文档内容
2025 年中考数学终极押题猜想（江苏苏州专用）
（高分的秘密武器：终极密押+押题预测）
押题猜想一 几何与图象结合问题 ......................................................................................................................... 1
押题猜想二 函数与几何中的面积问题 ................................................................................................................. 6
押题猜想三 几何中的折叠问题 ........................................................................................................................... 16
押题猜想四 函数与几何中的最小值问题 ........................................................................................................... 20
押题猜想五 函数与几何中的最大值问题 ........................................................................................................... 26
押题猜想六 函数与几何中的取值范围问题 ....................................................................................................... 32
押题猜想七 函数与几何中的新定义问题 ........................................................................................................... 42
押题猜想八 二次函数与等角、倍角问题 ........................................................................................................... 53
押题猜想九 二次函数与线段数量关系问题 ....................................................................................................... 58
押题猜想十 综合与实践 ....................................................................................................................................... 69
押题猜想一 几何与图象结合问题
如图1，E为矩形 A B C D 的边AD上一点，点P从点B出发沿折线 B E − E D − D C 运动到点C停止，点Q从
点B出发沿 B C 运动到点C停止，它们运动的速度都是 1 c m / s ．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为
t(s)， B P Q 的面积为 y ( c m 2 ) ，已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当 0 t 1 0 时，
B P Q 是等腰三角形；② S
△ A B E
= 4 8 c m 2 ；③当14t22时，y=110−5t；④在运动过程中，使得 ABP是
等腰三角形的P点一共有3个；⑤ B P Q 与 A B E 相似时， t = 1 4 .5 ．对以上结论判断正确的是（ ）A．①③⑤ B．①②③ C．①③④⑤ D．②③⑤
【答案】A
【分析】由图2可知，整个运动过程分为 3 段，故点P到达 E 时，点 Q 同时到达 C ，由此可知 B C = B E = 1 0 ，
E D = 4 ， A E = A D − E D = 6 ，由勾股定理求得 A B = 8 ，由此分别分析各命题的正误．
【详解】解：由图可知，BC=BE=10， E D = 1 4 − 1 0 = 4 ，
四边形ABCD是矩形，
A D = B C = 1 0 ，AB=CD．
A E = A D − E D = 1 0 − 4 = 6 ，
A B = B E 2 − A E 2 = 1 0 2 − 6 2 = 8 ，
C D = A B = 8 ．
对于①，当 0 t 1 0 时，点P在 B E 上，点 Q 在 B C 上，且BP=BQ，
B P Q 是等腰三角形，①正确；
对于②， S
△ A B E
=
1
2
A B A E =
1
2
8 6 = 2 4 c m 2 ，②错误；
对于③， B E + E D = 1 4 c m ，BE+ED+DC=10+4+8=22cm，
当 1 4 t 2 2 时，点 P 在 C D 上，点 Q 在 C 处，
y =
1
2
1 0 ( 2 2 − t ) = 1 1 0 − 5 t ，③正确；
对于④，如图，以点 B 为圆心， A B 长为半径画弧，交 B E 于 P
1
，当点 P 位于 P
1
处时， A B P 是等腰三角形；
以点A为圆心， A B 长为半径画弧，交 E D 于P，当点P位于P处时，
2 2
A B P 是等腰三角形；
作AB的垂直平分线，交 B E 于P，交CD于P，当点P位于P或P处时，
3 4 3 4
A B P 是等腰三角形．
综上，运动过程中，使得 ABP是等腰三角形的点P一共有4个，④错误；
对于⑤， △BEA是直角三角形，
当且仅当点P在CD上时， BPQ与△BEA相似，此时BQ=BC=10，PQ=22−t，且A=BQP=90，
A
B
B
Q
=
A
P
E
Q
或
A
P
B
Q
=
A
B
E
Q
，
8 6 8 6
即 = 或 = ，
10 22−t 22−t 10
解得 t = 1 4 .5
26
或t = （舍去）．
3
当 BPQ与 △ B E A 相似时，t=14.5，⑤正确．
综上可得，正确的有：①③⑤．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，函数图象与动点问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与
判定，一次函数的应用，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．
押题解读：本题考查了矩形的性质，函数图象与动点问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的
性质与判定，一次函数的应用，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键。
1．如图，矩形 A B C D 中， A B = 5 c m ， B C = 4 c m ，动点M从点A出发以1cm/s的速度沿折线 A B − B C 运动
到点C停止．连接 A M ，作 M N ⊥ A M 交CD于点N．设点M运动 ts 时，CN长为ycm，则y关于t的函数
图象大致为（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】分点M在 A B 和 B C 上运动两种情况，分别根据矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及二次函
数的性质求出函数解析式，最后根据函数解析式判断即可．
【详解】解：①当点M在边 A B 上时，即 0 t 5 ，
∵MN⊥AB，
∴四边形 M B C N 为矩形，
∴ C N = M B = A B − A M ，
即 y = 5 − t ( 0 t 5 ) ，
此时，图象为一次函数；
②当点M在边 B C 上时，即 5 t 9 ，则 M B = t − 5 ， C M = 4 − ( t − 5 ) = 9 − t ，
如图所示：
∵ M N ⊥ A M ，
∴NMA=90，
∴NMC+AMB=90，
∵ A M B + M A B = 9 0 ，
∴ M A B = N M C ，
∵C=B=90，
∴ M N C ∽ A M B ，
CN CM
∴ = ，
BM BA
CMBM
即CN = ，
BA
∵ B M = t − 5 ， A B = 5 ，CN = y， C M = 9 − t ，
∴ y =
( 9 − t )
5
( t − 5 )
= −
1
5
( t 2 − 1 4 t + 4 5 ) = −
1
5
( t − 7 ) 2 +
4
5
，
4
此时，图象为二次函数，最大值为 ；
5
只有D选项中图象符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的图象等知识点，根据题意确定函|数解析式是解答本题的关键．
2．如图（1）所示， E 为矩形 A B C D 的边 A D 上一点，动点 P ，Q同时从点 B 出发，点 P 沿折线 B E − E D − D C
运动到点 C 时停止，点 Q 沿BC运动到点 C 时停止，它们运动的速度都是1 c m /秒．设 P 、 Q 同时出发 t 秒时，
B P Q 的面积为 y c m 2 ．已知 y 与 t 的函数关系图象如图（2）（曲线 O M 为抛物线的一部分），则下列结论：
① A D = B E = 5 ；② c o s A B E =
3
5
；③当 0 t 5 时， y =
4
5
t 2
29
；④当t = 秒时，
4
A B E ∽ Q B P ；其中正
确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【分析】根据函数图象得到 B E = B Q = 5 c m ，结合矩形性质和三角形面积公式得到AB=CD=4cm，利用勾
股定理和函数图象得到 A D ，即可判断①；结合余弦定义，即可判断②，当0t5时，设y=at2，利用待
定系数法求出二次函数解析式，即可判断③，相似三角形判定定理证明，即可解题．
【详解】解：①由图（2）知，当t=5时， y = 1 0 ，
由题知，当t=5时，BE=BQ=5cm，
四边形 A B C D 为矩形，
A B = C D =
1 0
5
2
= 4 c m ，
M 与 N 间距为 2 ，
D E = 2 c m ，
A E = B E 2 − A B 2 = 3 ，
A D = A E + E D = 5 = B E ，
故 A D = B E = 5 ，即①正确；
AB 4
②cosABE= = ，故②错误；
BE 5
③当0t5时，设y=at2，
y=at2过点 ( 5 ,1 0 ) ，
2
25a=10，解得a= ，
5 y =
2
5
t 2 ，故③错误；
29
④当t = 秒时，点
4
P 在 C D
29 1 1 15
上，此时PD= −5−2= cm，则PQ=4− = cm，
4 4 4 4
AB 4
= ，
BC 5
A
P
E
Q
=
1
35
4
=
4
5 ， A = Q = 9 0 ，
A B E ∽ Q B P ，故④正确；
综上所述，正确的结论是①④，
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，待定系数法求二次函数，相似三角形判定，锐角三
角函数，矩形性质，解题的关键在于从函数图象获取需要的信息．
3．如图（1），在矩形ABCD中， A C 是对角线，动点 P 从点 C 出发，沿折线 C A B 运动到点 B 停止，过点P
作 P E ⊥ B C 于点 E ．设点P运动的路程为 x ， P E − C E = y （当点 P ，E或 C ， E 重合时，设 P E = 0 或 C E = 0 ），
y 与 x 的函数关系的图象如图（2）所示，则m的值为 ．
4
【答案】 /0.8
5
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，动点问题的函数图象，数形结合是解题的关键；根据图（2）
得出BC=3，在 A B 取点 M ，使得 M B = B C ，连接 M C ，进而根据勾股定理求得AC =5,AB=4，得出
s in A C B =
4
5
, c o s A C B =
3
5
，进而求得PC=4时， P E , E C 的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，在 A B 取点M ，使得MB=BC，连接 M C ，由图（2）可得 y 的最小值为 − 3 ，即 P 运动到点B停止，此时 P E = 0 ，则 0 − C E = − 3 ，
∴CB=CE=3，
∴ B M = B C = 3 ，
由x=6时，点 P 与点 M 重合， y = 0 ，则 A M + A C = 6 ，此时 y = P E − C E = M B − C B = 0 ，
设 A M = a ，则 A C = 6 − a
在 R △t A B C 中， A B = 3 + a , B C = 3
∵ A C 2 = A B 2 + B C 2
∴(6−a)2 =(3+a)2+32
解得： a = 1
∴AC =5,AB=4，
4 3
∴sinACB= ,cosACB=
5 5
根据图（2）可得 x = 4 时， P 点在 A C 上运动，
∴ P C = 4 ，
∴ P E = P C s i n A C B =
4
5
4 =
1 6
5
, C E = P C c o s A C B =
3
5
4 =
1 2
5
∴ m = P E − C E =
1 6
5
−
1 2
5
=
4
5
，
4
故答案为： ．
5
4．如图1，在正方形 A B C D 中， A B = m ，以B为圆心，AB为半径作弧AC，F为弧 A C 上一动点，作矩形
D E F G ，E、G在正方形 A B C D 的边上，设 E F = x ，矩形 D E F G 的面积为y，y关于x的函数图象如图2所
示，点P的坐标为(2,8)，则m= ．
【答案】10
【分析】先证明四边形ABGE，四边形 E G C D 都是矩形，结合以B为圆心， A B 为半径作弧AC，F为弧AC
上一动点，得BF =m， B H = 2 m x − x 2
( )
，HC=m− 2mx−x2 ，y=x m− 2mx−x2 ，因为点P的坐标为
(2,8)，即2 ( m− 4m−4 ) =8，解得m=10或 m = 2 ，即可作答．
【详解】解：延长EF，交BC于点H，连接BF，如图，四边形 E F G D 为矩形，四边形 A B C D 为正方形，
EG⊥BC， A = A B C = B C D = D = 9 0 ，
四边形 A B G E ，四边形 E G C D 都是矩形，
E G = A B = m ，FG=HC，
E F = x ，
G H = m − x ，
以B为圆心， A B 为半径作弧AC，F为弧AC上一动点，
B F = A B = m ，
B H = B F 2 − F H 2 = m 2 − ( m − x ) 2 = 2 m x − x 2 .
H C = F G = B C − B H = m − 2 m x − x 2 ，
y = E F F G = x
(
m − 2 m x − x 2
)
，
点P的坐标为 ( 2 , 8 ) ，
2
(
m − 4 m − 4
)
= 8 ，
m − 4 = 4 m − 4 ，
m=10或 m = 2 ，
经检验， m = 1 0 是原方程的根， m = 2 不合题意，舍去，
m = 1 0 .
故答案为：10
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，圆的基本性质，正确掌握相关性质内
容是解题的关键．
5．如图1，在 R △t A C B 中， C = 9 0 ， M 为边AC上一定点，动点N 从点 C 出发，沿折线 C B — B A 运动
至点A后停止．设点N 运动的路程为x，令y=MN2，图2是 y 与 x 的函数关系图象，则点 M 到AB的距离
为 ．【答案】 6
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握以上知识点，数形结合是解
题的关键．过点 M 作 M D ⊥ A B 于点 D ，连接 M B ，由图象可知 C M = 1 ；当点N与点B重合时， M N 2 = M B 2 = 1 0 ；
BC+BD=5，先求得 B C ，推出 B D ，在利用勾股定理求得 M D ．
【详解】解：过点 M 作 M D ⊥ A B 于点 D ，连接 M B ，如图所示：
由图象可知 C M = 1 ；当点N与点B重合时， M N 2 = M B 2 = 1 0 ；BC+BD=5．
在 R △t M C B 中，由勾股定理，可得 B C = M B 2 − C M 2 = 1 0 − 1 = 3 ．
B D = 5 − 3 = 2 ，
M D = M B 2 − B D 2 = 1 0 − 2 2 = 6 ．
故答案为： 6 ．
押题猜想二 函数与几何中的面积问题
k
如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y= (x0)的图象上，顶点B，C在第一象限，对角线
x
A C ∥ x 轴，
交y轴于点D．若矩形 O A B C
3
的面积是10，cosOAC= ，则
5
k 的值为（ ）A． −
9
4
B． − 2 C． −
1 8
5
D．−4
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角函数的应用，关键是利用三角函数值求各边的长．已
知 c o s O A C =
3
5
，设 A D = 3 a ， A O = 5 a ， A C = 6 a ，利用勾股定理求 O C 的长，列方程，求出 a 2 ，可求 k 的
值．
【详解】解： A C ∥ x 轴，
A D O = 9 0 ，
R t A O D 中， c o s O A C =
3
5
，
A
A
D
O
=
3
5
，
设 A D = 3 a ， A O = 5 a ，
A O 2 = A D 2 + O D 2 ，
O D = ( 5 a ) 2 − ( 3 a ) 2 = 4 a ．
矩形 O A B C 中AOC=90， c o s O A C =
3
5
，
A
A
O
C
=
3
5
．
A C =
2 5
3
a ．
OA2 +OC2 = AC2．
O C = 2 5
3
a 2 − ( 5 a ) 2 = 2 0
3
a ．
矩形OABC的面积是10，
5 a
2 0
3
a = 1 0 ，
3
a2 = ．
10
3 18
|k|=ADOD=3a4a=12a2 =12 = ．
10 5
k0，18
k=− ．
5
故选：C．
押题解读：本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，三角函数的应用，关键是利用三角函数值求各
3
边的长．已知cosOAC= ，设AD=3a，
5
A O = 5 a ， A C = 6 a ，利用勾股定理求 O C 的长，列方程，求出 a 2 ，
可求 k 的值．
1．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在反比例函数 y =
k
x
( k 0 , x 0 ) 的图象上，延 长 A B 交x轴于
C点，且 A B = B C ，D是第二象限一点，且 D O ∥ A B ，若 △ A D C 的面积是15， 则k的值为（ ）
A．8 B．10 C．11.5 D．13
【答案】B
【分析】本题考查的是反比例函数的 k 的几何意义，过 A 作 A E ⊥ x 轴于 E ，过 B 作 B F ⊥ x 轴于 F ，连接
15 15 k
OA,OB，证明S =S = ，可得S =S = ，设Aa, ，而
ABO BCO 2 ABO 梯形AEFB 2 a
A B = B C
k
，可得B2a, ，
2a
再进一步求解即可.
【详解】解：过A作 A E ⊥ x 轴于E，过 B 作 B F ⊥ x 轴于 F ，连接OA,OB，
∵DO∥AB，∴ S
A O C
= S
A D C
= 1 5 ，
∵ A B = B C ，
∴ S
A B O
= S
B C O
=
1 5
2
，
1
∵S =S = k，
AEO BFO 2
∴ S
A B O
= S
梯 形 A E F B
=
1 5
2
，
设 A
a ,
k
a
，而 A B = B C ，
∴ B 的纵坐标为
k
2 a
，
∴ B
2 a ,
k
2 a
，
∴EF =a，
1 k k 15
∴ + a= ，
22a a 2
解得： k = 1 0 ，
故选：B
2．如图，在平行四边形 A B C D 中，B是点B关于对角线AC的对称点，连结 A B 交 C D 于点E，连结 B B 交
C D 于点F，交 A C 于点G． A B = 1 3 ， A G = 2 C G = 1 2 ，则 B E F 的面积是 ．
【答案】
1 5
4
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点．
由翻折得：BG⊥ AC， B G = B G ，由勾股定理得BG= AB2−AG2 =5，可证明 △ F G C ∽ △ B G A ，则求出
5 5 1
FG= ，则BF =BG−FG= ，由于S = BGAG=30，BG=BG，则
2 2 △ABG 2
S
△ A B B
= 2 S
△ A B G
= 6 0 ，可得
△ B E F ∽ △ B A B
5 2
S BF 2 2 1
，则 △BEF = = = ，即可求解面积．
S
△BAB
BB
10
16
【详解】解： 由翻折得：BG⊥ AC，BG=BG
∵平行四边形ABCD∴DC∥AB
∵ A B = 1 3 ， A G = 2 C G = 1 2 ，
∴BG= AB2−AG2 =5，
∵DC∥AB，
∴ △ F G C ∽ △ B G A ，
CG FG 1
∴ = = ，
CA BG 2
5
∴FG= ，
2
∴ B F = B G − F G = 5 −
5
2
=
5
2
，
1
∵S = BGAG=30，
△ABG 2
B G = B G ，
∴ S
△ A B B
= 2 S
△ A B G
= 6 0 ，
∵DC∥AB，
∴ △ B E F ∽ △ B A B ，
∴
S
S
△
△
B
B
E
A
F
B
=
B
B
F
B
2
=
1
5
20
2
=
1
1
6
，
∴ S
△ B E F
=
1
1
6
6 0 =
1 5
4
，
故答案为：
1 5
4
．
3．如图，在 R △t A B C 中， A C B = 9 0 , ta n B =
3
4
, A C = 6 ，D是斜边AB上任意一点，点E、F分别是
A C D 、 B C D 的重心，那么四边形 C E D F 的面积是 ．
【答案】8
【分析】本题考查解直角三角形，三角形的重心，先求出BC的长，进而得出 ABC的面积，再分别连接
AE,BF 并延长，根据重心的性质得出它们与 C D 的交点为同一点，最后得出 CDE及 C D F 的面积分别为
1
ACD和△BCD面积的 即可解决问题．
3【详解】解：在Rt△ABC中， ta n B =
A
B
C
C
=
3
4
, A C = 6 ．
∴BC=8，
1 1
∴S = ACBC= 68=24，
ABC 2 2
∴S +S =24．
ACD BCD
连接AE,BF 并延长，分别交CD于点M ，N，
∵E，F分别为 A C D 和△BCD的重心，
∴点M为 C D 中点，点N为 C D 中点，
∴M，N重合．
∵点E为 A C D 的重心，
∴ A E = 2 E M ，
∴ S
A D E
= 2 S
D E M
， S
A C E
= 2 S
C E M
，
∴ S
C D E
=
1
3
S
A C D
．
同理可得， S
C D F
=
1
3
S
B C D
，
∴ S
C D E
+ S
C D F
=
1
3
( S
A C D
+ S
B C D
) =
1
3
2 4 = 8 ，
即四边形CEDF的面积为8．
故答案为：8．
4．【问题提出】
（1）如图①，已知 O与直线l相离，过 O 作 O N ⊥ l 于点N ，ON =6， O的半径为 4 ，则圆上一点 P 到
直线 l 的距离的最小值是______；
【问题探究】
（2）如图②，在四边形ABCD中， A D ∥ B C ，AD=2，BC=4， B = C = 6 0 ，请你过点 D 画出将四
边形ABCD面积等分的线段 D E ，并求出 D E 的长．
【问题解决】
（3）如图③所示，是由线段DA、 A B 、 B C 与弧CD围成的花园的平面示意图，BC=2AD=80m，CD=40 3m，
AD∥BC，CD⊥BC，点E为BC的中点，CD所对的圆心角为120．管理人员想在CD上确定一点M ，在
四边形ABEM 区域种植花卉，其余区域种植草坪，并过A点修建一条小路AN，把四边形ABEM 分成面积相等且尽可能小的两部分，分别种植不同的花卉．问是否存在满足上述条件的小路 A N ？若存在，请求出 A N
的长，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2；（2）图见解析， D E = 7 ；（3）存在满足上述条件的小路AN，AN的长为70m
【分析】（1）当点 P 在线段 O N 上时，点 P 到直线l的距离的最小，即可求解；
（2）利用尺规作图，过点A作AE⊥BC于点 E ，连接 D E ，则 D E 即为所求．先证出四边形ADFE是矩形，
根据矩形的性质可得S =S ，AE=DF，再证出△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质可得
ADE FDE
S
△ A B E
= S
△ D C F
，然后解直角三角形求出 A E 的长，最后在 R t A D E 中，利用勾股定理求解即可得；
（3）连接 A E ，求出 A E B 的面积，证明要使四边形 A B E M 的面积最小，则△AME的面积需最小，设 C D 所
在圆的圆心为 O ，则 D O C = 1 2 0 ，过 O 作 O F ⊥ A E 于 F ，交 C D 于点Q，交 C D 于 M ，由（1）可得此时
点 M 到 A E 的距离最短，即 △ A M E 的面积最小．得出BN =30m，则NE=BE−BN =10m，由勾股定理求
解即可得．
【详解】解：（1）当点 P 在线段 O N 上时，点 P 到直线l的距离最小，
∵ON =6， O的半径为 4 ，
∴最小值是为 6 − 4 = 2 ，
故答案为： 2 ．
（2）如图，过点 A 作 A E ⊥ B C 于点 E ，连接 D E ，则 D E 即为所求．理由如下：
过点D作作DF ⊥ BC于F ，
∴AEB=DFC=90， A E D F ，
∵AD∥BC，
∴四边形ADFE是矩形，
∴ S
A D E
= S
F D E
，AE=DF，
在 ABE和 DCF中，B=C=60
AEB=DFC=90，
AE=DF
∴ A B E ≌ D C F ( A A S ) ，
∴ S
△ A B E
= S
△ D C F
，
∴ S
A D E
+ S
A B E
= S
F D E
+ S
D C F
，即 S
四 边 形 A D E B
= S
C D E
，
∴线段DE将四边形ABCD面积等分，
∵四边形 A D F E 是矩形，AD=2，
∴EF=AD=2，
∵△ABE≌△DCF，
∴ B E = C F ，
∵BE+CF+EF =BC=4，
∴BE=CF =1，
在 R t △ A B E 中， A E = B E ta n B = 3 ，
在 R t A D E 中， D E = A E 2 + A D 2 =
(
3
) 2
+ 2 2 = 7 ．
（3）存在满足上述条件的小路 A N ，求解过程如下：
如图，连接 A E ，
B C = 2 A D = 8 0 m ，点 E 为 B C 的中点，
C E = B E = A D = 4 0 m ，
∵AD∥BC， C D ⊥ B C ，
四边形 A E C D 是矩形，
A E C = A E B = 9 0 ，AE=CD=40 3m，
1 1
S = AEBE= 4040 3=800 3
( m2)
．
ABE 2 2
要使四边形ABEM 的面积最小，则 △ A M E 的面积需最小．
设 C D 所在圆的圆心为 O ，则 D O C = 1 2 0 ，
过O作 O F ⊥ A E 于 F ，交CD于点Q，交 C D 于 M ，
由（1）可得，此时点M 到AE的距离最短，即△AME的面积最小．
OF ⊥AE，OF ⊥CD， Q F = C E = 4 0 m ，
