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数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选项 B C A B C D B A ABD ABD BC
【部分题解析】
8. ∵ 正实数 x,y 满足 x+ y>ex+lny ,整理得 x−ex>ln y−y ,即 x−ex>ln y−elny
(*),构造函数 f (x)=x−ex(x>0),∴ 不等式(*)等价为 f (x)>f (ln y),∵x>0 ,
∴f′(x)=1−ex<0,∴f (x)=x−ex 在 (0,+∞) 单调递减, ∴00,∴E(Y )–E(Y )<0 ,即 E(Y )0 ,
x x2
∵ 函数 g(x) 在定义域内有三个不同的极值点,
∴g′(x) 在 (0,+∞) 上有三个不同的变号零点,
又 ∵g′(1)=0 ,令 h(x)=aex−x ,
∴h(x) 在 (0,+∞) 上至少有两个不为 1 的不同零点,
∵h′(x)=aex−1,x∈(0,+∞)
,
① 当
a∈(−∞,0]时,∴h′(x)≤0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递减，h(x)最多有一个零点，∴舍)
② 当 a∈(0,+∞) 时, ∵ 函数 ℎ ′(x) 在 (0,+∞) 上单调递增,令 ℎ ′(x)=0 得 x=−lna ,
(i) 若 a∈[1,+∞),∴lna≤0 ,此时 h′(x)≥0 在 (0,+∞) 恒成立,
∴h(x) 在 (0,+∞) 上单调递增, h(x) 最多有一个零点, ∴ 舍;
(ii) 若 a∈(0,1),−lna>0,∴ℎ ′(x) 与 ℎ(x) 随 x 的变化情况如下表所示
x (0,−lna) (−lna,+∞)
+
h(x) 单调递减 单调递增
又
∵ℎ(0)=a>0, lim ℎ(x)=+∞
,
n→+∞
1
∴ 当 ℎ(x) 最小值 ℎ(−lna)=1+lna<0 ,即 a< 时, ℎ(x) 在 (0,+∞) 上有两个不为 1
e
的变号零点,
即函数 g(x) 在定义域内有了两个不同的极值点,不妨分别记作 m,n(m
