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专题 04 一元二次不等式与其他不等式
【考纲要求】
1．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
2．理解全称量词与存在量词的意义．
3．能正确地对含有一个量词的命题进行否
【思维导图】
【考点总结】
一、一元二次不等式的概念
一元二次不等式
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
表达式 ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
ax2＋bx＋c＞0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合
ax2＋bx＋c＜0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合
解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集
解集 ax2＋bx＋c≥0(a≠0)
合
解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)
合
二、一元二次不等式的解法
利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式．解一元二次不等式的一般步骤：
(1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
(4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．
三、一元二次不等式的恒成立问题
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是a>0且Δ<0.
2．一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是a<0且Δ<0.
3．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x) ；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x) .
max min
四、“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
的图像
ax2＋bx＋c＝0(a＞0) 有两个不相等的实根 有两个相等的实数根
没有实数根
的根 x，x，且x＜x x，x
1 2 1 2 1 2ax2＋bx＋c＞0(a＞0)
{x|x＜x 或x＞x} R
1 2
的解集
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)
{x|x＜x＜x} ∅ ∅
1 2
的解集
五、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
六、绝对值不等式
（1）
（2） ；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【题型汇编】
题型一：一元二次不等式的解法
题型二：一元二次不等式的恒成立问题
题型三：分式不等式的解法
【题型讲解】
题型一：一元二次不等式的解法
一、单选题
1．（2022·江西九江·三模（理））已知集合 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
2．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）设集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·海南海口·二模）已知x， 且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022·天津·耀华中学二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山东烟台·三模）若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广东广州·三模）已知命题 ，命题 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022·天津·二模）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2022·广西·南宁三中二模（文））设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2022·天津南开·一模）设 ，则“ ”是 “ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2022·江西南昌·二模（文））已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·湖北十堰·三模）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．（2022·山西临汾·三模（理））已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
13．（2022·天津·一模）已知集合 ， ，那么 （ ）
A． B． C． D．
14．（2022·四川遂宁·三模（文））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·安徽·合肥市第七中学二模（理））集合 ，集合 ，则
（ ）
A．（-2，2） B．（-1，2） C．（-2，3） D．（-1，3）
二、多选题
1．（2022·山东济南·一模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年
卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系 中， ， ，动
点P满足 ，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C与y轴的交点为 ， B．曲线C关于x轴对称C． 面积的最大值为2 D． 的取值范围是
2．（2022·湖南·一模）下列选项中，与“ ”互为充要条件的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：一元二次不等式的恒成立问题
一、单选题
1．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（文））已知函数 ，若 ，
恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川攀枝花·二模（文））已知函数 ，若关于 的不等式
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室一模（理））若“ ，使得 ”是假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·天津河东·一模）已知函数 设 ，若关于x的不等式 在R
上恒成立，则a的取值范围是A． B． C． D．
5．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知椭圆 的上顶点为A，离心率为e，若在
C上存在点P，使得 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河北·模拟预测）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022·天津·耀华中学模拟预测）对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））若命题“ ”为假命题，则实
数x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））“ ”是“ 使 成立”为假命题的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2022·北京石景山·一模）“ ”是“ 在 上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）命题“ ”为真命题的一个充分不必要条件是
（ ）A． B． C． D．
2．（2022·全国·模拟预测）已知二次函数 ，若对任意 ，则
（ ）
A．当 时， 恒成立
B．当 时， 恒成立
C． 使得 成立
D．对任意 ， ，均有 恒成立
三、填空题
1．（2022·山东聊城·三模）命题“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围为
______.
2．（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数 的定义域为R，则 的最大值是
___________.
3．（2022·江苏江苏·二模）已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时，
，若 对一切 恒成立，则实数 的最大值为___________.
四、解答题
1．（2022·上海奉贤·二模）对于函数 ，如果对于定义域 中任意给定的实数 ，存在非负实数 ，
使得 恒成立，称函数 具有性质 ．
(1)判别函数 ， 和 ， 是否具有性质 ，请说明理由；
(2)函数 ， ，若函数 具有性质 ，求 满足的条件；
(3)若函数 的定义域为一切实数， 的值域为 ，存在常数 且 具有性质 ，判别是否具有性质 ，请说明理由．
2．（2022·江西上饶·二模（理））已知 ．
(1)解关于x的不等式 ；
(2)若对任意实数x，及任意正实数a，b，且 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围．
题型三：分式不等式的解法
一、单选题
1．（2022·安徽黄山·一模（理））设集合 ， ，则 （ ）
A． 或 B．
C． 或 D．
2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校二模（文））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山西·太原五中二模（文））下列命题中正确的是（ ）
A．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B．已知 与 为非零向量，则“ ”是“ 与 的夹角为锐角”的充要条件
C．“ ”是“不等式 成立”的必要不充分条件
D．已知 ， ，则M是N的充分不必要条件
4．（2022·河南河南·一模（理））若 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数a的取
值范围为（ ）A． B． C． D．
5．（2022·辽宁·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·河南·三模（理））若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022·新疆喀什·一模（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·天津·一模）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2022·江西南昌·三模（理））已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））已知集合 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
二、多选题
1．（2022·湖南·一模）下列选项中，与“ ”互为充要条件的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江西·模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A． B．集合 的真子集个数是4
C．不等式 的解集是 D． 的解集是 或
3．（2021·重庆·模拟预测）已知全集 ，集合 ，则关于 的表达方式正确的有
（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
1．（2022·广东·华南师大附中三模）当 时， 成立，则实数a的取值范围是____________．
2．（2022·天津·一模）已知实数 ， ，且满足 ，则 的最小值为
___________.
3．（2022·四川德阳·三模（文））对于问题:“已知关于 的不等式 的解集为 ,解关于
的不等式 ”,给出如下一种解法:
解析:由 的解集 ,得的解集为 ,即
关于 的不等式 的解集为 .
参考上述解法,若关于 的不等式 的解集为
关于 的不等式 的解集为____.
4．（2022·上海杨浦·二模）已知 ， ，则 ________.
5．（2022·上海徐汇·二模）不等式 的解集为______.
四、解答题
6．（2022·陕西·西北工业大学附属中学二模（理））已知 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若 ，且 ，求证： .