C Q = D Q =
1
2
C D = 2 0 3 m ， D O Q = C O Q = 6 0 ，
CQ
QO= =20m，
tan60
O M = O C = O D = 2 O Q = 4 0 m ．
MQ=OM −OQ=20m，
M F = Q F − M Q = 2 0 m ，
∴ △ A M E 面积的最小值为 S
A M E
=
1
2
M F A E =
1
2
2 0 4 0 3 = 4 0 0 3 ( m 2 ) ，
S
四 边 形 A B E M
= S
A M E
+ S
A B E
= 1 2 0 0 3 ( m 2 ) ，
1
S =600 3m2 S ，
2 四边形ABEM AME
点 N 在BE上，
∴ S
A B N
=
1
2
A E B N =
1
2
4 0 3 B N = 6 0 0 3 ，
B N = 3 0 ( m ) ，
N E = B E − B N = 1 0 m ，
AN = AE2+NE2 =70m，
所以存在满足上述条件的小路 A N ， A N 的长为 7 0 m ．
【点睛】本题考查了圆的性质、矩形的判定与性质、解直角三角形、垂径定理、三角形全等的判定与性质、
勾股定理、作垂线的尺规作图等知识，较难的是题（3），确定 △ A M E 的面积最小时，点M 的位置是解题
关键．
5．综合与实践：九年级某学习小组围绕“锐角三角形面积”开展主题学习活动．
【特例探究】
（1）如图 ① ，锐角 A B C 中，BAC=30，AB= AC=4，作 B D ⊥ A C ，垂足为D，则 A B C 的面积为 ；
【一般证明】
（2）如图 ② ，锐角 ABC中， B A C = ， A B a ， A C = b ， ABC的面积为 S ．
1
求证：S = absin；
2【迁移应用】
（3）如图 ③ ，锐角 A B C 中， B A C = 6 0 ， A B = 6 ， A C = 4 ， A D 是 B A C 的平分线，则 A D 的长为 ；
（4）如图 ④ ， R △t A B C 中， A C B = 9 0 ， A C = 6 ， B C = 8 ，点 D 在边CB上，且 C D = 2 ，连接 A D ， A D
的中点为点 E ，过点 E 作直线 l 与边AB，AC分别交于 P ， Q 两点，且 △ A P Q 为锐角三角形，求
A
5
P
+
A
9
Q
的值．
【答案】（1） 4 （2）见解析 （3）
1 2
5
3
（4） 4
【分析】本题考查了解直角三角形，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）利用 s in B A C 可以求出高 B D 的长度，再根据三角形的面积公式求出 A B C 的面积；
（2）过点 B 作 B D ⊥ A C 交 A C 于点D，再根据 s in B A C 可以求出高 B D 的代数式，进而证明结论；
（3）以（2）中证明的一般结论为条件，分别求出 A B C 、 △ A B D 、 A C D 的面积代数式，再根据
S
A B C
= S
A B D
+ S
A C D
求出 A D 的长度；
（4）以（2）中证明的一般结论为条件，根据三角形的面积和，分别求出 s in B A C ， s in B A D ， s in C A D ，
再在 △ A P Q 中根据 S
A E P
+ S
A E Q
= S
A P Q
，求出 A P 与 A Q 的关系式．
【详解】解：（1）在 A B C
BD BD
中，sinBAC= = ，
AB 4
B D = 4 s in B A C = 4 s in 3 0 = 2 ，
1
S = 42=4，
△ABC 2
故答案为： 4 ；
（2）过点 B 作 B D ⊥ A C 交 A C 于点D，
S =
1
2
A C B D =
1
2
b B D
BD BD
，sinBAC= = =sin，
AB aB D a s in = ，
1 1
S = basin= absin；
2 2
（3） AD是 B A C 的平分线，
B A D = C A D = 3 0 ,
由（2）中的证明可知： S
A B C
=
1
2
A B A C s i n B A C =
1
2
6 4 s i n 6 0 = 6 3 ，
S
A B D
=
1
2
A B A D s in B A D =
1
2
6 A D s in 3 0 =
3
2
A D ，
S
A C D
=
1
2
A C A D s i n C A D =
1
2
4 A D s i n 3 0 = A D ，
S
A B C
= S
A B D
+ S
A C D
= 6 3 =
3
2
A D + A D =
5
2
A D ，
A D =
1 2
5
3
；
（4）如图所示：
由题意知，在 A C D 中， A D = A C 2 + C D 2 = 6 2 + 2 2 = 2 1 0 ，
在 ABC中， A B A C 2 B C 2 6 2 8 2 1 0 ，
E 是 A D 的中点，
1
AE= AD= 10，
2
1 1
由（2）中的证明可知：S = BCAC=24= ACABsinBAC，
ABC 2 2
S
A B D
=
1
2
B D A C = 1 8 =
1
2
A D A B s in B A D
1 1
，S = CDAC=6= ADACsinCAD，
ACD 2 2
4 9 10 10
sinBAC= ，sinBAD= ，sinCAD= ，
5 50 10
S +S =S ，
AEP AEQ APQ
1 1 1
AEAPsinBAD+ AEAQsinCAD= APAQsinBAC，
2 2 2 9 A P + 5 A Q = 4 A P A Q ，
9AP+5AQ
=4，即
APAQ A
5
P
+
A
9
Q
= 4 ．
【点睛】
押题猜想三 几何中的折叠问题
如图在Rt ABC中，A=60， C D 平分ACB， F 为AC中点，E为CB上一点，将 CEF沿 E F 折叠，使C
点落到G点处，连接GB．当 C D ⊥ G E 时， B G E 的度数为（ ）
A． 5 B．7.5 C． 1 0 D．15
【答案】B
【分析】首先根据三角形内角和定理可求 A C B = 3 0 ，根据角平分线的定义可得 A C D = B C D = 1 5 ，根
据直角三角形的两个锐角互余可以得到CME=75，根据三角形内角和定理可得： C E M = 7 5 ，折叠的
性质可得：CEF =37.5， F G E = A C B = 3 0 ，根据三角形外角的性质可得：GFM =45，连接 B F ，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知 A B F 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得
AFE=60，从而可知 G F E = 1 0 5 ，根据等腰三角形的性质可得： F G B = 3 7 .5 ，所以可得：
BGE=BGF−FGE=7.5．
【详解】解：如下图所示，连接 B F ，
在 R t A B C 中，A=60，
A C B = 3 0 ，
CD平分ACB，
A C D = B C D =
1
2
A C B = 1 5 ，
又 CD⊥GE，
GPC=90，
CME=90−15=75，在 CME中， C E M = 1 8 0 − A C B − C E P = 1 8 0 − 3 0 − 7 5 = 7 5 ，
根据折叠的性质可知 C E F = G E F =
1
2
7 5 = 3 7 .5 ， F G E = A C B = 3 0 ，
GFM =FME−FGE=75−30=45，
F 为 A C 中点，
EF = AF =CF =GF，
ABF是等边三角形，
A F E = 6 0 ，
G F E = G F M + M F E = 4 5 + 6 0 = 1 0 5 ，
在 FGB中，FG=FB，
F G B =
1
2
( 1 8 0 − G F B ) =
1
2
( 1 8 0 − 1 0 5 ) = 3 7 .5 ，
BGE=BGF−FGE=37.5−30=7.5．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质、直角三角形的性质，解决本题
的关键是作辅助线构造等边三角形，利用图形的性质找角之间的关系．
押题解读：本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质、直角三角形的性质，
解决本题的关键是作辅助线构造等边三角形，利用图形的性质找角之间的关系．
1．如图，在矩形 A B C D 中，对角线 A C ， B D 相交于点O,AB= AO=6,E为AD边上一个动点（不与点D，E
重合）连接OE，将 ODE沿 O E 折叠，点 D 落在 M 处， O M 交边AD于点 F ，当 A O F 是等腰三角形时， M F
的长是（ ）A．6−2 3+2 2 B． 6 − 3 6 + 3 2
C．6−2 3+2 2或6−2 3 D．6−3 6+3 2或6−2 3
【答案】D
【分析】分两种情况：当 A O = A F = 6 时，作 O G ⊥ A D ，根据矩形的性质得
A O = B O = C O = D O = 6 = O M , B A D = 9 0 ，根据勾股定理求出 A D ，再根据等腰三角形的性质得 A G ，然
后求出OG，接下来可得 F G ，最后根据勾股定理求 O F ，可根据 M F = O M − O F 得出答案；
当 O F = A F 时，由上述可知 O G ⊥ A D ，且 O G = 3 ， A G = 3 3 ，根据等边三角形的性质求出
F A O = A O F = 3 0 ，可得 F O G = 3 0 ，然后根据 t a n F O G =
F
O
G
G
，求出 F G ，
再根据 O F = A F = A G − F G ，求出 O F ，接下来过呢据MF =OM −OF得出答案．
【详解】解：如图所示，当 A O = A F = 6 时，作 O G ⊥ A D 于点G，
∵四边形 A B C D 是矩形，
∴AO=BO=CO=DO=6=OM,BAD=90，
根据勾股定理，得 A D = B D 2 − A B 2 = 1 2 2 − 6 2 = 6 3 .
∵ A O = D O , O G ⊥ A D ，
∴ A G =
1
2
A D = 3 3 ．
在 R t△ A O G 中，OG= AO2−AG2 =3，
∴FG=AF−AG=6−3 3，
根据勾股定理，得OF = OG2+FG2 = 32+(6−3 3)2 = 54−36 3+18= (3 6)2−23 63 2+(3 2)2
= (3 6−3 2)2 =3 6−3 2，
∴MF =OM−OF =6−3 6+2 3；如图所示，当 O F = A F 时，由上述可知 O G ⊥ A D ，且OG=3， A G = 3 3 ，
∵四边形 A B C D 是矩形，
∴ A O = B O = A B , B A D = 9 0 ，
∴ A B O 是等边三角形，
∴ B A O = 6 0 ，
∴ D A O = 3 0 ．
则FAO=AOF =30，
∴ F O G = 3 0 ，
FG
在Rt△FOG中，tanFOG= ，
OG
则 F G = 3 ta n 3 0 = 3 ，
∴ O F = A F = A G − F G = 3 3 − 3 = 2 3 ，
∴ M F = O M − O F = 6 − 2 3 ．
综上所述，MF的值是 6 − 3 6 + 2 3 或 6 − 2 3 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形
的性质和判定，构造直角三角形应用勾股定理求线段长是解题关键．
2．在矩形 A B C D
AB 2
中， = ，
BC 3
M 、 N 分别在边 A D 、 B C 上，将矩形 A B C D 沿 M N 折叠，使点B落在 C D 边
上的点F 处，得到四边形 E F N M ，连接 D E ，若折痕MN =2 10， ta n E M D =
3
4
，则 D E 的长为 ．【答案】
9
5
5
【分析】本题考查了矩形与折叠的性质，正切值的计算，勾股定理的运用，掌握矩形与折叠的性质，正切
值的计算方法是关键．
如图所示，EF与 A D 交于点G，过点M 作 M H ⊥ B C 与点H， E M G = D F G = F N C ，所以
EG DG FC 3
= = = ，设
ME DF NC 4
E G = 3 x , M E = 4 x ，DG=3y,DF =4y，FC=3z,NC=4z， x , y , z 均为正数，所以
在 R t M N H 中， M H = 3 x + 5 y , N H =
3 x +
3
5 y
, M N = 2 1 0 ，由勾股定理得到 3 x + 5 y = 6 （负值舍去），则
AB=CD=EF =MH =6， M E = 3 , E G =
9
4
, M G =
1 5
4
， D M =
1 5
4
+
9
4
= 6 ，如图所示，过点E作EK ⊥ AD于
点 K ，则 E K =
E G
M
·E
G
M
=
3
1 5
4
9
4
=
9
5
， D K = M D − M K = 6 −
1 2
5
=
1 8
5
，由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形 A B C D 是矩形，
∴ A B = C D , A D = B C , A = B = C = A D C = 9 0 ，
如图所示， E F 与AD交于点 G ，过点 M 作MH ⊥BC与点H，
∴四边形ABHM 是矩形， A B = M H ，AM =BH ，
∵折叠，
∴AM =ME,BN =NF,A=B=MEF =NFE=90，
∵EMG+EGM =DGF+DFG=90,EGM =DFG，DFG+NFC=NFC+FNC=90，
∴EMG=DFG=FNC，∵ ta n E M D =
3
4
，
EG DG FC 3
∴ = = = ，
ME DF NC 4
∴设EG=3x,ME=4x， D G = 3 y , D F = 4 y ， F C = 3 z , N C = 4 z ，x,y,z均为正数，
∴在 R t M E G 中， M G = E G 2 + M E 2 = ( 3 x ) 2 + ( 4 x ) 2 = 5 x ，
在 R t D F G 中，FG= DG2+DF2 = (3y)2 +(4y)2 =5y，
在 R t N C F 中， N F = C F 2 + N C 2 = ( 3 z ) 2 + ( 4 z ) 2 = 5 z ，
∴ A B = C D = M H = E F = 4 y + 3 z = 3 x + 5 y ， B N = N F = 5 z ， A D = B C = 9 x + 3 y = 9 z ，
∴3x+y=3z，
∴ H N = B N − B H = 5 z − 4 x =
3 x +
3
5 y
，
在 R t M N H
3x+5y
中，MH =3x+5y,NH = ,MN =2 10，
3
∴ M N 2 = M H 2 + N H 2 ，即 ( 2 1 0 ) 2 = ( 3 x + 5 y ) 2 + 3 x +
3
5 y 2 ，
解得， 3 x + 5 y = 6 （负值舍去），
∴ A B = C D = E F = M H = 6 ，
∵
A
B
B
C
=
2
3
，
∴ B C = 9 = A D ，
∴ 9 z = 9 ，则z=1， N C = 4 , C F = 3 ，
3
∴DF =3,y= ，则
4
D G =
9
4
， x =
3
4
，
9 15 15 9
∴ME=3,EG= ,MG= ，DM = + =6，
4 4 4 4
如图所示，过点 E 作 E K ⊥ A D 于点 K ，
∵ S
M E G
=
1
2
E G ·M E =
1
2
M G ·E K ，
9
3
EG·EM 4 9
∴EK = = = ，
MG 15 5
4
EK 3
∵tanEMD= = ，
MK 4
4 4 9 12
∴MK = EK = = ，
3 3 5 5∴ D K = M D − M K = 6 −
1 2
5
=
1 8
5
，
∴ D E = E K 2 + D K 2 =
9
5
2
+
1 8
5
2
=
9
5
5
，
故答案为：
9
5
5
．
3．如图，现有三角形纸片 A B C ， C = 9 0 ，折叠纸片 A B C ，使得点B与点 C 重合，得到折痕 M N ，然后
还原；再次折叠纸片ABC，使得 A B 上的点 P 与 B C 上的点Q重合，得到折痕 D E ，然后还原，且 M N ， D E ，
P Q 三条线段相交于同一点 G ．
（1）若 P Q = P B ， A = ，则 B D E = ．（用含的式子表示）
（2）若 B C = 3 ，AC=2，CQ=1，则 P B 的长为 ．
【答案】 2 9 0 − / 9 0 2 − +
1
3
3
/
1
3
1 3
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三
角形外角的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据折叠的性质得到 D E 垂直平分 P Q ，得到 Q G E = 9 0 ，得出 Q E G = 9 0 − P Q B ，根据直角三角
形的性质得到 B 9 0 = − ，根据等边对等角得到 B = P Q B ，三角形内角和定理，三角形外角的性质，
计算即可得到答案；
（2）作 P F ⊥ B C 于点 F ，求出 A B = A C 2 + B C 2 = 2 2 + 3 2 = 1 3 ，根据平行线分线段成比例得到
P
A
B
B
=
B
B
F
C
=
1
3
，得到 P B =
1
3
A B =
1
3
3
．
【详解】解：（1）根据题意得 D E 垂直平分 P Q ，
QGE=90，
QEG=90−PQB，
A C B 9 0 , A = = ，
B=90−，
P Q = P B ，
B=PQB，
QEG=BDE+B，
BDE=QEG−B，B D E ( 9 0 P Q B ) B ( 9 0 B ) B 9 0 2 ( 9 0 ) 2 9 0 = − − = − − = − − = − ；
故答案为 2 9 0 − ；
（2）如图，作 P F ⊥ B C 于点 F ，
A C B = 9 0 ，
AC PF， A B = A C 2 + B C 2 = 2 2 + 3 2 = 1 3 ，
BC=3,CQ=1，
BQ=BC−CQ=3−1=2，
P Q = P B ，
1
BF =QF = BQ=1，
2
P F A C ，
P
A
B
B
=
B
B
F
C
=
1
3
，
P B =
1
3
A B =
1
3
3
，
故答案为：
1
3
3
4．综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开数学小组实践活动．
已知矩形纸片 A B C D ， A B = 4 ，BC=8，点E，F 分别在边AD，BC上，将矩形纸片沿直线EF折叠，点A，
B 的对应点分别为 A ，B．如图1，当点 B 落在线段 F D 上时，智慧小组提出问题：
(1)猜想 DEF 是__________三角形，请证明你的猜想；
(2)当 A E =
4
3
时，求线段 B D 的长度；
(3)如图2，奋斗小组的同学受到启发，若点 B 落在线段 A C 上，AC与AD交于点H，通过测量得 A H = 5 ，
连接 B D ．则点 B 到边 C D 的距离是__________；若点 P 为线段EF上一动点，过点 P 作PQ⊥ AC于点 Q ，
连接PB，则 P B + P Q 的最小值是__________．
(4)如图3，希望小组同学继续探究，将矩形纸片沿直线 E F 折叠，使点 B 的对应点 B 落在边AD上，连接 B B ，
交 E F 于点 O ，则△EOB面积的取值范围是__________．
【答案】(1)等腰，证明见解析
(2)4
(3)
8
5
32
；
5
(4) 4 S
△ E O B
5 ．
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，得到 A D ∥ B C ，那么 D E F = E F B ，根据折叠，可知 E F B = D F E ，
那么 D E F = D F E ，从而得出答案；
（2）先求出 D E = A D − A E =
2 0
3
= D F ，根据勾股定理 C F = D F 2 − C D 2 =
1 6
3
，求得 B F = B C − C F =
8
3
，根
据折叠可知FB=FB，最后利用BD=FD−FB算得答案；
（3）先算得 D H ，过点 D 作 D M ⊥ C H ，过点 B 作 B N C D ，利用勾股定理，求得CH ，再利用面积法求
得 D M ，不妨设AE=a，那么 E H = 5 − a ，接着证明 A H E ∽ M H D ，利用对应边成比例求得 a ，接着在
R △t A E H 中利用勾股定理求得 A H ，从而推出 H B 和 C B ，过点B作 B K ⊥ A C 于 K ，交 E F 于 L ，接着证
明 BNC∽ HDC，利用对应边成比例求得答案；
（4）先证明四边形 E B F B 是菱形，那么 S
E O B
=
1
4
S
菱 形 E B F B
，由S =BFAB=4BF ，BF最小时，S
菱形EBFB 菱形EBFB
最小，BF最大时，S 最大，那么
菱形EBFB
B E = B A 时，BF最短，此时BE =4，S =BFAB=4BF =16，
菱形EBFB
S
E O B
1
最小是 16=4；当B和D重合时，
4
S
菱 形 E B F B
最大，不妨设BF =x=BF，那么CF =8−x，有
1
BC2+CF2 =BF2，求得x=5，那么S 最大为：54=20，S 最大是 20=5．
菱形EBFB EOB 4【详解】（1）解：等腰，理由如下：
四边形 A B C D 是矩形，
A D B C ∥ ，
D E F = E F B ，
将矩形纸片沿直线 E F 折叠，点A，B的对应点分别为A， B ，点 B 落在线段FD上，
EFB=DFE，
D E F = D F E ，
DE=DF，
D E F 是等腰三角形；
故答案为：等腰；
（2）解： 四边形 A B C D 是矩形， B C = 8 ， A B = 4 ，
A D = B C = 8 ， C D = A B = 4 ，C=90，
将矩形纸片沿直线 E F 折叠，点 A ， B 的对应点分别为 A ， B ．点 B 落在线段 F D 上， A E =
4
3
，AB=4，
A E = A E =
4
3
， B F = F B ， A B = 4 ， D E = A D − A E = 8 −
4
3
=
2 0
3
，
D F = D E =
2 0
3
，
C F = D F 2 − C D 2 = (
2 0
3
) 2 − 4 2 =
1 6
3
，
B F = B C − C F = 8 −
1 6
3
=
8
3
，
F B = F B =
8
3
，
B D = F D − F B =
2 0
3
−
8
3
= 4 ；
（3）解：
8
5
；
3 2
5
，理由如下：
四边形 A B C D 是矩形， B C = 8 ， A B = 4 ，
A D = B C = 8 ， C D = A B = 4 ， B C D = 9 0 = A = B = A D C ，AD∥BC，
A H = 5 ，
DH = AD−AH =8−5=3，
C H = C D 2 + D H 2 = 4 2 + 3 2 = 5 ，
过点D作 D M ⊥ C H ，过点B作 B N C D ，如图所示：不妨设 A E = a ，那么EH =5−a，
HDCD HCDM
S = = ，
HDC 2 2
HDCD 34 12
DM = = = ，
CH 5 5
将矩形纸片沿直线 E F 折叠，点 A ，B的对应点分别为A， B ，点 B 落在线段 F D 上， A B = 4 ，
A E = a ，A=A=90， A B = 4 ，
D M H = A = 9 0 ， A H E = M H D ，
AHE∽ MHD，
A
D
E
M
=
E
D
H
H
，
1
a2
5
=
5 −
3
a
，
a =
2 0
9
，
20
AE= AE= ，
9
E H = 5 − a = 5 −
2 0
9
=
2 5
9
，
25 20 15 5
AH = EH2−AE2 = ( )2−( )2 = = ，
9 9 9 3
B H = A B − A H = 4 −
5
3
=
7
3
，
7 8
BC=CH−BH =5− = ，
3 3
BNC=HDC=90， B C N = H C D ，
BNC∽ HDC，
BN BC
= ，
HD CH
B N
3
=
8
35 ，
B N =
8
5
，
故点B到边CD的距离是
8
5
；
将矩形纸片沿直线 E F 折叠，点 A ，B的对应点分别为 A ， B ，点 B 落在线段 F D 上， A B = 4 ，
BP=BP，
P B + P Q = B P + P Q ，
过点B作 B K ⊥ A C 于 K ，交EF于 L ，如图所示：
当P点与 L 点重合， Q 点与 K 点重合时，BP+PQ=BK，此时 B P + P Q 达到最小，最小值为BK,
A D B C ，
DHC=HCF，
s in D H C = s in H C F ，
CD BK
= ，
CH CB
4 BK
= ，
5 8
32
BK = ，
5
32
则PB+PQ的最小值是 ；
5
故答案为：
8
5
；
3 2
5
；
（4）解： 将矩形纸片沿直线EF折叠，使点B的对应点B落在边AD上，连接BB，交EF于点O，BE=BE， B F = B F ，BEF =BEF，
四边形 A B C D 是矩形， B C = 8 ， A B = 4 ，
A D B C ∥ ，
B E F = B F E ，
BEF =BFE，
B E = B F ，
BF =BE=BE=BF ，
四边形 E B F B 是菱形，
S
E O B
=
1
4
S
菱 形 E B F B
，
S =BFAB=4BF，
菱形EBFB
BF最小时， S
菱 形 E B F B
最小， B F 最大时， S
菱 形 E B F B
最大，
B F = B E ，
BE=BA时，BF最短，
此时 B E = 4 ， S
菱 形 E B F B
= B F A B = 4 B F = 1 6 ，
S
E O B
1
最小是 16=4；
4
当 B 和D重合时，S 最大，
菱形EBFB不妨设 B F = x = B F ，那么 C F = 8 − x ，
BC2+CF2 =BF2，
42 (8 x)2 x2，
x = 5 ，
S
菱 形 E B F B
最大为： 5 4 = 2 0 ，
S
E O B
最大是
1
4
2 0 = 5 ；
4 S
△ E O B
5 ．
故答案为： 4 S
△ E O B
5 ．
【点睛】本题考查了矩形于折叠，矩形的性质，平行的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似
的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
5．在综合实践活动课上，同学们以“折叠正方形纸片”为主题开展数学探究活动．
【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片 A B C D ，得到折痕AC，把纸片展平；
操作二：在边AD上选一点E，沿 B E 折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE，如图②；
操作三：在边CD上选一点F ，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF，如图③．
把正方形纸片展平，得图④，折痕BE，BF与 A C 的交点分别为 G ， H ．
(1)根据以上操作，得 E B F = _________．
3
(2)若正方形ABCD的边长为 ，BH = 2，试求AE的长．
2
(3)经过多次折叠和测量，小浩发现线段EF与GH的比值不变，但他无法证明，请聪明的你帮小浩写出证明过程，并求出其比值．
【答案】(1) 4 5
(2)
7
2
(3)证明见解析，
E
G
F
H
= 2
【分析】（1）根据折叠的性质，正方形的性质，结合角的和差关系，求解即可；
（2）连接EH ，正方形的性质，推出EBF =45=CAD，得到点A,B,H,E四点共圆，进而得到
B E H = B A C = 4 5 ，得到 BHE为等腰直角三角形，求出 B E 的长，再利用勾股定理求出 A E 的长；
（3）连接 E F ，8字形推出 A E G = B H G ，折叠得到 A E G = B E F ，进而求出 B E F = B H G ，证明
