实际应用问题（解答题）
某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的 部分为一段抛物线，顶点 的高度为8米，它
两侧 和 是高为 米的支柱， 和 为两个方向的机动车通行区，宽都为15米，线段 和
为两段对称的上桥斜坡，其坡度（即垂直高度与水平宽度的比）为 ．以 所在直线为 轴，横
断面的对称轴为 轴建立平面直角坐标系．
(1)求桥拱 所在抛物线的解析式及 的长；
31 / 42
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2) 和 为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的 和 为两个方向的行人及非机动车通行区，
直接写出宽 的长度；
(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于 米．今有一大型运货汽车，装
载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米．它能否从桥下区域安全通过？
请说明理由．
押题解读：本题主要考查了二次函数的实际应用。具体为求抛物线的解析式，运用坡度的定义，
通过解析式求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握抛物线图象的性质．
1．冬奥会带动了滑雪运动的兴起，嘉嘉所在城市新建滑雪场，嘉嘉依据滑雪场地，
以地面（ 所在直线）为 轴，过起跳点 作 轴的垂线为 轴，构建平面直角坐标系， 米．有
一运动员通过助滑坡后从起跳点 处腾空跃起，沿运动轨迹 运动，最后着陆在滑道 上的点 处，
然后继续向 点滑行， 米．将运动员看做一点，其空中运动轨迹 段可近似看作抛物线
的一部分．已知点 为运动员在空中的最高点，点 为着陆点，且其到地面（ 所在
直线）的距离为5米．
(1)求点 坐标；
(2)求抛物线的解析式，并直接写出点 坐标：
(3)现该运动员从最高点 处开始做转体动作，已知要完整做完这个转体动作，从开始转体到动作结束至少
需40米的垂直距离．为保证在点 处安全着陆，该运动员必须在位于点 （ 为着陆坡 上一点）正上
方18米高度的点 处停止做转体动作，准备着陆．请通过计算说明该运动员能否完整做完这个转体动作．
2．今年春节长假，有各种各样以贺年为主题的小商品大受欢迎，其中就有小夜灯．近几年某商店一直坚
持以每个40元的价格出售一款小夜灯．据统计自2022年以来，该店小夜灯的销量持续增长，2022年春节
期间销售192个，到2024年春节销量达到了300个．
(1)求2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率；
(2)今年春节，该店现场销售的同时也将小夜灯按原价放到网上销售，一个月网上的销量达到了360个．为
进一步打开市场，该店决定在网上采用降价促销方式，据市场调查反映，如果调整价格，每降价1元，月
销量将增加60件．已知每个小夜灯成本为30元，当商品降价多少元时，该店网上销售的月利润可达到最
大？
3．某超市以每件20元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售
单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
32 / 422
销售单价x/元 22 24
3
5
每天销售数量y/件 56 52
4
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
(3)文具厂家进行了提价，该超市发现该文具每件的进价提高了a元．若每天销售量与销售单价仍满足第
（1）题中的函数关系，当销售单价不超过38元时，销售这种文具每天的利润随着x的增大而增大，直接
写出a的最小值．
4．嘉嘉外出游玩发现有两根相邻的电线杆，一根在平地上，一根在坡面上，它们之间的电线呈抛物线，
她建立 为1个单位长度的平面直角坐标系（如图所示）， 为两根电线杆，电线杆与地面 垂
直， 到地面的距离 ， ， ，电线在 点正上方时最低．
(1)求电线所在抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
(2)要在斜坡AC上种两排树，树与地面OB垂直，其中 两棵树在电线的正下方， ，
与 的水平距离为 ；
①当 到 的水平距离为 时， 与 两棵树中哪棵树的树顶离电线更近，请通过计算说明；
② 与 两棵树经过生长高度都增加了 后D，F都落在电线上，直接写出 到 的水平距离．
5．现有一个二级火箭进行发射．第一级运行路径形如抛物线，当运行一定水平距离时，自动引发第二级，
