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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第三章 函数
3.5 二次函数的应用
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 抛物线与线段长、 数学中考中，有关二次函数实际应用的部分，每年
☆☆
面积、角度 若考查会出现1道题,分值为3~10分，通常以选择
题、填空题、解答题的形式考查。对于这部分知识
考点2 二次函数的实际应 的复习需要学生熟练平时多训练，掌握解题技巧，
☆☆
用 会根据实际问题建立二次函数模型，求出函数解析
式，会求解二次函数极值，注意自变量取值范围，
考点3 二次函数图象中的 应用二次函数知识解答。
☆☆
斜三角形面积问题
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
夯实基础
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考点1. 抛物线与线段长、 面积、角度
此类问题一般是通过分析动点在几何图形边上的运动情况，确定出有关动点函数图象的变化情况．
分析此类问题，首先要明确动点在哪条边上运动，在运动过程中引起了哪个量的变化，然后求出在
运动过程中对应的函数表达式，最后根据函数表达式判别图象的变化．
1.线段问题
（1）确定线段长关系式（根据已知线段关系求点坐标）：先在图中找出对应线段，弄清已知点和未
知点；再联系二次函数和一次函数，设出未知点的坐标，使其只含一个未知数；继而表示出线段的
长度（如果该线段与坐标轴平行的话，则利用横纵坐标相加减确定；如果与坐标轴不平行的话，先
转化为有边在与坐标轴平行的三角形中，再利用勾股定理、锐角三角函数或相似确定）.
（2）线段数量关系问题：根据前面所得的线段长的关系式，结合题干列出满足线段数量关系的方程，
解方程求解即可（注意排除不符合题意的数值）
（3）线段最值问题：求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，首先联想到“对
称性质”，并进行解决。
2.面积问题
（1）设动点或图形运动的时间并表示出点的坐标；
（2）用含有未知数的代数式表示出图形的面积；
（3）用二次函数的知识来求最大值或最小值时，常采用配方法求解；
（4）特别注意，当所研究的图形在运动过程中发生变化，要根据图形的形状进行分类讨论，注意分
析整个过程中图形的变化情况，以防漏解.分类讨论时要注意在每一种情况下的自变量的取值范围.
求面积最值时，分别求出图形的面积在每种情况下的最值，比较即可得到面积的最值.
（5）面积为定值时，可将图形面积与图形中动点的坐标结合起来，列方程求得参数的值即可求得点
坐标.
3.角问题
将二次函数图像上的三角形三顶点坐标求出，可以求出三边长度，作高，利用三角函数的定义求出
角的正弦、或余弦、或正切值，最后得出角的大小。
考点2. 二次函数的实际应用
在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要
读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条
件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．
主要考查的类型有：
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1. 几何图形的最大面积问题
（1）求出函数解析式和自变量的取值范围；
（2）配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
（3）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
【提示】求几何图形最大最小面积时需要考虑两个方面
一个关键：依据常见几何图形的面积公式，建立函数关系式；
一个注意：最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定。
2. 商品利润最大问题
求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润
×销售量”
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
3. 拱桥问题和运动中的抛物线问题
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【重要提醒】求二次函数的最大（或最小）值思路
当自变量的范围有限制时，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的最值可以根据以下步
骤来确定：
1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.
3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最
大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.
考点3. 二次函数图象中的斜三角形面积问题
分别表示出三角形三个顶点坐标，再表示出三边的长度，分类讨论，列方程解出坐标.
通过作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系求解三角形高，利用三角形面积公式求出其面积.
【易错点提示】二次函数存在点的问题
1. 解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出
该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其
他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，
否则该点不存在．
2. 函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次
函数综合题．
（1）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的
函数表达式，进而确定函数图象；
（2）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合
直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有
关的条件进行计算．
考点1 抛物线与线段长、 面积、角度
【例题1】（2024甘肃）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ，
两点，点 在 轴上，且 ， ， 分别是线段 ， 上的动点（点 ，
不与点 ， ， 重合）．
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（1）求此抛物线的表达式；
（2）连接 并延长交抛物线于点 ，当 轴，且 时，求 的长；
（3）连接 ．
①如图2，将 沿 轴翻折得到 ，当点 在抛物线上时，求点 的坐标；
②如图3，连接 ，当 时，求 的最小值．
【答案】（1） （2） （3）① ；②
【解析】【分析】（1）把点B代入抛物线关系式，求出a的值，即可得出抛物线的关系式；
（2）根据抛物线 可求出点A的坐标，点C的坐标，根据 ，利用三角函
数，求出DE的长，再求出点E的坐标，根据点P与点E的横坐标相同，得出点P的横坐标，代入
抛物线的关系式，求出点P的纵坐标，即可得出EP的值，最后求出DP的值即可；
（3）①连接 交 于点 ，设 ，则 ，求出
，得出点 ，将其代入抛物线关系式，列
出关于a的方程，解方程，求出a的值，即可得出G的坐标；
②在 下方作 且 ，连接 ， ，证明 ，得出
，说明当 ， ， 三点共线时， 最小，最小为 ，过 作
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，垂足为 ，先证明∠CAH=45°，算出AC长度，即可求出CH、AH，得出HQ，最后
根据勾股定理求出CQ的长度即可得出结果．
【详解】（1）∵ 在抛物线 上，
∴ ，解得 ，
∴ ，即 ；
（2）在 中，令 ，得 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ．
（3）①连接 交 于点 ，如图1所示：
∵ 与 关于 轴对称，
∴ ， ，
设 ，则 ，
，
∴ ，
∵点 在抛物线 上，
∴ ，
解得 （舍去）， ，
∴ ；
②在 下方作 且 ，连接 ， ，如图2所示：
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 ， ， 三点共线时， 最小，最小为 ，
过 作 ，垂足为 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
， ，
，
∴
，
即 的最小值为 ．
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【变式练1】（2024山东泰安一模）在平面直角坐标系 中，直线 与x轴
交于点A，与抛物线 交于B，C两点（B在C的左边）．
（1）求A点的坐标；
（2）如图1，若B点关于x轴的对称点为 点，当以点A， ，C为顶点的三角形是直角三角形时，
求实数a的值；
（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如 ， 等均为
格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26
个，求a的取值范围．
【答案】（1） （2） 或 ； （3） 或 ．
【解析】【分析】（1）对于直线 ，令 ，求出x，即可求解；
（2）表示出点 ， ， 的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论；