B H G ∽ B E F ，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵折叠，
∴ 1 = 2 , 3 = 4 ，
∵正方形 A B C D ，
∴ABC=90，
∴ 1 + 2 + 3 + 4 = 9 0 ，
∴ 2 + 3 = 4 5 ，
∴ E B F = 4 5 ；
故答案为：45；
（2）连接 E H ，
∵正方形ABCD，
∴ A B = B C =
3
2
， B A D = 9 0 ，BAC=CAD=45，
由（1）知：EBF =45=CAD，
∴点A,B,H,E四点共圆，∴ B E H = B A C = 4 5 ，
∴BHE=180−EBF−BEH =90，
∴ B H E 为等腰直角三角形，
∴ B H = H E = 2 ，
∴ B E = 2 B H = 2 ，
在 R t △ B A E
7
中，AE= BE2−AB2 = ；
2
（3）证明：连接 E F ，由（2）可知： B H E 为等腰直角三角形，
∴ B E = 2 B H ，
∵ E B F = C A D = 4 5 , A G E = B G H ，
∴ A E G = B H G ，
∵折叠，
∴ A E G = B E F ，
∴ B E F = B H G ，
∵ E B F = G B H ，
∴ BHG∽ BEF，
EF BE
∴ = = 2．
GH BH
【点睛】本题考查正方形与折叠，四点共圆，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和
性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
押题猜想四 函数与几何中的最小值问题
如图，线段AB=10，点C是线段AB上的一个动点，分别以AC,BC为斜边向上作等腰直角三角形 A C D ，
等腰直角三角形BCE，点F在线段AB上，连接 D F , E F , D E ．则 DEF 周长的最小值为（ ）A．5+5 2 B．10 C． 5 2 D．5+10 2
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，二次函数求最值，设 A C = x ，则： B C = 1 0 − x ，
等腰直角三角形的性质结合勾股定理，求出 C D , C E 的长，推出DCE=90，作点E关于AB的对称点E，
连接 D E ，得到 D E F 的周长 = D E + E F + D F = D E + D F + E F D E + D E ，得到 DEF 的周长的最小值为
D E + D E ，转化为二次函数求最值即可．
【详解】解：设 A C = x ，则： B C = 1 0 − x ，
∵ A C D , C B E 均为等腰直角三角形，
2 2
∴AD=CD= x,CE=BE= (10−x)，
2 2
A C D = 4 5 , E C B = 4 5 ，
∴DCE=180−DCA−ECB=90，
1 1
∴DE2 =CD2+CE2 = x2+ (10−x)2 =x2−10x+50，
2 2
作点E关于 A B 的对称点 E ，连接 D E ，则： E C B = E C B = 4 5 ，EF=EF ，
∴ECE=90=ECD，
∴ E , C , D 三点共线，
∵DF+EF =DF+EF DE，
∴ D E F 的周长 = D E + E F + D F = D E + D F + E F D E + D E ，
∴当 D , F , E 三点共线时， DEF 的周长最小为DE+DE，此时点F 与点 C 重合，如图：设EE与 A B 交于点
N ，作DH ⊥ AB于点H，作 E M ⊥ D H 于点 M ，
1 1
则：EN =EN = BC=CN,DH = AC=CH，
2 2
1
∴HN =ME=CH+CN = (AC+BC)=5，
2
D M = D H + H M = C H + N E = C H + C N =
1
2
( A C + B C ) = 5 ，
∴DE= DM2+ME2 =5 2为定值，
∴当DE的长最小时， DEF 的周长的值最小，∵ D E 2 = x 2 − 1 0 x + 5 0 = ( x − 5 ) 2 + 2 5 ，
∴当x=5时，DE2最小为 2 5 ，此时 D E 最小为 25=5，
∴ D E F 的周长的最小值为： 5 + 5 2 ；
故选：A．
押题解读：本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，二次函数求最值，设 A C = x ，则：
BC=10−x，等腰直角三角形的性质结合勾股定理，求出 C D , C E 的长，推出 D C E = 9 0 ，作点 E 关于 A B
的对称点 E ，连接 D E ，得到 D E F 的周长 = D E + E F + D F = D E + D F + E F D E + D E ，得到 D E F 的
周长的最小值为 D E + D E ，转化为二次函数求最值即可．
1．如图：已知矩形 A B C D ， A B = 1 ， A D = 4 ，E为 B C 边上一个动点， B A D = E A F ， A F = 2 A E ，连接 D F ，
则DF的最小值为（ ）
9
A． B．2 C．
4
7
4
D．
3
2
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定．取AD的中点 G ，连接 F G ，求得
A
A
G
B
=
A
A
F
E
= 2 ， B A E = G A F ，证明 △ B A E ∽ △ G A F ，求得 A G F = A B E = 9 0 ，当点 F 与点G重合时，
DF有最小值，据此求解即可．
【详解】解：取 A D 的中点 G ，连接FG，
∵AD=4，
∴AG=2，
∵AB=1，∴
A
A
G
B
= 2 ，
∵AF =2AE，
∴
A
A
F
E
= 2 ，
AG AF
∴ = ，
AB AE
∵ B A D = E A F ，
∴ B A D − E A D = E A F − E A D ，
∴ B A E = G A F ，
∴ △ B A E ∽ △ G A F ，
∴AGF =ABE=90，
∴点F 在线段 A D 的垂直平分线上，
∴ D F = A F ，
当点 F 与点 G 重合时，DF有最小值，最小值为2，
故选：B．
2．如图，点 F 是矩形 A B C D 内部一个动点， E 为 A F 上一点且 A E =
1
3
A F ，当 A D = 4 ， A B = A F = 9 时，则
B E + C F 的最小值为 ．
【答案】 2 1 3
【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容．在AB上截取 A G = A E ，
先证 ABE≌ AFG(SAS)，得到 B E = G F ，从而得出 B E + C F = G F + C F C G ，当且仅当C、F、G三点共
线时取等，再根据题干条件求解即可．
【详解】解：如图，在 A B 上截取 A G = A E ，连接GF，CG，在 A B E 和 A F G 中，
A
A
E
B
B
=
A
=
E
A
A
G
=
F
F A G ，
∴ A B E ≌ A F G ( S A S ) ，
∴ B E = G F ，
∴ B E + C F = G F + C F C G ，当且仅当C、F、G三点共线时取等号，
∵ A B = A F = 9
1
，且AE= AF ，
3
∴AE=AG=3，
∴ B G = A B − A G = 6 ，
∵四边形 A B C D 是矩形， A D = 4 ，
∴ABC=90， B C = A D = 4 ，
在 R t B C G 中， C G = B C 2 + B G 2 = 2 1 3 ，
即 B E + C F = G F + C F C G = 2 1 3 ，
∴BE+CF的最小值为2 13，
故答案为： 2 1 3 ．
3．如图，在菱形 A B C D 中，ABC=60，点 P 是边 B C 上一动点，连接 A P ，将 ABP沿着 A P 折叠，得到△AEP，
连接DE，点 F 是DE的中点， A B = 2 ，则 C F 的最小值为 ．
【答案】 3−1/−1+ 3
【分析】延长DC到点 N ，使得DC=CN，连接AN，EN，则FC是 DEN的中位线，证明 A B C 是等边
三角形，求出AN， N E A N − A E = 4 3 − 4 ，从而可得结论．
【详解】解：延长DC到点 N ，使得DC=CN，连接AN，EN，
∵F 是DE的中点则FC是 D E N 的中位线，
1
∴FC= EN，
2
当EN取最小值时，CF有最小值，
连接AC，
∵四边形 A B C D 是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=2，AB∥CD，
∴ ∠ B C N = ∠ A B C = 6 0
又 A B C = 6 0 ，
∴ ABC是等边三角形，
∴CN =CD=AC=AB=2， B C N = A C B = 6 0 ，
∴ B C ⊥ A N 于 M ，
∴ A N C = 3 0 ， A N = 2 M N ，
∴ C M =
1
2
C N = 1 ，
∴ M N = C N 2 − C M 2 = 2 2 − 1 2 = 3 ，
∴ A N = 2 M N = 2 3 ，
由折叠可知 A E = A B = 2 ，
又AE+NEAN，
∴ N E A N − A E = 2 3 − 2 ，
当A， E ， N 共线时， N E 有最小值 2 3 − 2 ，
此时FC的最小值为 3 − 1 ．
故答案为： 3 − 1 ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠与轴对称，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定
理等知识，利用轴对称求最值是解题的关键．
4．【问题探究】
（1）如图1，点 P 是半径为 2 .5 的 O 上的动点，点A为 O 外一点，已知 O 、A两点之间的距离为 4 ，则A、
P两点之间的距离最小为 ；（2）如图2， ABC的顶点都在 O 上，连接 B O 并延长，交 O 于点 D ， A B C = 4 5 ．求证： A C =
2
2
B D ；
【问题解决】
（3） 2 0 2 5 年3月 3 0 日，中国某公司向老挝航空公司交付首架 C 9 0 9 飞机，标志着我国商用飞机国际化发展
迈出新步伐．据悉，飞机上所使用的复合材料，主要是碳纤维增强树脂基复合材料．如图3，现有一块形如
四边形 A B C D 的新型材料， A D = 2 0 c m ，A=C=60，ADC=90， B C = C D ，以C为圆心， C B 为半
径画 B D ．某科研人员想用这块材料裁出一个△EFM型部件，并要求：M 在 B D 上， M E ⊥ A D 于点 E ，
M F ⊥ A B 于点 F ，且 E F 的长度尽可能的小，请问 E F 的长是否存在最小值？若存在，请求出 E F 的最小长
度；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） 1 .5 ；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据当 O 、 P 、 A 三点共线时， A 、P两点之间的距离最小，即可求解；
（2）连接OA、 O C ，根据圆周角定理可得： A O C = 2 A B C = 9 0 ，得到 △ A O C 是等腰直角三角形， O A =
1
2
B D ，
即可证明；
（3）连接AM ，取AM 的中点O，连接OE， O F ，过点 O 作 O H ⊥ E F 于点H，先证A、E、M 、F 四点
在 O上，得到EOF =2BAD=120．从而得到OEF=OFE=30， E F = 2 E H ，推出
3
EH =cosOEF OE= AM，得到
4
E F = 2 E H =
2
3
A M ，即要使EF最小，只需AM 最小即可．连接 A C ，
MC，AC与 B D 的交点为 M ，根据题意可知点M 在 B D 上，且 B D 所对的圆心为 C ，故MC=MC．由
AM+MCAC，AC=AM+MC，可知AM AM，得到当点M 与点M重合时，满足AM 最小，进而可知 E F 最小．连接 B D ，易知 △ B C D 为等边三角形，则可求 A D B = 3 0 ，解直角三角形即可求得 C D = 1 0 3 ，
AC=10 7，即可求出AM，即可由 E F =
2
3
A M 求解．
【详解】解：（1）如图，当点P运动到点 P 的位置，即 O 、P、A三点共线时，A、P两点之间的距离最
小，AP的最小值为: O A − O P = 4 − 2 .5 = 1 .5 ，
故答案为： 1 .5 ；
（2）证明：连接 O A 、 O C ，
A B C = 4 5 ，
A O C = 2 A B C = 9 0 ，
由题意可知， B D 是 O 的直径，
又 O A = O C ，
△ A O C
1
是等腰直角三角形，OA= BD，
2
A C = 2 O A = 2
1
2
B D =
2
2
B D ；
（3）如图3，连接AM ，取AM 的中点 O ，连接 O E ， O F ，过点 O 作 O H ⊥ E F 于点H，
根据题意可知 △ A E M 与 △ A F M 均为直角三角形，
O A = O E = O M = O F ，故A、 E 、M 、F 四点在 O 上，
E O F = 2 B A D = 1 2 0 ，
OE=OF，
OEF=OFE=30，EF =2EH， E H = c o s O E F O E =
2
3
O E =
2
3
1
2
A M =
4
3
A M ，
3
EF =2EH = AM ，
2
即要使 E F 最小，只需 A M 最小即可．
连接AC， M C ， A C 与 B D 的交点为 M ，根据题意可知点 M 在 B D 上，且 B D 所对的圆心为 C ，
M C = M C ．
A M + M C A C ， A C = A M + M C ，
AM AM，
当点M 与点M重合时，满足AM 最小，进而可知EF最小．
连接 B D ，
C = 6 0 ，BC=CD，
△ B C D 为等边三角形，
B D C = 6 0 ，
A D B = A D C − B D C = 9 0 − 6 0 = 3 0 ，
A B D = 1 8 0 − B A D − A B D = 1 8 0 − 6 0 − 3 0 = 9 0 ，
C D = B D = A D c o s A D B = 2 0
2
3
= 1 0 3 ，
在 R t A C D 中， A C = A D 2 + C D 2 = 2 0 2 +
(
1 0 3
) 2
= 1 0 7 ，
AM = AM= AC−CM=10 7−10 3，
最小值
E F
最 小 值
=
2
3 A M
最 小 值
=
2
3 ( 1 0 7 − 1 0 3 ) = 5 2 1 − 1 5 ．
【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，圆的相关性质，等边三角形的判定与性质，线段的最值问题，
解题的关键是掌握相关知识．
5．【问题提出】（1）如图1， P 是半径为 5 的 O 上一点，直线m是 O 外一条直线，PQ⊥m于点 Q ，圆心 O 到直线m的距
离为 7 ，则线段 P Q 的最大值为 ；
【问题探究】
（2）如图2，点 P 是正方形 A B C D 内一点，连接 B P 、 C P ，则 B P C = 9 0 ，若 A B = 4 ，求 A P 的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，有一块形状为 A B C 的湿地，其中 B A C = 9 0 ，AB=6km， A C = 3 k m ． 点D是 A C 上的一
个动点，以 A D 为直径在 A B C 内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接 B D , B D 与半圆O交于点E，
连接 C E ，沿 C E 修一条步道，为了节约成本，要使得 C E 的长度最短，试求CE的最小值．
【答案】（1）12；（2） 2 5 − 2 ；（3）
(
3 2 − 3
)
k m
【分析】本题考查轨迹圆及利用轨迹圆求最小值，涉及圆的基本知识，正方形的性质，矩形的判定与性质，
勾股定理等知识；确定动点轨迹是解题的关键．
（1）直接利用点到直线的所有连线中垂线段最短即可求解；
（2）根据题意得点 P 的轨迹在以BC为直径的圆 O 上部分，连接 A O ，交圆 O 于点P，此时的 A P 即为AP的
最小，然后根据正方形的性质及勾股定理即可求解；
（3）连接AE，根据题意得： A E D = 9 0 ，以AB为直径作圆Q， B E A = 9 0 ，得出点E在以AB为直径
作圆Q上，然后结合图形确定当点Q、E、C三点共线时，CE取得最小值，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：过点 O 作 P Q1
1
⊥ m ，如图所示：
由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径 O P 不变，
可知此时PQ 最大，
1 1
最大值为7+5=12，
故答案为：12；（2）根据题意得 B C = 4 是定值， B P C = 9 0 ，
∴点P的轨迹在以 B C 为直径的圆O上部分，如图，
连接AO，交圆 O 于点 P ，
此时的AP即为 A P 的最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ A B = B C = 4 ， A B C = 9 0 ，
∵ B O = O P =
1
2
B C = 2 ，
∴ A O = A B 2 + B O 2 = 4 2 + 2 2 = 2 5 ，
∴AP=AO−OP=2 5−2，
∴ A P 的最小值为 2 5 − 2 ；
（3）如图，连接 A E ，
根据题意得： A E D = 9 0 ，
以AB为直径作圆Q，BEA=90，
∴点E在以AB为直径作圆Q上，
连接 Q E ，
当点Q、E、C三点共线时，CE取得最小值，
∵BAC=90， A B = 6 k m ，AC=3km．
1
∴AQ=QE= AB=3km，CQ= AQ2+AC2 =3 2km，
2
( )
∴CE=CQ−QE= 3 2−3 km，∴CE的最小值为
(
3 2 − 3
)
k m ．
押题猜想五 函数与几何中的最大值问题
如图，在Rt ABC中，ACB=90，AB=5，D为直线AC左侧一点．若 ABC∽ CAD，则BC+CD的最
大值为( )
A．
1 5
4
B．
1
2
5
C．
2 5
4
D．
2
5
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，先利用相似三角形的性质
得到AC2 = ABCD，再由勾股定理得到 A C 2 = A B 2 − B C 2 = 2 5 − B C 2 ，则5CD=25−BC2，进而得到
1 5 25
BC+CD=− (BC− )2+ ，由此得解．
5 2 4
【详解】解： A B C ∽ C A D ，
A
A
B
C
=
A
C
C
D
，
A C 2 = A B C D ，
在 R △t A B C 中， A C B = 9 0 ， A B = 5 ，
A C 2 = A B 2 − B C 2 = 2 5 − B C 2 ，
5 C D = 2 5 − B C 2 ，
B C + C D = B C +
1
5
( 2 5 − B C 2 ) = −
1
5
B C 2 + B C + 5 = −
1
5
( B C −
5
2
) 2 +
2 5
4
，
当 B C =
5
2
时， B C + C D 的最大值为
2 5
4
．
故选：C．
押题解读：本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，先利用相似三
角形的性质得到AC2 = ABCD，再由勾股定理得到AC2 = AB2−BC2 =25−BC2，则5CD=25−BC2，进而得到 B C + C D = −
1
5
( B C −
5
2
) 2 +
2 5
4
，由此得解．
1．如图， B A C = B C D = 9 0 ， A C = 2 ，三角形BCD面积始终为2，则 A D 的最大值为（ ）
A．5 B． 5 C． 5 + 2 D． 5+1
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆周角定理等知识，难度大，通过作辅助线，
构造相似三角形，确定点 D 的位置是解题关键．过点 C 作 A C 的垂线，在垂线上取一点 E ，使得 C E = A C = 2 ，
连接DE，取 C E 的中点 O ，连接 O A , O D ，先利用勾股定理可得 O A = 5 ，再求出 C E A C = B C C D = 4 ，则
C
C
D
A
=
C
C
E
B
，证出 △ D E C ∽ △ A B C ，根据相似三角形的性质可得EDC=BAC=90，从而可得点 D 在以点
O 为圆心、 C E 长为半径的圆上，则OD=1，然后根据 A D O A + O D 求解即可得．
【详解】解：如图，过点 C 作 A C 的垂线，在垂线上取一点 E ，使得 C E = A C = 2 ，连接 D E ，取 C E 的中点
O ，连接 O A , O D ，
∴ O C =
1
2
C E = 1 ， O A = A C 2 + O C 2 = 5 ， A C E = 9 0 ，
∴ ∠ A C B + ∠ B C E = 9 0 ，
∵ B C D = 9 0 ，
∴ D C E + B C E = 9 0 ，
∴DCE=ACB，
∵三角形BCD面积始终为2， B C D = 9 0 ，
1
∴ BCCD=2，即BCCD=4，
2
又∵CE= AC=2，∴CEAC=4，
∴ C E A C = B C C D ，即
C
C
D
A
=
C
C
E
B
，
在 D E C 和 A B C 中，
C
C
D
AD
C
=
E
C
C
E
B=
A C B
，
∴ △ D E C ∽ △ A B C ，
∴ E D C = B A C = 9 0 ，
又∵CE=2，
∴如图，点D在以点 O 为圆心、 C E 长为半径的圆上（定弦定角），
∴ O D =
1
2
C E = 1 ，
又∵ A D O A + O D （当且仅当等号成立），
∴AD的最大值为 O A + O D = 5 + 1 ，
故选：D．
2．在四边形ABCD中， A D = 4 ，ABC=135， C = 9 0 ，且BC=CD，则四边形ABCD面积最大值为 ．
【答案】 2 + 2 5 /2 5+2
【分析】本题考查了直角三角形与二次函数综合．熟练掌握勾股定理，一元二次方程根与系数的关系，添
加辅助线构建直角三角形，是解题的关键．
连接 B D ， 可得 ABD 90 ，设 B D = 2 x ，令S =t，得
四边形ABCD
1 6 x 2 − 4 x 4 = t − x 2 ，得 5 x 4 − ( 2 t + 1 6 ) x 2 + t 2 = 0 ，
令 y = 5 x 4 − ( 2 t + 1 6 ) x 2 + t 2 ，得Δ=(2t+16)2−20t2 0且
2 t +
1 0
1 6
4 ，解得0t2+2 5，四边形 A B C D 面积
最大值为 2 + 2 5 ．
【详解】连接 B D ，如图：
B C = C D ， C = 9 0 ，
△BCD为等腰直角三角形，
CBD=45，BD= 2BC， A B C = 1 3 5 ，
ABD=90，
设BD=2x，由勾股定理可得： A B = A D 2 − B D 2 = 1 6 − 4 x 2 ， B C = C D = 2 x ，
S =S +S =x 16−4x2 +x2，
四边形ABCD ABD BCD
令 S
四 边 形 A B C D
= t ，
1 6 x 2 − 4 x 4 = t − x 2 ，
两边平方整理得： 5 x 4 − ( 2 t + 1 6 ) x 2 + t 2 = 0 ，
02x4，
0x2 4，
令 y = 5 x 4 − ( 2 t + 1 6 ) x 2 + t 2 ，
t0，
2 t + 1 6 0 ，t2 0，
y关于 x 2 的函数对称轴在 y 轴右侧，且与 y 轴交点大于 0 ，
当 x 2 = 4 时， y = 8 0 − 4 ( 2 t + 1 6 ) + t 2 = 1 6 − 8 t + t 2 = ( 8 − t ) 2 0 ，
要使x2有 0 到 4 之间正数解，需要方程 0 ，对称轴在 x = 4 左侧，
Δ = ( 2 t + 1 6 ) 2 − 2 0 t 2 0
2t+16
且 4，
10
解得：0t2+2 5，
四边形 A B C D 面积最大值为 2 + 2 5 ．
故答案为： 2 + 2 5 ．
3．如图，在 R △t A B C 中， A C B = 9 0 ，AC=BC=4，将 A B C 绕点 A 沿顺时针方向旋转后得到 A D E ，
直线 B D 、 C E 相交于点 O ，连接 A O ．则 C O D 的度数是 ，△AOC面积的最大值为 ．
【答案】 1 3 5 / 1 3 5 度 4 2 + 4 / 4 + 4 2
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的相关知识三
角形的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
设 A B , C F 相交于点 F ，先证明 A B D ∽ A C E ，得到ABD=ACE，求出 B O C = C A B = 4 5 ，即可得到
COD=180−BOC=135；设O到AC的距离为h，AC=4，以AC为底边，当h最大时，△AOC面积
的最大，A,C,B,O四点共圆，当h垂直AC且通过圆心时，h的值最大，求出△AOC面积的最大值为1
2
A C h =
1
2
4
(
2 2 + 2
)
= 4 2 + 4 ，即可得到答案．
【详解】解：如图，设 A B , C F 相交于点 F ，
在Rt△ABC中， A C B = 9 0 ，AC=BC=4，
C A B = C B A = 4 5
A B C 绕点A沿顺时针方向旋转后得到 A D E ，
AD=AB， A E = A C ， E A D = C A B = 4 5 ，
AC AE
= ，
AB AD
C A E = B A D ，
△ABD∽△ACE，
A B D = A C E ，
B F O = C F A
B O C = C A B = 4 5 ，
C O D = 1 8 0 − B O C = 1 3 5 ；
设O到 A C 的距离为 h ，
A C = 4 ，以 A C 为底边，当h最大时， △ A O C 面积的最大，
B O C = C A B = 4 5 ，
A,C,B,O四点共圆，
A C B = 9 0 ，
AB为此圆直径，AB= AC2+BC2 =4 2
当 h 垂直 A C 且通过圆心时， h 的值最大，
此时h=2 2+2，
△ A O C 面积的最大值为
1
2
A C h =
1
2
4
(
2 2 + 2
)
= 4 2 + 4 ；
故答案为： 1 3 5 ，4 2+4．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y = a x 2 + b x + 3 与x轴交于 A ( − 3 , 0 ) ， B ( 1 , 0 ) 两点，点P是直线
A C 上方的抛物线上的一个动点（不与点 A ，C重合），过 P 作 x 轴的垂线，垂足为E，交直线AC于点D．(1)求抛物线的表达式：
(2)若点P的横坐标为m，用含m的代数式表示 P D ；
(3)过点 P 作 P Q ⊥ A C 于点Q，当PQ的值最大时，求点 P 的坐标及PQ的最大值．
【答案】(1) y = − x 2 − 2 x + 3
(2) P D = − m 2 − 3 m
(3)当PQ取最大值时，点P的坐标为
−
3
2
,
1 5
4
， P Q 的最大值为
9
8
2
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，翻折变换，等腰直角三角形三边关系等，解题的
关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）用待定系数法可得该抛物线的表达式为 y = − x 2 − 2 x + 3 ；
（2）求出直线 A C 的表达式为 y = x + 3 ，进而表示出D的坐标，即可求解；
（3）由点 A ( − 3 , 0 ) ， C ( 0 , 3 ) 2 ，可得PQ= DP，根据
2
D P 的长，根据二次函数性质即可求解．
