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专题 19 图形的相似与位似过关检测
（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵ ，
∴设x＝10k，y＝7k，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
故选：C．
2．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝2，AB＝6，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ，
∵AD＝2，AB＝6，
∴DB＝AB﹣AD＝4，
∴ ＝ ＝ ，
故选：C．
3．如图，DF∥AC，DE∥BC，下列各式中正确的是（ ）
【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【答案】D
【解答】解：∵DF∥AC，
∴ ＝ ，所以A选项错误；
∵DE∥BC，
∴ ＝ ，所以C选项错误；
而 ＝ ，
∴ ＝ ，
∵DE∥CF，DF∥CE，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴CF＝DE，
∴ ＝ ，即 ＝ ，所以B选项错误；
∵DE∥BC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，所以D选项正确．
故选：D．
4．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：3，则△ABC与△DEF的面积比为
（ ）
【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．1：3 B．2：3 C．4：5 D．1：9
【答案】D
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴AB：DE＝OA：OD＝1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，
故选：D．
5．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开．剪下的阴影三角形与原三
角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠B＝60°，
∴△DEC∽△ABC，
故A不符合题意；
【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
B、∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，
∴△CDE∽△CBA，
故B不符合题意；
C、由图形可知，BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
BD＝BC﹣CD＝8﹣5＝3，
∵ ， ，
∴ ，
又∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
故C不符合题意；
D、由已知条件无法证明△ADE与△ABC相似，
故D符合题意，
故选：D．
6．如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退
（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小明的眼睛离地
面高度为1.6m，同时量得小明与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为12m，则旗杆高度为
（ ）
A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
【答案】C
【解答】解：如图，由题意得，AB＝1.6m，BC＝2m，CD＝12m，
根据镜面反射可知：∠ACB＝∠ECD，
∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∴△ACB∽△ECD，
【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ，即 ，
∴ED＝9.6（m），
故选：C．
7．在三角形ABO中，已知点A（﹣6，3），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为 ，把
△ABO缩小，则点A的对称点A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
【答案】D
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，点A的坐标为（﹣6，3），
∴点A的对称点A′的坐标为（﹣6× ，3× ）或（6× ，﹣3× ），即（﹣2，1）或（2，﹣1），
故选：D．
8．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6，点D是边AB上一点，且BD＝2，点P是边BC上一动点（D、P
两点均不与端点重合），作∠DPE＝60°，PE交边AC于点E．若CE＝a，当满足条件的点P有且只有
一个时，则a的值为（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BDP+∠BPD＝180°﹣∠B＝120°，
【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵∠DPE＝60°，
∴∠BPD+∠CPE＝120°，
∴∠BDP＝∠CPE，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△BDP∽△CPE；
∴ ，
∴ ，
∴BP2﹣6BP+2a＝0，
∵满足条件的点P有且只有一个，
∴方程BP2﹣6BP+2a＝0有两个相等的实数根，
∴△＝62﹣4×2a＝0，
∴a＝ ．
故选：C．
9．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在
点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形
ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（ ）
A． ﹣1 B． ﹣1 C． +1 D． +1
【答案】C
【解答】解：设HG＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，
由折叠得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，
∴四边形ADHE是矩形，
∵AD＝DH，
【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴四边形ADHE是正方形，
∴AD＝HE＝1，
∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：x＝ ﹣1或x＝﹣ ﹣1，
经检验：x＝ ﹣1或x＝﹣ ﹣1都是原方程的根，
∵GH＞0，
∴GH＝ ﹣1，
∴DC＝2+x＝ +1，
故选：C．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接
DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点 P作PN⊥AC，垂足为N，连接
PM．有下列四个结论：
