数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选项 B C A B C D B A ABD ABD BC
【部分题解析】
8. ∵ 正实数 x,y 满足 x+ y>ex+lny ,整理得 x−ex>ln y−y ,即 x−ex>ln y−elny
(*),构造函数 f (x)=x−ex(x>0),∴ 不等式(*)等价为 f (x)>f (ln y),∵x>0 ,
∴f′(x)=1−ex<0,∴f (x)=x−ex 在 (0,+∞) 单调递减, ∴0<x<ln y,∴x−y<
ln y−y<−1 ,选项 A 正确
11. 由题知,数列 {F } 为斐波拉契数列,即 1,1,2,3,5,8,13,21,⋯⋯,∴a =(−1) 3×5=−1
n 4
,
选项 A 错误; 又 F ⋅F 呈现 “奇偶偶 奇偶偶 奇偶 偶 - “ - ” 的规律, ∴ 数列 {a } 各
n n+1 n
项依次为-1, 1,1,−1,1,1,⋯⋯,∴a 最小正周期为 3,满足 a =a ,选 C 正确;
n n n+3
a =a =a =1,a =a =a =1,∴a +a =2,B 正确; 对于选项 D ,当
2024 674×3+2 2 2025 675×3 3 2024 2025
n=90,n=92 或 n=94 时,数列 {a } 的前 n 项和为 30,∴ 选项 D 错误.
n
题号 12 13 14
答案 1 (0,+∞)8√6
π
5 3
14. ∵ 正四面体 A-BCD 的内接于一正方体中, ∴ 其棱切球为该正方体的内切球, ∴ 该正方
体的棱长为正四面体 A-BCD 棱切球的直径 2, ∴ 正四面体 A-BCD 的棱长为该正方体面对
角线长 2√2 ; 又棱切球的球面与正四面体 A-BCD 的表面相交所得到的曲线为四个圆 (例如
√6 √6 8√6
圆 I 内切于 △ABC ),其半径为 ,∴ 四个圆周长为 4×2π× = π .
3 3 315.(13 分)
{1 } 1
解 (1) 为等差数列,公差为 2,首项 =1 ;
a a
n 1
n
(2) S = .
n 2n+1
16.(15 分)
解: (1) ∵ 在 △ABC 中 bsinA=√3a(1−cosB) ,
a b c
由正弦定理 = = ,可知 sinBsinA=√3sinA(1−cosB) ,
sinA sinB sinC
( π) √3
又 sin A≠0,∴sinB=√3(1−cosB) ,即 sinB+√3cosB=√3,∴sin B+ = ,
3 2
π π 4π π 2π π
又 ∵0<B<π, <B+ < ,∴B+ = ,即 B= ;
3 3 3 3 3 3
(2)若选 ① a=2c ,
π
由余弦定理 b2=a2+c2−2accosB ,知 (2√3) 2=(2c) 2+c2−2×2c×c×cos ,
3
解得 c=2,a=4 ,
1 1 √3
∴△ABC 的面积 S = acsinB= ×4×2× =2√3 .
△ABC 2 2 2
17.(15 分)
解: (1) 证明: 连接 AC 交 BD 于 O ,连接 OE ,
∵ABCD 为菱形, ∴O 为 AC 的中点,
又 E 为 SA 的中点, ∴ 在 △ASC 中, OE//SC ,
又 EOC 平面 BED,SC⊄ 平面 BED ,∴SC// 平面 BED ;
(2)证明: ∵ 在菱形 ABCD 中, BD⊥AC ,又 BD⊥SC , AC∩SC=C,AC,SC⊂ 平面
SAC ,
∴BD⊥ 平面 SAC ,
又 BDC 平面 ABCD ,
∴ 平面 SAC⊥ 平面 ABCD ;
(3)由(2)可知,平面 SAC⊥ 平面 ABCD ,且平面 SAC∩ 平面 ABCD=AC ,
又由题知 SC⊥AC,SC⊂ 平面 SAC,∴SC⊥ 平面 ABCD ,
由(1) 知 OE//SC,∴OE⊥ 平面 ABCD ,且在菱形 ABCD 中, BD⊥AC ,
∴ 以 O 为坐标原点, OA,OB,OE 所在直线分别为 x 轴、 y
轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意,在菱形 ABCD 中, AB=2,∠ABC=120∘ ,
∴ 在 △ABC 中由余弦定理可求得, AC=2√3 ,
∴OA=OC=√3,OB=OD=1 ,设平面 SAD 的法向量为 ⃗n =(x,y,z) ,
{⃗n⊥⃗AD {⃗n⋅⃗AD=0 { −√3x−y=0
由 ,即 ,得 ,
⃗n⊥⃗AS n⋅⃗AS=0 −2√3x+2z=0
令 x=1 得 y=−√3,z=√3,∴ 可取平面 SAD 的一个法向量 ⃗n=(1,−√3,√3) ,
|⃗n⋅⃗AB| |−√3−√3| √21
∴sinθ=|cos<⃗n,⃗AB|= = =
,
|⃗n||⃗AB| 2×√7 7
√21
∴ 直线 AB 与平面 SAD 所成角的正弦值为 .
7
18.(17 分)3 1 1 1 105
解: (1) (i) E(Y)=30× +20× +10× +0× = .
