文档内容
2025 年中考数学终极押题猜想（湖北专用）
押题猜想一 圆综合（选择题压轴）..................................................................................................................1
押题猜想二 二次函数小题综合（选择题压轴）...............................................................................................3
押题猜想三 几何动点类图象的综合问题（选择题压轴）................................................................................5
押题猜想四 规律探索（选择题压轴）..............................................................................................................8
押题猜想五 几何求值类小题综合（填空题压轴）...........................................................................................9
押题猜想六 几何最值类小题综合（填空题压轴）.........................................................................................11
押题猜想七 数与式、方程与不等式（解答题）.............................................................................................13
押题猜想八 几何中的基本证明（解答题）.....................................................................................................14
押题猜想九 解直角三角形及其应用（解答题）.............................................................................................15
押题猜想十 概率统计（解答题）....................................................................................................................18
押题猜想十一 一次函数与反比例函数综合（解答题）..................................................................................22
押题猜想十二 圆中的证明问题（解答题）.....................................................................................................24
押题猜想十三 实际应用问题（解答题）........................................................................................................27
押题猜想十四 几何大题综合（解答题压轴）.................................................................................................30
押题猜想十五 二次函数大题综合（解答题压轴）.........................................................................................33
押题猜想一 圆综合（选择题压轴）
如图， 是 的外接圆，弦 交 于点 ， ，过点 作 于点 ，延
长 交 于点 ，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C．8 D．
押题解读：本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理
1 / 35
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司等知识点，综合性较强，掌握基本图形的性质，熟练运用勾股定理是解题关键．
1．如图，已知等边三角形 内接于 ，D是 的中点，P是 上的动点（不与点A，C重合），
连接 交 于点E，则 的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在 中， ， ， 经过A，C两点， 的延长线交 于点D．若
， ，则 的半径是（ ）
A． B． C． D．
3．如图， 为半圆 的直径，点 在半径 上， 为半圆的中点，点 在 上， ，
交 于点 ．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 外存在一点 ，过点 作两条直线 和 交 于 、 、 、 ，点 在 上，满
足 ，连接 ， ， 与 交于点 ，若 ， ， ，则
的长为（ ）
2 / 35A． B． C．2 D．
