文档文本内容
第 2 讲 等式性质与不等式
本讲为高考重要知识点，题型主要和其他知识结合考察，属于工具型知识点，梳理等式性质的基础上，通
过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式-基本不等式。体会函数观点统一方
程和不等式的数学思想。
考点一 等式性质与不等式的性质
1．实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b a－b>0；
(2)a＝b⇔ a－b＝0；
(3)a<b ⇔a－b<0.
2.不等⇔式的性质
(1)对称性：a＞b b＜a；
(2)传递性：a＞b⇔，b＞c a＞c；
(3)可加性：a＞b a＋c⇒＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b⇔，c＞0 ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0 an⇒＞bn(n∈N，n≥1)；⇒ ⇒
⇒
(6)可开方：a＞b＞0 ＞ (n∈N，n≥2).
⇒
考点二 基本不等式
1.基本不等式： ≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号.
(3)其中 称为正数a，b的算术平均数， 称为正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2 ab (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x ＝ y 时，x＋y有最小值是2 (简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当 x ＝ y 时，xy有最大值是 (简记：和定积最大).
注意：
1. ≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤ ≤ .
3. (a>0，b>0).
高频考点一 等式性质与不等式性质
例1、已知 ，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
【变式训练】
1．若 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
高频考点二 “1”的代换型
例2、已知x，y均为正实数，且 ，则x+3y的最小值为__________【变式训练】
1.已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．28
2.已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27
3.已知正实数 ，b满足 ＋b＝1，则 的最小值为_____
【做题技巧】
1.基本公式
2.一正二定三相等。是均值成立的前提条件。
高频考点三 “和”与“积”互消型
例3、 已知x、y都是正数，且满足 ，则 的最大值为_________．
【变式训练】
1.已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知 ，且 ，则 的最小值为___________．
【基本规律】
1.有“和”、“积”无常数，可以同除，化回到“1”的代换型。如变式1；
2.有“和”、“积”有常数求积型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如典例分析；
3..有“和”、“积”有常数求和型，可以借助基本不等式构造不等式求解，如变式2。
高频考点四 以分母为主元构造型
例4、已知非负数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．10 D．16
【变式训练】
1.已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）A．9 B．10 C．11 D．
2.已知正数 、 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3.设 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【基本规律】
构造分母型：
1.以分母为主元构造，可以直接分母换元，变化后为“1”的代换，如典例分析
2.构造过程中，分子会有分母参数的变化，可以分离常数后再构造分母，如变式2
3.变式3是三项构造，且无条件等式。
高频考点五 构造分母：待定系数
例5、已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.知正实数 、 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知 ， ， ，则 取到最小值为 ．
【基本规律】
特征：条件等式和所求式子之间变量系数“不一致”
方法：直观凑配或者分母换元
高频考点六 分子含参型：分离分子型
例6、若 ，则 的最小值为___________.
【变式训练】1.已知正实数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2.若 ，且 ，则 的最小值为_________
3.若正实数x，y满足2x+y=2，则 的最小值是_____．
【方法总结】
1.分离分子原理题，如典例分析
2.分子二次型换元分离，如变式2
3.分子二次型凑配构造分离，如变式3
高频考点七 反解代入型:消元法
例7、已知正数 ， 满足 ，则 的最大值为______．
【变式训练】
1.已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.若正数 ， 满足 ，则 的最小值是______，此时 ______.
3.若正实数 满足 ，则 的最小值为___________.
【方法总结】
条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。
高频考点八 反解代入型:消元法
例8、非负实数 满足 ，则 的最小值为___________.
【变式训练】
1.已知 ，且 ，则 的最小值是___．
2.已知a,b∈R+，且(a+b)(a+2b)+a+b=9，则3a+4b的最小值等于_______．
【方法总结】
特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理高频考点九 均值用两次
例9、 是不同时为0的实数，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.设正实数 满足 ，不等式 恒成立，则 的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
2.已知 ， ，则 的最小值为___________.
3.已知正实数 ， ， 满足 ，则 的最小值为______.
【方法总结】
两次均值，逐次消去，取等条件一致
