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考向 24 不等式选讲
为
1.（2022年甲卷）23. 已知a，b，c均 正数，且 ，证明：
（1） ；
（2）若 ，则 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】证明：由柯西不等式有 ，
所以 ，
当且仅当 时，取等号，所以 ；
【小问2详解】
证明：因为 ， ， ， ，由（1）得 ，
即 ，所以 ，
由权方和不等式知 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，所以
2.（2022年乙卷）23. 已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
（1） ；（2） ；
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】【小问1详解】
证明：因为 ， ， ，则 ， ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号．
【小问2详解】
证明：因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
当且仅当 时取等
3.【2021年乙卷】已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集;
（2）若 ，求a的取值范围．
【答案】（1） .（2） .
【解析】（1）当 时， ， 表示数轴上的点到 和 的距离之和，则 表示数轴上的点到 和 的距离之和不小于 ，
当 或 时所对应的数轴上的点到 所对应的点距离之和等于6，
∴数轴上到 所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是 或 ，
所以 的解集为 .
（2）依题意 ，即 恒成立，
，
当且仅当 时取等号， ,
故 ，
所以 或 ，
解得 .
所以 的取值范围是 .
4.【2021年甲卷】 已知函数 ．（1）画出 和 的图像；
（2）若 ，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）
【解析】（1）可得 ，画出图像如下：
，画出函数图像如下：（2） ，
如图，在同一个坐标系里画出 图像，
是 平移了 个单位得到，
则要使 ，需将 向左平移，即 ，
当 过 时， ，解得 或 （舍去），
则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位， .1.解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的 的系数相等时，可
以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等
号的条件.
2.使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。首先要选择合适的柯西不等式形式，然后找到所求与
已知之间的联系，确定系数在柯西不等式的位置即可求解。
3.使用排序不等式的关键在于首先要有一个“顺序”，本题已知条件虽然没有 的大小关系，但由所
证不等式“轮换对称”的特点，可添加大小关系的条件，即 ，从而能够使用排序不等式。
1、不等式的基本性质：
（1）
（2） （不等式的传递性）
注： ， 等号成立当且仅当前两个等号同时成立
（3）
（4）
（5）
（6）
2、绝对值不等式：
（1） 等号成立条件当且仅当（2） 等号成立条件当且仅当
（3） ：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当
3、均值不等式
（1）涉及的几个平均数：
① 调和平均数：
② 几何平均数：
③ 代数平均数：
④ 平方平均数：
（2）均值不等式： ，等号成立的条件均为：
（3）三项均值不等式：
①
②
③
4、柯西不等式：
等号成立条件当且仅当 或（1）二元柯西不等式： ，等号成立当且仅当
（2）柯西不等式的几个常用变形
① 柯西不等式的三角公式：
②
②式体现的是当各项 系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值
不等式的一个补充。
③
5、排序不等式：设 为两组实数， 是 的任一排列，
则有：
即“反序和 乱序和 顺序和”
1.绝对值不等式
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：
①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时
不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，
是一种较好的方法．2.柯西不等式
(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右
边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．
(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为
(a＋a＋…＋a)(＋＋…＋)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立
的条件．
1.若存在实数 使得 成立，求实数 的取值范围。
2已知函数
（1）当 时，解不等式
（2）若不等式 对一切 恒成立，求实数 的取值范围
3.已知函数 =|x+1|-2|x-a|，a>0.
（1）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；
（2）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
4.已知 均为正数，求证： ，并确定 为何值时，等号成立
5.已知 ，（1）若 ，求 的最小值
（2）求证：
6.设正数 满足
（1）求 的最大值
（2）证明：1．已知 均为正实数，且 .
(1)求 的最小值;
(2)证明: .
2．已知a，b，c均为正数，且 ，证明：
(1) ；
(2) ．
3．已知不等式 的解集为 ．求
(1)常数 的值
(2)不等式 的解
4．已知 ， ， ，且 .
(1)求证： ；
(2)若不等式 对一切实数 ， ， 恒成立，求 的取值范围.
5．己知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若对于任意 ，都有 ，求实数a的取值范围．
6．设函数 的最小值为t(1)求t的值；
(2)若a，b，c为正实数，且 ，求证： .
7．已知函数 .
(1)解不等式 ；
(2)设 是函数 的最小值，若 ，求证： .
8．已知函数 .
(1)求 的定义域 ；
(2)设 ， ， 是 中的最小整数，求证： .
1.（2020·新课标Ⅰ）已知函数 ．
（1）画出 的图像；
（2）求不等式 的解集．
2.（2020·新课标Ⅱ）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求a的取值范围.3.（2020·新课标Ⅲ）设a，b，c R，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．
4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1） ； （2） ．
5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知
（1）当 时，求不等式 的解集
（2）若 时， ，求 的取值范围．
6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设 ，且 ．
（1）求 的最小值；
（2）若 成立，证明： 或 ．
6. （2018年全国I卷理数）已知 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时不等式 成立，求 的取值范围.