（3）直线 与抛物线 所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在 轴和直线 上，各
为13个，分别求出 的范围．
【小问1详解】
解：对于直线 ，
当 时， ，
∴A点的坐标为 ；
【小问2详解】
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解：联立直线 与抛物线 得：
，
，
或 ，
， ，
点关于 轴的对称点为 点，
，
，
，
，
若 ，则 ，即 ，所以 ，
若 ，则 ，即 ，所以 ，
若 ，则 ，即 ，此方程无解．
或 ；
【小问3详解】
解：如图，直线 与抛物线 所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在 轴和直线
上，
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， ， ，
，
格点数恰好是26个，
落在 轴和直线 上的格点数应各为13个，
落在 轴的格点应满足 ，即 ，
①若 ，即 ，
所以线段 上的格点应该为 ， ， ， ，
②若 ， ， ，所以线段 上的格点正好13个，
综上， 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性
质，勾股定理，关键是弄清格点只能落在 轴和直线 上，各为13个，并对点 、 进行定位．
【变式练2】（2024湖北一模）已知抛物线 与 轴交于点 和点 两点，与
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轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 是抛物线上一动点（不与点 ， ， 重合），作 轴，垂足为 ，连接 ．
①如图1，若点 在第三象限，且 ，求点 的坐标；
②直线 交直线 于点 ，当点 关于直线 的对称点 落在 轴上时，求四边形
的周长．
【答案】（1） （2）① ；② 或
【解析】
【分析】（1）把点 ， 代入，即可求解；
（2）①过点C作CQ⊥DP于点Q，可得△CPQ为等腰直角三角形，从而得到PQ=CQ，设点
，则OD=-m， ，再由四边形OCQD为矩形，可得
QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，从而得到 ，即可求解；②过点E作EM∥x轴于点
M，先求出直线BC的解析式为 ，证得四边形 为菱形，可得
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，然后根据△CEM∽△CBO，设点 ，则点 ，
然后分三种情况讨论，即可求解．
解：（1）把点 ， 代入得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：①如图，过点C作CQ⊥DP于点Q，
∵点C（0，-3），∴OC=3，
∵ ，
∴△CPQ为等腰直角三角形，∴CQ=PQ，
设点 ，则OD=-m， ，
∵ 轴，
∴∠COD=∠ODQ=∠CQD=90°，
∴四边形OCQD为矩形，
∴QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，
∴ ，
∴ ，
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解得： 或0（舍去），
∴点 ；
②如图，过点E作EM∥x轴于点M，
令y=0， ，
解得： （舍去），
∴点B（-4，0），
∴OB=4，
∴ ，
设直线BC的解析式为 ，
把点B（-4，0），C（0，-3）代入得：
，解得： ，
∴直线BC 解的析式为 ，
∵点 关于直线 的对称点 落在 轴上时，
∴ ， ， ，
∵DP⊥x轴，
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∴PD∥CE′，
∴ ，
∴ ，
∴CE=PE，
∴ ，
∴四边形 为菱形，
∵EM∥x轴，
∴△CEM∽△CBO，
∴ ，
设点 ， 则点 ，
当点P在y轴左侧时，EM=-t，
当-4＜t＜0时， ，
∴ ，
∴ ，
解得： 或0（舍去），
∴ ，
∴四边形 的周长为 ；
当点P在y轴右侧时，EM=-t，
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当t≤-4时， ，
∴ ，解得： 或0（舍去），
此时 ，
∴四边形 的周长为 ；
当点P在y轴右侧，即t＞0时，EM=t， ，
∴ ，解得： 或0，
不符合题意，舍去；
综上所述，四边形 的周长为 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、对称的性质
和菱形的判定方法；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用相似比计算线
段的长和解一元二次方程是解题的关键．
考点2 二次函数的实际应用
【例题2】（2024甘肃威武）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，
如图2是棚顶的竖直高度y（单位： ）与距离停车棚支柱 的水平距离x（单位： ）近似满足
函数关系 的图象，点 在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下
避雨，货车截面看作长 ，高 的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内
（填“能”或“不能”）．
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【答案】能
【解析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当 时，y的值，若此时y的值大
于 ，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
在
中，当 时， ，
∵ ，
∴可判定货车能完全停到车棚内．
【变式练1】（2024广州一模）如图1，是某次排球比赛中运动员垫球时的动作，垫球后排球的运动
路线可近似地看作抛物线，在图2所示的平面直角坐标系中，运动员垫球时（图2中点 ）离球网
的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图2中点 ）越
过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图2中点 ）距球网的水平距
离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意结合函数的图象，得出图中A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出函数关系式
即可．
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（米）
根据题意和所建立的坐标系可知，A（-5， ），B（0， ），C（ ，0），
设排球运动路线的函数关系式为y=ax2+bx+c，将A、B、C的坐标代入得：
，
解得， ，
∴排球运动路线的函数关系式为
【变式练2】（2024四川南充一模）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线
形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装
师傅调试发现，喷头高 时，水柱落点距O点 ；喷头高 时，水柱落点距O点 ．那
么喷头高______m时，水柱落点距O点 ．
【答案】5.5
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【解析】【分析】设原抛物线的解析式为 ， 当向上移动1.5米到4米高度时，抛
物线解析式为： ，将两个交点分别代入求解确定原解析式，设向上平移k个
单位后， ，将点（4,0）代入求解，然后结合题意即可得出结果．
【详解】解：设原抛物线的解析式为 ，根据题意可得，与x轴交于点（2.5,0）代
入得：
①，
当向上移动1.5米到4米高度时，
抛物线解析式为： ，与x轴交于点（4,0），代入得
②，
联立①②求解可得：
，
∴将其代入②解得 ，
∴原抛物线的解析式为 ，
设向上平移k个单位后，
∴
与x轴交点为（4,0），代入得：
解得：k=3，
∴原抛物线向上移动3个单位，
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即喷头高3+2.5=5.5米．
【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，设出二次函数的解析式，然后利用待定系数法
求解是解题关键．
考点3 二次函数图象中的斜三角形面积问题
【例题3】（2024江苏扬州）如图，已知二次函数 的图像与 轴交于 ，
两点．
（1）求 的值；
（2）若点 在该二次函数的图像上，且 的面积为 ，求点 的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二
次方程的方法是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意设 ，结合几何图形面积计算方法可得点 的纵坐标，代入后解一元二次方程
即可求解．
【小问1详解】
解：二次函数 的图像与 轴交于 ， 两点，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
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【小问2详解】
解：由（1）可知二次函数解析式为： ， ， ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， ，无解，不符合题意，舍去；
当 时， ， ；