①AE垂直平分DM；
②PM+PN的最小值为3 ；
③CF2＝GE•AE；
④S△ADM ＝6 ．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③
【答案】D
【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，
∵BF＝CE，
∴BC﹣BF＝DC﹣CE，
即CF＝DE，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠ADG＝90°，
∴∠DAE+∠ADG＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∴∠AGM＝90°，
∴∠AGM＝∠AGD，
∵AE平分∠CAD，
∴∠MAG＝∠DAG，
又AG为公共边，
∴△AGM≌△AGD（ASA），
∴GM＝GD，
又∵∠AGM＝∠AGD＝90°，
∴AE垂直平分DM，
故①正确；
②如图，连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
即DO⊥AM，
∵AE垂直平分DM，
∴HM＝HD，
当点P与点H重合时，PM+PN的值最小，此时PM+PN＝HM+HO＝HD+HO＝DO，即PM+PN的最小
值是DO的长，
【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AC＝BD＝ ，
∴ ，
即PM+PN的最小值为 ，
故②错误；
③∵AE垂直平分DM，
∴∠DGE＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DGE＝∠ADE，
又∵∠DEG＝∠AED，
∴△DGE∽△ADE，
∴ ，
即DE2＝GE•AE，
由①知CF＝DE，
∴CF2＝GE•AE，
故③正确；
④∵AE垂直平分DM，
∴AM＝AD＝4，
又 ，
∴ ，
故④错误；
综上，正确的是：①③，
故选：D．
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二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分）。
11．若四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3，c＝4，d＝6，则a＝ 2 ．
【答案】2．
【解答】解：根据题意得a：3＝4：6，
所以a＝2．
故答案为：2．
12．已知△ABC∽△DEF，其相似比为2：3，则它们的周长之比为 2 ： 3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，其相似比为2：3，
∴它们的周长比为2：3，
故答案为2：3．
13．已知线段a＝3cm，b＝4cm，那么线段a、b的比例中项等于 2 cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵线段a＝3cm，b＝4cm，
∴线段a、b的比例中项＝ ＝2 cm．
故答案为：2 ．
14．如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE＝2：3，BF＝10，那么线段DF的长为 6 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
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∴ ＝ ＝ ，
∵BF＝10，
∴DF＝10× ＝6；
故答案为：6．
15．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交
AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：∵AB⊥AD，AD⊥DE，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴DE∥AB，
∴∠CED＝∠CAB，
∵∠C＝∠C，
∴△CED∽△CAB，
∵DE＝1，AB＝2，即DE：AB＝1：2，
∴S△DEC ：S△ACB ＝1：4，
∴S四边形ABDE ：S△ACB ＝3：4，
∵S四边形ABDE ＝S△ABD +S△ADE ＝ ×2×2+ ×2×1＝2+1＝3，
∴S△ACB ＝4，
故答案为：4．
16．如图，四边形ABCD是正方形，点E在CB的延长线上，连接AE，AF⊥AE交CD于点F，连接EF，
点H是EF的中点，连接BH，则下列结论中：
①BE＝DF；
②∠BEH＝∠BAH；
③ ；
【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
④若AB＝4；DF＝1，则△BEH的面积为 ．
其中正确的是 ①②③ ．（将所有正确结论的序号填在横线上）
【答案】①②③．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADC＝∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90°＝∠ADE，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF＝∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE＝DF，
故①的结论正确；
②∵△ABE≌△ADF，
∴AE＝AF，
∵H点EF的中点，
∴AH⊥EF，
∴∠AHG＝∠EBG＝90°，
∵∠AGH＝∠BGE，
∴∠BEH＝∠BAH，
故②的结论正确；
③∵∠AGH＝∠EGB，∠AHG＝∠EBG＝90°，
【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴△AGH∽△EGB，
∴ ，
∵∠AGE＝∠HGB，
∴△AGE∽△HGB，
∴∠AEG＝∠HBG，
∵AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴∠AEF＝45°，
∴∠HBG＝45°，
∴∠CBH＝45°，
过H作HK⊥BC于点K，
∴HK∥CF，
∵H是EF的中点，
∴HK是△CEF的中位线，
∴CF＝2HK，
∵∠HBK＝45°，
∴BH＝ HK，
∴ ，
故③的结论正确；
④∵AB＝4；DF＝1，
∴BE＝DF＝1，CF＝4﹣1＝3，
∴HK＝ CF＝ ，
∴ ，
故④的结论错误；
∴正确的是：①②③．
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故答案为：①②③．
三、解答题（本题共7题，共58分）。
17．（6分）已知：a：b：c＝3：4：5．
（1）求代数式 的值；
（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
（1） ＝ ＝ ；
（2）∵3a﹣b+c＝10，
∴9k﹣4k+5k＝10，
解得k＝1，
∴a＝3，b＝4，c＝5．
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D．
（1）在BC边上求作点E，使△ACE∽△BCD；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接DE，若AB＝6，DE＝2，求DC的长．
【答案】（1）见解答；
（2） ．
【解答】解：（1）如图所示，点E即为所求．
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（2）∵AB＝AC＝6，AD⊥BC，
∴BE＝CE，
