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专题 12 二次函数综合过关检测
（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．抛物线y＝（x﹣2）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（2，4）
【答案】D
【解答】解：由y＝（x﹣2）2+4，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，4）．
故选：D．
2．将抛物线y＝x2+2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的解析式（ ）
A．y＝（x﹣1）2+4 B．y＝（x+1）2+4
C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x+2）2+1
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2的顶点坐标为：（0，2），
∴抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得新抛物线的顶点坐标为：（﹣2，1），
∴所得新抛物线的解析式为：y＝（x+2）2+1．
故选：D．
3．二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣4，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴为直线x＝1
C．顶点坐标为（﹣1，﹣4）
D．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小
【答案】C
【解答】解：二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣4，
∴a＝﹣2，该函数的图象开口向下，故选项A错误；
对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误；
顶点坐标为（﹣1，﹣4），故选项C正确；
当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故选项D错误；
故选：C．
4．二次函数y＝x2﹣2x+1的图象与x轴的交点个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】B
【解答】解：判断二次函数图象与x轴的交点个数，就是当y＝0时，方程x2﹣2x+1＝0解的个数，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴此方程有两个相同的根，
∴二次函数y＝x2﹣2x+1的图象与x轴有一个交点．
故选：B．
5．在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一
条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之
间具有函数关系y＝﹣ x2+ x+ ，则小康这次实心球训练的成绩为（ ）
A．14米 B．12米 C．11米 D．10米
【答案】B
【解答】解：当y＝0时，则﹣ x2+ x+ ＝0，
解得x＝﹣2（舍去）或x＝12．
故选：B．
6．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x ＝﹣1，x ＝2，那么抛物线y＝x2+bx+c的对
1 2
称轴为直线（ ）
A．x＝1 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵一元二次方程的两个根为x ＝﹣1，x ＝2，
1 2
则由韦达定理可得，﹣b＝1，
∴b＝﹣1，
二次函数的对称轴为x＝﹣ ＝ ，
故选：B．
【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
7．已知（﹣2，y ）、（ ，y ），（1，y ）是二次函数y＝ x2+x+c图象上的三点，则y 、y 、y 的大小
1 2 3 1 2 3
关系为（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 2 1 3 1 2 2 3 1 3 2 1
【答案】A
【解答】解：∵y＝ x2+x+c，
∴二次函数y＝ x2+x+c图象的对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，开口向上，
∵点（﹣2，y ）到直线x＝﹣1的距离最近，点（1，y ）到直线x＝﹣1的距离最远，
1 3
∴y ＞y ＞y ．
3 2 1
故选：A．
8．如图是二次函数 和一次函数y ＝kx+t的图象，当y ＜y 时，x的取值范围是（ ）
2 1 2
A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2
【答案】D
【解答】解：根据图像，函数y 和y 的图象的两交点的横坐标为2和﹣1，
1 2
∵当x＜﹣1或x＞2时，二次函数图象在直线的下方，
∴当y ＜y 时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞2，
1 2
故选：D．
9．函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除A；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除B；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除C；
故选：D．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示抛物线的顶点坐标是（1，1），有下列结论：①a＞0；
②b2﹣4ac＞0；③4a+b＝1；④若点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≥a+b+c．其中正确的结
论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，故①正确；
∵抛物线与x轴没有交点，
∴b2﹣4ac＜0，故②错误；
由抛物线的顶点坐标是（1，1），可设抛物线为y＝a（x﹣1）2+1，
∵过点（3，3），
∴3＝4a+1，解得a＝ ，
∵﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a，
【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴4a+b＝2a＝1，故③正确，
∵抛物线的最低点是（1，1），
∴若点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≥a+b+c，故④正确．
故选：C．
二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
11．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2﹣1的对称轴是直线 x ＝ 1 ．
【答案】x＝1．
【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2﹣1，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
故答案为：x＝1．
