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第 17 章 勾股定理(A 卷·知识通关练)
核心知识1 勾股定理
1．(2022秋•南关区校级期末)如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积
为( )
A．7 B．5 C．25 D．1
2．(2022秋•成县期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为AC边上的高，BD＝4，CD＝2，则AD的长
度是( )
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
3．(2022秋•石景山区期末)在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝2√13，则底边上的高为( )
A．12 B．2√3 C．3√2 D．18
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线l交AC于点D，连接BD．若AB=13cm，
BC=5cm，则△BCD的周长为( )
A．18cm B．17cm C．11.5cm D．11cm5．(2021秋•沈北新区期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．
求：(1)CD的长；
(2)BD的长．
核心知识2 勾股定理的证明
1．(2022秋•南岸区校级期中)我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理
的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算
经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是(
)
A． B．
C． D．
2．(2022秋•蒲江县校级期中)如图所示的正方形图案是用 4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形
ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边(x＞y)，下列
三个结论：①x2+y2＝25；②x﹣y＝1；③xy＝12；④x+y＝40．其中正确的是( )A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
3．(2022秋•莲都区期中)如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，图中正方形
ABCD，正方形EFGH，正方形MNKJ的面积分别记为S ，S ，S ，若EF＝4，则S +S +S 的值是(
1 2 3 1 2 3
)
A．32 B．80 C．38 D．48
4．(2022秋•西安期中)如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围
成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为 12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所
示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．
核心知识3 勾股定理在实际生活中的应用
1．(2022秋•绿园区校级期末)如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一
棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞行( )
A．6m B．8m C．10m D．18m
2．(2022秋•桥西区校级月考)新冠疫情防控过程中，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测
温仪，离地AB＝2.1米(如图所示)，一个身高1.6米的学生(CD＝1.6米)正对门缓慢走到离门1.2米的地方时(BC＝1.2米)，测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于 ．
3．(2021秋•青冈县期末)在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到
水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是 尺．
4．(2022秋•莱西市期末)在某风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开
始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳．10s后船移动到点D的位置，此时船距离岸边多
少m？(结果保留根号)
5．(2022秋•崂山区校级期末)如图所示，在甲村至乙村的公路AB旁有一块山地正在开发，现需要在C处
进行爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，
且CA⊥CB．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB是否
有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．核心知识4 利用勾股定理作图与计算
1．(2021秋•莱州市期末)如图，O点为数轴原点，A点对应3，OB⊥OA，连接AB，AB＝4．以O为圆心，
OB长为半径画弧交数轴于点C，则点C对应的实数为 ．
2．(2022秋•南京期末)如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，且点A表示的数为﹣1，若
以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的实数为 ．
3．如图，在数轴上以1个单位长度画一个正方形，以原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与
