文档内容
第 5 讲 一元二次方程、不等式
知识点目录
【知识点1】求解一元二次不等式..................................................2
【知识点2】一元二次方程根的分布................................................6
【知识点3】三个二次之间的关系..................................................9
【知识点4】一元二次不等式恒成立问题...........................................12
基础知识
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋
c>0(a>0)的解的对应关系
方程的判别式 Δ
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
＝b2－4ac
二次函数
的图象
有两个不相等的实 有两个相等的实数
方程的根 没有实数根
数根x，x(xx } R
1 2
的解集
2.分式不等式与整式不等式
(1) >0(<0)⇔ f ( x ) g ( x )>0(<0 )；
(2) ≥0(≤0)⇔ f ( x ) g ( x ) ≥ 0 ( ≤ 0 ) 且 g ( x ) ≠ 0.
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为 ( －∞，－ a ) ∪ (a ，＋∞ )，|x|0)的解集为 ( － a ， a ) ．
常用结论
第1页 共36页1．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0；
(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0；
(3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．
2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形．
知识点1
知识点
【知识点1】求解一元二次不等式
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
典型例题
例1：
【例1】（2025•开远市校级开学）已知 ，则关于 的不等式 的解集是
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】
【分析】直接根据一元二次不等式的解法解不等式即可．
【解答】解：因为 ，即 ，且 ，
所以不等式 的解集是 ．
故选： ．
第2页 共36页【例2】（2025•广东学业考试）不等式 的解集是
A． B．
C． D． ， ，
【答案】
【分析】由二次不等式解法可得答案．
【解答】解： ，
故不等式 的解集是 ．
故选： ．
【例3】（2024秋•中山区校级期末）关于 的一元二次方程 的解集为 ，
，则不等式 的解集为
A． B． ，
C． D． ， ，
【答案】
【分析】由方程的解集和根与系数关系得 ， ， 的关系，并由 得 的正负，代入不
等式 后即可求解．
【解答】解： 关于 的一元二次方程 的解集为 ， ，
，即 ， ， ，即 ．
，
第3页 共36页即 ，即 ，解得 ．
故选： ．
【例4】（2024秋•深圳校级期末）已知函数 ．
（1）若 在区间 ， 上单调递减，求 的取值范围．
（2）求关于 的不等式 的解集．
【答案】（1） ；
（2）当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ， ， ．
【分析】（1）讨论当 和 时，函数 在 ， 上单调递减的情况即可得出结论；
（2）解 ，即解不等式 ，分类讨论当 和 的情况，在 的情况
下，再讨论 ， ， ，以及 时的解集，从而得出结论．
【解答】解：（1）当 时， 的单调递减区间为 ，满足题意，
当 时，因为 在 ， 上单调递减，
所以 ，
解得 ，
第4页 共36页综上所述， 的取值范围为 ；
（2）由 可得， ，
①当 时，由 ，
解得 ；
②当 时，方程 的两根为 ，
当 时， ，解不等式 得 ，
当 时， ，解不等式 得 或 ，
当 时， ，解不等式 得 或 ，
当 时，由 得 ，
综上，当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ， ， ．
【例5】（2024秋•海淀区校级期中）解关于 的不等式： ．
【答案】若 ，则不等式为 ，此时解集为 ， ；
若 ，则不等式解集为 ， ；
若 ，则不等式解集为 ， ， ；
第5页 共36页若 ，则不等式解集为 ；
若 ，则不等式解集为 ， ， ．
【分析】关于 的大小进行分类讨论，求出 取不同值时的解集．
【解答】解：若 ，则不等式为 ，此时解集为 ， ；
若 ，不等式化为 ，
若 ，则不等式解集为 ， ；
若 ，则不等式解集为 ， ， ；
