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第 37 节 不等式选讲+复数
基本技能要落实
考点一 绝对值不等式性质的应用
【例1】设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|5；
(2)求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1).
(1)解 因为|x2－x－15|>5，所以x2－x－15<－5或x2－x－15>5，即x2－x－10<0
或x2－x－20>0，解得5，所以不等式|f(x)|>5的解集为{x|x<－4
或5}.
(2)证明 因为|x－a|<1，所以|f(x)－f(a)|＝|(x2－x－15)－(a2－a－15)|＝|(x－a)(x＋
a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|<1·|x＋a－1|＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a－1|
≤1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)，即|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1).
考点二 绝对值不等式恒成立与能成立问题
【例3】(2022·陇南二诊)已知a≠0，函数f(x)＝|ax－1|，g(x)＝|ax＋2|.
(1)若f(x)－3，当a>0时，x>－，
即x的取值范围是；
当a<0时，x<－，
即x的取值范围是.
(2)因为f(x)＋g(x)＝|ax－1|＋|ax＋2|≥|(ax－1)－(ax＋2)|＝3，
所以f(x)＋g(x)的最小值为3，
所以|2×10a－7|≤3，
则－3≤2×10a－7≤3，
解得lg 2≤a≤lg 5，
故a的最大值与最小值之和为lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
【例4】 (2021·东北三省三校联考)已知函数f(x)＝|2x＋a|＋1.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)＋x＜2；
(2)若存在a∈时，使不等式f(x)≥b＋|2x＋a2|的解集非空，求b的取值范围.
解 (1)当a＝2时，函数f(x)＝|2x＋2|＋1，
不等式f(x)＋x＜2化为|2x＋2|＜1－x.
当1－x≤0时，即x≥1时，该不等式无解.
当1－x＞0时，原不等式化为x－1＜2x＋2＜1－x.
解之得－3＜x＜－.
综上，原不等式的解集为.
(2)由f(x)≥b＋|2x＋a2|，
得b≤|2x＋a|－|2x＋a2|＋1，
设g(x)＝|2x＋a|－|2x＋a2|＋1，则不等式的解集非空，即不等式有解，
所以不等式等价于b≤g(x) .
max
由g(x)≤|(2x＋a)－(2x＋a2)|＋1＝|a2－a|＋1，
所以b≤|a2－a|＋1.
由题意知存在a∈，使得上式成立，
而函数h(a)＝|a2－a|＋1在a∈上的最大值为h＝，
所以b≤，即b的取值范围是.
【方法技巧】
1.不等式恒成立问题，存在性问题都可以转化为最值问题解决.2.(1)在例6第(1)问，可作出函数y＝|2x＋2|与y＝1－x的图象，观察、计算边界，
直观求得不等式的解集.
(2)第(2)问把不等式解集非空，转化为求函数的最值.
存在性问题转化方法：f(x)＞a有解⇔f(x) ＞a；f(x)＜a有解⇔f(x) ＜a.
max min
【跟踪训练】
1. (2022·呼和浩特模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋2|x＋1|.
(1)当a＝1时，解关于x的不等式f(x)≤6；
(2)已知g(x)＝|x－1|＋2，若对任意x ∈R，都存在x ∈R，使得f(x )＝g(x )成立，
1 2 1 2
求实数a的取值范围.
解 (1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|＋2|x＋1|，
则f(x)＝
当x<－1时，由－4x－1≤6，得－≤x<－1；
当－1≤x≤时，f(x)≤6恒成立；
当x>时，由4x＋1≤6，得0，b<0，c<0.
由bc≤，可得abc≤，当且仅当b＝c＝－时取等号，
故a≥，所以max{a，b，c}≥.
【方法技巧】
1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的
差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.
2.在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这
些性质时，要注意性质成立的前提条件.
【跟踪训练】1. 已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：
(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；
(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
证明 (1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，
又abc＝1，
故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
＝＝＋＋.
当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立.
所以＋＋≤a2＋b2＋c2.
(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，
故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3
≥3＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a)
≥3×(2)×(2)×(2)＝24.
当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，
所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
考点五 复数的运算
【例5】1．(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
解析：选D 由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D.
2．(2022·合肥质检)已知i为虚数单位，则＝( )
A．5 B．5i
C．－－i D．－＋i
解析：选A ＝＝5，故选A.
3．(2022·惠州模拟)已知复数z的共轭复数为，若(1－i)＝2i(i为虚数单位)，则z＝( )
A．i B．－1＋i
C．－1－i D．－i
解析：选C 由已知可得＝＝＝－1＋i，则z＝－1－i，故选C.
4．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则|z|＝( )
A．0 B．
C．1 D.
