文档文本内容
7.3 二次函数与一元二次方程、不等式
思维导图
知识点总结
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2
＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程
有两相异实数根 有两相等实数根
ax2＋bx＋c＝0 没有实数根
x，x(x＜x) x＝x＝－
1 2 1 2 1 2
(a＞0)的根
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＞0 {x|x＜x 或x＞x} R
1 2
(a＞0)的解集
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＜0 {x|x 1 ＜x＜x 2 } ∅ ∅
(a＞0)的解集
由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法
1.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔
2.一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】典型例题分析
考向一 一元二次不等式的解法
【例】已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|α<x<β}(α>0)，则不等式cx2＋bx＋a<0的解集是( )
A. B.∪
C．(α，β) D．(－∞，α)∪(β，＋∞)
【答案】B
【解析】不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|α<x<β}(α>0)，则α，β是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实
数根，且a<0，∴α＋β＝－，α·β＝.
不等式cx2＋bx＋a<0可化为x2＋x＋1>0，
∴αβx2－(α＋β)x＋1>0，化为(αx－1)(βx－1)>0，
又0<α<β，∴>>0，
∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集是，故选B.
【变式】(2019·江苏卷)函数y＝的定义域是________．
【答案】[－1,7]
【解析】要使函数有意义，需7＋6x－x2≥0，即x2－6x－7≤0，解得－1≤x≤7.故所求函数的定义域为
[－1,7]．
【方法技巧】
1.解一元二次不等式的一般方法和步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.
(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅).
(3)求：求出对应的一元二次方程的根.
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.
2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论
思想的应用.
【变式】(2019·天津卷)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围为________．
【答案】
【解析】3x2＋x－2<0变形为(x＋1)·(3x－2)<0，解得－1<x<，故使不等式成立的x的取值范围为.
已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2.
【解析】∵12x2－ax>a2，
∴12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x＝－，x＝.
1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①当a>0时，－<，解集为{xx<－或x>}；
②当a＝0时，x2>0，解集为{x|x∈R且x≠0}；
③当a<0时，－>，解集为.
综上所述：当a>0时，不等式的解集为{xx<－或x>}；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a<0时，不等式的解集为.
考向二 一元二次不等式的恒成立问题（在实数 R 上恒成立）
【例】若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________．
【解析】当k＝0时，显然成立；
当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则
解得－3<k<0.综上，满足不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．
【答案】(－3,0]
【方法技巧】在R上的恒成立问题
解决此类问题常利用一元二次不等式在R上恒成立的条件，注意如果不等式ax2＋bx＋c＞0恒成立，
不要忽略a＝0时的情况．
【变式】若不等式x2－kx＋1>0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是___________．
【解析】依题意，设y＝x2－kx＋1，因为不等式x2－kx＋1>0对任意实数x都成立，所以Δ＝k2－4<0，
解得k∈(－2,2)．
【答案】(－2,2)
考向三
一元二次不等式的恒成立问题（在给定区间上恒成立）
【例】若对任意的x∈[－1,2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
【答案】A
【解析】(方法一)令f (x)＝x2－2x＋a.则由题意，
得
解得a≤－3.故选A．
(方法二)当x∈[－1,2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成立．令f (x)＝－x2＋
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2x(x∈[－1,2])．而f (x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x＝－1时，f (x) ＝－3，所以a≤－3.故选A．
min
【方法技巧】 在给定区间上的恒成立问题
(1)若f(x)＞0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集
的含义求解参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x) ≥a，即m≥a；f(x)≤a
min
恒成立⇒f(x) ≤a，即n≤a.
max
考向四 一元二次不等式的恒成立问题（给定参数范围的恒成立
问题）
【例】(2019·天津高考)设x∈R，使不等式3x2＋x－2<0成立的x的取值范围为________．
【解析】3x2＋x－2<0变形为(x＋1)(3x－2)<0，解得－1<x<，故使不等式成立的x的取值范围为.
【答案】
【变式】设m为实数，若函数f(x)＝x2－mx＋2在区间(－∞，2)上是减函数，对任意的x，x∈，总有|
1 2
f(x)－f(x)|≤4，则m的取值范围为( )
1 2
A．[4,6] B．(4,6)
C．(4,6] D．[4,6)
【答案】A
【解析】函数f(x)＝x2－mx＋2的对称轴为x＝，由其在区间(－∞，2)上是减函数，可得≥2，∴m≥4.
∴∈且＋1－≤－1，
∴当x，x∈时，
1 2
f(x) ＝f(1)＝3－m，f(x) ＝f＝－＋2.
max min
由∀x，x∈，总有|f(x)－f(x)|≤4，
1 2 1 2
∴ ≤4，∴f(x) －f(x) ≤4，
max max min
∴(3－m)－≤4，
即m2－4m－12≤0，解得－2≤m≤6.