若 ，则不等式解集为 ；
若 ，则不等式解集为 ， ， ．
知识点2
知识点
【知识点2】一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布
解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个
方面建立关于系数的不等式(组)进行求解．
(1)判别式Δ的符号．
(2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系．
(3)区间端点处函数值的符号．
典型例题
例1：
【例6】（2025•台湾四模）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根
第6页 共36页且 ， ，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次函数的图像和零点存在定理求解 的取值范围．
【解答】解：因为 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，且 ，
，
可得 ， 为函数 的两个零点，
利用零点存在定理可得： ，即 ，所以 ，
所以 ，
解得 ．
故选： ．
【例7】（2025春•杭州期中）已知关于 的不等式 的解集为 ， ，
则 的最大值是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据已知条件可得 ， ，再利用基本不等式相关知识可解．
【解答】解：已知关于 的不等式 的解集为 ， ，
第7页 共36页则 ， ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，取等号，
则 的最大值是 ．
故选： ．
【例8】（2024秋•亳州期末）已知 ，且 是方程 的一个根，则 的最小
值是
A． B．4 C．2 D．8
【答案】
【分析】根据 是方程 的一个根得到 和 的关系，求出 ，根据基本不等式求出
的最小值．
【解答】解：由 是方程 的一个根可得 ，
即 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
故 的最小值是8．
故选： ．
第8页 共36页【例9】（2025春•辽宁月考）若关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为
和 ，则 的值是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算得解．
【解答】 解：关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 和 ，
，
所以 ．
故选： ．
【例10】（2024秋•青海期末）若二次方程 在 上有两个不相等的实
根，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合二次方程根的分布条件建立关于 的不等式组，解不等式组即可求解．
【解答】解：因为二次方程 在 上有两个不相等的实根，
所以 ，解得 ．
第9页 共36页故选： ．
知识点3
知识点
【知识点3】三个二次之间的关系
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，
可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负
典型例题
例1：
【例 11】（2023 秋•信阳期中）已知关于 的不等式 的解集是 ，
，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据不等式 的解集得出 ，且 ， 是对应方程的解，由
根与系数的关系以及二次函数的图象与性质，即可得出正确的判断．
【解答】解：关于 的不等式 的解集是 ，
所以 ，且 ， 是一元二次方程 的两个解；
由根与系数的关系知， ，选项 正确；
又 ，选项 正确；
且 ，选项 正确．
第10页 共36页由二次函数 的解集是 ，
且 ， 和3是方程 的两解，如图所示：
所以 ，选项 错误．
故选： ．
【例12】（2024秋•吉林期末）已知不等式 的解集为 或 ，则下列
结论正确的是
A．
B．
C．
D． 的解集为
【答案】
【分析】根据不等式 的解集得出对应方程的解，以及 ，由此判断选项中的
命题是否正确．
【解答】解：因为不等式 的解集为 或 ，
所以 和3是方程 的解，且 ，选项 错误；
第11页 共36页所以 ，解得 ， ，选项 错误；
所以 ，选项 正确；
不等式 可化为 ，即 ，
解得 ，所以不等式的解集为 ，选项 正确．
故选： ．
【例13】（2023秋•云南期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于
的不等式 的解集为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据不等式 的解集求出 、 ，代入不等式 求解集即可．