∴ ．
【变式练1】（2024湖北武汉一模）如图，已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过A（0，6），且对
称轴是直线x＝2.5．
（1）求该函数解析式；
（2）在抛物线上找点P，使△PBC的面积1，求出点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣5x+6；
（2）（1，2）和（4，2）．
【解析】（1）由题意得，
，
解得 ，
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∴二次函数的解析式为y＝x2﹣5x+6；
（2）令y＝0，
则x2﹣5x+6＝0，
解得x ＝2，x ＝3，
1 2
∴B（2，0），C（3，0），
设点P的纵坐标为m，
∵△PBC的面积1，
∴ ，
解得m＝±2，
当m＝2时，x2﹣5x+6＝2，
解得x ＝1，x ＝4；
1 2
当m＝﹣2时，x2﹣5x+6＝﹣2，即x2﹣5x+8＝0，
Δ＝（﹣5）2﹣4×1×8＝25﹣32＝﹣7＜0，
∴此方程无实数根，
故舍去m＝﹣2，
∴点P的坐标是（1，2）和（4，2）．
【变式练2】（2024广州一模）如图，抛物线 过点 、点 ，交y轴于
点C．
（1）求b，c的值．
（2）点 是抛物线上的动点
①当 取何值时， 的面积最大？并求出 面积的最大值；
②过点P作 轴，交 于点E，再过点P作 轴，交抛物线于点F，连接 ，问：
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是否存在点P，使 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，
（2）①当 时， 的面积由最大值，最大值为 ；
②当点 的坐标为 或 时， 为等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）将将 、 代入抛物线 即可求解；
（2）①由（1）可知： ，得 ，可求得 的解析式为 ，过点P作
轴，交 于点E，交 轴于点 ，易得 ，根据 的面积
，可得 的面积 ，
即可求解；
②由题意可知抛物线的对称轴为 ，则 ，分两种情况：当点 在对称轴左
侧时，即 时，当点 在对称轴右侧时，即 时，分别进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：将 、 代入抛物线 中，
可得： ，解得： ，
即： ， ；
【小问2详解】
①由（1）可知： ，
当 时， ，即 ，
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设 的解析式为： ，
将 ， 代入 中，
可得 ，解得： ，
∴ 的解析式为： ，
过点P作 轴，交 于点E，交 轴于点 ，
∵ ，则 ，
∴点E的横坐标也为 ，则纵坐标为 ，
∴ ，
的面积
，
∵ ，
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∴当 时， 的面积有最大值，最大值为 ；
②存在，当点 的坐标为 或 时， 为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知 ，
由题意可知抛物线的对称轴为直线 ，
∵ 轴，
∴ ， ，则 ，
当点 在对称轴左侧时，即 时，
，当 时， 为等腰直角三角形，
即： ，整理得： ，
解得： （ ，不符合题意，舍去）
此时 ，即点 ；
当点 在对称轴右侧时，即 时，
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，当 时， 为等腰直角三角形，
即： ，整理得： ，
解得： （ ，不符合题意，舍去）
此时： ，即点 ；
综上所述，当点 的坐标为 或 时， 为等腰直角三角形．
【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的
点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论．
考点1 抛物线与线段长、 面积、角度
1. （2024甘肃临夏）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ，作直线 ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点 是线段 上方的抛物线上一动点，过点 作 ，垂足为 ，请问线段
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是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点 的坐标；若不存在请说明理由．
（3）如图2，点 是直线 上一动点，过点 作线段 （点 在直线 下方），已知
，若线段 与抛物线有交点，请直接写出点 的横坐标 的取值范围．
【答案】（1）
（2）存在，最大值是 ，
（3） 或
【解析】【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨
论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）两点式直接求出函数解析式即可；
（2）过点 作 轴，交 于点 ，设 ，根据三角函数得到
，得到当 最大时， 的值最大，转化为二次函数求最值即可；
（3）设 ，得到 ，求出点 恰好在抛物线上且 时的 值，即可得出结果．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与 轴交于 ， 两点，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
存在；
∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，把 代入，得： ，
∴ ，
过点 作 轴，交 于点 ，设 ，则： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 最大时， 最大，
∵ ，
∴当 时， 的最大值为 ，此时 最大，为 ，
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∴ ；
【小问3详解】
设 ，则： ，
当点 恰好在抛物线上时，则： ，
∴ ，
当 时，则： ，
解得： 或 ，
∵线段 与抛物线有交点，
∴点M的横坐标的取值范围是 或 ．
2. （2024甘肃威武）如图1，抛物线 交x轴于O， 两点，顶点为
．点C为 的中点．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）过点C作 ，垂足为H，交抛物线于点E．求线段 的长．
（3）点D为线段 上一动点（O点除外），在 右侧作平行四边形 ．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
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②如图3，连接 ， ，求 的最小值．
【答案】（1） （2） （3）① ②
【解析】
【小问1详解】
∵抛物线的顶点坐标为 ．
设抛物线 ，
把 代入解析式，得 ，
解得 ，
∴ ．
【小问2详解】
∵顶点为 ．点C为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ 轴，
∴E的横坐标为1，
设 ，
当 时， ，
∴ ．
∴ ．
【小问3详解】
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①根据题意，得 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴点C，点F的纵坐标相同，
设 ，
∵点F落在抛物线上，
∴ ，
解得 ， (舍去)；
故 ．
②过点B作 轴于点N，作点D关于直线 的对称点G，过点G作 轴于点H，连
接 ， ， ，
则四边形 是矩形，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
故当 三点共线时， 取得最小值，
∵ ，
∴ 的最小值，就是 的最小值，且最小值就是 ，
延长 交y轴于点M，
∵ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故 的最小值是 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形
的判定和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴
对称的性质是解题的关键．
考点2 二次函数的实际应用
1. （2024四川自贡）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙
于点O（如图），其中 上的 段围墙空缺．同学们测得 m，
m， m， m， m．班长买来可切断的围栏 m，准备利用已有围墙，围出一
块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是________ ．
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【答案】
【解析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那
就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用 和 才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利
用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】要使该矩形菜地面积最大，则要利用 和 构成矩形，
设矩形在射线 上的一段长为 ，矩形菜地面积为 ，
