文档内容
2025 年中考数学终极押题猜想（广东省专用）
目录
押题猜想一 选择题之函数综合问题................................................................................................1
押题猜想二 填空题之几何图形面积问题......................................................................................10
押题猜想三 实数的混合运算问题..................................................................................................19
押题猜想四 尺规作图与几何证明/求解.........................................................................................22
押题猜想五 利用三角函数解决实际问题......................................................................................31
押题猜想六 生活中的综合与实践问题..........................................................................................43
押题猜想七 函数与实际问题的综合..............................................................................................60
押题猜想八 与圆有关的综合问题..................................................................................................73
押题猜想九 几何图形变换的综合问题..........................................................................................91
押题猜想十 函数与几何图形综合问题........................................................................................112
押题猜想一 选择题之函数综合问题
（改编）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 的图象交于点 ，将直
线 沿 轴向上平移 个单位长度，交 轴于点 ，若 ，则 的值为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】A
【知识点】一次函数图象平移问题、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质．熟练掌握函数图象平
移以及平移性质，反比例函数与一次函数的交点，是解题的关键．解析式联立，解方程组求得A的纵坐标，
根据平移和相似三角形性质求得B的纵坐标，代入反比例函数的解析式求得B的坐标，代入 即可
求得b的值．
【详解】解：联立 ，
解得 或 ，
∵ ，
∴ ，即点 的坐标为 ．
如图，分别过点 作 轴， 轴，垂足分别为 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，即点 的纵坐标为2．
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学科网（北京）股份有限公司将 代入 ，得 ，即点 的坐标为 ．
由平移的性质得直线 的解析式为 ，
将点 代入 ，得 ．
故选：A．
押题解读
本考点为必考考点，反比例函数与一次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质．熟练掌握函数图象平
移以及平移性质，反比例函数与一次函数的交点，是解题的关键．解析式联立，解方程组求得A的纵坐标，
根据平移和相似三角形性质求得B的纵坐标，代入反比例函数的解析式求得B的坐标，代入 即可
求得b的值。
1．如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，则关于 的方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用图象法解一元一次方程
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标，先求出点P的坐标为 ，由
图象可以知道，当 时，两个函数的函数值是相等的，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7，
把 代入 ，得： ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ，
∴点P的坐标为 ，
∵一次函数 与 的图象相交于点P，
∴关于x的方程 的解是 ．
故选：B．
2．某智能空调的制冷功率（单位：瓦特）与用户设定的温度（单位： ）成反比例关系，表达式为
．工程师发现，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小．为确保这一现象符合
设计要求，参数 的取值范围应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】本题考查了反比例函数的性质及其应用．根据变量变化趋势即可确定参数范围．
【详解】解：∵ ，当用户调高设定温度（即增大）时，制冷功率会随之减小，
∴ ，
解得 ，
故选：A．
3．函数 与函数 在同一平面直角坐标系下的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断
【分析】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握反比例函数和一次函数的图象所经过的象
限与各项系数的关系是解决此题的关键．
分 和 两种情况讨论，然后根据一次函数和反比例函数所经过的象限逐一判断即可．
【详解】解：当 时，一次函数 经过第一、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限，无符
合的图象；
当 时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第二、四象限，符合此种条件的图象只有B
选项，
故选：B．
4．已知二次函数为 ，则它的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号
【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可求解．
【详解】解：∵二次函数为 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
故A，B，D选项不符合题意，C选项符合题意；
故选：C
5．如图，菱形 的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线 过点B．若 ，则
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学科网（北京）股份有限公司为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】y=ax²的图象和性质、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和菱形的性质及解直角三角形，过点 作 轴交
轴于点 ，求出 点的坐标，代入即可求解，求出 点的坐标是解题的关键．
【详解】解：过点 作 轴交 轴于点 ，
∵菱形 的边长为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
把 代入 ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
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学科网（北京）股份有限公司6．如图，点A是抛物线 与y轴的交点， 轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线
的顶点．若 为等边三角形，则a的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、等边三角形的性质
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作 于点D，根据等边三
角形的性质得出 ， ， ， ，将点 代入抛物线解析式，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作 于点D，
∵抛物线 的对称轴为 ， 为等边三角形，且 轴，
∴ ， ， ．
∵当 时， ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ．
故选：A．
7．抛物线 的对称轴直线 ．抛物线与 轴的一个交点在点 和点 之间，其
部分图象如图所示，下列结论中：① ；② ；③关于 的方程 有两个不相等实
数根；④ ，正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方
程根的情况
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系；①抛物线的对称轴
即可得；②先根据抛物线与x轴交点位置、对称性可得当 时， ，再结合 即
可得；③根据二次函数的顶点坐标可得抛物线与直线 有两个交点，由此即可得；④先根据顶点坐标
可得 ，再结合 即可得．
【详解】∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，则结论①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在 和 之间，且 时， ，
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司由二次函数的对称性得： 时的函数值与 时的函数值相等，
当 时， ，
即 ，
，即 ，
，即 ，则结论②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为 ，
∴抛物线与直线 有两个交点，
∴关于x的方程 有两个不相等实数根，则结论③正确；
∵ 化成顶点式为 ，且其顶点坐标为 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵抛物线的开口向下，
，
∴ ，
∴ ，则结论④正确；
综上，正确的有①③④，
故选：D．
8．已知二次函数 （ ）与 轴交于 、 两点，与 轴交点 的纵坐标是 ，
且 ，则以下结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．抛物线 的顶点坐标为
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学科网（北京）股份有限公司D．若 ，则 或
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、图象法解一元二次不等式
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，二次函数和不等式的
关系，顶点坐标，对称轴等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
利用二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，二次函数和不等式的关系，顶点坐标，对
称轴等知识点逐项进行判断即可．
【详解】解：A. 因为二次函数 （ ）与 轴交于 、 两点，与 轴交点
的纵坐标是 ，且 ，可判断出抛物线开口向下，对称轴位于 轴的左侧，
∴ ，
，故该选项正确，不符合题意；
B. 因为二次函数 （ ）与 轴交于 、 两点，当函数值为0时，即当
时， ，
， ，
∴ ，
，
∵抛物线与 轴交点 的纵坐标是 ，且 ，
∴ ，
即 ，
解得 ，故该选项正确，不符合题意；
C.由B选项可得抛物线的对称轴为直线 ，所以顶点横坐标为 ，
根据抛物线顶点纵坐标公式可得， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴抛物线 的顶点坐标为 ，故该选项正确，不符合题意；
D.当 时，抛物线的函数值为 ，此时，根据对称轴可得该点的对称点的横坐标为 ，
由选项A可知抛物线开口向下，
∴当 时， ，
即当 时， ，故该选项错误，符合题意；
故选：D．
押题猜想二 填空题之几何图形面积问题
（改编）如图是王先生家的菜团，图2是该菜谱的示意图，该菜谱可看作矩形，点 ， 分别是矩形
的边 ， 的中点，两条平行线 ， 分别经过菱形 的顶点 ， 和边 ， 的中
点 ， ．已知菱形 的面积为6，则阴影部分的面积之和为 ．
【答案】5
【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、利用菱形的性质求面积、由平行判断成比例的线段
【分析】连接 交于点 ，设 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，先证明四边形 是
矩形，得到 ， ，证明 ，推出四边形 为平行四边形，
推出 三点共线，且 ，再证明 ，得到 ，证明四边形 ，四边形
均为平行四边形，得到 ，平行线分线段成比例，推出 ，根据
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学科网（北京）股份有限公司菱形的面积分别求出四边形 和 的面积，分割法求出阴影部分的面积即可．
【详解】解：连接 交于点 ，设 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∵点 ， 分别是边 ， 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形；
∴ ， ，
∵四边形 为菱形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 三点共线，且 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 ，四边形 均为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵菱形 的面积为6，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：5．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
平行线分线段成比例等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和特殊图形，是解题的
关键．
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学科网（北京）股份有限公司押题解读
本考点为必考考点，矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性
质，平行线分线段成比例等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和特殊图形，是解
题的关键。
1．某遮阳伞如图所示，伞面可近似看作一个圆锥，若 ， ，则遮阳伞伞面的面积（圆
锥的侧面积）为 ．
【答案】
【知识点】求圆锥侧面积、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是正确的理解圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开
扇形的面积．根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，求得圆锥的底面周长就是圆锥的弧长，利用圆锥的面积
计算方法求得圆锥的侧面积即可．
【详解】解：如图，过点O作 ，
，
，
∴圆锥的底面半径为 ，
∴圆锥的底面周长 ，
∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，
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学科网（北京）股份有限公司∴圆锥的侧面积 ，
故答案为： ．
2．如图，四边形 是菱形， ， ，扇形 的半径为4，圆心角为 ，则图中阴影部
分的面积是 ．（结果保留 ）
【答案】
【知识点】利用菱形的性质求线段长、求扇形面积、求其他不规则图形的面积
【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形、菱形的面积公式即割补法是解题的关键．连接 ，将
扇形 补到扇形 的位置，从而得到 即可得到答案．
【详解】解：连接 ，将扇形 补到扇形 的位置，
， 四边形 是菱形，
，
过D 作 于点H，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
∵扇形的圆心角为 ， ，
．
故答案为： ．
3．如图，正六边形 与正方形 的边长均为4，则正六边形 与正方形 的面
积之差为 ．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】根据正方形的性质求面积
【分析】根据正六边形可分成6个边长相等的等边三角形，再结合等边三角形的面积，正方形的面积计算
即可．
本题考查了正六边形和正方形的面积计算，正确应用正六边形的面积是解题的关键．
【详解】∵正六边形可分成6个边长相等的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴正六边形 与正方形 的面积之差为： ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
4．如图，在 中， ， ，以 为直径作 ，交边 于点 ，交边 于
点 ，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质和判定、求扇形面积、求其他不规则图形的面积、解直角三角形的相关计算
【分析】连接 ，根据等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质求出 ，过点 作
于点 ，求得 ，再根据 即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点 作 于点 ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积公式，熟练掌
握以上知识点是解答本题的关键．
5．已知如图，在 中， ， ， ，在直线 的同侧分别以 的三边作
正方形 、正方形 、正方形 ， 、 、 、 分别表示对应图形的面积，则
的值为 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、以直角三角形三
边为边长的图形面积、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的正方形构成图形的面积，正方形的性质，全等三角形的性
质与判定，过 作 于 ，通过证明 ，依此即可求解，熟练掌握相关定
理，证明全等三角形，将阴影面积转化为 是解题的关键．
【详解】解：过 作 于 ，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可证： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可证： ，
∴ ，
∴ ，
同理： ， ，
∴ ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