【解答】解：因为关于 的不等式 的解集为 ，
所以2和3是方程 的解，
由根与系数的关系得 ， ，
所以不等式 为 ，解得 ，
所以不等式的解集为 ，
故选： ．
【例14】（2024秋•集安市月考）已知关于 的不等式 的解集为 ， ，
，则下列选项中正确的是
第12页 共36页A．
B．不等式 的解集是
C．
D．不等式 的解集为
【答案】
【分析】根据不等式 的解集得出方程 的解，判断 ，由此求解即
可．
【解答】解：因为不等式 的解集为 ， ， ，
所以 和3是方程 的解，且 ，选项 错误；
由根与系数的关系知， ，所以 ， ；
所以不等式 ，可化为 ，解得 ，所以不等式的解集为 ，选项
错误；
因为 ，所以选项 错误；
不等式 可化为 ，即 ，
解得 或 ，所以不等式的解集为 ， ， ，选项 正确．
故选： ．
【例 15】（2024 秋•大理市期末）若关于实数 的不等式 的解集是 或
，则关于 的不等式 的解集是
A． B．
第13页 共36页C． D．
【答案】
【分析】根据一元二次不等式与方程的关系，结合韦达定理求得 ， ，再代入不等
式，即可求解．
【解答】解： 关于 的一元二次不等式 的解集是 或 ，
，2是一元二次方程 的两个实数根，
， ，即 ， ，
不等式 化为 ，解得 ，
不等式的解集为 ．
故选： ．
知识点4
知识点
【知识点4】一元二次不等式恒成立问题
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不
能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
典型例题
例1：
【例16】（2024秋•武强县校级期末） 时，不等式 成立，则 的取
值范围是
第14页 共36页A． B． C． D．
【答案】
【分析】问题转化为 在 ， 上有解，结合二次函数的性质即可求解．
【解答】解： 时，不等式 成立，
即 在 ， 上有解，
所以 ，
根据二次函数的性质可知，当 时， 取得最小值0，
故 ．
故选： ．
【例17】（2024秋•中牟县期末）设 ，不等式 恒成立的一个充分条件可以
是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由题干不等式对 恒成立，解出 的取值范围，根据充分条件结合选项得出与答
案．
【解答】解：不等式 对 恒成立时，当 时 恒成立，
当 时， 对 恒成立，只需 ，
解得 ，
综上有当不等式 对 恒成立， ， ，
第15页 共36页而 ， ， ，故由 选项推出题中不等式对 恒成立．
故选： ．
【例18】（2025•芒市校级开学）一元二次不等式 对任意 恒成立，则实数
的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】结合二次函数的性质，开口向上，判别式小于零解不等式组即可；
【解答】解：由题意可得 ，
由 可得 ，
即 ．
故选： ．
【例19】（2024秋•宁波期末）若不等式 对任意的 恒成立，则 的最
小值为
A．3 B． C．4 D．
【答案】
【分析】分 和 两种情况讨论，结合二次函数的性质可得 ，且 ， ，再
利用基本不等式求解即可．
【解答】解：不等式 对任意的 恒成立，即不等式 ，
当 时，不等式化为 ，这不可能对任意 恒成立，
第16页 共36页当 时，则 ，
解得 ，且 ， ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为4．
故选： ．
【例20】（2025•山东模拟）已知不等式 对任意的 恒成立，则实数
的最小值 ．
【答案】 ．
【分析】由已知不等式恒成立分离参数，然后结合恒成立与最值关系的转化及基本不等式即
可求解．
【解答】解： 对任意的 恒成立，
则 在 恒成立，
因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故 ，即 ．
故答案为： ．
第17页 共36页牛刀小试
第 5 讲 一元二次方程、不等式
一．选择题（共10小题）
1．（2025春•临泉县月考）不等式 的解集为
A． 或 B． 或
C． D．
2．（2024秋•鹤山市期末）一元二次不等式 的解集为
A． B．
C． D．
3．（2024秋•吕梁期末）已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，
则 的值为
A． B． C． D．
4．（2024秋•金山区期末）当 时，关于 的不等式 的解集为
第18页 共36页A． B．
C． D．
5．（2024秋•大兴区期末）关于 的不等式 的解集不可能是
A． B． ， C． D． ，
6．（2024秋•佛山期末）若关于 的方程 有两相异实根 ， ，且 ，
则实数 的取值范围是
A． ， ， B．
C． D．
7．（2024秋•固镇县期末）关于 的不等式 的解集中恰有1个整数，则实数
的取值范围是
A． ， ， B． ， ，
C． ， 2， D． ， ，4
