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第2课时 一元二次不等式的解法
复习要点 1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的
联系.2.会解一元二次不等式和分式不等式.3.了解较简单的不等式恒成立问题的解法．
一 一元二次不等式的解法
1．将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)
或ax2＋bx＋c<0(a>0)．
2．计算相应的判别式．
3．当 Δ ≥0 时，求出相应的一元二次方程的根．
4．利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
二 三个二次之间的关系
三个二次间的关系，最终转化为二次函数来理解二次方程的根，二次不等式的解集．
判别式
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
Δ＝b2－4ac
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0 有两相异实根x 1 ， 有两相等实根x 1 ＝x 2 没有实数根
x(x0)的根
ax2＋bx＋c>0
{ x | x > x 或 x < x } { x | x ≠ x } R
2 1 1
(a>0)的解集
ax2＋bx＋c<0
{ x | x < x < x } ∅ ∅
1 2
(a>0)的解集
三 分式不等式与整式不等式
>0(<0) f ( x ) g ( x )>0(<0) ；
≥0(≤0) f ( x ) g ( x )≥0(≤0) 且 g ( x )≠0 .
⇔
四 简单的绝对值不等式
⇔
|x|>a(a>0)的解集为 { x ＜－ a 或 x ＞ a } ；
|x|0)的解集为 { x | － a ＜ x ＜ a } ．
常/用/结/论
1． ax 2 ＋ bx ＋ c >0( a ≠0) 恒成立的充要条件 a >0 且 b 2 － 4 ac <0( x ∈ R ) ．
2． ax 2 ＋ bx ＋ c <0( a ≠0) 恒成立的充要条件 a <0 且 b 2 － 4 ac <0( x ∈ R ) ．
判别式的符号，可判断二次函数的图象与 x轴的交点个数，从数形结合的角度理解恒
成立问题．1．判断下列结论是否正确．
(1)不等式－x2－x＋6＞0的解集是{x|x＜－3或x＞2}．()
(2)不等式≥2等价于x－1≥2x＋6.()
(3)不等式x2－a≤0的解集是[－，]．()
(4)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，关于x的不等式f(x)＜0的解集为(－1,3)，则f(4)＞f(0)＞
f(1)．(√)
2．若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为{x|－2＜x＜1}，则a＋b＝( )
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析：由题意知解得所以a＋b＝2.
答案：D
3．若关于x的一元二次不等式2x2－kx＋＞0对于一切实数x都成立，则实数k的取值
范围为( )
A．{k|k＜－}
B．{k|k＞}
C．{k|－＜k＜}
D．{k|k＜－或k＞}
解析：由题意，知Δ＝(－k)2－4×2×＜0，解得－＜k＜.故选C．
答案：C
4．不等式≤0的解集为( )
A． B．
C．∪[1，＋∞) D．∪[1，＋∞)
解析：原不等式等价于
解得即－0 f(x)g(x)>0.
(2)<0 f(x)g(x)<0.
⇔
(3)≥0
⇔
⇔(4)≤0
2．“穿针引线法”解一元高次不等式
⇔
如果分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般使用穿针引线法(亦
称数轴标根法)求解．画出符号波浪线，特点是：
(1)最右端的区间符号为正．
(2)从右至左符号正负交替，并关注因子的指数奇偶的变化，从右上方穿线，经过数轴
上表示各根的点，注意应遵循“奇穿偶切”原则．如(x－1)2(x－2)(x－3)≥0在数轴上标根穿
线时，点1处的线过而不穿．
对点练2解不等式≥1.
解：原不等式可化为－1≥0，
整理得≥0.
即
在数轴上标出根的位置，可得不等式的解集为{x|x≤1或2＜x≤3或x＞4}．
维度3 含参一元二次不等式的解法
典例3解关于x的不等式 ax 2 － ( a ＋ 1) x ＋ 1 ＜ 0( a ∈ R ) ．
含参一元二次不等式的解法，关键在于如何讨论参数．(ⅰ)参数出现于二次项系数，则
讨论a和0的大小；(ⅱ)参数出现在根里面，则比较两根和1的大小，讨论a和1的大小. 从
而要讨论a和0,1的大小，一方面要看开口方向，另一方面兼顾两根大小比较．
解：原不等式可化为(ax－1)(x－1)＜0，
当a＞0时，有(x－1)＜0，
所以当a＞1时，解得＜x＜1；
当a＝1时，解集为∅；
当0＜a＜1时，解得1＜x＜；
当a＝0时，原不等式等价于－x＋1＜0，即x＞1;
当a＜0时，＜1，原不等式可化为(x－1)＞0，解得x＞1或x＜.
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a＞1时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}；
当a＜0时，不等式的解集为.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法
(1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于 0，小于0，还是大于0，然
后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而
确定解集形式.
对点练3解关于x的不等式x2－ax＋1≤0.
解：由题意知，Δ＝a2－4.