【详解】（1）解：把点 A ( − 3 , 0 ) ， B ( 1 , 0 ) 代入 y = a x 2 + b x + 3 ，得：
9
a
a
+
−
b
3 b
+
+
3
3
=
=
0
0
解得：
a
b
=
=
−
−
1
2
抛物线的表达式为 y = − x 2 − 2 x + 3 ；
（2）设直线 A C 的表达式为 y = k x + n ，
把A(−3,0)，C(0,3)代入，得：
−3k+n=0
n=3
k =1
解得
n=3
直线AC的表达式为y x 3．
点P的横坐标为m， P ( m , − m 2 − 2 m + 3 ) ， D ( m , m + 3 )
P D = − m 2 − 2 m + 3 − ( m + 3 ) = − m 2 − 3 m
（3）如图
点 A ( − 3 , 0 ) ， C ( 0 , 3 ) ，
O A = O C ，
D A E = A D E = P D Q = 4 5 ，
P D Q 是等腰直角三角形，
P Q =
2
2
D P ，
P D = − m 2 − 3 m = −
m +
3
2
2
+
9
4
，
− 1 0 ，则 t = −
3
2
时 D P 有最大值
9
4
3 2 3 15
此时−t2−2t+3=−− −2− +3=
2 2 4
P Q =
2
2
D P =
2
2
9
4
=
9
8
2
当 P Q 取最大值时，点 P 的坐标为
−
3
2
,
1 5
4
， P Q
9 2
的最大值为 ．
8
5．在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+2x+3与x轴交于点 A ( − 1 , 0 ) 和点 B， 与y轴交于点 C．
(1)求a的值；
(2)如图，M是第一象限抛物线上的点，MAB=ACO， 求点M的坐标；(3)在直线 B C 上方的抛物线上有一动点 P，过点P作 P E ⊥ B C 于点E， 作PF∥AB交 B C 于点 F．当 PEF
的周长有最大值时，求点 P 的坐标和 P E F 的周长．
【答案】(1) a = − 1 ；
(2) (
8
3
,
1 1
9
) ；
(3)P(
3
2
15
， )；
4
9 + 9
4
2
．
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，构造二次函数求三角形面积的
最大值，熟练掌握抛物线的性质，待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键．
（1）运用待定系数法解答计算即可．
（2）首先求出二次函数的解析式得出点A，B，C，的坐标，)设 M ( m ， − m 2 + 2 m + 3 ) ，
作 M H ⊥ x 轴于点H，构造直角三角形，利用锐角三角函数建立关于m的方程求解即可;
（3）连接 P C ， P O ， P B ．设P ( m,−m2+2m+3 ) ，结合 P E F ( ) 的周长为PE+EF+PF = 2+2 PE，得当 P E
的值最大时， P E F 的周长最大，利用 S
P B C
= S
P O B
+ S
P O C
− S
O B C
求得最值，代入计算即可．
【详解】（1）∵抛物线 y = a x 2 + 2 x + 3 经过点 A ( − 1 , 0 ) ，
∴a−2+3=0，
解得a=−1，
（2）∵ a = − 1 ，
∴二次函数表达式为： y = − x 2 + 2 x + 3 = − ( x − 1 ) 2 + 4 ，
令 y = 0 ，解得 x = − 1 或 x = 3 ，
令x=0得 y = 3 ，
∴ A ( − 1 ,0 ) ， （B 3 ,0 ） ， C ( 0 ,3 ) ．
∴OC=3， O A = 1
设 M ( m , − m 2 + 2 m + 3 ) ，
作 M H ⊥ x 轴于点H，如图，
∵MAB=ACO，MH OA
∴tanMAB=tanACO，即 = ，
AH OC
∴
− m 2 +
m
2
+
m
1
+ 3
=
1
3
8
解得m= 或
3
m = − 1 （舍去），
∴ − m 2 + 2 m + 3 = −
8
3
2
+ 2
8
3
+ 3 =
1 1
9
，
∴M的坐标为
8
3
,
1 1
9
；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+t(k 0)，B（3,0），C(0,3)
3k+t =0
则 ，
t =3
解得：
k
t
=
=
−
3
1
．
∴直线 B C 的解析式为 y = − x + 3 ．
连接 P C ，PO， P B ．
设P ( m,−m2+2m+3 ) ，
∵ B ( 3 , 0 ) , C ( 0 , 3 ) ，
∴ O B = O C = 3 , B C = 3 2 + 3 2 = 3 2 ，
∴OBC=OCB=45，
∵PF∥AB，
∴ O B C = P F E = 4 5 ，
∵ P E ⊥ B C ，
∴ PEF是等腰直角三角形，
∴PF = 2PE，∴ P E F 的周长为 P E + E F + P F =
(
2 + 2
)
P E ，
∴当 P E 的值最大时， P E F 的周长最大，
∵S =S +S −S
PBC POB POC OBC
=
1
2
O B P
y
+
1
2
O C P
x
−
1
2
O B O C
1 1 1 3 9
= 3 ( −m2+2m+3 ) + 3m− 33=− m2+ m
2 2 2 2 2
= −
3
2
m −
3
2
2
+
2 7
8
，
∵ −
3
2
0 ，
∴ m =
3
2
时，△PBC的面积最大，面积的最大值为
2 7
8
， − m 2 + 2 m + 3 =
1 5
4
，根据 B C 是定值，故此时 P E 的值
最大，
∵
1
2
3 2 P E =
2 7
8
，
9 2
∴PE = ，
8
∴ P E F
( ) 9 2 9 2+9
的周长的最大值：PE+EF+PF = 2+2 = ，此时
8 4
P
3
2
,
1 5
4
．
押题猜想六 函数与几何中的取值范围问题
如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点 A 位于第一象限内， O A = 1 0 ，并且点 A 到 x 轴的距离为 6 ，
点B对应的坐标为(a,0)．若 AOB为钝角三角形，则a的取值范围是（ ）
A．a12.5
B．0a8
C．a8且 a 0 ，或a12
D．a8且a0，或a12.5
【答案】D【分析】本题考查平面直角坐标系，三角形的性质，点到坐标轴的距离，锐角三角函数等知识；正确分类
是解题的关键；
根据题意，分 A B O 为直角， A 为直角，即可求解；
【详解】解：如图1，当 A B 垂直于x轴时， A B O 为直角，此时， O B = 8 ，即 a = 8 ．
当0a8时， A B O 为钝角， △ O A B 是钝角三角形，
当a0时，AOB为钝角， △ O A B 也是钝角三角形．
当点B和点O重合时，围不成三角形，所以 a 0 ．
如图2，当 A 为直角时，已知 O A = 1 0 ，点 A 到x轴的距离为 6 ，
则 O B = O A 2 − A B 2 = 1 0 2 − 6 2 = 8 ，
可知 c o s A O B = 0 .8 ，
∴OB=12.5，
当 a 1 2 .5 时， A 为钝角， A O B 为钝角三角形．
综上所述，当 A O B 为钝角三角形时， a 8 且 a 0 ，或 a 1 2 .5 ．
押题解读：本题考查平面直角坐标系，三角形的性质，点到坐标轴的距离，锐角三角函数等知识；
正确分类是解题的关键；根据题意，分 A B O 为直角， A 为直角，即可求解；
1．已知A(x,y )，
1 1
B ( x
2
, y
2
) 是抛物线 y = a x 2 − 3 x + 1 上的两点，其对称轴是直线x=x ，若
0
x
1
− x
0
x
2
− x
0
时，总有 y
1
y
2
，同一坐标系中有 M ( − 2 , − 3 ) ，N(4,3)，且抛物线与线段MN有两个不相同的交点，则 a 的
取值范围是（ ）A． a −
5
2
B． −
5
2
a 2 C．
7
8
a 2 D． a
7
8
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象上的点的坐标特征等知识点，掌握
二次函数的性质是解题的关键．
先利用待定系数法求出 M N 的解析式，根据二次函数的性质得出x=4时，y3，且 −
−
2
3
a
4 ，进一步利用 0
求解即可．
【详解】解：设直线MN的解析式为 y = k x + b ( k 0 ) ，
−2k+b=−3
则 ，解得：
4k+b=3
k
b
=
=
1
− 1
，
∴直线 M N 的解析式为y=x−1，
∵ A ( x
1
, y
1
) , B ( x
2
, y
2
) 是抛物线 y = a x 2 − 3 x + 1 上的两点，其对称轴是直线x=x ，若
0
x
1
− x
0
x
2
− x
0
时，总有
y y ，
1 2
∴a0，
∵抛物线 y = a x 2 − 3 x + 1 与线段 M N 有两个不相同的交点，
∴ x = 4 时，y3，且抛物线与直线 M N 有交点，
∴ 1 6 a − 1 2 + 1 3 ，解得： a
7
8
；
令 x − 1 = a x 2 − 3 x + 1 ，整理得： a x 2 − 4 x + 2 = 0 ，
∵ = 1 6 − 8 a ＞ 0 ，
∴a2，
7
∴ a2．
8
故选C．
2．如图，在 R △t A B C 中， A B C = 9 0 ， A C = 5 ， ta n C = 2 ， D 是 A C 上的动点，将 △ B C D 沿 B D 翻折，如
果点C落到△ABD内（不包括边），那么 C D 的取值范围是 ．【答案】 1 C D
5
3
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，先解直角
三角形得到AB=2BC，再利用勾股定理求出 B C = 5 ；设点C折叠后的对应点为E，再分点E恰好在 A C 上
和点E恰好在 A B 上两种情况，分别求出对应的 C D 的长即可得到结论．
【详解】解：∵在 R △t A B C 中， A B C = 9 0 ， ta n C = 2 ，
AB
∴ =2，
BC
∴AB=2BC，
在 R △t A B C 中，由勾股定理得 A B 2 + B C 2 = A C 2 ，
∴ ( 2 B C ) 2 + B C 2 = 5 2 ，
∴ B C = 5 ，
设点C折叠后的对应点为E，
如图所示，当点E恰好在 A C 上时，
由折叠的性质可得BDC=BDE=90，则同理可得 C D = 1 ；
如图所示，当点E恰好在AB上时，过点D作DF ⊥ BC于F，由折叠的性质可得 ∠ E B D = ∠ C B D =
1
2
∠ A B C = 4 5 ，
∵ D F ⊥ B C ，
∴ BDF是等腰直角三角形，
∴ B F = D F ，
∵在Rt△CDF中， ta n C =
D
C
F
F
= 2 ，
∴ B F = D F = 2 C F ，
∴ B C = B F + C F = 3 C F = 5 ，
∴ C F =
3
5
，
5
∴CD= CF2+DF2 = 5CF = ，
3
∴当点C落到△ABD内（不包括边）时， 1 C D
5
3
，
故答案为： 1 C D
5
3
．
3
3．如图（示意图），某跳水运动员进行10m跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为− ,−10．运动员（将
2
运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．运动员在空中最高处点A的坐标为
1 ,
5
4
运动
员入水后，运动路线为另一条抛物线，在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且 E M =
2
2
1
m , E N =
2 7
2
m ，
该运动员入水后运动路线对应的抛物线的函数解析式为y=a(x−h)2+k，且顶点C距水面5m，若该运动员
出水点D在MN之间（包括M，N两点），则a的取值范围 ．5 4
【答案】 a
16 5
【分析】本题主要考查了二次函数的应用．依据题意，先求其解析式，再根据条件即可求出 a 的取值范围．
21 27
【详解】解： EM = m，EN = m，
2 2
点 E 的坐标为
−
3
2
, − 1 0
．
点 M ， N 的坐标分别为 ( 9 , − 1 0 ) ， (1 2 , − 1 0 ) ．
5
A1, ，
4
可设运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为 y = m ( x − 1 ) 2 +
5
4
．
又 此时抛物线过 ( 0 , 0 ) ，
5
m+ =0．
4
5
m=− ．
4
运动员在空中运动时对应抛物线的函数解析式为 y = −
5
4
( x − 1 ) 2 +
5
4
．
令y=−10，
5 5
−10=− (x−1)2+ ．
4 4
x = 4 或 − 2 （舍去）．
B(4,−10)．
该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为 y = a ( x − h ) 2 + k ，
当抛物线过点 M ( 9 , − 1 0 ) 时，顶点为 ( 6 .5 , − 1 5 ) ．
此时 y = a ( x − 6 .5 ) 2 − 1 5 ，把 M ( 9 , − 1 0 )
4
代入，得a= ．
5
5
同理，当抛物线过点N(12,−10)时，a= ，
16由点 D 在 M N 之间得 a 的取值范围为
1
5
6
a
4
5
．
5 4
故答案为： a ．
16 5
4．在平面直角坐标系中，拋物线 y = x 2 − 2 m x + m 2 + 1 存在两点 A ( m − 1 , y
1
) , B ( m + 2 , y
2
) ．
(1) A B = ；
(2)求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴没有公共点；
(3)若点M(2,y )也是抛物线上的点，记抛物线在
3
A , M 之间的部分为图象 G （包括 M , A 两点），记图形 G 上
任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若 t y
2
− y
1
，则m的取值范围为 ．
【答案】(1) 3 2
(2)证明见解析
(3) m 4 或m2− 3
【分析】（1）先根据抛物线的解析式求出 y
1
, y
2
的值，从而可得点 A , B 的坐标，再利用两点之间的距离公式
计算即可得；
（2）根据一元二次方程根的判别式可得关于 x 的一元二次方程 x 2 − 2 m x + m 2 + 1 = 0 没有实数根，由此即可
得证；
（3）先求出 t 3 ， M ( 2 , m 2 − 4 m + 5 ) ，再设点A关于对称轴的对称点为点 C ，则 C ( m + 1 , 2 ) ，分两种情况：
①m3和② m 1 ，得出点的纵坐标的最大值与最小值，建立不等式，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：将 A ( m − 1 , y
1
) 代入 y = x 2 − 2 m x + m 2 + 1 得： y
1
= ( m − 1 ) 2 − 2 m ( m − 1 ) + m 2 + 1 = 2 ，
将 B ( m + 2 , y
2
) 代入 y = x 2 − 2 m x + m 2 + 1 得： y
2
= ( m + 2 ) 2 − 2 m ( m + 2 ) + m 2 + 1 = 5 ，
∴A(m−1,2),B(m+2,5)，
∴ A B = ( m + 2 − m + 1 ) 2 + ( 5 − 2 ) 2 = 3 2 ，
故答案为： 3 2 ．
（2）证明：∵关于x的一元二次方程 x 2 − 2 m x + m 2 + 1 = 0 的根的判别式为Δ=(−2m)2 −4 ( m2+1 )
=4m2−4m2−4
=−40，
∴这个一元二次方程没有实数根，
∴不论m为何值，函数y=x2−2mx+m2+1的图象与x轴没有公共点．
（3）解：由（1）已得：A(m−1,2),B(m+2,5)，
∴t y −y = 5−2 =3，
2 1
将点M(2,y )代入y=x2−2mx+m2+1得：y =22−4m+m2+1=m2−4m+5，
3 3∴ M ( 2 , m 2 − 4 m + 5 ) ，
二次函数y=x2−2mx+m2+1化成顶点式为 y = ( x − m ) 2 + 1 ，
∴其对称轴为直线x=m，顶点坐标为 ( m ,1 ) ，
设点A关于对称轴的对称点为点 C ，则 C ( m + 1 , 2 ) ，
∴抛物线在 A , C 之间的部分上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为 2 − 1 = 1 3 ．
则分以下两种情况：
①如图，当点M 在点A左侧时， m − 1 2 ，即 m 3 ，
此时在图形G内，y随 x 的增大而减小，
∴点 M 的纵坐标最大，点 A 的纵坐标最小，
∴ t = m 2 − 4 m + 5 − 2 3 ，即 m 2 − 4 m 0 ，
令 S = m 2 − 4 m ，则当 S = 0 时， m 2 − 4 m = 0 ，解得 m = 0 或 m = 4 ，
∴二次函数 S = m 2 − 4 m = ( m − 2 ) 2 − 4 与 x 轴的交点坐标为 ( 0 , 0 ) 和 ( 4 , 0 ) ，抛物线的开口向上，其对称轴为直
线 m = 2 ，
∴不等式 m 2 − 4 m 0 的解集为m4或m0（不符合题设，舍去），
∴此时m的取值范围是 m 4 ；
②如图，当点 M 在点C右侧时， m + 1 2 ，即 m 1 ，
此时在图形G内，点M 的纵坐标最大，顶点的纵坐标最小，
∴t=m2−4m+5−13，即m2−4m+10，令 T = m 2 − 4 m + 1 ，则当 T = 0 时， m 2 − 4 m + 1 = 0 ，解得 m = 2 + 3 或 m = 2 − 3 ，
∴二次函数T =m2−4m+1=(m−2)2−3与 x
( ) ( )
轴的交点坐标为 2− 3,0 和 2+ 3,0 ，抛物线的开口向上，其
对称轴为直线m=2，
∴不等式m2−4m+10的解集为m2− 3或m2+ 31（不符合题设，舍去），
∴此时m的取值范围是 m 2 − 3 ；
综上，m的取值范围是 m 4 或 m 2 − 3 ，
故答案为： m 4 或 m 2 − 3 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、两点之间的距离公式、利用二次函数解不等式，二次函数与
一元二次方程等知识，难度较大，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = − ( x − a ) 2 + c 与x轴交于A(−1,0)、 B 两点，点 A 在点 B 左侧，
与y轴交于点 C ( 0 , 5 ) ，抛物线的顶点为D，作直线BD，点 P 是抛物线上的一个动点，且点 P 在抛物线对称
轴左侧，过点 P 作 y 轴的垂线，与直线 B D 交于点 E ，点 C 关于直线 P E 的对称点为 C ，连接CE、CE，设
点P的横坐标为 m ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点 C 的纵坐标与顶点 D 的纵坐标相等时，求 m 的值；
(3)当此抛物线在 △ E C C 内部的点的纵坐标 y 随 x 的增大而增大或y随 x 的增大而减小时，求m的取值范围；
(4)连接 D A ，当 E C C 与 D A B 相等时，直接写出m的值．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=−x2+4x+5；
(2)m=2− 2；
(3)0m2或 m − 1 ；
4− 21
(4)m的值为 或2− 3．
2
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（ 2 ）先求出顶点 D 的坐标为 ( 2 , 9 ) ，再根据题意得点 P 的纵坐标为 7 ，然后代入解析式 y = − x 2 + 4 x + 5 即
可求解；
（ 3 ） 0 m 2 时， − 1 m 0 时，m−1时三种情况分析即可；
（4）先求出直线BD的表达式为 y = − 3 x + 1 5 ，过D作DG⊥x轴于点 H ，设PE与y轴交于点 H ，设
P ( m , − m 2 + 4 m + 5 ) ，求出 E
1
3
m 2 −
4
3
m +
1 0
3
, − m 2 + 4 m + 5
，则 C H = − m 2 + 4 m + 5 − 5 = − m 2 + 4 m ，
1 4 10
EH = m2− m+ ，又ECC=DAB，故有tanECC=tanDAB，然后得出方程
3 3 3
1 4 10
m2− m+ =3−m2+4m ，然后求解并检验即可．
3 3 3
【详解】（1）解：∵抛物线 y = − ( x − a ) 2 + c 与x轴交于 A ( − 1 , 0 ) ， C ( 0 , 5 ) ，
∴
0
5
=
=
−
−
(
(
−
0
1
−
−
a
a
)
)
2
2
+
+
c
c
，解得：
a
c
=
=
2
9
，
∴抛物线的解析式为 y = − ( x − 2 ) 2 + 9 = − x 2 + 4 x + 5 ；
（2）解：由（ 1 ）得：抛物线的解析式为 y = − x 2 + 4 x + 5 ，
∴顶点D的坐标为 ( 2 , 9 ) ，
∵点 C 的纵坐标与顶点D的纵坐标相等，
∴点 C 的坐标为 ( 0 , 9 ) ，
∴点P的纵坐标为
5 +
2
9
= 7 ，
当 y = 7 时，7=−m2+4m+5，
解得： m = 2 + 2 或m=2− 2，
∵ P 点在对称轴左侧，
∴m2，
∴ m = 2 − 2 ；
（3）解：由题意可知， P 点在对称轴左侧，
∴m2，
当0m2时，抛物线在 △ E C C 内部的点的纵坐标 y 随x的增大而增大；
当−1m0时，在 △ E C C 内部不存在抛物线图象；
当m−1时，抛物线在 △ E C C 内部的点的纵坐标 y 随 x 的增大而减小；
综上可知：m的取值范围为 0 m 2 或 m − 1 ；
（4）解：设直线BD的表达式为y=kx+b，
1 1
由y=−x2+4x+5，当y=0时，−(x−2)2+9=0，解得：x =−1，
1
x
2
= 5 ，
∴B(5,0)，
∵D(2,9)，
2k +b =9
∴ 1 1 ，
5k +b =0
1 1
解得：
k
b
1
1
=
=
−
1
3
5
，
∴直线 B D 的表达式为 y = − 3 x + 1 5 ，
如图，过 D 作 D G ⊥ x 轴于点G，设 P E 与 y 轴交于点 H ，
∴ D G = 9 ，AG=3，
设P ( m,−m2+4m+5 ) ，
∵PE∥x轴，
∴点E纵坐标为−m2+4m+5，
∵点E在直线BD上，
∴ − m 2 + 4 m + 5 = − 3 x + 1 5
1 1 4 10
，解得：x= ( m2−4m+10 ) = m2− m+ ，
3 3 3 3
1 4 10
∴E m2− m+ ,−m2+4m+5，
3 3 3
1 4 10
∴CH = −m2+4m+5−5 = −m2+4m ，EH = m2− m+ ，
3 3 3
∵ECC=DAB，
∴ ta n E C C = ta n D A B ，
EH DG 9
∴ = = =3，
CH AG 3∴ E H = 3 C H ，
1 4 10
∴ m2− m+ =3−m2+4m ，
3 3 3
4− 21 4+ 21
解得：m= 或m= 或
2 2
m = 2 + 3 或 m = 2 − 3 ，
∵ P 点在对称轴左侧，
∴m2，
4− 21
∴m= 或
2
m = 2 − 3 ，
∴ m 的值为
4 −
2
2 1
或 2 − 3 ．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，解一元二次方程，三角函数，熟练掌
握以上内容并能运用分类讨论的数学思想和数形结合的思想是解题的关键．
押题猜想七 函数与几何中的新定义问题
新定义： a , b , c 为二次函数 y = a x 2 + b x + c （ a 0 ，a，b，c为实数）的“图象数”．如： y = x 2 − 2 x + 3 的“图
象数”为 1 , − 2 , 3 ．若点P(x,y )，
1 1
Q ( x
2
, y
2
) 在“图象数”为 m , − 2 m , − 3 m 的二次函数的图象上，且 m 0 ，
y
1
= − 3 m ，则当 y
1
y
2
时，x 的取值范围为（ ）
2
A．0x 2 B．x 2 C．x 0或x 2 D．x 0
2 2 2 2 2
【答案】C
【分析】根据题意，得“图象数”为 m , − 2 m , − 3 m 的二次函数的解析式为 y = m x 2 − 2 m x − 3 m ，根据m0，得
到对称轴为直线 x = −
− 2 m
2 m
= 1 ，当 y
1
= − 3 m 时，得到mx2−2mx−3m=−3m，根据m0，得到x2−2x=0求得
x =0或
1
x
1
= 2 ，根据 m 0 ，得到抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越大函数值越大，当 x
1
= 0
时，结合 y
1
y
2
，得 0−1< x −1，解得
2
x
2
0 或x 2；当
2
x
1
= 2 时，结合 y
1
y
2
，得 2−1< x −1，解得
2
x
2
0
或x 2；解答即可．
2
【详解】解：根据题意，得“图象数”为 m , − 2 m , − 3 m 的二次函数的解析式为 y = m x 2 − 2 m x − 3 m ，
∵m0，
−2m
∴对称轴为直线x=− =1，
2m
当y =−3m时，得到mx2−2mx−3m=−3m，
1∵m0，
∴x2−2x=0，
解得x =0或x =2，
1 1
∵m0，
∴抛物线开口向上，抛物线上的点到对称轴的距离越大函数值越大，
当x =0时，
1
∵y y ，得
1 2
0 − 1 < x
2
− 1 ，
解得x 0或x 2；
2 2
当x =2时，
1
∵y y ，得
1 2
2 − 1 < x
2
− 1 ，
解得x 0或
2
x
2
2 ；
综上所述，x 0或x 2，
2 2
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线的新定义，抛物线的增减性，对称轴，绝对值的化简，解不等式，熟练掌握定
义，增减性是解题的关键．
押题解读：本题考查了抛物线的新定义，抛物线的增减性，对称轴，绝对值的化简，解不等式，熟练
掌握定义，增减性是解题的关键．
1．在平面直角坐标系中，定义：已知 y 是 x 的函数，如果对于任意两个不相等的自变量
1
x，x (x x )，
2 1 2
当x xx 时，y的取值范围是ax yax (a0)，那么将
1 2 1 2
x
1
x x
2
称为这个函数的“a级封闭定义域”．例
如：函数 y = 3 x ，当1x3时，3 y9，所以1x3是函数 y = 3 x 的“3级封闭定义域”．下列结论：①1x2
是函数y=−x+3的“1级封闭定义域”；②若0xb(b0)是函数y x2的“2级封闭定义域”，则b=2；③
若函数 y = k x + 4 存在“3级封闭定义域”，则 k = − 3 ；④函数 y = − 4 x 2 + 3 x + 4 不存在“4级封闭定义域”．其中
正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】此题考查了新定义问题，一次函数，二次函数的图象和性质，解题的关键是正确分析题意．
①求出当x=1时， y = 2 ； x = 2 时， y = 1 ，进而得到当1x2时，y的取值范围是 1 1 y 1 2 ，然后根
据“a级封闭定义域”的概念判断即可；
②首先得到当x=0时，y=0；当x=b时，y=b2，然后根据题意判断即可；③根据题意得到当 x
1
x x
2
时， y 的取值范围是 3 x
1
y 3 x
2
，然后得到 k x
1
+ 4 = 3 x
1
， k x
2
+ 4 = 3 x
2
，整理
得到k(x −x )=3(x −x )，即可判断；
1 2 1 2
④当 x = x
1
时， y = − 4 x
1
2 + 3 x
1
+ 4 ；当 x = x
2
时， y = − 4 x
2
2 + 3 x
2
+ 4 ；假设函数 y = − 4 x 2 + 3 x + 4 存在“4级封
闭定义域”，得到 − 4 x
1
2 + 3 x
1
+ 4 = 4 x
1
， − 4 x
2
2 + 3 x
2
+ 4 = 4 x
2
−1− 65 −1+ 65
，求出x = 0，x = 0，然
