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微专题 04 将军饮马问题求最值
题型 1 两定一动
【基本模型】已知直线l同侧的两定点A和B，在直线l上找一动点P，使得 最短.
如上图所示，作点 A关于直线l的对称点 ，则 ，根据两点之间线段最短，连接点
。此时 最短， 。
1．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从
军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．(1)线段 于点 且 于点 且 ，点 为线段 上任意一点，则图1
中 最小值为______；图2中 最小值为______：
(2)如图3， 中， ，点 是 边的中点，点 是 边上任意一点，则
的最小值是______；
(3)如图4， 中， 且 ，作 于点 ，过 点的射线 始终平行
于 ，点 是高 上任意一点，点 是射线 上一点，点 是线段 上一点，且始终保持
，则 的最小值为______；则 的最小值为______．
2．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图1，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
以 为直角顶点在第一象限内作等腰 ，其中 ．
(1)求直线 的解析式和点 的坐标；
(2)如图2，点 是 的中点，点 是直线 上一动点，连接 、 ，求 的最小值，并求
出当 取最小值时点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，当 取最小值时．直线 上存在一点 ，使 ，求 点
坐标．（直接写出答案）
3．（24-25八年级下·重庆开州·开学考试）如图，点 在等边三角形 的边 上， ， ，射线 ，垂足为点 ，点 是射线 上一动点，点 是线段 上一动点，当 取得最小值
时，此时 的长为______；当 取最小值时，则此时 的长为______．
4．（23-24八年级上·天津河西·期末）如图，在 中， ， ．点 在 边上，且
，射线 于点 ，点 是射线 上一动点，点 是线段 上一动点．
（1）线段 是否存在最小值？__________．（用“是”或“否”填空）
（2）如果线段 存在最小值，请直接写出 的长，如果不存在，请说明理由__________．
5．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）【课题回顾】
在学习《13．4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了
“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题．
【问题探究】
如图 ，在等边 中，点 为 中点，点 ， 分别为 ， 上的点， ， ，
点 是线段 上的动点，连接 ， ，求 的最小值．
（1）小明提出的探究思路如下：如图 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交 于点 ，
连接 ，根据“两点之间，线段最短”，可知此时 的值最小．
①请你运用小明的探究思路，证明此时 的值最小；
②求 的最小值．
【类比探究】（2）如图 ，在平面直角坐标系中，点 坐标为 ，点 为 轴正半轴上一点，连接 ，
，点 为 中点， 平分 交边 于点 ，点 为边 上的一个动点．若点
在线段 上，连接 ， ，当 的值最小时，请直接写出点 的坐标______．
6．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于
点 ，直线 与直线 交于点 ．
(1)求四边形 的面积；
(2)若动点 在 轴上，当 为最小值时，求这个最小值及直线 的表达式；
(3)在平面内直线 的右侧是否存在点 ，使得以点 、 、 为顶点的三角形是以 为腰的等腰直
角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l与y轴交于点 ，与x
轴交于点 ，以B为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形 ，其中 ， ．(1)直线l对应的函数表达式是______，点C的坐标是______；
(2)如图2，点D是 的中点，点M是直线l上的一个动点，连接 ，求 的最小值，
并求出 取最小值时点M的坐标；
(3)点H在直线l上，x轴上是否存在点P，使得 是等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条
件的点H的个数；并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
题型 2 一定两动
【基本模型】已知在 的内侧有一定点M，在射线 上有两动点 ，在射线 上
各确定一点 ，使得 最短.
如 上 图 所 示 ， 分 别 作 点 M 关 于 的 两 条 边 射 线 的 对 称 点 ， 则
，根据两点之间线段最短，连接点 ，分别交射线 于点 。
此时 最短， .