综上，4≤m≤6，故选A.
【方法技巧】给定参数范围求x的范围的恒成立问题
1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴
上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最
值或用分离参数法求最值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范
围，谁就是参数.
基础题型训练
一、单选题
1．一元二次不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据公式直接求解一元二次不等式.
【详解】 ，
解得： ，
所以不等式的解集是 .
故选：D
2．不等式 的解集为 ，则函数y的图象为（ ）
A． B．
C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【解析】根据不等式 的解集为 ，可得 ，且 和 是一元二次方程
的两个实根，结合图象可知答案.
【详解】因为不等式 的解集为 ，
所以 ，且 和 是一元二次方程 的两个实根，
所以函数y的图象开后向下，函数y的两个零点为 和 ，
结合图象可知，选项 正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据不等式的解集得到 ，且 和 是一元二次方程 的两个实根是
解题关键.
3．若不等式 对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对 分 或 两种情况讨论，当 时 ，解得即可；
【详解】解：因为不等式 对任意实数x都成立，当 时 满足条件，
当 时，则 ，解得 ；
综上可得 ，即
故选：A
4．已知 ，若 ，满足 ，则（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】C
【分析】由 ，得到函数 图象开口向下，且以 为对称轴，即可求
解.
【详解】由 ，根据二次函数的性质，
可得函数 图象开口向下，且以 为对称轴，
即 ，解得 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练掌握二次函数的图象与性质是解
答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
5．不等式 的解集
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因为方程 两根分别为 ， ，且不等式二次项系数为负，根据大于零的解
集为“两根之间”，可得答案．
【详解】 ，如果展开，其二次项系数为负，对应抛物线开口向下，大于0解集为“两根之间”，
故解集为 ，所以正确选项为D．
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，较简单．
6．若关于 的方程 有两个不同的正根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ，判别式 及根与系数关系列出不等式组，即可求出实数 的取值范围.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】因为关于 的方程 有两个不同的正根，
所以 ，解得 ，故实数 的取值范围是 .
故选：C
二、多选题
7．下列四个不等式中解集为R的是（ ）
A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－2 x＋ ＞0
C．－2x2＋3x－4＜0 D．x2＋6x＋10＞0
【答案】CD
【解析】根据一元二次不等式的解法，逐个分析判断即可得解.
【详解】对于C项，不等式可化为x2－ x＋2＞0，
所以 ，
所以－2x2＋3x－4＜0的解集为R；
对于D项，不等式可化为(x＋3)2＞－1，
所以x2＋6x＋10＞0的解集为R，
对于A ，B均不可得解集为R，
故选：CD.
8．若方程 在区间 上有实数根，则实数 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】BC
【解析】分离参数得 ，求出 在 内的值域即可判断．
【详解】由题意 在 上有解．
∵ ，∴ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：BC．
三、填空题
9．若方程 有唯一的实数根3，则不等式 的解集为______．
【答案】
【分析】由题设条件得到抛物线 的图象特点，即可求得不等式的解集
【详解】由已知得抛物线 的开口向下，与x轴交于点 ，
故不等式 的解集为 ．
故答案为：
10．函数 的最大值为___________．
【答案】 /
【分析】由二次函数的性质即可得出函数 的最大值.
【详解】函数 ，
所以函数 的最大值为 .
故答案为： .
11．若函数 在区间 上是单调减函数，则实数a的取值范围是__________.
【答案】 .
【分析】求得函数 的对称轴方程，进而可得结果.
【详解】显然，函数 的对称轴方程为 ，依题意可得 ，解得 .
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】12．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是______．
【答案】
【详解】 令 ，则 的图像是开口向上的抛物线，
要当 时， 恒成立，只需 ，解得 .
点睛：本题主要考查了二次函数的图象与性质，不等式的恒成立问题的求解，其中把不等式的恒成立
问题转化为一元二次函数的图象与性质是解答的关键，对于不等式的恒成立问题常见解法分离参数法和利
用函数的性质、函数的最值，平时要注意总结和积累.
四、解答题
13．解不等式:
【答案】当 时，解集为 ；当 时，解集为 .
【分析】因为 ， ，所以我们只要讨论二次项系数的正负.
【详解】
当 时，解集为 ；当 时，解集为 .
14．已知不等式 的解集为 或
(1)求 ， 的值；
(2)解不等式 ．
【答案】(1) ；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由不等式的解集知： ， 是 的根，结合根与系数关系求 ， 的值；
（2）由（1）题设不等式可化为 ，讨论 的大小关系求解集即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】（1）∵不等式 的解集为 或 ，
∴ 或 是方程 的根，则 ，解得 .