∵DE＝2，
∴BC＝4，
∵△ACE∽△BCD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得CD＝ ．
19．（8分）如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B，AB＝10，AD＝8，DE＝
4．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）求BC的长．
【答案】（1）见解析；
（2）BC的长为5．
【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠B，又∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC；
（2）解：由（1）得：△ADE∽△ABC， ，
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即 ，
解得：BC＝5，
答：BC的长为5．
20．（8分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE．求证：
（1）AB•AE＝AC•AD．
（2）△ADE∽△ABC．
【答案】见解答．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD∽△ACE，
∴ ＝ ，
∴AB•AE＝AC•AD；
（2）∵△ABD∽△ACE，
∴∠BAD＝∠CAE， ＝ ，
∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
即∠BAC＝∠DAE，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴△ADE∽△ABC．
21．（8分）如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB＝h，灯柱的高OP＝O′P′＝l，两灯柱
之间的距离OO′＝m．
（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA＝a，求他影子AC的长；
（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值？请说明理由；
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【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由已知：AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC．
∵ ，
∵OP＝l，AB＝h，OA＝a，
∴ ，
∴解得： ．
（2）∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴ ，
即 ，即 ．
∴ ．
同理可得： ，
∴ ＝ 是定值．
22．（10分）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿
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CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点
时，另一个点随之停止．
（1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的 ？
（2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？
【答案】（1）经过2秒或3秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的 ；（2）经过 秒或 秒，
△PCQ与△ABC相似．
【解答】解：（1）设经过t秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的 ，
则，PC＝2t，BQ＝t，CQ＝5﹣t，
∴ ×2t×（5﹣t）＝ × ×12×5，
整理得t2﹣5t+6＝0，
解得t ＝2，t ＝3，
1 2
∵0＜t＜5，
∴经过2秒或3秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的 ．
（2）①设经过x秒后△PCQ∽△ACB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得x＝ ，
②设经过x秒后△PCQ∽△BCA，
∴ ＝ ，
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∴ ＝ ，
解得x＝ ；
∴经过 秒或 秒，△PCQ与△ABC相似．
23．（10分）综合与探究
在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．
（1）如图①，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图②，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求EF的长；
（3）如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，请直
接写出 的值．
【答案】（1）∠CBE＝15°；
（2）EF＝3；
（3） ＝ ．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，
∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
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∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°，
∵BC＝2AB，
∴BF＝2AB，
∴∠AFB＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF＝30°，
∴∠CBE＝ ∠FBC＝15°；
（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，
又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴ ，
∴AF•DF＝AB•DE，
∵AF•DF＝10，AB＝5，
∴DE＝2，
∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3，
∴EF＝3；
（3）过点N作NG⊥BF于点G，
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∵NF＝AN+FD，
∴NF＝ AD＝ BC，
∵BC＝BF，
∴NF＝ BF，
∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴ ，
设AN＝x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x，
设FG＝y，则AF＝2y，
∵AB2+AF2＝BF2，
∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，
解得y＝ x．
∴BF＝BG+GF＝2x+ x＝ x．
∴ ＝ ．
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