正半轴的交点为B，且点B表示的是一个无理数，因此我们得出一个结论．
(1)点B表示的数为 ；得出的结论是： 与数轴上的点是一一对应的．
(2)若将图中数轴上标的A，C，D各点与所给的三个实数√5，3和﹣π对应起来，则点A表示的实数为
，点C表示的实数为 ，点D表示的实数为 ．
4．(2021秋•安溪县期末)如图，在4×4方格中，每个小正方形的边长都为1．
(1)在图1中，正方形ABCD的面积S正方形ABCD ＝ ．边长AB＝ ；
(2)在图2的4×4方格中，画一个面积为10的格点正方形(四个顶点都在方格的顶点上)，并用圆规在数轴
上表示实数√10．5．如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
(1)拼成的正方形的面积为 ，边长为 ；
(2)如图2，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的一 1点为圆心，直角三角形
的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是 ；
(3)如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，那么新正方形的边长是
．
核心知识5 勾股定理的逆定理及其应用
1．(2022秋•绿园区校级期末)木工师傅想利用木条(单位都为：米)制作一个直角三角形的工具，那么下列
各组数据不符合直角三角形的三边长的是( )
A．1，2，3 B．3，4，5 C．7，24，25 D．9，12，15
2．(2022秋•南京期末)满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是( )
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．AB：BC：AC＝3：4：5
C．AB=√41，BC＝4，AC＝5 D．∠A＝40°，∠B＝50°
3．(2021秋•金山区期末)以下各组数为三角形的三边，其中，能构成直角三角形的是( )
A．3k，4k，5k(k＞0) B．32，42，52
1 1 1
C． ， ， D．√3，√4，√5
3 4 5
4．(2022秋•高新区校级月考)如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．
(1)判断∠D是否是直角，并说明理由．
(2)求四边形ABCD的面积．5．(2022秋•龙口市期中)如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD平分∠CAB，DE⊥AB，垂足
为E，求△BDE的周长．
核心知识6 勾股数
1．(2021秋•张家川县期末)在下列四组数中，属于勾股数的是( )
A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5
C．2，8，10 D．1，√2，√3
2．(2021秋•绥德县期末)若3，4，a是一组勾股数，则a的值为( )
A．√7 B．5 C．√7或5 D．6
3．(2022春•广西月考)下列各组数是勾股数的是( )
A．a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5 B．a＝2，b＝2，c＝2√2
C．a＝4，b＝5，c＝6 D．a＝5，b＝12，c＝13
4．(2022秋•招远市期中)在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它
们记录在如下的表格中．则当a＝20时，b+c的值为( )
a 6 8 10 12 14 …
b 8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
A．100 B．200 C．240 D．3605．(2022•石家庄三模)已知：整式A＝n2+1，B＝2n，C＝n2﹣1，整式C＞0．
(1)当n＝1999时，写出整式A+B的值 (用科学记数法表示结果)；
(2)求整式A2﹣B2；
(3)嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
核心知识7 原命题、逆命题
1．(2021秋•南关区期末)下列说法，正确的是( )
A．每个定理都有逆定理
B．真命题的逆命题都是真命题
C．每个命题都有逆命题
D．假命题的逆命题都是假命题
2．(2021秋•信都区月考)下列定理中，没有逆定理的是( )
A．直角三角形的两锐角互余
B．同位角相等，两直线平行
C．对顶角相等
D．两直线平行，同旁内角互补
3．(2022秋•夏津县校级月考)下列命题的逆命题是真命题的是( )
A．两个全等三角形的对应角相等
B．若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则这个三角形是直角三角形
C．两个全等三角形的面积相等
D．如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数
4．(2022春•清镇市期中)下列命题的逆命题是真命题的是( )
A．如果a＝0，那么ab＝0
B．两个全等三角形的面积相等
C．有两边相等的三角形是等腰三角形
D．如果a＞b，那么a2＞b25．(2021秋•鼓楼区校级期末)下列定理中逆命题是假命题的是( )
A．对顶角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
D．在一个三角形中如果两边相等那么它们所对的角也相等
核心知识8 利用勾股定理解决折叠问题
1．(2021•西城区校级模拟)如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与
BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为( )
A．8 B．6 C．4 D．10
2．(2022•平果市模拟)如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝8，∠C＝60°，BD＝3，点D在边BC上，连接
