专题14分配问题_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年08月试卷_0816新高考数学题型全归纳之排列组合（20个专题）

专题 分配问题 14 例 ．将 个参加青少年科技创新大赛的名额分配给 个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名 1 18 3 额互不相等，则不同的分配方法种数为 ( ) ． ． ． ． A 96 B 114 C 128 D 136 例 ．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1， 2，， 30号），现从中任 2 意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较 大的在另一组，那么确保6号、15号与 24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） ． 25 ．32 ．60 ．100 A B C D 例 ．学校决定把 个参观航天航空博物馆的名额给二（ ）、二（ ）、二（ ）、二（ ）四个班级 要求 3 12 1 2 3 4 . 每个班分得的名额不比班级序号少；即二 班至少 个名额 二 班至少 个名额， ，则分配方案 (1) 1 , (2) 2 …… 有 ( ) ． 种 ． 种 ． 种 ． 种 A 10 B 6 C 165 D 495 例 ．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到 、 、 、 四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配 4 A B C D 到 班，丁不能分配到 班，则共有分配方案的种数为（ ） A B ． ． ． ． A 10 B 12 C 14 D 24 例 ．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法 5 共有 （ ） ．90种 ．180种 ．270种 ．540种 A B C D 例 ．4名大学生被分配到3所学校实习，每所学校至少分配一名大学生，则不同的分配方案有（ ） 6 ．12 ．24 ．36 ．72 A B C D 例 ．将 名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它两所学校至少分配 7 5 一名教师，则不同的分配方案共有几种（ ） ． ． ． ． A 60 B 80 C 150 D 360 例 ． 年 月 日是我国第 个 扶贫日 ，某医院开展扶贫日 送医下乡 医疗义诊活动，现有五 8 2019 10 17 6 “ ” “ ” 名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A，医生乙只能分配到医院A或医院B， 医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一 名医生，则不同的分配方案共有 ( ) ． 种 ． 种 ． 种 ． 种 A 18 B 20 C 22 D 24 例 ．把3名新生分到甲、乙、丙、丁四个班，每个班至多分配1名且甲班必须分配1名，则不同的分配方 9 1法有 （ ） ．12种 ．15种 ．18种 ．20种 A B C D 例 ．某公司将 名员工分配至 个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须 10 5 3 分配在同一个部门的不同分配方法数为（ ） ． ． ． ． A 24 B 30 C 36 D 42 例 ．将 名应届师范大学毕业生分配到 所中学任教 （最后结果用数字表示） 11 7 3 . （ ） 个人分到甲学校， 个人分到乙学校， 个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？ 1 4 2 1 （ ）一所学校安排 个人，一所学校安排 个人，一所学校 个人，有多少种不同的分配方案？ 2 4 2 1 （ ）其中有两所学校都各安排 个人，另一所学校安排 个人，有多少种不同的分配方案？ 3 3 1 例 ．按下列要求分配 本不同的书 各有多少种不同的分配方式 12 6 , ? （ ）分成三份 份 本 份 本 份 本 1 ,1 1 ,1 2 ,1 3 ; （ ）甲、乙、丙三人中 一人得 本 一人得 本 一人得 本 2 , 1 , 2 , 3 ; （ ）平均分成三份 每份 本 3 , 2 ; （ ）平均分配给甲、乙、丙三人 每人 本 4 , 2 ; （ ）分成三份 份 本 另外两份每份 本 5 ,1 4 , 1 ; （ ）甲、乙、丙三人中 一人得 本 另外两人每人得 本 6 , 4 , 1 ; （ ）甲得 本 乙得 本 丙得 本 7 1 , 1 , 4 . 例 ．有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求： 13 （ ）5位同学站成一排，有多少种不同的方法？ 1 （ ）5位同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？ 2 （ ）将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？ 3 例 ．从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的雅典奥运冠军中选出 名作 夺冠之路 的励志报告． 14 6 “ ” （ ）若每个大项中至少选派一人，则名额分配有几种情况？ 1 （ ）若将 名冠军分配到 个院校中的 个院校作报告，每个院校至少一名冠军，则有多少种不同的分 2 6 5 4 配方法？ 例 ．将 名大学生分配到 、 、 三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名，则大学生甲分配到乡 15 4 A B C 镇 的概率为 （用数字作答） A 例 ．安排 名支教老师去 所学校任教，每校至多 人，则不同的分配方案共有 种 （用数字作 16 3 6 2 . 2答） 例 ．为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了 个小队在校园最具有代表 17 6 性的 个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有 支小队拍摄，则不同的分配方法有 种（用数字作答） 3 1 _____ 例 ．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安 18 排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不 同的分配方法总数为 ． 例 ．某学校要将 名实习教师分配到 个班级，每个班级至少要分配 名实习教师，则不同的分配方案 19 4 3 1 有 种 _______ . 例 ．将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少 20 分配一名教师，则不同的分配方案共有 种．（用数字作答） _________ 3专题 14 分配问题 例1．