文档内容
2022-2023 学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练
（人教版）
23.2 中心对称
题型导航
题型1
中心对称图形
中 题型2
根据中心对称的性质求面积、角度、线段
心
对
题型3
中心对称图形的规律问题
称
题型4
求关于原点对称的点的坐标
题型5
已经两点关于原点对称求参数
题型变式
【题型1】中心对称图形
1．（2021·江苏盐城·一模）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【分析】
根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转 ，如果旋转后的图形与另一个图形重合，
那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，则此选项不符题意；
B、不是中心对称图形，则此选项不符题意；
C、不是中心对称图形，则此选项不符题意；
D、是中心对称图形，则此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形，熟记定义是解题关键．
【变式1-1】
2．（2022·山东省济南第五十六中学八年级期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后
的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、是不轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的
定义．
【题型2】根据中心对称的性质求面积、角度、线段
1．（2022·河北邯郸·一模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若
， ．则AB的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．11
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形三边关系定理，可知 即可求解．
【详解】
解：∵点 与点 关于点 对称，点 与点 也关于点 对称，
∴ ，
又∵∠AOD=∠BOC
∴△AOD≌△BOC（SAS）
∴AD=BC=3
∵∴ ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，及对称的性质，全等三角形的判定与性质，
解题的关键是将求AB的值转化为求三角形第三边的取值范围．
【变式2-1】
2．（2022·浙江·杭州市公益中学八年级期中）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若 ，
， ，则 的长为______．
【答案】12
【解析】
【分析】
根据含30度角的直角三角形的性质求得 ，然后根据中心对称的性质即可求解．
【详解】
在Rt△ABC中，∵ ，∠B=30°，AC=3，
∴AB=2AC=6，
又∵点B和点B′关于点A对称，
∴BB′=2AB=12．
故答案为12．
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形的性质，中心对称的性质，掌握以上知识是解题的关键．
【题型3】中心对称图形的规律问题
1．（2021·山东济宁·一模）如图，平面直角坐标系中， OAB 是边长为2的等边三角形，作 BAB 与
1 1 2 2 1
OAB 关于点B 成中心对称，再作 BAB 与 BAB 关△于点B 成中心对称，如此作下去，则△ Bn
1 1 1 2 3 3 2 2 1 2 2 ﹣
△ △ △ △AnBn（n是正整数）的顶点An的坐标是（ ）
1 2 2 2
A．（4n﹣1，﹣ ） B．（4n﹣1， ） C．（4n+1，﹣ ） D．（4n+1， ）
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据等边三角形的性质得出点A，B 的坐标，再根据中心对称性得出点A，
1 1 2
点A，点A 的坐标，然后横纵坐标的变化规律，进而得出答案．
3 4
【详解】
∵△OAB 是边长为2的等边三角形，
1 1
∴A 的坐标为 ，B 的坐标为（2，0），
1 1
∵△BAB 与△OAB 关于点B 成中心对称，
2 2 1 1 1 1
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
2 1 1
∵2×2﹣1＝3，纵坐标是- ，
∴点A 的坐标是 ，
2
∵△BAB 与△BAB 关于点B 成中心对称，
2 3 3 2 2 1 2
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
3 2 2
∵2×4﹣3＝5，纵坐标是 ，
∴点A 的坐标是 ，
3
∵△BAB 与△BAB 关于点B 成中心对称，
3 4 4 3 3 2 3
∴点A 与点A 关于点B 成中心对称，
4 3 3
∵2×6﹣5＝7，纵坐标是- ，
∴点A 的坐标是 ，
4…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴An的横坐标是2n﹣1，An的横坐标是2×2n﹣1＝4n﹣1，
2
∵当n为奇数时，An的纵坐标是 ，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣ ，
∴顶点An的纵坐标是﹣ ，
2
∴顶点An的坐标是 ．
2
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质，中心对称的性质，数字变化规律等，根据中心对称性求出点的坐标是