当 时，如图，
则在射线 上的长为
则 ，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时， 的最大值为 ；
当 时，如图，
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则矩形菜园的总长为 ，
则在射线 上的长为
则 ，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而减少，
∴当 时， 的值均小于 ；
综上，矩形菜地的最大面积是 ．
2. （2024广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度 是 ，出手后实心球沿
一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．若实心球落地点为M，则
______ ．
【答案】
【解析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为 ，把点 ，代入即
可求出解析式；当 时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离 ．
【详解】以点O为坐标原点，射线 方向为x轴正半轴，射线 方向为y轴正半轴，建立平面
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直角坐标系，
∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．
设抛物线解析式为： ，
把点 代入得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为： ；
当 时， ，
解得， （舍去）， ，
即此次实心球被推出的水平距离 为 ．
故答案为：
3. （2024深圳）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并
分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择
不同位置测量数据如下表所示，设 的读数为x， 读数为y，抛物线的顶点为C．
（1）（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
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x 0 2 3 4 5 6
2.2 6.2
y 0 1 4 9
5 5
（Ⅱ）描点：请将表格中的 描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；
（2）如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为C，该数学兴趣小组用
水平和竖直直尺测量其水平跨度为 ，竖直跨度为 ，且 ， ，为了求出该抛物
线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数 平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式 为
．
①此时点 的坐标为________；
②将点 坐标代入 中，解得 ________；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为
①此时点B的坐标为________；
②将点B坐标代入 中解得 ________；（用含m，n的式子表示）
（3）【应用】如图4，已知平面直角坐标系 中有A，B两点， ，且 轴，二次函
数 和 都经过A，B两点，且 和 的顶点P，Q距线
段 的距离之和为10，求a的值．
【答案】（1）图见解析， ；
（2）方案一：① ；② ；方案二：① ；② ；
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（3）a的值为 或 ．
【解析】【分析】（1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据图形写出点 或点B的坐标，再代入求解即可；
（3）先求得 ， ， 的顶点坐标为 ，再求得 顶点距线
段 的距离为 ，得到 的顶点距线段 的距离为 ，得到 的顶点坐
标为 或 ，再分类求解即可．
【小问1详解】
解：描点，连线，函数图象如图所示，
观察图象知，函数为二次函数，
设抛物线的解析式为 ，
由题意得 ，
解得 ，
∴y与x的关系式为 ；
【小问2详解】
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解：方案一：①∵ ， ，
∴ ，
此时点 的坐标为 ；
故答案 为： ；
②由题意得 ，
解得 ，
故答案为： ；
方案二：①∵C点坐标为 ， ， ，
∴ ，
此时点B的坐标为 ；
故答案为： ；
②由题意得 ，
解得 ，
故答案为： ；
【小问3详解】
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解：根据题意 和 的对称轴为 ，
则 ， ， 的顶点坐标为 ，
∴ 顶点距线段 的距离为 ，
∴ 的顶点距线段 的距离为 ，
∴ 的顶点坐标为 或 ，
当 的顶点坐标为 时， ，
将 代入得 ，解得 ；
当 的顶点坐标为 时， ，
将 代入得 ，解得 ；
综上，a的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是
解题关键．
4. （2024武汉市）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．
火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级
沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，
垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 ．
其中，当火箭运行的水平距离为 时，自动引发火箭的第二级．
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（1）若火箭第二级的引发点的高度为 ．
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 ，求这两个位置之间的距
离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 ．
【答案】（1）① ， ；②
（2）
【解析】【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函
数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是
解题的关键．
（1）①将 代入即可求解；②将 变为 ，即可确定顶
点坐标，得出 ，进而求得当 时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可；
（2）若火箭落地点与发射点的水平距离为 ，求得 ，即可求解．
【小问1详解】
解：①∵火箭第二级的引发点的高度为
∴抛物线 和直线 均经过点
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∴ ，
解得 ， ．
②由①知， ，
∴
∴最大值
当 时，
则
解得 ，
又∵ 时，
∴当 时，
则
解得
∴这两个位置之间的距离 ．
【小问2详解】
解：当水平距离超过 时，
火箭第二级的引发点为 ，
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将 ， 代入 ，得
，
解得 ，
∴ ．
5. （2024贵州省）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不
低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
1
销售单价x/元 … 12 14 16 20 …
8
4
销售量y/盒 … 56 52 48 40 …
4
（1）求y与x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该
种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
【答案】（1）
（2）糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元
（3）2
【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次
函数的性质求解即可；
（3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x 的函数表达式，然
后利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
的
解∶设y与x 函数表达式为 ，
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把 ， ； ， 代入，得 ，
解得 ，
∴y与x的函数表达式为 ；
【小问2详解】
解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当 时， 有最大值为450，
∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
【小问3详解】
解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当 时， 有最大值为 ，
∵糖果日销售获得的最大利润为392元，
∴ ，
化简得
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解得 ，