1．（23-24八年级上·天津滨海新·期末）如图， 内部有一定点 ， ，若点 ， 分别是射线， 上异于点 的动点．（1）在射线 ， 上______（填“是”或“否”）存在点 ，使
的周长有最小值；（2）当 周长的最小值是2时，则 的度数是______ ．
2．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）问题：如图1， ，点P是 内的一定点，点P、
M、N不在同一直线上，当 的周长最小时，此问题是轴对称求最值问题的典型应用，已知点P关
于直线 的对称点C， 交 于点R．请按以下要求依次完成（1）（2）问：
(1)尺规作图：请在图2中作出点P关于直线 的对称点D，连接 交 、 分别于点M、N，连
接 交 于点T
(2)综合（1）的作图，将下列解答过程补充完整．
∵点P关于 、 的对称点分别为点C、D，
∴ 垂直平分 ， 垂直平分 ，
∴ ，①_______，
∴ ．
∵②_______，
∴当点C、M、N、D在同一直线上时， 的值最小．
即 的周长最小，
∵ ， ，
∴ ，③_______，
由作图得 ， ，
∴在四边形 中， ，
∵ ，
∴ ，∵在 中， ，
∴ ，
∴ ④_______°．
∴ ⑤_______°．
3．（25-26八年级上·全国·期末）【几何模型】
条件：如图①，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使 的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结 交l于点P，则 的值最小（不必证明）．
【模型应用】
(1)如图②，角是大家喜爱的一种轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是对称轴．现在有
， ， ，P为 的平分线上一动点，请求出 的最小值；
(2)①如图③， ，P是 内一点， ，Q、R分别是 、 上的动点，请直接写
出 周长的最小值___________；
②如图④， ，点M、N分别在边 、 上，且 ，点P、Q分别在 、
上，则 的最小值是___________．
4．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）【问题初探】
（1）如图1，在等边三角形 中，若 是 的中点， 为高 上一点， ，连接 、 ，
求 的最小值；【变式探究】
（2）如图2，在等边三角形 中，若 为高 上一点，高 ，求 的最小值．
【拓展延伸】
（3）如图3， ， 是 内一定点， ， 分别是 ， 上的动点，当 周长的
最小值为5时，求 的长．
5．（25-26八年级上·山东青岛·月考）几何模型：
条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使 的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点 ，连接 交l于点P，则 的值最小（不必证明）．
模型应用：
(1)如图1，正方形 的边长为2，E为 的中点，P是 上一动点．连接 ，由正方形对称性
可知，B与D关于直线 对称．连接 交 于P，则 的最小值是_；
(2)在等边三角形 中， ，点E是 的中点， 是高，在 AD上找一点P，使 的
最小值为_
(3)如图2， ，P是 内一点， ，Q、R分别是 上的动点，求 周
长的最小值．
（提示：分别作点P关于 和 的对称点 ，连接 ）6．（24-25八年级上·山东滨州·期中）“如图， ，点 为 内一点， ，点 分
别是射线 上的动点，求 周长的最小值？”根据图中作图方法可以求得： 周长的
最小值为______．
题型 3 一定两动（垂线段最短）
【基本模型】已知在 的内侧有一定点M，在射线 上有两动点 ，在射线 上
各确定一点 ，使得 最短.
如上图所示，作点M关于射线 的对称点 ，则 ，根据点到之间距离垂线段最
短，过 作 ，垂线段交射线 于点 ，在射线 上的垂足为 。此时 最
短， .