解题的关键．
【变式3-1】
2．（2022·山东青岛·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为 ， ，
．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点 ，使得点 与点O关于点A成中心对称；第二次
跳跃到点 ，使得点 与点 关于点B成中心对称；第三次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点
C成中心对称；第四次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点
的坐标是_________．【答案】
【解析】
【分析】
先求出点 、 、 的坐标，发现每三个点循环一次，即每跳动三次就会回到原点O，用
，所以 正好在原点，即可得出 的坐标．
【详解】
解：∵点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M，点M 与点O关于点A成中心对称，点 的坐标为
1 1
（1，1），
点 的坐标为（2，2），
点 与点M 关于点B成中心对称，点 的坐标为（3，0），
1
点 的坐标为（4，-2），
点 与点M 关于点C成中心对称，点C的坐标为（2，-1），
2
点 的坐标为（0，0），
点 又回到了原点，
∴按照此规律跳跃，每三个点循环一次，
，
∴点 正好在原点，
∴点 的坐标为（0，0）．
故答案为：（0，0）．【点睛】
本题主要考查了规律探究、点的坐标以及中心对称的性质，找出变化规律，确定每3个点循环一次是解题
的关键．
【题型4】求关于原点对称的点的坐标
1．（2020·陕西商洛·九年级期末）平面直角坐标系内一点P（－2，3）关于原点对称的点的坐标是（
）
A．（3，2） B．（－2，－3） C．（2，－3） D．（2，3）
【答案】C
【解析】
【分析】
】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【详解】
解：点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3）
故选：C．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，
横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的
点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【变式4-1】
2．（2021·陕西·商南县富水镇初级中学九年级期中）在平面直角坐标系中，若点 在第四象限，且， ，则点 关于坐标原点对称的点 的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，求出x、y的值，从而得到点P的坐标，再根据关于原
点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】
解：∵点P（x，y）在第四象限，且|x|-2=0，y2-9=0，
∴x=2，y=-3，
∴点P的坐标为（2，-3），
∴点P关于坐标原点对称的点P′的坐标是（-2，3），
故答案为：（-2，3）．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．
【题型5】已经两点关于原点对称求参数
1．（2021·黑龙江·塔河县第一中学校九年级期中）平面直角坐标系内一点P（-a，3）与点Q（2，b）关于
原点对称，则ab=（ ）
A．6 B．9 C．-6 D．-9
【答案】C
【解析】
【分析】
利用关于原点对称的点的特征求出a，b，代入求解即可．
【详解】
解：∵点P（-a，3）与点Q（2，b）关于原点对称，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选C．【点睛】
本题考查关于原点对称的点的特征，如果两个点关于原点对称，那么它们的横、纵坐标分别互为相反数．
【变式5-1】
2．（2022·上海市闵行区莘松中学七年级期末）在平面直角坐标系中，若点 与点 关于原点
对称，则点 在第_______象限.
【答案】三
【解析】
【分析】
首先求得点P坐标为（-2，-1），即可求得 ，由此即可确定点M所在象限．
【详解】
解：∵点 与点 关于原点对称，
∴点P坐标为（-2，-1），
∴ ，
解得： ，
∴点M坐标为（-2，-1），
即：点M在第三象限，
故答案为：三．
【点睛】
本题主要考查的是坐标系中点的转换，熟练掌握坐标系的基本性质是解题的关键．
专项训练
一．选择题1．（2022·江西·南城县教育体育事业发展中心一模）下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
解：选项A，B中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A，B不符合题意；
选项C中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；
选项D中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意，
故选C
【点睛】
本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的识别，把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全
重合，则这个图形是轴对称图形，把一个图形绕某点旋转 后能够与自身重合，则这个图形是中心对称
图形，掌握“轴对称图形与中心对称图形的定义”是解本题的关键.