当 时， ,
则每盒的利润为： ,舍去，
∴m的值为2．
6. （2024广东） 广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居
全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每
吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增
加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中
“元”为人民币）
【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元
【解析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利
润 每吨的利润 销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，
由题意得，
，
∵ ，
∴当 时，w有最大值，最大值为 ，
∴ ，
答：当定价为 万元每吨时，利润最大，最大值为 万元．
7. （2024河南省）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 满足关系式 ，其
中 是物体运动的时间， 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从
地面竖直向上发射小球．
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（1）小球被发射后_________ 时离地面的高度最大（用含 的式子表示）．
（2）若小球离地面的最大高度为 ，求小球被发射时的速度．
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两
次间隔的时间为 ．”已知实验楼高 ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）小明的说法不正确，理由见解析
【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（2）把 ， 代入 求解即可；
（3）由（2），得 ，把 代入，求出t的值，即可作出判断.
【小问1详解】
解：
，
∴当 时，h最大，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：根据题意，得
当 时， ，
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∴ ，
∴ （负值舍去）；
【小问3详解】
解：小明的说法不正确．
理由如下：
由（2），得 ，
当 时， ，
解方程，得 ， ，
∴两次间隔的时间为 ，
∴小明的说法不正确．
8. （2024湖北省）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，
篱笆长 ．设垂直于墙的边 长为 米，平行于墙的边 为 米，围成的矩形面积为 ．
（1）求 与 与 的关系式．
（2）围成的矩形花圃面积能否为 ，若能，求出 的值．
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时 的值．
【答案】（1） ；
（2）能，
（3） 的最大值为800，此时
【解析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：
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（1）根据 可求出 与 之间的关系，根据墙的长度可确定 的范围；根据面积
公式可确立二次函数关系式；
（2）令 ，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ；
（3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可．
【小问1详解】
解：∵篱笆长 ，
∴ ，
∵
∴
∴
∵墙长42m，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
又矩形面积
；
【小问2详解】
解：令 ，则 ，
整理得： ，
此时， ，
所以，一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴围成的矩形花圃面积能为 ；
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∴
∴
∵ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：
∵
∴ 有最大值，
又 ，
∴当 时， 取得最大值，此时 ，
即当 时， 的最大值为800
9. （2024江苏盐城）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样
式．
背景
◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1
1
件，或“正”服装1件．
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
生 产
背景
每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：
①“风”服装：24元/件；
背景
②“正”服装：48元/件；
2
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么
平均每件获利将减少2元．
现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：
每人每天加工量
服装种类 加工人数（人） 平均每件获利（元）
（件）
信息整理
风 y 2 24
雅 x 1
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正 1 48
任务
探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
1
探 究 任务
建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务 2
任务
拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
3
【答案】任务1： ；任务2： ；任务3：安排17名工
人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润
【解析】任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∵
加工“正”服装的有 人，
∴
“正”服装总件数和“风”服装相等，
∵
，
∴
整理得： ；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为： ，
，
∴
整理得：
∴
任务3：由任务2得 ，
当 时，获得最大利润，
∴
，
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，
∴
开口向下，
∵
取 或 ，
∴
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，符合题意；
，
∴
综上：安排17名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即
可获得最大利润．
考点3 二次函数图象中的斜三角形面积问题
1. （2024广州）已知抛物线 过点 和点 ，
直线 过点 ，交线段 于点 ，记 的周长为 ， 的周长为 ，
且 ．
（1）求抛物线 的对称轴；
（2）求 的值；
（3）直线 绕点 以每秒 的速度顺时针旋转 秒后 得到直线 ，当 时，直线
交抛物线 于 ， 两点．
①求 的值；
②设 的面积为 ，若对于任意的 ，均有 成立，求 的最大值及此时抛物线 的
解析式．
【答案】（1）对称轴为直线： ；
（2）
（3）① ，② 的最大值为 ，抛物线 为 ；
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【解析】【分析】（1）直接利用对称轴公式可得答案；
（2）如图，由 ，可得 在 的左边， ，证明
，可得 ，设 ，建立 ，可得： ， ，
再利用待定系数法求解即可；
（3）①如图，当 时，与抛物线交于 ，由直线 ，可得 ，可得
，从而可得答案；②计算 ，当 时， 可得
，则 ， ，可得
，可得当 时， 的最小值为 ，
再进一步求解可得答案．
【小问1详解】解：∵抛物线 ，
∴抛物线对称轴为直线： ；
【小问2详解】解：∵直线 过点 ，
∴ ，
如图，
∵直线 过点 ，交线段 于点 ，记 的周长为 ， 的周长为
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，且 ，
∴ 在 的左边， ，
∵ 在抛物线的对称轴上，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
【小问3详解】解：①如图，当 时，与抛物线交于 ，
∵直线 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
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②∵ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 的最小值为 ，
∴此时 ，
∵对于任意的 ，均有 成立，
∴ 的最大值为 ，
∴抛物线 为 ；
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，一次函数的性质，坐标与图形面积，一元二次方程