12．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y≥0，则x的取值范围是 ﹣ 3 ≤ x ≤ 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x＝﹣1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），
所以y≥0时，x的取值范围是﹣3≤x≤1．
故填：﹣3≤x≤1．
13．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为
x ＝﹣ 1 ， x ＝ 3 ．
1 2
【答案】x ＝﹣1，x ＝3．
1 2
【解答】解：根据图象可得：图象与x轴的一个交点是（﹣1，0），对称轴是：x＝1，
【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（﹣1，0）关于x＝1的对称点是：（3，0），
则抛物线与x轴的交点是：（﹣1，0）和（3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为：x ＝﹣1，x ＝3．
1 2
故答案为：x ＝﹣1，x ＝3．
1 2
14．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等
式x2+bx+c＜mx+n的解集为 2 ＜ x ＜ 5 ．
【答案】2＜x＜5．
【解答】解：由图象可得，在点A，B之间的抛物线在直线下方，
∴2＜x＜5时，x2+bx+c＜mx+n，
故答案为：2＜x＜5．
15．若抛物线y＝x2﹣2x﹣2的顶点为A，与y轴的交点为B，则过A，B两点的直线的解析式为 y ＝﹣ x ﹣
2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣3），与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
即A（l，﹣3），B（0，﹣2）
设所求直线的解析式为y＝kx+b
则 ，
解得 ，
∴所求直线的解析式为y＝﹣x﹣2，
故答案为：y＝﹣x﹣2．
16．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA ∥x轴
1
【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
交抛物线于点A ，过点A 作A A ∥OA交抛物线于点A ，过点A 作A A ∥x轴交抛物线于点A ，过点
1 1 1 2 2 2 2 3 3
A 作A A ∥OA交抛物线于点A …，依次进行下去，则点A 的坐标为 （﹣ 101 2 ， 101 2 2 ） ．
3 3 4 4 2023
【答案】（﹣1012，10122）．
【解答】解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y＝x，A （﹣1，1），
1
∵A A ∥OA，
1 2
∴直线A A 为y＝x+2，
1 2
解 得 或 ，
∴A （2，4），
2
∴A （﹣2，4），
3
∵A A ∥OA，
3 4
∴直线A A 为y＝x+6，
3 4
解 得 或 ，
∴A （3，9），
4
∴A （﹣3，9）
5
…，
∴A （﹣1012，10122），
2023
故答案为：（﹣1012，10122）．
三、解答题（本题共7题，共58分）。
17．（6分）已知二次函数y＝﹣2x2+5x﹣2．
（1）写出该函数的对称轴，顶点坐标；
（2）求该函数与坐标轴的交点坐标．
【答案】见试题解答内容
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【解答】解：（1）∵y＝﹣2（x2﹣ x+ ﹣ ）﹣2＝﹣2（x﹣ ）2+ ，
∴抛物线的对称轴x＝ ，顶点坐标为（ ， ）．
（2）对于抛物线y＝﹣2x2+5x﹣2，令x＝0，得到y＝﹣2，令y＝0，得到﹣2x2+5x﹣2＝0，解得x＝2或
，
∴抛物线交y轴于（0，﹣2），交x轴于（2，0）或（ ，0）．
18．（6分）根据下列条件，分别求出二次函数的解析式．
（1）已知图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6）；
（2）已知图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线x＝1．
【答案】（1）y＝2（x+1）2﹣8；
（2）y＝﹣x2+2x+3．
【解答】解：（1）∵图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8），且过点（0，﹣6），
∴设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣8，
把（0，﹣6）代入得：
﹣6＝a（0+1）2﹣8，
解得：a＝2，
故二次函数的解析式为：y＝2（x+1）2﹣8；
（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3），对称轴为直线x＝1代入得：
，
解得： ，
故二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
19．（8分）我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．
（1）求抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”；
（2）求抛物线y＝x2﹣2x+2与直线y＝x﹣1的“和谐值”．
【答案】见试题解答内容
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【解答】解：（1）∵y＝（x﹣1）2+1，
∴抛物线上的点到x轴的最短距离为1，
∴抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴的“和谐值”为1；
（2）如图，P点为抛物线y＝x2﹣2x+2任意一点，作PQ∥y轴交直线y＝x﹣1于Q，
设P（t，t2﹣2t+2），则Q（t，t﹣1），
∴PQ＝t2﹣2t+2﹣（t﹣1）＝t2﹣3t+3＝（t﹣ ）2+ ，
当t＝ 时，PQ有最小值，最小值为 ，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3与直线y＝x﹣1的“和谐值”为 ．
20．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A（﹣1，0），与y轴的交
点坐标为C（0，3）．
（1）求抛物线对应的函数表达式及与x轴的另一个交点B的坐标．
（2）根据图象回答：当x取何值时，y＜0．
（3）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PA+PC的值最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，B（3，0）；
（2）当x＜﹣1或x＞3时，y＜0．
（3）PA+PC的最小值为 ，此时点P的坐标为（1，2）．
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【解答】解：（1）将A（﹣1，0）和C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得
，解得 ，
∴抛物线对应的函数表达式是y＝﹣x2+2x+3，
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴B（3，0）；
（2）当x＜﹣1或x＞3时，y＜0．