5．如图，在正三角形 中， ， ， 分别是 ， 的中点，以 为直径作 ， 是边
上的动点，连接 ，以 为直径作半圆交 于点 ，则线段 长的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．2
押题猜想二 二次函数小题综合（选择题压轴）
已知二次函数 的 与 的部分对应值如表：
x … 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
下列结论正确的是（ ）
A．
B． 的解集是
C．对于任意的常数 ，必有
D．若点 ， ， 在该函数图象上，则
押题解读：本题主要考查了二次函数的图象性质，对称轴等知识点，解决此题的关键是能根据图
表得到二次函数图象的相关性质．根据表格得到二次函数的图象，根据二次函数图象性质及对称轴，
3 / 35
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司区间的增减性即可解决此题．
1．小明从如图所示的二次函数 的图象中，观察得出了下面4条信息：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确信息的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．抛物线 的对称轴直线 ．抛物线与 轴的一个交点在点 和点 之间，其
部分图象如图所示，下列结论中：① ；② ；③关于 的方程 有两个不相等实
数根；④ ，正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④
3．如图，已知顶点为 的抛物线 过点 ，给出下列结论：① ；②对于任
意的实数m，均有 ；③ ；④若 ，则 ；⑤ ；⑥已知
点 均在抛物线上，若 ， ，，则 ．其中正确的个数有（ ）
4 / 35A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．已知二次函数 （ ）与 轴交于 、 两点，与 轴交点 的纵坐标是 ，
且 ，则以下结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．抛物线 的顶点坐标为
D．若 ，则 或
5．如图，抛物线 （ 为常数）交 轴于点 ，与 轴的一个交点在 和 之间，顶点为 ．
①抛物线 与直线 有且只有一个交点；
② 的取值范围为 ；
③若点 ，点 ，点 在该函数图象上，则 ；
④若将该抛物线向右平移 个单位，再向上平移 个单位，所得抛物线的解析式为 ；
⑤若点 关于直线 的对称点为 ，点 ， 分别在 轴和 轴上，当 时，四边形 周长的
最小值为 ．
其中正确结论的序号有（ ）
A．①②④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．②③④
5 / 35
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司押题猜想三 几何动点类图象的综合问题（选择题压轴）
如图，等边 的边长为 ，动点 从点 出发，以每秒 的速度，沿 的方向运动，
当点 回到点 时运动停止．设运动时间为 （秒）， ，则 关于 的函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
押题解读：本题是动点对应的函数图象问题，根据该函数关系式可以确定该函数的图象，解答该
题时，需要对点 的位置进行分类讨论，以防错选．
1．如图1，四边形 是平行四边形，连接 ，动点 从点 出发，沿折线 匀速运动，
回到点 后停止．设点 运动的路程为 ，线段 的长为 ，图2是 与 的函数关系的大致图象，则四
边形 的面积是（ ）
A．44 B．48 C．96 D．120
2．在物理学实验中，老师和同学们设计了一个梯形轨道 来模拟物体的运动路径．已知轨道 段与
6 / 35段平行（ ），且 段与水平方向成 夹角（ ）．轨道各部分的长度为
， ．实验中，两个小球 和 分别从 点和 点出发，沿 边和 边自由滑动（
不与 重合， 不与 重合）．同学们通过传感器记录 和 的中点 ， 的位置，并发现 点到 点
的距离 与小球 的位移 （ ）存在动态关系．请根据上述条件，建立 与 的函数模型，并选择
下列图象中能正确反映该函数关系的示意图．（ ）
A． B．
C． D．
3．如图1，在正方形 中，动点P从点A出发，沿 的方向匀速运动，当点P到达点C时停止
运动．过点P作 ，交 于点Q．设点P运动的路程为x， ，图2是点P运动时y随x变化
的关系图象，则正方形 的边长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
4．如图1，点 从 的顶点B出发，沿 匀速运动到点A，图2是点 运动时，线段 的
长度 随时间 变化的关系图象，其中曲线部分为轴对称图形， 为最低点，则 的周长是（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
7 / 35
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5．如图，在 中， ， ， ，点D，E分别在线段 ， 上，且 是
的中位线，点P从点D出发沿 向点E运动，点Q在 上且满足 ，连接 ，过点Q作
交 于点R，设点P运动的路程为x， 的面积为y，则y关于x的函数图象为（ ）
A． B． C． D．
押题猜想四 规律探索（选择题压轴）
任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，
经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点