解析：选C ∵z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，∴|z|＝1.故选C.【方法技巧】
复数的 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加
加减法 减，虚部与虚部相加减)计算即可
复数的 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i的看作一类同类项，
乘法 不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i的幂写成最简
除法 形式
考点六 复数的几何意义
【例6】1．(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内 对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C ＝－3－2i，故 对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C.
2．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
解析：选C 由已知条件，可得z＝x＋yi.∵ |z－i|＝1，
∴ |x＋yi－i|＝1，∴ x2＋(y－1)2＝1.故选C.
3．设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D ∵x，y是实数，∴(1－i)x＝x－xi＝1＋yi，∴解得∴x＋yi在复平面内所对
应的点为(1，－1)，位于第四象限．故选D.
4．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
解析：选B 因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，
又此点在第二象限，所以解得a<－1.
【方法技巧】
1．准确理解复数的几何意义
(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) OZ.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何
⇔ ⇔
联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
2．与复数的几何意义相关问题的一般步骤
(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi(a，b∈R)与复平面
上的点(a，b)一一对应．
达标检测要扎实
一、单选题
1．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 可得 ，故 ，故选:C
2．已知纯虚数 满足 ，则 的虚部可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题，设纯虚数 ，
所以
所以 ，解得 .
所以， 的虚部可以是 .故选：C
3．已知复数 满足： ，则 （ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【解析】
故选：D.
4． 则z的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 得 .故选：C.
5．已知 ，且 ，其中 ， 为实数，则 （ ）A．1 B．3 C． D．5
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以由 可得 ，解得 ，
所以 ，故选：C
二、解答题
6．已知函数 ．
(1)当 时，解不等式 ；
(2)当 时，若存在实数 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，
当 时，令 解得 ；
当 时，令 ，无解；
当 时，令 解得 .
综上所述，不等式 的解集为 或 ．
（2）当 时， ，
当且仅当 时，等号成立，即 的最小值为2，
存在实数 ，使得 成立，
， 解得 ，
的取值范围是 ．
7．已知函数 .
(1)若不等式 恒成立，求实数m的最大值；
(2)若函数 有零点，求实数 的取值范围.【解析】（1）∵ ，∴ ，
∴ ，则原不等式恒成立等价于：
恒成立，由绝对值不等式 可得：
，
∴ ，∴ ，
∴实数m的最大值为1；
（2）由题意可得 ，
当 时， 恒成立，故没有零点，不符合题意；
当 时， ，解得： ，即原函数有零点，
综上所述，实数 的取值范围为
8．已知不等式 的解集为A．
(1)求集合A；
(2)若 ，不等式 恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1） 或 或
，解得 ，∴ ．
（2）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
由题意可得 ，∴ ．
9．已知 ， ， ，且 .
(1)求证： ；
(2)若不等式 对一切实数 ， ， 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1）
，
所以 ，当且仅当 时等号成立
（2）由（1）可知 对一切实数 ， ， 恒成立，
等价于 ，令 ，
当 时， ，
当 时， ，舍去，
当 时， ，即 或 .
综上所述， 取值范围为 .
10．己知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若对于任意 ，都有 ，求实数a的取值范围．
【解析】（1）
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ．
（2）因为 ，
故
所以
所以函数 在 上递减，在 上递增，所以函数 在 上的最小值为 ．
所以 ，即 解得 或 ．
11．已知不等式 的解集为 ．求
(1)常数 的值
(2)不等式 的解
【解析】（1）因为不等式 的解集为 ，
所以， 的实数根为 或 ，
所以， ，解得 ，所以，
（2）结合（1）知 ，故 ，
所以 ，即 ，
所以，不等式 的解集为
12．已知 均为正数，且满足 .证明：
(1) ；
(2) .
【解析】（1）由柯西不等式有：
，当且仅当 时取等号，
可得 ；
（2）由柯西不等式有 ，当且仅当 时取“ 号，可得
，
又由 ，可得 ，可得 ，
故有 ，当且仅当 时取“ 号.
13．已知a，b，c均为正数，且 ，证明：
(1) ；
(2) ．
【解析】（1）由已知可得，
当且仅当 时，等号成立．
又a，b，c均为正数，所以 ．
（2）
因为 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，整理得 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立．
14．已知 均为正实数，且 .
(1)求 的最小值;
(2)证明: .
【解析】（1）由基本不等式可知 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 6 .
（2）
因为 ，所以 .
.
同理可得 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.所以 ，
即
15．设函数
(1)当 ，求不等式 的解集：
(2)已知 的最小值为1，求证
【解析】
（1）
当a=1时，
所以 或 或 ，解得 或 .
因此不等式 的解集的
（2）
，
当且仅当 时等号成立，所以 ，
因此 ，故
，当且仅当 时.等式成立，