（2）由（1）知：不等式化为 ，即 ，
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 .
15．已知全集 ，集合 ， .
（1）当 时，求 的取值范围；
（2）当 时，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）解一元二次不等式化简集合 的表示，根据 ，可以得到 之间的关系，利用二
次函数的性质求出求 的取值范围；
（2）根据 ，可以得到 之间的关系，根据一元二次方程的根的判别式的正负性进行分类讨论，
最后求出 的取值范围.
【详解】（1） ，
当 时， ，
记 ，
由 ，即 ，得 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 的取值范围是 .
（2）由 ，得 .
记 .
①当 ，即 时， ，满足题意；
②当 即 或 时，
若 ，则 ，不合题意；
若 ，则 ，满足题意；
③当 时， 的图象与 轴有两个不同交点.
由 ，知方程 的两根位于1，2之间.
从而 ，即 ，故 .
综上， 的取值范围是 .
【点睛】本题考查了已知集合的交集求参数问题，考查了一元二次方程、一元二次不等式以及二次函数之
间的关系，考查了数学运算能力.
16．已知不等式 与不等式 的解集相同．
（1）求 ；
（2）若 ，且 ，求 的最小值．
【答案】（1）1；（2）1．
【分析】（1）解不等式 得出 的解集，从而求得 ， ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）根据题意，利用基本不等式求得 的最小值．
【详解】解：（1）当 时，不等式解集为空集；
当 时， ，
即 ，
所以 是方程 的两根，
所以
解得 所以 ．
（2）由（1）可知 ，
因为 ， ， ，
所以
（当且仅当 时取等号）
所以 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．
提升题型训练
一、单选题
1．已知集合 ， ， ，0，1，2， ，则 （ ）
A． B． ，1，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． ，0， D． ， ，0，1，
【答案】D
【解析】求解一元二次不等式解得集合 ，再求交集即可求得结果.
【详解】 集合 ，
， ，0，1，2， ，
， ，0，1， ．
故选：D．
【点睛】本题考查集合的交运算，涉及一元二次不等式的求解，属综合简单题.
2．已知函数 ， ，若对于任意 ，均有 成立，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 得 恒成立，分离参数，转化为求函数的最小值，然后可得解
的范围．
【详解】设 ， 恒成立，即 恒成立，
时， 恒成立，即 恒成立，
时， ，当且仅当 时等号成立，∴ 的最小值为4．
∴ ，解得 ．
故选：A．
3．设一元二次不等式 的解集为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据 和 是方程 的两个根，由韦达定理解得 和 ，可得结果.
【详解】由题意可知方程 的根为 ，
由韦达定理得： ， ，
解得 ，所以 .
故选：B.
4．已知 、 是不全为零的实数，则关于 的方程 的根的情况为．
A．有两个负根 B．有两个正根
C．有两个异号的实根 D．无实根
【答案】D
【详解】试题分析：二次方程中 ，所以
方程无实数根
考点：二次方程根的判定
5．函数 在区间 上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先讨论a的取值，当 时，为一次函数，满足条件．当 时，为二次函数，利用函数的单
调性和对称轴之间的关系，确定区间和对称轴的位置，从而建立不等式关系，进行求解即可．
【详解】当 时， ，在定义域R上单调递减，满足在区间 上是减
函数，故 成立．
当 时，二次函数 的对称轴为 ，
∴要使 在区间 上是减函数，则必有 且对称轴 ，即 ，解
得 ，
综上， ，即a的取值范围是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C．
6．关于 的不等式 的解集中，恰有3个整数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先将原不等式转化为 ，然后对 进行分类讨论，再结合不等式解集中恰有
3个整数，列出关于 的条件，求解即可.
【详解】关于 的不等式 等价于
当 时，即 时，于 的不等式 的解集为 ，
要使解集中恰有3个整数，则 ；
当 时，即 时，于 的不等式 的解集为 ，不满足题意；
当 时，即 时，于 的不等式 的解集为 ，
要使解集中恰有3个整数，则 ；
综上， .
故选：C．
【点睛】本题主要考了一元二次不等式的解法以及分类讨论思想，属于中档题．
二、多选题
7．若方程 在区间 上有实数根，则实数 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】BC
【解析】分离参数得 ，求出 在 内的值域即可判断．
【详解】由题意 在 上有解．
∵ ，∴ ，
故选：BC．
8．若不等式 的解集是 的子集，则实数 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】分 与 两种情况讨论，结合已知条件得出关于 的不等式（组），求出 的取值范围，即
可得出合适的选项.
【详解】当 时，不等式 即为 ，解得 ，不合乎题意；
当 时，由于不等式 的解集是 的子集，
则 ，解方程 ，即 ，解得 ， .