中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．则点
经过2025次运算后得到点是（ ）
A． B． C． D．
押题解读：本题考查了规律型点的坐标，解答本题的关键是找到规律点 经过3次运算后还是
，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可．
1．观察下面两行数：
1，5，11，19，29，…；
1，3，6，10，15，…．
取每行数的第8个数，计算这两个数的和是（ ）
A．147 B．126 C．107 D．92
8 / 352．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形数阵解释二项式 展
开式的各项系数，这一数学发现比欧洲早近 年，此三角形被后人称为“杨辉三角”．在“杨辉三角”
中，两边上的数都是 ，其余每个数是它上方的（左右）两数之和．如 ， ，．．．，若从
第三行的“ ”开始，按箭头所指依次构成一列数： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，则这
列数中第 个数是（ ）
A．56 B．42 C．28 D．8
3．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积
的一半，依此类推，则 ．借助图形，则
（ ）
A． B． C． D．
4．等角螺线在自然界中很常见．如图，连接大正六边形六条边的中点，形成一个小的正六边形，再连接
小正六边形六条边的中点，形成一个更小的正六边形，重复多次，可形成以逆时针方向环绕的等腰三角形
串（如阴影部分所示），这个三角形串就是一个简单的等角螺线．若大正六边形的边长为1，则该等角螺
线中第8个等腰三角形的顶角顶点与大正六边形中心的距离为（ ）
A． B． C． D．
9 / 35
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5．如图，动点 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点 ，第2次接着
运动到点 ，第3次接着运动到点 ，……，按这样的运动规律，经过第47次运动后动点 的坐标
是（ ）
A． B． C． D．
押题猜想五 几何求值类小题综合（填空题压轴）
如图，矩形 中， ， 为 上靠近点 的三等分点， 为 上一点， ，
，则 ．
押题解读：本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，含 角的直角三角形的性质，
圆的基础知识，掌握矩形的性质，同弧所对圆周角相等是关键．
1．如图，点 在菱形 的边 上，将 沿 折叠，使点 的对应点 恰好落在边 上．若
，则 的值是 ．
2．如图，正方形 的对角线 ， 相交于点 ，点 为 上一点，连接 并延长交 于点 ．
10 / 35若 ， ，则正方形 的周长为 ．
3．如图，在矩形 中， ，E是 边上的一动点，连接 ，过点D作
交 于点G，垂足为点F，连接 ．
（1）当点G恰为 中点时，则 ．
（2）当 平分 时，若 ，则 ．
4．如图，在正方形 中，点 是对角线 的中点，点 在线段 上，连接 并延长交 于点 ，
过点 作 交 于点 ，连接 交 于 ，
（1）则 °．
（2）若 ， ，则 ．
5．如图，在正方形 中，点M是线段 延长线上的一点，线段 与 ， 分别交于点P，H，
过点P作 的垂线交 于点N，连接 ，若 ，则 ．
押题猜想六 几何最值类小题综合（填空题压轴）
11 / 35
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司如图，在菱形 中， ， ，点 、 分别是边 、 上的动点，且 ，则
的最小值是 ．
押题解读：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，
全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
1．如图，在正方形 中， ，点 是 边的中点，点 、 是 边上的两个动点且 ，
连结 、 ，则 的最小值为 ．
2．如图，已知 中三边长分别为 ， ， ，动点 在边 上运动，过点 作
， ，垂足分别为 、 ，则 的最小值为 ．
3．如图，在 中， ， ，点 是平面内一点，且 ．过点 作
于点 ．
①若 ，则 的长为 ；
②当线段 绕点 在平面内旋转时，线段 长度的最大值为 ．
4．如图，菱形 边长为 ， ， 是 的中点， ， 分别是边 ， 上的两个动点，且
12 / 35，连接 、 ，则 ， 的最小值是 ．
5．如图，在平行四边形 中， ， ， ． 为边 的中点， 为边 上的一动
点，将 沿 翻折得 ，连接 ， ，则 面积的最小值为 ．
押题猜想七 数与式、方程与不等式（解答题）
（1）计算：
（2）解下列一元一次不等式组，并在数轴上表示解集：
押题解读：本题考查了实数的运算，解一元一次不等式组，涉及特殊角的三角函数值，零指数和
负整数指数幂，二次根式的加减法运算，掌握运算法则，正确计算是解题的关键．
（1）分别化简计算零指数幂、负整数指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值，再进行加减计算；
（2）先求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分作为不等式组的解集，再画数轴表示解集．
1．计算： ．
2．（1）计算： ．
（2）化简： ．
13 / 35
