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高二开学考数学
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 样本数据24，13，14，18，12，14，20，16的75%分位数为（ ）
A. 17 B. 18 C. 19 D. 20
2. 设事件A，B，已知P（A）＝ ，P（B）＝ ，P(A∪B)＝ ，则A，B之间的关系一定为（ ）
A. 两个任意事件 B. 互斥事件
C. 非互斥事件 D. 对立事件
3. 某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为 ，则该圆台的体积为（ ）
.
A B. C. D.
4. 已知向量 ， 满足 ， ，且 ， 的夹角为 ，则向量 在向量 方向上的投影向量为
（ ）
A. B. C. D.
5. 已知非零向量 满足 ，且向量 在向量 上的投影向量为 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 在 中，内角 的对边分别为 ，且 ，则 的最大值
是（ ）
.
A B. C. D.
7. 已知函数 ，若对任意 实数 ， 在区间 上的值域
的
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学科网（北京）股份有限公司均为 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是 ，若每位面试者共有三次
机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能
否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知平面向量 ， ，则（ ）
A. 当 时， B. 若 ，则
的
C. 若 ，则 D. 若 与 夹角为钝角，则
10. 在直三棱柱 中， ，且 ， 为线段 上的动点，则
下列结论中正确的是（ ）
A.
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学科网（北京）股份有限公司B. 异面直线 与 所成角的取值范围为
的
C. 最小值为
D. 当 是 的中点时，过 三点的平面截三棱柱 外接球所得的截面面积为
11. 设 为随机事件，且 ，下列说法正确的是（ ）
A. 事件 相互独立与 互斥不可能同时成立
B. 若三个事件 两两独立，则
C. 若事件 独立，则
D. 若 ，则
三、填空题
12. 已知平面向量 ，向量 在向量 上的投影向量为 ，则 =______.
13. 已知事件 与 相互独立， ， ，则 ______．
14. 已知四面体 中，棱BC，AD所在直线所成的角为 ，且 ， ，
，则四面体 体积的最大值是__________．
四､解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16､17小题15分，第18､19小题17分，共
77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标号为 号和 号），记下两枚骰子朝上的点数，求下列事件的概率：
（1） “两个点数之和是5”；
（2） “两个点数相等”；
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学科网（北京）股份有限公司（3） “ 号骰子的点数大于 号骰子的点数”．
16. 已知平面向量 ， ， ，且 ， ．
（1）求 和 ；
（2）若 ， ，求向量 和向量 的夹角的大小．
17. 在 中，内角A，B，C的对边分别为 ，且 ．
（1）求角 ；
（2）若 ，求 面积的最大值．
18. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船顺利发射，本次乘组将首次在空间站实施水生生态项目，即要
实现“太空养鱼”，意味着我们有能力在太空构造新的生态环境和生态系统．郑州航天电子技术有限公司为
此次任各提供了科技产品和技术服务，该公司为了提高单位职工的工作热情，开展了知识比赛，满分120
分，100分及以上为“航天达人”，结果航天达人有t人，这t人按年龄分成了5组，其中第一组： ，
第二组： ，第三组： ，第四组， ，第五组： ，得到的频率分布直方图如
下图，已知第一组有10个人．
（1）根据频率分布直方图，估计这t人年龄的第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“航天工程”的宣传大使．若第四组宣传大使
的年龄的平均数与方差分别为36和 ，第五组宣传大使的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计
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学科网（北京）股份有限公司这t人中35～45岁所有人的年龄的平均数和方差．（分层随机抽样中各层抽取的样本量、样本平均数和样
本方差分别为：m， ， ，n， ， ．记总体的样本平均数为 ，样本方差为 ，则
，
19. 如图是函数 图象的一部分．
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的单调区间；
（3）记方程 在 上的根从小到大依次为 ，若
，试求 与 的值．
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