6．鲁洛克斯三角形又称“圆弧三角形”，是一种特殊三角形，指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其
边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形．如图，先画等边 ，然后
以等边 的三个顶点为圆心，以 的长为半径画弧 ， ， ，若 ，则这个鲁洛克斯三
角形的面积是 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质、求其他不规则图形的面积、三角函数综合
【分析】首先根据等边三角形的性质得出 ， ，再利用扇形
公式求出 、 、 ，过顶点A作 于点D，根据三角函数，求出 ．最后利用
分割法求面积的思想即可求出答案．
本题主要考查不规则图形的面积，等边三角形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质和扇形面积公式
是解题的关键．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
如图，
过顶点A作 于点D，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴勒洛三角形的面积为 ，
故答案为： ．
押题猜想三 实数的混合运算问题
（改编）计算： ．
【答案】
【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂
【分析】此题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、零指数幂、算术平方根、绝对值法则计算即可．
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司押题解读
本考点为必考考点，实数的混合运算，利用负整数指数幂、零指数幂、算术平方根、绝对值法则计算即可。
1．计算： ．
【答案】
【知识点】零指数幂、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查了实数的运算，特殊三角函数，算术平方根，负整数指数幂，零指数幂，首先计算特殊
角的三角函数值、算术平方根、负整数指数幂和零指数幂，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出
算式的值即可．
【详解】解：
．
2．计算：
【答案】13
【知识点】求一个数的算术平方根、零指数幂、负整数指数幂
【分析】本题考查了实数的混合运算，算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，乘方运算．分别进行算术
平方根，零指数幂，乘方，负整指数幂运算，最后加减即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：
．
3．计算： ．
【答案】
【知识点】实数的混合运算、零指数幂、特殊三角形的三角函数
【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和乘方，
再去绝对值后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：原式
．
4．计算： ．
【答案】
【知识点】实数的混合运算、零指数幂、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质，零指数幂的意义，先逐项化简，再算加减即可．
【详解】解：原式 ．
5．计算：
【答案】
【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数
【分析】根据零指数幂公式，算术平方根，负整数指数幂公式，特殊角的正弦函数，解答即可．
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司．
【点睛】本题考查了零指数幂公式，算术平方根，负整数指数幂公式，特殊角的正弦函数，熟练掌握公式
和运算法则是解题的关键．
6．计算：
【答案】
【知识点】实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊三角形的三角函数
【分析】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法
则是解本题的关键．根据利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数
值计算即可求出值．
【详解】解：
．
押题猜想四 尺规作图与几何证明/求解
（改编）如图，在 中， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)尺规作图：作 的角平分线 ，交线段 于点 ．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）作出的图中，若 ， ，求 的长度．
【答案】(1)见解析；
(2) ．
【知识点】作角平分线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的
关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）过点D作 于点E，由角平分线的性质可得 ，进而可得 ．根据
，可得 ．证明 ，可得 ，即
，即可得 的长．
【详解】（1）解：如图，射线 即为所求．
（2）解：过点D作 于点E，
∵ 为 的平分线， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
押题解读
本考点为必考考点，作图—基本作图、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题
的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题。
1．如图， 是矩形 的对角线，将矩形折叠，使点C与点A重合，此时，折痕垂直平分 ．
(1)用尺规作图法在图中画出折痕 ，使折痕 与 ， ， 分别交于点E，O，F，并连接 ，
．
(2)求证：四边形 是菱形；
【答案】(1)图见解析
(2)证明见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作垂线(尺规作图)、矩形与折叠问题、证
明四边形是菱形
【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、矩形与折叠问题、三角形全等的判定与性质、菱形的判
定等知识，熟练掌握尺规作图和菱形的判定是解题关键．
（1）利用尺规作图作 的线段垂直平分线，与 ， ， 分别交于点 ，并连接 ， 即
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学科网（北京）股份有限公司可得；
（2）先根据折叠的性质可得 ， ， ，再证出
，根据全等三角形的性质可得 ，则 ，然后根据菱形的判定即可
得证．
【详解】（1）解：由题意，作图如下：
．
（2）证明：由折叠的性质得： 垂直平分 ，
∴ ， ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
2．如图，点 在菱形 的对角线 上，射线 交 于 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)尺规作图：在 延长线上找一点 ，使得四边形 为平行四边形；
(2)在（1）的前提下， 交 于点 ，若 ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】作线段(尺规作图)、利用平行四边形的判定与性质求解、利用菱形的性质求线段长、相似三角
形的判定与性质综合
【分析】（1）延长 到 ，使得 ，连接 即可；
（2）证明 ，设 ，利用相似三角形的判定与性质及平行线分线段成比例定理构建方
程求解．
【详解】（1）解：如图，四边形 即为所求；
（2）设 ．
四边形 是菱形，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
，
， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
解得 或 （舍去），
经检验 的分式方程的解．
．
【点睛】本题考查作图 复杂作图，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定与性质及
平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
3．如图，已知 是 的直径， 是半圆上一点（不与点 ， 重合）．
(1)用尺规过点 作 的切线交 于 延长线于点 （保留作图痕迹，不写作法）：
(2)在（1）的条件下，若 ，求 的直径．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】作垂线(尺规作图)、切线的性质定理、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）过点C作 的垂线交 于点D，则 即为所求；
（2）根据切线的性质，等边对等角，余角的性质可得出 ，根据等角对等边得出 ，
则可证明 是等边三角形，则 ，然后根据正弦定义求解即可．
【详解】（1）解∶如图， 即为所求，
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学科网（北京）股份有限公司（2）解∶∵ ，
∴ ，
∵ 是切线，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，尺规作图-作垂线，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直
角三角形等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键．
4．如图，已知 ， ．
(1)尺规作图：在 上找出点 ，使点 到 两边的距离相等；
(2)根据（1）所求点 ，以点 为圆心， 长为半径作 ，求证：直线 与 相切．
【答案】(1)见解析；
30 / 152
学科网（北京）股份有限公司(2)见解析．
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、证明某直线是圆的切线
【分析】（1）作 的角平分线，与 的交点即为M点；
（2）过点 作 ，垂足为 ．由（1）知 为 的平分线，则 ，进而可得
，即 为 半径．，由此可得直线 与 相切．
问题主要考查了角平分线的判定和性质，以及切线的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，点 为所求．
（2）证明：如图，过点 作 ，垂足为 ．
点 到 两边的距离相等，
为 的平分线．
，
，
，
，
长为 半径，
为 半径，
直线 与 相切．
5．如图，在 中， ，点 在边 上，以 为半径作 ，交 于点 ，连接 ．
31 / 152
学科网（北京）股份有限公司(1)尺规作图：作线段 的垂直平分线l，交 于点E；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接 与 相切吗？请说明理由．
【答案】(1)图见解析
(2) 与 相切，理由见解析
【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、证明某直线是圆的切线
【分析】本题考查基本作图-作垂线，切线的判定，等边对等角．掌握作垂线的方法，以及切线的判定的方
法，是解题的关键．
（1）根据作垂线的方法，作图即可；
（2）根据中垂线的性质，等边对等角，得到 ， ，再根据等量代换，得到
，进而得到 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示，垂直平分线l为所求．
（2）证明： 是 的切线，理由如下：
直线 是线段 的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
32 / 152
学科网（北京）股份有限公司，
，即 ，
是 的半径，
是 的切线．
6．如图， 中， ．
(1)尺规作图：作 ，使圆心 在边 上，且 与 ， 所在直线相切（保留作图痕迹，不写作
法）；
(2)在（1）的条件下，若 ， ，求 的半径 ．
【答案】(1)见解析
(2)4
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、切线的性质和判定的综合应用、解直角三角形
的相关计算
【分析】（1）结合角平分线的性质以及切线的判定与性质，作 的平分线，交 于点 ，以点
为圆心， 的长为半径画圆，则 即为所求．
（2）设 与 相切于点 ，连接 ，可得 ， ，进而可得
，则 设 的半径为 ，则 ， ，
，求出 的值即可．
【详解】（1）解：如图，作 的平分线，交 于点 ，以点 为圆心， 的长为半径画圆，
则 即为所求．
33 / 152
学科网（北京）股份有限公司（2）设 与 相切于点 ，连接 ，
， ，
，
，
．
设 的半径为 ，
则 ， ，
，
解得 ，
经检验， 是原方程的解且符合题意，
的半径为4．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、角平分线的性质、切线的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是
理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
押题猜想五 利用三角函数解决实际问题
（改编）惠州泗州塔始建于唐朝，是一座八角七层的楼阁式砖塔，如图所示，为了测量塔高 ，已知在
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学科网（北京）股份有限公司C处测得塔顶的仰角 ，朝塔脚前进 米到B点，在B处测得塔顶的仰角 ，已
知 ，请求出塔高 约为多少米．（ ，结果精确到个位）
【答案】
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查解三角形--锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角形的定义是解题的关键，设 为
米，在 中， ，可得到 ﹐再由 ，可得到 ，在 中，
，利用 ，求解即可得到答案．
【详解】解：设 为 米，
∵在 中， ，
∴ ﹐
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
解得： ，
答：塔高 约为 米．
押题解读
本考点为必考考点，三角函数问题常以实际测量场景为载体，重点考查解直角三角形的能力，涉及仰角、
俯角、坡度等概念。题目多与几何图形（如矩形、菱形、圆）结合，需通过构造直角三角形建立模型，利
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学科网（北京）股份有限公司用正弦、余弦、正切求边长或角度。近年真题显示，题型趋向多步骤综合应用，如2024年“大碗”高度
计算需结合矩形性质与正切函数。备考时应强化特殊角（30°、45°、60°）的计算，掌握计算器使用技巧
（如非特殊角求值），并关注方案设计类问题（如梯子安全角度范围）。常见陷阱包括单位换算和多解情
况讨论，需通过典型例题（如建筑物测量、堤坝坡度）提升建模与计算能力。
2．某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，需保证冬至日正午时分太阳光不能照
进落地窗．如图，已有的遮阳棚 ，遮阳棚前段下摆的自然垂直长度 ，遮阳棚的固定
高度 ， ．
(1)如图1，求遮阳棚上的点 到墙面 的距离；
(2)如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是 （光线 与地面的夹角），请通过计
算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（结果精确到0.1，参考数据 ）
【答案】(1)
(2)光线不能照射到商户内，方案可行，见解析
【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点 作 于 ，根据 代入数据求出 的值即可；
（2）延长光线 交 于点 ，延长 交 于点 ，利用勾股定理求得 ，再
根据 ，求出 的长与 比较大小即可得出结论．
【详解】（1）解：作 于 ，
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
．
即的 点到墙面 的距离为 ；
（2）解：如图，延长光线 交 于点 ，延长 交 于点 ，
可得 ， ， ，
在 中， ， ，
，
由题意，四边形 是矩形，则 ，
由 可知， ，
在 中， ，
即： ，
，
，所以光线不能照射到商户内，方案可行．
3．如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如
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学科网（北京）股份有限公司图2，摄像头P的仰角、俯角都调整为 ，摄像头高度 ，识别的最远水平距离 ．
(1)小张站在离摄像头水平距离 点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线 处），请问小张
的身高约为多少厘米？
(2)身高 的小军，头部高度为 ，当他直立站在离摄像头最远处时，请通过计算说明这时的小军
能被摄像头识别吗？（参考数据： ， ， ）
【答案】(1)184.3厘米
(2)小军能被摄像头识别
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解题意，正确作出辅助线构造直角三角形是
解题关键．
（1）过 作 的垂线分别交仰角线，俯角线于点 ， ，交水平线于点 ，在 中，根据三角
函数求出 即可求出 ，进而可求出小张的身高；
（2）过 作 的垂线分别交仰角线，俯角线于点 ， ，交水平线于点 ，同上，
在 中，根据三角函数求出 ， ，即可求出 ，进而可确定小军头部以下的高度．
【详解】（1）解：过 作 的垂线分别交仰角线，俯角线于点 ， ，交水平线于点 ，
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学科网（北京）股份有限公司由题意知 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴小张的身高约是184.3厘米；
（2）过 作 的垂线分别交仰角线，俯角线于点 ， ，交水平线于点 ，
同上，可知四边形 是矩形，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，同理 ，
∴ ， ，
小军头部以下的高度为 ，且小军身高 ，
∴小军能被摄像头识别．
4．如图，监控摄像头 固定在 与 构成的支架上， 与地面垂直， ， ，
．若该摄像头的可视角 ， 为 的平分线，且 ，点 ， ， ，
在同一直线上，过点 作 ， 为垂足．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求 的度数；
(2)求摄像头的最远可视点 与支架底部 之间的距离．（精确到 ）参考数据：（ ，
， ， ， ， ， ．）
【答案】(1) ；
(2)摄像头的最远可视点 与支架底部 的距离约为
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点B作 ，垂足为P，根据题意可得： ， ，
，从而可得 ，进而可得 ，再利用角平分线的定义可
得 ，最后根据垂直定义可得： ，从而可得 ，进而可得
；
（2）在 中，利用含30度角的直角三角形的性质可得 ， ，从而可
得 ，求得 ，再在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而利用线
段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：过点B作 ，垂足为P，