根与系数的关系，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．
考点1 抛物线与线段长、 面积、角度
1．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，
3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；
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（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M
同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止
运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
【答案】见解析。
【解析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可；
（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：
①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB= ×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，运用二次函数的
顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下
方2个单位处．
解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3 ，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3 ，∴OP=OC+PC=3+3 或OP=PC﹣OC=3 ﹣3
∴P（0，3+3 ），P（0，3﹣3 ）；
1 2
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P（﹣3，0）；
3
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
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∴P（0，0）；
4
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3 ）或（0，3﹣3 ）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△MNB= ×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，试求出最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2
个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，
轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
2. 如图，抛物线y＝﹣ x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+ 交于B、C两点，点B的坐标
为（4，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称
轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；
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若不存在，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+ ，
m＝﹣4+ ＝﹣ ，
∴B的坐标为（4，﹣ ），
将A（3，2），B（4，﹣ ）代入y＝﹣ x2+bx+c，
解得b＝1，c＝ ，
∴抛物线的解析式y＝ ；
（2）设D（m， ），则E（m，﹣m+ ），
DE＝（ ）﹣（﹣m+ ）＝ ＝﹣ （m﹣2）2+2，
∴当m＝2时，DE有最大值为2，
此时D（2， ），
作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．
PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小，
∵A（3，2），
∴A'（﹣1，2），
A'D＝ ＝ ，
即PD+PA的最小值为 ；
（3）作AH⊥y轴于点H，连接AM、AQ、MQ、HA、HQ，
∵抛物线的解析式y＝ ，
∴M（1，4），
∵A（3，2），
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∴AH＝MH＝2，H（1，2）
∵∠AQM＝45°，
∠AHM＝90°，
∴∠AQM＝ ∠AHM，
可知△AQM外接圆的圆心为H，
∴QH＝HA＝HM＝2
设Q（0，t），
则 ＝2，
t＝2+ 或2﹣
∴符合题意的点Q的坐标：Q （0，2﹣ ）、Q （0，2 ）．
1 2
3. 在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，已知抛物线 与 轴交于点 ，抛
物线的对称轴与 轴交于点 ．
（1）如图，若 ，抛物线的对称轴为 ．求抛物线的解析式，并直接写出 时
的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若 为 轴上的点， 为 轴上方抛物线上的点，当 为等边三角形
时，求点 ， 的坐标；
（3）若抛物线 经过点 ， ， ，且 ，求正整数
m，n的值．
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【答案】（1） ；
（2） ； 或 , ；
（3） ， 或 ，
【解析】【分析】（1）根据 ，抛物线的对称轴为 ，待定系数法求解析式即可求解；
当 时，求得 的范围，进而结合函数图象即可求解；
（2）①连接 ， ， 交对称轴于点D，由 四点共圆，得 ，
证明 ，求出点D的坐标，确定直线 的解析式，进而求得 点的坐标，设
， ，勾股定理即可求解；②由①可得 ，则当 与 重合时也存在
等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
（3）根据抛物线 经过点 ， ， ，可得抛物线对称为直
线 ， 则 ，则 ，进而令 ，求得 的范围，
进而根据函数图象可知 或 ，进而分别讨论求得 的值，即可求解．
【小问1详解】
解：∵ ，抛物线的对称轴为 ．
∴
解得：
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∴抛物线解析式为 ，
当 时，即
解得： ，
∴当 时，
【小问2详解】
解：①如图所示，连接 ， ， 交对称轴于点D，
∵ ，
∴ ，
则
∴ ， ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 四点共圆，
∴ ，
∵ ，
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∴ ．
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
设直线 的解析式为
则
解得：
所以直线 的解析式为
联立
解得： 或
∴ ，
∵ ，设 ，
∵
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∴
解得：
∴ ；
②由①可得 ，当 与点 重合时， 为等边三角形
则 与 对称，此时 ， ，
综上所述； ； 或 ， ；
【小问3详解】
解：∵抛物线 经过点 ， ， ，
∴抛物线对称为直线 ，
则 ，则
∴抛物线解析式为
∴顶点坐标为
当 时，
解得： 或
∵ ，且 为正整数，过点 ，则当 时 ，
∴ 或 ，
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当 时，将点 代入解析式 ，
解得：
∵
则 ，
当 时，将点 代入解析式
解得：
∵
则 ，
综上所述， ， 或 ， ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据特三角函数求角度，圆内接四边形对角互补，二次函数
的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
考点2 二次函数的实际应用
1．（2022甘肃威武）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行
路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位：m）与飞行时间 （单位：s）
之间具有函数关系： ，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 _________s．
【答案】2
【解析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．
∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
且-5＜0，
∴当t=2时，h取最大值20．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
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2．有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩
形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为 x米．现决定在等腰梯形
AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种
植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为 20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉
的种植总成本为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
【答案】见解析。
【解析】（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，
y＝2 （EH+AD）×20x+2 （GH+CD）×x×60+EF•EH×40＝（20+30）×5×20+（10+20）
×5×60+20×10×40＝22000；
（2）EF＝20﹣2x，EH＝30﹣2x，
参考（1），由题意得：y＝（30×30﹣2x）•x•20+（20+20﹣2x）•x•60+（30﹣2x）（20﹣2x）•40＝
﹣400x+24000（0＜x＜10）；
（3）S甲 ＝2 （EH+AD）×2x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，
同理S乙 ＝﹣2x2+40x，
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，
∴﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，
解得：x≤6，
故0＜x≤6，
而y＝﹣400x+24000随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，
即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
3. （2022陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段 表示水平的路面，以
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O为坐标原点，以 所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
根据设计要求： ，该抛物线的顶点P到 的距离为 ．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．
已知点A、B到 的距离均为 ，求点A、B的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为 ，再代入（0，0），
求出a的值即可；
（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问
题．
【详解】(1)依题意，顶点 ，
设抛物线的函数表达式为 ，
将 代入，得 ．解之，得 ．
∴抛物线的函数表达式为 ．
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(2)令 ，得 ．
解之，得 ．
∴ ．
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，
解答时求出二次函数的解析式是关键．
4．如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中
点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积
为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此
时BE的长为多少米？
【答案】（1）y=-2x +4x+16；（2）2米
【解析】（1）∵BE边长为x米，
∴AE=AB-BE=4-x，AG=AD+DG=4+2x
苗圃的面积=AE×AG=(4-x)(4+2x)
则苗圃的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y=-2x +4x+16
（2）依题意，令y=16 即-2x +4x+16=16
解得：x =0(舍）x =2
答：此时BE的长为2米．
5. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行
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路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动
员的竖直高度 （单位：m）与水平距离 （单位：m）近似满足函数关系 ．
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离 与竖直高度 的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 5 8 11 14
竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系
记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d，第二次训练的着陆点
1
的水平距离为 ，则 ______ （填“>”“=”或“<”）．
【答案】（1）23.20m； （2）
【解析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出 h、k的值，运动员竖直高度的最大值；
将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式；
（2）着陆点的纵坐标为 ，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表
示出 和 ，然后进行比较即可．
解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为： ，
∴ ， ，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，
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根据表格中的数据可知，当 时， ，代入 得：
，解得： ，
∴函数关系关系式为： ．
（2）设着陆点的纵坐标为 ，则第一次训练时， ，
解得： 或 ，
∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离 ，
第二次训练时， ，
解得： 或 ，
∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为 ，用t
表示出 和 ，是解题的关键．
6. 如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边
AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规
定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
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（2）在隧道截面内（含边界）修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，
点 ， 在x轴上，MN与矩形 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段 ， ，
，MN长度之和．请解决以下问题：
的
（ⅰ）修建一个“ ”型栅栏，如图2，点 ， 在抛物线AED上．设点 横坐标为
，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；
（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“ ”型或“ ”型栅型两种设计
方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形 面积的最大值，及取最大值时点 的横坐标
的取值范围（ 在 右侧）．
【答案】（1）y＝ x2＋8
（2）（ⅰ）l＝ m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一： ＋9≤P 横坐标≤ ；
1
方案二： ＋ ≤P 横坐标≤
1
【解析】（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，
（－6）2a＋8＝2，
解得：a＝ ，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝ x2＋8；
（2）（ⅰ）∵点P 的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形PPPP 为矩形，点P，P 在抛物线AED
1 1 2 3 4 2 3
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上，
∴P 的坐标为（m， m2＋8），
2
∴PP＝PP＝MN＝ m2＋8，PP＝2m，
1 2 3 4 2 3
∴l＝3（ m2＋8）＋2m＝ m2＋2m＋24＝ （m－2）2＋26，
∵ ＜0，
∴当m＝2时，l有最大值为26，
即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝ m2＋2m＋24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设PP＝n，则PP＝18－3n，
2 1 2 3
∴矩形PPPP 面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
1 2 3 4
∵－3＜0，
∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，