8．（2024秋•屯溪区期末）若关于 的不等式 在 ， 上有解，则实数 的
最小值为
A．9 B．5 C．6 D．
9．（2024秋•宿迁期末）设 ， ， 为实数，不等式 的解集是 或 ，
则 的最大值为
第19页 共36页A． B． C． D．
10．（2024秋•济南期末）若 ， ，则实数 的取值范围为
A． B．
C． ， ， D． ， ，
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025•余姚市模拟）关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则
下列成立的是
A． B． C． D．
（多选）12．（2024秋•西峰区期末）关于 的不等式 的解集为 的充分不必要
条件有
A． B． C． D．
（多选）13．（2024秋•南昌县期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，
则下列说法正确的是
A．
B．不等式 的解集为
C．
D． 的最小值为
（多选）14．（2024秋•日照期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，
第20页 共36页则
A．
B．
C．不等式 的解集为
D． 的最小值为6
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•宝山区月考）已知不等式 的解集为 ，则实数
．
16．（2025•南通模拟）已知二次不等式 的解集为 ， ， ，则
的取值范围是 ．
17．（2024秋•许昌期末）若不等式 对任意 ， 都成立，则实数 的取值
范围为 ．
18．（2024秋•广东期末）当关于 的不等式 对一切实数 都成立时， 的取值
范围是 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2024秋•朝阳期末）已知函数 ．
（1）若关于 的不等式 的解集为 ，求 ， 的值；
（2）当 时，若关于 的不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．
20．（2024秋•普宁市期末）已知不等式 的解集为 ．
（1）求实数 ， 的值；
（2）解关于 的不等式： 为常数，且
第21页 共36页21．（2024秋•西宁期末）已知关于 的不等式 ．
（1）若不等式的解集为 ，求 的值；
（2）若不等式的解集为 ，求 的取值范围．
22．（2024秋•渭滨区期末）已知二次函数 ．
（1）当 取何值时，不等式 对一切实数 都成立？
（2）若 在区间 内恰有一个零点，求实数 的取值范围．
23．（2025春•辽宁月考）已知函数 ．
（1）求关于 的一元二次不等式 的解集；
（2）若 ， ，使得 成立，求实数 的取值范围．
24．（2025•开福区开学）已知函数 ．
（1）若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）解关于 的不等式 ．
第22页 共36页一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C D C C B C D
二．多选题（共4小题）
题号 11 12 13 14
答案 ABD AC AB ACD
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】把不等式化为 ，求出解集即可．
【解答】解：不等式 可化为 ，
即 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 或 ．
故选： ．
2．【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法求解．
【解答】解：一元二次不等式 可化为： ，
即 ，
解得 ，
第23页 共36页即不等式的解集为 ．
故选： ．
3．【答案】
【分析】利用一元二次不等式与一元二次方程的关系，借助韦达定理计算即可得．
【解答】解：因为 的解集为 ，
所以关于 的一元二次方程 的两个根分别为 ，2，
由根与系数的关系可得 ， ，
解得 ， ，
所以 ．
故选： ．
4．【答案】
【分析】确定二次项的系数符号和两根的大小关系，直接写出解集即可．
【解答】解： 时， ，不等式 可化为 ，
因为 ，
所以 ，
解原不等式，得 ，
所以原不等式的解集为 ．
故选： ．
5．【答案】
【分析】根据一元二次不等式的解集情况，判断即可．
【解答】解：当 ，△ 时，则不等式的解集为 ，
当 ，△ 时，则不等式的解集为 ， ， ，
第24页 共36页当 ，△ 时，则不等式的解集为 ，
当 ，△ 时，则不等式的解集为 ，
当 ，△ 时，则不等式的解集为 ， ，
综上所述，关于 的不等式 的解集不可能是 ， ．
故选： ．
6．【答案】
【分析】根据两相异实根 ， ，满足 得到关于 的不等式组，再解不等式组可
得答案．
【解答】解：根据题意，方程 有两相异实根 ， ，且 ，