由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
40 / 152
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ 为 的平分线， ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意得： ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴摄像头的最远可视点G与支架底部A的距离约为 ．
5．如图1所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而
来的体育竞技．如图2，三根梅花桩AM，BP，CN垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵
身跃至点C，已知 ．（参考数据： ，
， ， ）
(1)直接写出 的度数；
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学科网（北京）股份有限公司(2)求醒狮少年从点B纵身跃至点C的路径 的长度；（结果保留一位小数）
(3)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，求线段 的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、其他
问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查平行线的性质，解直角三角形，勾股定理，
（1）延长 至H，根据平行线的性质得 ，即可求解．
（2）过点B作 于点Q，连接 ，根据题意得到四边形 是矩形，得出 ，
得到 ，再根据解直角三角形计算即可；
（3）过点B作直线 ，分别交 于点E，F，过点A作直线 ，交 于点D，连
接 ，根据题意得到四边形 ，四边形 ，四边形 ，四边形 均是矩形，根据矩形
的性质得到 ，再利用解直角三角形得到
，最后用勾股定理计算即可．
【详解】（1）解：如图：延长 至H，
由题意可得： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：如图，过点B作 于点Q，连接 ．
42 / 152
学科网（北京）股份有限公司依题意， ，
四边形 是矩形，
即
（3）解：如图，过点B作直线 ，分别交 于点E，F，过点A作直线 ，交
于点D，连接 ．
由题意得 ，
∴四边形 ，四边形 ，四边形 ，四边形 均是矩形，
，
．
，
，
，
，
，
43 / 152
学科网（北京）股份有限公司，
在 中， ，
．
即“采青”路径AC的长度约为 ．
6．膜结构车棚是近年来比较流行的一种棚型，它不仅具有功能性，而且具有观赏性，它以建筑造型美观、
跨度空间大、抗震性强，透光性良好等特点赢得了良好的市场．图1是某小区新建的斜拉杆车棚，图2是
其示意图，已知立柱 与地面垂直， ；测得立柱 段的长为 ，横支撑杆 ，
， ．求：
(1)棚顶末端 到地面的距离 的长．
(2)车棚的最大停车长度 的长．（结果精确到 ．参考数据： ， ，
）
【答案】(1)棚顶末端 到地面的距离 的长约
(2)车棚的最大停车长度 的长约
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，
（1）作 于点H，则四边形 是矩形， ，再求出 ，根据等腰三角形性质
求出 ，进而求出结论；
（2）在 中，求出 ，即可求出结论．
【详解】（1）解：作 于点H，
则由题意得：
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学科网（北京）股份有限公司四边形 是矩形，
，
， ， ，
，
，
，
；
（2）解：在 中， ，
，
则车棚的最大停车长度 的长约 ．
7．图 是一款笔记本电脑文架，该文架可通过调节支撑杆 位置来调整高度，它便于电脑散热，减轻使
用者的颈椎压力．图 是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图．
(1)已知 ， 互相平分于点 ， ，若 ， ，
①求 的长；
45 / 152
学科网（北京）股份有限公司②求点 到底架 的高 ；（结果精确到 ；参考数据： ， ，
）
(2)为改善坐姿守护健康，小明购买了如图 所示的电脑支架．如图 ，小明将电脑放置在电脑支架上，笔
记本电脑屏幕宽 ，调节支撑杆 位置后，点 恰好在 的中点处，点 在同一直线上，
且电脑屏幕 垂直于桌面，已知电脑屏幕张角为 ，支撑杆 ，求点 距离桌面的高度．
（结果精确到 ；参考数据： ， ）
【答案】(1)① ；②
(2)
【知识点】等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】（ ）证明 为等边三角形即可求解；
（ ）解 即可求解；
（ ）利用直角三角形的性质可得 ，再解 求出 即可求解；
本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形的应用，掌握以上知识点是解题
的关键．
【详解】（1）解：①如图，
∵ 互相平分于点 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
答： 的长为 ；
②如图，
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ， ，
∴ ，
答：点 到底架 的高 的长约为 ；
（2）解：如图 ，由题意得 ， ， ，
∴ ， ，
在 中，∵点 是 的中点， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
答：点 距离桌面的高度为 ．
押题猜想六 生活中的综合与实践问题
（改编）综合与实践
问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为 ，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半
径为 ，圆心角为 的扇形．
(1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长_____；（填“相等”或“不相等”）若 ，则
_____．
47 / 152
学科网（北京）股份有限公司(2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为 ，侧面展开图会得到一个半径为 ，圆心角
为 的扇形．请用含 ， 的式子表示 ；
(3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草帽， ， ， 是线段 中点，如今计划要从点 到
点 再到点 之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为 的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够
长，并说明理由．
【答案】(1)相等；
(2)
(3)够长，见详解
【知识点】几何体展开图的认识、求弧长、求圆锥侧面展开图的圆心角、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了圆锥和圆锥侧面展开图的关系，圆锥侧面展开图圆心角的度数，解直角三角形以及勾
股定理等知识点，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等，得出 和 之间的关系，进而即可求解；
（2）根据 ，即可求解；
（3）过点 作 于点 ，构造 和 ，解两个直角三角形，求出 和
11比较大小即可．
【详解】（1）解：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长相等，
解得 ，
故答案为：相等，9；
（2）解： 底面周长 ，扇形的弧长 ，
，
；
（3）解：够长，如图所示，过点 作 于点 ，
48 / 152
学科网（北京）股份有限公司， ，
，
圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为 ，
，
， 是 中点，
，
在 中， ， ，
在 中，
的彩带够长．
押题解读
49 / 152
学科网（北京）股份有限公司本考点为必考考点，综合与实践题近年侧重几何与统计结合，如三角形旋转、四边形性质应用及统计决策。
2025年或强化跨学科融合与新定义题型，需关注几何变换、数据建模及方案设计，建议重点练习动态几何、
统计量实际应用及二次函数综合题。
9．综合与实践
【主题】军事训练中的距离测量问题
【素材】在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点 ）与对
岸目标（点 ）之间的距离．然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野
外环境没有携带任何专业测量工具．但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法
来解决这一难题：
【实践操作】如图所示：
步骤1：面向点 站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点 ；
步骤2：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点 ；
步骤3：步测得 米．已知小王身高为 ，帽顶 到眼睛 的垂直距离为 ．
【问题解决】
(1)如何测得我方阵地与对岸目标之间的距离 ？请用你所学数学知识说明．
(2)若将本题中的测量方法应用到生活场景中，例如测量池塘对岸某一物体的距离，你认为该方法是否同样
适用？请举例说明在生活场景应用时可能会遇到的不同情况及相应的解决办法．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
（1）根据等三角形的判定与性质求解即可；
（2）根据题意并结合实际分析即可．
【详解】（1）解：由题意可得： ， ，
又 ，
50 / 152
学科网（北京）股份有限公司，
米；
（2）该方法在生活场景中测量池塘对岸某一物体的距离同样适用，
可能会遇到的不同情况及相应的解决办法：
情况一：周围由障碍物影响视线，
解决办法：可以选择适合的观测点，避开障碍物，重新进行观测操作。或者借助梯子等工具，升高观测点
位置，越过障碍物进行观测；
情况二：底面不平整影响站姿，
解决办法：可以先在地面上铺设一块平整的垫板，再进行测量操作．
10．综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．
【动手操作】
如图1．将边长为 的正方形 对折，使点 与点 重合，得到折痕 ．打开后，再将正方形
折叠，使得点 落在 边上的点 处，得到折痕 ，折痕 与折痕 交于点 ，打开铺平，
连接 、 、 ．
【探究提炼】
（1）如图1，点 是 上任意一点；线段 和线段 存在什么关系？并说明理由；
（2）如图2，连接 ，当 恰好垂直于 时，求线段 的长度；
【类比迁移】
（3）如图3，某广场上有一块边长为 的菱形草坪 ，其中 ．现打算在草坪中修建步
道 和 ，使得点 在 上，点 在 上，且 ．
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学科网（北京）股份有限公司①求 的度数；
②请问步道 所围成的 （步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直
接写出最小值：若不存在，说明理由．
【答案】（1） ,理由见解析；（2） ；（3）① ；②存在、
【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、折叠问题
【分析】（1）根据折叠的性质可知 垂直平分 ，再结合垂直平分线性质求解，即可解题；
（2）结合折叠的性质 ，理由等腰三角形性质，以及全等三角形性质得到
，结合正方形性质得到 ，再利用三角形内角和定理推出
，最后根据等腰三角形性质求解，即可解题．
（3）①过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，利用四边形内角和得到 ，结合菱形
性质证明 ，结合全等的性质进行等量代换，即可解题；
②过点 作 于点 ，结合直角三角形性质，等腰三角形性质，以及勾股定理得到 ，
进而得到 ，当 最小时， 面积最小，即 时， 面积最小，利用直角
三角形性质和勾股定理求出 ，即可解题．
【详解】解：（1） ，理由如下：
由折叠的性质可知 垂直平分 ，
；
（2）由（1）知， 垂直平分 ，
52 / 152
学科网（北京）股份有限公司，
，
由折叠的性质同理可得 ，
， ，
，
， ，
，
恰好垂直于 ，
四边形 为正方形，
平分 ， ，
，
，
，
，
，
，
正方形 边长为 ，
；
（3）①解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
草坪 为菱形， 为菱形 的对角线，
，
，
，
，
；
②解：存在，
过点 作 于点 ，
，
，
，
，
，
，
，
整理得 ，
，
当 最小时， 面积最小，
即 时， 面积最小，
54 / 152
学科网（北京）股份有限公司，
，
菱形草坪 的边长为 ，
，
，
（ ）．
【点睛】本题考查了折叠的性质，垂直平分线性质，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，正
方形性质，三角形内角和定理，菱形性质，直角三角形性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键作辅助
线构造全等三角形．
11．综合与实践
【主题】圆形纸片与剪纸艺术
【素材】图1中半径为2的圆形纸片（ ）若干．
【实践操作】活动一：如图2，在该圆形纸片（ ）上剪出一个圆周角为90°的扇形．
活动二：如图3，在另一圆形纸片（ ）内剪出一个内接正六边形，设该正六边形 的面积为 ，
再连接 ， ，剪出 ，设 的面积为 ．
活动三：在活动二的基础上，装饰粘贴上六个弧形花瓣，中心为点 ， 所在圆的圆心 恰好是
的内心．
55 / 152
学科网（北京）股份有限公司【实践探索】
(1)根据剪纸要求，计算图2中的扇形 的面积．
(2)请直接写出 的值：______．
(3)求弧形花瓣总的周长（图4中实线部分的长度）．（结果保留 ）
【答案】(1)
(2)2
(3)
【知识点】等边三角形的判定和性质、正多边形和圆的综合、求弧长、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，圆周角定理，三角形的内心的性质以及直角三角形的边角
关系，弧长的计算方法是正确解答的关键．
（1）连接 ，根据圆周角定理可得 为 的直径，即可求得 的长，利用扇形面积公式即可解答；
（2）连接 ，证明 ，即可解答；
（3）根据正六边形的性质，三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系求出 所对应的圆心角的度数
及半径，由弧长公式求出弧 的长，再计算 长的6倍即可．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
56 / 152
学科网（北京）股份有限公司，
为 的直径，即 ，
，
，
扇形 的面积为 ；
（2）解：如图，连接 ，
六边形 为正六边形，
， ,
，
等边三角形，
， ，
，
，
同理可得 ，
，
57 / 152
学科网（北京）股份有限公司故答案为：2；
（3）解：如图，过点 作 于点 ，
六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点 ，
，
，
是等边三角形，
，
，
点 是 的内心，
， ，
在 中， ， ，
，
的长为 ，
花窗的周长为 ．
12．综合与实践
主题：日月贝的设计与数学思考
【文化背景】坐落于珠海市香洲区的日月贝，不仅是一座具有艺术价值的建筑，也是来珠海市旅游的必去
之地，为游客提供了丰富的体验和享受．日月贝的设计灵感源自名画《维纳斯的诞生》，由一大一小两组
“贝壳”的形体组成，白天呈现半通透效果，夜晚则像贝壳一样闪闪发光．
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学科网（北京）股份有限公司【素材一】如图 和图 所示，日贝和月贝外形都可近似处理成与地面相交的圆弧．已知月贝高为 米，
日贝高为 米， 和 分别是两贝的直径，两圆心到地面的距离均约为各自半径的 ．
【问题一】
（1）求 和 的长度（ 结果取整数）．
【素材二】如图，为了体现错落的艺术感，日贝和月贝各自斜向形成一定的夹角．小队成员在进行地面勘
测时，发现了其中隐藏的几何模型．将其转化为以下数学问题．
【问题二】
（2）如图 ，在等腰直角 中， ， ．在（1）的条件下，计算 的长度（结
果取整数）．
（参考数据 ， ， ， ， ）
【答案】（1） 米， 米；
（2） 米
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求解其他问题、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】 过点 作 ，垂足为点 ，连接 ，设月贝半径为 ，根据月贝的高度是 米，
可得： ，解方程求出月贝的半径，根据勾股定理可求 米，设日贝的半径是 米，根据日
贝的高度是 米，可得： ，可求 米，利用勾股定理可求 米；
设 ，根据等腰直角三角形斜边与直角边之间的关系可得： ，解方程
求出 米，过点 作 ，利用锐角三角函数可得： ，从而可求
米，根据垂径定理可知 米．
【详解】 解：如下图所示，过点 作 ，垂足为点 ，连接 ，设月贝半径为 ，
月贝高 米，且 ，
，
解得： 米，
在 中 米，
米，
设日贝的半径是 米，
日贝的高度是 米，
，
解得： 米，
米，
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学科网（北京）股份有限公司答： 的长度为 米， 的长度为 米；
解：设 ，
在等腰 中， 米， 米，
，
解得： 米，
过点 作 ，
，
，
解得： 米，
米，
答： 的长度为 米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质、三角函数的应用，解决本题的关
键是作辅助线构造直角三角形，解直角三角形求线段的长度．
13．综合与实践
【主题】黄金矩形
【素材】素材一：矩形就是长方形．四个角都是 ，两组对边平行且相等．
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学科网（北京）股份有限公司素材二：宽与长的比是 （约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳
的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．
素材三：黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的。
【操作步骤】
【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图1所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
【第二步】如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
【第三步】折出内侧矩形的对角线 ，并把 折到图3中所示的 处．
【第四步】展平纸片，按照所得的点 折出 ，矩形 （图4）就是黄金矩形．
【问题解决】设 ．
(1)求证：矩形 是黄金矩形．
(2)求证：矩形MNDE也是黄金矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、正方形折叠问题
【分析】本题考查正方形的性质、翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，二次根式的混合运算，理解黄金
矩形定义，灵活运用所学知识解决问题是解答的关键．
（1）根据正方形的性质、翻折变换、矩形的性质以及勾股定理得到 、 ，再根据黄金矩形的定义即
可证得结论；
（2）由（1）可求得 ，再根据黄金矩形的定义即可得出结论.