1 8 2 8
后求出 x
1
3
8
x
2
，进而判断即可．
【详解】解：①当 x = 1 时，y=−x+3=−1+3=2；当 x = 2 时，y=−x+3=−2+3=1；
∴当 1 x 2 时， y 的取值范围是 1 1 y 1 2 ，
∴ 1 x 2 是函数y=−x+3的“1级封闭定义域”，故①正确；
②当x=0时， y = 0 ；当x=b时， y = b 2 ，
∵ 0 x b ( b 0 ) 是函数 y x 2 的“2级封闭定义域”，
∴ 2 0 y 2 b ，即 0 y 2 b ，
∴ 2 b = b 2 ，
解得b=2或 b = 0 （舍去），故②正确；
③∵函数 y = k x + 4 存在“3级封闭定义域”，
∴当x xx 时，
1 2
y 的取值范围是 3 x
1
y 3 x
2
，
∴当x=x 时，
1
y = k x
1
+ 4 ；当 x = x
2
时， y = k x
2
+ 4 ；
若k为负数时， k x
1
+ 4 = 3 x
2
， k x
2
+ 4 = 3 x
1
，
两式相减得： k x
1
− k x
2
= 3 x
2
− 3 x
1
，
∴k(x −x )=−3(x −x )，
1 2 1 2
∵x x ，
1 2
∴ k = − 3 ，
即若函数 y = k x + 4 存在“3级封闭定义域”，则 k = − 3 ；
故③正确；
④当x=x 时，
1
y = − 4 x
1
2 + 3 x
1
+ 4 ；当 x = x
2
时， y = − 4 x
2
2 + 3 x
2
+ 4 ；
假设函数y=−4x2+3x+4存在“4级封闭定义域”，
∴当 x
1
x x
2
( x
1
x
2
) 时，y的取值范围是 4 x
1
y 4 x
2
，
∴ − 4 x
1
2 + 3 x
1
+ 4 = 4 x
1
，−4x 2+3x +4=4x ，
2 2 2
整理得，4x2+x −4=0，4x 2+x −4=0，
1 1 2 2
−1 65 −1 65
解得x = ，x = ，
1 8 2 8∵ x
1
x
2
，
∴ x
1
=
− 1 −
8
6 5
0 ， x
2
=
− 1 +
8
6 5
0 ，
∵函数y=−4x2+3x+4的对称轴为直线 x = −
2
3(
− 4 )
=
3
8
，
3
∴x x ，
1 8 2
3
∴当x= 时，取得最大值，
8
∴x xx 时，y的范围不是
1 2
4 x
1
y 4 x
2
，
∴函数 y = − 4 x 2 + 3 x + 4 不存在“4级封闭定义域”，故④正确．
综上所述，其中正确结论的个数是4个．
故选：D．
2．我们给出定义：如果两个锐角的和为45，那么称这两个角互为半余角．如图，在 A B C 中， A ， B
互为半余角，且
B
A
C
C
=
2
2
，则 c o s A = ．
【答案】
3
1
1
0
0
/
1
3
0
1 0
【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形外角的定义及性质，过点B作 B D ⊥ A C ，交 A C 的
延长线于点D．设 B C = 2 a ， A C = 2 a ．由三角形外角的定义及性质得出 D C B = A + A B C = 4 5 ，再解
直角三角形求出 B D = a ， C D = a ，再求出AD=3a，由勾股定理得出 A B = a 2 + ( 3 a ) 2 = 1 0 a ，即可得解．
【详解】解：如图，过点B作BD⊥ AC，交 A C 的延长线于点D．
BC 2
∵ = ，
AC 2
∴设BC= 2a， A C = 2 a ．
∵ A ，ABC互为半余角，
∴DCB=A+ABC=45．
2 2
在Rt△CDB中，BD=BC·sin45= 2a =a，CD=BC·cos45= 2a =a．
2 2
∵AC=2a，∴ A D = A C + C D = 2 a + a = 3 a ，
∴ A B = a 2 + ( 3 a ) 2 = 1 0 a ．
AD 3a 3 10
在Rt△ABD中，cosA= = = ，
AB 10a 10
故答案为：
3
1
1
0
0
．
3．定义：若存在实数 m 0 ，对于任意的函数值 y ，都满足−m ym，则称这个函数是有界函数，在所有
满足条件的m中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是 1 ．将函
数y=−x2+1(t−3xt，t0)的图象向上平移 t 个单位，得到的函数的边界值n满足 2 n
1 9
4
时，则 t 的取
值范围是 ．
【答案】
1
2
t 1 或
1 +
2
1 3
t
1 + 2
2
6
【分析】本题考查了二次函数图象的平移和二次函数的最值问题，根据条件分类讨论函数值绝对值最大的
情况是解决问题的关键点．
根据二次函数的平移得出y=−x2+1+t (t−3xt，t0)，当x=t−3时，y =−t2+7t−8，当x=t时，
1
y
2
= − t 2 + 1 + t ，当 x = 0 时， y
3
= 1 + t ，然后分三种情况分析，结合函数草图及二次函数的性质求解即可．
【详解】解：函数y=−x2+1的图象向上平移t个单位，得到的函数解析式为 y = − x 2 + 1 + t ( t − 3 x ，t t 0 ) ，
当 x = t − 3 时， y
1
= − ( t − 3 ) 2 + 1 + t = − t 2 + 7 t − 8 ，
当x=t时， y
2
= − t 2 + 1 + t ，
当x=0时， y
3
= 1 + t ，
抛物线的开口向下，对称轴为直线 x = 0 ，
当y = y,y = y 时，此时，t−3xt在对称轴右侧，即t−30，即t3，
max 1 min 2
∴
−
2
1
9
4
y
1
y
2
1
9
4
− 2
，
此时，不等式组无解，不符合题意；
当y = y ,y = y 时，
max 3 min 2此时， 0 − ( t − 3 ) t − 0 ，即 t
3
2
，t−30，即t3，
3
∴ t3，
2
∴ t + 1
1 9
4
，
15
∴t ，
4
−
1 9
4
− t 2 + 1 + t − 2 ,
解得：
t
1
1
−
+
2
2
2
1
6
3
或
t
t
1
1
+
+
2
2
2
1
6
3
，
1+ 13 1+2 6
∴ t ；
2 2
当 y
m ax
= y
3
, y
m in
= y
1
时，
此时， 0 − ( t − 3 ) t − 0 ，即 t
3
2
，
t − 3 0 ，即 t 3 ，
∵ t 0
3
∴0t ，
2
∴ 1 t + 1
5
2
，
5
∴1 y ，
max 2
19
− −t2+1+t−2,
4
解得：
t
1
2
6
或
t
t
1 3
2
1
，
1
∴ t1；
2
综上可得：
1
2
t 1
1+ 13 1+2 6
或 t ，
2 2
1 1+ 13 1+2 6
故答案为： t1或 t ．
2 2 2
4．定义：若以函数y图象上的点P与平面内两个点A，B为顶点构成的三角形是等边三角形，则称P是y上关于A， B 的“等边点”．在平面直角坐标系中，已知 A ( 0 , 3 ) ， B ( − 1 , 0 ) ， C ( 3 , 0 ) ．
(1)正比例函数 y
1
上存在关于B， C 的“等边点”，直接写出正比例函数 y
1
的解析式；
(2)点Q是 y 轴正半轴上一点，点 P 是反比例函数y 上关于
2
C ，Q的“等边点”，且PC∥y轴，求反比例函数y
2
的解析式；
(3)二次函数y 过点
3
A ，B， C ，则y 的解析式为______；
3
① 如图 ① ，射线 A K 交x轴于点 K ，点 A 是 y
3
上关于 M ， N 的“等边点”，其中 M 在射线 A K 上， N 在射
线AC上，求点 K 的坐标；
② 如图 ② ，点 E 是第一象限内二次函数 y
3
的对称轴上一动点，若点 P 是 y
3
上关于 C ， E 的等边点，直接写
出点P的横坐标．
【答案】(1) y
1
= 2 3 x 或 y
1
= − 2 3 x ；
(2) y
2
=
6
x
3
；
(3)y =−x2+2x+3；
3
① K ( 3 3 − 6 , 0 ) ； ② − 1 或 3 −
3
3
．
【分析】本题考查二次函数综合题，通过新定义“等边点”确定解析式，正比例函数，等边三角形的性质，二
次函数图象上点的坐标特点等知识点，理解新定义和熟悉二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据图象和 B 、 C 的坐标即可得解；
（2）由题意得 △ P C Q 是等边三角形， P C ∥ y 轴，通过解三角形的计算即可得到P点坐标，即可得解；
（3）y 的解析式为：
3
y
3
= − x 2 + 2 x + 3 ，①作 K N ⊥ A C 垂足为 N ，通过勾股定理可得 A C = 3 2 ，设AN =x，
KN = 3x，NC= 3x，求出 x 的值即可得解；
② 当 B ， P 重合时，过 C 作QC ⊥CE，交 E P 延长线于点Q，过点Q作 Q G ⊥ x 轴于点G，证明△EHC∽△CGQ，
设E(1,t)，可求得 Q ( 3 + 3 t , 2 3 )
4+ 3t 2 3+t
，P , ，将P代入y=−x2+2x+3，即可得解．
2 2
【详解】（1）解： B(−1,0)，C(3,0)，
B C = − 1 + 3 = 4 ，
BC边上的高为： 42−22 =2 3，P点的纵坐标为： 2 3 ，
∵点P的横坐标为
− 1 +
2
3
= 1 ，
设正比例函数 y
1
的解析式为y =kx，
1
∴ k = 2 3
∴y =2 3x或
1
y
1
= − 2 3 x ；
（2）解：如图所示，由题意得 △ P C Q 是等边三角形， P C ∥ y 轴，
2 = 6 0 ， 1 = 3 0 ，
Rt△OCQ中，
O Q = O C ta n 3 0 = 3
3
3
= 3 ，
P C = C Q =
s
O
in
Q
3 0
= 2 O Q = 2 3 ，
P
(
3 , 2 3
)
，
设 y
2
=
k
x
( k 0 ) ，
将 P
(
3 , 2 3
)
代入，
解得， k = 6 3 ，
y
2
的解析式为 y
2
=
6
x
3
；
（3）解：∵抛物线过 B ( − 1 , 0 ) ， C ( 3 , 0 ) ，
∴设抛物线的解析式为 y
3
= a ( x + 1 ) ( x − 3 ) ，
代入A(0,3)，得a=−1，
∴抛物线的解析式为y =−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3；
3
① 作KN ⊥AC垂足为 N ，如图所示，由题意得 K A C = 6 0 ，
A ( 0 , 3 ) ，C(3,0)，
O A = O C = 3 ， A C K = 4 5 ，
A C = O C 2 + O A 2 = 3 2 + 3 2 = 3 2 ，
设 A N = x ， K N = 3 x ， N C = 3 x ，
则 A C = 3 x + x = 3 2 ，
解得， x =
3 6 −
2
3 2
，
18−6 3
CK = 2•KN = 6x= =9−3 3，
2
x
k
= 3 −
(
9 − 3 3
)
= 3 3 − 6 ，
( )
∴K 3 3−6,0 ；
② 如图所示，当 B ， P 重合时，x =−1，显然符合题意；
p
如图所示，过 C 作QC ⊥CE，交 E P 延长线于点Q，过点Q作 Q G ⊥ x 轴于点 G ，
QC ⊥CE，
E C Q = 9 0 ，
∴ECH +QCG=90，
ECH+CEH =90，∴ C E H = Q C G ，
Q G ⊥ x ，
∴ E H C = C G Q ，
△ E H C ∽ △ C G Q ，
∴
E
C
H
G
=
H
Q
C
G
=
E
C
C
Q
，
设 E (1 , t ) ，
∵点P是 y
3
上关于C， E 的等边点，
∴ C P = P E = E C ， P E C = 6 0 ，
∴ P Q C = 3 0 ，
∴EC:CQ=tan30=1: 3，
∴
E
C
H
G
=
H
Q
C
G
=
E
C
C
Q
=
1
3
，
∴CG= 3EH = 3t,QG= 3CH =2 3
∴Q(3+ 3t,2 3)，
∵ P Q C = 3 0 ，
∴ C E =
1
2
E Q = P E = P Q ，即P是 E Q 中点，
∴ P
4 +
2
3 t
,
2 3
2
+ t
，
将P代入 y = − x 2 + 2 x + 3 ，
解得 t1 = − 2 3 （舍）， t
2
=
2 3
3
− 2
，
3
∴x =3− ，
p 3
综上，P的横坐标为：−1或 3 −
3
3
．
5．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标之和为2，则称该点为“基准偶和点”．例如：(1,1)、
(−2,4)、 ( 6 , − 4 ) 都是“基准偶和点”．
(1)下列函数图象上只有一个“基准偶和点”的是_____________；（填序号）
21
①y=2x+1 ②y= ③
x
y = − x + 1 ④ y = x 2 + 3 x + 6
k k
(2)在反比例函数y= 上的图象上有且只有一个“基准偶和点”，求反比例函数y= 的解析式；
x x
(3)已知抛物线y=x2+mx+n（m、n均为常数）与直线y=x+4只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，求抛物线的解析式；
(4)抛物线 y = a x 2 + b x + 3 （ a 、b均为常数， a 0 ）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，令w=b2−6b+4a，
是否存在一个常数 t ，使得当 t b t + 1 时， w 有最小值恰好等于 − t ，若存在，求出 t 的值，若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)①④
1
(2)y=
x
(3) y = x 2 + 3 x + 5
(4)−1或1
【分析】（1）利用“基准偶和点”的概念作答即可；
（2）依题意得方程组
y
y
=
=
k
x2
− x
只有一组解，继而推出 x 2 − 2 x + k = 0 有两个相等的实数根，利用根的判别
式即可得出答案；
（3）由题意得 x 2 + ( m − 1 ) x + n − 4 = 0 ，得 ( m − 1 ) 2 = 4 ( n − 4 ) ，由抛物线 y = x 2 + m x + n （ m 、 n 均为常数）
与直线y=x+4只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，列立方程组求解即可；
（4）抛物线y=ax2+bx+3（ a 、 b 均为常数， a 0 ）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，可得
Δ = ( b + 1 ) 2 − 4 a = 0 ，进而可得 w = b 2 − 6 b + 4 a ，再根据二次函数的性质即可求得答案．
【详解】（1）解：依据“基准偶和点”定义知： y = 2 − x ，
①联立得：
y
y
=
=
2
2
x
−
+
x
1
，
1
x=
3
解得： ，
5
y=
3
∴直线 y = 2 x + 1 只有一个“基准偶和点”；
②联立得：
y
y
=
=
2 1
x
2 − x
，
∴x2−2x+21=0，
∵ Δ = ( − 2 ) 2 − 4 1 2 1 = − 8 0 0 ，
∴方程 x 2 − 2 x + 2 1 = 0 无实数根，
∴此方程组无解；
y=−x+1
③联立得： ，
y=2−x此方程组无解；
④联立得：
y
y
=
=
x
2
2
−
+
x
3 x + 6
，
x=−2
解得： ；
y=4
∴函数图象上只有一个“基准偶和点”的是①④，
故答案为：①④；
（2）依据“基准偶和点”定义知： y = 2 − x ，
k
y=
联立得： x ，
y=2−x
k
∴ =2−x，即x2−2x+k =0，
x
∵在反比例函数 y =
k
x
上的图象上有且只有一个“基准偶和点”，
∴ Δ = ( − 2 ) 2 − 4 1 k = 0 ，
∴ k = 1 ，
∴反比例函数的解析式为 y =
1
x
；
（3）依据“基准偶和点”定义知： y = 2 − x ，
联立得：
y
y
=
=
x
2
+
−
4
x
，
解得：
x
y
=
=
−
3
1
，
∵抛物线y=x2+mx+n（ m 、 n 均为常数）与直线 y = x + 4 只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，
∴ 3 = ( − 1 ) 2 − m + n ，即 1 − m + n = 3 ，
∴n=m+2，
∴ y = x 2 + m x + ( m + 2 ) ，
y=x+4
联立得： ，
y=x2+mx+(m+2)
∴x2+mx+(m+2)=x+4，
即 x 2 + ( m − 1 ) x + ( m − 2 ) = 0 ，
∴Δ=(m−1)2−4(m−2)=0，
解得：m =m =3，
1 2∴ n = 3 + 2 = 5 ，
∴抛物线的解析式为 y = x 2 + 3 x + 5 ；
（4）依据“基准偶和点”定义知： y = 2 − x ，
y=ax2+bx+3
联立得： ，
y=2−x
∴ a x 2 + b x + 3 = 2 − x ，即 a x 2 + ( b + 1 ) x + 1 = 0 ，
∵抛物线 y = a x 2 + b x + 3 （ a 、b均为常数， a 0 ）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，
∴Δ=(b+1)2−4a=0，即(b+1)2 =4a，
∴ w = b 2 − 6 b + 4 a = b 2 − 6 b + ( b + 1 ) 2 = 2 b 2 − 4 b + 1 = 2 ( b − 1 ) 2 − 1 ，
①当 t + 1 1 时，即 t 0 时， w 在 b = t + 1 时取得最小值，
∴ 2 ( t + 1 − 1 ) 2 − 1 = − t ，
解得： t = − 1 或 t =
1
2
（舍去）；
②当 t 1 t + 1 ， w 在 b = 1 时取得最小值，
∴−1=−t，即 t = 1 ；
③当 t 1 时， w 在 b = t 时取得最小值，
∴ 2 ( t − 1 ) 2 − 1 = − t ，
解得： t = 1 或 t =
1
2
（舍去），
综上所述， t 的值为−1或1．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，点的坐标和二次函数的最
值，新定义“基准偶和点”的理解和运用，能够根据题干当中的定义灵活运用二次函数的相关知识是解题的关
键．
押题猜想八 二次函数与等角、倍角问题
如图，已知矩形ABCD的三个顶点的坐标为A(m,n)，B(m,1)，C(m+8,1)，n1．经过 B ，D两点的抛物
线y=a(x−7)2+k 与线段 A D 交于点 E （不与A，D两点重合），连接BD，BE．(1)填空： B C = _________；直接写出点 D 的坐标（用含 m ， n 的代数式表示）；
(2)当 n = m + 3 时，AEB=ABD，求 a 的值和抛物线顶点 P 的坐标；
(3)当 2 5
1 −a k
3 6 时，n的最大值是9，求此时
1 +a k
的值．
【答案】(1)8， D ( m + 8 , n ) ；
(2) a = −
1
4
， P
(
7 ,
2 94 )
；
(3) − 4 4 ．
【分析】本题考查矩形性质，由点坐标求线段长度，相似三角形判定及性质，二次函数图象及性质等．
（1）根据题意利用 B ( m ,1 ) ， C ( m + 8 ,1 ) 可得 B C = m + 8 − m = 8 ，再由点坐标及矩形性质可得 D ( m + 8 , n ) ；
（2）根据题意可得E(6−m,n)，继而得到 A E = 6 − m − m = 6 − 2 m ，再证明 △ A B E ∽ △ A D B ，后利用相似性
6−2m n−1
质可得 = ，解得
n−1 8
m = 2 ，继而得到本题答案；
（3）根据 1 = a ( m − 7 ) 2 + k 可得 1 −a k = ( m − 7 ) 2 ，后得到 2 5 ( m − 7 ) 2 3 6 ，继而得到 1 m 2 ，后得到
n = 1 6 a m − 4 8 a + 1 ，继而得到当 m = 1 时， − 3 2 a + 1 = 9 ，求出本题答案．
【详解】（1）解：∵ B ( m ,1 ) ， C ( m + 8 ,1 ) ，
∴BC=m+8−m=8，
∵矩形ABCD， A ( m , n ) ，
∴点 D 与点A纵坐标一致，
∴D(m+8,n)，
故答案为：8；
（2）解： A(m,n)，D(m+8,n)，P(7,k)，
E ( 6 − m , n ) ，
点 E 在线段 A D 上，
m 6 − m m + 8 ，
−1m3，
AE=6−m−m=6−2m，
由AEB=ABD，BAE=DAB=90，
得△ABE∽△ADB，
A
A
E
B
=
A
A
B
D
，
6 −n 2− m1
=
n −8 1
，
n = m + 3 ，
m 2 + 2 0 m − 4 4 = 0 ，
m=−22（舍去），m=2，
由 D ( 1 0 , 5 ) ， B ( 2 ,1 ) 得，
5=9a+k，1=25a+k，
a = −
1
4
，
29
k = ，
4
P
(
7 ,
2 94 )
；
（3）解： 1 = a ( m − 7 ) 2 + k ，
1 −a k = ( m − 7 ) 2 ，
2 5
1 −a k
3 6 ，
25(m−7)2 36，
− 1 m 3 ，
− 6 m − 7 − 5 ，
1 m 2 ，
n=a(m+1)2+k，1=a(m−7)2+k，
n − 1 = 1 6 a ( m − 3 ) ，
n=16am−48a+1，
a 0 ，
若 n 的最大值是9，
则当m=1时，−32a+1=9，
1
a=− ，
4
k = 1 0 ，
1+k
此时 =−44．
a押题解读：本题考查矩形性质，由点坐标求线段长度，相似三角形判定及性质，二次函数图象及
性质等．
（1）根据题意利用B(m,1)，C(m+8,1)可得
B C = m + 8 − m = 8
，再由点坐标及矩形性质可得D(m+8,n)；
（2）根据题意可得 E ( 6 − m , n ) ，继而得到 A E = 6 − m − m = 6 − 2 m ，再证明 △ A B E ∽ △ A D B ，后利用相似
性质可得
6 −n 2− m1
=
n −8 1
，解得m=2，继而得到本题答案；
（3）根据 1 = a ( m − 7 ) 2 + k 可得 1 −a k = ( m − 7 ) 2 ，后得到 2 5 ( m − 7 ) 2 3 6 ，继而得到 1 m 2 ，后得到
n = 1 6 a m − 4 8 a + 1 ，继而得到当 m = 1 时，−32a+1=9，求出本题答案．
1．如图，抛物线 y = x 2 + b x + c 与 x 轴交于点A(1,0)，B(3,0)，与 y 轴交于点C，连接 A C ，BC．
(1)求抛物线以及直线 B C 的函数解析式．
(2)若 M 是抛物线的顶点，求点 M 到直线 B C 的距离．
(3)已知 P 是抛物线上的一动点，是否存在点 P ，使得PAB= A C B ？若存在，请求出点 P 的坐标；若不
存在，请说明理由．
【答案】(1) y = x 2 − 4 x + 3 ， y = − x + 3
(2) 2
7 5 5 3
(3)存在， , 或 ,−
2 4 2 4
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）如图1，过点 M 作MN ⊥x轴，交 B C 于点N ，连接 C M ， B M ，首先求出 M N = 2 ，然后求出S =3，
CMB
设点 M 到直线 B C 的距离为h，求出 B C = 3 2 ，进而求解即可；
（3）首先求出 ta n ∠ A C B =
A
C
D
D
=
1
2
，然后分两种情况：当点 P 在x轴上方时，当点 P 在x轴下方时，然后
分别解直角三角形求解即可．【详解】（1）将点 A (1 , 0 ) ， B ( 3 , 0 ) 代入y=x2+bx+c，
1+b+c=0
得 解得
9+3b+c=0
b
c
=
=
−
3
4
抛物线的函数解析式为y=x2−4x+3．
令x=0，解得 y = 3 ，
点 C ( 0 , 3 ) ．
设直线 B C 的函数解析式为 y = k x + m ，
则
3
m
k +
=
m
3
= 0
解得
k
m
=
=
−
3
1
直线 B C 的函数解析式为y=−x+3；
（2）如图1，过点 M 作 M N ⊥ x 轴，交 B C 于点 N ，连接 C M ， B M ．
由（1），可得点 M ( 2 , − 1 ) ，则点 N ( 2 ,1 ) ，
MN =2，
S
C M B
=
1
2
M N x
B
− x
C
=
1
2
2 3 = 3 ．
设点 M 到直线BC的距离为h．
点B(3,0)， C ( 0 , 3 ) ，
B C = 3 2 ，
2S 6
h= CMB = = 2．
BC 3 2
（3）存在．
如图，过点 A 作AD⊥BC于点D．
点A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)，
A B = 2 ，BC=3 2，OC=OB，
O B C = 4 5 ，
AD=BD= 2，
CD=BC−BD=2 2， ta n ∠ A C B =
A
C
D
D
=
1
2
．
设点 P ( n , n 2 − 4 n + 3 ) ，过点 P 作 P E ⊥ x 轴于点 E ．
根据题意，分两种情况：
①如图2，当点P在x轴上方时，则 P E = n 2 − 4 n + 3 ， A E = n − 1 ．
P A B = A C B ，
ta n P A B =
P
A
E
E
=
n 2 −
n
4
−
n
1
+ 3
=
1
2
，
解得 n
1
= 1
7
（舍去），n = ，
2 2
7 5
点P , ．
2 4
②如图3，当点 P 在 x 轴下方时，则 P E = − ( n 2 − 4 n + 3 ) ， A E = n − 1 ．
P A B = A C B ，
PE − ( n2−4n+3 ) 1
tanPAB= = = ，
AE n−1 2
5
解得n =1（舍去），n = ，
3 4 2
5 3
点P ,− ．
2 4
7 5 5 3
综上所述，点P的坐标为 , 或 ,− ．
2 4 2 4【点睛】此题考查了二次函数和一次函数综合题，待定系数法求出二次函数解析式，解直角三角形等知识，
解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式．
2．如图，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3(a0)与x轴交于点A(−1,0),B(6,0)两点，与y轴交于
点C，接AC,BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是直线 B C 下方抛物线上一动点，过点P作PD∥AC交x轴于点 D , P E ∥ x 轴交直线 B C 于点
E，求 P E +
3
1
1
0
0
P D 的最大值时，及此时点P的坐标；
(3)将抛物线 y = a x 2 + b x − 3 ( a 0 ) 沿射线CB方向平移 5 个单位长度得到新抛物线 y ，点 N ( 7 , 4 ) ，连接 A N ，
点M是新抛物线上一点，且 M N A = 2 N A B ，直接写出所有符合条件的点M的横坐标．
【答案】(1) y =
1
2
x 2 −
5
2
x − 3
(2) P (
1 7
6
,
5
7 2
)
(3)5或 − 5
【分析】对于（1），直接将点A，B的坐标代入关系式得出二元一次方程组求出解即可；
对于（2），设点 P ( a ,
1
2
a 2 −
5
2
a − 3 ) ，再求出直线 B C 的关系式，进而表示出点E，即可得 P E ，作 P F ⊥ A B ，
交 A B 于点F，然后根据 ACO∽ DPF，可表示出 P D ，接下来得出二次函数讨论极值可得答案；
对于（3），根据平移的特征将原抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得
y =
1
2
( x −
5
2
+ 2 ) 2 −
4 9
8
+ 1 =
1
2
( x −
1
2
) 2 −
4
8
1
，然后结合题意画出图形，作NK ⊥x轴，作NG x轴，交抛物线于
1
点G，可知AK =8，NK =4，KAN =ANG，作HG⊥NG，使HG= NG，作射线NH 交抛物线于点M ,M ，
2 1 2
接下来求出 P ( 0 ,
1 5
2
) ，即可求出直线 N P 的关系式，最后将两个函数关系式联立得出答案.