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司3．解不等式组： ，并写出该不等式组的正整数解．
4．解不等式组 并把它的解集表示在数轴上．
5．（1）先化简，再求值： 其中 ．
（2）解不等式组： ，并将解集在数轴上表示出来．
押题猜想八 几何中的基本证明（解答题）
如图，已知平行四边形 中，点F是对角线 上一点， ，延长 交边 于点E．
(1)求证： ；
(2)当 时，求证：四边形 是菱形．
押题解读：本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行
四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键
1．如图，在 中，点E，F分别在边 上， ．求证： ．
14 / 352．如图，已知 ， ， 与 交于点M．过点C作 ，过点B作 ，
与 交于点N．
(1)求证： ；
(2)已知 ，求 的长．
3．如图，在 中， ，D是 内一点，连接 ，将线段 绕点C逆时针旋转到 ，使
，连接 ．
(1)求证： ．
(2)当 时，求 与 的度数和．
4．如图，点 在菱形 的对角线 上，射线 交 于 ， ．
(1)尺规作图：在 延长线上找一点 ，使得四边形 为平行四边形；
(2)在（1）的前提下， 交 于点 ，若 ，求 的长度．
5．如图，点 在直线 上， ， 与 交于点 ．求证：
(1) ；
(2) ．
15 / 35
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司押题猜想九 解直角三角形及其应用（解答题）
如图，地面上的点 到两个山峰 的峰顶有两条索道 ．在点 处测得峰顶 的仰角为 ，峰
顶 的仰角为 ．已知索道 的长度为2千米．为进一步方便游客，现准备新建一条与地面平行的索道
，与索道 相交于点 ．求新建索道 的长．（精确到0.01千米，参考数据： ）
押题解读：本题考查解直角三角形的实际应用，此考点在各类考试中较为常见，多以解答题形式呈现，
难度适中。主要考查对特殊角度（如 30°、45°）三角函数值的运用，以及将实际问题转化为数学模型（直
角三角形）的能力。解题关键在于准确识别直角三角形，利用特殊角的三角函数计算边长。熟练掌握特殊
角的三角函数值，正确构建直角三角形模型是解决此类问题的核心，这对后续学习三角函数在实际生活中
的应用（如测量高度、距离等）具有重要的铺垫作用。
1．小鹏想测量学校内一棵古树的高度．如图，小鹏在B 处测得树顶A的仰角α为 ，然后他向前走了
到达C处，测得树顶A的仰角β为 ．已知 ，点B，C，O在同一条直线上，请你帮
助小鹏计算出古树的高度 ．(结果精确到 ，参考数据： ， ，
， )
2．如图，某农业示范基地用无人机对一块试验田进行检测作业，在距离试验田 （ 为水平状态）高
度为 的点 处测得边界 处的俯角为 ，无人机垂直下降 至 处，又测得边界 处俯角为 ．
已知点 ， ， ， 在同一平面内，求试验田边界 ， 之间的距离（参考数据： ，
， ， ，结果精确到 ）．
16 / 353．图1是某路灯的实物图，图2是其平面示意图．某数学项目学习小组要测量某路灯 的顶部到
地面的距离 ．已知该小组测得 ， ， ．根据以上测量结果，请你帮助该小组
计算路灯顶部到地面的距离 ．（结果精确到 ，参考数据： ， ，
）
4．2022年11月29日，“神舟十五号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成果发射．2023年2月9日神
舟五号航天员进行了出舱活动，为了确保任务的圆满完成，航天员借助机械臂进行舱外作业．如图是处于
工作状态的某型号手臂机器人示意图， 是垂直于工作台的移动基座， 为机械臂，
．（参考数据：
）．
(1)求机械臂端点C到工作台的距离 的长（结果精确到 ）
(2)求 的长．（结果精确到 ）
5．“一缕清风银叶转”，某市大型风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电
能，造福千家万户，某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两
所成的角为 ，当其中一片风叶 与塔干 叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶
部O的仰角 ，风叶 的视角 ．
17 / 35
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算 的值；
(2)求风叶 的长度．
押题猜想十 概率统计（解答题）
某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宰命昂学习科学
知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：A．微重力环境下的太空“冰雪”实验，B．液桥端示实验，
C．水油分离实验．D．太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查．
将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据图中信息，回答下列问题：
(1)共调查了_______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为_______；
(2)请补全条形统计图：
(3)若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图
的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率．