1．（24-25八年级上·天津西青·期末）如图，在 中， ，
点 是边 上一个动点，连接 ．（Ⅰ）是否存在长度等于 的线段？______．（填“存在”或“不存在”）。
（Ⅱ）若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由．______
2．（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，在等边 中， 边上的高 是高 上的一个
动点，F是边 的中点，在点E运动的过程中， 存在最小值，则这个最小值是________．
3．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在 中， ， 的垂直平分线分别交 、 于点
M，N，D是 的中点，P是 上任意一点，连接 ， ，若 ， ，则 的
周长的最小值是____________；若 ，当 的周长取最小值时， ______（用含 的
代数式表示）
4．（24-25七年级下·山东青岛·期末）转化是数学的重要策略，线段最值问题中“线段和最小”与“线段
差（绝对值）最大”经常借助轴对称进行转化，再根据“两点之间，线段最短”予以解决．【模型建立】
（1）如图①，点 、 在直线 同侧，请在直线 上作一点 ，使得 最小；（请用直尺和圆规
作出点 ）
（2）如图②，在网格中，点 、 在直线 异侧，请在直线 上作一点 ，使得 最大；（请用
直尺作出点 ）
【模型应用】
（3）如图③，在 中， ，射线 在 内部， ，点 是
射线 上一点，连接 和 ，则 的最大值为_____．
（4）如图④，在 中， ， ， ，点 为 中点，点 为 上一点，
连接 和 ，求 的最小值．
5．（25-26八年级上·江西南昌·期中）综合与实践
材料一：将军饮马问题是一个经典的几何最值问题，源于古希腊时期，数学家海伦利用轴对称的知识
成功的解决了这个问题，体现了早期数学家对路径优化的探索．
材料二：如图1，已知直线 上方 ， 两个定点，在直线 上找一个点 ，使得 最小．小军同
学给出以下解答：如图2，作点 关于直线 的对称点 ，连结 与直线 交于点 ，此时 最
小．证明过程如图3，在直线 上另取任意一点 （与点C不重合），连接 ， ， ．
∵点 与点 关于直线 对称，∴直线 是 的垂直平分线，
∴ ___________， ________，
∴ _=_；
∵在 中， ，∴ ，即 最小．
任务一：完成材料二的填空．
任务二：如图4，在 中，直线 是 边的垂直平分线，点 是直线 上的动点．若 ，
， ，求 周长的最小值．
任务三：如图5，在（2）的条件下，已知点 ， ， 分别是 ， ， 上的点，若 ，
则 周长的最小值为___________．
6．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如果四边形的某条对角线垂直平分另一条对角线，那么我们可把这
条对角线叫“对称线”，该四边形叫做“对称四边形”．
【问题发现】（1）如图①，四边形 是“对称四边形”，对角线 ， 交于点O， 是“对
称线”，若 ， ，则四边形 的面积是______．
【问题探究】（2）如图②，四边形 是“对称四边形”． 是“对称线”， ，
， ，P，Q分别为线段 ， 上的动点．求 的最小值．
【问题解决】（3）如图③，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点 ，过A作射线
轴，交y轴于点P，E为射线 上的动点（不与点A重合），G、F分别为线段 和x轴正半
轴上的动点，连接 ， ，点M是线段 与 的交点，并且四边形 为“对称四边形”，其中 是“对称线”．请问 的面积是否存在最小值？若存在，请求出面积的最小值以及此时
所在直线的表达式；若不存在，请说明理由．
题型 4 两定两动
【基本模型】已知在 的内侧有两定点 ，在射线 上有两动点 ，在射线
上各确定一点 ，使得 最短.