第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，
垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 ，且火
箭第二级的引发点坐标为
(1)求 和 的值；
(2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低 ，求这两个位置之间的水
平距离．
33 / 42
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司押题猜想十七 几何大题综合（解答题压轴）
【问题背景】
（1）如图 ，在等腰直角 中， ，点 在 上，点 在 上，且 ， 交
于 点，求证： ；
【问题拓展】
（2）如图 ，在 中，点 在 上，点 在 上， ， 交 于 点，求
的值；
【问题应用】
（3）如图 ，在等腰直角 中， ，点 在 上，点 在 的延长线上， ，连接
，过 点作 于 点， 交直线 于 点，求证：
押题解读：本题主要考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的
判定及性质，平行线的性质，同角的余角相等，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
1．已知：点C在线段 上 ，分别以 为边在线段 的同侧作正方形 和 ，
连接 ．
34 / 42(1)如图1，判断 与 的关系，并证明你的结论；
(2)如图2，将正方形 绕点C顺时针旋转，若 是等边三角形，求 的值与 的度数；
(3)如图3，将正方形BCFG绕点C顺时针旋转，当点F在BD，且 时，求 ．
2．如图1，在正方形 中， ，点P，Q分别在边 ， 上， ．将
绕点A逆时针旋转 ，连接 ， ， 所在直线交直线 于点M，连接 ．
(1) 与 的数量关系是______，位置关系是______；
(2)如图2，当 时，求证： ；
(3)如图3，若点Q与M重合于 左侧，且 ，求t的值；
(4)若 ，当点M为 中点时，直接写出 的值．
3．已知菱形 的对角线 ， 交于点 ，点 为 上一点，连接 交 于点 ．
(1)如图1，若 ，求证： ；
(2)如图2，若 ， ，求 的值；
(3)如图3，保持图2中菱形 的形状不变，移动 点，连接 ，过点 作 交 于点 ，
连接 ，若 ， ，求点 到 的距离．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司4．综合与实践：
综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动．
【问题发现】
如图 ，在矩形 中， ，点 在对角线 上，过 点分别作 和 的垂线，垂足为
， ，则四边形 为矩形．请问线段 与 的数量关系为 ．
【拓展探究】
如图 ，将图 中的矩形 绕点 逆时针旋转，记旋转角为 ，当 时，连接 ， ，
在旋转的过程中， 与 的数量关系是否仍然成立？请利用图 进行证明．
【解决问题】
如图3，当矩形 的边 时，点 为直线 上异于 ， 的一点，以 为边作正方形
，点 为正方形 的中心，连接 ，若 ， ，直接写出 的长．
5．在 中， ， ，点 为直线 上一点，连接 ．
(1)如图1，点 在线段 上，点 在线段 上，若 ， ，分别过点 作 的垂线、
点 作 的垂线交于点 ，连接 ，求 的长；
(2)如图2，点 在 延长线上， 为 边上一点，连接 ，作 交 延长线于点 ，作
于点 ．若 平分 ， ，猜想线段 与 之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在（1）的条件下，点 为直线 下方一点，连接 ， ，点 在线段 上，且
，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ，直接写
出线段 的长度的最小值．
36 / 42押题猜想十八 二次函数大题综合（解答题压轴）
二次函数 的图象过点 ， ，连接 ，点 是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，若点 在 轴左侧的抛物线上运动，平移线段 ，使其一个端点与点 重合，另一个端点恰好
落在 轴上，求点 的坐标；
(3)如图2，若点 在 轴右侧的抛物线上运动，作直线 ，交 轴于点 ，将直线 绕点 逆时针旋转
得直线 ，交 轴于点 ，连接 ．若 ，直接写出点 的坐标．
押题解读：本题考查了二次函数综合题，解题时综合运用了待定系数法求二次函数解析式，二次
