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专题 05 二次函数与一元二次方程、不等式（九大题型+模拟精练）
目录：
01 解不含参的一元二次不等式（含分式、根式、高次）
02 解含参的一元二次不等式
03 一元二次方程根的分布
04 二次函数定区间定轴型
05 二次函数动区间定轴型
06 二次函数定区间动轴型
07 二次函数与不等式求参综合
08 一元二次不等式恒成立、有解问题
09 一元二次不等式的实际应用
01 解不含参的一元二次不等式（含分式、根式、高次）
1．（2024高三·全国·专题练习）解下列一元二次不等式：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
2．（2024高三·全国·专题练习）解不等式：
(1) ；
(2) ．
3．（2021高一·上海·专题练习）关于x 的不等式 的解集是 .4．（2022秋-陕西宝鸡-高二统考期中）不等式 解集为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或 或
02 解含参的一元二次不等式
5．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）若关于 的不等式 的解集中恰有 个整数，
则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高三上·山东潍坊·期末）已知甲： ，乙：关于 的不等式 ，若甲是乙的
必要不充分条件，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三上·云南德宏·期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的
不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（21-22高三上·重庆黔江·阶段练习）已知 的解集为 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． 或 D．9．（23-24高三上·福建·期中）已知关于 的不等式 的解集为 ，若 ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
03 一元二次方程根的分布
10．（2024高三·全国·专题练习）关于 的方程 有两个不相等的实数根 ，且
，那么 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实
数解，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．（21-22高三上·山东菏泽·期中）已知不等式组 的解集是关于 的不等式
的解集的子集，则实数a的取值范围为（ ）
A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2
04 二次函数定区间定轴型
13．（22-23高一上·全国·课后作业）已知一元二次函数y＝x2－2x+2，x∈(0，3)，则下列有关该函数的最值
说法正确的为（ ）
A．最小值为2，最大值为5 B．最小值为1，最大值为5
C．最小值为1，无最大值 D．无最值14．（22-23高一上·全国·课后作业）函数 的最大值为（ ）
A． B．0 C． D．1
05 二次函数动区间定轴型
15．（22-23高一·全国·课后作业）已知函数 的表达式 ，若 ，求函数
的最值．
16．（23-24高一·江苏·假期作业）如果函数 定义在区间 上，求 的值域．
06 二次函数定区间动轴型
17．（22-23高一上·云南昆明·期末）已知二次函数 的图像过点 和原点，对
于任意 ，都有 ．
(1)求函数 的表达式；
(2)设 ，求函数 在区间 上的最小值．
18．（22-23高一上·全国·单元测试）设函数 .
(1)当 时，求函数 在区间 中的最大值和最小值；
(2)若 时， 恒成立，求 的取值范围.
07 二次函数与不等式求参综合
19．（20-21高三上·陕西渭南·阶段练习）若二次函数 在 上为减函数，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023高三·全国·专题练习）设二次函数 在 上有最大值，最大值为 ，当
取最小值时， （ ）A．0 B．1 C． D．
08 一元二次不等式恒成立、有解问题
21．（23-24高三上·山东滨州·期末）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
22．（21-22高一上·江苏徐州·阶段练习）若对于任意 ，都有 成立，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
23．（2023高三·全国·专题练习）若关于x的不等式 在区间 上有解，则实数m的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
24．（2022·甘肃张掖·模拟预测）若关于 的不等式 在区间 内有解，则实数 的取值
范围是（ ）．
A． B． C． D．
09 一元二次不等式的实际应用
25．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，
参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店
售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售
价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章
的销售单价x（单位：元）的取值范围是（ ）A． B． C． D．
26．（2023高三·全国·专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 的内接矩
形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长 （单位：m）的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（2024·宁夏银川·一模）设全集 ，则集合
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·北京房山·一模）“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023·福建厦门·二模）不等式 （ ）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江·模拟预测）若不等式 的解为全体实数，则实数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
5．（2023·陕西·模拟预测）命题“ ”是假命题，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川宜宾·模拟预测）若 实数a使得“ ， ”为真命题， 实数a使得“
， ”为真命题，则q是p的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2023·河南·模拟预测）某同学解关于 的不等式 时，因弄错了常数 的符号，解
得其解集为 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·宁夏中卫·二模）已知点 在直线 上，若关于 的不等式
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）A．不等式 的解集是
B．不等式 的解集是
C．若不等式 恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式 的解集是 ，则 的值为
10．（2022·辽宁丹东·一模）如果关于 的不等式 的解集为 ，那么下列数值中，
可取到的数为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
11．（2022·全国·模拟预测）已知二次函数 ，若对任意 ，则（ ）
A．当 时， 恒成立
B．当 时， 恒成立
C． 使得 成立
D．对任意 ， ，均有 恒成立
三、填空题
12．（2023·浙江·模拟预测）不等式 的充分不必要条件可以为 .
13．（2023·上海黄浦·三模）关于x的不等式 的解集是 ，则实数a的取值范围为
．
14．（2020·江苏南通·模拟预测）已知函数 ，记
，若集合 ，且 恒成立，则 的取值范围是
四、解答题
15．（2024·云南昆明·模拟预测）我们把 （其中 ， ）称为一元n
次多项式方程．代数基本定理：任何复系数一元 次多项式方程（即 ， ， ，…， 为实
数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元 次多项式方程在复数集内有且仅
有n个复数根（重根按重数计算）．那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元 次多项式在
复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积．即
，其中k， ， ，
， ，……， 为方程 的根．进一步可以推出：在实系数范围内（即 ，
， ，…， 为实数），方程 的有实数根，则多项式
必可分解因式．例如：观察可知， 是方程 的一个根，则 一定
是多项式 的一个因式，即 ，由待定系数法可知， ．
(1)解方程： ；
(2)设 ，其中 ， ， ， ，且 ．
（i）分解因式： ；
（ii）记点 是 的图象与直线 在第一象限内离原点最近的交点．求证：当
时， ．