如上图所示，作点M关于射线 的对称点 ，则 ；作点N关于射线 的对称点
。由于 为定点，所以线段 为定值。因此，若使 最短，只需令
最短即可。根据点到之间距离垂线段最短，连接点 ，线段 分别交射线
于 点 。 此 时 ， 四 点 共 线 ， 能 够 使 得 最 短 ，
1．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在 中， ， ， ， ，若
点M、N分别在边 ， 上，当四边形 的周长最小时，则这个最小值为（ ）
A． B． C． D．2．（22-23八年级下·重庆北碚·开学考试）如图，凸四边形 中，若点M、N分别为边 上的
动点， ， ， ， ， ，则 的周长最小值为（ ）
A． B． C．6 D．3
3．（23-24八年级上·湖南株洲·月考）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，
名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营
A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答
案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如下图，作B关于直线l的对称点 ，连接AB与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
证明：如下图，在直线l上另取任一点 ，连接 ， ， ，
∵直线l是点B， 的对称轴，点C， 在l上，∴ ， ，
∴ ______=______．
在 中，∵ ，
∴ 即 最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用
“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在 与l的交点
上，即A、C、 三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小
值”的问题的数学模型．
【简单应用】
（1）如下图，在等边 中， ， ，E是AC的中点，M是 上的一点，求
的最小值；
（2）如下图，在四边形 中， ， ，在 上分别找一点M、N当
周长最小时，求 的值．
【拓展应用】
如下图，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头， ， 千米， 千米，现有一艘
货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠 岸C处装货，再停靠 岸D处装货，最后到达码头
B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．（注：在直
角三角形中有直角边的平方和等于斜边的平方，如图即在直角 中，有）
4．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）【问题发现】（1）如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边
l饮马，再去河岸同侧的军营B开会，为了方便，将军给自己制定了方案，找到了饮马的最佳位置点C
（1）请在图1中找出将军饮马的最佳位置点C
【问题探究】（2）如图2，在正方形 中， ，E是 边上的一点，且 ，F是 上
的一个动点，求 周长的最小值．
【问题解决】（3）如图3，在长方形 中， ， ，P是 边上一点，且
，点E是线段 上的任一点，连接 ，以 为直角边在 上方作等腰直角三角形 ，
为斜边．连接 ， 边上存在一个点M，且 ，连接 ， 的周长是否存在最
小值？若存在，请求出周长最小值；若不存在，请说明理由．
5．（24-25八年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴相交于A、B
两点，动点C在线段 上，将线段 绕着点C顺时针旋转 得到 ，此时点D恰好落在直线
上时，过点D作 轴于点E．(1)求证： ；
(2)求点D的坐标；
(3)如图，直线 与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是 的中点，D、E分别是直线 ，y
轴上的动点，请直接写出 周长的最小值．
题型 5 将军遛马
【基本模型】已知直线l同侧的两定点A和B，在直线l上有一条线段 。试确定线段 在直线l上
的位置，使得 最短.
如上图所示，作点A关于直线l的对称点 ，则 。过点 作一条平行线，并在点
的右侧在平行线上作一点 使得 。此时，由于四边形 为 ，因此
。由于线段 为定值，因此若要使 最短，只需令 最短
即 可 。 根 据 两 点 之 间 线 段 最 短 ， 连 接 点 交 直 线 l 为 点 。 此 时 最 短 ，
。
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）按照下列要求作图．（保留作图痕迹）
(1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点 ， 在直线 同侧，在直线 上求作一点 ，使
最短；(2)【“一定两动”型】如图， 内有一点 ，分别在 ， 边上各取一点 ，使 的周
长最小；
(3)【“两定两动”型（异侧）】如图， ， 是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥
，使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直）
(4)【“两定两动”型（同侧）】如图， 的长度为定值，在直线 上分别取点 ， ，使 ，
