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专题 03 平面向量
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】平面向量的线性运算
向量
定义 法则(或几何意义) 运算律
运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
加法 求两个向量和的运算
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
求a与b的相反向量－b的
减法 a－b＝a＋(－b)
和的运算叫作a与b的差
(1)|λa|＝|λ||a|； (1)结合律：λ(μ a)＝
(2)当λ>0时，λa与a λμ a＝μ(λa)；
求实数λ与向量a的积的
数乘 的方向相同； (2)第一分配律：
运算
当λ<0时，λa与a的 (λ＋μ)a＝λa＋μ a；
方向相反； (3)第二分配律：当λ＝0时，λa＝0 λ(a＋b)＝λa＋λb
【考点2】共线向量定理、平面向量基本定理及应用
1．向量共线的判定定理和性质定理
(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b＝λa，则向量b与a共线．
(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
(3)A，B，C是平面上三点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，
则存在实数λ，使得________(如图所示)．
2．向量共线定理的应用
(1)证明点共线；(2)证明两直线平行； (3)已知向量共线求字母的值．
3．平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只
1 2
有一对实数λ ，λ ，使a＝λ e ＋λ e ，其中e ，e 是一组基底．
1 2 1 1 2 2 1 2
【考点3】平面向量坐标运算的应用
1．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )(b≠0)，则a±b＝(x ±x ，y ±y )．
1 1 2 2 1 2 1 2
(2)若A(x ，y )，B(x ，y )，则AB＝(x －x ，y －y )．
1 1 2 2 2 1 2 1
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)．
2．向量平行的坐标表示
(1)如果a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则a∥b的充要条件为x y －x y ＝0.
1 1 2 2 1 2 2 1
(2)A(x ，y )，B(x ，y )，C(x ，y )三点共线的充要条件为(x －x )(y －y )－(x －x )(y －y )
1 1 2 2 3 3 2 1 3 1 3 1 2 1
＝0.
a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x ，y 有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点
2 2
对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．
【考点4】平面向量的垂直与夹角
1．平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)
叫作向量a与b的夹角．
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定：0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
2．平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
⇔
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
3．平面向量数量积的坐标表示
设a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，a，b的夹角为θ，则
1 1 2 2
(1)a·b＝x x ＋y y .
1 2 1 2
(2)|a|＝.若A(x ，y )，B(x ，y )，则|AB|＝.
1 1 2 2
(3)cos θ＝.
(4)a⊥b a·b＝0 x x ＋y y ＝0.
1 2 1 2
⇔ ⇔
x y －x y ＝0与x x ＋y y ＝0不同，前者是两向量a＝(x ，y )，b＝(x ，y )共线的充要条件，
1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2
后者是它们垂直的充要条件．
【考点5】平面向量的模及其应用
求平面向量的模的公式
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝＝；
(2)|a±b|＝＝；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.
三、解法解密
考向1 平面向量在平面几何中的应用
向量在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件：a∥b a＝
λb x y －x y ＝0. ⇔
1 2 2 1
⇔(2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：
a⊥b a·b＝0 x x ＋y y ＝0.
1 2 1 2
(3)求夹角问题，常用公式：
⇔ ⇔
cos θ＝＝.
(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模
|a|＝＝或
|AB|＝|AB|＝.
考向2 平面向量在三角函数中的应用
与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点问题．解此类问题，
除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三
角恒等变换的相关知识．四、考点解密
题型一:平面向量的基础应用
例1．（1）、（2020·山西太原·模拟预测）已知平面向量 ，若 与 垂直，则λ
＝（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【变式训练1-1】、（2007·重庆·高考真题（理））与向量 的夹角相等，且模为1的
向量是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
题型二:平面向量的综合应用
例2．（1）、（2007·福建·高考真题（理））已知 ，点C在 内，且
.设 ，则 等于（ ）
A． B．3 C． D．
（2）、（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知平面向量 ， 满足 ， ，则 的取值范
围为________.【变式训练2-1】、（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量 满足： ，若对满足条件的
任意向量 ， 恒成立，则 的最小值是______________．
【变式训练2-2】、（2022·吉林长春·模拟预测（理））已知 中， ， ， ，点P为
边AB上的动点，则 的最小值为（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
题型三:平面向量在平面几何中的应用
例3．（1）、（2022·江苏常州·模拟预测）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给
出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一
个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若 ， ，则实数 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5（2）、（2022·全国·模拟预测）在 中，已知 ， ， ， ， ，
点 在边 上，则 的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【变式训练3-1】、（2022·北京·高考真题）在 中， ．P为 所在平面内
的动点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】、（2022·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））已知向量 满足 ，