【详解】（1）证明：根据题意可得， ， ，
∴ ，
根据勾股定理可得 ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司∴
∴
∴矩形 是黄金矩形．
（2）证明：由（1）知， ， ，
∴ ，
∴ ，
故矩形 是黄金矩形．
14．综合与实践主题：神奇的正方形
素材：两个边长不等的正方形卡纸，把两个边长不等的正方形卡纸 与 如图1所示摆放（点 、
、 在同一条直线上， ），点 是边 上一点，连接 ， ，沿 ， 裁剪之后，被
分成①②③三块，拼接成为图2所示的一个正方形图案．
(1)若 ， ，则 ______ ， ______ ．
(2)试根据题意判断 与 是否全等？说明理由．
(3)若 ， ，则图2中的图形②（多边形 ）的面积 ______（用含 、 的式子表示）
【答案】(1) ；
(2)全等，理由见解析
(3)
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定
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学科网（北京）股份有限公司理解三角形、根据正方形的性质证明
【分析】（1）图2中正方形的面积等于图1中，两个正方形的面积和；然后再根据正方形的面积公式即可
得出 的值；
（2）全等．利用 证明 与 全等即可：
（3）结合（2）的结论可得出结论．
【详解】（1）解：∵由①②③三块拼接成的图2中正方形的面积等于图1中两个正方形的面积和，
∴图2中，正方形的面积为： ，
∵由①②③三块拼接成的图2是正方形，
∴ ，
∴ 或 （负值不符合题意，舍去），
∴
故答案为： ； ；
（2）全等．理由如下：
∵由①②③三块拼接成的图2是正方形，
∴ ， ，
∵图1中的四边形 ，四边形 都是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
（3）∵四边形 是正方形， ， ，
∴ ， ，
由（2）知： ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ，
图2正方形的面积： ，
∴图2中的图形②（多边形 ）的面积为：
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查图形的拼剪，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，正方形的性质，勾股
定理等知识，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想解决问题．
15．综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为 ，宽为 的长方形硬纸板做收纳盒．
【任务要求】
任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成
一个无盖的长方体收纳盒．如图1．
任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个
有盖的长方体收纳盒， 和 两边恰好重合且无重叠部分．如图2．
【问题解决】
(1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为 ，剪去的小正方形的边长为多少 ？
(2)若任务二中设计的该收纳盒的底面积为 ．
①该收纳盒的高是多少 ？
②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由．
【答案】(1)剪去的小正方形的边长为 ；
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学科网（北京）股份有限公司(2)①收纳盒的高为 厘米；②不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、几何体展开图的认识
【分析】本题主要考查用一元二次方程的运用，
（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，则底面的长为 厘米，宽为 厘米，根据面积的
计算公式列式即可求解；
（2）根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，结合图示分析
可得收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为 列式可得 ，
②根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解．
【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得：
，整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去），
答：剪去的小正方形的边长为
（2）①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，
∴收纳盒底面的长为 （厘米），宽为 厘米，
∵收纳盒的底面积为 ，
∴ ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
∴收纳盒的高为 厘米，
②∵ ，
∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒．
押题猜想七 函数与实际问题的综合
（改编）今年春节长假，有各种各样以贺年为主题的小商品大受欢迎，其中就有小夜灯．近几年某商店一
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学科网（北京）股份有限公司直坚持以每个40元的价格出售一款小夜灯．据统计自2022年以来，该店小夜灯的销量持续增长，2022年
春节期间销售192个，到2024年春节销量达到了300个．
(1)求2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率；
(2)今年春节，该店现场销售的同时也将小夜灯按原价放到网上销售，一个月网上的销量达到了360个．为
进一步打开市场，该店决定在网上采用降价促销方式，据市场调查反映，如果调整价格，每降价1元，月
销量将增加60件．已知每个小夜灯成本为30元，当商品降价多少元时，该店网上销售的月利润可达到最
大？
【答案】(1)2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为 ；
(2)当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大．
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和二
次函数解析式是解题的关键：
（1）设年平均增长率为 ，根据平均增长率的等量关系 ，列出方程进行求解即可；
（2）设商品降价 元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数，求最值即可．
【详解】（1）解：设年平均增长率为 ，
根据题意，得 ，
解得 ， （不合题意，舍去）．
答：2023，2024这两年春节期间小夜灯的销售量的平均增长率为 ．
（2）当商品降价 元时，则销量为 件，每件利润为 元．
设总利润为 元，依题意，
得 ．
当 时， 有最大值．
答：当商品降价2元时，该店网上销售的月利润可达到最大．
押题解读
本考点为必考考点，明变量定关系：确定自变量（如时间x）与因变量（如路程y），通过“每单位变化
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学科网（北京）股份有限公司量固定”（如速度、单价）判定一次函数关系，设y=kx+b；找条件求参数：利用两组对应值（如两点坐
标）列方程组求k、b，或根据题意直接确定k（如斜率为速度）画图象助分析：画函数图象（注意定义域，
如x≥0），利用增减性（k>0递增，k<0递减）解决最值问题（如最优方案、临界值）；联实际验结果：求
解后验证是否符合实际意义（如人数为整数、费用非负），标注单位并规范作答。
1．某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在 元范
围内（包含40元和60元），这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．设台灯售价为x
（元），月销售量为y（个）．
(1)求出在售价为 元范围内（包含40元和60元）y与x的函数关系式；
(2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？
(3)商场能否实现平均每月15000元的销售利润？
【答案】(1)
(2)这种台灯的售价应定为50元
(3)商场不能实现平均每月15000元的销售利润
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数，一元二次方程在销售问题中的应用，解题关键是根据售价与销售量的关系建
立函数及利润方程求解．
（1）根据售价上涨金额与销售量减少的关系，由原销售量列出 并化简即可解答．
（2）依据“利润 （售价 进价） 销售量”，代入售价 、进价30，量 ，列出方程
，解方程，据售价 元的范围，舍去不合题意的解，确定售价．
（3）依“利润 （售价 进价） 销售量润”列方程 ，整理方程为
，计算判别式 ，判定方程无解，得出不能实现的结论．
【详解】（1）解：设台灯售价为x（元），月销售量为y（个）
∵这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，
∴这种台灯的售价每上涨 元，其销售量就将减少 0个，列方程得
．
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：依题意，得：
，
整理，得： ．
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：这种台灯的售价应定为50元
（3）解：依题意，得：
，
整理，得： ．
∵ ，
∴方程无解．
∴商场不能实现平均每月15000元的销售利润．
2．某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销，
试销情况如下：
第1 第2 第3 第4 第5
天 天 天 天 天
售价 （元/千
18 15 12 10 9
克）
销售量 （千
50 60 75 90 100
克）
(1)根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映试销期间这批苹
果每天的销售量 （千克）与售价 （元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出
的取值范围）;
(2)若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量 （千克）与售价 （元/千克）之间都满足（1）中的函数
关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，
计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售
且能如期全部售完？
【答案】(1)
(2)新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、实际问题与反比例函数
【分析】本题考查了反比例函数的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键．
（1）根据表格数据可知乘积恒为900，说明y与x成反比例函数，再利用待定系数法求出反比例函数解析
式即可；
（2）根据题意，先求出新售价前的剩余量300千克，再设新售价为a元/千克，则每天的销量为 千克，
根据题意列出方程求出a值即可．
【详解】（1） 与 之间满足反比例函数关系，设解析式为 ．
把 代入，得 ．
关于 的函数表达式为 ．
（2）试销6天共销售苹果 千克
苹果的售价定为10元/千克时，每天的销售量为90千克，
销售10天后，还剩下苹果 （千克）．
由 ，得 ．
把 代入 中得 ，
， 随 的增大而减小，
当 时， ，
新的售价最高可以定为6元/千克，
答：新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完．
3．某款三明治机制作三明治的工作原理如下：
①预热阶段：开机1分钟空烧预热至 ，机器温度 与时间 成一次函数关系；
②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度 后保持恒温状态；③断电阶段：操作完成后
进行断电降温，机器温度 与时间 成反比例关系．如下图所示为某次制作三明治时机器温度 与时间
的函数图象，请结合图象回答下列问题：
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学科网（北京）股份有限公司(1)预热阶段机器温度上升的平均速度是_________ ，开机3分钟时，温度为____ ；
(2)当 时，求机器温度 与时间 的函数关系式；
(3)求三明治机工作温度在 以上持续时间．
【答案】(1)60、140
(2)
(3)12分钟
【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，从图象获取信息，正确的求出函数解析式是解题的
关键：
（1）根据图象，列出算式进行计算即可；
（2）分 和 两种情况，待定系数法求出解析式即可；
（3）求出反比例函数的解析式，将 为 ，依次代入 及 中，求出对应的 的值，
作差即可．
【详解】（1）解： ，
；
故答案为：60、140；
（2）由图象可知：当 时， ；
当 时，设函数解析式为： ，
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学科网（北京）股份有限公司把 ，代入得： ，
解得： ，
∴ ；
综上： ；
（3）当 时，设
将 代入得：
当机器温度 为 ，依次代入 及 中，分别解得 、
；
答：三明治机工作温度在 以上持续12分钟．
4．如图，学校在教学楼后搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼长60m的后墙，其他的边用
总长70m的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距
离后墙8m外，还规划有机动车停车位．
(1)若设车棚宽度AB为xm，则车棚长度BC为______m；
(2)设自行车车棚面积为 ，车棚宽度AB为 ，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取
值范围；
(3)学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车棚进行扩建．在不对后墙进行改造的情况下，若希望扩建
后车棚面积不小于405m，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位EF向外最多移动
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学科网（北京）股份有限公司2m，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位 向外移动1m
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决几何问题、图形问题(实际问
题与二次函数)
【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确理解题意列出正确的不
