文档内容
第 5 讲 一元二次方程、不等式
知识点目录
【知识点1】求解一元二次不等式..................................................2
【知识点2】一元二次方程根的分布................................................3
【知识点3】三个二次之间的关系..................................................5
【知识点4】一元二次不等式恒成立问题............................................6
基础知识
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋
c>0(a>0)的解的对应关系
方程的判别式 Δ
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
＝b2－4ac
二次函数
的图象
有两个不相等的实 有两个相等的实数
方程的根 没有实数根
数根x，x(xx } R
1 2
的解集
2.分式不等式与整式不等式
(1) >0(<0)⇔ f ( x ) g ( x )>0(<0 )；
(2) ≥0(≤0)⇔ f ( x ) g ( x ) ≥ 0 ( ≤ 0 ) 且 g ( x ) ≠ 0.
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为 ( －∞，－ a ) ∪ (a ，＋∞ )，|x|0)的解集为 ( － a ， a ) ．
常用结论
第1页 共13页1．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0；
(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0；
(3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．
2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形．
知识点1
知识点
【知识点1】求解一元二次不等式
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
典型例题
例1：
【例1】（2025•开远市校级开学）已知 ，则关于 的不等式 的解集是
A． 或 B． 或
C． D．
【例2】（2025•广东学业考试）不等式 的解集是
A． B．
C． D． ， ，
【例3】（2024秋•中山区校级期末）关于 的一元二次方程 的解集为 ，
第2页 共13页，则不等式 的解集为
A． B． ，
C． D． ， ，
【答案】
【分析】由方程的解集和根与系数关系得 ， ， 的关系，并由 得 的正负，代入不
等式 后即可求解．
【解答】解： 关于 的一元二次方程 的解集为 ， ，
，即 ， ， ，即 ．
，
即 ，即 ，解得 ．
故选： ．
【例4】（2024秋•深圳校级期末）已知函数 ．
（1）若 在区间 ， 上单调递减，求 的取值范围．
（2）求关于 的不等式 的解集．
【例5】（2024秋•海淀区校级期中）解关于 的不等式： ．
知识点2
第3页 共13页知识点
【知识点2】一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布
解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个
方面建立关于系数的不等式(组)进行求解．
(1)判别式Δ的符号．
(2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系．
(3)区间端点处函数值的符号．
典型例题
例1：
【例6】（2025•台湾四模）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根
且 ， ，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【例7】（2025春•杭州期中）已知关于 的不等式 的解集为 ， ，
则 的最大值是
A． B． C． D．
【例8】（2024秋•亳州期末）已知 ，且 是方程 的一个根，则 的最小
值是
A． B．4 C．2 D．8
第4页 共13页【例9】（2025春•辽宁月考）若关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为
和 ，则 的值是
A． B． C． D．
【例10】（2024秋•青海期末）若二次方程 在 上有两个不相等的实
根，则 的取值范围是
A． B． C． D．
知识点3
知识点
【知识点3】三个二次之间的关系
已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，
可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负
典型例题
例1：
【例 11】（2023 秋•信阳期中）已知关于 的不等式 的解集是 ，
，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
第5页 共13页【例12】（2024秋•吉林期末）已知不等式 的解集为 或 ，则下列
结论正确的是
A．
B．
C．
D． 的解集为
