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备战 2024 中考数学一轮复习
第三章函数
第 9 讲抛物线与几何综合
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌题型突破
➍专题精练
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第 8 讲抛物线与几何综合
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一抛物线与三角形有关问题
考向二抛物线与线段有关问题
考向三抛物线与角度有关问题
考向四抛物线与四边形有关问题
考向五抛物线与圆有关问题
考向六抛物线与面积有关问题
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第 9 讲抛物线与几何综合
二次函数是非常重要的函数,年年都会考查,总分值为18~20分，预计2024年各地中考还会
考,它经常以一个压轴题独立出现，有的地区也会考察二次函数的应用题，小题的考察主要
是二次函数的图象和性质及或与几何图形结合来考查.
→➊考点精析←
1、函数存在性问题
解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式
设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后
结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符
合题意，则该点存在，否则该点不存在．
2、函数动点问题
（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等
有关的二次函数综合题．
（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动
时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大
题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．
（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多
少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结
合题干中与动点有关的条件进行计算．
→➋真题精讲←
考向一抛物线与三角形有关问题
1．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，直线 与 轴， 轴分别交于点
，抛物线的顶点 在直线 上，与 轴的交点为 ，其中点 的坐标为 ．直
线 与直线 相交于点 ．
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(1)如图2，若抛物线经过原点 ．
①求该抛物线的函数表达式；②求 的值．
(2)连接 与 能否相等？若能，求符合条件的点 的横坐标；若不能，试说
明理由．
2．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线
与x轴交于点 和点B，与y轴交于点 ．
(1)求这条抛物线的函数解析式；
(2)P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作 轴，垂足为D，连接 ．
①如图，若点P在第三象限，且 ，求点P的坐标；
②直线 交直线 于点E，当点E关于直线 的对称点 落在y轴上时，请直接写出
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四边形 的周长．
3．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，其中 ， ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点 是直线 下方抛物线上一动点，过点 作 于点 ，求 的最大值及此
时点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移 个单位，点 为点 的对应点，平移后的抛物
线与 轴交于点 ， 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以 为腰
的 是等腰三角形的点 的坐标，并把求其中一个点 的坐标的过程写出来．
4．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系 中，抛物线
过点 ， 和 ，连接 ，点 为抛物线上一
动点，过点 作 轴交直线 于点 ，交 轴于点 ．
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(1)直接写出抛物线和直线 的解析式；
(2)如图2，连接 ，当 为等腰三角形时，求 的值；
(3)当 点在运动过程中，在 轴上是否存在点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与以
， ， 为顶点的三角形相似（其中点 与点 相对应），若存在，直接写出点 和点
的坐标；若不存在，请说明理由．
考向二抛物线与线段有关问题
5．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，抛物线 与 轴交于点 ，与直线
交于点 ，点 在 轴上．点 从点 出发，沿线段 方向匀速运动，
运动到点 时停止．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)当 时，请在图1中过点 作 交抛物线于点 ，连接 ， ，判断
四边形 的形状，并说明理由．
(3)如图2，点 从点 开始运动时，点 从点 同时出发，以与点 相同的速度沿 轴正方
向匀速运动，点 停止运动时点 也停止运动．连接 ， ，求 的最小值．
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6．（2023·四川乐山·统考中考真题）已知 是抛物 （b为常
数）上的两点，当 时，总有
(1)求b的值；
(2)将抛物线 平移后得到抛物线 ．
探究下列问题：
①若抛物线 与抛物线 有一个交点，求m的取值范围；
②设抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线 的顶点为点E， 外
接圆的圆心为点F，如果对抛物线 上的任意一点P，在抛物线 上总存在一点Q，使得
点P、Q的纵坐标相等．求 长的取值范围．
考向三抛物线与角度有关问题
7．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知抛物线 与 轴交于
两点，交 轴于点 ．
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(1)请求出抛物线 的表达式．
(2)如图1，在 轴上有一点 ，点 在抛物线 上，点 为坐标平面内一点，是否
存在点 使得四边形 为正方形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明
理由．
(3)如图2，将抛物线 向右平移2个单位，得到抛物线 ，抛物线 的顶点为 ，与 轴
正半轴交于点 ，抛物线 上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
考向四抛物线与四边形有关问题
8．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，抛物线 过点
．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)设点 是直线 上方抛物线上一点，求出 的最大面积及此时点 的坐标；
(3)若点 是抛物线对称轴上一动点，点 为坐标平面内一点，是否存在以 为边，点
为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说
明理由．
9．（2023·山东·统考中考真题）如图，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，对称
轴为 的抛物线经过 两点，交 轴负半轴于点 ． 为抛物线上一动点，点 的
横坐标为 ，过点 作 轴的平行线交抛物线于另一点 ，作 轴的垂线 ，垂足为 ，
直线 交 轴于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若 ，当 为何值时，四边形 是平行四边形？
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(3)若 ，设直线 交直线 于点 ，是否存在这样的 值，使 ？若存在，
求出此时 的值；若不存在，请说明理由．
10．（2023·四川南充·统考中考真题）如图1，抛物线 （ ）与 轴交于
， 两点，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点
P的坐标；
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(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点 的直线（直线 除外）
与抛物线交于G，H两点，直线 ， 分别交x轴于点M，N．试探究 是否为
定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
考向五抛物线与圆有关问题
11．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，二次函数 的图像与 轴分别交
于点 （点A在点 的左侧），直线 是对称轴．点 在函数图像上，其横坐标大于4，
连接 ，过点 作 ，垂足为 ，以点 为圆心，作半径为 的圆， 与
相切，切点为 ．
(1)求点 的坐标；
(2)若以 的切线长 为边长的正方形的面积与 的面积相等，且 不经过点
，求 长的取值范围．
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12．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 两点，
与 轴交于点 ．抛物线的对称轴 与经过点 的直线 交于点 ，与
轴交于点 ．
(1)求直线 及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形?若存在，求出
所有点 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点 为圆心，画半径为2的圆，点 为 上一个动点，请求出 的最小值．
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考向六抛物线与面积有关问题
13．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于 ，
两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点， ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求四边形 的面积；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若 ，求P点的坐标．
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14．（2023·安徽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，抛物线
经过点 ，对称轴为直线 ．
(1)求 的值；
(2)已知点 在抛物线上，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ．过点 作 轴的垂线
交直线 于点 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ．
（ⅰ）当 时，求 与 的面积之和；
（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点 ，使得以 为顶点的四边形的面积为 ？
若存在，请求出点 的横坐标 的值；若不存在，请说明理由．
15．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知： 关于 的函数 ．
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且 ，则 的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与 轴有两个公共点 ， ，并与动直线
交于点 ，连接 ， ， ， ，其中 交 轴于点 ，交 于
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点 ．设 的面积为 ， 的面积为 ．
①当点 为抛物线顶点时，求 的面积；
②探究直线 在运动过程中， 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，
说明理由．
15
