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7.3 二次函数与一元二次方程、不等式
思维导图
知识点总结
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2
＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程
有两相异实数根 有两相等实数根
ax2＋bx＋c＝0 没有实数根
x，x(x＜x) x＝x＝－
1 2 1 2 1 2
(a＞0)的根
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＞0 {x|x＜x 或x＞x} R
1 2
(a＞0)的解集
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＜0 {x|x 1 ＜x＜x 2 } ∅ ∅
(a＞0)的解集
由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔
2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】典型例题分析
考向一 一元二次不等式的解法
【例】已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|α0)，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集是( )
A. B.∪
C．(α，β) D．(－∞，α)∪(β，＋∞)
【答案】B
【解析】不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|α0)，则α，β是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实
数根，且a<0，∴α＋β＝－，α·β＝.
不等式cx2＋bx＋a<0可化为x2＋x＋1>0，
∴αβx2－(α＋β)x＋1>0，化为(αx－1)(βx－1)>0，
又0<α<β，∴>>0，
∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集是，故选B.
【变式】(2019·江苏卷)函数y＝的定义域是________．
【答案】[－1,7]
【解析】要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7.故所求函数的定义域为
[－1,7]．
【方法技巧】
1.解一元二次不等式的一般方法和步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.
(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅).
(3)求：求出对应的一元二次方程的根.
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.
2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论
思想的应用.
【变式】(2019·天津卷)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围为________．
【答案】
【解析】3x2＋x－2<0变形为(x＋1)·(3x－2)<0，解得－1a2.
【解析】∵12x2－ax>a2，
∴12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x＝－，x＝.
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资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①当a>0时，－<，解集为{xx<－或x>}；
②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③当a<0时，－>，解集为.
综上所述：当a>0时，不等式的解集为{xx<－或x>}；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a<0时，不等式的解集为.
考向二 一元二次不等式的恒成立问题（在实数 R 上恒成立）
【例】若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________．
【解析】当k＝0时，显然成立；
当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则
解得－30对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是___________．
【解析】依题意，设y＝x2－kx＋1，因为不等式x2－kx＋1>0对任意实数x都成立，所以Δ＝k2－4<0，
解得k∈(－2,2)．
【答案】(－2,2)
考向三
一元二次不等式的恒成立问题（在给定区间上恒成立）
【例】若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
【答案】A
【解析】(方法一)令f (x)＝x2－2x＋a.则由题意，
得
解得a≤－3.故选A．
(方法二)当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立．令f (x)＝－x2＋
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2x(x∈[－1,2])．而f (x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x＝－1时，f (x) ＝－3，所以a≤－3.故选A．
min
【方法技巧】 在给定区间上的恒成立问题
(1)若f(x)＞0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集
的含义求解参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x) ≥a，即m≥a；f(x)≤a
min
恒成立⇒f(x) ≤a，即n≤a.
max
考向四 一元二次不等式的恒成立问题（给定参数范围的恒成立
问题）
【例】(2019·天津高考)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围为________．
【解析】3x2＋x－2<0变形为(x＋1)(3x－2)<0，解得－12时，解集为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】(1)当a＝1时，不等式化为 <1，化为 <0，
∴10时，由 <1得 <0，
(ax－2)(x－1)<0，方程(ax－2)(x－1)＝0的两根x ＝ ，x ＝1.
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①当 ＝1即a＝2时，解集为 ；
②当 >1即02时，解集为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