【例13】（2023秋•云南期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，则关于
的不等式 的解集为
A． B． C． D．
【例14】（2024秋•集安市月考）已知关于 的不等式 的解集为 ， ，
，则下列选项中正确的是
A．
B．不等式 的解集是
C．
D．不等式 的解集为
【例 15】（2024 秋•大理市期末）若关于实数 的不等式 的解集是 或
，则关于 的不等式 的解集是
第6页 共13页A． B．
C． D．
知识点4
知识点
【知识点4】一元二次不等式恒成立问题
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不
能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
典型例题
例1：
【例16】（2024秋•武强县校级期末） 时，不等式 成立，则 的取
值范围是
A． B． C． D．
【例17】（2024秋•中牟县期末）设 ，不等式 恒成立的一个充分条件可以
是
A． B． C． D．
【例18】（2025•芒市校级开学）一元二次不等式 对任意 恒成立，则实数
第7页 共13页的取值范围是
A． B． C． D．
【例19】（2024秋•宁波期末）若不等式 对任意的 恒成立，则 的最
小值为
A．3 B． C．4 D．
【例20】（2025•山东模拟）已知不等式 对任意的 恒成立，则实数
的最小值 ．
牛刀小试
第 5 讲 一元二次方程、不等式
一．选择题（共10小题）
第8页 共13页1．（2025春•临泉县月考）不等式 的解集为
A． 或 B． 或
C． D．
2．（2024秋•鹤山市期末）一元二次不等式 的解集为
A． B．
C． D．
3．（2024秋•吕梁期末）已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，
则 的值为
A． B． C． D．
4．（2024秋•金山区期末）当 时，关于 的不等式 的解集为
A． B．
C． D．
5．（2024秋•大兴区期末）关于 的不等式 的解集不可能是
A． B． ， C． D． ，
6．（2024秋•佛山期末）若关于 的方程 有两相异实根 ， ，且 ，
则实数 的取值范围是
A． ， ， B．
第9页 共13页C． D．
7．（2024秋•固镇县期末）关于 的不等式 的解集中恰有1个整数，则实数
的取值范围是
A． ， ， B． ， ，
C． ， 2， D． ， ，4
8．（2024秋•屯溪区期末）若关于 的不等式 在 ， 上有解，则实数 的
最小值为
A．9 B．5 C．6 D．
9．（2024秋•宿迁期末）设 ， ， 为实数，不等式 的解集是 或 ，
则 的最大值为
A． B． C． D．
10．（2024秋•济南期末）若 ， ，则实数 的取值范围为
A． B．
C． ， ， D． ， ，
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025•余姚市模拟）关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则
下列成立的是
第10页 共13页A． B． C． D．
（多选）12．（2024秋•西峰区期末）关于 的不等式 的解集为 的充分不必要
条件有
A． B． C． D．
（多选）13．（2024秋•南昌县期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，
则下列说法正确的是
A．
B．不等式 的解集为
C．
D． 的最小值为
（多选）14．（2024秋•日照期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，
则
A．
B．
C．不等式 的解集为
D． 的最小值为6
三．填空题（共4小题）
15．（2025春•宝山区月考）已知不等式 的解集为 ，则实数
．
第11页 共13页16．（2025•南通模拟）已知二次不等式 的解集为 ， ， ，则
的取值范围是 ．
17．（2024秋•许昌期末）若不等式 对任意 ， 都成立，则实数 的取值
范围为 ．
18．（2024秋•广东期末）当关于 的不等式 对一切实数 都成立时， 的取值
范围是 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2024秋•朝阳期末）已知函数 ．
（1）若关于 的不等式 的解集为 ，求 ， 的值；
（2）当 时，若关于 的不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．
20．（2024秋•普宁市期末）已知不等式 的解集为 ．
（1）求实数 ， 的值；
（2）解关于 的不等式： 为常数，且
21．（2024秋•西宁期末）已知关于 的不等式 ．
（1）若不等式的解集为 ，求 的值；
（2）若不等式的解集为 ，求 的取值范围．
22．（2024秋•渭滨区期末）已知二次函数 ．
（1）当 取何值时，不等式 对一切实数 都成立？
（2）若 在区间 内恰有一个零点，求实数 的取值范围．
23．（2025春•辽宁月考）已知函数 ．
第12页 共13页（1）求关于 的一元二次不等式 的解集；
（2）若 ， ，使得 成立，求实数 的取值范围．
24．（2025•开福区开学）已知函数 ．
（1）若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）解关于 的不等式 ．
第13页 共13页