押题解读：本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，从统计图中获
取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键．
18 / 351．某校为倡导环保理念，随机抽查了部分学生家庭一学期产生的废旧电池数量，将样本数据进行整理，
用x（单位：节）表示废旧电池数量，分成四组：A． ，B． ，C． ，D．
，E． ．分组数据中，常用各组的组中值代表各组的实际数据．整理后绘制如下不完整的频数分
布直方图和扇形统计图：
(1)补全频数分布直方图，并计算A组扇形对应的圆心角的度数；
(2)若该校共有1200户学生家庭，估计一学期产生废旧电池不少于7节的户数；
(3)计算样本数据的平均数．
2．2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，维护国家安全是每个公民的基本义务．为增强国家安
全意识，某校八、九年级部分学生参加了国家安全法知识竞赛．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取20
名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析．成绩（用 表示，单位：分）分为 ， ， ， 四个等级，
分别是：
． ； ． ； ． ； ． ．
下面给出了部分信息：
九年级20名学生的成绩为：1 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ；
八年级 等级的学生成绩为： ， ， ， ， ， ， ， ．
八、九年级所抽学生成绩统计表
平均 中位 众
年级 方差
数 数 数
19 / 35
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司九年
级
八年
级
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中， ______， ______， ______；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理
由即可）
(3)该校八年级有200名学生、九年级有180名学生参加了此次竞赛，估计该校八、九年级参加此次竞赛成
绩为 等的学生人数是多少？
3．为树立学生的劳动观念，某中学开展了劳动技能大赛，经过五轮比赛，最终甲、乙、丙三位选手获得
一等奖．小明同学对三位选手的五轮得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息
如下：
信息一：甲、乙两位选手的得分折线图：
信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3；
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数、方差数据如下：
选手
统计 甲 乙 丙
量
平均
数
中位
数
____
方差
_
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中 ， ，c的值： ________， ________， ________；
20 / 35(2)根据以上信息可知，选手________发挥的稳定性更好（填“甲”或“乙”）．
(3)该校现准备推荐一位选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手？请说明理由．
4．学校为重点抓好学生“防溺水”安全教育，对部分学生就安全知识的了解程度进行了随机抽样调查，
并绘制了如图所示的两幅统计图，形成如下报告：
结合调查信息，回答下列问题：
(1)本次调查共抽查了______名学生，其中“基本了解”安全知识的学生人数是______；
(2)若该校有1000名初中生，请估计该校“非常了解”安全知识的人数约有______；
(3)某班有3名男生和1名女生参加“防溺水安全比赛”的选拔，两名学生被选中，则恰好选中1名男生和
1名女生的概率是______；
(4)请你就如何提高防溺水安全意识向该校提一条合理建议．
5．为倡导健康生活方式，国家将“体重管理”纳入健康战略．国际上常用身体质量指数（ ）来衡量
人体胖瘦程度，其计算公式是 ．中国人的 数值标准为： 为偏瘦；
为正常； 为偏胖； 为肥胖．某校为调查九年级学生的胖瘦程度，从
该年级随机抽取10名学生，测得他们的身高和体重，并计算出相应的 数值．
【收集数据】
九年级10名学生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体重 59.0 62.4 70.0 70.6 63.8 57.8 64.2 72.7 54.0 52.2
身高 1.64 1.73 1.72 1.78 1.85 1.70 1.56 1.61 1.62 1.64
21.9 20.8 23.7 22.3 18.6 26.4 28.0 20.6 19.4
【整理数据】
21 / 35
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司九年级10名学生 频数分布表
组别 频数
0
1
【应用数据】
(1)求数据统计表中 的值，并直接写出 的值．
(2)请估计该校九年级300名学生中 的人数．
押题猜想十一 一次函数与反比例函数综合（解答题）
如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于