4 6 24 24 4
1 3 1 2 1 1 23
(ii) P(A)= × + × + × =
3 4 3 3 3 2 36
(2)若依次派出乙、甲、丙进行闯关,该队比赛结束后所获积分 Y 的可能取值为
1
30,20,10,0,
E
(Y )=30×p +20×(1−p )×p +10×(1−p )×(1−p )×p +0×(1−p )×(1−p )×(1−p )
1 2 2 1 2 1 3 2 1 3
=30p +20(1−p )p +10(1−p )(1−p )p ,
2 2 1 2 1 3
若依次派出丙、甲、乙进行闯关,该队比赛结束后所获积分 Y 的可能取值为30,20,10,
2
0 ,
E(Y )=30p +20(1−p )p +10(1−p )(1−p )p ,
2 3 3 1 3 1 2
∴E(Y )−E(Y )=10(p −p )(2−p )
1 2 2 3 1
∵0<p <p <p <1,∴p _ p <0,2_ p >0,∴E(Y )–E(Y )<0 ,即 E(Y )<E(Y ) ,
1 2 3 2 3 1 1 2 1 2
∴ 要使该队比赛结束后所获积分 Y 的期望最大,应最先派出丙,最后派出乙.
19.(17 分)
1
解: (1) y= x+1
e2
1
(2)由(1)知,曲线 y=f (x) 在点 (a ,f (a )) 处的切线方程为 y−f (a )= (x−a ) ,
n n n a n
n
令 x=0 得 y =f (a )−1 ,令 y=0 得 x =_a [f (a )−1] ,
n n n n n
n n
又 ∵a = ∈(0,1),f (a )=ln <0 ,
n n+1 n n+1
1 1 2
∴S = |x |⋅|y |= a [f (a )−1] ,
n 2 n n 2 n n
c = √S n= √2 |f (a )−1|= √2( 1−ln n ) = √2 [1+ln(n+1)−lnn],
n a 2 n 2 n+1 2
n
n n
√2 √2
∴∑c = ∑[1+ln(k+1)−lnk]= [n+ln(n+1)];
k 2 2
k=1 k=1aex (x−1)(aex−x)
(3) ∵g(x)= ⋅x+lnx,g′(x)= ,x>0 ,
x x2
∵ 函数 g(x) 在定义域内有三个不同的极值点,
∴g′(x) 在 (0,+∞) 上有三个不同的变号零点,
又 ∵g′(1)=0 ,令 h(x)=aex−x ,
∴h(x) 在 (0,+∞) 上至少有两个不为 1 的不同零点,
∵h′(x)=aex−1,x∈(0,+∞)
,
① 当
a∈(−∞,0]时,∴h′(x)≤0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递减，h(x)最多有一个零点，∴舍)
② 当 a∈(0,+∞) 时, ∵ 函数 ℎ ′(x) 在 (0,+∞) 上单调递增,令 ℎ ′(x)=0 得 x=−lna ,
(i) 若 a∈[1,+∞),∴lna≤0 ,此时 h′(x)≥0 在 (0,+∞) 恒成立,
∴h(x) 在 (0,+∞) 上单调递增, h(x) 最多有一个零点, ∴ 舍;
(ii) 若 a∈(0,1),−lna>0,∴ℎ ′(x) 与 ℎ(x) 随 x 的变化情况如下表所示
x (0,−lna) (−lna,+∞)
+
h(x) 单调递减 单调递增
又
∵ℎ(0)=a>0, lim ℎ(x)=+∞
,
n→+∞
1
∴ 当 ℎ(x) 最小值 ℎ(−lna)=1+lna<0 ,即 a< 时, ℎ(x) 在 (0,+∞) 上有两个不为 1
e
的变号零点,
即函数 g(x) 在定义域内有了两个不同的极值点,不妨分别记作 m,n(m<n) ,
而 h(1)= ae- 1<0,∴0<m<1<n .
又 ∵g′(1)=0,∴x=1 是 g(x) 的第三个极值点,
1
综上当 0<a< 时, g(x) 有三个不同的极值点: x =m,x =1,x =n ,且 0<m<1<n ,
e 1 2 3
∵aem=m,aen=n,∴m+lna=lnm,n+lna=lnn ,
aem
∴g(x )=g(m)= −m+lnm=1−m+lnm=1+lna ,
1 m
g(x )=g(1)=ae−1,g(x )=g(n)=1−n+lnn=1+lna ,
2 21 1
∵g(x )⋅g(x )⋅g(x )≥ −1 ,即 (ae-1) (1+lna) 2≥ −1 ,
1 2 3 e e
令 φ(x)=(ex−1)(lnx+1) 2,x∈ ( 0, 1) ,∴φ ’ (x)=(lnx+1) ( elnx− 2 +3e ) ,x∈ ( 0, 1)
e x e
,
2
令 u(x)=lnx+1,v(x)=elnx− +3e ,
x
( 1) (1) (1)
∵u(x),v(x) 均在 0, 单调递增,且 u =v =0 ,
e e e
( 1) ( 1)
∴φ′(x)≥0 在 0, 恒成立, ∴φ(x) 在 0, 单调递增,
e e
( 1 ) 1 1
又 φ = −1,∴a≥ ,
e2 e e2
[ 1 1)
综上 a∈ , .
e2 e