等式是解题关键．
（1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个 的出口，然
后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边 的长；
（2）根据（1）结果即可列出自行车车棚面积为 关于车棚宽度AB为 的一次函数，再求出自变
量的取值范围即可；
（3）根据题意可得到不等式组，解不等式组，再结合实际需要进行解答即可．
【详解】（1）解： 搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度 为 ，左右两侧各开一个 的出口，
不锈钢栅栏总长 ，不锈钢栅栏状如“山”字形，
（ ），
故答案为： ；
（2）解：由（1）可得，车棚面积为： ，
由题意得到
解得 ，
∴
（3）解：不能，理由如下：
由（1）可得：
，
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学科网（北京）股份有限公司即
整理得到，
∴
即 或
解得，
当 时，
∴机动车停车位 向外移动1m；
答：有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位 向外移动1m
5．综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地
面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门
所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一
个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的
生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，
为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能
使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数 的图象经过 和 ，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数 经过点 ，且 与 的图象
均经过 和 ，则 的取值范围是________；
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以 ， 为端点的拱门表示原拱门，
表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时
拱顶到地面的距离 的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2） ；（3） 或
【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）待定系数法求出 ， ，由图
象可得 的顶点在 的下方，即可得出 ，求解即可；
（3）设新拱门抛物线解析式为 ，则抛物线顶点坐标为 由题意可得 ，
从而解得 ， （不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为 ，将 代入得，
，解得 ，从而可得 ，将 代入得， ，解得 ，
从而可得 ；将 代入得， ，解得 ，从而可得 ；分别求解即
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学科网（北京）股份有限公司可得解．
【详解】解：（1）∵二次函数 的图象经过 和 ，
∴此抛物线的对称轴为直线 ；
（2）∵二次函数 经过 和 ，
∴ ，
将 代入 可得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的图象均经过 和 ，
∴ ，
∵由图象可得： 的顶点在 的下方，
∴ ，
解得： ；
（3）如图所示，将点 分别向左右两侧平移3个单位得到点 、 ，将 向上平移 个单位，矩
形 即为大树生长空间．
由题意得， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ；
设新拱门抛物线解析式为 ，
∴抛物线顶点坐标为 ，
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴ ，
解得 ， （不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为 ，
将 代入得， ，解得 ，
∴ ，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴ ，
将 代入得， ，解得 ，
∴ ，
将 代入得， ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的取值范围是 或 ．
6．民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空
中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥
的旋转木梯点 处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台 上，其飞行路线可
看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网 ，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直
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学科网（北京）股份有限公司角坐标系，已知：点 的坐标为 ， ， ， ， ， ．
(1)当抛物线过点 ，且与 轴交于点 时，点 的坐标为___________，抛物线的解析式为
_______________；
(2)在（1）的条件下，若点 的坐标为 ，为使演员在演出时不受伤害，求保护网 （线段 ）
的长度至少为多少米；
(3)设该抛物线的表达式为 ，若抛射点 不变，为保证演员表演时落在平台 上（即抛物
线与线段 有交点），请直接写出 的取值范围．
【答案】(1) ，
(2)保护网 （线段 ）的长度至少为9米；
(3)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数)
【分析】（1）过点F作 轴，过点E作 ，先求出 ， ，然后用待定系数法即
可求解；
（2）由 平行于x轴，点N的坐标为 ，得出点M纵坐标为 ，代入解析即可得解；
（3）由发射点F不变，得出抛物线一定经过 ，然后分再经过 ， 两种情况，讨论即
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学科网（北京）股份有限公司可得解；
【详解】（1）解：过点F作 轴于 ，过点E作 于 ，
结合题意可得：四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴点F的坐标为 ，
∵ ，点A的坐标为 ，
∴点B的坐标为 ，
∵抛物线y轴交于点 ，
∴设抛物线的表达式为 ，
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学科网（北京）股份有限公司将点 和点 代入 得：
解得： ，
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：∵ 平行于x轴，点N的坐标为 ，
∴点M纵坐标为 ，
当 时，代入抛物线解析式得 ，
解得： （舍去）， ，
∴ ，即保护网 （线段 ）的长度至少为9米；
（3）解：由（1）知： ， ， ，
∵发射点F不变，
∴抛物线一定经过 ，
∴当抛物线经过 ， 时，
代入 得 ，
∴ ，
当抛物线经过 ， 时，
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学科网（北京）股份有限公司代入 得 ，
∴ ，
∵抛物线必经过平台 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识
点，理解题意是关键．
押题猜想八 与圆有关的综合问题
（改编）如图1，已知等腰三角形 的外接圆圆心为点 ， ， 为 的直径， 交 于
点 ， ， ；
(1)求 的长；
(2)连 ，求证：四边形 为菱形；
(3)直接写出图2中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
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学科网（北京）股份有限公司(3)阴影部分的面积为
【知识点】圆周角定理、求其他不规则图形的面积、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关
计算
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）连接 ，利用直角三角形的边角关系定理求得 ，利用垂径定理，直角三角形的性质得
到 ，利用等边三角形的判定与性质和菱形的定义解答即可；
（3）连接 ， ，过点O作 于点E，利用（2）的结论，菱形的性质，等边三角形的判定与
性质求得 ， ，利用直角三角形的边角关系定理求得 ，再利用
扇形与三角形的面积公式解答即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
（2）证明：连接 ，如图，
∵ 为 的直径，
82 / 152
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为菱形；
（3）解：连接 ， ，过点O作 于点E，如图，
由（2）知： 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∵ ，
83 / 152
学科网（北京）股份有限公司∴
∴阴影部分的面积
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，
直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，扇形与三角形的面积公式，等边三角形的判定与性质，
特殊角的三角函数值，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
押题解读
本考点为必考考点，与圆相关的综合题近年聚焦切线证明、圆周角定理及几何综合应用，如结合矩形、相
似三角形的动态问题。2025年或强化跨学科融合与新定义题型，例如圆锥周切面分析、圆与坐标系的综合
计算，建议重点掌握切线性质、垂径定理及阴影面积计算，关注动态几何与实际问题建模。
1．如图，在 中，点 为斜边 上一点，以 为直径的 交 于点 ， 交 于点 ，
且点 是 的中点．
(1)求证： 是 的切线；
84 / 152
学科网（北京）股份有限公司(2)若 ， ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、切线的性质和判定的综合应用
【分析】（1）连接 ，根据圆周角定理得 ，根据等边对等角得 ，所以
，证得 ，再结合 得 ，即可得证；
（2）连接 ，交 于点 ，证明四边形 是矩形，设 的半径为 ，则
， ，然后在 中，列出勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
点 是 的中点，
，
，
又 ，
，
，
，
又 ，
，
是 的半径，
为 的切线；
（2）解：如图，连接 ，交 于点 ，
点 是 的中点，
，
为 的切线，
，
又 ，
四边形 是矩形，
85 / 152
学科网（北京）股份有限公司设 的半径为 ，则 ， ，
在 中， ，
，
解得 ，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定
理等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
2．综合运用
如图， 中， ，D为 中点， ， 是 的外接圆． 是 的直径．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求 的长；
(3)若 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)
【知识点】用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形
的相关计算
【分析】（1）证明 ，即可得 是 的切线；
（2）先证明 ，得到 ，即可解答；
（2）过点A作 于点F，设 ，则 ， ，根据勾股定理构造方程，求得 ，
86 / 152
学科网（北京）股份有限公司根据正弦的定义即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，D为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，过点A作 于点F，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
87 / 152
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
整理得： ，
解得 ， （舍去），
∴ ， ，
∵ 与 都是 所对的圆周角，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，圆周角定理，掌握各种定理
和判定方法是解题的关键．
3．某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直
径 ，杯底直径 ，杯壁母线 ．请你解决下列问题：
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学科网（北京）股份有限公司(1)小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．
①图2中弧 的长为______ ，弧 的长为______ ；
②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧 所在圆的圆心 ，如图3所示．求弧 所在圆的半
径 及它所对的圆心角的度数 ．
(2)小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．
【答案】(1)① ， ；②12， ；
(2)正方形纸片的边长为 ．
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、求弧长
【分析】（1）①直接根据圆的周长公式计算；
②设它所对的圆心角的度数为 ，根据弧长公式得到 的长 ， 的长 ，然后把它们
相比即可得到 ，得 ，加上 ，可求得 ，再利用弧长公式得到
，于是可求出 ；
（2）如图4，连接 ， ，它们相交于点 ，先证明 为等边三角形得到 ，再证明
得到 ，则 ，于是可判断 垂直平分 ，所以 ，由勾股定
理计算出 ，由 为等腰直角三角形和得到 ，则 ，然后根据正
方形的性质得 ．
【详解】（1）解：① 杯口圆的半径为 ，杯底圆的半径为 ，
， ，
89 / 152
学科网（北京）股份有限公司故答案为 ， ；
②证明：设它所对的圆心角的度数为 ，
的长 ， 的长 ，
所以 ，
，
而 ，
解得 ，
即 ，
因为 ，
解得 ；
（2）解：如图4，连接 ， ，它们相交于点 ，
四边形 为正方形，
， ，
， ，
为等边三角形，
，
在 和 中，
，
，
，
，
垂直平分 ，
90 / 152