AD，如果将△ABD沿AD翻折后，点B的对应点为点E，那么点E到直线DC的距离为( )
3√3 √3 5
A． B．4 C． D．
2 2 2
3．(2022秋•胶州市校级月考)如图，矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，将矩形沿AC折叠，点D落在点
D'处，则重叠部分△AFC的面积为( )
A．12 B．20 C．16 D．40核心知识9 勾股定理中的规律性问题
1．(2021春•八步区期末)如图，△OA A 是等腰直角三角形，OA ＝1，以斜边OA 为直角边作等腰直角三
1 2 1 2
角形OA A ，再以OA 为直角边作等腰直角三角形OA A ，…，按此规律作下去，则OA 的长为(
2 3 3 3 4 2021
)
√2 √2
A．(√2) 2021 B．(√2) 2020 C．( ) 2021 D．( ) 2020
2 2
2．(2022春•恩施市期末)如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S ，以CD为斜边作等腰直角三
1
角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S ，…，按照此规律继续
2
下去，则S 的值为 ．
2022
3．(2022秋•任城区期中)如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：
经观察可以发现：图(1)中共有3个正方形，图(2)在图(1)的基础上增加了4个正方形，图(3)在图(2)的基础
上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图(6)应在图(5)的基础上增加的正方形的个数是
．4．(2022秋•温江区校级期中)细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题：
√1
OA
2
2＝(√1)2+1＝2，S
1
= (S
1
是Rt△OA
1
A
2
的面积)；
2
√2
OA
3
2＝(√2)2+1＝3，S
2
= (S
2
是Rt△OA
2
A
3
的面积)；
2
√3
OA
4
2＝(√3)2+1＝4，S
3
= (S
3
是Rt△OA
3
A
4
的面积)；
2
……
(1)请用含有n(n为正整数)的式子填空：OA 2＝ ，S ＝ ；
n n
1 1 1 1
(2)求 + + +...+ 的值．
S +S S +S S +S S +S
1 2 2 3 3 4 9 10
5．细心观察所给图形，认真分析各式，然后回答问题：
√1 √2 √3
1+(√1)2＝2，S = ；1+(√2)2＝3，S = ；1+(√3)2＝4，S = ；…
1 2 3
2 2 2
(1)请用含n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2)推算出OA 的长；
20
(3)求出S2 +S2 +S2 +…+S2 的值．
1 2 3 2018核心知识10 利用勾股定理解决最短路径问题
1．(2021秋•福田区校级期末)如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24m，高为10m．从A处环绕油罐建梯
子，梯子的顶端点B正好在点A的正上方，梯子最短需要 m．
2．(2021秋•河口区期末)如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m
处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁
虎捕捉蚊子的最短距离为 ．
3．(2021春•丰南区期中)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁
如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )
A．5√29 B．5√37 C．10√5+5 D．25
4．(2021春•西城区校级期末)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛
藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上．
(1)若绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．
(2)若绕n周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺．
5.(2021秋•锡山区期中)在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，
宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点 A处，
沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长
是 分米．
核心知识11 勾股定理与勾股定理的逆定理的综合应用
1．(2022秋•宁德期中)如图，D为△ABC边BC上的一点，AB＝20，AC＝13，AD＝12，DC＝5，求BD
的长．2．(2022秋•玄武区校级期中)如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、
E，且CB2＝AE2﹣CE2．
(1)求证：∠C＝90°；
(2)若AC＝4，BC＝3，求CE的长．
3．(2022秋•紫金县期中)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4．
(1)求AC的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
4．(2022秋•绥德县期中)如图，网格由小正方形拼成，每个小正方形的边长都为 1．四边形ABCD的四个
点都在格点上．
(1)求四边形ABCD的面积和周长；
(2)∠BAD是直角吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．核心知识12 利用勾股定理证明线段之间的关系问题