7. （2018年全国Ⅱ卷理数）设函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 的取值范围．8. （2018年全国Ⅲ卷理数）设函数 ．
（1）画出 的图像；
（2）当 ， ，求 的最小值．
9. （2018年江苏卷）若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求 的最小值．
f (x)=−x2 +ax+4 g(x)=|x+1|+|x−1|
10．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数 ， ．
（1）当
a=1
时，求不等式
f(x)≥g(x)
的解集；
f(x)≥g(x)
（2）若不等式 的解集包含[–1，1]，求a的取值范围．
11．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知 ．证明：
（1） ；
（2） ．
12．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．
（1）求不等式f（x）≥1的解集；
（2）若不等式 的解集非空，求m的取值范围．1.【解析】依题意可知二次方程 有解
即
当 时，
当 时， 恒成立
当 时，
综上所述，可得
2.【解析】（1）当 时，
当 时，
当 时，
综上所述：不等式的解集为
（2） 恒成立
考虑
在 单调递减，在 单调递增
3.【解析】（1）当 时，因此当 时， ，若 则有 ，故 ，这与 无交
集；
当 时， ，若 则有 故 ，这 的交
集为 ；
当 时， ，若 则有 故 ，这 的交集为
综上可得
（2）由于 ，则可得
画出分段函数的图像，可得 时， ，当 时，
因此可得三角形的面积为：
解得 或 （舍去）故可得
4.【解析】由均值不等式可得：
等号成立条件：
5.【解析】（1）
由柯西不等式可得：（2）由均值不等式可得：
三式相加：
即
6.【解析】（1） ，
的最大值为 ，此时
（2）由柯西不等式可得：
由（1）知等号成立条件：
1．【解析】（1）由基本不等式可知 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 6 .
（2）因为 ，所以 .
.
同理可得 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
所以 ，
即
2．【解析】（1）由已知可得
，
当且仅当 时，等号成立．
又a，b，c均为正数，所以 ．（2）因为 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，整理得 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立．
3．【解析】（1）因为不等式 的解集为 ，
所以， 的实数根为 或 ，
所以， ，解得 ，所以，
（2）结合（1）知 ，故 ，
所以 ，即 ，
所以，不等式 的解集为
4．【解析】（1） ，
所以 ，当且仅当 时等号成立
（2）由（1）可知 对一切实数 ， ， 恒成立，
等价于 ，令 ，当 时， ，
当 时， ，舍去，
当 时， ，即 或 .
综上所述， 取值范围为 .
5．【解析】（1）
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ．
（2）因为 ，故
所以
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以函数 在 上的最小值为 ．
所以 ，
即解得 或 ．
6．【解析】（1）
当 时， ；当 时， ；
当 时， ，所以当 时， 取最小值 .
(2)由（1）可知 ，因为 ， ， 为正实数，
.
当且仅当 ，即 ， ， 时取等号，
所以 .
7．【解析】（1）当 时，不等式为 ；
当 时，不等式为 ；
当 时，不等式为 .
所以不等式的解集为 .
（2）由题得 ，
所以
所以 的最小值是2，所以 .
所以 .
要证明 ,只需证明 ；只需证明 ，
由题得 .
(当且仅当 时等号成立)
即得证.
8．【解析】(1)设 . 的定义域即不等式 的解集.
∵
等价于① 或② 或③
∴不等式 的解集为 ，即函数 的定义域为
(2)∵ ， ，a是M中的最小整数.
∴ ，
∴
当且仅当 ，即 ， 时等号成立.
∴ （当且仅当 ， 时取等号）1.【答案】（1）详解解析；（2） .
【解析】（1）因为 ，作出图象，如图
所示：
（2）将函数 的图象向左平移 个单位，可得函数 的
图象，如图所示：
由 ，解得 ．
所以不等式的解集为 ．
2.【答案】（1） 或 ；（2） .
【解析】（1）当 时， .
当 时， ，解得： ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 或 .（2） （当且仅当
时取等号）， ，解得： 或 ，
的取值范围为 .
3.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.
【解析】（1） ，
.
均不为 ，则 ， ；
（2）不妨设 ，
由 可知， ，
， .
当且仅当 时，取等号，
，即 .
4．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）因为 ，又 ，故有
．
所以 ．（2）因为 为正数且 ，故有
=24．
所以 ．
5．【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）当a=1时， ．
当 时， ；当 时， ．
所以，不等式 的解集为 ．
（2）因为 ，所以 ．
当 ， 时， ．
所以， 的取值范围是 ．
6．【答案】（1） ；（2）见详解．
【解析】（1）由于
，
故由已知得 ，
当且仅当x= ，y=– ， 时等号成立．所以 的最小值为 ．
（2）由于
，
故由已知 ，
当且仅当 ， ， 时等号成立．
因此 的最小值为 ．
由题设知 ，解得 或 ．
7. 【答案】（1） ． （2） ．
【解析】（1）当 时， ，即
故不等式 的解集为 ．
（2）当 时 成立等价于当 时 成立．
若 ，则当 时 ；
若 ， 的解集为 ，所以 ，故 ．
综上， 的取值范围为 ．
8. 【答案】（1） ,(2)
【解析】（1）当 时，可得 的解集为 ．
（2） 等价于 ．
而 ，且当 时等号成立．故 等价于
．
由 可得 或 ，所以 的取值范围是 ．
9. 【答案】（1）见解析
（2）5
【解析】（1） 的图像如图所示．
（2）由（1）知， 的图像与 轴交点的纵坐标为 ，且各部分所
在直线斜率的最大值为 ，故当且仅当 且 时， 在
成立，因此 的最小值为5。
10. 【答案】4
【解析】证明：由柯西不等式，得 ．
因为 ，所以 ，
当且仅当 时，不等式取等号，此时 ，
所以 的最小值为4．
11．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）当 时，不等式 等价于 ．①
当 时，①式化为 ，无解；当 时，①式化为 ，从而 ；
当 时，①式化为 ，从而 ．
所以 的解集为 ．
（2）当 时， ．
所以 的解集包含 ，等价于当 时 ．
又 在 的最小值必为 与 之一，所以 且 ，得 ．
所以 的取值范围为 ．
12．【答案】（1）证明略；（2）证明略．
【解析】（1）
（2）因为
所以 ，因此 ．13．【答案】（1） ；（2）
【解析】（1） ，
当 时， 无解；
当 时，由 得， ，解得 ；
当 时，由 解得 ．
所以 的解集为 ．
（2）由 得 ，而
，
且当 时， ．
故m的取值范围为 ．