①当a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝，∴原不等式的
解集为.
②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2.
当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，即(x－1)2≤0，∴x＝1；
当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，即(x＋1)2≤0，∴x＝－1.
③当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时，原不等式的解集为∅.
综上，当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为；
当a＝2时，原不等式的解集为{1}；
当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－2＜a＜2时，原不等式的解集为∅.
题型 三个二次的关系
典例4若不等式 ax 2 ＋ bx ＋ c ＞ 0 的解集为 { x | － 1 ＜ x ＜ 2} ，则不等式a(x2＋1)＋
逆向思维，－1,2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．
b(x－1)＋c＞2ax的解集是( )
A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0或x＞3}
C．{x|1＜x＜3} D．{x|－1＜x＜3}
解析：由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)＞0. ①
又不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，所以a＜0，即
即 ②
将①两边同除以a，得x2＋x＋＜0 ③.将②代入③，得x2－3x＜0，解得0＜x＜3.故选
A．
1．三个二次的关系体现了数形结合以及函数与方程的思想方法，应用极广，是高考的
热点之一．
2．不等式解集的端点值是相应等价方程的根．
对点练4(多选)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1,2)，则( )
A．相应的一元二次函数的图象开口向下
B．b＜0且c＞0
C．a＋b＋c＞0D．不等式ax2－cx＋b＜0的解集为R
解析：由题意知a＜0，所以A正确；由题意可得－1,2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，
所以
所以得b＜0，c＞0，所以B正确；因为－1是方程ax2－bx＋c＝0的根，所以把x＝－
1代入方程，得a＋b＋c＝0，所以C不正确；把b＝a，c＝－2a代入不等式ax2－cx＋b＜
0，可得ax2＋2ax＋a＜0，因为a＜0，所以x2＋2x＋1＞0，即(x＋1)2＞0，此时不等式的解
集为{x|x≠－1}，所以D不正确．
答案：AB
题型 不等式恒成立求参数问题
典例5(2024·东北三校联考)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)若 当 x ∈ R 时， f ( x )≥ a 恒成立 ，求实数a的取值范围；
在R内恒成立求参，须转化为对判别式Δ的讨论．
(2)若 当 x ∈ [ － 2,2] 时， f ( x )≥ a 恒成立 ，求实数a的取值范围；
在区间内恒成立求参，转化为含参二次函数最值的讨论．
(3)若当 a ∈ [4,6] 时， f ( x )≥0 恒成立，求实数x的取值范围．
题目中，给出哪个字母的范围，我们就应把该字母看作自变量. 本小问中，应把a作
为自变量，从而函数转化为关于a的一次函数，x则作为参数处理．
解：(1)(在实数集R上恒成立)因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
所以Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，
所以实数a的取值范围是[－6,2]．
(2)(在给定区间上恒成立)由题意，原不等式可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒
成立，则 ( x 2 ＋ ax ＋ 3 － a ) ≥0( x ∈ [ － 2,2]) ．
min
下面是对二次函数最小值的讨论，分三种情况，即对称轴和区间的三种不同位置关系，
进行讨论．
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，
函数图象的对称轴方程为x＝－.
当－＜－2，即a＞4时，g(x) ＝g(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，舍去；
min
当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(x) ＝g＝－－a＋3≥0，解得－6≤a≤2，所以－4≤a≤2；
min
当－＞2，即a＜－4时，g(x) ＝g(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，所以－7≤a＜－4.
min
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2]．
(3)(给定参数范围的恒成立)令 h ( a ) ＝ xa ＋ x 2 ＋ 3 ，
此方法常称为“转换主元法”，只需两端点的值都大于或等于0.
当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
所以实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．恒成立问题的解法
(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就
是自变量，求谁的范围，谁就是参数．
(2)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某
个给定区间上恒成立．
对点练5(1)若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是(
)
A．{a|a＜－2或a≥2}
B．{a|－2＜a＜2}
C．{a|－2＜a≤2}
D．{a|a＜2}
(2)(2024·山东济宁月考)已知函数f(x)＝x2－4x－4.若f(x)＜1在区间(m－1，－2m)上恒成
立，则实数m的取值范围是________．
解析：(1)由题意，得不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0的解集为R，即不等式(a－2)x2
＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立．当a－2＝0，即a＝2时，－4＜0，符合题意；当a
－2＜0，即a＜2时，由Δ＝[2(a－2)]2＋4×4×(a－2)＜0，解得－2＜a＜2.故实数a的取值范
围是{a|－2＜a≤2}．故选C．
(2)∵f(x)＝x2－4x－4且f(x)＜1，即x2－4x－4＜1，解得－1＜x＜5，即x∈(－1,5)．
∵f(x)＜1在区间(m－1，－2m)上恒成立，∴(m－1，－2m) (－1,5)．
∴解得0≤m＜，即m∈.
⊆
答案：(1)C (2)
