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专题 08 预备知识八：二次函数与一元二次方程、不等式
1、经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义
2、借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性
3、能够借助二次函数，求解一元二次不等式，并利用一元二次不等式解决一些实际应用问题，提升数
学运算素养
知识点一：一元二次不等式的有关概念
1、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形
式：
① （其中 均为常数）
② （其中 均为常数）
③ （其中 均为常数）
④ （其中 均为常数）
2、一元二次不等式的解与解集
使某一个一元二次不等式成立的 的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次
不等式的解集.
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形.
知识点二：四个二次的关系
2.1一元二次函数的零点
一 般 地 ， 对 于 二 次 函 数 ， 我 们 把 使 的 实 数 叫 做 二 次 函 数
的零点．
2.2次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程 的两根为 且 ，设Δ=b2 −4ac，它的解按照
Δ>0，Δ=0，Δ<0可分三种情况，相应地，二次函数 的图象与 轴的位置关
系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 或
的解集.
判别式Δ=b2 −4ac
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司二次函数 (
的图象
有两个相等的实数根
一元二次方程 有两个不相等的实数
没有实数根
( )的根 根 ， ( )
( )的解集
( )的解集
知识点三：一元二次不等式的解法
1：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
2：写出相应的方程 ，计算判别式Δ：
① 时，求出两根 ，且 （注意灵活运用十字相乘法）；
b
② 时，求根x =x =− ；
1 2 2a
③ 时，方程无解
3：根据不等式，写出解集.
知识点四：解分式不等式
4.11、分式不等式
4.1.1定义：
与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如 或 （其中
, 为整式且 的不等式称为分式不等式。
4.1.2分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对点特训一：一元二次不等式（不含参）的求解
典型例题
例题1．（2024高一·全国·专题练习）不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． 或 D．
例题2．（23-24高一上·北京·期中）求下列关于 的不等式的解集.
(1)
(2)
精练
1．（2024高三·全国·专题练习）不等式－x2－2x＋3≥0的解集为 （ ）
A．{x|x≥－3} B．{x|x≥1}
C．{x|x≤2} D．{x|－3≤x≤1}
．（23-24高一上·北京·期中）解关于 的不等式.
(1) ;
(2)
对点特训二：一元二次不等式（含参）的求解
角度1：二次项系数不含参数
典型例题
例题1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）解关于 的不等式： .
例题2．（2024高三·全国·专题练习）（1）解关于实数 的不等式： ．
（2）解关于实数 的不等式： ．
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1．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于 的不等式 的解集中，恰有3个整数，
则实数 的取值集合是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
2．（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知函数 ．
(1)若关于x的不等式 的解集为R，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式 ．
角度2：二次项系数含参
典型例题
例题1．（多选）（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知 ，关于x的一元二次不等式
的解集可能是（ ）
A． 或 B．
C． D．
例题2．（23-24高一上·北京·期中）（1）若命题“ R， ”是真命题，求实数a的取值范
围；
（2）求关于 的不等式 的解集．
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1．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）解关于 的不等式 ．（只需结果，不需过程）
可因式分解为 ．
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ．
2．（2024高三·全国·专题练习）设函数
(1)若不等式 对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于 的不等式： ．
对点特训三：一元二次不等式与对应函数、方程的关系
典型例题
例题1．（多选）（2023高一上·江苏·专题练习）已知关于 的不等式 的解集为 或
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式 的解集为
C．不等式 的解集为
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司D．
例题2．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知关于x的不等式 的解集为 ，则
不等式 的解集为 ．
精练
1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式 的解为 ，那么
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式 的解集为 或 ，不等
式 的解集为 ．
对点特训四：分式不等式的解法
典型例题
例题1．（23-24高一下·河南许昌·开学考试）不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知集合 . 则
.
精练
1．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知集合 则 （ ）
A． B．
C． 或 D． 或
2．（23-24高三下·北京·开学考试）不等式 的解集是 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对点特训五：不等式恒成立问题
角度1： 判别法
典型例题
例题1．（23-24高二下·浙江·期中）关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D． 或
例题2．（2024高三·全国·专题练习）若不等式 对一切 恒成立，则实数a
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
精练
1．（2024·浙江·模拟预测）若不等式 的解为全体实数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选）（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）若对于 ，都有 ，则 的值可以
是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
角度2：分离变量法
典型例题
例题1．（23-24高一上·广东东莞·期中）已知函数 ，若函数 在 上是单调函
数，则实数a的取值范围为 ；当 ， 时，不等式 恒成立，则实数
的取值范围为 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题2．（23-24高一上·湖南张家界·期中）（1）若关于 的不等式 在 上有解，求
实数 的取值范围；
（2）若 不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
精练
1．（2024·辽宁·三模）若“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围为 .
2．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数 .
(1)若 时，不等式 恒成立，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式 （其中 ）.
对点特训六：一元二次不等式的实际问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023
年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方
目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万
元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人
员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资
调整为 万元.
(1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的
人数最少为多少人?
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个
条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问
是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由.
例题2．（23-24高一上·上海·期中）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并
发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有
50万的总收入，已知生产此盲盒 年（ 为正整数）所用的各种费用总计为 万元．
(1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？
(2)该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？
精练
1．（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等
自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．
某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在
200元的基础上提高 元（ ， ），则被租出的客房会减少 套．若要使该连锁酒店每天
租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（ ）
A．250元 B．260元 C．270元 D．280元
2．（23-24高一上·广东江门·期中）为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计
划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有
技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名（ 且 ），调整后研发人员
的年人均投入增加 ，技术人员的年人均投入调整为 万元．
(1)要使这 名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的
人数最多多少人？
(2)是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：①技术人员的年
均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．（23-24高一下·云南·期中）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024高三·全国·专题练习）若命题“ ”为真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陕西·二模）若 ，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
4．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题：“ 使得不等式 成立”是真命题，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）关于 的不等式： 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件 ：“不等式 的解集是空集”，
则条件 ： “ ”是条件 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（23-24高一上·云南昆明·期中）若不等式 的解集为R，则实数 的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司8．（22-23高一上·河北石家庄·期中）已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，
其中 ， ， 为常数，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）与不等式 不同解的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
10．（23-24高一下·广东潮州·开学考试）对于给定的实数 ，关于实数 的一元二次不等式
的解集可能为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．（2024·云南·模拟预测）已知集合 ，若 且 ，则实数
的取值范围是 .
12．（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数 ，若不等式 的解集是
，则实数 的值为 ．
四、解答题
13．（23-24高三下·北京·阶段练习）已知关于 的不等式 的解集是 ．
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的值．
14．（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）（1）若对于一切实数 ，不等式 恒成立，求
的取值范围；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2）当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
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