则 ，
得 ，
则 的取值范围为 ．
故选： ．
7．【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法，解不等式，根据不等式的解集中恰有 1个整数解，确
定解集的取值范围，即可求解
【解答】解：由 ，
得 ，
若 ，则不等式无解．
若 ，则不等式的解为 ，此时要使不等式的解集中恰有 1个整数解，则此时1个整
数解为 ，则 ．
若 ，则不等式的解为 ，此时要使不等式的解集中恰有 1个整数解，则此时1个整
第25页 共36页数解为 ，则 ．
综上，满足条件的 的取值范围是 ， ， ．
故选： ．
8．【答案】
【分析】由已知先分离参数，结合存在性问题与最值关系的转化即可求解．
【解答】解：由题意得 有解，
即 有解，
即 ，
因为 时， ，当且仅当 时取等号，
故 ．
故选： ．
9．【答案】
【分析】结合二次不等式与二次方程的转化关系及方程的根与系数关系可得 ， ， 的关系，
代入到所求式子，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为不等式 的解集是 或 ，
所以 的根为1，3且 ，
则 ， ，
即 ， ， ，
则 ，当且仅当 ，即 时取等号．
故选： ．
10．【答案】
【分析】分 ， 和 三种情况分类讨论，其中当 时，利用判别式列不等式求
第26页 共36页解即可，最后求并集．
【解答】解：当 时，不等式为 ，即 ，显然 在 有解，符合题
意；
，命题“ ， ”为真命题，
当 时，对于抛物线 ，开口向上，
只需△ ，解得 或 ，
又 ，所以 或 ，
当 时，对于抛物线 ，开口向下，
显然 在 有解，符合题意；
综上，实数 的取值范围是 或 ，即 ， ， ．
故选： ．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】由题意可得 ， 是方程 的解，由韦达定理可得 ， 的值，进而可得
正确的结论．
【解答】解：由题意可得 ， 是方程 的解，
可得 ， ，可得 ，即 ，且 ，
所以可得 ，
可得 正确， 不正确；
故选： ．
12．【答案】
【分析】先求充要条件，再利用充分不必要条件是充要条件的真子集，来作判断即可．
第27页 共36页【解答】解：由关于 的不等式 的解集为 的充要条件为△ ，
解得 ，
由 ，得 ， ，
又由于 ，
所以 ， 是关于 的不等式 的解集为 的充分不必要条件，
故 正确；
而选项 是充要条件，故 错误；
又因为 ，
所以选项 是必要不充分条件，故 错误．
故选： ．
13．【答案】
【分析】利用二次不等式解与系数的关系得到 ， 关于 的表达式，结合基本不等式，逐一
分析判断各选项即可得解．
【解答】解：因为关于 的不等式 的解集为 ，
所以 ，4是方程 的两根，且 ，故 正确；
所以 ，解得 ，
所以 ，即 ，则 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ，故 正确；
而 ，故 错误；
因为 ， ， ，所以 ，
则 ，
第28页 共36页当且仅当 ，即 或 时，等号成立，
与 矛盾，所以 取不到最小值 ，故 错误．
故选： ．
14．【答案】
【分析】由一元二次不等式和一元二次函数的关系分析 ，由根与系数的关系分析 ，由不
等式的解法分析 ，结合基本不等式的性质分析 ，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 ，不等式 的解集为 ，对应二次函数 开口向下，
则 ，故 正确；
对于 ，若 和4是 的两个根，则 ，
整理得 ， ，则有 ，故 错误；
对于 ，不等式 为 ，
又由 ，则 ，解得 ，
不等式 的解集为 ，故 正确；
对于 ， ，
当且仅当 时，等号成立，即 的最小值为6， 正确．
故选： ．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】3．
【分析】根据一元二次不等式以及一元二次方程之间的关系求解即可．
【解答】解：因为不等式 的解集为 ，
所以 的根为 和3，
第29页 共36页可得： ，解得 ，
故 ．
故答案为：3．
16．【答案】 ．
【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法及根与系数的关系，得 ，即可求解．
【解答】解：因为二次不等式 的解集为 ， ，
则 的两根为 ， ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
整理得 ，
等价于 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围： ．
故答案为： ．
17．【答案】 ， ．
【分析】利用参变分离法将不等式 化成 ，只需求函数 在 ，
第30页 共36页上的最小值即得参数 的取值范围．
【解答】解：由不等式 对任意 ， 都成立，
可得不等式 对任意 ， 都成立，
当 ， 时，根据二次函数的性质可得 ，
故得 ，即实数 的取值范围为 ， ．