由题意可得 ，解得 .
因此，AD选项合乎题意，BC选项不合乎题意.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下三点：
（1）要对实数 分 与 两种情况讨论；
（2）根据不等式 的解集为 的子集推出 ；
（3）方程 有根，且根均为集合 的元素.
三、填空题
9．函数 ， 的最大值为______.
【答案】0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】将二次函数 化成顶点式，可知当 ，则 或 时, 函数取得最大值，代入
计算即可得出答案.
【详解】函数 , ,
或 时, 函数 取最大值， .
故答案为: 0 .
10．定义新运算“ ”，满足对任意的 ，有 ．若对 ， 恒成立，
则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】将 化简得 ，转化为不等式恒成立问题求解.
【详解】由 得， ，化简得 对 恒成立，
当 时，成立；
当 时，满足 ，即 ；
故实数m的取值范围是 .
故答案为： .
11．已知 ， ，则 的取值范围为__________.
【答案】
【分析】令 ，则 ，代入方程整理得 ，则问题转化为方程
有解，由 得到不等式，解得即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】解：令 ，则 ，代入方程得 ，
即 ，则方程 在 上有解，
令 ，显然 ，又对称轴 ，
则只需 ，整理得 ，解得 ，即 .
故答案为：
12．若关于x的一元二次方程 的两根分别是 与 ，则式子 的值是______．
【答案】
【解析】求解方程 ， 由两根之和为0，求得 ，从而求出 的值即可求得.
【详解】因为 ，故可得 ，
由两根之和为 ，即可得 ，
解得 ，故方程的两根为2或 ，
故可得 ，
由 ，代值可得
.
故答案： .
【点睛】本题考查由一元二次方程的根求解参数的值，属基础题.
四、解答题
13．已知方程 的两根为 与 ，求下列各式的值：
(1) ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2) ；
(3) .
【答案】(1)7
(2)18
(3)7
【分析】（1）由一元二次方程根与系数的关系可得 ，再利用完全平方公式可得 的值；
（2）利用立方和公式因式分解求解即可；
（3）通分整理求解即可.
【详解】（1）解：已知方程 的两根为 与 ，所以可得
所以 ；
（2）解：由（1）有： ，且
所以
（3）解：
14．已知 ，其中 ， .
（1）若 ，且 为真，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1） 时，解一元二次不等式可得命题 ，由 为真，即 、 均为真，列出不等式组求
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解，即可得答案；
（2）设 ， ，由题意， ，根据集合的包含关系列出不等式组求解，即可得答
案.
【详解】解：（1） 时， ，解得 ， .
∵ 为真，∴ 、 均为真，
∴ ，解得 ，
∴实数 的取值范围是 ；
（2） ，其中 ，解得 ， .
设 ， ，
∵ 是 的必要不充分条件，∴ ，
∴ ，解得 ，
∴实数 的取值范围是 .
15．若不等式 的解集是 .
（1）求不等式 的解集；
（2）已知二次不等式 的解集为 ，求关于 的不等式 的解集.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由题意知，关于 的二次方程 的两根为 和 ，且 ，利用韦达定理可求
出实数 的值，将 的值代入不等式 ，解出该不等式即可；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）将 的值代入不等式 ，由题意可知，关于 的二次方程 的两根为 和 ，
利用韦达定理可求出 、 ，再代入不等式 可解出该不等式.
【详解】（1）由题意知，关于 的二次方程 的两根为 和 ，且 ，
由韦达定理得 ，解得 ，
不等式 即为 ，即 ，解得 .
因此，不等式 的解集为 ；
（2） ，由题意可知，关于 的二次方程 的两根为 和 ，
由韦达定理得 ，解得 ，
所以，不等式 即为 ，即 ，
解得 ，因此，关于 的不等式 的解集为 .
【点睛】本题考查二次不等式的解集与二次不等式的关系，以及一元二次不等式的解法，解题时充分利用
韦达定理进行求解，求出参数的值，同时也要熟悉二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于中等题.
16．已知关于x的不等式： ＜1．
（1）当a=1时，解该不等式；
（2）当a＞0时，解该不等式．
【答案】（1）{x|1<x<2}（2）a＝2时，解集为 ；0<a<2时，解集为 ，a>2时，解集为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】(1)当a＝1时，不等式化为 <1，化为 <0，
∴1<x<2，解集为{x|1<x<2}．
(2)a>0时，由 <1得 <0，
(ax－2)(x－1)<0，方程(ax－2)(x－1)＝0的两根x ＝ ，x ＝1.
1 2
①当 ＝1即a＝2时，解集为 ；
②当 >1即0<a<2时，解集为 ；
③当 <1即a>2时，解集为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