2．（2018·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据关于原点对称的点的坐标特点解答．
【详解】
解：点P（-3，-5）关于原点对称的点的坐标是（3，5），
故选：C．
【点睛】
本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是
（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
3．（2021·全国·八年级专题练习）如图， 与 关于 成中心对称，不一定成立的结论是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据中心对称的性质即可判断．
【详解】
解：对应点的连线被对称中心平分，A，B正确；
成中心对称图形的两个图形是全等形，那么对应线段相等，C正确；
和 不是对应角，D错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查成中心对称两个图形的性质：对应点的连线被对称中心平分；成中心对称图形的两个图形是全等
形．
4．（2021·湖南·长沙市怡海中学九年级阶段练习）若点P（2， ）与点Q（ ， ）关于原点对称，
则m＋n的值分别为（ ）
A． B． C．1 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【详解】
解：∵P（2，-n）与点Q（-m，-3）关于原点对称，
∴2=-（-m），-n=-（-3），
∴m=2，n=-3,
∴ ．
故选：B．【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．
5．（2021·四川·达州中学八年级期中）点 A(x，y)在第二象限内，且│x│=2，│y│=3，则点A关于原点
对称的点的坐标为( )
A．(-2，3) B．(2，-3) C．(-3，2) D．(3，-2)
【答案】B
【解析】
【分析】
根据A（x，y）在第二象限内可以判断x，y的符号，再根据|x|=2，|y|=3就可以确定点A的坐标，进而确
定点A关于原点的对称点的坐标．
【详解】
∵A（x，y）在第二象限内，
∴x＜0 y＞0，
又∵|x|=2，|y|=3，
∴x=-2， y=3，
∴点A关于原点的对称点的坐标是（2，-3）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，由点所在的象限能判断出坐标的符号，同时考查了关于原点对称的
点坐标之间的关系，难度一般．
二、填空题
6．（2021·全国·八年级课时练习）下列4种图案中，是中心对称图形的有_____个．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念即可求解.
【详解】
第1个图形，是中心对称图形，符合题意；
第2个图形，不是中心对称图形，不符合题意；第3个图形，是中心对称图形，符合题意；
第4个图形，不是中心对称图形，不符合题意.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分
重合.
7．（2022·江西景德镇·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和
△MNP 的顶点都在格点上，△MNP与△MNP 是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为_____.
1 1 1 1 1 1
【答案】（2,1）
【解析】
【分析】
观察图形，根据中心对称的性质即可解答.
【详解】
∵点P（1，1），N（2，0），
∴由图形可知M（3，0），M（1，2），N（2，2），P（3，1），
1 1 1
∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，
∴对称中心的坐标为（2，1），
故答案为（2，1）．
【点睛】
本题考查了中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，
对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
8．（2022·广东·九年级专题练习）若点A（-m，n-5）与点B（-1，-2m）关于原点对称，则-
mn=________．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，求出m、n代入可得答案．【详解】
解：点A（-m，n-5）与点B（-1，-2m）关于原点对称，
得-m=-（-1）=1，n-5=2m，
∴m=-1，n=3．
∴-mn=-（-1）×3=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点（x，y），关于原点的对称点是（-x，-
y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以BC为一边
作正方形BDEC设正方形的对称中心为O，连接AO，则AO＝_____．
【答案】 ；
【解析】
【分析】
连接AO、BO、CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，判定△AOC≌△FOB（ASA），即可得出
AO=FO，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．
【详解】
解：连接AO、BO、CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，
∵O是正方形DBCE的对称中心，
∴BO=CO，∠BOC=90°，∵FO⊥AO，
∴∠AOF=90°，
∴∠BOC=∠AOF，
即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA，
∴∠AOC=∠FBO，
∵∠BAC=90°，
∴在四边形ABOC中，∠ACO+∠ABO=180°，
∵∠FBO+∠ABO=180°，
∴∠ACO=∠FBO，
在△AOC和△FOB中，
，
∴△AOC≌△FOB（ASA），
∴AO=FO，FB=FC=6，
∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，
∴AO=AF×cos45°=14× = ．
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然
后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．
10．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC＝1，AB＝2，
∠BAC＝90°，则AE的长是_________．