此时PP＝3，PP＝9，
2 1 2 3
令 x2＋8＝3，
解得：x＝ ，
∴此时P 的横坐标的取值范围为 ＋9≤P 横坐标≤ ，
1 1
方案二：设PP＝n，则PP＝9－n，
2 1 2 3
∴矩形PPPP 面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－ ）2＋ ，
1 2 3 4
∵－1＜0，
∴当n＝ 时，矩形面积有最大值为 ，
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此时PP＝ ，PP＝ ，
2 1 2 3
令 x2＋8＝ ，
解得：x＝ ，
∴此时P 的横坐标的取值范围为 ＋ ≤P 横坐标≤ ．
1 1
【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，
利用数形结合思想解题是关键。
7．如图1是某篮球运动员在比赛中投篮，球运动的路线为抛物线的一部分，如图 2，球出手时离地
面约2.15米，与篮筐的水平距离4.5m，此球准确落入高为3.05米的篮筐．当球在空中运行的水平距
离为2.5米时，球恰好达到最大高度，则球在运动中离地面的最大高度为（ ）
A．4.55米 B．4.60米 C．4.65米 D．4.70米
【答案】C
【解答】解：根据题意得：抛物线过点（0，2.15）和（4.5，3.05），对称轴为直线x＝2.5，
∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣2.5）2+k（a≠0），
把（0，2.15）和（4.5，3.05）代入解析式得：
解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.4（x﹣2.5）2+4.65，
∵﹣0.4＜0，
∴函数的最大值为4.65，
∴球在运动中离地面的最大高度为4.65m，
故选：C．
考点3 二次函数图象中的斜三角形面积问题
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1．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速
度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当
△PBQ的面积为最大时，运动时间t为 s．
【答案】2
【解答】根据题意得三角形面积为：
S＝ （8﹣2t）t＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
∵由以上函数图象知
∴当t＝2时，△PBQ的面积最大为4cm2．
2．如图，在直角坐标系中，已知直线y=- x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点坐标为（﹣
2，0）．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，联结AM、BM，求四边形AOBM的面积．
【答案】（1）y=- （2）31
分析：（1）先利用一次函数解析式确定 A（0，4），B（8，0），再设交点式 y=a
（x+2）（x-8），然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）先利用配方法得到y=- （x-3）2+ ，则M（3， ），作MD⊥x轴于D，如图，
然后根据梯形面积公式和三角形面积公式，利用四边形 AOBM的面积=S +S 进行计
梯形AODM △BDM
算即可．
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详解：（1）当x=0时，y=- x+4=4，则A（0，4），
当y=0时，- x+4=0，解得x=8，则B（8，0），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣8），
把A（0，4）代入得a•2•（﹣8）=4，解得x=﹣ ，
∴抛物线解析式为y=﹣ （x+2）（x﹣8），即y=﹣ x2+ x+4；
（2）∵y=﹣ （x﹣3）2+ ，∴M（3， ），
作MD⊥x轴于D，如图，四边形AOBM的面积=S +S
梯形AODM △BDM
= ×（4+ ）×3+ ×5×
=31．
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接
BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线BC上方的抛物线上的一点，连接PB，PC，求△PBC的面积的最大值以及此时点
P的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，点M是新抛物线的对称轴上的一点，
N是新抛物线一动点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标．
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【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）点P（ ， ），△PBC的面积的最大值为 ；
（3）点M的坐标为（2，﹣8）或（2，﹣2）或（2，0）．
【解答】（1）将点A（﹣1，0）和点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得 ，
解得 ，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图，过点P作PF⊥AB于F，交BC于E，
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象与y轴的交点为点C，
∴点C（0，3），
∵点B（3，0），
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
设点P（t，﹣t2+2t+3），
∴点E（t，﹣t+3），
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∴PE＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴△PBC的面积＝ ×（﹣t2+3t）×3＝﹣ （t﹣ ）2+ ，
∴当t＝ 时，△PBC的面积的最大值为 ，
∴点P（ ， ）；
（3）∵将抛物线y＝﹣x2+2x+3向右平移1个单位得到新抛物线，
∴y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x，
∴新抛物线的对称轴为直线x＝2，
设点M（2，m），点N（n，﹣n2+4n），
当BC为边时，若四边形BCNM是平行四边形，
∴ ， ＝ ，
∴n＝﹣1，m＝﹣8，
∴点M（2，﹣8）；
若四边形BCMN是平行四边形，
∴ ， ＝ ，
∴n＝5，m＝﹣2，
∴点M（2，﹣2）；
若BC为对角线时，则四边形BMCN是平行四边形，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴n＝1，m＝0，
∴点M（2，0）；
综上所述：点M的坐标为（2，﹣8）或（2，﹣2）或（2，0）．
4．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），
与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交
直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点
D的坐标；若不能，请说明理由．
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（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得： ，
解得 ，
则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）能．
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把C（0，5），B（5，0）代入得 ，
解得 ，
所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE ：S△BEF ＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，
解得x ＝ ，x ＝5（舍去），此时D点坐标为（ ， ）；
1 2
当DE：EF＝3：2时，S△BDE ：S△BEF ＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，
解得x ＝ ，x ＝5（舍去），此时D点坐标为（ ， ）；
1 2
综上所述，当点D的坐标为（ ， ）或（ ， ）时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3
的两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
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设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，
此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣
3，此时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，解得t ＝6，t
1
＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．
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