文档内容
第1讲 平面向量的概念及线性运算
最新考纲 考向预测
1.了解向量的实际背景. 主要考查平面向量的线
2.理解平面向量的概念，理解两个向量 性运算(加法、减法、数乘
相等的含义. 向量)及其几何意义、共线
命题
3.理解向量的几何表示. 向量定理，有时也会有创
趋势
新的新定义问题；题型以
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其
选择题、填空题为主，属
几何意义.
于中低档题目.
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，
理解两个向量共线的含义.
核心
数学抽象、数学运算
6.了解向量线性运算的性质及其几何意
素养
义．
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0 的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于 1 个单位 的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向
量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
[注意] (1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．
(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.
2．向量的线性运算
向量 定义 法则(或几 运算律运算 何意义)
交换律：a＋b＝b
求两个向量和的 ＋ a；
加法
运算 结合律：(a＋b)＋c
＝ a ＋ ( b ＋ c )
求a与b的相反向
减法 a－b＝a＋(－b)
量－b的和的运算
|λ a|＝ | λ | | a |，当λ>0时，λa
与a的方向相同； λ(μ a)＝ ( λμ ) a ；
求实数λ与向量a 当λ<0时，λ a与 a的方 (λ＋μ)a＝ λ a ＋
数乘
的积的运算 向相反； μ_a；
当λ＝0时， λ(a＋b)＝ λ a ＋ λ b
λ a＝0
3.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得 b ＝ λ a ．
常用结论
1．三点共线的等价转化
A，P，B三点共线⇔AP＝λAB(λ≠0)⇔OP＝(1－t)·OA＋tOB(O为平面内异于
A，P，B的任一点，t∈R)⇔OP＝xOA＋yOB.(O为平面内异于A，P，B的任一点，
x∈R，y∈R，x＋y＝1)
2．向量的中线公式
若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP＝(OA＋OB)．
常见误区
1．若两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等；但两个相等向量不一
定有相同的起点和终点．
2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定．
3．注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( )
(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )(3)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
2．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是( )
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若ma＝na，则m＝n
解析：选AB.C错误，例如m＝0；D错误，例如a＝0；A，B是数乘运算的分配
律，正确．故答案为AB.
3．如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若AB＝a，AD＝b，用a，b表示
MD为( )
A.a＋b B．a－b
C．－a－b D．－a＋b
解析：选D.MD＝BD＝(AD－AB)＝(b－a)＝－a＋b.
4．化简：
(1)(AB＋MB)＋BO＋OM＝________．
(2)NQ＋QP＋MN－MP＝________．
解析：(1)原式＝AB＋BO＋OM＋MB＝AB.
(2)原式＝NP＋PN＝0.
答案：(1)AB (2)0
5．在平行四边形ABCD中，若|AB＋AD|＝|AB－AD|，则四边形ABCD的形状
为________．
解析：如图，因为AB＋AD＝AC，AB－AD＝DB，所以|AC|＝|DB|.由对角线长
相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．
答案：矩形平面向量的有关概念
[题组练透]
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
解析：选C.当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|<1时，
|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边
表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与
λ2a的方向相同，故选C.
2．(多选)下列命题中不正确的是( )
A．两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同
B．若非零向量AB与CD共线，则A，B，C，D四点共线
C．若非零向量a与b共线，则a＝b
D．四边形ABCD是平行四边形，则必有|AB|＝|CD|
解析：选ABC.对于A，相等向量的始点相同，则终点也一定相同，所以A不
正确；对于B，向量AB与CD共线，只能说明AB，CD所在直线平行或在同一条直线
上，所以B不正确；对于C，非零向量a与b共线，则a与b的方向相同或相反，但
a与b不一定相等，所以C不正确；对于D，因为四边形ABCD是平行四边形，所
以|AB|＝|CD|，所以D正确．故选ABC.
3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
解析：选C.因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，
所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.
当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．
平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与
函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．
平面向量的线性运算
(1)(2020·西安五校联考)如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的
两个三等分点，则AB＝( )
A.AC－AD B．2AC－2AD
C.AD－AC D．2AD－2AC
(2)(2020·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC，点E是线段
BC的中点，若AE＝λAB＋μAD，则λ＝________，μ＝________．
【解析】 (1)连接CD，因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CD∥AB，且
AB＝2CD.所以AB＝2CD＝2(AD－AC)＝2AD－2AC，故选D.
(2)取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD.
因为AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(FC－FB)＝AB＋＝AB＋AD，所以λ＝，μ
＝.
