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第 5 节 二次函数与一元二次方程、不等式
考试要求 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实
根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.2.会从实际情境中抽象出一元二次不
等式，了解一元二次不等式的现实意义.3.能借助一元二次函数求解一元二次不等
式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
Δ＝b2－4ac
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程
有两相异实根x ， 有两相等实根
1
ax2＋bx＋c＝0 没有实数根
x (x ＜x ) x ＝x ＝－
2 1 2 1 2
(a＞0)的根
ax2＋bx＋c＞0
R
(a＞0)的解集
ax2＋bx＋c＜0
{ x | x ＜ x ＜ x } ∅ ∅
1 2
(a＞0)的解集
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
解集
不等式
ab
(x－a)·(x－b)>0 {x|xb} { x | x ≠ a } { x | x < b 或 x > a }
(x－a)·(x－b)<0 {x|a0(<0) f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
⇔
⇔
1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为
(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形.
3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x ，x )，则必有a＞0.( )
1 2
(3)不等式x2≤a的解集为[－，].( )
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集
为R.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
解析 (1)错误.≥0等价于
(x－a)(x－b)≥0且x≠b.
(3)错误.当a＝0时，其解集为{0}，当a<0时，其解集为∅.
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为∅.
2.(2021·湖南师大附中月考)已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，
则A∩B＝( )
A.(3，＋∞) B.(－1，＋∞)
C.(－1，1) D.(1，3)
答案 D
解析 易知A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝{x|1＜x＜3}，故选D.
3.(2022·福州质检)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a－b的值是( )
A.－10 B.－14 C.10 D.14
答案 A
解析 由题意知，－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，所以解得故a－b＝－10.4.(多选)(2022·青岛质检)关于x的不等式(ax－1)(x＋2a－1)＞0的解集中恰有3个
整数，则a的值可以为( )
A.－ B.1 C.－1 D.2
答案 AC
解析 由题意知a＜0，则排除B，D；
对于A，当a＝－时，(x－2)＞0，即(x＋2)(x－2)＜0，解得－2＜x＜2，恰有3个整数，
符合题意；
对于C，当a＝－1时，(－x－1)(x－3)＞0，
即(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，恰有3个整数，符合题意，故选AC.
5.(2021·上海卷)不等式＜1的解集为________.
答案 (－7，2)
解析 ＜1，即－1＜0，即＜0，解得－7＜x＜2，因此不等式的解集为(－7，2).
6.(易错题)不等式mx2＋mx＋1＞0对一切x∈R恒成立，则实数 m的取值范围是
________.
答案 [0，4)
解析 当m＝0时，1＞0，不等式恒成立，
当m≠0时，
得0＜m＜4.
综上，0≤m＜4.
考点一 一元二次不等式的求解
角度1 不含参数的不等式
例1 (1)不等式－2x2＋x＋3＜0的解集为( )
A.
B.
C.(－∞，－1)∪
D.∪(1，＋∞)
答案 C
解析 －2x2＋x＋3＜0可化为2x2－x－3＞0，即(x＋1)(2x－3)＞0，
∴x＜－1或x＞.
(2)不等式≥0的解集为( )
A.[－2，1]B.(－2，1]
C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)
答案 B
解析 原不等式化为
即解得－2＜x≤1.
(3)不等式0＜x2－x－2≤4的解集为________.
答案 [－2，－1)∪(2，3]
解析 由题意得
故
即－2≤x＜－1或2＜x≤3.
故不等式的解集为[－2，－1)∪(2，3].
角度2 含参数的不等式
例2 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R).
解 原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，
当a＞0时，所以(x－1)＜0，
所以当a＞1时，解得＜x＜1；
当a＝1时，解集为∅；
当0＜a＜1时，解得1＜x＜.
当a＝0时，原不等式等价于－x＋1＜0，
即x＞1.
当a＜0时，＜1，原不等式可化为
(x－1)＞0，
解得x＞1或x＜.
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为
，
当a＝1时，不等式的解集为∅，
当a＞1时，不等式的解集为，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}，
当a＜0时，不等式的解集为
.
感悟提升 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数
进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，
则可对判别式进行分类讨论.
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系
数不为零的情形及判别式Δ的正负，以便确定解集的形式.
(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.
训练1 解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R).
解 将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为
(x－a)(x－a2)＞0.
当a＜0时，a＜a2，∴原不等式的解集为
{x|x＜a或x＞a2}；
当a＝0时，a＝a2＝0，∴原不等式的解集为{x|x≠0}；
当0＜a＜1时，a＞a2，∴原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＝1时，a＝a2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＞1时，a＜a2，∴原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}.
综上所述，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}.
考点二 三个二次之间的关系
例3 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是，求不等式ax2－bx＋c＞0的解
集.
解 由条件知－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＜0，
所以－2－＝－，(－2)×＝，
所以b＝a，c＝a.
从而不等式ax2－bx＋c＞0，
即为a＞0.
因为a＜0，所以原不等式等价于
2x2－5x＋2＜0，
即(x－2)(2x－1)＜0，解得＜x＜2.
所以不等式的解集为.
感悟提升 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二
次不等式解集的端点值.
2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与 x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
训练2 若ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，则对于函数f(x)＝ax2＋
bx＋c，有( )
A.f(5)＜f(2)＜f(－1)
B.f(2)＜f(5)＜f(－1)
C.f(－1)＜f(2)＜f(5)
D.f(2)＜f(－1)＜f(5)
答案 D
解析 因为ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，所以a＞0，
且－2，4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系得所以
所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c＝ax2－2ax－8a＝a(x2－2x－8)，
其图象的对称轴为直线x＝1，开口向上，
所以f(2)＜f(－1)＜f(5).