P，Q两点，且点P的纵坐标为3，点 ．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)请直接写出关于x的不等式 的解集；
(3)若点M在x轴上，且 的面积是 的面积的3倍，求点 的坐标．
押题解读：本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形
的面积求点的坐标．
（1）利用待定系数法求出 ，再求得点P的坐标为 ，利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题；
22 / 35（3）根据 ，求出 的面积，再根据 的面积是 面积的一半，构建方程
求得 的长，即可解决问题．
1．如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于 、A两点，与反比例函数 的图像分别交于
两点，点 的坐标为 ．
(1)求 和 的值；
(2)求 的面积．
2．如图，已知点 ，以 为边作等边三角形 ，点B在第一象限，点C是 边上的动点，经过
点C的反比例函数 的图像与 边交于点D，连接 ．
(1)求线段 所在直线的解析式；
(2)若 ，求此时k的值．
3．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
23 / 35
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)直线 与y轴交于点C，点D，E分别在一次函数和反比例函数的图象上，当四边形 是平行四边
形时，求点D的坐标．
4．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象分别交于点 和点 ，
且与x轴交于点 ．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)将直线 向上平移 个单位，平移后的直线与 的图象在第一象限交于点P，
若 ，求平移距离d．
5．如图，四边形 为矩形，点 在 轴正半轴上，点 在 轴正半轴上，点 的坐标为 ，反
比例函数 的图像与边 分别交于点 （不与边的端点重合），连接 ， ， ．
(1)若 为边 的中点，求 的值及点 的坐标；
(2)若 ，求 的面积．
押题猜想十二 圆中的证明问题（解答题）
如图， ， 是⊙ 的直径，连接 ， ，过点 作 于点 ， 交 于点 ，交⊙ 于
另一点 ，过点 作⊙ 的切线交 的延长线于点 ．
24 / 35(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求⊙ 的半径．
押题解读：本题考查切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定
理等知识，熟练掌握切线的性质以及相似三角形的性质是解答的关键．
1．如图， 是 的直径， ， 交 于点 ，过点 作 的切线交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)过点 作 交 的延长线于点 ．若 ， ，求 的长．
2．如图所示，菱形 的顶点A，B，D都在 上，延长 交 于点E，连接 ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)已知菱形的边长为3， ，求四边形 的面积．
25 / 35
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司3．如图， 为 半径，点B在 上， ，连接 交 于点D， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
4．如图，在 中， ， 是 上一点， ，以 为直径作 交 于点 ，射
线 交 于点 ，且 为 的中点，连 交 于点 ，连接 ， ．
(1)若 为 的中点，求证： ；
(2)若 ， ，求 值和 的半径．
5．如图，在 中， ， 是 上一点， 经过点 ，与 相切于点 ，点 、 分别是
与 的交点，且 ．
(1)求 的度数．
(2)若 ，求图中阴影部分的面积为多少？
26 / 35押题猜想十三 实际应用问题（解答题）
春节期间，由“饺子”编剧并执导的奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评．某商家抓
住商机，随即销售一种成本为每件20元的特色哪吒纪念品．经销售发现：当售价为每件30元时，每天可
售出100件；售价每上涨2元，日销量就会减少4件；售价每下降1元，日销量就会增加5件．设该纪念
品的售价为每件 元（ 为整数且 ），每天的销售量为 件．
(1)求出 与 的函数关系式；
(2)该纪念品售价定为多少元时，商家每天获得的销售利润最大？最大利润是多少？
押题解读：本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）分情况列出一次函数关系式即可；
（2）根据题意，求出每种情况的最大利润，再比较即可得出答案．
1．在生物实验中，研究人员对某种微生物在特定营养液中的繁殖情况进行观测．发现微生物的数量增长
速率v（个/时）与营养液中关键营养物质的浓度x（ ）密切相关，通过一系列实验记录得如下数据：
3
营养物质浓度x/（ ） 0 10 20 40
0
1
微生物数量增长速率 v/（个/时） 0 12 18 12
8
(1)请根据表中数据，在平面直角坐标系中绘制出微生物数量增长速率v随营养物质浓度x变化的大致图象．
(2)经分析，该关系可以用二次函数 来描述，请利用表格中的数据，通过解方程组的方式求
出a、b、c的值（结果保留2位小数）．