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx−3经过点A(−1，0),B(6，0)，a−b−3=0
∴ ，
36a+6b−3=0
解得
a
b
=
=
1
2
−
5
2
，
∴抛物线的关系式为 y =
1
2
x 2 −
5
2
x − 3 ；
（2）解：当 x = 0 时， y = 3 − ，
∴点C(0，−3).
设点 P ( a ,
1
2
a 2 −
5
2
a − 3 ) ，直线 B C 的关系式为 y = k x + b
1
，
∵直线经过点 B ( 6 , 0 ) , C ( 0 , − 3 ) ，
6k+b =0
∴ 1 ，
b =−3
1
解得
k
b
1
=
=
1
2−
3
，
∴直线BC的关系式为 y =
1
2
x − 3 .
∵ P E x 轴，
∴点 E ( a 2 − 5 a ,
1
2
a 2 −
5
2
a − 3 ) ，
∴ P E = a − ( a 2 − 5 a ) = − a 2 + 6 a .
过点P作 P F ⊥ A B ，交 A B 于点F，则 P F = −
1
2
a 2 +
5
2
a + 3 ，
∵PD∥AC， A O = 1 ， C O = 3 ，
∴ P D F = C A O ， A C = 1 2 + 3 2 = 1 0 .
∵ P B D = A O C = 9 0 ，
∴ ACO∽ DPF，
AC PD
∴ = ，
OC PF
10 PD
=
即 3 1 5 ，
− a2+ a+3
2 2
10 1 5
∴PD= (− a2+ a+3)，
3 2 23 10 3 10 10 1 5
∴PE+ PD=−a2+6a+ (− a2+ a+3)
10 10 3 2 2
= −
3
2
a 2 +
1 7
2
a + 3 = −
3
2
[ a 2 −
1 7
3
a + (
1 7
6
) 2 ] +
3 6 1
2 4
= −
3
2
( a −
1 7
6
) 2 +
3 6 1
2 4
，
17
当a= 时，有最大值，
6
17 5
即点P( , )；
6 72
（3）解：如图所示，将抛物线 y =
1
2
x 2 −
5
2
x − 3 沿着射线CB的方向平移 5 个单位长度，根据
O C : O B : B C = 1 : 2 : 5 ，就是将抛物线 y =
1
2
x 2 −
5
2
x − 3 的图象向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长
度，可得关系式为 y =
1
2
( x −
5
2
+ 2 ) 2 −
4 9
8
+ 1 =
1
2
( x −
1
2
) 2 −
4
8
1
.
过点N作 N K ⊥ x 轴，交x轴于点K，过点N作 N G x 轴，交抛物线于点G，可知 A K = 8 ， N K = 4 ，
K A N = A N G ，作 H G ⊥ N G ，使 H G =
1
2
N G ，作射线 N H 交抛物线于点 M
1
, M
2
，
当
H
N
G
G
=
N
A
K
K
=
1
2
= t a n G N H = t a n N A K ，即 A N H = 2 N A B ，
∴
P
Q
Q
N
=
1
2
，
7
解得PQ= ，
2
15
∴OP= ，
2
即 P ( 0 ,
1 5
2
) .
设直线NP的关系式为y=k x+b ，根据题意，得
2 2 15
b =
2 2 ，
7k +b =4
2 2
解得
k
b
2
2
=
=
−
1 5
2
1
2
，
所以直线 N P 的关系式为 y = −
1
2
x +
1 5
2
，
将两个函数关系式联立，得
1 15
y=− x+
2 2
，
1 1 41
y= (x− )2−
2 2 8
解得x=5或 x = − 5 .
所以点M的横坐标为5或 − 5 .
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，相似三角形的判定，求二次
函数的极值，二次函数的平移，解直角三角形，准确的作出辅助线是解题的关键.
3．在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 y = a x 2 + b x − 4 交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点
B，交y轴于点C， O A = 2 ，OB=4．(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点 P 为第二象限抛物线上一点，连接PB， P C ， B C ，设点 P 的横坐标为t， △ P B C 的面积为 S ，
求 S 与 t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，点D在 P B 上，连接 A D ，点 E 为 A D 的中点，连接DO， E O ， D C ， E O A = D O B ，
C D B = 2 A D O ，求点P的坐标．
【答案】(1) y =
1
2
x 2 − x − 4
(2) S = t 2 − 4 t
(3) P ( − 4 , 8 )
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，解直角三角形，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几
何结合等．
（1）先求出点AB的坐标，再代入关系式可得答案；
（2）过点 P 分别作 x 轴， y 轴的垂线，点 M ， N 为垂足，连接 O P ，再求出 O C ，设点P的横坐标为 t ，表
示出 P N = − t ， P M =
1
2
t 2 − t − 4 ，然后根据 S
△ P B C
= S
△ P O B
+ S
△ P O C
+ S
△ B O C
可得答案；
（3）作DG⊥x轴，点G为垂足，取OB的中点H，连接DH ，继而得到 △ A D O ≌ △ B D H ，再过点 O 作BD
的平行线交 C D 于点 Q ，交 D H 的延长线于点 K ，作 K F ⊥ x 轴，点 F 为垂足，再设DG=m， D ( 1 , m ) ， K ( 3 , − m ) ，
连接QH，过点 Q 作 Q T ⊥ x 轴，点 T 为垂足，再利用解三角形应用即可得到本题答案．
【详解】（1）解： 点A在x轴负半轴， O A = 2 ，
A(−2,0)，
点B在 x 轴正半轴，OB=4，
B ( 4 , 0 ) ，
抛物线y=ax2+bx−4经过A(−2,0)，B(4,0)，
0=4a−2b−4
，
0=16a+4b−4解方程组得：
a
b
=
=
1
2−
1
，
1
抛物线的解析式为y= x2−x−4；
2
（2）解：过点P分别作x轴，y轴的垂线，点M ，N 为垂足，连接OP，
当x=0时， y = − 4 ， C ( 0 , − 4 ) ，
O C = 4 ．
点P在抛物线上，点 P 的横坐标为t，
当 x = t
1
时，y= t2−t−4．
2
点 P 在第二象限，
P N = − t ， P M =
1
2
t 2 − t − 4 ，
∴ S
△ P B C
= S
△ P O B
+ S
△ P O C
+ S
△ B O C
，
=
1
2
O B P M +
1
2
O C P N +
1
2
O B O C ，
=
1
2
4
1
2
t 2 − t − 4
+
1
2
4 ( − t ) +
1
2
4 4 ，
= t 2 − 4 t ，
S 与 t 之间的函数关系式为 S = t 2 − 4 t ；
（3）解：作DG⊥x轴，点G为垂足，取OB的中点H，连接DH ，∵点E为 A D 中点， E O A = D O B ， O A = 2 ， O B = 4 ，
∴ O G = 1 ，
∴ O 为 A H 中点，
∴ O E D H ，
∴ E O H = D H O ，
∴AOD=DHB， A O = B H ， D O = D H ，
∴△ADO≌△BDH， D H 平分BDC，
过点O作 B D 的平行线交 C D 于点Q，交DH 的延长线于点 K ，作 K F ⊥ x 轴，点 F 为垂足，
设DG=m， D ( 1 , m ) ， K ( 3 , − m ) ，
连接QH，过点 Q 作 Q T ⊥ x 轴，点 T 为垂足，
∴ C D : y = ( m + 4 ) x − 4
m 3 m
，OK:y=− x，Q ,− ，
3 m+3 m+3
连接QH，QH ⊥DK，tanQHT =tanHDG，
ta n Q H T
2
m
m
m
33
3
2 m
m
3
=
−
+
+
=
+
，
1
tanHDG= ，
m
m 1
∴ = ，解得：m=3，
2m+3 m
∴P(−4,8)．
1
4．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A ,0 、B(6,0)两点，与y轴交于点C．
3 (1)求此抛物线的函数表达式；
(2)点P是x轴上一点，若 B C P 是等腰三角形，直接写出点P的坐标；
(3)如图（2），点D是直线BC下方抛物线上的一个动点．过点D作DE⊥BC于点E，问：是否存在点D，
使得CDE=2ABC?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) y = x 2 −
1 9
3
x + 2 ；
( ) ( )
(2)点P的坐标为 6+2 10,0 或 6−2 10,0 或
8
3
, 0
；
(3)点D的坐标为
1 0
3
, − 8
．
【分析】（1）将A，B坐标代入抛物线解析式中，利用待定系数法可求；
（2）求出线段 B C 的长，分类讨论解答即可；
（3）取 B C 的中点M，连接OM 交 C D 于H， C D 交 x 轴于G，作 M F ⊥ x 轴于F，，根据直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半，得出 O M = M B ，这样 C D E = C M O ．利用三角形的相似得出 C H M = C E D ．从
而得到M的坐标；求出直线 C D 的解析式，然后与抛物线解析式联立成方程组，解方程组可求交点D的坐
标．
【详解】（1）解：将 A
1
3
, 0
、 B ( 6 , 0 ) 代入 y = a x 2 + b x + 2 得：
1 1
a+ b+2=0
9 3 ．
36a+6b+2=0
a=1
解得： 19．
b=−
3
19
∴此抛物线的函数表达式为y=x2− x+2；
3
（2）解：令 x = 0 ，y=2．
∴C(0,2)．
∴OC=2．∵B(6,0)，
∴ O B = 6 ．
∴ B C = O B 2 + O C 2 = 2 2 + 6 2 = 2 1 0 ．
若 B C P 是等腰三角形，分三种情形：
当BP=BC时， B P = 2 1 0 ，
∴ O P = 6 2 1 0 ，
( ) ( )
∴P点坐标为 6+2 10,0 或 6−2 10,0 ；
当 C P = B C = 2 1 0 时，
O P = O B = 6 ．
∴P点坐标为 ( − 6 , 0 ) ；
当 P B = P C 时，设点P的坐标为(m,0)，
∵ P C 2 = m 2 + 2 2 ， P B 2 = ( 6 − m ) 2 ，
∴m2+4=(6−m)2．
解得： m =
8
3
．
∴点P的坐标为
8
3
, 0
．
综上， B C P 是等腰三角形，点P的坐标为
(
6 + 2 1 0 , 0
)
或
(
6 − 2 1 0 , 0
)
或
8
3
, 0
；
10
（3）解：存在，D点坐标为 ,−8．理由：
3
如图，取 B C 的中点M，连接 O M 交 C D 于H， C D 交 x 轴于G，作MF ⊥x轴于F，
∵ C O B = 9 0 ，CM =BM ，
∴ O M = B M = C M ，
∴MOB=MBO，
∴CMO=MOB+MBO=2MBO，∵CDE=2ABC=2MBO，
∴ C D E = C M O ，
∵ M C H = D C E ， C M H = C D E ，
∴ CHM∽ CED，
∴CHM =CED，
∵ D E ⊥ B C ，
∴ C E D = 9 0 ，
∴CHM =90，
∴CD⊥OM ，
∵B(6,0)， C ( 0 , 2 ) ，
∴M的坐标为 ( 3 ,1 ) ，
∴OF =3， M F = 1 ，
∵ M F O = C O G = 9 0 ，
∵ M O F = 9 0 − C O H = G C O ，
∴△MOF∽△GCO，
OF MF
∴ = ，即
OC OG
3
2
=
O
1
G
，
∴ O G =
2
3
，
2
∴G ,0，
3
设直线 C G 的解析式为 y = k x + 2 ，
2 2
将G ,0代入得0= k+2，
3 3
解得 k = − 3 ，
∴直线 C G 的解析式为 y = − 3 x + 2 ，
∴联立得 − 3 x + 2 = x 2 −
1 9
3
x + 2 ，
解得： x = 0
10
或x= ，
3
当 x =
1 0
3
10
时，y=−3 +2=−8，
3
10
∴D点的坐标为 ,−8，
3
10
∴存在点D使得CDE=2ABC，点D的坐标为 ,−8．
3 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．待定系数法是确定解
析式的重要方法；利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系是解题的关键．将两个
解析式联立可以求出交点的坐标．
5．已知抛物线 y
1
= − x 2 + 2 m x + 3 （ m 是常数）的顶点为 P ，抛物线 y
2
= x 2 + 3 ．
(1)求证：点 P 在抛物线y 上；
2
(2)当m0时， y
1
的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧．
①若抛物线 y
1
与 y
2
的图象除顶点 P 以外的另一个交点为 C ，过点 P 作直线 ∥ l1 y 轴，过点 C 作 C F ⊥ l1 ，垂足
为点 F ，连接 P C ，BC．当 P C F = A B C 时，求 m 的值；
②在①的条件下，过点 M ( t , 0 ) 作 x 轴的垂线，分别交 y
1
和 y
2
于点 E ， F ；过点N(t+1,0)作 x 轴的垂线，
分别交 y
1
和 y
2
于点G， H ；当EF =2GH 时，求 t 的值．
【答案】(1)见解析
(2)① m = 1 ；② t 的值为 − 3 或 −
1
3
【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定，应用了数形
结合和分类讨论的数学思想．
（1）根据 y
1
= − x 2 + 2 m x + 3 ，求出顶点坐标为 P ( m , m 2 + 3 ) ，又 y
2
= x 2 + 3 中，当x=m时， y
2
= m 2 + 3 ，即
可证明点P在抛物线 y
2
= x 2 + 3 上．
（2）①当 m 0 时， y
1
= − x 2 + 2 m x + 3 的对称轴为直线 x = m ，由（1）知： P ( m , m 2 + 3 ) ， C ( 0 , 3 ) ，证明
△ P C F ∽ △ C B O ，得出 B
3
m
, 0
，将其代入y =−x2+2mx+3，求出m=1，结合
1
m 0 求出 m = 1 ；
②由①得 m = 1 ，得出y =−x2+2x+3，对称轴为直线
1
x = 1 ，对于y =−x2+2x+3，当
1
x = t 时， y
1
= − t 2 + 2 t + 3 ，
得出 E ( t , − t 2 + 2 t + 3 ) ，当 x = t + 1 时， y
1
= − t 2 + 4 ，得出G ( t,−t2+4 ) ，再表示出F ( t,t2+3 ) ，H ( t,t2+2t+4 ) ，
分为（ⅰ）当 t + 1 0 时，（ⅱ）当 t 0 且0t+11时，（ⅲ）当 0 t 1 时，（ⅳ）当 t 1 时，列方程求出 t 的
值即可．
【详解】（1）证明：对于 y
1
= − x 2 + 2 m x + 3 ，顶点坐标为 P ( m , m 2 + 3 ) ，
又y =x2+3中，当x=m时，y =m2+3，
2 2
点 P 在抛物线y =x2+3上．
2
（2）解：①当m0时，y =−x2+2mx+3的对称轴为直线
1
x = m ，
联立 y
1
= − x 2 + 2 m x + 3 和 y
2
= x 2 + 3 得x=m或x=0，
由（1）知：P ( m,m2+3 ) ，
∴C(0,3)，C F ⊥ l1 于点 F ，
C F P = 9 0 = B O A ，
又 P C F = A B C ，
△PCF∽△CBO，
P
C
F
F
=
C
B
O
O
，
m2 3
= ，
m BO
3
BO= ，
m
B
3
m
, 0
，
将 B
3
m
, 0
代入 y
1
= − x 2 + 2 m x + 3 ，得： 0 = −
3
m
2
+ 2 m
3
m
+ 3 ，解得： m = 1 ，
m 0 ，
m=1；
②由①得 m = 1 ，
y
1
= − x 2 + 2 x + 3 ，对称轴为直线 x = 1 ，
对于y =−x2+2x+3，当
1
x = t 时， y
1
= − t 2 + 2 t + 3 ，
E ( t , − t 2 + 2 t + 3 ) ，
当 x = t + 1 时， y
1
= − ( t + 1 ) 2 + 2 ( t + 1 ) + 3 = − t 2 + 4 ，
G ( t , − t 2 + 4 ) ，
对于y =x2+3，当
2
x = t 时， y
2
= t 2 + 3 ，
F ( t , t 2 + 3 ) ，
当 x = t + 1 时， y
1
= ( t + 1 ) 2 + 3 = t 2 + 2 t + 4 ，
H ( t,t2+2t+4 ) ，
（ⅰ）当 t + 1 0 时，即t−1时，
EF =2GH，
( t 2 + 3 ) − ( − t 2 + 2 t + 3 ) = 2 ( t 2 + 2 t + 4 ) − ( − t 2 + 4 ) ，
解得， t1 = 0 （舍去），t =−3；
2
（ⅱ）当 t 0 且0t+11时，即−1t0时，
则 ( t2+3 ) − ( −t2+2t+3 ) =2( −t2+4 ) − ( t2+2t+4 )，
解得，t =0（舍去），
1
t
2
= −
1
3
；
（ⅲ）当 0 t 1 时，则 ( − t 2 + 2 t + 3 ) − ( t 2 + 3 ) = 2 ( t 2 + 2 t + 4 ) − ( − t 2 + 4 ) ，
解得， t1 = 0 （舍去）， t
2
= −
1
3
（舍去）；
（ⅳ）当 t 1 时， ( t2+3 ) − ( −t2+2t+3 ) =2( t2+2t+4 ) − ( −t2+4 )，
解得， t1 = 0 （舍去）， t
2
= − 3 （舍去），
故 t 的值为 − 3 或 −
1
3
．
押题猜想九 二次函数与线段数量关系问题
如图，抛物线 y = a x 2 + b x − 3 与 x 轴交于 A ( − 1 , 0 ) ， B ( 3 , 0 ) 两点，与 y 轴交于点 C ，点 M 是抛物线上一动点
（不与点B重合），过点 M 作 M N ⊥ x 轴于点 N ，交直线 B C 于点 P ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若 P M = 2 P N ，求点 M 的坐标；
(3)若点M 在直线 B C 下方的抛物线上运动，是否存在点M ，使以点M ， P ，C为顶点的三角形与 △ B P N 相
似？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)M(2,−3)或(−2,5)
(3)存在，点 M 的坐标为(2,−3)或 ( 1 , − 4 )
【分析】（1）把A(−1,0)，B(3,0)代入抛物线解析式，利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）先求出C(0,−3)，再求出直线BC的解析式为y=x−3，设M ( m,m2−2m−3 ) ，则P(m,m−3)，N(m,0)，则 P M = ( m 2 − 2 m − 3 ) − ( m − 3 ) = m 2 − 3 m ， P N = m − 3 ，列出方程 m 2 − 3 m = 2 m − 3 = 2 m − 6 ，再求解即可；
（3）设M ( n,n2−2n−3 ) ，且0n3，则 P ( n , n − 3 ) ， N ( n , 0 ) ，再求出 M ( 2 , − 3 ) ；再分为当CMP=90时
及当 M C P = 9 0 时，这两种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：把A(−1,0)，B(3,0)代入抛物线解析式，
a−b−3=0
得： ，
9a+3b−3=0
a=1
解得： ，
b=−2
∴该抛物线解析式为 y = x 2 2 x 3 − − ；
（2）解：令 x = 0 ，得 y = 3 − ，
∴C(0,−3)，
设直线 B C 的解析式为y=kx+b，
∴
3
b
k
=
+
−
b
3
= 0
，解得
k
b
=
=
1
− 3
，
∴直线 B C 的解析式为y=x−3，
∵ M N ⊥ x 轴，
∴设M ( m,m2−2m−3 ) ，则 P ( m , m − 3 ) ， N ( m , 0 ) ，
∴ P M = ( m 2 − 2 m − 3 ) − ( m − 3 ) = m 2 − 3 m ， P N = m − 3 ，
∵PM =2PN，
∴ m2−3m =2m−3 = 2m−6 ，
∴ m 2 − 3 m = 2 m − 6 或m2−3m=6−2m，
解得 m
1
= 2 ， m
2
= 3 （舍去）， m
3
= − 2 ， m
4
= 3 （舍去），
∴ M ( 2 , − 3 ) 或 ( − 2 , 5 ) ；
（3）解：存在符合条件的点 M ，理由如下：
∵ M N ⊥ x 轴，
∴设 M ( n , n 2 − 2 n − 3 ) ，且0n3，
则 P ( n , n − 3 ) ，N(n,0)，
∴ P N = 3 − n ， B N = 3 − n ， P M = ( n − 3 ) − ( n 2 − 2 n − 3 ) = − n 2 + 3 n ，
∴ P N = B N ，
∵BNP=90，
∴PBN =BPN =45，∵ △ B P N 和 △ C P M 相似，且 C P M = B P N = 4 5 ，
∴ C M P = B N P = 9 0 或MCP=BNP=90，
当 C M P = 9 0 时，则 C M ⊥ M N ，且PM =CM ，
∴ ( n − 3 ) − ( n 2 − 2 n − 3 ) = n ，即： n 2 − 2 n = 0 ，
解得n=0（舍去）或 n = 2 ，
∴ M ( 2 , − 3 ) ；
当 M C P = 9 0 时，过点 M 作 M D ⊥ y 轴于点 D ，
∴ D C M = C M D = C M P = 4 5 ，
∴CD=DM，
∵ C D = − 3 − ( n 2 − 2 n − 3 ) = − n 2 + 2 n ， D M = n ，