【答案】 (1)D (2)
向量线性运算的解题策略
(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向
量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形
法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个
平行四边形或三角形中求解．
(2020·吉林梅河口五中4月模拟)在△ABC中，延长BC至点M
使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且AN＝AM，若AN＝λAB＋μAC，则λ
＋μ＝( )
A. B．
C．－ D．－解析：选A.由题意，知AN＝AM＝(AB＋BM)＝AB＋×BC＝AB＋(AC－AB)＝
－AB＋AC，所以λ＝－，μ＝，则λ＋μ＝，故选A.
平面向量共线定理的应用
设两个非零向量a与b不共线．
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解】 (1)证明：因为AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，
所以BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB，
所以AB，BD共线，又它们有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
(2)因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，
所以k＝±1.
【引申探究】
1．(变条件)若将本例(1)中“BC＝2a＋8b”改为“BC＝a＋mb”，若A，B，D
三点共线，则m＝________．
解析：BC＋CD＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b，即BD＝4a＋(m－3)b.
若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使BD＝λAB，
即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)，
所以解得m＝7.
故当m＝7时，A，B，D三点共线．
答案：7
2．(变结论)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k＝________．
解析：因为ka＋b与a＋kb反向共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)，
所以所以k＝±1.
又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.
故当k＝－1时两向量反向共线．答案：－1
[提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．
1．已知向量a与b不共线，AB＝a＋mb，AC＝na＋b(m，n∈R)，则AB与AC共
线的条件是( )
A．m＋n＝0 B．m－n＝0
C．mn＋1＝0 D．mn－1＝0
解析：选D.由AB＝a＋mb，AC＝na＋b(m，n∈R)共线，得a＋mb＝λ(na＋b)，
即所以mn－1＝0.
2．已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P
一定在( )
A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上
C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上
解析：选B.由CB＝λPA＋PB得CB－PB＝λPA，CP＝λPA.则CP，PA为共线向量
又CP，PA有一个公共点P，所以C，P，A三点共线，即点P在直线AC上．
[A级 基础练]
1．对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若a＋2b＝0，则a＝－2b，所以a∥b.
若a∥b，则a＋2b＝0不一定成立，
故前者是后者的充分不必要条件．
2．(多选)如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式正确的是(
)
A.AP＝AB B．AQ＝ABC．BP＝－AB D．AQ＝BP
解析：选ABC.由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误
3．(2020·长沙市统一模拟考试)如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点
F满足CF＝2FB，那么EF＝( )
A.AB－AD B．AB＋AD
C.AB－AD D．AB＋AD
解析：选C.因为E为DC的中点，所以EC＝DC.因为CF＝2FB，所以CF＝CB.
所以EF＝EC＋CF＝DC＋CB＝AB＋DA＝AB－AD，故选C.
4．(多选)设a，b是不共线的两个平面向量，已知PQ＝a＋sin α·b，其中
α∈(0，2π)，QR＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角α的值可以为( )
A. B．
C. D．
解析：选CD.因为P，Q，R三点共线，所以PQ与QR共线，所以存在实数λ，使
PQ＝λQR，所以a＋sin α·b＝2λa－λb，因为a，b是不共线的两个平面向量，所以
解得sin α＝－.又α∈(0，2π)，故α可为或.
5．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b
共线的是( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中AB＝a，CD＝b
解析：选AB.对于A，因为向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e且a＋2b＝
－2e，所以a＝e，b＝－e，此时能使a，b共线，故A正确；对于B，由共线定理知，
存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，则非零向量a，b是共线向量， 故B正确；对于
C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)，如果x＝y＝0，则不能保证a，b共线，
故C不正确；对于D，已知梯形ABCD中，AB＝a，CD＝b，AB，CD不一定是梯形
的上、下底，故D错误．故选AB.
6．若|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2，则|AB＋AC|＝________．
解析：因为|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝|CB|＝2，所以△ABC是边长为2的正三角形，
所以|AB＋AC|为△ABC的边BC上的高的2倍，
所以|AB＋AC|＝2.
答案：2
7．已知e ，e 为平面内两个不共线的向量，MN＝2e －3e ，NP＝λe ＋6e ，若
1 2 1 2 1 2
M，N，P三点共线，则λ＝________．
解析：因为M，N，P三点共线，
所以存在实数k使得MN＝kNP，
所以2e －3e ＝k(λe ＋6e )，
1 2 1 2
又e ，e 为平面内两个不共线的向量，
1 2
可得解得λ＝－4.
答案：－4
8．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝
________，BC＝________．(用a，b表示)
解析：如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－
b.
答案：b－a －a－b
9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝
2GE，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.
解：AD＝(AB＋AC)＝a＋b；
AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.