1．(2021秋•新泰市期末)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．则∠ABC＝
90°，请说明理由．
2．如图，在四边形ABFC中，AC2＝AB2+BC2，CD⊥AD，AD2＝2AB2﹣CD2，连接EF．
(1)找出图中的所有直角三角形；
(2)求证：AB＝BC．
3．(2022秋•芗城区校级期中)在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到
点E，使得CE＝DC．
(1)如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
(2)连接 AE，交 BD 的延长线于点 H，连接 CH，依题意补全图 2．若 AB2＝AE2+BD2，求证：AB2＝
AH2+BH2．核心知识13 利用勾股定理解决动点问题
1．(2022秋•姜堰区期中)如图，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝4，BD＝8．点E从B点沿射线BC向右以2
个单位/秒的速度匀速运动，F为BE的中点，连接AE、AF，设点E运动的时间为t．
(1)当t为何值时，AE＝AF；
(2)当t＝5时，判断△ABE的形状，并说明理由．
2．(2021秋•安溪县期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点B出发，
以每秒4cm的速度沿折线B→A→C→B运动，设运动时间为t秒(t＞0)．
(1)若点P在AC上，求出此时线段PC的长(用含t的代数式表示)；
(2)在运动过程中，当t为何值时，△BCP是以PB为底边的等腰三角形．核心知识14 数形结合思想
1．(2022秋•兴庆区校级期末)阅读下列文字，然后回答问题．
已知在平面内有两点P (x ，y )，P (x ，y )，它们之间的距离P P ．
1 1 1 2 2 2 1 2=√(x -x ) 2+(y - y ) 2
1 2 1 2
(1)已知A(2，4)，B(﹣3，﹣8)，试求A，B两点间的距离．
(2)已知△DEF各顶点的坐标为D(1，6)，E(﹣2，2)，F(4，2)，请判断此三角形的形状，并说明理由．
2．(2022秋•景德镇期中)阅读材料，回答下列问题：
在直角坐标系中，已知平面内 A(x ，y )、B(x ，y )两点坐标，则 A、B 两点之间的距离等于
1 1 2 2
．
√(x -x ) 2+(y - y ) 2
2 1 2 1
例如：已知点P(3，1)，Q(1，﹣2)，则这两点间的距离PQ ．
=√(3-1) 2+(1+2) 2=√13
特别地，如果两点M(x ，y )、N(x ，y )所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么
1 1 2 2
这两点间的距离公式可简化为MN＝|x ﹣x |或|y ﹣y |．
1 2 1 2
(1)已知A(1，2)、B(﹣2，﹣3)，试求A、B两点间的距离；
(2)已知A、B在平行于y轴的同一条直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间
的距离；
(3)已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，4)、B(﹣1，2)、C(4，2)，你能判定△ABC的形状吗？请说明理由．3．(2021春•白云区校级月考)如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣1，﹣1)、B(3，2)、C(1，﹣
2)．
(1)判断△ABC的形状，请说明理由．
(2)求△ABC的周长和面积．
(3)在x轴上有一点P，使得PA+PC最小，则PA+PC的最小值为 √13 ．
4．(2021春•同安区校级月考)如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC＝5km，B
厂距离河边BD＝1km，经测量CD＝8km，现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理厂E．
(1)设ED＝x，请用x的代数式表示AE+BE的长；
(2)为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？
(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想 的最小值为多
√x2+9+√(15-x) 2+25
少？核心知识15 分类讨论思想
1．(2022秋•雁塔区校级期中)若直角三角形的三边长为5，12，m，则m2的值为( )
A．13 B．119 C．169 D．119或169
2．(2022秋•宿州月考)在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6√3，CD＝1，则BC的长
为( )
A．5 B．7 C．5或7 D．3√3+1
3．(2022秋•新昌县校级期中)如图，在等腰△ABC中，AB＝CB．AD⊥BC．垂足为D．已知AD＝3，CD
＝1．
(1)求AC与AB的长．
(2)点P是线段AB上的一动点，当AP为何值时，△ADP为等腰三角形．
4．(2022秋•南昌期中)如图，已知OA＝12，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°．
(1)当△AOP是等边三角形时，求OP的长；
(2)当△AOP是直角三角形时，求OP的长．
5．(2022秋•浑南区月考)已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒2cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，
在BC边上的运动速度是每秒3cm，在AC边上的运动速度是每秒5cm，它们同时出发，当其中一个点
到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒，
(1)线段AC＝ ；
(2)当t＝1秒时，求△BPQ的面积；
(3)当点AP＝CP时，CQ＝ ；
(4)若PQ将△ABC周长分为5：7两部分，直接写出t的值．