【答案】2
【解析】【分析】
根据中心对称的性质AD=DE及∠D=90゜，由勾股定理即可求得AE的长．
【详解】
∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝2，AC＝DC＝1，∠D＝∠BAC＝90°，
∴AD＝2，
∵∠D＝90°，
∴AE＝ ，
故答案为 ．
【点睛】
本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，关键中心对称性质的应用．
11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是矩形的对称中心，点E、
F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则OE+OF的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，连接，AC，BD．过点O作OM⊥AD于点M交BC于点N．利用勾股定理，求出OE，可得结论．
【详解】
解：如图，连接，AC，BD．
∵O是矩形的对称中心，
∴O也是对角线的交点，
过点O作OM⊥AD于点M交BC于点N．∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD=OB，
∵OM⊥AD，
∴AM=DM= AD= BC=4，
∴OM= AB=3，
∵AE=2，
∴EM=AM-AE=2，
∴OE= = ，
同法可得OF= ，
∴OE+OF=2 ，
故答案为：2 ．
【点睛】
本题考查中心对称，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形
解决问题．
三、解答题
12．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A，B坐标分别为（2，
0），（﹣1，3）．
（1）直接写出点B关于y轴的对称点的坐标： ．
（2）请用直尺在方格中画出△O′A′B′，要求：△O′A′B′和△OAB关于点（﹣1，0）成中心对称．（保留作
图痕迹，不写作法）【答案】（1）（1，3）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征求解；
（2）根据中心对称的性质和网格特点画出A、B、O关于点（﹣1，0）的对称点即可．
【详解】
解：（1）点B关于y轴的对称点的坐标为（1，3）；
故答案为（1，3）；
（2）如图， O′A′B′为所作．
△
【点睛】本题考查了作图-中心对称，属于常考题型．也考查了轴对称变换．
13．（2022·上海·七年级专题练习）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣2，0）．
(1)图中点B的坐标是______；
(2)点B关于原点对称的点C的坐标是_____；点A关于y轴对称的点D的坐标是______；
(3)四边形ABDC的面积是______；
(4)在y轴上找一点F，使 ，那么点F的所有可能位置是______．
【答案】(1)（﹣3，4）
(2)（3，﹣4），（2，0）
(3)16
(4)（0，4）或（0，﹣4）
【解析】
【分析】
（1）根据坐标的定义，判定即可；
（2）根据原点对称，y轴对称的点的坐标特点计算即可；
（3）把四边形的面积分割成三角形的面积计算；
（4）根据面积相等，确定OF的长，从而确定坐标．
(1)
过点B作x轴的垂线，垂足所对应的数为﹣3，因此点B的横坐标为﹣3，
过点B作y轴的垂线，垂足所对应的数为4，因此点B的纵坐标为4，
所以点B（﹣3，4）；
故答案为：（﹣3，4）；
(2)
由于关于原点对称的两个点坐标纵横坐标均为互为相反数，所以点B（﹣3，4）关于原点对称点C（3，﹣4），
由于关于y轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，其纵坐标不变，
所以点A（﹣2，0）关于y轴对称点D（2，0），
故答案为：（3，﹣4），（2，0）；
(3)
＝2× ×4×4＝16，
故答案为：16；
(4)
∵ ＝ ＝8＝ ，
∴ AD•OF＝8，
∴OF＝4，
又∵点F在y轴上，
∴点F（0，4）或（0，﹣4），
故答案为：（0，4）或（0，﹣4）．
【点睛】
本题考查了坐标系中对称点的坐标确定，图形的面积计算，正确理解坐标的意义，适当分割图形是解题的
关键．
14．（2022·江苏·八年级专题练习）如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度， 的顶点均在格
点上，点 、 的坐标分别是 、 ．(1)点 关于点 中心对称的点的坐标为 ；
(2) 绕点 顺时针旋转 后得到△ ，在图中画出△ ，并写出点 的坐标： ．
【答案】(1)
(2)图见解析，
【解析】
(1)
解：（1）如图，点 即为所求作． ．
故答案为： ．
(2)
（2）如图，△ 即为所求作，点 的坐标 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查作图 旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（2022·江苏·洪泽外国语中学八年级阶段练习）△ABC在坐标系中的位置如图1所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
(1)按要求作图：①画出△ABC关于原点O的中心对称图形△ABC ；
1 1 1
②画出将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ABC ；
2 2
(2)如图2，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB边上，四边形AEBF是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中
画出∠AOB的平分线（请保留画图痕迹）．
【答案】(1)①作图见解析，②作图见解析
(2)作图见解析
【解析】
【分析】
（1）①如图1，根据中心对称图形的性质可知 、 、 的点坐标，在坐标系中描点，然后依次连接即
可；
②如图1，根据旋转的性质， 为旋转中心，作图即可；
（2）如图2，根据矩形的性质，连接对角线，根据等腰三角形三线合一的性质，连接 与矩形对角线的交
点即可．
(1)
解：①如图1中，△ABC 即为所求作．
1 1 1②如图1中，△ABC 即为所求作．
2 2
(2)
解：如图2，射线OK即为所求作．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的性质与作图，旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质等知识．解题的关
键在于对知识的熟练掌握．