，若向量 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4题型四:平面向量在其他知识中的应用
例4．（1）、（2022·江苏无锡·模拟预测）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹．
八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单
独纹样．八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉．八角星纹延续
的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八
角星纹星纹．图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形，中间阴影部分
是正方形且边长为2，其中动点P在圆 上，定点A、B所在位置如图所示，则 最大值为（ ）
A．9 B．10 C． D．
（2）、（2022·浙江嘉兴·模拟预测）平面向量 满足
，则 的最小值为_________．【变式训练4-1】、（2022·湖南师大附中三模）艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五
颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去
掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O是正五边形ABCDE的中心，
则下列关系错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-2】、（2022·全国·模拟预测）已知 ， 满足 ， ，则 的最大
值为______．五、分层训练
A组 基础巩固
1．（2022·河南·模拟预测（理））如图，在 中， ， ，直线AM交BN于点Q，
，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川省遂宁市教育局模拟预测（文））在 中， ， ， 为线段 的中点，
， 为线段 垂直平分线 上任一异于 的点，则 （ ）
A． B．4 C．7 D．
3．（2022·四川雅安·模拟预测（理））如图，在等腰直角 中，斜边 ， 为线段BC上的动
点，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．6
4．（2022·四川省绵阳南山中学模拟预测（理））如图，在 中，已知 ， ， ，
BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则 在 上的投影为（ ）A． B． C． D．
5．（2022·全国·大化瑶族自治县高级中学模拟预测（文））已知点A､B在单位圆上， ，若
，则 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
6．（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·江西·模拟预测（文））如图，在 中， ， ，P为 上一点，且满足
，若 ， ，则 的值为（ ）
A．-3 B． C． D．
8．（2022·四川·模拟预测（理））八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图
2中的正八边形 ，其中 ，给出下列结论：
① 与 的夹角为 ；
② ；
③ ；④向量 在向量 上的投影向量为 （其中 是与 同向的单位向量）.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知圆柱 的轴截面是边长为2的正方形，AB为圆 的直径，
P为圆 上的点，则 （ ）
A．4 B． C．8 D．
10．（2022·上海松江·二模）已知正方形 的边长为4，点 、 分别在边 、 上，且 ，
，若点 在正方形 的边上，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知向量 ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）平面向量 满足 ，则 与 夹角最大值
时 为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·安徽省舒城中学三模（理））已知平面向量 ， ， ， ，若 ，
，则 的最小值是________.
14．（2022·全国·模拟预测（文））在 中， 为 的中点， 为线段 上一点（异于端点），
，则 的最小值为______．
15．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）如图，已知点O，A，B，C（顺时针排列）在半径为2的圆E上，将
顺时针旋转 ，得到 ，则 的最大值为_________．16．（2022·海南省直辖县级单位·三模）已知平面向量 ， 满足 ，且 ， ，则
__________.B组 能力提升
17．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 ， 为圆 上任一点，若
，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
18．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））如图，在 中，M，N分别是线段 ， 上的
点，且 ， ，D，E是线段 上的两个动点，且 ，
则 的的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．2
19．（2022·广西桂林·模拟预测（理））已知平面向量 ， ， 满足 ，且
，则 最小值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·江苏南通·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
21．（2022·湖南怀化·一模）已知平面向量 满足 ，且 与 的夹角为 ，则 的最
大值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
22．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）在 中， ， 分别是边 ， 上的点，且， ，点 是线段 上异于端点的一点，且满足 ，则
_________．
23．（2022·四川资阳·一模（理））已知平面向量 ， ， 满足 ，且 ，
则 的最大值为______．
24．（2020·天津·二模）已知 是单位向量， .若向量 满足 ，则| |的最大值是
________.
25．（2022·北京市第十二中学三模） 为等边三角形，且边长为 ，则 与 的夹角大小为 ，
若 ， ，则 的最小值为___________.
26．（2022·四川凉山·三模（理） ）中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是 所在平面内
的动点，满足 （ ）．射线BP与边AC交于点D．若 ， ，则
面积的最小值为______．C组 真题实战练
27．（2019·天津·高考真题（文））O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
， ，则P的轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
28．（2020·全国·高考真题）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
29．（2017·全国·高考真题（理））已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则
的最小值是
A． B． C． D．
30．（2018·天津·高考真题（理））如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则 的最小值为
A． B． C． D．
31．（2018·天津·高考真题（文））在如图的平面图形中，已知 ,
则 的值为
A． B．
C． D．0
32．（2016·天津·高考真题（理）） 是边长为1的等边三角形，点 分别是边 的中点，连
接 并延长到点 ，使得 ，则 的值为（ ）A． B． C． D．
33．（2015·福建·高考真题（理））已知 ， ， ，若 点是 所在平面内一点，
且 ，则 的最大值等于（ ）.
A． B． C． D．
34．（2017·浙江·高考真题）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与
BD交于点O，记 ， ， ，则
A．I１