(3)若希望微生物数量增长速率v不低于15个/时，则营养物质浓度x的范围应是多少？（结果保留2位小数，
）
2．在某场篮球比赛中，李飞在距篮圈中心正下方 处跳起投篮，球运行的路线大致是抛物线．当球运行
到距离李飞的水平距离为 时，达到最大高度 ，然后准确落入篮圈．已知篮圈到地面的距离为
．
27 / 35
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．
(2)李飞身高 ，再这次跳投中，球在他头顶上方 处出手，问：球出手时，李飞跳离地面的高度是
多少？
(3)此时，若对方队员小刚在李飞前面跳起最大高度为 时，盖帽拦截获得成功，那么小刚是在李飞前
面多远距离跳起盖帽拦截的？
3．随着高产农田项目的推进，新型灌溉方式——喷灌逐步推广，如图1，它比传统的渠道灌溉节省了土地，
减少了水资源的浪费．为此，学校数学兴趣小组开展数学项目式实践活动，对某种喷灌系统建立数学模型．
如图2，以喷水管 所在直线为 轴，地面为 轴，喷水管的底部为原点 建立平面直角坐标系，喷出的
水柱最外层的形状为抛物线， 轴上的点 为水柱的最外落水点．经测量：以点 为喷水口，水管高度
，喷水管底部点 与点 的距离为 ， ，在 点用标杆测得 ．
(1)求最外层水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)观察到该喷灌系统可顺、逆时针往返喷洒，但平面旋转角度不超过 ，且喷出的水可渗透到 外，
这个喷头最多可灌溉多少平方米土地?
(3)同学们把喷水管换成了不同的长度，水压不变，观察到：水柱的最外落水点 与 点的距离也不同，测
量数据如下：
喷水管长度 1.0m
的距离
若 与 成二次函数关系，求：
①当喷水管长度为_____ 时，水柱的最外落水点 与 点的距离最大；
②最大距离为多少米?
4．人类免疫缺陷病毒（ ）是造成人类免疫系统缺陷的一种逆转录病毒．这一病毒会攻击并逐渐破坏
人类的免疫系统，致使宿主在被感染时得不到保护． 攻陷人体免疫系统的原理是吸附于靶细胞（主要
是T细胞）表面，通过受体进入细胞，破坏靶细胞的免疫防御功能．下图是某机体被 侵入后，宿主体
内T细胞相对浓度变化量随时间的变化情况．已知将 侵入机体的时刻设为0时刻，在 内T细胞
28 / 35的相对浓度变化量为二次函数， 内T细胞的相对浓度变化量为反比例函数，且 时，T细胞的相
对浓度为 ．
(1)写出C关于t的函数解析式；
(2)若T细胞相对浓度变化量在 以上时从生物学角度认为该机体患病，则求该机体患病的时间段．
5．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡
上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里
表示起跳点A到地面 的距离， ，以O为坐标原点，以地面的水平线 为x轴， 所在的
直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距
离 与水平方向移动的距离 满足 ．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K
与 相距30 ，高度（与 距离）为5 ，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标．
(1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10 时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试
跳落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）．
(2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度 的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与 的对
应数据：
150 170 190 210 230 250 270
a
①猜想a关于 的函数类型，并求出函数解析式；
②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？
29 / 35
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司押题猜想十四 几何大题综合（解答题压轴）
已知点 是等边 内一点，且 ，连接 并延长交 于点 ，将 绕点 顺时针旋
转 得到 ．
(1)如图1，若 ，请用含 的式子来表示 的度数；
(2)如图2，连接 交 于点 ，当 三点共线时，且 ．
①求证： ；
②求 的值．
押题解读：本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股
定理，二次根式的混合运算，解一元二次方程，等腰三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题
是解题的关键．
1．发现问题
（1）如图1，在 中， ，点 为线段 上的点， ，则 和 的数量关系
是_______；
应用问题
（2）在 中， ，点 在线段 上，点 在 的延长线上，点 ，点 在线段 同侧，
，将线段 绕点 旋转使点 的对应点 落在线段 上，且 ．
30 / 35①如图2，若 ，求证： ；
②如图3，若 ， ，点 ，点 为直线 ， 上的两个动点， ，点
为 的中点，直接写出线段 的最小值．
2．在 和 中， ， ， ， ．
(1)如图 ，求证： ；
(2)当点 落在线段 上时．
如图 ，若 平分 时， ，求线段 的长；