考点三 一元二次不等式恒成立问题
角度1 在实数R上恒成立
例4 若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立，则实数a
的取值范围是( )
A.(－2，2)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－2，2]
D.(－∞，2]
答案 C
解析 当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意.
当a－2≠0，即a≠2时，要使不等式恒成立，
需满足解得－2＜a＜2.
综上可知，a的取值范围为(－2，2].
角度2 在给定区间上恒成立
例5 (1)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，
则m的取值范围是________.
答案
解析 要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立，故mx2－mx＋m－6＜0，则m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.
法一 令g(x)＝m＋m－6，
x∈[1，3].
当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
所以g(x) ＝g(3)＝7m－6＜0，
max
所以m＜，则0＜m＜.
当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，
所以g(x) ＝g(1)＝m－6＜0，
max
所以m＜6，所以m＜0.
综上所述，m的取值范围是
.
法二 因为x2－x＋1＝＋＞0，
又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.
因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可.
因为m≠0，所以m的取值范围是
.
(2)(2022·宁波模拟)若对任意的t∈[1，2]，函数f(x)＝t2x2－(t＋1)x＋a总有零点，则
实数a的取值范围是________.
答案
解析 函数f(x)＝t2x2－(t＋1)x＋a总有零点等价于方程t2x2－(t＋1)x＋a＝0的根
的判别式Δ＝(t＋1)2－4at2≥0对任意的t∈[1，2]恒成立，
所以a≤对任意的t∈[1，2]恒成立.
令g(t)＝＝，t∈[1，2].
因为t∈[1，2]，所以∈，
所以g(t)∈，
即的最小值为.
故实数a的取值范围是.
角度3 给定参数范围的恒成立问题
例6 已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围
为( )
A.(－∞，2)∪(3，＋∞)
B.(－∞，1)∪(2，＋∞)
C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)
答案 C
解析 把不等式的左端看成关于a的函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，
得f(－1)＝x2－5x＋6＞0，
且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，
解不等式组得x＜1或x＞3.
感悟提升 (1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒
成立，二是在某给定区间上恒成立.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁
就是变量，求谁的范围，谁就是参数.
①若ax2＋bx＋c＞0恒成立，则有a＞0，且Δ＜0；若ax2＋bx＋c＜0恒成立，则有a
＜0，且Δ＜0.②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采
用分离参数的方法).
训练3 已知关于x的不等式2x－1＞m(x2－1).
(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于m∈[－2，2]恒成立，求实数x的取值范围；
(3)若不等式对于x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范围.
解 (1)原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)＜0，
当m＝0时，－2x＋1＜0不恒成立；
当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，
则需m＜0且Δ＝4－4m(1－m)＜0，无解，
所以不存在实数m，使不等式恒成立.
(2)设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，
当m∈[－2，2]时，f(m)＜0恒成立.
当且仅当⇔
由①，得＜x＜.
由②，得x＜或x＞.
取交集，得＜x＜.
所以x的取值范围是
.
(3)因为x＞1，所以m＜.设2x－1＝t(t＞1)，x2－1＝，
所以m＜＝.
设g(t)＝t－＋2，t∈(1，＋∞)，
显然g(t)在(1，＋∞)上为增函数.
当t→＋∞时，t－＋2→＋∞，→0，
所以m≤0.
一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布一般要考虑以下几点：
(1)一元二次函数的开口方向；
(2)一元二次函数方程的根的判别式；
(3)一元二次函数图象的对称轴与区间的关系；
(4)一元二次函数在区间端点处函数值的符号.
只要能准确把握以上四点，这类问题就能够顺利解决.
例1 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围；
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.
解 (1)设函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，与x轴的交点分别在
区间(－1，0)和(1，2)内，
画出示意图，
得∴
∴－＜m＜－.
(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，
列不等式组
∴
∴－＜m≤1－.
例2 (1)已知二次函数f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个
大于1，一个小于1，求实数m的取值范围.
解 由(m＋2)·f(1)＜0，
即(m＋2)·(2m＋1)＜0，∴－2＜m＜－，即m的取值范围为.
(2)已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，求实数m的取值范围.
解 设f(x)＝2x2－(m＋1)x＋m，
由∴
∴
∴0＜m＜3－2或m＞3＋2，
即m的取值范围为(0，3－2)∪(3＋2，＋∞).
1.不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为( )
A.(－2，5)
B.(－∞，－2)∪(5，＋∞)
C.(－5，2)
D.(－∞，－5)∪(2，＋∞)
答案 A
解析 由－x2＋3x＋10＞0得x2－3x－10＜0，解得－2＜x＜5.
2.函数y＝的定义域为( )
A.(－4，－1) B.(－4，1)
C.(－1，1) D.(－1，1]
答案 C
解析 由解得－1＜x＜1.
3.关于x的不等式x2＋px－2＜0的解集是(q，1)，则p＋q的值为( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
答案 B
解析 依题意得q，1是方程x2＋px－2＝0两根，
∴q＋1＝－p，即p＋q＝－1.
4.(2021·东北三省三校联考)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R
恒成立，则k的取值范围是( )
A.[0，1]
B.(0，1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
答案 A
解析 当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，其恒成立；
当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，
只需解得0g(3)，∴g(x) ＝，
min
∴－＋3≤－，
∴a≥－，故a的取值范围是.
14.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).
解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a＞0时，
原不等式可化为(x＋1)≥0，
解得x≥或x≤－1.
③当a＜0时，
原不等式化为(x＋1)≤0.
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当＜－1，即－2＜a＜0时，
解得≤x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＞0时，不等式的解集为
；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为
；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为.