学科网（北京）股份有限公司，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
即正方形纸片的边长为 ．
【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的有关性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾
股定理，记住弧长公式；学会把几何题展开成平面图形的方法解决几何体的问题．
4．如图， 在 中， ， 是 的平分线， 的平分线 交 于点 ，
点 在 上，以点 为圆心 的长为半径的圆经过点 ，交 于点 ，交 于点 ．
(1)求证： 为 的切线．
(2)当 ， 时，求 的半径．
(3)在（2）的条件下， 线段 ； ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) ，
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、证明某直线是圆的切线、相似三角形
91 / 152
学科网（北京）股份有限公司的判定与性质综合
【分析】本题考查了切线的证明，相似三角形的判定与性质等，勾股定理与矩形的性质，熟练掌握以上知
识是解题的关键；
（1）连接 ．利用角平分线的性质和平行线的性质得到 ，后即可证得 是 的切线；
（2）设 的半径为 ，根据 ，得到 ，利用平行线的性质得到 ，即可解
得 ， 的半径为 ；
（3）过点 作 于点 ，则 ，根据 得到四边形
是矩形，从而得到 和 ，证得结论 ，进而根据勾股定理求得 ，即可求
得 的长．
【详解】（1）证明：连接 ．
， 平分 ，
，
，
，
平分 ，
，
，
又 ，
，
是 的切线；
（2）∵ ， ，
，
92 / 152
学科网（北京）股份有限公司，
即 ，
解得 ，
的半径为 ；
（3）过点 作 于点 ，则 ，
又 ， ，
∴
四边形 是矩形，
，
，
．
在 中，
∴
故答案为： ， ．
5．如图1， 是 的外接圆， 是直径，弦 与 交于点 ， 与 交于点 ，
．
93 / 152
学科网（北京）股份有限公司(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ， ，求劣弧 的长；
(3)如图2， ， 于点 ，交 于点 ， 绕点 顺时针旋转 得到 ，点 恰好
在线段 上，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)劣弧 的长为 ；
(3)见解析
【知识点】证明某直线是圆的切线、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形
的相关计算
【分析】（1）根据圆周角定理求得 ，再证明 ，推出
，即可证明 是 的切线；
（2）利用垂径定理求得 ，证明 ，求得 ，利用特殊角的三角函数值求
得 ，推出 是等边三角形，据此求解即可；
（3）过点 、 作 的垂线，垂足分别为 、 ，证明 ，得到 ，
，根据三角函数的定义求得 ，推出 ，
，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
94 / 152
学科网（北京）股份有限公司（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴劣弧 的长为 ；
（3）解：过点 、 作 的垂线，垂足分别为 、 ，
由旋转的性质知 ， ，
95 / 152
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的
判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
6．如图1，以 的边 为直径作 交 于点 ，连接 ，其中
(1)求证： 与 相切；
96 / 152
学科网（北京）股份有限公司(2)如图2，连接 交 于点 ，若 求 的长；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点 作 于点 ，连接 交 于点 ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)
【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质和判定的综合应用、相似三角形的判定与性质综合、解直角
三角形的相关计算
【分析】本题主要考查了切线的判定，直径定理，解直角三角形，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判
定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并准确作出辅助线．
（1）利用直径定理得出 ，利用给出的三角函数比可得 ，进而可得相切；
（2）根据三角函数比得出 ，假设半径为 ，表示出相关线段，根据 求出
的值即可得出答案；
（3）过点 作 交 于点 ，根据三角函数比得出 ， ，
根据平行的性质得出 ， ，根据相似比得出 ，求得 ，进而
可求 的长度．
【详解】（1）证明： 为 的直径，
，
，
在 中， ，
，
，
，
与 相切；
97 / 152
学科网（北京）股份有限公司（2）解：在 中， ，
，
，
，
，
，
设 ，
在 中， ，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴在Rt△ 中， ；
（3）解：
如图3，过点 作 交 于点 ．
∵ ，
∴ 为 的中点，
∴ ，
在Rt△ 中， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
98 / 152
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
押题猜想九 几何图形变换的综合问题
（改编）如图，点 是 边 上的一点， ， （ ）， 交
于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， 是否可以为直角，如果可以，求出此时 的值；如果不能请说明理由；
(3)已知 且 ，点 在线段 上运动时， 为 的中点，探究 的长度是否存在
99 / 152
学科网（北京）股份有限公司最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)可以，
(3)存在，
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、解直角
三角形的相关计算
【分析】（1）过点F作 ，由平行线的性质可得 ，易得
，再根据 求证即可；
（2）构建一线三等角全等模型，在 的延长线上截取 ，连接 ，易证 ，进而
可得 是等腰三角形，再利用 建立方程求解即可；
（3）延长 到J，使得 ，延长 到K，使得 ．易证 ， ，
所以 ，所以点E在 上运动时，点F在与 所在直线成 角的线上运动．进而得到点M
的运动轨迹，据此求解即可．
【详解】（1）证明：过点 作 ，
则 ， ，
又 ，
，
，
．
（2）解：在 的延长线上截取 ，连接 ．
∴ ，
100 / 152
学科网（北京）股份有限公司由（1）知 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：延长 到J，使得 ，延长 到K，使得 ．
由（2）中方法可得 ，
∴ ，
∴ ，
所以点E在 上运动时，点F在与 所在直线成 角的线上运动．
即点M在与 平行的线上运动（L为 的中点，把 绕点C旋转 度得到 ，点N为 的中点．点
M在 上运动），
过点L作 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
101 / 152
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ 与D重合，即 ，
∴ ，
过D作 于点O，
∴点D到线段 的最小值等于点D到线段 垂线段 的长，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、解直
角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
押题解读
本考点为必考考点，几何图形变换综合题近年聚焦旋转、翻折与坐标系结合，常考动态几何与存在性问题，
如折叠后线段关系及旋转角度计算。2025年或强化跨学科融合与新定义题型，如变换与物理运动结合或自
定义变换规则，建议重点掌握动态轨迹分析、相似三角形应用及辅助线构造技巧。
1． 中， ．点 为线段 上的一点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，与
相交于点 ，连接 ．
(1)如图1，当 为 的角平分线时，若 ．
①求 的值；
②连接 ，求证： ．
102 / 152
学科网（北京）股份有限公司(2)如图2，当 为 的中线时，设 ， ，求 与 的函数关系式，并求 的
最大值．
【答案】(1)① ；②见解析
(2) ， 的最大值为
【知识点】y=ax²+bx+c的最值、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相
关计算
【分析】（1）①由旋转的性质得 ，根据 为 的角平分线，得到
，推出 ，利用 ，即可求解；②延长 ，使得
，连接 ，易证四边形 是平行四边形，推出 是等腰直角三角形，再证明
，得到 ，进而求出 ，即可得出结
论；
（2）过点B作 于点M，则 ，设 ，则 ，求出 ，证
明 ，推出 ，求出 ， ，
根据 ，得到 ，即可求出 ，再利用二次函
数即分式的性质即可求出 的最大值．
【详解】（1）解：①由旋转的性质得 ，
∵ 为 的角平分线，
∴ ，
103 / 152
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
②延长 ，使得 ，连接 ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
104 / 152
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过点B作 于点M，则 ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ 为 的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
105 / 152
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
当 时，即 时， 有最小值 ，即 有最大值，
∴ 的最大值为 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定与性质，
等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，函数关系式及二次函数的性质，综合运用以上
知识点是解题的关键．
2．如图1，在平行四边形 中， 于点 ，且 ．点 从点 出发，
沿 向终点 运动，设点 在该折线上运动的路径长为 ，连接 ．
(1) 的长为________，当点 在 上运动时， 的最小值为_______；
(2)点 是 的中点，如图2，
①请用无刻度的直尺和圆规过点 作 的垂线 ，垂足为点 （保留作图痕迹，不写作法）；
②求证： ；
(3)延长 到点 ，使得 ，以 ， 为邻边作平行四边形 ，当点 在 上，平行四
106 / 152
学科网（北京）股份有限公司边形 对角线 所在的直线恰好经过点 时，如图3，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)①见解析；②见解析
(3)
【知识点】作垂线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角
形的相关计算
【分析】（1）利用正弦函数的定义求得 ，当 时， 取得最小值，利用等积法即可求解；
（2）①利用尺规作图的方法作出图形即可；
②先求得 ，再利用 即可证明 ；
（3）分别用 表示出 ， ， 和 的值，证明 ，利用相似三角形的性质列式计算即
可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 取得最小值，
∵ ，即 ，
∴ ，即 的最小值为 ；
故答案为： ， ；
（2）解：①所作图形如图，
107 / 152
学科网（北京）股份有限公司②由作图知 ，
∵ ，即 ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：D落在对角线 上，如图，
由题意得 ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
108 / 152
学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角函数，勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的
判定，解题的关键是分类讨论思想的运用，正确的作图．
3．如图1，在正方形 中，P为对角线 上一点，且 ，垂足为E．
【知识技能】
（1）图1中线段 和 之间的数量关系是__________；
【数学理解】
（2）若将图1中的 绕点C顺时针旋转，使P点落在 上，连接 ，如图2所示，则（1）中
的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【拓展探索】
（3）在（2）的基础上，延长 交于点F，若 ，求 的长．
【答案】（1） ；（2）成立，证明见解析；（3）
【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形性质和判定证明、根据正方形的性质证明、根据旋
转的性质求解
109 / 152
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由正方形的性质得出 ， 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可求
解；
（2）作 且 ，构造 是等腰直角三角形，证明 ，再证四边形
是平行四边形，推出 ,即可证明 ；
（3）过点B，D作 的垂线，垂足为K，M，证明 ，再结合（2）中结论证明 平
分 ，推出 是等腰直角三角形，即可求解．
【详解】解：（1） ，理由如下：
四边形 是正方形，
， ， ，
是等腰直角三角形，
,
， ，
是等腰直角三角形，
,
,
即 ，
图1中线段 和 之间的数量关系是 ；
（2）（1）中的结论是否仍然成立， ．
证明：如图，作 且 ，则 是等腰直角三角形，连接 ， ，
,
，
110 / 152
学科网（北京）股份有限公司，即 ，
在 和 中，
，
, ,
,
,
,
又 ,
四边形 是平行四边形，
,
是等腰直角三角形，
，
；
（3）如图，过点B，D作 的垂线，垂足为K，M，
, ,
,
又 , ,
,
,
四边形 是正方形， ，
,
111 / 152
学科网（北京）股份有限公司,
,
,
,
，
由（2）知四边形 是平行四边形，
，
，
由（2）知 是等腰直角三角形，
平分 ，
，
是等腰直角三角形，
．
【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行
四边形的判定和性质等，综合应用上述知识，正确添加辅助线是解题的关键．
4．【知识技能】（1）如图1，在 中， ， ，点D为平面内一点（点A，B，D
三点不共线）， 为 的中线，延长 至点M，使得 ，连接 ．求证：
．
【数学理解】（2）如图2，在 中， ， ，点D为平面内一点（点A，B，D三点
不共线）， 为 的中线，将 绕点A按顺时针方向旋转 得到 ，连接 ．求证：