如图 ， 是 的中点，过点 作 交 于点 ，当 时，判断线段 与 的数量
关系，并证明．
3．在 中， ， ，P是边 上的一个动点（点P与A，C不重合），连
接 ，将 绕点B顺时针旋转 到 ，连接 与 交于点E．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，当 时，求 的长；．
(3)如图3，过点A作 的垂线与 的延长线交于点F．探究 与 的数量关系，并说明理由．
4．综合与探究
问题情境：
矩形 中， ， 的平分线交 于点E．将 绕点 顺时针旋转，得到
点A，B的对应点分别为点F，G（点G与点B不重合）．
深入探究：
31 / 35
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)如图1，当点F在边 上时，求证： ；
(2)如图2，当点G在线段 上时，连接 ， ，求四边形 的面积；
(3)当点G在矩形 的对角线上时，连接 ，直接写出 的长．
5．如图1，在矩形 中， ，P是线段 上一个动点（P不与A重合），以 为边在 的
上方作正方形 ，连接 ， ， ， 与 交于点G．
(1)若正方形 和矩形 的周长相等，则 的值为__________；
(2)若 ，当 长为多少时， 是直角三角形？请说明理由；
(3)把图1沿 折叠，点F恰好落在线段 的延长线上的点 处，如图2所示，求 的值．
32 / 35押题猜想十五 二次函数大题综合（解答题压轴）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交点 ，连接 ．
若点P是直线 下方抛物线上一动点，其横坐标为 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接 交 于点 ，当 时，求点P的坐标；
(3)设该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）的部分的最高点和最低点到 轴的距离分别为 ，
设 ．求出 关于 的函数解析式
押题解读：本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，二
次函数与线段问题，难度大，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键.
1．如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图像与 轴交于点 ，点 ，与 轴
交于点 ，点 是抛物线上一点，且横坐标是1，连接 ， ．点 是第三象限抛物线上一动点．
(1)填空； ______；
(2)如图1，过点 作 交 于点 ，连接 交 于点 ．当 最大时，点 是 轴上一个动
点，求 的最大值；
33 / 35
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线 方向平移，使平移后的抛物线经过点 ，点 是平
移后的抛物线上一点， ，连接 ．将线段 平移到线段 （点 、 分别与点 、 对应）．
若点 、 同时落在平移后的抛物线上，求点 的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与坐标轴分别相交于点A、B、 三
点，其对称轴为直线
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线 分别与y轴、直线 交于点D、E．
①当点E是线段 的中点时，求点F的坐标；
②若 的面积分别为 ， 且满足 ，请直接写出点F的横坐标．
3．抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点 是抛物线 上的
一动点，设点 的横坐标为 ．
(1)求抛物线 的表达式．
(2)如图1，连接 ，并延长 交 轴于点 ，连接 ，交 轴于点 ．点 在运动过程中，
的值是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
(3)将该抛物线 向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到如图2所示的抛物线 刚好经过点 ，点
为抛物线 对称轴上一点．在平面内确定一点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形．
4．如图 ，平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴的正半轴于点 ，
34 / 35，
(1) ______；
(2)在第二象限的抛物线上取点 ，连接 交 于 ，连接 ，若点 的横坐标为 ， 的面积为 ，
求 与 的函数关系式．（不要求写出自变量 的取值范围）
(3)在（2）的条件下， 与 交于点 ，在第二象限取点 ，（点 不在抛物线上），再做 于
，连接 ，当 ， 时， ，求点 的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，抛物线 ：
经过 ， 两点，与 轴交于点 ，连接 ，且 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图2，点 为抛物线上一点，且位于第三象限， 于点 ，若 ，求点 的坐标；
(3)抛物线 与抛物线 ： 关于原点对称，抛物线 与 轴正半轴交于点 ，作 交
直线 于点 ，在抛物线 上是否存在点 ，使得∠ ，若存在，求出点 的坐标，若不
存在，请说明理由．
35 / 35
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