故答案为： ， ．
18．【答案】 ， ．
【分析】根据不等式恒成立对二次项系数 的取值进行分类讨论，再由判别式可解得 的取值
范围．
【解答】解：当 时，不等式可化为 ，显然恒成立，
当 时，若不等式 对一切实数 都成立，
需满足 ，且 ，即 ，
综上可得， ．
故答案为： ， ．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1） ， 的值分别为 ， ，或 ， ．
（2） ．
【分析】（1）根据不等式的解集得出一元二次方程的根，从而求得 ， 值；
（2）结合二次函数的性质可知，判别式△ ，解不等式可得．
【解答】解：（1）若关于 的不等式 的解集为 ，
第31页 共36页则 ，1是方程 的两根，
所以 ， ，
解得 ， 或 ， ；
（2）当 时， ，
若 在 上恒成立，即 的图象与 轴至多有一个交点，
则△ ，
即 ，解得 ，
故 的取值范围是 ．
20．
【分析】（1）根据不等式的解集得出对应方程的两根，由根与系数的关系求出 、 的值．
（2）不等式为 ，讨论 和 ，写出对应不等式的解集．
【解答】解：（1）因为不等式 的解集为 ，
所以1和2是方程 的两根，
由根与系数的关系知， ，解得 ， ．
（2）不等式 即为 ，
由 ，则 时，解不等式得， 或 ；
时，解不等式得， 或 ；
综上， 时，不等式的解集为 或 ；
时，不等式的解集为 或 ．
21．【答案】（1）2；（2） ， ．
第32页 共36页【分析】（1）由已知可得 ，2是方程 的两根，然后利用韦达定理建立方程即
可求解；（2）分 ， 两种情况讨论，根据二次函数的性质建立不等式即可求解．
【解答】解：（1）由已知可得 ，2是方程 的两根，
则由韦达定理可得 ，解得 ；
（2）因为不等式的解集为 ，
当 时，不等式化为 ，恒成立，
当 时，要使不等式的解集为 ，只需 ，解得 ，
综上，实数 的范围为 ， ．
22．【答案】（1） ；
（2） ．
【分析】（1）根据二次函数的性质以及不等式，建立不等式组，可得答案；
（2）利用分类讨论思想，分二次函数存在一个或两个零点的情况，结合零点的定义以及零点
存在性定理，可得答案．
【解答】解：二次函数 ，
（1）因为不等式 对一切实数 都成立，
所以 ，解得 ．
（2）若 在区间 内恰有一个零点，
当 在 上仅有一个零点时，由△ ，解得 ，此时零点为 ，符合题意；
当 在 上有两个零点时，△ ，即 且 ，
第33页 共36页①当 时， ，则由 解得另一个零点为 ，符合题意；
②当 （1） 时， ，则由 解得另一个零点为 ，符合题意；
③当 （1） 时，由零点存在定理，则 （1） ，即 ，解得
．
综上， 在区间 内恰有一个零点时，实数 的取值范围为 ．
23．【答案】（1）当 或 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 或 时，原不等式的解集为 ， ；
（2） ．
【分析】（1）分类讨论求解含参数的一元二次不等式．
（2）根据给定条件，分离参数，利用基本不等式求出最小值即可．
【解答】解：（1）不等式 ，
△ ，
当 时，△ ，原不等式无解；
当 或 时，△ ，原不等式解为 ；
当 或 时，△ ，由 ，解得 ，
不等式 的解为 ，
综上可得，当 或 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
第34页 共36页当 或 时，原不等式的解集为 ， ；
（2）当 ， 时， ，
则 ，
而 ，当且仅当 ，即 时取等号，
由 ， ，使得 成立，得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
24．【答案】（1） ；
（2）当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 或 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 或 ．
【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，讨论 、 ，结合二次函数的性质列不等式
求参数范围；
（2）由题设有 ，应用分类讨论求对应解集．
【解答】解：（1）由题意， 对一切实数 恒成立，
当 时，不等式可化为 ，不满足题意；
当 时，则有 ，解得 ；
第35页 共36页故实数 的取值范围是 ．
（2）不等式 等价于 ，即 ，
当 时，不等式可化为 ，解集为 ；
当 时， 的两根为 ， ，
当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 或 ；
当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式解集为 或 ．
综上所述，
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 或 ；
当 时，解集为 ；
当 时，解集为 或 ．
第36页 共36页