将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名 额互不相等，则不同的分配方法种数为( ) A．96 B．114 C．128 D．136 【解析】 不同的名额分配方法为（1，2，15），（1，3，14），…,（1，8，9）；（2，3，13），（2，4，12），…,（2，7， 9）；…,(5,6,7)，共7+5+4+2+1=19种方法，再对应分配给学校有19A3 114,选B. 3 例2．北京某大学为第十八届四中全会招募了 30名志愿者（编号分别是1，2，，30号），现从中任意 选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大 的在另一组，那么确保6号、15号与 24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A． 25 B．32 C．60 D．100 【解析】 6号、15号与 24号放在一组，则其余三个编号要么都比6小，要么都比24大，比6 小时，有C3 10种 5 选法，都比24大时，有C3 20种选法，合计30种选法，6号、15号与 24在选厅时有两种选法，所以 6 选取的种数共有(1020)260 种，故正确选项为C. 例3．学校决定把12个参观航天航空博物馆的名额给二（1）、二（2）、二（3）、二（4）四个班级. 要求每 个班分得的名额不比班级序号少；即二(1)班至少1个名额, 二(2)班至少2个名额，…… ，则分配方案有 ( ) A．10种 B．6种 C．165种 D．495种 【解析】 根据题意，先在编号为2、3、4的3个班级中分别分配1、2、3个名额，编号为1的班级里不分配；再将 剩下的6个名额分配4个班级里，每个班级里至少一个， 分析可得，共C 2 10 种放法，即可得符合题目要求的放法共10种， 5 故答案为A 例4．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到 A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为（ ） A．10 B．12 C．14 D．24 1【解析】 将分配方案分为甲分配到B班和甲不分配到B班两种情况： ①甲分配到B班：有A3 6种分配方案； 3 ②甲不分配到B班：有A1A1A2 8种分配方案； 2 2 2 由分类加法计数原理可得：共有6814种分配方案. 故选：C. 例5．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法 共有 （ ） A．90种 B．180种 C．270种 D．540种 【解析】 C4C2C2 分两个步骤：先分配医生有A3 6种方法，再分配护士有 6 4 2 A3 90，由分步计数原理可得： 3 A3 3 3 C4C2C2 A3 6 4 2 A3  690 540， 3 A3 3 3 应选答案：D． 例6．4名大学生被分配到3所学校实习，每所学校至少分配一名大学生，则不同的分配方案有（ ） A．12 B．24 C．36 D．72 【解析】 C2C1 将4人分为2人、1人、1人的三组，共有： 4 2 6种分法， A2 2 将三组安排到3所学校共有A3 6种分法， 3 由分步乘法计数原理可得：不同的分配方案有6636种. 故选：C. 例7．将5名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它两所学校至少分配一 名教师，则不同的分配方案共有几种（ ） A．60 B．80 C．150 D．360 【解析】 分成甲校分配3名教师和2名教师两种情况： 2甲校分配3名教师时，共有：C3C1 20种分配方案 5 2 甲校分配2名教师时，共有：C2C2A2 60种分配方案 5 3 2 不同的分配方案共有：206080种 本题正确选项：B 例8．2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有 五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A，医生乙只能分配到医院A或医院B， 医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一 名医生，则不同的分配方案共有( ) A．18种 B．20种 C．22种 D．24种 【解析】 根据医院A的情况分两类： 第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院B，当医院B只有1人，则共有C2A2种不同 3 2 分配方案，当医院B有2人，则共有C1A2种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时， 2 2 共有C2A2  C1A2 10种不同分配方案； 3 2 2 2 第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有A3种不同分配方案，当乙不在A医院， 3 在B医院时，共有C1A2种不同分配方案，所以当医院A分配2人时， 2 2 共有A3 C1A2 10种不同分配方案； 3 2 2 共有20种不同分配方案. 故选：B 例9．把3名新生分到甲、乙、丙、丁四个班，每个班至多分配1名且甲班必须分配1名，则不同的分配方 法有 （ ） A．12种 B．15种 C．18种 D．20种 【解析】 根据题意，分2步进行分析： ①、由于每个班至多分配1名且甲班必须分配1名，先在3名新生中任选一人，安排到甲班， 有C1 3种情况， 3 3②、在剩下的3个班级中任选2个,安排剩下的2名新生,有A2 6种情况， 3 则有3×6=18 种不同的分配方法； 本题选择C选项. 例10．某公司将5名员工分配至3个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须 分配在同一个部门的不同分配方法数为（ ） A．24 B．30 C．36 D．42 【解析】解：如果5人分成1,1,3三组，则分配方法有： 种， 2 1 3 如果5人分成1,2,2三组，则分配方法有： 种， 2 3 3 2 2 3 2 3 3 由加法原理可得：不同分配方法数为 种. 2 1 3 2 2 3 本题选择C选项. 2 3 3+ 2 3 3 =36 例11．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.（最后结果用数字表示） （1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？ （2）一所学校安排4个人，一所学校安排2个人，一所学校1个人，有多少种不同的分配方案？ （3）其中有两所学校都各安排3个人，另一所学校安排1个人，有多少种不同的分配方案？ 【解析】 （1）C4C2C1 105（种） 7 3 1 （2）C4C2C1A3 630（种） 7 3 1 3 C3C3C1 （3） 7 4 1 A3 420（种） A2 3 2 例12．