∴ − n 2 + 2 n = n ，
解得n=0（舍去）或n=1，
∴ M ( 1 , − 4 ) ；
综上，当以 M ， P ， C 为顶点的三角形与△BPN相似时，点M 的坐标为 ( 2 , − 3 ) 或 ( 1 , − 4 ) ．
【点睛】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图
象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点等重要知识；要注意的是（3）
题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解．
押题解读：此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性
质，函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，一次函数与二次函数的交点等重要知识；
要注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解．
1．抛物线 y = x 2 + b x + c 经过 O ( 0 , 0 ) ， A ( 4 , 0 ) 两点，点B(0,−3)在 y 轴上， P 是抛物线 y = x 2 + b x + c 上位于直
线AB下方的一个动点．(1)直线 A B 的解析式是________________，抛物线的解析式是________________；
(2)如图1，过点 P 作PC⊥AB于点C，交x轴于点 D ，过点 P 作 P E ⊥ x 轴于点 E ，交 A B 于点 F ，若 P D = A F ，
求点P的坐标；
(3)如图2，在 y 轴上有一点 G ( 0 , − 2 ) ，连接 P G 交AB于点 H ，求 PAH与 B G H 的面积之差的最大值．
【答案】(1) y =
3
4
x − 3 ， y = x 2 − 4 x ；
(2) P (1 , − 3 )
(3)
3 3
8
【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）设点 P ( a , a 2 − 4 a ) ，点 F ( a ,
3
4
a − 3 ) ，点E(a,0)， P E = 4 a − a 2 ，利用
P C A = P E A = 9 0 ，CFP=AFE，推出CPF =EAF，接着证明 P E D ≌ A E F ，那么有 P E = A E ，
即4a−a2 =4−a，然后解方程即可；
（3）连接AG，作PF ⊥OA，交AG于点 E ，先求得直线AG，设点P(m,m2−4m)， E ( m ,
1
2
m − 2 ) ，表示出
P E = − m 2 +
9
2
m − 2 ， S
A G P
= S
A E P
+ S
E G P
=
E P
2
O A
，得到
S
A G P
= − 2 m 2 + 9 m − 4 ，接着求得 S
A G B
= 2 ，最后利用
S
P A H
− S
B G H
= ( S
P A H
+ S
A G H
) − ( S
B G H
+ S
A G H
) = S
A G P
− S
A G B
= − 2 ( m −
9
4
) 2 +
3 3
8
，
由 − 2 ( m −
9
4
) 2 0 ，则 m =
9
4
时， − 2 ( m −
9
4
) 2 +
3 3
8
取最大值，最大值为
3 3
8
．
【详解】（1）解：设直线AB为 y = k x + b ( k 0 ) ，代入 A ( 4 , 0 ) ， B ( 0 , − 3 ) ，
0=4k+b
，
−3=b
3
k =
4 ，
b=−3直线 A B 为： y =
3
4
x − 3 ，
抛物线 y = x 2 + b x + c 经过 O ( 0 , 0 ) ，A(4,0)两点，
0
0
=
=
c
1 6 + 4 b + c
，
b=−4，
抛物线为： y = x 2 − 4 x ，
3
故答案为：y= x−3，y=x2−4x；
4
（2）解：设点 P ( a , a 2 − 4 a ) ，点 F ( a ,
3
4
a − 3 ) ，点E(a,0)，
PE=4a−a2，
A ( 4 , 0 ) ，
A E = 4 − a ，
P C ⊥ A B ， P E ⊥ x ，
PCA=PEA=90，
CFP=AFE，
180−PCA−CFP=180−PEA−AFE，
C P F = E A F ，
在 P E D 和 △ A E F 中，
PED=AEF =90
EPD=EAF ，
PD= AF
PED≌ AEF，
PE= AE，
4a−a2 =4−a，
a=4，a=1，
当a=4时，点P(4,0)，点F(4,0)，点E(4,0)，不符合题意，舍去；当 a = 1 时， P (1 , − 3 ) ，点 F (1 , −
9
4
) ，符合题意，
P (1 , − 3 ) ；
（3）解： 连接 A G ，作 P F ⊥ O A ，交AG于点 E ，如图所示：
设直线AG为： y = e x + n ( e 0 ) ，代入 A ( 4 , 0 ) ， G ( 0 , − 2 ) ，
0
−
=
2
4
=
e
n
+ n
，
e =
1
2
，
直线 A G 为： y =
1
2
x − 2 ，
设点 P ( m , m 2 − 4 m ) ， E ( m ,
1
2
m − 2 ) ，
P E =
1
2
m − 2 − ( m 2 − 4 m ) =
1
2
m − 2 − m 2 + 4 m = − m 2 +
9
2
m − 2 ，
S
A G P
= S
A E P
+ S
E G P
=
E P
2
A F
+
E P
2
O F
=
E P
2
O A
，
S
A G P
=
( − m 2 +
9
2
m
2
− 2 ) 4
= − 2 m 2 + 9 m − 4 ，
G ( 0 , − 2 ) ，B(0,−3)，
B G = 1 ，
BGAO
S = ，
AGB 2
S
A G B
=
1
2
4
= 2 ，
S −S =(S +S )−(S +S )=S −S ，
PAH BGH PAH AGH BGH AGH AGP AGB S
P A H
− S
B G H
= − 2 m 2 + 9 m − 4 − 2 = − 2 m 2 + 9 m − 6 = − 2 ( m −
9
4
) 2 +
3 3
8
，
9
−2(m− )2 0，
4
m =
9
4
时， − 2 ( m −
9
4
) 2 +
3 3
8
取最大值，最大值为
3 3
8
．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，三角形全等的判定与
性质，三角形的面积，二次函数的最值问题，熟练以上知识点是解题的关键．
2．如图⑥，抛物线 y = x 2 + b x 与x轴交于O、A两点，与直线 y = − x 交于O、 B ( 5 , − 5 ) 两点，过点B作y
轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段 B O 方向匀速运动，运动到点O时停止．
(1)求抛物线 y = x 2 + b x 的表达式：
(2)请在图⑥中过点P作 P F ⊥ x 轴于点F，延长 F P 交 B C 于点E，当 P E = 2 P F 时，求点P的坐标：
(3)如图⑦，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，
点P停止运动时点Q也停止运动，连接 B Q ， C P ，求CP+BQ的最小值．
【答案】(1) y = x 2 − 6 x
(2)
5
3
, −
5
3
(3) 5 3
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点P的坐标为(m,−m)（0m5），可得点E的坐标为(m,−5)，点F的坐标为(m,0)，由 P E = 2 P F ，
可得5−m=2m，解得 m =
5
3
，即可求解；
（3）在OA上方作 OMQ．使得MOQ=45，OM =BC，连接MB，证明 C B P ≌ M O Q ( S A S ) ，可得
CP=MQ．当M，Q，B三点共线时CP+BQ最小，则CP+BQ的最小值为 M B 的长，再求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2 +bx过点B(5,−5)，
∴25+5b=−5，∴b=−6．
∴抛物线的表达式为 y = x 2 − 6 x ；
（2）解：如图，
设点P的坐标为(m,−m)（ 0 m 5 ），
结合题意可得，点E的坐标为(m,−5)，点F的坐标为 ( m , 0 ) ，
∵ P E = 2 P F ，
∴ 5 − m = 2 m ，
解得 m =
5
3
，
5 5
∴点P的坐标为 ,− ；
3 3
（3）解：由题意得， B P = O Q ．
如图，在 O A 上方作 OMQ．使得 M O Q = 4 5 ， O M = B C ，连接MB，
∵点B的坐标为 ( 5 , − 5 ) ，BC ⊥ y轴，
∴ O C = B C = 5 ，OBC=45，
∴CBP=MOQ， O B = 5 2 ，
∵在 CBP和△MOQ中，
CB=MO
CBP=MOQ，
BP=OQ∴ C B P ≌ M O Q ( S A S ) ，
∴ C P = M Q ．
∴ C P + B Q = M Q + B Q M B （当M，Q，B三点共线时取等号），
∴ C P + B Q 的最小值为 M B 的长，
∵MOB=MOQ+QOB=45+45=90，
∴ M B = O M 2 + O B 2 = 5 2 +
(
5 2
) 2
= 5 3 ．
∴ C P + B Q 的最小值为 5 3 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、全等三角形的判定与
性质、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
3．已知，抛物线 y = a x 2 + b x + 3 与x轴交于 A ( − 1 , 0 ) ， B ( 3 , 0 ) 两点，与y轴交于C点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点D为抛物线上位于直线 B C 上方的一点， D E ⊥ B C 于点E， D F ∥ y 轴交 B C 于点F，当 D E F 的
周长最大时，求点D的坐标；
(3)将抛物线 y = a x 2 + b x + 3 沿y轴向下平移，得到的新抛物线与y轴交于点G， G P ⊥ y 轴交新抛物线于点P，
射线PO与新抛物线的另一交点为Q．当 P O = 2 O Q 时，求点Q的坐标．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2) D
3
2
,
1 5
4
(3)点 Q 的坐标为 ( − 1 , − 1 ) 或(1,−1)
【分析】本题考查了二次函数与几何综合，相似三角形的判定和性质，作出图形，利用分类讨论的思想是
解题的关键．
（1）根据待定系数法即可即可解答；
（2）证明 E D F 为等腰直角三角形，则DF最大时， D E F 的周长最大，设 D ( m , − m 2 + 2 m + 3 ) ，则
F(m,−m+3)，可利用m表示出DF，利用二次函数的性质求得最大值即可；
（3）分类讨论，分当点G在 y 轴正半轴或当点G在y轴负半轴，利用相似三角形的性质表示出点n的坐标，
代入抛物线解方程即可．【详解】（1）解：把A(−1,0)，B(3,0)代入可得
0
0
=
=
9
a
a
−
+
b
3
+
b
3
+ 3
，
解得
a
b
=
=
−
2
1
，
∴此抛物线的解析式为 y = − x 2 + 2 x + 3 ；
（2）解：当 x = 0 时， y = 3 ，则 C ( 0 , 3 ) ，
设直线 B C 的解析式为 y = k x + b ，
把 B ( 3 , 0 ) ， C ( 0 , 3 ) 代入可得
0 =
3
3
=
k +
b
b
，
解得
k
b
=
=
−
3
1
，
直线BC的解析式为y=−x+3，
O C = O B = 3 ，
OBC为等腰直角三角形，
DF∥y轴，
D F E = O C B = 4 5 ，
DE⊥BC，
D E F 为等腰直角三角形，
D E = E F =
2
2
D F ，
故要使 DEF 的周长最大，即 D F 最大，
设 D ( m , − m 2 + 2 m + 3 ) ，则F(m,−m+3)，
D F = − m 2 + 2 m + 3 + m − 3 = − m 2 + 3 m = −
x −
3
2
2
+
9
4
，其中0m3，
3
故当m= 时，
2
D F 最大，即 D E F 的周长最大，
3 15
此时D , ；
2 4
（3）解：设新抛物线的解析式为： y = − x 2 + 2 x + 3 − n ，则G(0，3−n)，
抛物线的对称轴为直线x=1，
P(2，3−n)，
如图，当点G在y轴正半轴上时，过点Q作QD⊥ y轴于点 D ，， QDO=PGO,QOD=GOP，
△ Q D O ∽ △ P G O ,
GO GP PO
= = =2，
DO QD QO
Q D =
1
2
G P = 1 ， O D =
1
2
O G =
3 −
2
n
，
点 P 必定在第一象限，
点 Q 必定在第三象限，
Q
− 1 ,
n −
2
3
，
代入抛物线可得
n −
2
3
= − 1 − 2 + 3 − n ，
解得 n = 1 ，
Q(−1,−1)
如图，当点 G 在 y 轴负半轴上时，过点 Q 作 Q D ⊥ y 轴于点 D ，
， QDO=PGO,QOD=GOP，
△QDO∽△PGO,
GO GP PO
= = =2，
DO QD QO
Q D =
1
2
G P = 1
1
，OD= OG，
2
点P必定在第四象限，
点Q必定在第四象限， Q
1 ,
3 −
2
n
，
3−n
代入抛物线可得 =−1+2+3−n，
2
解得n=5，
Q(1,−1)，
综上，点 Q 的坐标为 ( − 1 , − 1 ) 或(1,−1)．
4．如图，抛物线 y = x 2 + b x + c 与x轴交于点 A ， C （点 A 在点 C 右侧），与 y 轴交于点 B ，直线y=−x+3
经过点 A ， B ，点 P 为抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 P 在第一象限内直线 A B 上方的抛物线上运动，过点 P 作 P D 垂直抛物线的对称轴于点 D ，作
P E ⊥ A B 于点 E ，当 P E = 2 P D 时，求点 P 的坐标；
(3)点 Q 在抛物线对称轴上运动，当点 P ， Q 关于直线 A B 对称时，请直接写出点 Q 的坐标．
【答案】(1) y = x 2 − 4 x + 3
(2) P ( 4 , 3 )
(3)点 Q 的坐标为
(
2 ,1 − 2
)
或
(
2 ,1 + 2
)
【分析】（1）先由一次函数求出 A ( 3 , 0 ) ， B ( 0 , 3 ) ，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点P作 P F ∥ y 轴交直线AB于点F，求出 P F = 2 P E ，得到PF =2PD，设点P的坐标为
( m , m 2 − 4 m + 3 ) ，则F(m,−m+3)，得到 P F = m 2 − 3 m ，求出抛物线的对称轴为直线x=2，得到PD=m−2，
则 m 2 − 3 m = 2 ( m − 2 ) ，解方程求出答案；
（3）设对称轴与直线 A B 相交于点G，与x轴相交于点M，连接PG,PQ，分点P在直线 A B 上方和点P在
直线AB下方两种情况分别画出图形，分别进行解答即可．
【详解】（1）解：当 y = 0 时，0=−x+3，解得 x = 3 ，
当x=0时，y=−x+3=3，
∴点A(3,0)，B(0,3)，
y=x2+bx+c经过点A(3,0)，B(0,3)，
9 + 3 b
c
+
=
c
3
= 0
解得
b
c
=
=
−
3
4
抛物线的函数解析式为： y = x 2 − 4 x + 3
（2）过点P作 P F ∥ y 轴交直线 A B 于点F，
∵OA=OB=3
∴ O A B = O B A = 4 5 ，
∵ P F ∥ y
∴PFE=OBA=45，
∵ P E ⊥ A B ，
∴ P F =
s in
P
E
P F E
=
s
P
in
E
4 5
= 2 P E ，
∵ P E = 2 P D ，
∴PF =2PD，
设点P的坐标为 ( m , m 2 − 4 m + 3 ) ，则 F ( m , − m + 3 ) ，
∴ P F = m 2 − 4 m + 3 − ( − m + 3 ) = m 2 − 3 m ，
∵ y = x 2 − 4 x + 3 = ( x − 2 ) 2 − 1 ，
∴抛物线的对称轴为直线 x = 2 ，
∴ P D = m − 2 ，
∴m2−3m=2(m−2)，
解得 m
1
= 4 , m
2
= 1 （不合题意，舍去）
∴P(4,3)
（3）设对称轴与直线 A B 相交于点G，与x轴相交于点M，连接 P G , P Q ，
如图，当点P在直线AB上方时，∵ Q G ∥ y 轴，
∴QGA=OBA=45，
∵点P， Q 关于直线 A B 对称，
∴ G Q = G P , G A ⊥ Q P , P G A = Q G A = 4 5 ，
∴ ∠ Q G P = 9 0 ，
∴PG∥OA，
把x=2代入 y = − x + 3 得到 y = − x + 3 = 1 ，
则 M G = 1 ，
∴点P的纵坐标为1，
把 y = 1 代入 y = x 2 − 4 x + 3 得到 1 = x 2 − 4 x + 3 ，
解得 x
1
= 2 + 2 , x
2
= 2 − 2 （不合题意，舍去）
∴ G P = G Q = 2 ，
∴QM = 2−1，
∴点Q的坐标为
(
2 ,1 − 2
)
，
同理，如图，当点P在直线AB下方时，
∵MG =1，
∴点P的纵坐标为1，
把y=1代入 y = x 2 − 4 x + 3 得到1=x2−4x+3，
解得x =2+ 2（不合题意，舍去），x =2− 2，
1 2
∴GP=GQ= 2，
∴QM = 2+1，∴点Q的坐标为
(
2 ,1 + 2
)
，
综上可知，点Q的坐标为
(
2 ,1 − 2
)
或
(
2 ,1 + 2
)
．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、轴对称的性质、待定系数法求函数解析式、一次函数和二次
函数的交点问题、解直角三角形等知识，综合性强，分情况讨论是解题的关键．
5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数 y = a x 2 + b x − 3 ( a 0 ) 的图象与x轴交于 A ( − 1 , 0 ) 、 B ( 3 , 0 ) 两
点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线 A D 交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，
连接 D P ．
(1)求二次函数的函数表达式；
(2)若 P D E = 2 D E C ，则点P的坐标为 ；
(3)如图2，延长 D P 交x轴于点G，若AG=DG．
①求点G的坐标；
②Q为线段 A D 上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若 P Q N = D A B ，则n的最大
值为 ．
【答案】(1) y = x 2 2 x 3 − −
(2) ( 3 ,0 )
5
(3)①G(4,0)；②
4
【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似、一次函数的图象和性质，证明三角形相似是本题
的难点．
（1）由题意得： y = a ( x + 1 ) ( x − 3 ) = a ( x 2 − 2 x − 3 ) = a x 2 + b x − 3 ，即可求解；
（2）证明PD和ED关于 D H 对称，得到直线PD的表达式为：y=2(x−1)−4，联立PD和抛物线解析式即
可求解；
（3）①由AG=DG，则(x+1)2 =(x−1)2+16，即可求解；②证明 NAQ∽ QDP，则AN：DQ= AQ：PD，即 ( n + 1 ) ： − 5 ( m − 1 ) = 5 ( m + 1 ) :
2 0
9
：，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得： y = a ( x + 1 ) ( x − 3 ) = a ( x 2 − 2 x − 3 ) = a x 2 + b x − 3 ，
∴ − 3 a = − 3 ，
则a=1，
则抛物线的表达式为：y=x2−2x−3；
（2）解：由抛物线的表达式知 y = x 2 − 2 x − 3 = ( x − 1 ) 2 − 4 ，
∴点 D ( 1 , − 4 ) ，
设抛物线的对称轴交x轴于点H，
则 H D y 轴，则 H D E = D C E ，
而PDE=2DEC，
则PDH =EDH，
即 P D 和 E D 关于 D H 对称，
设直线 A D 的表达式为： y = k x + b ，
则
−
k
k
+
+
b
b
=
=
−
0
4
，
k =−2
解得： ，
b=−2
∴y=−2x−2，
则直线PD的表达式为： y = 2 ( x − 1 ) − 4 ，
联立上式和抛物线的表达式得： x 2 − 2 x − 3 = 2 ( x − 1 ) − 4 ，
解得：x=1(舍去)或3，
则点P(3,0)，
故答案为：(3,0)；
（3）解：①设点G(x,0)，
AG=DG，则 ( x + 1 ) 2 = ( x − 1 ) 2 + 1 6 ，
则 x = 4 ，
即点 G ( 4 , 0 ) ；
②由点A、D的坐标得，
直线AD的表达式为： y = − 2 x − 2 ，
同理可得直线 D G 的表达式为： y =
4
3
( x − 4 ) ，
联立DG和抛物线的表达式得：
x 2 − 2 x − 3 =
4
3
( x − 4 ) ，
则x=1(舍去 ) 或
7
3
，
7 20
则点P ,− ，
3 9
设点 N ( n , 0 ) ，点 Q ( m , − 2 m − 2 ) ，
由点A、N、D、P、Q的坐标得，
AN =n+1，DQ= 5(1−m)， A Q = 5 ( m + 1 ) ， P D =
2 0
9
，
由①知， B A D = B D A ，
而PQN =DAB，
即BAD=BDA=PQN =，
则 P C D P Q N P C D A N Q N A Q A N Q + = + = + = + ，
即 N A Q = P C D ，
B A D = B D A ，
NAQ∽ △ Q D P ，
则 A N : D Q = A Q : P D ，
即 ( n + 1 ) ： − 5 ( m − 1 ) = 5 ( m + 1 ) :
2 0
9
,
9 5 5
则n=− m2+ ，
4 4 4
5
即n的最大值为： ，
4
5
故答案为： .