10．已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)．
(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.
证明：(1)若m＋n＝1，
则OP＝mOA＋(1－m)OB
＝OB＋m(OA－OB)，所以OP－OB＝m(OA－OB)，
即BP＝mBA，所以BP与BA共线．
又因为BP与BA有公共点B，
所以A，P，B三点共线．
(2)若A，P，B三点共线，
则存在实数λ，使BP＝λBA，所以OP－OB＝λ(OA－OB)．
又OP＝mOA＋nOB.
故有mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB，
即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0.
因为O，A，B三点不共线，所以OA，OB不共线，
所以所以m＋n＝1.
[B级 综合练]
11．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若AM＝AB＋AC，则点M是边BC的中点
B．若AM＝2AB－AC，则点M在边BC的延长线上
C．若AM＝－BM－CM，则点M是△ABC的重心
D．若AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的
解析：选ACD.若AM＝AB＋AC，则点M是边BC的中点，故A正确；
若AM＝2AB－AC，即有AM－AB＝AB－AC，即BM＝CB，
则点M在边CB的延长线上，故B错误；
若AM＝－BM－CM，
即AM＋BM＋CM＝0，
则点M是△ABC的重心，故C正确；
如图，AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝，
可得2AM＝2xAB＋2yAC，
设AN＝2AM，
则M为AN的中点，
则△MBC的面积是△ABC面积的，故D正确．
故选ACD.12．(2020·唐山模拟)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC
＝2，点E在线段CD上，若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是________．
解析：由已知AD＝1，CD＝，所以AB＝2DC.
因为点E在线段CD上，所以DE＝λDC(0≤λ≤1)．
因为AE＝AD＋DE，
又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋DE，
所以＝1，即μ＝.
因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤.
答案：
13．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若
AB＝a，BC＝b，AB＝2DC.
(1)用a，b表示AM；
(2)证明：A，M，C三点共线．
解：(1)AD＝AB＋BC＋CD
＝a＋b＋＝a＋b，
又E为AD的中点，
所以AE＝AD＝a＋b，
因为EF是梯形ABCD的中位线，且AB＝2DC，
所以EF＝(AB＋DC)＝＝a，
又M，N是EF的三等分点，
所以EM＝EF＝a，
所以AM＝AE＋EM＝a＋b＋a
＝a＋b.
(2)证明：由(1)知MF＝EF＝a，
所以MC＝MF＋FC＝a＋b＝AM，
又MC与AM有公共点M，所以A，M，C三点共线．
14．已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.
若AP＝λAB，△ABC与△APQ的面积之比为，求实数λ的值．
解：设AQ＝xAC，
因为P，G，Q三点共线，
所以可设AG＝μAP＋(1－μ)AQ，
所以AG＝λμAB＋(1－μ)xAC，
因为G为△ABC的重心，所以AG＝(AB＋AC)，
所以AB＋AC＝λμAB＋(1－μ)xAC，
所以两式相乘得＝λxμ(1－μ)，①
因为＝，
所以λx＝，②
②代入①即＝μ(1－μ)，
解得μ＝或，即λ＝或.
[C级 创新练]
15．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一
个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星
中，以P，Q，R，S，T为顶点的多边形为正五边形，且＝.下列关系中正确的是(
)
A.BP－TS＝RS B．CQ＋TP＝TS
C.ES－AP＝BQ D．AT＋BQ＝CR
解析：选A.由已知，BP－TS＝TE－TS＝SE＝＝RS，所以A正确；
CQ＋TP＝PA＋TP＝TA＝ST，所以B错误；
ES－AP＝RC－QC＝RQ＝QB，所以C错误；
AT＋BQ＝SD＋RD，CR＝RS＝RD－SD，若AT＋BQ＝CR，则SD＝0，不合题意
所以D错误．
16.(2020·上海进才中学月考)如图，O为直线A A 外一点．若A ，A ，A ，
0 2 021 0 1 2
A ，…，A 中任意相邻两点的距离相等，设OA0＝a，OA ＝b，用a，b表示OA0
3 2 021 2 021
＋OA1＋OA2＋…＋OA2 021＝________．
解析：设A为线段A A 的中点，则A也为线段A A ，A A ，…，A A
0 2 021 1 2 020 2 2 019 1 010 1
的中点．由平行四边形法则，知OA0＋OA2 021＝2OA＝a＋b，OA1＋OA2 020＝
011
2OA＝a＋b，…，OA1 010＋OA1 011＝2OA＝a＋b，所以OA0＋OA1＋OA2＋…＋
OA2 021＝1 011(a＋b)．
答案：1 011(a＋b)