【拓展探索】（3）如图3，在（2）的条件下，点D在以点A为圆心， 的长为半径的圆上运动
，直线 与直线 交于点G，连接 ，在点D的运动过程中， 的长度存在最大值．若
112 / 152
学科网（北京）股份有限公司，求 的长度的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋
转的性质求解
【分析】（1）先证明 ，由全等三角形的性质得出 ，最后根据平行线的
性质即可得出 ．
（2）延长 至点 ，使得 ，连接 ．由旋转的性质可知， ．证明
，由全等三角形的性质进一步即可证明．
（3）延长 至点 ，使 ，连接 ．先证明 ，再证明
，根据得出点 在以 为直径的 上运动，当且仅当 三点共线时，
的长度取得最大值，此时 ．然后利用勾股定理以及直角三角形斜线的中线等于斜边的一半
求解即可．
【详解】解：（1）证明： 为 的中线，
．
在 和 中，
．
．
113 / 152
学科网（北京）股份有限公司．
．
（2）证明：如答题图，延长 至点 ，使得 ，连接 ．
由旋转的性质可知， ．
，
．
由（1）得 ，
．
在 和 中，
．
．
，
．
（3）解：如答题图，延长 至点 ，使 ，连接 ．
在 和 中，
114 / 152
学科网（北京）股份有限公司．
．
．
．
，
．
．
，
．
在 和 中，
．
．
，
．
．
．
点 在以 为直径的 上运动，当且仅当 三点共线时， 的长度取得最大值，此时
．
为 的中点， ，
．
在 中，由勾股定理，得 ．
在 中， 为斜边 的中点，
115 / 152
学科网（北京）股份有限公司．
的长度的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合问题，直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识．掌
握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
5．【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含 的三角板开展数学探究
活动，两块三角板分别记作 和 ， ， ， ．
【操作探究】如图1，先将 和 的边 、 重合，再将 绕着点A按顺时针方向旋
转，旋转角为 ，旋转过程中 保持不动，连接 （如图2）．
(1)当 时，求 的长度；
(2)如图3，当 时，求 的度数；
(3)取 的中点O，点P是平面内某个定点，连接 ，在运动过程中 的长是个定值，点P的位置是
______，这个定值为______，运动开始后 ______．
【答案】(1)2
(2) ；
(3) 的中点；1；
【知识点】等边三角形的判定和性质、同弧或等弧所对的圆周角相等、90度的圆周角所对的弦是直径、根
据旋转的性质求解
【分析】（1）根据题意可得 ，从而得到当 时，点 共线，点A，D，C
共线，可证得 是等边三角形，即可求解；
（2）过点A作 于点H，根据等腰三角形的性质可得 ， ，从
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学科网（北京）股份有限公司而得到 ，进而得到 ， ，即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质可得 ，从而得到点O的运动轨迹为以 为直径的圆，进而得到
点P的位置是 的中点，这个定值为 ，再由 ，可得点D在 为直径的圆上，然后
圆周角定理，即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∵ ， ，
∴ ，
∴当 时，点 共线，点A，D，C共线，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ；
故答案为：2;
（2）解：如图，过点A作 于点H，
∵ ， ，
∴ ， ，
117 / 152
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵点O是 的中点， ，
∴ ，即 ，
∴点O的运动轨迹为以 为直径的圆，如图，
∵运动过程中 的长是个定值，
∴点P的位置是 的中点，且这个定值为 ，
∵ ，
∴点D在 为直径的圆上，
∴ ，
故答案为： 的中点；1， ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，图形的
旋转，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，第（3）问得到点O的运动
轨迹为以 为直径的圆是解题的关键．
6．四边形 为正方形，以点A为旋转中心，将线段 绕点A顺时针旋转 ，得到线段
，连接线段 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，当旋转角 时， 的度数为______度；
(2)如图2，当旋转角 由小变大时， 的度数______（填“变大”，“变小”，或“不变”），请说
明理由；
(3)如图3，延长 ，过点B作 的延长线于点F，连接 ．求线段 与 的数量关系，并证
明你的结论；
(4)如图4，正方形的边长为2，在（3）的条件下，当旋转角 从 旋转到 ，请直接写出线段 扫过
的面积．
【答案】(1)135
(2)不变，理由见解析
(3) ，证明见解析
(4)
【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、求弓形面积、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质
综合
【分析】（1）先根据旋转的性质可得 ， ，再根据等腰三角形的性质可得
，然后根据正方形的性质可得 ，证出 是等边三角形，根
据等边三角形的性质可得 ，由此即可得；
（2）先根据旋转的性质可得 ， ，再根据等腰三角形的性质可得
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学科网（北京）股份有限公司，然后根据正方形的性质可得 ，求出
，由此即可得；
（3）连接 ，取 的中点为点 ，先根据正方形的性质可得 ， ，
从而可得 ，再证出点 都在 上，根据圆周角定理可得 ，然后证出
，根据相似三角形的性质即可得；
（4）连接 ， ，取 的中点为点 ，先得出当旋转角 从 旋转到 ，线段 扫过的面积
为弓形 的面积，等于扇形 的面积减去 的面积，再利用正方形的性质、勾股定理求出
，然后利用扇形和三角形的面积公式求解即可得．
【详解】（1）解：由旋转的性质得： ， ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：135．
（2）解： 的度数不变，理由如下：
由旋转的性质得： ， ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
120 / 152
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故答案为：不变．
（3）解： ，证明如下：
如图，连接 ，取 的中点为点 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
由上已证： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，即 ，
∴点 在以点 为圆心、 长为直径的圆上，
∵ ，
∴点 在 上，
由圆周角定理得： ，
在 和 中，
，
∴ ，
121 / 152
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ．
（4）解：如图，连接 ， ，取 的中点为点 ，
由（3）已得：点 在以点 为圆心、 长为直径的圆上，
∴当旋转角 从 旋转到 ，线段 扫过的面积为弓形 的面积，等于扇形 的面积减去
的面积，
∵正方形 的边长为2，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴线段 扫过的面积为 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形的面积等
知识，综合性较强，熟练掌握旋转的性质和圆周角定理是解题关键．
押题猜想十 函数与几何图形综合问题
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学科网（北京）股份有限公司（改编）探究如下问题：
(1)【观察猜想】
①如图1，在平面直角坐标系中，已知y轴上的定点F，x轴上的动点M，连接 ．作 的垂直平分线
，过M作x轴的垂线 和 相交于P，连接 ，则 ___________ （用“>”“<”或“=”填空）．
②请在图1作出 对应的 （保留作图痕迹），并猜想，到一个定点的距离与到一条定直线距离
相等的点P形成的曲线是___________；
(2)【探究证明】如图2，在平面直角坐标系中，已知定点 ，定直线 ， 为点 到
直线 上的距离，当满足 时，请求出点P的坐标x与y满足的关系式；
(3)【拓展延伸】在（2）的条件下，过点F的直线与动点P组成的曲线相交于A、B，
③如图3，以线段 为直径作圆C，求证：圆C与定直线 相切；（梯形中位线定理，梯形的中位线长度
等于上底与下底之和的一半．）
④如图4，当 时，求证： ．
【答案】(1)① ；②抛物线
(2)
(3)见解析
【知识点】解直角三角形的相关计算、其他问题(二次函数综合)
【分析】（1）①根据垂直平分线的性质直接判断即可，②根据题目要求画出点，根据所画点的位置解答
即可；
（2）根据 ，利用点的坐标列出方程，化简方程即可得出函数关系式；
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学科网（北京）股份有限公司（3）③过A作 垂直直线 于D，过C作 垂直直线 于E，过B作 垂直直线 于G，根据梯形中
位线证明即可；④过A作 垂直y轴于H，过B作 垂直y轴于K，
利用三角函数表示出 ，再计算推理即可．
【详解】（1）解：①因为 的垂直平分线 ，过M作x轴的垂线 和 相交于P，连接 ，
所以 ；
② 对应的 （保留作图痕迹）如图所示：
通过观察，可以发现到一个定点的距离与到一条定直线距离相等的点P形成的是一条曲线，猜想它是抛物
线．
（2）解：已知 ，定直线 ，则 ﹐
∵ ，
∴
两边同时平方得：
整理得：
故点P的坐标x与y的关系式： ．
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学科网（北京）股份有限公司（3）③过A作 垂直直线 于D，过C作 垂直直线 于E，过B作 垂直直线 于G，
则 ，
由（1）（2）可知， ，
∴ ，
故 是 的半径，且与 相切，即以 为直径的 与 相切．
④当 时，点定 ，定直线 ，
过A作 垂直y轴于H，过B作 垂直y轴于K，
设 ，则在 中， ，
∵ ，
∴ ，
又由（1）（2）可知， ，
∴ ，
解得： ，
同理可得： ，
故 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、圆的切线和证明比例，解题关键是熟练运用垂直平分线的性质和圆
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学科网（北京）股份有限公司的切线的判定进行证明和推理．
押题解读
考点为必考考点，函数与几何图形综合题近年聚焦二次函数与三角形、四边形动态结合，常考面积最值、
存在性问题及几何变换（如旋转、折叠）与函数图像的关联。2025年或强化跨学科融合（如物理运动轨
迹）及新定义题型，例如抛物线与圆的切线性质结合、反比例函数与特殊四边形的综合建模。建议重点掌
握动态几何中坐标与图形的转化、相似三角形应用及二次函数顶点式的灵活运用，关注动点轨迹分析与极
值问题的代数解法。
1．已知抛物线 （ ， 为常数）的图象经过点 和 ，顶点为 ．
(1)用含 的代数式表示 ；
(2)当 时，求 面积的最大值；
(3)已知点 ，当抛物线 有部分图象落在 内部（不包含边界）时，将这部分图象记为 ．
设 ， 为图象 上两点，当 时，总有 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【知识点】列代数式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、其他问题(二次函数综合)
【分析】本题考查二次函数的性质、三角形面积求解以及根据函数图象位置关系确定参数范围，解题关键
是熟练运用二次函数相关知识，结合点与函数、点与直线的位置关系，通过分类讨论确定的取值范围．
（1）将点A的坐标代入抛物线的表达式，得到关于m和t的等式，通过移项化简，用含t的代数式表示出
m．
（2）先根据第一问结果得到抛物线表达式，化为顶点式求出顶点 坐标，再代入 求出 点坐标．利
用 、 两点坐标求出直线 表达式．．作 轴交 于 ，求出 长度．根据
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学科网（北京）股份有限公司列出面积表达式，化为顶点式，结合 的取值范围求出面积最大值．
（3）由 得出 ，结合抛物线开口向上及 与对称轴位置关系确定 初步范围．分点 在对称轴
右侧 和左侧 两种情况讨论：点 在对称轴右侧时，直接满足条件．点 在对称轴左侧时，求出
直线 与抛物线交点 横坐标，再分点 在对称轴右侧（满足条件）和左侧（不满足条件）进行分析，
最终确定 的取值范围．
【详解】（1）∵ 经过点
∴
∴ ；
（2）由（1）知 ，代入抛物线 得 ，
，
∴顶点 的坐标为 ．
∵抛物线经过 ，
把 代入 ，得 ，
∴ ．
∵
∴点 在A， 之间
过点 作 轴交 于点 ，
∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司设直线 的表达式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为：
∵ 轴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴当 时 的面积有最大值 ；
（3）∵对于图象 上任意两点 ， ，当 时，总有 ，
∴抛物线 是单调递增的，
∵点A， 在抛物线 上，且抛物线开口向上，
∴点 必须在抛物线下面， 内部才包含 的部分图象，
∴点 在点 的下方，
即 ，
由（1）可知抛物线 的解析式为 ，
128 / 152
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴点 在对称轴直线 的右侧，
①当点A也在对称轴的右侧时，
如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
②当点A在对称轴左侧即 时，
设 与抛物线交于另一点 ，
∵ ， ，
∴直线 的解析式为： ，
联立 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
129 / 152
学科网（北京）股份有限公司①当点 在对称轴的右边时，
此时
∴
解得
∴
②当点 在对称轴左侧时
如图所示，
∵抛物线开口向上，对称轴左侧 随 增大而减小，而在 内部，从点 到点 ， 增大时 减小，
从点 到对称轴右侧 随 增大而增大，
∴在 内部会出现 先减小后增大的情况，不满足当 时，总有 的条件，舍去．
综上所述 或 ．
2．综合运用
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学科网（北京）股份有限公司如图1，直线 与直线 交于点 ，直线 与x轴交于点 ， ，点P在线段
上，点Q在线段 上，四边形 为正方形（ 与A在 的异侧），正方形 与 重叠
部分的面积为S．
(1)求直线 的函数关系式；
(2)当正方形 的边 恰好落在 上时，求边长 的长度；