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2＝4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1，
∴点A、B关于直线x＝1对称，
连接BC，交抛物线的对称轴于一点即为点P，此时AP+CP的值最小，且AP+CP＝BC，
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝ ＝3 ，
设直线BC的解析式为y＝kx+a，
∴ ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴P（1，2），
∴PA+PC的最小值为3 ，此时点P的坐标为（1，2）．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过x轴上的两点A、B，与y轴交于
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点C，直线AC的解析式为 ．
（1）求点A、C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，过点P作PQ⊥x轴于M，交AC于Q，求PQ最大时，
点P的坐标及PQ的最大值．
【答案】（1）A（4，0），C（0，2）；
（2） ；
（3）P（2，2），PQ最大值为1．
【解答】解：（1）在 中，
令x＝0，则y＝2，
令y＝0，则x＝4，
∴A（4，0），C（0，2）；
（2）把A（4，0），C（0，2）代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（3）∵点P为直线AC上方的抛物线上的一点，PQ⊥x轴，
∴设 ，
则 ，
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∴
＝
＝
＝ ，
∵ ，
∴当m＝2时，PQ最大，最大值为1，
此时P（2，2）．
22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接
BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方的抛物线上的一点，连接PB，PC，求△PBC的面积的最大值以及此时点P的
坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，点M是新抛物线的对称轴上的一点，N
是新抛物线一动点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）点P（ ， ），△PBC的面积的最大值为 ；
（3）点M的坐标为（2，﹣8）或（2，﹣2）或（2，0）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）和点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
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得 ，
解得 ，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，过点P作PF⊥AB于F，交BC于E，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象与y轴的交点为点C，
∴点C（0，3），
∵点B（3，0），
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
设点P（t，﹣t2+2t+3），
∴点E（t，﹣t+3），
∴PE＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴△PBC的面积＝ ×（﹣t2+3t）×3＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
∴当t＝ 时，△PBC的面积的最大值为 ，
∴点P（ ， ）；
（3）∵将抛物线y＝﹣x2+2x+3向右平移1个单位得到新抛物线，
∴y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x，
∴新抛物线的对称轴为直线x＝2，
设点M（2，m），点N（n，﹣n2+4n），
当BC为边时，若四边形BCNM是平行四边形，
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∴ ， ＝ ，
∴n＝﹣1，m＝﹣8，
∴点M（2，﹣8）；
若四边形BCMN是平行四边形，
∴ ， ＝ ，
∴n＝5，m＝﹣2，
∴点M（2，﹣2）；
若BC为对角线时，则四边形BMCN是平行四边形，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴n＝1，m＝0，
∴点M（2，0）；
综上所述：点M的坐标为（2，﹣8）或（2，﹣2）或（2，0）．
23．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左
侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直
线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的
坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
【14淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
得： ，
解得 ，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）能．
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把C（0，5），B（5，0）代入得 ，
解得 ，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE ：S△BEF ＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x ＝ ，x ＝5（舍去），此时D点坐标为（ ， ）；
1 2
当DE：EF＝3：2时，S△BDE ：S△BEF ＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x ＝ ，x ＝5（舍去），此时D点坐标为（ ， ）；
1 2
综上所述，当点D的坐标为（ ， ）或（ ， ）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的
两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
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设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，此时
M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此
时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t ＝6，t ＝
1 2
﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．
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