函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和
性质，注意分类讨论数学思想的应用，难度较大．
1．已知：已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ，顶点为D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标；
(2)如图1，点P在抛物线的对称轴上，当 的周长最小时，求出P点坐标及 的周长；
(3)如图2，连接 ，E为线段 上一动点，求 的最小值．
2．在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线 与 轴负半轴相交于点 ，与 轴正半轴相
交于点 ，与 轴正半轴相交于点 ， ．
(1)求 ， 的值；
(2)如图1，点 为第一象限抛物线上一点，设点 的横坐标为 ，连接 、 ， 交 轴于点 ，设
的面积为 ，求 与 的函数关系式．（不要求写出自变量 的取值范围）
(3)如图2，在（2）的条件下，连接 并延长至点 ，使 ，直线 交抛物线第三象限于点 ，连
接 交 轴于点 ，直线 的解析式为 （ 为常数），求点 的坐标．
3．已知抛物线 与 轴相交于A、B两点，与 轴相交于点 ，点 为顶点．
38 / 42(1)直接写出 四个点的坐标；
(2)如图1，点 为抛物线对称轴（直线 ）上的动点，求当点 在什么位置时， 取得最值？最值是
多少？
(3)如图2，在第一象限内，抛物线上有一动点 交 于点 ，求 的最大值．
4．如图1，已知抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 为第一象限抛物线上的一动点，作 于点 ，当 最大时，求点 的坐标；
(3)如图2，将抛物线 向右平移一个单位长度得到抛物线 ，点 ， 都在抛物线 上，且分别在第一
象限和第三象限，连接 ，分别交 轴、 轴于点 ，若 ，求证：直线 经过一定
点．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴
的正半轴交于点 ，且 ，连接 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点 是直线 上方抛物线上一动点，过点 作 轴，交 于点 ，求 的
最大值及点 的坐标；
(3)将抛物线 绕点 旋转 ，得到新抛物线 ，在新抛物线 上找一点 ，使
得 ，直接写出点 的坐标．
6．如图，抛物线 经过点 ，并交 轴于另一点 ，点 在第一象限的抛
物线上， 交直线 于点 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点 为抛物线的顶点，求四边形 的面积；
(3)当 的值最大时，求点 的坐标．
7．如图， 中， ， ， ．以 为原点，直线 为 轴建立如图所示
的平面直角坐标系．抛物线 过点 ，与 轴正半轴的交点记为点 ．
40 / 42(1)用含 的代数式表示 ．
(2)若点 坐标为 ，M是抛物线上 段一动点，过点 垂直于 轴的直线交折线段 于点 ．
①求抛物线的解析式；
②若M为抛物线的顶点，求 长；
③若记②中的 长为 ，当改变 位置，使得 ，请直接写出满足条件的 横坐标 的取值范围．
8．在平面直角坐标系 中，已知顶点为 的抛物线 经过点 ，点 为 轴上
一动点，过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点（点 在点 左侧），与 轴交于 点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，当 ， 时，在 轴上有一点 ，连接 ， ，若 面积为 ，求 的值；
(3)如图2，当 ， 时，过点 作直线 与 轴、 轴分别交于 ， 两点，且直线 与抛物线
有且仅有一个公共点，连接 ，过点 作 交 轴于点 ．若 与 的面积之比等于
，求 点的坐标．
9．已知抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于C点，且 ，A点坐标为
41 / 42
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)如图1，求抛物线的解析式．
(2)如图（2），若点 是抛物线第一象限上的动点，且 点横坐标为 ，连接 ， 和 ， 的面
积为 ，求 与t之间的函数关系式．
(3)如图3，在（2）的条件下， 交y轴于点D，过P作 垂直于x轴于点 ， 是第四象限内一点，连
接 ， ， ， ，且 ，过D点作 轴，满足
，点K在线段 上，连接 ， ，且 ，求 点坐标．
42 / 42