(3)设点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系式以及自变量m的取值范围（可以将图形画在图2中）．
【答案】(1)
(2)当正方形 的边 恰好落在 上时， 的边长为
(3)
【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与
性质综合
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质．
（1）先求出交点A的坐标，再利用待定系数法求直线 的函数关系式；
（2）由点A的坐标为 ，可得 的高 ．因为 ，所以 ，则
即 ，可求边长 的长度．
（3）求面积S关于m的函数关系式及取值范围，需要分不同情况讨论正方形与三角形重叠部分的形状
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学科网（北京）股份有限公司∶①当 落在恰好落在OB时， ， ；②当 落在三角形外部时， ，
即 ， ；③当MN
落在三角形内时， ， ．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴交点A的坐标为 ．
设直线 的表达式为：
直线 过点 、点 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的表达式为：
（2）解∶∵点A的坐标为 ，
∴ 的高 ，
∵ ，四边形 为正方形（ 与A在 的异侧），
， ．
132 / 152
学科网（北京）股份有限公司，
∴ 即
解得 ．
答：当正方形 的边 恰好落在 上时， 的边长为 ；
（3）分三种情况：
当 落在恰好落在OB时， 如图
点P在直线 上，点P的横坐标为m，
得 ，解得 ，即 ．
∴ ， ；
②当 落在三角形外部时，如图，
．
∵ ，四边形 为正方形（ 与A在 的异侧），
， ．
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司点P在直线 上，点P纵坐标为 ，代入直线 ，
．
即 ．
∴
③当MN落在三角形内时，如图，
同理可得 ，
，
综合上述情况，S关于m的函数关系式是
3．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于A， 两点（点A在点 的左侧），与 轴交于
点 ．
134 / 152
学科网（北京）股份有限公司(1)作直线 ， 是抛物线上第一象限内的一个动点．
①如图1，当 时，求点 的横坐标；
②如图2，过点 作 轴，交直线 于点 ，作 ，交抛物线于另一点 （点 在点 的
右侧），以 ， 为邻边构造矩形 ，求该矩形周长的最小值．
(2)将线段 先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段 ，若抛物线
（ ）与线段 只有一个交点，求 的取值范围．
【答案】(1)①点 的横坐标为 ；② ；
(2) 或 或 ．
【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知正切值求边长、线段周长问题(二次函
数综合)
【分析】（1）①先求出 、 、 ，则 、 ．设点 的坐标为
（ ），然后根据正切的定义列式计算即可；
②先运用待定系数法求得直线 的表达式为 ．再求得抛物线的对称轴为 ；设点 的坐标为
（ ），则点 的坐标为 ．可表示出 、 ，然后再列
出矩形周长的表达式并运用二次函数的性质求最值即可．
（2）由题可意：得点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．则平移后的抛物线解析式为
135 / 152
学科网（北京）股份有限公司，顶点坐标为 ．然后分抛物线的顶点在线段 上时以及 、 三种情况解
答即可．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的性质、正切的定义、二次函数与几何的综合、平移的性质等知
识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
【详解】（1）解：①令 得 ，解得 或 ；
点 ， ，
令 ，得 ，
．
， ．
设点 的坐标为 （ ），
，
，即 ．
，解得 或 （舍去）
点 的横坐标为 ；
②设直线 的表达式为 ．
将点 、 代入，得 ，解得 ，
直线 的表达式为： ．
，对称轴为直线 ．
设点 的坐标为 （ ），则点 的坐标为 ．
， ．
136 / 152
学科网（北京）股份有限公司矩形 的周长 ，
当 时，矩形 的周长有最小值 ．
（2）解：由题可意：得点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
∴平移后的抛物线解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ．
①当抛物线的顶点在线段 上时，抛物线与线段 只有一个交点，
则 ，
．
②当 时，如解图2，若抛物线与线段 只有一个交点，
则当 时， ，解得 ；
③当 时，如解图3，若抛物线与线段 只有一个交点，
则当 时， ，解得 ．
综上， 的取值范围为 或 或 ．
4．如图， 已知点 ， ， 的平分线交 于 ， 一动点 从 点出发， 以每秒
个单位长度的速度，沿 轴向点 作匀速运动，过点 且平行于 的直线交 轴于 ，作点 、 关
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学科网（北京）股份有限公司于直线 的对称点 、 ．设点 运动的时间为 秒．
(1)用含 的代数式表示点 ， 的坐标， 点的坐标为 ， 点的坐标为 ．
(2)求 点的坐标．
(3)设 与 重叠部分的面积为 ．试求 关于 的函数关系式．
【答案】(1) ， ．
(2)
(3)
【知识点】一次函数与几何综合、图形问题(实际问题与二次函数)、根据正方形的性质与判定求线段长、
相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题是运动型综合题，涉及二次函数与一次函数、待定系数法、相似、图形面积计算、动点问题
函数图象等知识点，正确地进行分类讨论，是解决本题的关键．
（1）根据平行线分线段成比例得出 ，进而得出 ，进而得出 的坐标，根据轴对称
的性质可得 ，即可求解；
（2）证明四边形 是正方形，设正方形的边长为 ，证明 ，根据相似三角形的性质列
出比例式，即可求解；
（3）所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论：图2，图3表示出运动过程中重叠部分(阴影)的变化，
分别求解即可．
【详解】（1）∵点 ， ，
138 / 152
学科网（北京）股份有限公司∴
∵ ，
∴ ，即
∴
动点 从 点出发， 以每秒 个单位长度的速度，沿 轴向点 作匀速运动，
，
．
的平分线交 于 ，即对称轴 为第一象限的角平分线，
∴ ， ．
（2）解：过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，
∵ 的平分线交 于 ，即对称轴 为第一象限的角平分线，
∴ ，
又∵ 轴于点 ， 轴于点 ，
∴
∴四边形 是矩形
∵
∴四边形 是正方形，设正方形的边长为 ，
∴
139 / 152
学科网（北京）股份有限公司轴
∴ 即
解得： ，
∴
（3）当 时，如图2所示，点 在线段 上，重叠部分面积为 ．
.
当 时，如图3所示，点 在 的延长线上，
设 与 交于点 ，则重叠部分面积为 ．
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得 ，
解得
直线 的解析式为
同理求得直线 的解析式为： ．
140 / 152
学科网（北京）股份有限公司联立 与 ，求得点 的横坐标为 ．
．
综上所述， 关于 的函数关系式为 ．
5．如图1，矩形 的两个顶点 ， 分别落在 ， 轴上，顶点 ， 位于第一象限，对角线 ，
交于点 ， ， ，若双曲线 经过点 ， ．
(1)求 的值；
(2)点 ， 分别在射线 、射线 上，满足 ， ，求 的度数；
(3)如图2，若抛物线 的顶点 是线段 上一动点，与 轴交于点 ， ，过点 作
轴于点 ，当 取得最大值时，求此时 的面积．
【答案】(1)14
(2)
141 / 152
学科网（北京）股份有限公司(3)2
【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、反比例函数与几何综合、已知圆内接四边形求角度、解直角三角
形的相关计算
【分析】（1）作 轴于点 ，利用矩形的性质推出 ，得到 ，设 ，
则 ，表示出 ，再代入 、 到双曲线 解出 的值，即可得出 的
值；
（2）根据垂直的定义和矩形的性质得到 ，得出 四点共圆，记圆心为 ，
且 为圆 的直径，利用垂径定理得出 垂直平分 ，则有 ，得到
，再通过证明 得到 ，在 中利用正弦的定义得出
，求出 的度数，再利用圆内接四边形的性质即可求解；
（3）根据二次函数的性质得到顶点 ， ，结合 轴得到 ，则有
，可知当 时， 取得最大值，再利用三角形的面积
公式即可求出此时 的面积．
【详解】（1）解：如图1，作 轴于点 ，
， ，
， ，
142 / 152
学科网（北京）股份有限公司矩形 ，
， ，
，
轴，
，
，
，
又 ，
，
，即 ，
，
设 ，则 ，
，
又 ， ，
，
双曲线 经过点 ， ，
，
解得： ， （舍去），
， ，
代入 到 得， ，
的值为14．
（2）解：由（1）得， ， ， ，
， ，
143 / 152
学科网（北京）股份有限公司矩形 ，
， ， ，
，
，
，
四点共圆，记圆心为 ，且 为圆 的直径，
又 ，
平分 ，
垂直平分 ，
， ，
又 ，
，
，
， ，
，
又 ，
，
，
在 中， ，
，
四点共圆，
，
，
的度数为 ．
144 / 152
学科网（北京）股份有限公司（3）解：由（1）得， ， ， ，
抛物线 ，
顶点 ，
顶点 是线段 上一动点，
，
轴，
，
令 ，则 ，
则 ， ，
抛物线与 轴交于点 ， ，
，
145 / 152
学科网（北京）股份有限公司，
当 时， 有最大值4，此时 ，
此时
，
此时 的面积为2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合、相似三角形的性质与判定、圆内接四边形的性质、解直
角三角形、求抛物线与 轴的交点、熟练掌握相关知识点，学会运用数形结合的思想解决问题是解题的关
键．本题属于函数与几何综合题，综合要求较高，适合有能力解决压轴题的学生．
6．如图所示，抛物线 交 轴于 两点，将 在 轴下方部分翻折得到抛物线 ，将
抛物线 与 整体视作曲线 ，以下设问均不考虑抛物线 在 轴下方的部分．
【知识技能】
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学科网（北京）股份有限公司（1）直接写出抛物线 的解析式；
【数学理解】
（2）记曲线 交 轴于点 ，连接 ，点 为在 上方且在曲线 上的一个动点，连接 ，求
面积的最大值；
【拓展探究】
（3）设平面内存在动直线
①讨论并直接写出动直线 与曲线 的交点个数；
②若动直线 与曲线 有四个交点，记这四个交点的横坐标从左往右分别为 ，问是否存在
这样的动直线，使满足 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2） （3）①当 或 时有2个交点；当 时有4个交
点；当 时有3个交点
②不存在这样的 ，理由见解析
【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、面
积问题(二次函数综合)
【分析】（1）先求出 的顶点是 ，结合 即可求解；
（2）作 交 于点Q，求出 ，设 ，则 ，可得
，记 边 上的高为 ，则 ，记 边 上的高为 ，则 ，根
据 列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）①根据函数图象解答即可；
②令 ，可求得 ，令 ，可求得 ，代入
求出n的值，结合n的取值范围即可求解．
【详解】（1）∵
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学科网（北京）股份有限公司∴ 的顶点是
∴ 的顶点是
（2）作 交 于点Q，如图所示
设
依题可知
则
解得
∴
设 ，则
∴
记 边 上的高为 ，则 ，记 边 上的高为 ，则
∴
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学科网（北京）股份有限公司可知 为关于 的二次函数，其最大值在对称轴 处取得
∴ 最大值为
（3）①当 或 时有2个交点
当 时有4个交点
当 时有3个交点
②令 ，即
解得
同理令 ，即
解得
若 ，即
即 ，即
∴
由①可知，若动直线 与曲线 有四个交点，则有
∴不存在这样的 使得
【点睛】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，二次函数与几何综合，二次函数与一
元二次方程的关系，数形结合是解答本题的关键．
7．[问题提出]
如图，在 中， ， ， ， 为射线 上的动点，以 为一边作矩形
，其中点E，F分别在射线 和射线 上，设 长为 ，矩形 面积为 （ 均可以等于
0）．
149 / 152
学科网（北京）股份有限公司[问题探究]
（1）如图1，当点 从点 运动到点 时，
①用含 的代数式表示 的长： _____；
②求 关于 的函数解析式，写出自变量 的取值范围，并通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图
象：
0 1 2 3 4
1
0 ． 2
5
表中 的值为_____， 的值为_____；
（2）当点 运动到线段 的延长线上时，直接写出 关于 的函数解析式；
[问题解决]
（3）若从上至下存在三个不同位置的点 ， ， ，对应的矩形 面积均相等，当
时，求矩形 的面积．
【答案】（1）① ；② ； 的值为1.5； 的值为0；图象见解析；（2）
；（3） ．
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、图形问题(实际问题与二次函数)、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题为四边形综合题，涉及到二次函数的图象和性质、函数表达式的求法、函数作图，确定函数
表达式是解题的关键．
（1）①由 即可求解；
②由题意得： 即可求解，通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）对比（1）②分类讨论利用 即可求解；
（3）由函数的对称性得： ，当 时，即 ，由题意得 和 时，
函数值相等，即可求解．
【详解】(1)①
，
∴ ，
故答案为： ．
②由题意得： ，
当 ，
当 ，
故答案为： ．
通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象如下：
（2）当点 运动到线段 的延长线上时，
；
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学科网（北京）股份有限公司故答案 ： ．
（3）若从上至下存在三个不同位置的点 ， ， 时 长设为 对应的矩形 面积均相等，
如图：由函数的对称性得： ，
当 时，即 ，
设 ，
则 ，
由题意得， 和 时，函数值相等，
故 ，
整理得： ，
解得： ，
则 ，
即矩形 的面积 ．
【点睛】本题主要考查三角函数、矩形面积、二次函数表达式、函数图像及其性质等；解题过程中重点运
用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问题的能力．点睛片
段
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