按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? （1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; （2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; （3）平均分成三份,每份2本; （4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; （5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本; （6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; （7）甲得1本,乙得1本,丙得4本. 【解析】 4（1）无序不均匀分组问题.先选1本有C1种选法;再从余下的5本中选2本有C2种选法;最后余下的3本全选 6 5 有C3种选法.故共有C1C2C3 60 (种)选法. 3 6 5 3 （2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在1题的基础上,还应考虑再分配,共有 C1C2C3A3 360. 6 5 3 3 （3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是C2C2C2种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为 6 4 2 A,B,C,D,E,F ,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF ,记该种分法为(AB,CD,EF ),则 C2C2C2种分法中还有(AB,EF ,CD),(CD,AB,EF ),(CD,EF ,AB),(EF ,CD,AB),(EF ,AB,CD), 6 4 2 共有A3种情况,而这A3种情况仅是AB,CD,EF 的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有 3 3 C2C2C2 6 4 2 15. A3 3 C2C2C2 （4）有序均匀分组问题.在3题的基础上再分配给3个人,共有分配方式 6 4 2 A3 90 (种). A3 3 3 C4C1C1 （5）无序部分均匀分组问题.共有 6 2 1 15 (种)分法. A2 2 C4C1C1 （6）有序部分均匀分组问题.在5题的基础上再分配给3个人,共有分配方式 6 2 1 A3 90 (种). A2 3 2 （7）直接分配问题.甲选1本有C1种选法,乙从余下5本中选1本有C1种选法,余下4本留给丙有C4种选法, 6 5 4 共有C1C1C4 30 (种)选法. 6 5 4 例13．有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求： （1）5位同学站成一排，有多少种不同的方法？ （2）5位同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？ （3）将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？ 【解析】 （1）A5＝120． 5 （2） 5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻 故有A2 A2 A2 24． 2 2 3 5（3）人数分配方式有①311有C3A3 60种方法 5 3 C2C2 ②221有 5 3 A3 90种方法 A2 3 2 所以，所有方法总数为6090150种方法 例14．从射击、乒乓球、跳水、田径四个大项的雅典奥运冠军中选出6名作“夺冠之路”的励志报告． （1）若每个大项中至少选派一人，则名额分配有几种情况？ （2）若将6名冠军分配到5个院校中的4个院校作报告，每个院校至少一名冠军，则有多少种不同的分配 方法？ 【解析】 （1）6个名额没有差异，所以选择隔板法，（2）首先先从5个院校选择4个院校，然后将6名冠军分组， 3111，或是2211，两种情况，最后再分配乘以A4. 4 试题解析：（1）名额分配只与人数有关，与不同的人无关． 所以选择隔板法，C3 10 6分 5  C2C2  （2）从5个院校中选4个，再从6个冠军中，先组合，再进行排列，有C4C3  6 4 A4 7800种分 5  6 A2  4 2 配方法． 12分 例15．将4名大学生分配到A、B、C三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名，则大学生甲分配到乡镇 A的概率为 （用数字作答） 【解析】 将4名大学生分配到A、B、C三个乡镇去当村官，每个乡镇至少分配一名的事件个数为C2A3 36，每个 4 3 6 1 乡镇至少分配一名，大学生甲分配到乡镇A的个数是A3  6,所以概率是P   3 36 6 例16．安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答） 【解析】210 例17．为了宣传校园文化，让更多的学生感受到校园之美，某校学生会组织了6个小队在校园最具有代表 性的3个地点进行视频拍摄，若每个地点至少有1支小队拍摄，则不同的分配方法有_____种（用数字作答） 【解析】 （1）若按照1:1:4进行分配有C4A3 90种方案； 6 3 6（2）若按照1:2:3进行分配有C3C2A3 360种方案； 6 3 3 C4C2 （3）若按照2:2:2进行分配有 6 4 A3 90种方案； A3 3 3 由分类加法原理，所以共有9036090540种分配方案． 例18．在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安 排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不 同的分配方法总数为 ． 【解析】 试题分析：甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生， C2C2 ①当有二所医院分2人另一所医院分1人时，总数有 5 3 A3种，其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一 A2 3 2 组有 A3 4A3 种；②有二所医院分 1 人另一所医院分 3 人.有C1C1A3 种.故满足条件的分法共有 3 3 2 2 3 C2C2 5 3 A3 A34A3C1C1A3 906242484 种. A2 3 3 3 2 2 3 2 例19．某学校要将4名实习教师分配到3个班级，每个班级至少要分配1名实习教师，则不同的分配方案 有_______种. 【解析】 第一步取两个教师作为一组共有C2 6种取法，第二步将三组教师分配到3个班级共有A3 6种安排方法， 4 3 所以根据分步乘法计数原理知，共有66=36种不同的安排方法,故填36. 例20．将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少 分配一名教师，则不同的分配方案共有_________种．（用数字作答） 【解析】 若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有C2C2A3种， 6 4 3 若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有C3A3，则不同的分配方案共有C2C2A3 +C3A3 660种 6 3 6 4 3 6 3 故答案为660 7