4押题猜想十 综合与实践
“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！
【特例感知】
(1)如图1，纸片 A B C D 为矩形，且 A D = 2 0 厘米， A B = 1 0 厘米，点E， F 分别为边 A D ， B C 的中点，沿 E F
将纸片剪成两部分，将纸片 D E F C 沿纸片 A B F E 的对角线EB方向向上平移．
①当纸片 D E F C 平移至点 E 与EB的中点 O 重合时，两个纸片重叠部分 F G E H 的面积与原矩形纸片 A B C D
的面积之比是________；
②当两个纸片重叠部分 F G E H 的面积与原矩形纸片 A B C D 的面积之比是
1
1
6
时，则平移距离 E E 为________；
【类比探究】
(2)如图2，当纸片 K L M N 为菱形， K N = a ( a 2 ) ， N = 6 0 时，将纸片 K L M N 沿其对角线KM 剪开，将纸
片 K L M 沿 K M 方向向上平移．当两个纸片重叠部分 K P M 的面积与纸片 K L M 的面积之比为
1
2
时，求平移
距离 K K （用含 a 的式子表示）；
【拓展延伸】
(3)如图3，在直角三角形纸片 ABC中， ∠ C = 9 0 ， A C = 1 8 厘米， B C = 2 4 厘米，取 A B ， B C 中点 D ， E ，
将 ABC沿 D E 剪开，得到四边形ACED和 D E B ，将 D E B 绕点 D 顺时针旋转得到 D F G ．在 D F G 旋转
一周的过程中，求△CFG面积的最大值．
1
【答案】(1)① ；②5 2−5或5 2+5
8
(2)
2 −
2
2
a
(3)144平方厘米
【分析】（1）①先利用平移的性质证明四边形FGEH是矩形，再利用等腰直角三角形的性质分别求出HE
和EG的长，再利用矩形的面积公式计算FGEH和ABCD的面积，即可求解；②设EE=a厘米，则
( )
BE= 10 2−a 厘米，表示出四边形FGEH的面积，再结合题意列出方程，解出a的值即可解答；（2）利用平移的性质得到 K P ∥ K L ，推出 M K P ∽ M K L ，再利用相似三角形的性质得出 M K =
2
2
a ，即
可求解；
（3）过点 C 作 C N ⊥ F G 于点 N ，利用勾股定理求出 A B = 3 0 厘米，结合点 D ， E 是 A B ， B C 的中点，得出
C D =
1
2
A B = 1 5 厘米， B E =
1
2
B C = 1 2 厘米， D E =
1
2
A C = 9 厘米，利用旋转的性质得到FG=BE=12厘米，
D F = D E = 9 厘米，分析可知当 C N 最大时， △ C F G 面积最大，结合图形利用线段的性质求出 C N 的最大值，
即可求出 △ C F G 面积的最大值．
【详解】（1）解：① A B C D 为矩形，
B C = A D = 2 0 厘米， A = 9 0 ， B C ∥ A D ，
点 E ， F 分别为边 A D ，BC的中点，
B F =
1
2
B C = 1 0
1
厘米，AE= AD=10厘米，
2
BF = AE，
BF∥AE， A = 9 0 ，
四边形 A B F E 是矩形，
又 B F = A B = 1 0 厘米，
矩形 A B F E 是正方形，
EBF=BEF=45， E F B = 9 0 ， B E = 2 A B = 1 0 2 厘米，
由平移的性质得， E F ∥ E F ，DE∥DE，
D E ∥ F H ，
D E ∥ F H ，
又 G F H = 9 0 ，
四边形 F G E H 是矩形，
点E与EB的中点O重合，
B E = E E =
1
2
B E = 5 2 厘米，
EHB=EGE=90，EBF =BEF =45，
BEH和 EEG都是等腰直角三角形， H E =
B E
2
= 5 厘米， E G =
E E
2
= 5 厘米，
S =HEEG=25平方厘米，
矩形FGEH
S
矩 形 A B C D
= A D A B = 2 0 0 平方厘米，
FGEH的面积与原矩形纸片 A B C D
25 1
的面积之比是 = ．
200 8
1
故答案为： ．
8②由①中的结论得，四边形 F G E H 是矩形， B E H 和 E E G 都是等腰直角三角形，
设 E E = a 厘米，则 B E =
(
1 0 2 − a
)
厘米，
E G =
E E
2
=
a
2
厘米， H E =
B E
2
=
1 0 −
a
2
厘米，
S
矩 形 F G E H
= H E E G =
a
2
1 0 −
a
2
，
1
FGEH的面积与原矩形纸片ABCD的面积之比是 ，
16
S
矩 形 A B C D
= 2 0 0 平方厘米，
a a
10−
2 2 1 ，
=
200 16
解得： a
1
= 5 2 − 5 ， a
1
= 5 2 + 5 ，
平移距离EE为5 2−5或 5 2 + 5 ．
故答案为： 5 2 − 5 或 5 2 + 5 ．
（2）解： 纸片 K L M N 为菱形， N = 6 0 ，
S
M N K
= S
M K L
=
1
2
S
菱 形 K L M N
， △ M N K 和 △ M K L 为等边三角形，
纸片KLM 沿 K M 方向向上平移，
K P ∥ K L ，
M K P ∽ M K L ，
两个纸片重叠部分 K P M 的面积与纸片 K L M 的面积之比为
1
2
，
S
S
M
M
K
N
P
K
=
M
M
K
K
2
=
M K
a
2
=
1
2
，
2
MK= a，
2
K K = M K − M K = a −
2
2
a =
2 −
2
2
a ．
（3）解：如图，过点 C 作CN ⊥FG于点 N ，
C=90 ，AC=18厘米， B C = 2 4 厘米，
AB= AC2+BC2 = 182+242 =30厘米，点 D ，E是 A B ， B C 的中点，
C D =
1
2
A B = 1 5
1
厘米，BE= BC=12厘米，
2
D E =
1
2
A C = 9 厘米，
由旋转的性质得， F G = B E = 1 2 厘米， D F = D E = 9 厘米，
S
C F G
=
1
2
F G C N = 6 C N ，
当 F G 上的高线 C N 最大时，则 △ C F G 面积最大，
C N C F ，
当点 N 和点 F 重合时，且 D F G 旋转到 A B 外侧时，此时 C N 最大，
作出示意图如下：
D F ⊥ F G ，
此时 C 、 D 、 F 三点共线，
即 C N = C F = C D + D F = 1 5 + 9 = 2 4 厘米，
1 1
S = FGCN = 1224=144平方厘米，
CFG 2 2
即 △ C F G 面积的最大值为144平方厘米．
【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质与判定、平移的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性
质与判定、旋转的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线是解
题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的推理论证和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学
生．
押题解读：本题考查了特殊平行四边形的性质与判定、平移的性质、一元二次方程的应用、相似三角
形的性质与判定、旋转的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助
线是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的推理论证和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难
题的学生．
1．综合与实践-项目式学习
【项目主题】学科融合-用数学的眼光观察现实世界．
【项目背景】学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．
【项目素材】
素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折
射后经过焦点．
素材二：设u表示物体到凸透镜的距离， v 表示像到凸透镜的距离， f 表示凸透镜的焦距（凸透镜中心到焦
点之间的距离），小明在研究的过程中发现了u， v
uf
和 f 之间在成实像时存在着关系：v=
u− f
【项目任务】根据项目素材解决问题：
任务一：如图， A B 为物体，点 O 为凸透镜 M N 的中心，入射光线 A C ∥ 主光轴，折射光线 C A 经过焦点 D ，
AB为AB所成的像．当 u = 1 .2 f 时，求
A
A
B
B
的值．
任务二：已知凸透镜 M N 的焦距为8cm，物体 A B 的高度为 6 c m ，当物体到凸透镜的距离为 x c m （ x 8 ）
时，测量物体的成像 A B 的高度为 y c m ．
(1)请你利用所学的知识求出 y 与x的关系式．
(2)当x8时，y随 x 的增大而________（填“增大”或“减小”）．
【答案】(1)任务一：
A
A
B
B
=
1
5
(2)任务二：（1） y =
x
4 8
− 8
；（2）减小
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的图象
与性质是解题的关键；
任务一：由题意易得 ACO∽ ACA，则有
A
A
O
A
=
O
A
C
C
=
1
f
.2 f
=
5
6
AO
，然后可得 =5，进而问题可求解；
OA
任务二：（1）由任务一可知 ABO∽ ABO，AB=3a，OB=8+4a，则 x : ( 8 + 4 a ) = 6 : 3 a
16
，从而得a= ，
x−8
然后根据y= AB=3a可得出y与
（2）根据反比例数的性质即可求解．【详解】（1）解：∵ A C ∥ 光轴，
∴ A C O ∽ A C A ，
AO OC f 5
∴ = = = ，
AA AC 1.2f 6
AO
∴ =5，
OA
∵AB∥AB，
∴ A B O ∽ A B O ，
∴
A
O
O
A
=
A
A
B
B
= 5 ，
∴
A
A
B
B
=
1
5
；
（2）任务二：（1）依题意得：四边形 A B O C 为矩形，OB=xcm， A B = 6 c m ，OD=8cm，
∴ O C = A B = 6 c m ，
∵AB∥OC，
∴ C O D ∽ A B D ，
OC OD
∴ = ，即
AB BD
A B =
3
4
B D ，
由任务一可知： A B O ∽ A B O ，设 A B = 3 a ，
∴ B D = 4 a ，
∴ O B = 8 + 4 a ，
BO:OB=AB:AB，
x : ( 8 + 4 a ) = 6 : 3 a ，
16
解得：a= ，
x−8
∴ y = A B = 3 a =
x
4 8
− 8
，
即y与 x 的关系式是： y =
x
4 8
− 8
；
（2）由（1）可得 y =
x
4 8
− 8
48
，可以看成y= 向右平移8个单位，
x
∵480
∴x8时，y随 x 的增大而减小
故答案为：减小．
2．综合与实践课上，老师让同学们结合“全等与相似”开展数学活动．
【初步探究】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在线段AB，BC上，且BE=CF，则CE与DF的位置关系是________，数量关系是________；
【知识迁移】
（2）如图2，在矩形 A B C D 中， B C = 2 C D ，点E，F分别为直线 A B ， B C 上的动点，且 B E = 2 C F ，连接 C E ，
DF．探究 C E 与 D F 存在的数量关系并说明理由；
【深入研究】
（3）如图3在（2）的条件下，若点E，F分别在边AB， B C 的延长线上， E C 的延长线与 D F 交于点H．点
G为 E H 上的点，且 H G = 2 H D ，请用等式表示线段 B G 与 H C 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1） C E ⊥ D F ， C E = D F ；（2） C E = 2 D F ；（3）BG= 5CH，理由见解析
【分析】（1）设 D F ， C E 交于T，证明 C B E ≌ D C F ( S A S ) ，得到 C E = D F ， ∠ B C E = ∠ C D F ，再导角证
明 C T D = 9 0 即可得到答案；
（2）证明 △ C B E ∽ △ D C F ，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可；
（3）过点B作 B M ⊥ C E 于M，证明 △ C B E ∽ △ D C F ，得到 B C E = C D F ，导角证明CHD=90，则可
证明 △ C H D ∽ △ B M C ，推出， C M = 2 H D ， B M = 2 C H 则可证明 M G = C H ，由勾股定理得
BG= MG2+BM2 = 5CH ．
【详解】（1）解：设 D F ， C E 交于T，
∵四边形 A B C D 是正方形，
∴ C D = B C ， ∠ C B E = ∠ D C F = 9 0 ，
又∵ B E = C F ，
∴ CBE≌ DCF(SAS)，
∴ C E = D F ， ∠ B C E = ∠ C D F ，
∵ B C E + D C E = 9 0 ，
∴CDF+DCE=90，
∴ C T D = 9 0 ，
∴ C E ⊥ D F ；（2）解： C E = 2 D F ，证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴ C B E = D C F = 9 0 ，
∵BC=2CD， B E = 2 C F ，
∴
B
C
C
D
=
B
C
E
F
= 2 ，
∴ △ C B E ∽ △ D C F ，
∴
C
D
E
F
=
B
C
E
F
= 2 ，即 C E = 2 D F ；
（3）解： B G = 5 C H ，理由如下；
如图所示，过点B作BM ⊥CE于M，
∵四边形 A B C D 是矩形，
∴∠BCD=∠CBA=90，
∴∠CBE=∠DCF =180−90=90，
∵BC=2CD， B E = 2 C F ，
BC BE
∴ = =2，
CD CF
∴△CBE∽△DCF，
∴ B C E = C D F ，
∵ ∠ B C E + ∠ H C D = 1 8 0 − ∠ B C D = 9 0 ，
∴HCD+HDC=90，
∴CHD=90，
∴∠CHD=∠BMC=90，
∴△CHD∽△BMC，CM BM BC
∴ = = =2，
HD CH CD
∴ C M = 2 H D ， B M = 2 C H
∵ G H = 2 D H ，
∴GH =CM ，
∴MG=CH，
在Rt BMG中，由勾股定理得 B G = M G 2 + B M 2 = 5 C H ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形得性质，正方形的性质，全等三角形
的性质与判定等待，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
3．【数学来源于生活】
（1）小明要铺一个1.8米 2 米的矩形床单，但是他发现床单长宽很接近，为了在图中找出哪个边是2米长，
在矩形 A B C D 中，小明折叠床单，使点A与点 C 重合，请你帮小明判断___________边长是2米．（填“AB”
或“ A D ”）
【综合与实践操作】
（2）①在图中，请你用无刻度的直尺和圆规在矩形 A B C D 中，画出线段 E F ，使点E， F 分别在边 B C , A D
上，且满足若沿 E F 折叠，能使点 A 与点 C 重合（不写作法，保留作图痕迹）
②在①条件下，连接 A E , C F ，请证明四边形 A E C F 是菱形．
【拓展与深度探究】
（3）如图，在矩形纸片 A B C D 中，点E， F 分别在边 B C ， A D 上，AB=4， B E = 5 ，AF =8，剪下四边
形 A B E F ．如图，折叠四边形纸片 A B E F ，折叠后点E的对应点E始终落在 A F 边上，点 B 的对应点为 B ，
折痕与边 A B , E F 分别交于点 H , G ．连接 H E ，当 s in F c o s A H B = 时，求tanBEH．
【答案】（1） A D ；（2）①见解析，②见解析；（2）
1
9
7
或
9
【分析】（1）根据矩形的性质得到 B 90 ，AD=BC，由折叠得，AH =HC，根据直角三角形斜边大于
直角边即可求解；（2）①由折叠的性质得到折痕 E F 为 A C 的垂直平分线，即作出线段 A C 的垂直平分线与 B C , A D 交点即为
点 E , F ；
②由折叠知： O A = O C , F A = F C ，先证明 A F O ≌ C E O ( A A S ) ，则 A F = C E ，那么四边形 A E C F 是平行四
边形，而 F A = F C ，故可证明为菱形；
（3）过点 E 作 E K ⊥ A F 于点K，则四边形 A B E K 为矩形，那么 A B = E K = 4 ，BE= AK =5， F K = A F − A K = 3 ，
由 E F = 5
EK 4
，则sinF = = =cosAHB，下面分两种情况讨论，补全折叠的图形，利用折叠的不变性和解
EF 5
直角三角形进行求解即可．
【详解】（1）解：如图：
由折叠得， A H = H C ，
∵一个1.8米 2 米的矩形床单，
∴ B 9 0 ，AD=BC
∴ A H A B ，
∴ H C A B ，
∴ B H + H C = B C A B ，
∴AD AB，
∴AD边长是2米，
故答案为： A D ；
（2）解：①如图，线段 E F 即为所作：
证明：②如图：
由折叠知：OA=OC,FA=FC，∵四边形 A B C D 是矩形，
∴AD∥BC，
∴ A F O = C E O , F A O = E C O ，
∴ A F O ≌ C E O ( A A S ) ，
∴ A F = C E ，
∴四边形 A E C F 是平行四边形，
∵ F A = F C ，
∴平行四边形 A E C F 是菱形；
（3）解：过点 E 作 E K ⊥ A F 于点K，则 E K A = E K F = 9 0
∵四边形 A B C D 为矩形，
∴ A = B = 9 0 ，
∴ A = B = E K A = 9 0 ，
∴四边形 A B E K 为矩形，
∴ A B = E K = 4 ， B E = A K = 5 ，
∴FK = AF−AK =3，
∴ E F = E K 2 + F K 2 = 5 ，
EK 4
∴sinF = = =cosAHB，
EF 5
当点 B 在 A B 左侧时，如图：
由翻折得： B H = B H , B = B = 9 0 ， B E = B E = 5 ，
∴ c o s 3 =
B
H
H
J
=
4
5
，
∴设BH =BH =4x,HJ =5x，
由勾股定理得：BJ =3x，
∴AJ = AB−BH−HJ =4−9x,EJ =BE−BJ =5−3x
∵ A = B = 9 0 , A J E = H J B ，
∴2=3
∴ s in 2 = s in 3 ，
BJ AJ
∴ = ，
HJ EJ∴
3
5
x
x
=
4
5
−
−
9
3
x
x
，
5
解得：x= ，
36
5
4
∴ BH 36 1；
tanBEH = = =
BE 5 9
当点 B 在 A B 右侧时，如图：
由翻折得： B H = B H , B = B = 9 0 ， B E = B E = 5 ，
AH 4
∴cos3= = ，
HJ 5
∴设 A H = 4 x , H J = 5 x ，
由勾股定理得： A J = 3 x ，
∴BH =BH =4−4x，
∴ B J = B H − H J = 4 − 9 x ，
∵ A = B = 9 0 , A J H = E J B ，
∴ 2 3 =
∴tan2=tan3，
∴
A
H
J
A
=
B
E
J
B
，
∴
3
4
x
x
=
4 −
5
9 x
，
解得： x =
1
3 6
，
1
4−4
∴ BH 36 7 ，
tanBEH = = =
BE 5 9
1 7
综上：tanBEH = 或 ．
9 9
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定，解直角三角形，折叠的性质，尺规作图
等知识点，难度较大，解题的关键是把握折叠的不变性去补图．
4．【综合与实践】【课本再现】
人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点E是正方形 A B C D 中 C D 边上任意一点，以点 A 为中心，
把 ADE顺时针旋转90，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出 A D E ≌ A B E ．由此，老师进行了延
伸拓展，与同学们一起探究．
【例题延伸】
（1）如图1，在正方形 A B C D 中，点E，F分别是边 B C ， C D 上的动点，且 E A F = 4 5 ，试判断 B E ， E F ，
DF之间的数量关系．小明把 A B E 绕点 A 顺时针旋转 9 0 得到 △ A D G ，使 A B 与 A D 重合，试求 B E ， E F ，
DF之间有什么数量关系？并说明理由；
【类比探究】
（2）如图2，在矩形ABCD中，已知 A B = 6 ，BC=8，点 F 为边 B C 延长线上一点，连接 D F ，过点 B 作
BH ⊥DF于点H，交CD于点 E ．
BE
①求 的值；
DF
②求 c o s E F C 的值；
【拓展应用】
（3）如图3，在（2）的条件下，平移线段 D F ，使它经过 B E 的中点 H ，交 A D 于点M ，交 B C 于点 N ，
4
连接NE，若sinENC= ，请你求出MN的长．
5【答案】（1） E F = B E + D F ，理由见解析；（2）①
B
D
E
F
=
4
3
；② c o s E F C
3
5
= ；（3）MN =3 5
【分析】（1）根据正方形的性质以及旋转的性质证明 E A F ≌ G A F ( S A S ) ，根据全等三角形的性质即可得
出结论；
（2）①证明△BCE∽△DCF，根据相似三角形的性质即可得出结论；
②根据相似三角形的性质以及已知条件可得
B
A
C
B
=
4
3
，设 C E = 4 a ，则 C F = 3 a ，勾股定理可得出 E F = 5 a ，
进而根据余弦的定义，即可求解；
（3）由平移的性质可得 M N ∥ D F ， M N = D F
4
．由sinENC= ，设
5
B N = E N = 5 x ，CE=4x，勾股定理
可得 C N = 3 x ，根据 B C 的长得出 x = 1 ，进而在 R t E B C 中， B E 2 = B C 2 + C E 2 ，根据勾股定理建立方程，解
方程，即可求解．
【详解】解：（1） E F = B E + D F ．理由如下：
ADG是 A B E 绕点 A 顺时针旋转 9 0 得到的，
A D G = B ， A G = A E ， D A G B A E = ．
四边形 A B C D 是正方形，
B B A D A D C 9 0 = = = ， A B = A D ，
A D G = 9 0 ，
ADG+ADC=180，
C ，D，G三点共线．
E A F = 4 5 ，BAD=90，
B A E + D A F = 4 5 ，
D A G + D A F = 4 5 ，
GAF =45，
GAF=EAF．
AF = AF，
E A F ≌ G A F ( S A S ) ，
EF =FG=DG+DF =BE+DF．
（2）① BE⊥DF，
CBE+DFC=90．
在矩形 A B C D 中，DCF =DCB=90， A B = C D ，
C B E + B E C = 9 0 ，
BEC=DFC，
△BCE∽△DCF，
B
D
C
C
=
B
D
E
F
．
AB 3
= ，
BC 4
B
D
E
F
=
B
A
C
B
=
4
3
．
② △ B C E ∽ △ D C F
BE BC 4
， = = ，
DF AB 3
C
C
E
F
=
B
D
E
F
=
B
A
C
B
=
4
3
．
设 C E = 4 a ，则 C F = 3 a ，
E F = C E 2 + C F 2 = 5 a ，
CF 3a 3
cosEFC= = = ．
EF 5a 5
（3）由平移的性质可得 M N ∥ D F ， M N = D F ．
点 H 为BE的中点，
M N 垂直平分BE，
BN =NE．
s in E N C
C
N
E
E
4
5
= = ，
设 B N = E N = 5 x ， C E = 4 x ，
C N = N E 2 − C E 2 = 3 x ，
B C = B N + C N = 8 x ．
B C = 8 ，
8x=8，
解得 x = 1 ，
C E = 4 ．
BE 4
= ，设
DF 3
M N = 3 y ，
BE =4y．
在Rt EBC中，BE2 =BC2+CE2，
(4y)2 =42+82,
解得y= 5或y=− 5（舍去），
MN =3y=3 5．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，
勾股定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．5．综合与实践
综合与实践课上，数学活动小组的同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． 如图（1），在直角三角形
纸片ABC中， C = 9 0 ．
(1)操作判断
操作一：对折直角三角形纸片 A B C ， 使点 B 与点C重合，得到折痕 D E ，把纸片展平．
问题1：如图（2），当直角边 A C = B C = 2 时，折痕 D E 的长为 ；
操作二：如图（3），将 B D E 绕点 E 逆时针旋转得到 M N E ， 点B,D的对应点分别是 M , N ，直线 M N 与
边 B C 交于点 P （不与点 B , C 重合）．
问题2：在 B D E 绕点 E 旋转的过程中， D P 与 N P 的数量关系为 ．
(2)探究迁移
若 A C = 6 ， B C = 8 ．在 B D E 绕点 E 旋转的过程中，当直线 M N 经过点A 时，如图（4），求 C P 的长．
(3)拓展应用
若 A C = 6 ，BC=8．在 BDE绕点E旋转的过程中，当 M N 与 A B C 的边平行时，直接写出 M N E 与 A B C
重叠部分的面积（面积为 0 时忽略不计）．
【答案】(1)问题1： 1 ；问题2： D P = N P
(2) C P =
7
4
45
(3) 或
8
6
1
9
6
【分析】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线
段成比例，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的键．
（1）问题1：根据折叠的性质得到 B D = C D ，BDE=90，得到DE∥AC，可证明 B D E ∽ B C A ，得出
BD DE
，即可得到答案；
BC AC
问题2：连接EP，可证明 PNE≌ PDE，即可得到结论；
（2）根据题意得 B D = C D =
1
2
B C = 4
7
，DE⊥BC，得到DE∥AC，得出PA=PB，根据勾股定理求出PA= ，
8
计算即可取出 C P 的长；
1 1 1
（3）根据题意得到DE= AC=5,BD= BC=4,BE= AB=5，分
2 2 2
M N A B , M N A C 两种情况讨论即可.
【详解】（1）解：问题1： 对折直角三角形纸片ABC， 使点B与点C重合，得到折痕DE， B D = C D ， B D E = 9 0 ，
C=90，
D E ∥ A C ，
B D E ∽ B C A ，
B
B
D
C
=
D
A
E
C
=
1
2
，
AC=BC=2，
D E =
1
2
A C = 1 ，
故答案为： 1 ；
问题2：如图，连接 E P ，
根据题意得 P N E = P D E = 9 0 ， N E = D E ，
P E = P E ，
P N E ≌ P D E ( H L ) ，
D P = N P ，
故答案为：DP=NP；
（2）解：由折叠可知 B D = C D =
1
2
B C = 4 ， D E ⊥ B C ，
B D E = C = 9 0 ，
D E ∥ A C ，
AE=BE，
EM =EB=EA，
MAE=AME=B，
PA=PB，
设 P A = P B = x ，则CP=BC−PB=8−x，
在Rt△APC中， P A 2 = C P 2 + A C 2 ，
即x2 =(8−x)2+62，
25
解得：x= ，
4
25 7
CP=8− = ；
4 4（3）解：
4 5
8
或
6
1
9
6
；
在 R △t A B C 中，AC=6,BC=8，
A B = A C 2 + B C 2 = 6 2 + 8 2 = 1 0 ，
1
由折叠可知BD=CD= BC=4，
2
D E ⊥ B C ，
B D E = C = 9 0 ，
D E ∥ A C ，
B D E ∽ B C A ，
BE DE BD 1
= = =
AB AC BC 2
A E = B E =
1
2
A B = 5
1
，DE AC 3，
2
当MN∥AB时如图（1），设MN,ME分别与边 B C 交于点 P , F ，连接EP，
由题意得 P N E = P D E = 9 0 ， N E = D E ，
P E = P E ，
P N E ≌ P D E ( H L ) ，
E P N = E P D ，
S
E N P
= S
E D P
，
M N A B ， N P E = P E B , N M E = M E B ，
B P E = B E P , B = M E B ，
BP=BE=5,EF =FB，
PD=BP−BD=5−4=1，
在 R t E D F 中， E F 2 = D E 2 + D F 2 ，即 ( 4 − D F ) 2 = D F 2 + 3 2 ，
7
解得：DF = ，
8
S
重 叠
= S
四 边 形 P N E F
= S
E P N
+ S
E P D
+ S
E D F
= 2
1
2
E D P D +
1
2
E D D F = 2
1
2
3 1 +
1
2
3
7
8
=
6
1
9
6
；
当MN∥AC时，如图（2）设MN,ME分别与边BC交于点P,F，
BPH =N =EDB=EDP=90，四边形 D P N E 是矩形，
EN PD,PN =DE=3，
M P E ∽ M N E ，
M N = B D = 4 ，
MP=MN−PN =1，
S
S
M
M
P
N
F
E
=
M
M
P
N
2
=
1
4
2
=
1
1
6
，
S
重 叠
= S
四 边 形 P F E N
= S
M N E
− S
M P F
=
1 −
1
1
6
S
M N E
=
1
1
5
6
1
2
3 4 =
4 5
8
，
综上，重叠部分的面积为
4 5
8
或
6
1
9
6
.