连接 ， ，当 最小时，求点 ， 的位置．
2．（23-24八年级上·重庆渝中·月考）如图所示，在直角坐标系中， ， ，线段 在 轴上
平移，且满足 ，连接 、 、 ．
(1)当 时， __________；
(2)当四边形 的周长取得最小值时，求出此时点 的坐标及四边形的最小周长；
3．（25-26八年级上·陕西西安·月考）问题发现：
(1)在平面直角坐标系中，已知点 和点 ，则线段AB的长为_____；(2)问题探究：为迎接国庆节，西安市园林绿化部门准备在一块正方形的空地OABC上用鲜花摆放一个
四边形的图案．设计员小华将其置于如图所示的平面直角坐标系中，已知点 ，点 ， 在坐
标轴上，绿化部门计划在正方形 内围成一个如图所示的四边形AMNP，在其内部摆放花卉图案，
其余地方种植草坪．要求 在边 上， 在 上，且 ．请问是否存在点 ，使
得四边形 的周长最小？若存在，请求出最小值？如不存在，请说明理由．
4．（24-25八年级下·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为 ，与x轴交
于点C，直线l上有一点B的横坐标为 ，点A是 的中点．
(1)求直线 的函数表达式；
(2)在射线 上有两动点P，Q（P点在Q点下方），且 ，当四边形 的周长最小时，求四
边形 周长的最小值；
5．（23-24八年级上·陕西西安·月考）(1)问题发现：
如图①，在平面直角坐标系中，已知点 和点 则线段 的长为______；
(2)问题探究：
如图②，在平面直角坐标系中，已知点 ， 为等边三角形，点A在第一象限，点 在
线段 上，点M，N分别是边 ， 上两点，求 周长的最小值．（提示：在直角三角形中， 角所对的直角边是斜边的一半．）
(3)问题解决：
为迎接国庆节，西安市园林绿化部门准备在一块正方形的空地 上用鲜花摆放一个四边形的图案．
设计员小华将其置于如图③所示的平面直角坐标系中，已知点 ，点A，C在坐标轴上，绿化部
门计划在正方形 内围成一个如图所示的四边形 ，在其内部摆放花卉图案，其余地方种植
草坪．要求N，P在边 上，M在 上，且 ．请问是否存在点P，N，使得四边形
的周长最小？若存在，请求出最小值？如不存在，请说明理由．
题型 6 造桥选址
【基本模型】已知有两条平行直线 ，在直线 异侧有两定点 A 和 B，有一条线段 ，且
。试确定线段 在直线 上的位置，使得 最短.
如上图所示，过点A作直线l的垂线，在点 的下侧在垂线上作一点 使得 。此时，
由于四边形 为 ，因此 。由于线段 为定值，因此若要使
最短，只需令 最短即可。根据两点之间线段最短，连接点 交直线 为点 。此时 最短， 。
1．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）如图，要在一条河上架一座桥 （河的两岸互相平行，桥与河岸
垂直），在如下四种方案中，使得 ， 两地的路程最短的是（ ）
A． 与河岸垂直 B． ， ， 共线
C． D． 与河岸垂直
2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，直线 、 表示一条河的两岸，且 ，现要在这条河上建
一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确
的是（ ）．
方案一
方案二
①将点A向上平移得到 ；
①连接 交 于点M；
②连接 交 于点M；
②过点M作 ，交 于点N，
③过点M作 ，交 于点
即桥的位置．
N， 即桥的位置．
A．唯方案一可行 B．唯方案二可行
C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行
3．（24-25九年级上·重庆·开学考试）重庆是一座桥都，如图所示，嘉陵江在 处直角转弯，河宽相同，
都为0.5公里，从 处到达 处（ 到 的水平距离是4.5公里， 到 的竖直距离是3.5公里），须经
过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设嘉陵江以及两座桥都是东西、南北走向的，造的两座桥可使
从 到 的路程最短， 处到 处的最短路径长为________公里．4．（23-24八年级下·福建漳州·期中）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在
河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方案如下：作从A到河
岸的垂线，分别交河岸 ， 于F，G．在 上取 ，连接 ， 交 于D．在D处
作到对岸的垂线 ，那么 就是造桥的位置，请你对方案可行性给出证明．
5．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要
在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置，才能使从A地到B地的路程最短？
6．（2025·江苏南京·模拟预测）架桥通常会考虑多种因素，其中一个就是路线规划，确保桥两边A，B两
地间的路程尽量短，以减少通行时间和成本．
(1)如图①，河l的宽度忽略不计，即桥的宽度忽略不计，请你在l上画出表示桥的位置的点P，使从A地经过桥到B地的路程最短．
(2)如图②，河岸m和n之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间画出
表示桥的位置的线段 ，使桥与河岸垂直，并且从A地经过桥到B地的路程最短．
(3)如图③，河岸m和n，p和q之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之
间、p和q之间分别画出表示桥的位置的线段 和 ，使每座桥与相应的河岸垂直，并且从A地经
过2座桥到B地的路程最短．
